資源簡介

8.1.1　函數的零點
1.函數f（x）＝lg｜x｜的零點是（　?。?br/>A.（1，0） B.（1，0）和（－1，0）
C.1 D.1和－1
2.函數f（x）＝2x－3的零點所在的區間是（　?。?br/>A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
3.函數f（x）＝2x－－a的一個零點在區間（1，2）內，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（1，3） B.（1，2）
C.（0，3） D.（0，2）
4.已知函數f（x）的圖象是連續不斷的，有如下x，f（x）的對應值表：
x 1 2 3 4 5 6
f（x） 15 10 －7 6 －4 －5
則函數f（x）在區間[1，6]上的零點至少有（　?。?br/>A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
5.（多選）下列函數存在零點的是（　?。?br/>A.y＝x－
B.y＝
C.y＝logax2（a＞0且a≠1）
D.y＝
6.（多選）下列說法中正確的是（　?。?br/>A.函數f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為（－1，0）
B.函數f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為－1
C.函數f（x）的零點，即函數f（x）的圖象與x軸的交點
D.函數f（x）的零點，即函數f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標
7.請寫出同時滿足以下條件的一個函數：　　　　.
①該函數的定義域是R，且其圖象是一條連續不斷的曲線；
②該函數是偶函數；
③該函數恰有2個零點.
8.函數f（x）＝｜x－2｜－ln x的零點的個數為　　　　.
9.函數f（x）＝9x－3x＋1－10的零點為　　　　.
10.判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出其零點：
（1）f（x）＝－x2＋2x－1；
（2）f（x）＝x4－x2；
（3）f（x）＝4x＋5；
（4）f（x）＝log3（x＋1）.
11.若函數f（x）在定義域{x｜x∈R且x≠0}上是偶函數，且在（0，＋∞）上單調遞減，f（2）＝0，則函數f（x）的零點（　　 ）
A.只有一個 B.只有兩個
C.至少有兩個 D.無法判斷
12.（多選）已知定義域和值域均為[－a，a]（a＞0）的函數y＝f（x）和y＝g（x）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　　 ）
A.方程f[g（x）]＝0有且僅有三個解
B.方程g[f（x）]＝0有且僅有三個解
C.方程f[f（x）]＝0有且僅有九個解
D.方程g[g（x）]＝0有且僅有一個解
13.已知函數f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零點依次為a，b，c，則a，b，c的大小關系是　　　　.（用“＜”連接）
14.已知函數f（x）＝x2＋ax＋b的零點是－1和2，判斷函數g（x）＝ax3＋bx＋4的零點所在的大致區間.
15.已知函數f（x）＝2a·4x－2x－1.
（1）當a＝1時，求函數f（x）的零點；
（2）若f（x）有零點，求a的取值范圍.
8.1.1　函數的零點
1.D　函數f（x）的定義域為{x｜x≠0}，令f（x）＝0，則lg｜x｜＝0，解得x＝±1，即函數f（x）的零點是1和－1.
2.B　因為f（1）＝2－3＝－1＜0，f（2）＝4－3＝1＞0，所以f（1）·f（2）＜0，即f（x）的零點所在的區間為（1，2）.
3.C　由條件可知f（1）f（2）＜0，即（2－2－a）（4－1－a）＜0，即a（a－3）＜0，解得0＜a＜3.故選C.
4.B　由題表可知f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，又函數f（x）的圖象是連續不斷的，故f（x）在區間[1，6]上至少有3個零點.
5.ABC　令y＝0，得選項A和C中的函數的零點均為1和－1；選項B中函數的零點為－和1；只有選項D中函數無零點.
6.BD　根據函數零點的定義，可知f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為－1，即函數f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標.因此B、D正確.
7.f（x）＝x2－1（答案不唯一）　
解析：因為函數為定義在R上的偶函數，且恰有兩個零點，故可取f（x）＝x2－1（答案不唯一）.
8.2　解析：由題意知，函數f（x）的定義域為（0，＋∞），函數f（x）在（0，＋∞）內的零點就是方程｜x－2｜－ln x＝0的根.令y1＝｜x－2｜，y2＝ln x（x＞0），在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象如圖所示，由圖知，兩個函數圖象有兩個交點，故方程｜x－2｜－ln x＝0有2個根，即對應函數有2個零點.
9.log35　解析：由f（x）＝9x－3x＋1－10＝0得（3x）2－3·3x－10＝0，即（3x＋2）·（3x－5）＝0，∵3x＞0，∴3x－5＝0，解得x＝log35，即函數零點為log35.
10.解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，
所以函數f（x）＝－x2＋2x－1的零點為1.
（2）令x4－x2＝0，即x2（x－1）（x＋1）＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函數 f（x）＝x4－x2的零點為0，－1和1.
（3）令4x＋5＝0，則4x＝－5，
因為4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0無實數解.
所以函數f（x）＝4x＋5不存在零點.
（4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，
所以函數f（x）＝log3（x＋1）的零點為0.
11.B　因為f（x）在（0，＋∞）上單調遞減，f（2）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上有且僅有一個零點2.又f（x）是偶函數，所以f（x）在（－∞，0）上有且僅有一個零點－2.故函數f（x）只有兩個零點－2和2.
12.AD　設f（x）的零點為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3.由f[g（x）]＝0，得g（x）＝x1或g（x）＝x2或g（x）＝x3.由g（x）的圖象可知滿足條件的x的值有三個.故方程f[g（x）]＝0有且僅有三個解，故A正確；同理，f[f（x）]＝0最多有九個解，故C錯誤；因為g（x）＝0有一個解，又g（x）每個對應的值只有一個相應的解，故g[g（x）]＝0有且僅有一個解，而g[f（x）]＝0最多有三個解，故B錯誤，D正確.
13.a＜b＜c　解析：畫出函數y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零點依次是點A，B，C的橫坐標，由圖象可知a＜b＜c.
14.解：∵－1和2是函數f（x）＝x2＋ax＋b的零點，
∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的兩個實數解，
∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.
∴g（x）＝－x3－2x＋4.
∵g（1）＝1，g（2）＝－8，g（1）g（2）＜0，
∴g（x）在區間（1，2）內有零點.
又∵g（x）在R上是單調函數，
∴g（x）只有一個零點.
綜上可知，函數g（x）的零點所在的大致區間為（1，2）.
15.解：（1）當a＝1時，f（x）＝2·4x－2x－1.
令f（x）＝0，即2·（2x）2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－（舍去）.∴x＝0，
∴函數f（x）的零點為0.
（2）若f（x）有零點，則方程2a·4x－2x－1＝0有解，于是2a＝＝（）x＋（）x，
令（）x＝t，則g（t）＝t＋t2＝（t＋）2－.
∵t＞0，∴g（t）在（0，＋∞）上單調遞增，其值域為（0，＋∞），
∴2a＞0，∴a＞0，即a的取值范圍是（0，＋∞）.
2 / 28.1.1　函數的零點
新課程標準解讀 核心素養
1.結合學過的函數圖象，了解函數零點與方程解的關系 數學抽象、直觀想象、數學運算
2.結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理，會判斷函數零點的個數 直觀想象、邏輯推理
　　奇奇，小東，小明，妙妙是要好的四位同學，他們的家都住在同一小河的附近，且具體位置如圖所示，周末奇奇同學要騎自行車去妙妙家里玩.
【問題】　依據以下四種情境，畫出奇奇同學的騎行較近路線的軌跡，并推斷他與小河有過幾次接觸？
情境1：奇奇同學騎車直接去了妙妙家；
情境2：奇奇同學騎車到小河邊的小東家約小東同學一起去妙妙家；
情境3：奇奇同學過橋到河對岸的小明家，約小明一起去妙妙家；
情境4：奇奇同學到河邊小東家約了小東又過橋到了小明家，而后三人相約一起到妙妙家玩.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的零點
1.概念：把使函數y＝f（x）的值為　　　的實數x稱為函數y＝f（x）的零點.
2.函數的零點、方程的根、圖象與x軸的交點之間的關系
提醒　（1）函數的零點是實數，而不是點.如函數f（x）＝x＋1的零點是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函數都有零點，如函數f（x）＝，y＝x2＋1均沒有零點；（3）若函數有零點，則零點一定在函數的定義域內.
3.函數零點存在定理
若函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條　 　　　　的曲線，且f（a）f（b）　　　　　0，則函數y＝f（x）在區間（a，b）上有零點.
【想一想】
1.函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，f（a）f（b）＜0時，能否判斷函數在區間（a，b）上的零點個數？
2.函數y＝f（x）在區間（a，b）上有零點，是不是一定有f（a）·f（b）＜0？
1.下列圖象表示的函數中有兩個零點的是（　?。?br/>2.函數f（x）＝2x－的零點所在的區間是（　?。?br/>A.（1，＋∞） B.（，1）
C.（，） D.（，）
3.函數f（x）＝x2＋2x－15的零點是　　　　.
　　
題型一 零點的概念及求法
【例1】　（鏈接教科書第230頁練習2題）判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出.
（1）f（x）＝x2＋2x＋4；（2）f（x）＝x3－x；
（3）f（x）＝2x－3；（4）f（x）＝1－log3x.
通性通法
函數零點的求法
（1）代數法：求方程f（x）＝0的實數根，若存在實數根，則函數存在零點，否則函數不存在零點；
（2）幾何法：與函數y＝f（x）的圖象聯系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點.
【跟蹤訓練】
1.已知函數f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零點是1和2，則mn＝　　　　.
2.已知函數f（x）＝ax－b（a≠0）的零點為3，求函數g（x）＝bx2＋ax的零點.
題型二 函數零點的存在問題
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?29頁例1、230頁例2）
（1）求證：函數f（x）＝x3－2x2＋1在區間（－1，0）上存在零點；
（2）求證：函數f（x）＝3x＋2x－4有零點.
通性通法
確定函數f（x）零點所在區間的常用方法
（1）解方程法：當對應方程f（x）＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區間上；
（2）利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f（a）f（b）＜0.若f（a）f（b）＜0，則函數y＝f（x）在區間（a，b）內必有零點；
（3）數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.
【跟蹤訓練】
1.f（x）＝ex＋x－2的零點所在的區間是（　?。?br/>A.（－2，－1） B.（－1，0）
C.（0，1） D.（1，2）
2.（2024·淮安期末）函數f（x）＝2x＋2x－7的零點所在的區間為（k，k＋1），則正整數k的值為　　　　.
題型三 函數零點的個數問題
【例3】　判斷函數f（x）＝ln x＋x2－3的零點個數.
通性通法
判斷函數零點個數的4種常用方法
（1）利用方程根，轉化為解方程，有幾個不同的實數根就有幾個零點；
（2）畫出函數y＝f（x）的圖象，判定它與x軸的交點個數，從而判定零點的個數；
（3）結合單調性，利用函數零點存在定理，可判定y＝f（x）在（a，b）上零點的個數；
（4）轉化成兩個函數圖象的交點問題.
【跟蹤訓練】
已知0＜a＜1，則函數f（x）＝ax－｜logax｜的零點個數為（　?。?br/>A.2 B.3
C.4 D.0
1.若函數f（x）＝ax＋b（a≠0）的零點是2，則函數g（x）＝ax2＋bx的零點是（　?。?br/>A.2　 B.0和2
C.0 D.－2和0
2.已知定義在R上的函數f（x）的圖象是連續不斷的，且有如下對應值表：
x 1 2 3 4
f（x） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函數f（x）一定存在零點的區間是（　?。?br/>A.（－∞，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
3.對于函數f（x），若f（－1）f（3）＜0，則（　?。?br/>A.方程f（x）＝0一定有一實數解
B.方程f（x）＝0一定無實數解
C.方程f（x）＝0一定有兩實根
D.方程f（x）＝0可能無實數解
4.函數f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）的零點有　　　　個.
8.1.1　函數的零點
【基礎知識·重落實】
知識點
1.0　2.x軸　f（x）＝0　3.不間斷?。?br/>想一想
1.提示：只能判斷有無零點，不能判斷零點的個數.
2.提示：不一定，如f（x）＝x2在區間（－1，1）上有零點0，但是f（－1）f（1）＝1×1＝1＞0.
自我診斷
1.D　有兩個零點就是函數圖象與x軸有兩個交點，故選D.
2.B　法一　∵f（）＜0，f（1）＞0，∴f（）·f（1）＜0，即函數f（x）的零點所在的區間為（，1）.故選B.
法二　令f（x）＝2x－＝0，得2x＝，令g（x）＝2x，h（x）＝，畫出函數g（x）與h（x）的圖象，由圖象可知，g（x）與h（x）的交點在區間（，1）上.故選B.
3.3，－5　解析：令f（x）＝0，即x2＋2x－15＝0，解得x＝3或x＝－5，所以函數f（x）＝x2＋2x－15的零點是3，－5.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0無實數解，
所以函數f（x）＝x2＋2x＋4不存在零點.
（2）令x3－x＝0，即x3－x＝x（x2－1）＝x（x－1）（x＋1）＝0，解得x＝0，1，－1，
所以函數f（x）的零點為－1，0，1.
（3）令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函數f（x）＝2x－3的零點是log23.
（4）令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函數f（x）＝1－log3x的零點是3.
跟蹤訓練
1.4　解析：因為f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零點為1和2，所以1和2是方程x2＋3（m＋1）x＋n＝0的兩個實數解，所以解得所以mn＝4.
2.解：由已知得f（3）＝0，即3a－b＝0，則b＝3a，故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）.
令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－.
所以函數g（x）＝bx2＋ax的零點為0和－.
【例2】　證明：（1）因為f（－1）＝（－1）3－2（－1）2＋1＝－2＜0，f（0）＝1＞0，
且函數f（x）在區間[－1，0]上的圖象是不間斷的，
所以函數f（x）在區間（－1，0）上存在零點.
（2）因為f（0）＝30＋2×0－4＝－3＜0，f（1）＝31＋2×1－4＝1＞0，
且函數f（x）在區間[0，1]上的圖象是不間斷的，
所以函數f（x）＝3x＋2x－4在區間（0，1）上有零點，
從而函數f（x）＝3x＋2x－4有零點.
跟蹤訓練
1.C　法一　∵f（0）＝－1＜0，f（1）＝e－1＞0，∴f（x）在（0，1）內有零點.
法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函數的零點所在區間即為函數y＝ex和y＝2－x的圖象交點的橫坐標所在的區間.如圖，由圖象可得函數y＝ex和y＝2－x的圖象交點所在的區間為（0，1）.
2.1　解析：因為函數f（x）＝2x＋2x－7在R上是增函數，且f（1）＝2＋2－7＝－3＜0，f（2）＝4＋4－7＝1＞0，所以f（x）的零點所在的區間為（1，2），所以正整數k的值為1.
【例3】　解：法一　函數對應的方程為ln x＋x2－3＝0，
所以原函數零點的個數即為函數y＝ln x與y＝3－x2的圖象交點個數.
在同一平面直角坐標系中，作出兩函數的圖象（如圖）.
由圖象知，函數y＝3－x2與y＝ln x的圖象有一個交點.從而方程ln x＋x2－3＝0有一個根，即函數f（x）＝ln x＋x2－3有一個零點.
法二　由于f（1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f（2）＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
所以f（1）f（2）＜0，
又f（x）＝ln x＋x2－3的圖象在[1，2]上是連續的，所以f（x）在（1，2）上必有一個零點，
又f（x）在定義域（0，＋∞）上是增函數，所以零點只有一個.
跟蹤訓練
A　函數f（x）＝ax－｜logax｜（0＜a＜1）的零點個數，等價于函數y＝ax和函數y＝｜logax｜的圖象的交點個數.如圖所示，函數y＝ax和函數y＝｜logax｜的圖象的交點個數為2，故0＜a＜1時，函數f（x）＝ax－｜logax｜的零點個數為2.故選A.
隨堂檢測
1.B　由條件知f（2）＝0，∴b＝－2a，∴g（x）＝ax2＋bx＝ax（x－2）的零點為0和2.故選B.
2.C　由表可知f（1）f（2）＞0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＞0，由函數零點存在定理可知f（x）一定存在零點的區間是（2，3）.故選C.
3.D　∵函數f（x）的圖象在（－1，3）上未必連續，故盡管有f（－1）f（3）＜0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能無實數解.
4.3　解析：∵f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）＝（x－1）·（x＋5）（x－2），∴由f（x）＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
3 / 3(共56張PPT)
8.1.1　函數的零點
新課程標準解讀 核心素養
1.結合學過的函數圖象，了解函數零點與方程
解的關系 數學抽象、直觀想
象、數學運算
2.結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函
數零點存在定理，會判斷函數零點的個數 直觀想象、邏輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　奇奇，小東，小明，妙妙是要好的四位同學，他們的家都住在同
一小河的附近，且具體位置如圖所示，周末奇奇同學要騎自行車去妙
妙家里玩.
【問題】　依據以下四種情境，畫出奇奇同學的騎行較近路線的軌
跡，并推斷他與小河有過幾次接觸？
情境1：奇奇同學騎車直接去了妙妙家；
情境2：奇奇同學騎車到小河邊的小東家約小東同學一起去妙妙家；
情境3：奇奇同學過橋到河對岸的小明家，約小明一起去妙妙家；
情境4：奇奇同學到河邊小東家約了小東又過橋到了小明家，而后三
人相約一起到妙妙家玩.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的零點
1. 概念：把使函數 y ＝ f （ x ）的值為 的實數 x 稱為函數 y ＝ f
（ x ）的零點.
2. 函數的零點、方程的根、圖象與 x 軸的交點之間的關系
0　
提醒?。?）函數的零點是實數，而不是點.如函數 f （ x ）＝ x ＋1
的零點是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函數都有零
點，如函數 f （ x ）＝ ， y ＝ x2＋1均沒有零點；（3）若函數有零
點，則零點一定在函數的定義域內.
3. 函數零點存在定理
若函數 y ＝ f （ x ）在區間[ a ， b ]上的圖象是一條 的曲
線，且 f （ a ） f （ b ） 0，則函數 y ＝ f （ x ）在區間（ a ，
b ）上有零點.
不間斷　
＜　
【想一想】
1. 函數 y ＝ f （ x ）在區間[ a ， b ]上的圖象是連續不斷的一條曲
線， f （ a ） f （ b ）＜0時，能否判斷函數在區間（ a ， b ）上
的零點個數？
提示：只能判斷有無零點，不能判斷零點的個數.
2. 函數 y ＝ f （ x ）在區間（ a ， b ）上有零點，是不是一定有 f
（ a ）· f （ b ）＜0？
提示：不一定，如 f （ x ）＝ x2在區間（－1，1）上有零點0，但是 f
（－1） f （1）＝1×1＝1＞0.
1. 下列圖象表示的函數中有兩個零點的是（　?。?br/>解析： 　有兩個零點就是函數圖象與 x 軸有兩個交點，故選D.
2. 函數 f （ x ）＝2 x － 的零點所在的區間是（　　）
A. （1，＋∞） B. （ ，1）
C. （ ， ） D. （ ， ）
解析： 　法一　∵ f （ ）＜0， f （1）＞0，∴ f （ ）· f （1）＜
0，即函數 f （ x ）的零點所在的區間為（ ，1）.故選B.
法二　令 f （ x ）＝2 x － ＝0，得2 x ＝ ，令 g （ x ）＝2 x ， h （ x ）＝
，畫出函數 g （ x ）與 h （ x ）的圖象，由圖
象可知， g （ x ）與 h （ x ）的交點在區間（ ，
1）上.故選B.
3. 函數 f （ x ）＝ x2＋2 x －15的零點是 .
解析：令 f （ x ）＝0，即 x2＋2 x －15＝0，解得 x ＝3或 x ＝－5，所
以函數 f （ x ）＝ x2＋2 x －15的零點是3，－5.
3，－5　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 零點的概念及求法
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?30頁練習2題）判斷下列函數是否存在零
點，如果存在，請求出.
（1） f （ x ）＝ x2＋2 x ＋4；
解：令 x2＋2 x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，
所以方程 x2＋2 x ＋4＝0無實數解，
所以函數 f （ x ）＝ x2＋2 x ＋4不存在零點.
（2） f （ x ）＝ x3－ x ；
解：令 x3－ x ＝0，即 x3－ x ＝ x （ x2－1）＝ x （ x －1）（ x ＋
1）＝0，解得 x ＝0，1，－1，
所以函數 f （ x ）的零點為－1，0，1.
（3） f （ x ）＝2 x －3；
解：令2 x －3＝0，解得 x ＝log23，
所以函數 f （ x ）＝2 x －3的零點是log23.
（4） f （ x ）＝1－log3 x .
解：令1－log3 x ＝0，解得 x ＝3，
所以函數 f （ x ）＝1－log3 x 的零點是3.
通性通法
函數零點的求法
（1）代數法：求方程 f （ x ）＝0的實數根，若存在實數根，則函數存
在零點，否則函數不存在零點；
（2）幾何法：與函數 y ＝ f （ x ）的圖象聯系起來，圖象與 x 軸的交點
的橫坐標即為函數的零點.
【跟蹤訓練】
1. 已知函數 f （ x ）＝ x2＋3（ m ＋1） x ＋ n 的零點是1和2，則 mn
＝ .
解析：因為 f （ x ）＝ x2＋3（ m ＋1） x ＋ n 的零點為1和2，所以1和
2是方程 x2＋3（ m ＋1） x ＋ n ＝0的兩個實數解，所以
解得所以 mn ＝4.
4　
2. 已知函數 f （ x ）＝ ax － b （ a ≠0）的零點為3，求函數 g （ x ）＝
bx2＋ ax 的零點.
解：由已知得 f （3）＝0，即3 a － b ＝0，則 b ＝3 a ，故 g （ x ）＝3
ax2＋ ax ＝ ax （3 x ＋1）.
令 g （ x ）＝0，即 ax （3 x ＋1）＝0，解得 x ＝0或 x ＝－ .
所以函數 g （ x ）＝ bx2＋ ax 的零點為0和－ .
題型二 函數零點的存在問題
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?29頁例1、230頁例2）（1）求證：函數 f
（ x ）＝ x3－2 x2＋1在區間（－1，0）上存在零點；
證明：因為 f （－1）＝（－1）3－2（－1）2＋1＝－2＜0， f （0）＝1
＞0，
且函數 f （ x ）在區間[－1，0]上的圖象是不間斷的，
所以函數 f （ x ）在區間（－1，0）上存在零點.
（2）求證：函數 f （ x ）＝3 x ＋2 x －4有零點.
證明：因為 f （0）＝30＋2×0－4＝－3＜0， f （1）＝31＋2×1
－4＝1＞0，
且函數 f （ x ）在區間[0，1]上的圖象是不間斷的，
所以函數 f （ x ）＝3 x ＋2 x －4在區間（0，1）上有零點，
從而函數 f （ x ）＝3 x ＋2 x －4有零點.
通性通法
確定函數 f （ x ）零點所在區間的常用方法
（1）解方程法：當對應方程 f （ x ）＝0易解時，可先解方程，再看求
得的根是否落在給定區間上；
（2）利用函數零點存在定理：首先看函數 y ＝ f （ x ）在區間[ a ， b ]
上的圖象是否連續，再看是否有 f （ a ） f （ b ）＜0.若 f （ a ） f
（ b ）＜0，則函數 y ＝ f （ x ）在區間（ a ， b ）內必有零點；
（3）數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區間上是
否有交點來判斷.
【跟蹤訓練】
1. f （ x ）＝e x ＋ x －2的零點所在的區間是（　?。?br/>A. （－2，－1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （1，2）
解析： 法一　∵ f （0）＝－1＜0， f （1）＝e－
1＞0，∴ f （ x ）在（0，1）內有零點.
法二　e x ＋ x －2＝0，即e x ＝2－ x ，∴原函數的零點所在區間即為函
數 y ＝e x 和 y ＝2－ x 的圖象交點的橫坐標所在的區間.如圖，由圖象可
得函數 y ＝e x 和 y ＝2－ x 的圖象交點所在的區間為（0，1）.
2. （2024·淮安期末）函數 f （ x ）＝2 x ＋2 x －7的零點所在的區間為
（ k ， k ＋1），則正整數 k 的值為 .
解析：因為函數 f （ x ）＝2 x ＋2 x －7在R上是增函數，且 f （1）＝
2＋2－7＝－3＜0， f （2）＝4＋4－7＝1＞0，所以 f （ x ）的零點
所在的區間為（1，2），所以正整數 k 的值為1.
1　
題型三 函數零點的個數問題
【例3】　判斷函數 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3的零點個數.
解：法一　函數對應的方程為ln x ＋ x2－3＝0，
所以原函數零點的個數即為函數 y ＝ln x 與 y ＝3－ x2的圖象交點個數.
在同一平面直角坐標系中，作出兩函數的
圖象（如圖）.
由圖象知，函數 y ＝3－ x2與 y ＝ln x 的圖象有一個交點.從而方程ln x ＋
x2－3＝0有一個根，即函數 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3有一個零點.
法二　由于 f （1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f （2）＝ln 2＋22－3＝ln
2＋1＞0，
所以 f （1） f （2）＜0，
又 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3的圖象在[1，2]上是連續的，所以 f （ x ）在
（1，2）上必有一個零點，
又 f （ x ）在定義域（0，＋∞）上是增函數，所以零點只有一個.
通性通法
判斷函數零點個數的4種常用方法
（1）利用方程根，轉化為解方程，有幾個不同的實數根就有幾個
零點；
（2）畫出函數 y ＝ f （ x ）的圖象，判定它與 x 軸的交點個數，從而判
定零點的個數；
（3）結合單調性，利用函數零點存在定理，可判定 y ＝ f （ x ）在
（ a ， b ）上零點的個數；
（4）轉化成兩個函數圖象的交點問題.
【跟蹤訓練】
已知0＜ a ＜1，則函數 f （ x ）＝ ax －｜log ax ｜的零點個數為（　?。?br/>A. 2 B. 3
C. 4 D. 0
解析： 　函數 f （ x ）＝ ax －｜log ax ｜（0＜ a
＜1）的零點個數，等價于函數 y ＝ ax 和函數 y
＝｜log ax ｜的圖象的交點個數.如圖所示，函數
y ＝ ax 和函數 y ＝｜log ax ｜的圖象的交點個數為
2，故0＜ a ＜1時，函數 f （ x ）＝ ax －｜log ax ｜
的零點個數為2.故選A.
1. 若函數 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0）的零點是2，則函數 g （ x ）＝ ax2
＋ bx 的零點是（　?。?br/>A. 2 B. 0和2
C. 0 D. －2和0
解析： 　由條件知 f （2）＝0，∴ b ＝－2 a ，∴ g （ x ）＝ ax2＋
bx ＝ ax （ x －2）的零點為0和2.故選B.
2. 已知定義在R上的函數 f （ x ）的圖象是連續不斷的，且有如下對應
值表：
x 1 2 3 4
f （ x ） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函數 f （ x ）一定存在零點的區間是（　?。?br/>A. （－∞，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析： 由表可知 f （1） f （2）＞0， f （2） f （3）＜0， f （3）
f （4）＞0，由函數零點存在定理可知 f （ x ）一定存在零點的區間
是（2，3）.故選C.
3. 對于函數 f （ x ），若 f （－1） f （3）＜0，則（　?。?br/>A. 方程 f （ x ）＝0一定有一實數解
B. 方程 f （ x ）＝0一定無實數解
C. 方程 f （ x ）＝0一定有兩實根
D. 方程 f （ x ）＝0可能無實數解
解析： 　∵函數 f （ x ）的圖象在（－1，3）上未必連續，故盡管
有 f （－1） f （3）＜0，但方程 f （ x ）＝0在（－1，3）上可能無
實數解.
4. 函數 f （ x ）＝（ x －1）（ x2＋3 x －10）的零點有 個.
解析：∵ f （ x ）＝（ x －1）（ x2＋3 x －10）＝（ x －1）·（ x ＋
5）（ x －2），∴由 f （ x ）＝0得 x ＝－5或 x ＝1或 x ＝2.
3　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 函數 f （ x ）＝lg｜ x ｜的零點是（　?。?br/>A. （1，0） B. （1，0）和（－1，0）
C. 1 D. 1和－1
解析： 　函數 f （ x ）的定義域為{ x ｜ x ≠0}，令 f （ x ）＝0，則
lg｜ x ｜＝0，解得 x ＝±1，即函數 f （ x ）的零點是1和－1.
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2. 函數 f （ x ）＝2 x －3的零點所在的區間是（　?。?br/>A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析： 　因為 f （1）＝2－3＝－1＜0， f （2）＝4－3＝1＞0，所
以 f （1）· f （2）＜0，即 f （ x ）的零點所在的區間為（1，2）.
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3. 函數 f （ x ）＝2 x － － a 的一個零點在區間（1，2）內，則實數 a
的取值范圍是（　?。?br/>A. （1，3） B. （1，2）
C. （0，3） D. （0，2）
解析： 　由條件可知 f （1） f （2）＜0，即（2－2－ a ）（4－1－
a ）＜0，即 a （ a －3）＜0，解得0＜ a ＜3.故選C.
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4. 已知函數 f （ x ）的圖象是連續不斷的，有如下 x ， f （ x ）的對應
值表：
x 1 2 3 4 5 6
f （ x ） 15 10 －7 6 －4 －5
則函數 f （ x ）在區間[1，6]上的零點至少有（　?。?br/>A. 2個 B. 3個
C. 4個 D. 5個
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解析： 　由題表可知 f （2）· f （3）＜0， f （3）· f （4）＜0， f
（4）· f （5）＜0，又函數 f （ x ）的圖象是連續不斷的，故 f （ x ）
在區間[1，6]上至少有3個零點.
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5. （多選）下列函數存在零點的是（　　）
A. y ＝ x －
B. y ＝
C. y ＝log ax2（ a ＞0且 a ≠1）
D. y ＝
解析： 　令 y ＝0，得選項A和C中的函數的零點均為1和－1；
選項B中函數的零點為－ 和1；只有選項D中函數無零點.
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6. （多選）下列說法中正確的是（　?。?br/>A. 函數 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－2，0]的零點為（－1，0）
B. 函數 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－2，0]的零點為－1
C. 函數 f （ x ）的零點，即函數 f （ x ）的圖象與 x 軸的交點
D. 函數 f （ x ）的零點，即函數 f （ x ）的圖象與 x 軸的交點的橫坐標
解析： 　根據函數零點的定義，可知 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－
2，0]的零點為－1，即函數 f （ x ）的圖象與 x 軸的交點的橫坐標.
因此B、D正確.
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7. 請寫出同時滿足以下條件的一個函數：
.
①該函數的定義域是R，且其圖象是一條連續不斷的曲線；
②該函數是偶函數；
③該函數恰有2個零點.
解析：因為函數為定義在R上的偶函數，且恰有兩個零點，故可取
f （ x ）＝ x2－1（答案不唯一）.
f （ x ）＝ x2－1（答案不唯
一）　
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8. 函數 f （ x ）＝｜ x －2｜－ln x 的零點的個數為 .
解析：由題意知，函數 f （ x ）的定義域為（0，
＋∞），函數 f （ x ）在（0，＋∞）內的零點就
是方程｜ x －2｜－ln x ＝0的根.令 y1＝｜ x －
2｜， y2＝ln x （ x ＞0），在同一平面直角坐標
系中畫出兩個函數的圖象如圖所示，由圖知，兩個函數圖象有兩個交點，故方程｜ x －2｜－ln x ＝0有2個根，即對應函數有2個零點.
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9. 函數 f （ x ）＝9 x －3 x＋1－10的零點為 .
解析：由 f （ x ）＝9 x －3 x＋1－10＝0得（3 x ）2－3·3 x －10＝0，即
（3 x ＋2）（3 x －5）＝0，∵3 x ＞0，∴3 x －5＝0，解得 x ＝log35，
即函數零點為log35.
log35　
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10. 判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出其零點：
（1） f （ x ）＝－ x2＋2 x －1；
解： 令－ x2＋2 x －1＝0，解得 x ＝1，
所以函數 f （ x ）＝－ x2＋2 x －1的零點為1.
（2） f （ x ）＝ x4－ x2；
解： 令 x4－ x2＝0，即 x2（ x －1）（ x ＋1）＝0，
解得 x ＝0或 x ＝1或 x ＝－1，
故函數 f （ x ）＝ x4－ x2的零點為0，－1和1.
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（3） f （ x ）＝4 x ＋5；
解： 令4 x ＋5＝0，則4 x ＝－5，
因為4 x ＞0，－5＜0，所以方程4 x ＋5＝0無實數解.
所以函數 f （ x ）＝4 x ＋5不存在零點.
（4） f （ x ）＝log3（ x ＋1）.
解： 令log3（ x ＋1）＝0，解得 x ＝0，
所以函數 f （ x ）＝log3（ x ＋1）的零點為0.
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11. 若函數 f （ x ）在定義域{ x ｜ x ∈R且 x ≠0}上是偶函數，且在
（0，＋∞）上單調遞減， f （2）＝0，則函數 f （ x ）的零點
（　?。?br/>A. 只有一個 B. 只有兩個
C. 至少有兩個 D. 無法判斷
解析： 　因為 f （ x ）在（0，＋∞）上單調遞減， f （2）＝0，
所以 f （ x ）在（0，＋∞）上有且僅有一個零點2.又 f （ x ）是偶
函數，所以 f （ x ）在（－∞，0）上有且僅有一個零點－2.故函
數 f （ x ）只有兩個零點－2和2.
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12. （多選）已知定義域和值域均為[－ a ， a ]（ a ＞0）的函數 y ＝ f
（ x ）和 y ＝ g （ x ）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（?。?br/>A. 方程 f [ g （ x ）]＝0有且僅有三個解
B. 方程 g [ f （ x ）]＝0有且僅有三個解
C. 方程 f [ f （ x ）]＝0有且僅有九個解
D. 方程 g [ g （ x ）]＝0有且僅有一個解
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解析： 　設 f （ x ）的零點為 x1， x2， x3，且 x1＜ x2＜ x3.由 f [ g
（ x ）]＝0，得 g （ x ）＝ x1或 g （ x ）＝ x2或 g （ x ）＝ x3.由 g
（ x ）的圖象可知滿足條件的 x 的值有三個.故方程 f [ g （ x ）]＝0
有且僅有三個解，故A正確；同理， f [ f （ x ）]＝0最多有九個
解，故C錯誤；因為 g （ x ）＝0有一個解，又 g （ x ）每個對應的
值只有一個相應的解，故 g [ g （ x ）]＝0有且僅有一個解，而 g [ f
（ x ）]＝0最多有三個解，故B錯誤，D正確.
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13. 已知函數 f （ x ）＝3 x ＋ x ， g （ x ）＝log3 x ＋2， h （ x ）＝log3 x
＋ x 的零點依次為 a ， b ， c ，則 a ， b ， c 的大小關系是
.（用“＜”連接）
解析：畫出函數 y ＝3 x ， y ＝log3 x ， y ＝－
x ， y ＝－2的圖象，如圖所示，觀察圖象可
知，函數 f （ x ）＝3 x ＋ x ， g （ x ）＝log3 x
＋2， h （ x ）＝log3 x ＋ x 的零點依次是點
A ， B ， C 的橫坐標，由圖象可知 a ＜ b ＜
c .
a ＜ b ＜
c 　
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14. 已知函數 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 的零點是－1和2，判斷函數 g （ x ）
＝ ax3＋ bx ＋4的零點所在的大致區間.
解：∵－1和2是函數 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 的零點，
∴－1和2是 x2＋ ax ＋ b ＝0的兩個實數解，
∴－1＋2＝－ a ，－1×2＝ b ，即 a ＝－1， b ＝－2.
∴ g （ x ）＝－ x3－2 x ＋4.
∵ g （1）＝1， g （2）＝－8， g （1） g （2）＜0，
∴ g （ x ）在區間（1，2）內有零點.
又∵ g （ x ）在R上是單調函數，
∴ g （ x ）只有一個零點.
綜上可知，函數 g （ x ）的零點所在的大致區間為（1，2）.
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15. 已知函數 f （ x ）＝2 a ·4 x －2 x －1.
（1）當 a ＝1時，求函數 f （ x ）的零點；
解： 當 a ＝1時， f （ x ）＝2·4 x －2 x －1.
令 f （ x ）＝0，即2·（2 x ）2－2 x －1＝0，
解得2 x ＝1或2 x ＝－ （舍去）.∴ x ＝0，
∴函數 f （ x ）的零點為0.
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（2）若 f （ x ）有零點，求 a 的取值范圍.
解： 若 f （ x ）有零點，則方程2 a ·4 x －2 x －1＝0有
解，于是2 a ＝ ＝（ ） x ＋（ ） x ，
令（ ） x ＝ t ，則 g （ t ）＝ t ＋ t2＝（ t ＋ ）2－ .
∵ t ＞0，∴ g （ t ）在（0，＋∞）上單調遞增，其值域為
（0，＋∞），
∴2 a ＞0，∴ a ＞0，即 a 的取值范圍是（0，＋∞）.
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