資源簡介

8.1.2　用二分法求方程的近似解
1.下列函數圖象中，不能用二分法求函數零點的是（　?。?br/>2.用二分法求函數f（x）＝x3＋5的零點可以取的初始區間是（　?。?br/>A.（－2，－1） B.（－1，0）
C.（0，1） D.（1，2）
3.用二分法求函數f（x）在（a，b）內的唯一零點時，若精確到0.01，則下列有根區間正確的是（　?。?br/>A.（0.835，0.846）
B.（1.478，1.501）
C.（3.487 5，3.490 3）
D.（10.325，10.436）
4.[x]表示不超過x的最大整數，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，則[x0]＝（　?。?br/>A.2 B.3
C.4 D.5
5.（多選）在用二分法求函數f（x）零點近似值時，第一次取的區間是[－2，4]，則第三次所取的區間可能是（　?。?br/>A.[1，4] B.[－2，1]
C.[1，2.5] D.[－0.5，1]
6.（多選）函數f（x）＝lox＋x－4的零點所在的區間可以為（　?。?br/>A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，4） D.（4，8）
7.用二分法求方程x3－2x－5＝0在區間（2，4）上的實數根時，取中點x1＝3，則下一個有根區間是　　　　.
8.求函數f（x）＝x3－x－1在區間（1，1.5）內的一個零點（精確到0.1），用“二分法”逐次計算列表如下：
端（中）點的值 中點函數值符號 零點所在區間
（1，1.5）
1.25 f（1.25）＜0 （1.25，1.5）
1.375 f（1.375）＞0 （1.25，1.375）
1.312 5 f（1.312 5）＜0 （1.312 5，1.375）
1.343 75 f（1.343 75）＞0 （1.312 5，1.343 75）
則函數零點的近似值為　　　　.
9.在12枚嶄新的硬幣中，有一枚外表與真幣完全相同的假幣（質量小一點），現在只有一臺天平，則應用二分法的思想，最多稱　　　　次就可以發現假幣.
10.已知函數f（x）＝3x＋在（－1，＋∞）上單調遞增，用二分法求方程f（x）＝0的正根（精確到0.1）.
11.若函數f（x）的零點與函數g（x）＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f（x）＝（　?。?br/>A.4x－1 B.log3（2－x）
C.3x－1 D.2x－3
12.已知定義在區間[a，b]上的增函數f（x），在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在區間為[a，b]，［a，］，［a＋，］，又f（）＝0，則函數f（x）的零點為（　?。?br/>A.－ B.－
C.－ D.－
13.已知y＝x（x－1）（x＋1）的圖象如圖所示，今考慮f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋0.01，則方程f（x）＝0：
①有三個實根；②當x＜－1時，恰有一實根（有一實根且僅有一實根）；③當－1＜x＜0時，恰有一實根；④當0＜x＜1時，恰有一實根；⑤當x＞1時，恰有一實根.
正確的有　　　　.（填序號）
14.已知函數f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，證明a＞0，并利用二分法證明方程f（x）＝0在區間[0，1]內有兩個實根.
15.判斷方程2x3－6x2＋3＝0是否有解？如果有解，有幾個解，且全部解的和為多少（精確到0.01）？
8.1.2　用二分法求方程的近似解
1.D　根據函數零點存在定理，對于D，在零點的左右附近，函數值不改變符號，所以不能用二分法求函數零點，故選D.
2.A　f（－2）f（－1）＝－12＜0，所以可以取的初始區間是（－2，－1）.故選A.
3.C　A選項，0.835精確到0.01的近似值為0.84，0.846精確到0.01的近似值為0.85，故A錯誤；B選項，1.478精確到0.01的近似值為1.48，1.501精確到0.01的近似值為1.50，故B錯誤；C選項，3.487 5精確到0.01的近似值為3.49，3.490 3精確到0.01的近似值為3.49，故C正確；D選項，10.325精確到0.01的近似值為10.33，10.436精確到0.01的近似值為10.44，故D錯誤.故選C.
4.C　令f（x）＝ln x＋3x－15.當x＝4時，f（4）＝ln 4＋3×4－15＜0，當x＝5時，f（5）＝ln 5＋3×5－15＞0，即f（4）f（5）＜0，∴f（x）在（4，5）上有零點即方程ln x＋3x－15＝0有根.∴[x0]＝4.故選C.
5.CD　因第一次所取的區間是[－2，4]，所以第二次所取的區間可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的區間可能為[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，故選C、D.
6.AD　設y1＝lox，y2＝4－x，則f（x）的零點個數即y1與y2的交點個數，作出兩函數圖象，如圖，由圖知，y1與y2在區間（0，1）內有一個交點，又當x＝4時，f（4）＝－2＜0，當x＝8時，f（8）＝1＞0，所以在（4，8）內兩曲線又有一個交點.故函數f（x）的兩零點所在的區間為（0，1），（4，8）.
7.（2，3）　解析：設函數f（x）＝x3－2x－5，∵f（2）＝－1＜0，f（3）＝16＞0，f（4）＝51＞0，∴下一個有根區間是（2，3）.
8.1.3　解析：由表可知，1.312 5和1.343 75精確到0.1的近似值都是1.3，∴函數零點的近似值為1.3.
9.3　解析：將12枚硬幣平均分成兩份，放在天平上，假幣在輕的那6枚硬幣里面；將這6枚平均分成兩份，則假幣一定在輕的那3枚硬幣里面；將這3枚硬幣任拿出2枚放在天平上，若平衡，則剩下的那一枚即是假幣；若不平衡，則輕的那一枚即是假幣，依據上述分析，最多稱3次就可以發現這枚假幣.
10.解：由于函數f（x）＝3x＋在（－1，＋∞）上單調遞增，故在（0，＋∞）上也單調遞增，
因此f（x）＝0的正根最多有一個.
因為f（0）＝－1＜0，f（1）＝＞0，
所以方程的正根在（0，1）內，?。?，1）為初始區間，用二分法逐次計算，列出下表：
區間 中點值 中點函數近似值
（0，1） 0.5 0.732
（0，0.5） 0.25 －0.084
（0.25，0.5） 0.375 0.328
（0.25，0.375） 0.312 5 0.124
（0.25，0.312 5）
∵0.25與0.312 5精確到0.1的近似值都為0.3，∴f（x）＝0的正根約為0.3.
11.A　對A，f（x）＝4x－1的零點為；對B，f（x）＝log3（2－x）的零點為1；對C，f（x）＝3x－1的零點為0；對D，f（x）＝2x－3的零點為；g（0）＝40－2＝－1＜0，g（）＝＋2×－2＝1＞0，g（0）g（）＜0，故g（x）零點在（0，）之間，再用二分法，取x＝，g（）＝＋2×－2＝－＜0，g（）g（）＜0，故g（x）的零點x∈（，），由題f（x），g（x）的零點之差的絕對值不超過0.25，則只有f（x）＝4x－1的零點符合.故選A.
12.C　由題意得，f（a）＜0，f（b）＞0，又a＋＞a恒成立，則解得∵f（）＝0，∴f（x）的零點為＝－.故選C.
13.①②　解析：由y＝x（x－1）（x＋1）的圖象可知，f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋0.01與x軸有三個交點，對應f（x）＝0有三個實根，①正確；∵f（－2）＝（－2）×（－3）×（－1）＋0.01＝－5.99＜0，f（－1）＝0.01＞0，即f（－2）f（－1）＜0，∴在（－2，－1）內有一個實根，結合圖象（圖略）可知，方程在（－∞，－1）上恰有一個實根，②正確；又∵f（0）＝0.01＞0，結合圖象可知f（x）＝0在（－1，0）上沒有實數根，③不正確；又∵f（0.5）＝0.5×（－0.5）×1.5＋0.01＝－0.365＜0，f（1）＝0.01＞0，即f（0.5）f（1）＜0，∴f（x）＝0在（0.5，1）上必有一實根，且f（0）f（0.5）＜0，∴f（x）＝0在（0，0.5）上也有一個實根.∴f（x）＝0在（0，1）上有兩個實根，④不正確；由f（1）＞0結合圖象知，f（x）＝0在（1，＋∞）上沒有實根，⑤不正確.
14.證明：∵f（1）＞0，∴f（1）＝3a＋2b＋c＞0，
即3（a＋b＋c）－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c＞0，
∴－b－c＞c，即a＞c.
∵f（0）＞0，∴f（0）＝c＞0，∴a＞0.
取區間[0，1]的中點，
則f（）＝a＋b＋c＝a＋（－a）＝－a＜0.
∵f（0）＞0，f（1）＞0，
∴函數f（x）在區間和上各有一個零點.
又f（x）為二次函數，最多有兩個零點，
∴f（x）＝0在[0，1]內有兩個實根.
15.解：設函數f（x）＝2x3－6x2＋3.
∵f（－1）＝－5＜0，f（0）＝3＞0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝－5＜0，f（3）＝3＞0，且函數f（x）＝2x3－6x2＋3的圖象是一條連續的曲線，
∴函數f（x）＝2x3－6x2＋3在區間（－1，0），（0，1），（2，3）上分別有一個零點，
∴方程2x3－6x2＋3＝0有3個實數解.
∵f（－1）f（0）＜0，∴函數f（x）在區間（－1，0）內有一個零點x0.
取區間（－1，0）的中點x1＝－0.5，用計算器計算得f（－0.5）＝1.25＞0.
∵f（－1）f（－0.5）＜0，∴x0∈（－1，－0.5）.
再?。ǎ?，－0.5）的中點x2＝－0.75，用計算器計算得f（－0.75）＝－1.218 75＜0，
∵f（－0.75）f（－0.5）＜0，
∴x0∈（－0.75，－0.5）.
同理可得，x0∈（－0.75，－0.625），
x0∈（－0.687 5，－0.625），
x0∈（－0.656 25，－0.625），
x0∈（－0.656 25，－0.640 625），
x0∈（－0.648 437 5，－0.640 625），
x0∈（－0.644 531 25，－0.640 625）.
∵－0.644 531 25和－0.640 625精確到0.01的近似值都是－0.64，
∴方程2x3－6x2＋3＝0在區間（－1，0）內的近似解為－0.64.
同理，可求得方程2x3－6x2＋3＝0在區間（0，1）和（2，3）內的近似解分別為0.83，2.81.
∴方程2x3－6x2＋3＝0的3個解的和為－0.64＋0.83＋2.81＝3.
2 / 28.1.2　用二分法求方程的近似解
新課程標準解讀 核心素養
1.探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖 數學抽象
2.能借助計算工具用二分法求方程的近似解 數學運算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性 數學運算、邏輯推理
　　某電視娛樂節目中，有一種有趣的“猜數”游戲：競猜者如在規定的時間內猜出某種商品的價格（或重量），就可獲得該件商品.現有一商品，價格在0～4 000元之間.
【問題】　采取怎樣的策略才能在較短的時間內說出正確的答案呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　二分法
1.二分法的概念
條件 （1）函數y＝f（x）的圖象在區間[a，b]上連續不斷； （2）在區間端點的函數值滿足f（a）f（b）＜0
方法 不斷地把函數y＝f（x）的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值
提醒　用二分法只能求變號零點，即零點左右兩側的函數值的符號相反，比如y＝x2，該函數有零點為0，但不能用二分法求解.
2.用二分法求方程的一個近似解的操作流程
在以上操作過程中，如果存在c，使得f（c）＝0，那么c就是方程f（x）＝0的一個精確解.
提醒　二分法求函數零點近似值口訣
定區間，找中點，中值計算兩邊看；
同號去，異號算，零點落在異號間；
周而復始怎么辦？精確度上來判斷.
1.下列函數圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是（　　）
2.（多選）下列說法中，正確的是（　?。?br/>A.要用二分法，必須先確定零點所在區間
B.函數f（x）＝｜x｜不能用二分法求其零點
C.二分法可求所有函數的近似零點
D.二分法所求出的方程的解都是近似解
3.用二分法研究函數f（x）＝x3＋3x－1的零點時，第一次經計算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一個零點x0∈　　　　，第二次應計算　　　　.
　　
題型一 二分法概念的理解
【例1】?。?）已知函數f（x）的圖象如圖所示，其中零點的個數與可以用二分法求解的個數分別為（　?。?br/>A.4，4　　　　　　　　B.3，4
C.5，4 D.4，3
（2）（多選）下列函數中，能用二分法求函數零點的有（　?。?br/>A.f（x）＝3x－1
B.f（x）＝x2－2x＋1
C.f（x）＝4x
D.f（x）＝ex－2
通性通法
運用二分法求函數零點的適用條件
（1）函數圖象在零點附近連續不斷；
（2）零點為變號零點，即在該零點左右函數值異號.
只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數零點.
【跟蹤訓練】
　用二分法求方程ln x－2＋x＝0在區間[1，2]上零點的近似值，先取區間中點c＝，則下一個含根的區間是　　　　.
題型二 用二分法求函數的零點
【例2】　已知函數f（x）＝2x3－x2－3x＋1.
（1）求證：f（x）在區間（1，2）上存在零點；
（2）若f（x）的一個正數零點附近的函數近似值如表格所示，請利用二分法計算f（x）＝0的一個近似解（精確到0.1）.
f（1）＝－1 f（1.5）＝1 f（1.25）＝－0.406 25
f（1.375）≈0.183 59 f（1.312 5）≈－0.138 18 f（1.343 75）≈0.015 81
通性通法
用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則
（1）需依據圖象估計零點所在的初始區間[m，n]（一般采用估計值的方法完成）；
（2）取區間端點的中點c，計算f（c），確定有解區間是（m，c）還是（c，n），逐步縮小區間的“長度”，直到區間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數零點的近似值.
【跟蹤訓練】
證明函數f（x）＝2x＋3x－6在區間[1，2]內有唯一零點，并求出這個零點（精確到0.1，參考數據：21.5≈2.83，21.25≈2.38，21.125≈2.18，21.187 5≈2.28，21.218 75≈2.33，21.234 375≈2.35）.
題型三 用二分法求方程的近似解
【例3】　用二分法求方程2x＝4－x的近似解（精確到0.1）.
附參考數據：
x 1.125 1.25 1.375 1.437 5
2x 2.18 2.38 2.59 2.71
x 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.83 3.08 3.36 3.67
通性通法
用二分法求方程的近似解應明確兩點
（1）根據函數的零點與相應方程的解的關系，求方程的近似解與求相應函數的零點是等價的.求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函數零點近似值的步驟求解；
（2）對于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通過移項轉化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數零點近似值的步驟求解.
【跟蹤訓練】
求方程lg x＝（）x－1的近似解.（精確到0.1）
1.設f（x）＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在（2，3）內近似解的過程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，則方程的根落在區間（　?。?br/>A.（2，2.25） B.（2.25，2.5）
C.（2.5，2.75） D.（2.75，3）
2.某同學求函數f（x）＝ln x＋2x－5的零點時，用計算器算得部分函數值如表所示：
f（2）≈－0.307 f（3）≈2.099 f（2.5）≈0.916
f（2.25）≈0.311 f（2.125）≈0.004 f（2.062 5）≈－0.151
則方程ln x＋2x－5＝0的近似解（精確到0.1）可取為（　?。?br/>A.2.5 B.2.3
C.2.1 D.2.2
3.函數f（x）＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法求出，則a，b的關系是　　　　.
8.1.2　用二分法求方程的近似解
【基礎知識·重落實】
知識點
2.零點　
自我診斷
1.C　只有選項C中零點左右的函數值符號相反，且函數的圖象連續不斷，可以利用二分法求解.
2.AB　A中，要用二分法，必須先確定零點所在區間，故A正確；B中，對于函數f（x）＝｜x｜，不存在區間（a，b），使f（a）f（b）＜0，所以不能用二分法求其零點，故B正確；C中，當零點左右兩側附近函數值同號時，不能用二分法求函數的近似零點，故C錯誤；D中，二分法求出的解也有精確解，如f（x）＝x－1在（0，2）上用二分法求解時，中點為x＝1，而f（1）＝0，故D錯誤.故選A、B.
3.（0，0.5）　f（0.25）　解析：二分法要不斷地取區間的中點值進行計算.由f（0）＜0，f（0.5）＞0知x0∈（0，0.5）.再計算0與0.5的中點0.25的函數值，以判斷x0的更準確位置.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）D?。?）ACD　解析：（1）圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數為4；左右函數值異號的零點有3個，所以可以用二分法求解的個數為3，故選D.
（2）f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，f（1）＝0，當x＜1時，f（x）＞0；當x＞1時，f（x）＞0，在零點兩側函數值同號，不能用二分法求零點，其余選項中函數的零點兩側的函數值異號.故選A、C、D.
跟蹤訓練
　　解析：令f（x）＝ln x－2＋x，∵f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln 2＞0，f＝ln －＜0，∴下一個含根的區間是.
【例2】　解：（1）證明：∵f（x）＝2x3－x2－3x＋1，
∴f（1）＝－1＜0，f（2）＝7＞0，∴f（1）·f（2）＝－7＜0，且f（x）＝2x3－x2－3x＋1在（1，2）內連續，
∴f（x）在區間（1，2）上存在零點.
（2）由（1）知，f（x）＝2x3－x2－3x＋1在（1，2）內存在零點，
由表知，f（1）＝－1，f（1.5）＝1，
∴f（1）f（1.5）＜0，∴f（x）的零點在（1，1.5）上.
∵f（1.25）＜0，∴f（1.25）f（1.5）＜0，
∴f（x）的零點在（1.25，1.5）上.
∵f（1.375）＞0，
∴f（1.25）f（1.375）＜0，
∴f（x）的零點在（1.25，1.375）上.
∵f（1.312 5）＜0，∴f（1.312 5）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零點在（1.312 5，1.375）上.
∵f（1.343 75）＞0，∴f（1.312 5）·f（1.343 75）＜0，∴f（x）的零點在（1.312 5，1.343 75）上.
∵1.312 5與1.343 75精確到0.1的近似值都是1.3，
∴f（x）＝0的一個精確到0.1的近似解是1.3.
跟蹤訓練
　解：易知f（1）＝－1＜0，f（2）＝4＞0，函數f（x）在[1，2]上單調遞增，所以函數f（x）在區間[1，2]內有唯一零點，不妨設為x0，則x0∈（1，2）.然后用二分法求解，如下表所示.
（a，b） （a，b）的中點 f（a）的符號 f（b）的符號 f（）的符號
（1，2） 1.5 f（1）＜0 f（2）＞0 f（1.5）＞0
（1，1.5） 1.25 f（1）＜0 f（1.5）＞0 f（1.25）＞0
（1，1.25） 1.125 f（1）＜0 f（1.25）＞0 f（1.125）＜0
（1.125，1.25） 1.187 5 f（1.125）＜0 f（1.25）＞0 f（1.187 5）＜0
（1.187 5，1.25） 1.218 75 f（1.875）＜0 f（1.25）＞0 f（1.218 75）＜0
（1.218 75，1.25） 1.234 375 f（1.218 75）＜0 f（1.25）＞0 f（1.234 375）＞0
∵1.218 75與1.234 375精確到0.1的近似值都是1.2，∴f（x）＝0的一個精確到0.1的近似解是1.2.
【例3】　解：在同一平面直角坐標系中分別畫出函數y＝2x，y＝4－x的圖象，如圖所示.
方程2x＝4－x的解就是兩函數圖象交點的橫坐標.
由圖象可得，方程2x＝4－x有唯一解，記為x0，并且這個解在區間（1，2）上.
設f（x）＝2x＋x－4，則f（1）＝2＋1－4＜0，f（2）＝22＋2－4＞0.
區間 區間中點值xn f（xn）的值及符號
（1，2） x1＝1.5 f（x1）＝0.33＞0
（1，1.5） x2＝1.25 f（x2）＝－0.37＜0
（1.25，1.5） x3＝1.375 f（x3）＝－0.035＜0
（1.375，1.5） x4＝1.437 5 f（x4）＝0.147 5＞0
∵1.375與1.437 5精確到0.1的近似值都為1.4，
∴方程2x＝4－x的近似解為1.4.
跟蹤訓練
　解：如圖所示，
由函數y＝lg x和y＝（）x－1的圖象可知，方程lg x＝（）x－1有唯一實數解，且在區間（0，1）內.
設f（x）＝lg x－（）x＋1，則f（1）＝＞0，用計算器計算，列表如下：
區間 中點的值 中點函數值（近似值）
（0，1） 0.5 －0.008 1
（0.5，1） 0.75 0.280 5
（0.5，0.75） 0.625 0.147 5
（0.5，0.625） 0.562 5 0.073 0
（0.5，0.562 5） 0.531 25 0.033 3
∵0.5與0.531 25精確到0.1的近似值都是0.5，∴方程的近似解為0.5.
隨堂檢測
1.C　因為f（2.5）＜0，f（2.75）＞0，由函數零點存在定理知，方程的根在區間（2.5，2.75）內，故選C.
2.C　由表格可知，因為2.125和2.062 5精確到0.1的近似值都是2.1，所以方程的近似解為2.1.
3.a2＝4b　解析：∵函數f（x）＝x2＋ax＋b有零點，但不能用二分法，∴函數f（x）＝x2＋ax＋b圖象與x軸相切.∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
2 / 4(共62張PPT)
8.1.2　
用二分法求方程的近似解
新課程標準解讀 核心素養
1.探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框
圖 數學抽象
2.能借助計算工具用二分法求方程的近似解 數學運算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性 數學運算、邏
輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　某電視娛樂節目中，有一種有趣的“猜數”游戲：競猜者如在規
定的時間內猜出某種商品的價格（或重量），就可獲得該件商品.現
有一商品，價格在0～4 000元之間.
【問題】　采取怎樣的策略才能在較短的時間內說出正確的答案呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　二分法
1. 二分法的概念
條
件 （1）函數 y ＝ f （ x ）的圖象在區間[ a ， b ]上連續不斷；
（2）在區間端點的函數值滿足 f （ a ） f （ b ）＜0
方
法 不斷地把函數 y ＝ f （ x ）的零點所在的區間一分為二，使區間的
兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值
提醒　用二分法只能求變號零點，即零點左右兩側的函數值的符號
相反，比如 y ＝ x2，該函數有零點為0，但不能用二分法求解.
2. 用二分法求方程的一個近似解的操作流程
在以上操作過程中，如果存在 c ，使得 f （ c ）＝0，那么 c 就是方
程 f （ x ）＝0的一個精確解.
提醒　二分法求函數零點近似值口訣
定區間，找中點，中值計算兩邊看；
同號去，異號算，零點落在異號間；
周而復始怎么辦？精確度上來判斷.
1. 下列函數圖象與 x 軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是
（　　）
解析： 　只有選項C中零點左右的函數值符號相反，且函數的圖
象連續不斷，可以利用二分法求解.
2. （多選）下列說法中，正確的是（　?。?br/>A. 要用二分法，必須先確定零點所在區間
B. 函數 f （ x ）＝｜ x ｜不能用二分法求其零點
C. 二分法可求所有函數的近似零點
D. 二分法所求出的方程的解都是近似解
解析： 　A中，要用二分法，必須先確定零點所在區間，故A正
確；B中，對于函數 f （ x ）＝｜ x ｜，不存在區間（ a ， b ），使 f
（ a ） f （ b ）＜0，所以不能用二分法求其零點，故B正確；C中，
當零點左右兩側附近函數值同號時，不能用二分法求函數的近似零
點，故C錯誤；D中，二分法求出的解也有精確解，如 f （ x ）＝ x
－1在（0，2）上用二分法求解時，中點為 x ＝1，而 f （1）＝0，
故D錯誤.故選A、B.
3. 用二分法研究函數 f （ x ）＝ x3＋3 x －1的零點時，第一次經計算得
f （0）＜0， f （0.5）＞0，可得其中一個零點 x0∈ ，
第二次應計算 .
解析：二分法要不斷地取區間的中點值進行計算.由 f （0）＜0， f
（0.5）＞0知 x0∈（0，0.5）.再計算0與0.5的中點0.25的函數
值，以判斷 x0的更準確位置.
（0，0.5）　
f （0.25）　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 二分法概念的理解
【例1】?。?）已知函數 f （ x ）的圖象如圖所示，其中零點的個
數與可以用二分法求解的個數分別為（　D　）
A. 4，4 B. 3，4
C. 5，4 D. 4，3
D
解析：圖象與 x 軸有4個交點，所以零點的個數為4；左右函數值異
號的零點有3個，所以可以用二分法求解的個數為3，故選D.
（2）（多選）下列函數中，能用二分法求函數零點的有
（　ACD　）
A. f （ x ）＝3 x －1 B. f （ x ）＝ x2－2 x ＋1
C. f （ x ）＝4 x D. f （ x ）＝e x －2
解析： f （ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x －1）2， f （1）＝0，當 x
＜1時， f （ x ）＞0；當 x ＞1時， f （ x ）＞0，在零點兩側函
數值同號，不能用二分法求零點，其余選項中函數的零點兩
側的函數值異號.故選A、C、D.
ACD
通性通法
運用二分法求函數零點的適用條件
（1）函數圖象在零點附近連續不斷；
（2）零點為變號零點，即在該零點左右函數值異號.
只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數零點.
【跟蹤訓練】
用二分法求方程ln x －2＋ x ＝0在區間[1，2]上零點的近似值，先取區
間中點 c ＝ ，則下一個含根的區間是 　 　.
解析：令 f （ x ）＝ln x －2＋ x ，∵ f （1）＝－1＜0， f （2）＝ln 2＞
0， f ＝ln － ＜0，∴下一個含根的區間是 .
　
題型二 用二分法求函數的零點
【例2】　已知函數 f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1.
（1）求證： f （ x ）在區間（1，2）上存在零點；
解：證明：∵ f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1，
∴ f （1）＝－1＜0， f （2）＝7＞0，∴ f （1） f （2）＝－7＜
0，且 f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1在（1，2）內連續，
∴ f （ x ）在區間（1，2）上存在零點.
（2）若 f （ x ）的一個正數零點附近的函數近似值如表格所示，請利
用二分法計算 f （ x ）＝0的一個近似解（精確到0.1）.
f （1）＝－1 f （1.5）＝1 f （1.25）＝－0.406
25
f （1.375）≈0.183 59 f （1.312 5）≈－
0.138 18 f （1.343 75）≈0.015
81
解：由（1）知， f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1在（1，2）內存
在零點，
由表知， f （1）＝－1， f （1.5）＝1，
∴ f （1） f （1.5）＜0，∴ f （ x ）的零點在（1，1.5）上.
∵ f （1.25）＜0，∴ f （1.25） f （1.5）＜0，
∴ f （ x ）的零點在（1.25，1.5）上.
∵ f （1.375）＞0，∴ f （1.25） f （1.375）＜0，
∴ f （ x ）的零點在（1.25，1.375）上.
∵ f （1.312 5）＜0，∴ f （1.312 5） f （1.375）＜0，∴ f
（ x ）的零點在（1.312 5，1.375）上.
∵ f （1.343 75）＞0，∴ f （1.312 5） f （1.343 75）＜0，
∴ f （ x ）的零點在（1.312 5，1.343 75）上.
∵1.312 5與1.343 75精確到0.1的近似值都是1.3，
∴ f （ x ）＝0的一個精確到0.1的近似解是1.3.
通性通法
用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則
（1）需依據圖象估計零點所在的初始區間[ m ， n ]（一般采用估計值
的方法完成）；
（2）取區間端點的中點 c ，計算 f （ c ），確定有解區間是（ m ， c ）
還是（ c ， n ），逐步縮小區間的“長度”，直到區間的兩個端
點符合精確度要求，終止計算，得到函數零點的近似值.
【跟蹤訓練】
證明函數 f （ x ）＝2 x ＋3 x －6在區間[1，2]內有唯一零點，并求出這
個零點（精確到0.1，參考數據：21.5≈2.83，21.25≈2.38，
21.125≈2.18，21.187 5≈2.28，21.218 75≈2.33，21.234 375≈2.35）.
解：易知 f （1）＝－1＜0， f （2）＝4＞0，函數 f （ x ）在[1，2]上單
調遞增，所以函數 f （ x ）在區間[1，2]內有唯一零點，不妨設為 x0，
則 x0∈（1，2）.然后用二分法求解，如下表所示.
（ a ， b ） （ a ， b ）的
中點 f （ a ）的符號 f （ b ）的符號
（1，2） 1.5 f （1）＜0 f （2）＞0 f （1.5）＞0
（1，1.5） 1.25 f （1）＜0 f （1.5）＞0 f （1.25）＞0
（1，1.25） 1.125 f （1）＜0 f （1.25）＞
0 f （1.125）
＜0
（1.125，
1.25） 1.187 5 f （1.125）
＜0 f （1.25）＞
0 f （1.187
5）＜0
（1.187 5，
1.25） 1.218 75 f （1.875）
＜0 f （1.25）＞
0 f （1.218
75）＜0
（1.218
75，1.25） 1.234 375 f （1.218
75）＜0 f （1.25）＞
0 f （1.234
375）＞0
∵1.218 75與1.234 375精確到0.1的近似值都是1.2，∴ f （ x ）＝0的
一個精確到0.1的近似解是1.2.
題型三 用二分法求方程的近似解
【例3】　用二分法求方程2 x ＝4－ x 的近似解（精確到0.1）.
附參考數據：
x 1.125 1.25 1.375 1.437 5
2 x 2.18 2.38 2.59 2.71
x 1.5 1.625 1.75 1.875
2 x 2.83 3.08 3.36 3.67
解：在同一平面直角坐標系中分別畫出函數 y ＝2
x ， y ＝4－ x 的圖象，如圖所示.
方程2 x ＝4－ x 的解就是兩函數圖象交點的橫坐
標.
由圖象可得，方程2 x ＝4－ x 有唯一解，記為 x0，
并且這個解在區間（1，2）上.
設 f （ x ）＝2 x ＋ x －4，則 f （1）＝2＋1－4＜
0， f （2）＝22＋2－4＞0.
區間 區間中點值 xn f （ xn ）的值及符號
（1，2） x1＝1.5 f （ x1）＝0.33＞0
（1，1.5） x2＝1.25 f （ x2）＝－0.37＜0
（1.25，1.5） x3＝1.375 f （ x3）＝－0.035＜0
（1.375，1.5） x4＝1.437 5 f （ x4）＝0.147 5＞0
∵1.375與1.437 5精確到0.1的近似值都為1.4，
∴方程2 x ＝4－ x 的近似解為1.4.
通性通法
用二分法求方程的近似解應明確兩點
（1）根據函數的零點與相應方程的解的關系，求方程的近似解與求
相應函數的零點是等價的.求方程 f （ x ）＝0的近似解，即按照
用二分法求函數零點近似值的步驟求解；
（2）對于求形如 f （ x ）＝ g （ x ）的方程的近似解，可以通過移項轉
化成求形如 F （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）＝0的方程的近似解，然
后按照用二分法求函數零點近似值的步驟求解.
【跟蹤訓練】
求方程lg x ＝（ ） x －1的近似解.（精確到0.1）
解：如圖所示，
由函數 y ＝lg x 和 y ＝（ ） x －1的圖象可知，方程lg x ＝（ ） x －1有
唯一實數解，且在區間（0，1）內.
設 f （ x ）＝lg x －（ ） x ＋1，則 f （1）＝ ＞0，用計算器計算，列
表如下：
區間 中點的值 中點函數值（近似值）
（0，1） 0.5 －0.008 1
（0.5，1） 0.75 0.280 5
（0.5，0.75） 0.625 0.147 5
（0.5，0.625） 0.562 5 0.073 0
（0.5，0.562 5） 0.531 25 0.033 3
∵0.5與0.531 25精確到0.1的近似值都是0.5，∴方程的近似解為0.5.
1. 設 f （ x ）＝lg x ＋ x －3，用二分法求方程lg x ＋ x －3＝0在（2，
3）內近似解的過程中得 f （2.25）＜0， f （2.75）＞0， f （2.5）
＜0， f （3）＞0，則方程的根落在區間（　　）
A. （2，2.25） B. （2.25，2.5）
C. （2.5，2.75） D. （2.75，3）
解析： 　因為 f （2.5）＜0， f （2.75）＞0，由函數零點存在定
理知，方程的根在區間（2.5，2.75）內，故選C.
2. 某同學求函數 f （ x ）＝ln x ＋2 x －5的零點時，用計算器算得部分
函數值如表所示：
f （2）≈－0.307 f （3）≈2.099 f （2.5）≈0.916
f （2.25）≈0.311 f （2.125）≈0.004 f （2.062 5）≈－
0.151
則方程ln x ＋2 x －5＝0的近似解（精確到0.1）可取為（　　）
A. 2.5 B. 2.3
C. 2.1 D. 2.2
解析： 　由表格可知，因為2.125和2.062 5精確到0.1的近似值都
是2.1，所以方程的近似解為2.1.
3. 函數 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零點，但不能用二分法求出，則 a ， b
的關系是 .
解析：∵函數 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零點，但不能用二分法，
∴函數 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 圖象與 x 軸相切.∴Δ＝ a2－4 b ＝0.∴ a2
＝4 b .
a2＝4 b 　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列函數圖象中，不能用二分法求函數零點的是（　?。?br/>解析： 　根據函數零點存在定理，對于D，在零點的左右附近，
函數值不改變符號，所以不能用二分法求函數零點，故選D.
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2. 用二分法求函數 f （ x ）＝ x3＋5的零點可以取的初始區間是
（　?。?br/>A. （－2，－1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （1，2）
解析： 　 f （－2） f （－1）＝－12＜0，所以可以取的初始區間
是（－2，－1）.故選A.
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3. 用二分法求函數 f （ x ）在（ a ， b ）內的唯一零點時，若精確到
0.01，則下列有根區間正確的是（　?。?br/>A. （0.835，0.846） B. （1.478，1.501）
C. （3.487 5，3.490 3） D. （10.325，10.436）
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解析： 　A選項，0.835精確到0.01的近似值為0.84，0.846精確
到0.01的近似值為0.85，故A錯誤；B選項，1.478精確到0.01的近
似值為1.48，1.501精確到0.01的近似值為1.50，故B錯誤；C選
項，3.487 5精確到0.01的近似值為3.49，3.490 3精確到0.01的近
似值為3.49，故C正確；D選項，10.325精確到0.01的近似值為
10.33，10.436精確到0.01的近似值為10.44，故D錯誤.故選C.
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4. [ x ]表示不超過 x 的最大整數，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知
x0是方程ln x ＋3 x －15＝0的根，則[ x0]＝（　?。?br/>A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析： 　令 f （ x ）＝ln x ＋3 x －15.當 x ＝4時， f （4）＝ln 4＋
3×4－15＜0，當 x ＝5時， f （5）＝ln 5＋3×5－15＞0，即 f （4）
f （5）＜0，∴ f （ x ）在（4，5）上有零點即方程ln x ＋3 x －15＝0
有根.∴[ x0]＝4.故選C.
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5. （多選）在用二分法求函數 f （ x ）零點近似值時，第一次取的區
間是[－2，4]，則第三次所取的區間可能是（　?。?br/>A. [1，4] B. [－2，1]
C. [1，2.5] D. [－0.5，1]
解析：CD　因第一次所取的區間是[－2，4]，所以第二次所取的
區間可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的區間可能為[－2，－
0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，故選C、D.
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6. （多選）函數 f （ x ）＝lo x ＋ x －4的零點所在的區間可以為
（　　）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，4） D. （4，8）
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解析： 　設 y1＝lo x ， y2＝4－ x ，則 f
（ x ）的零點個數即 y1與 y2的交點個數，作
出兩函數圖象，如圖，由圖知， y1與 y2在區
間（0，1）內有一個交點，又當 x ＝4時， f
（4）＝－2＜0，當 x ＝8時， f （8）＝1＞0，所以在（4，8）內兩曲線又有一個交點.故函數 f （ x ）的兩零點所在的區間為（0，1），（4，8）.
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7. 用二分法求方程 x3－2 x －5＝0在區間（2，4）上的實數根時，取
中點 x1＝3，則下一個有根區間是 .
解析：設函數 f （ x ）＝ x3－2 x －5，∵ f （2）＝－1＜0， f （3）＝
16＞0， f （4）＝51＞0，∴下一個有根區間是（2，3）.
（2，3）　
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8. 求函數 f （ x ）＝ x3－ x －1在區間（1，1.5）內的一個零點（精確
到0.1），用“二分法”逐次計算列表如下：
端（中）點的值 中點函數值符號 零點所在區間
（1，1.5）
1.25 f （1.25）＜0 （1.25，1.5）
1.375 f （1.375）＞0 （1.25，1.375）
1.312 5 f （1.312 5）＜0 （1.312 5，1.375）
1.343 75 f （1.343 75）＞0 （1.312 5，1.34375）
則函數零點的近似值為 .
解析：由表可知，1.312 5和1.343 75精確到0.1的近似值都是1.3，
∴函數零點的近似值為1.3.
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9. 在12枚嶄新的硬幣中，有一枚外表與真幣完全相同的假幣（質量小
一點），現在只有一臺天平，則應用二分法的思想，最多稱 次
就可以發現假幣.
解析：將12枚硬幣平均分成兩份，放在天平上，假幣在輕的那6枚
硬幣里面；將這6枚平均分成兩份，則假幣一定在輕的那3枚硬幣里
面；將這3枚硬幣任拿出2枚放在天平上，若平衡，則剩下的那一枚
即是假幣；若不平衡，則輕的那一枚即是假幣，依據上述分析，最
多稱3次就可以發現這枚假幣.
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10. 已知函數 f （ x ）＝3 x ＋ 在（－1，＋∞）上單調遞增，用二分
法求方程 f （ x ）＝0的正根（精確到0.1）.
解：由于函數 f （ x ）＝3 x ＋ 在（－1，＋∞）上單調遞增，故
在（0，＋∞）上也單調遞增，
因此 f （ x ）＝0的正根最多有一個.
因為 f （0）＝－1＜0， f （1）＝ ＞0，
所以方程的正根在（0，1）內，取（0，1）為初始區間，用二分
法逐次計算，列出下表：
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區間 中點值 中點函數近似值
（0，1） 0.5 0.732
（0，0.5） 0.25 －0.084
（0.25，0.5） 0.375 0.328
（0.25，0.375） 0.312
5 0.124
（0.25，0.312 5）
∵0.25與0.312 5精確到0.1的近似值都為0.3，∴ f （ x ）＝0的正
根約為0.3.
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11. 若函數 f （ x ）的零點與函數 g （ x ）＝4 x ＋2 x －2的零點之差的絕
對值不超過0.25，則 f （ x ）＝（　?。?br/>A. 4 x －1 B. log3（2－ x ）
C. 3 x －1 D. 2 x －3
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解析： 　對A， f （ x ）＝4 x －1的零點為 ；對B， f （ x ）＝log3
（2－ x ）的零點為1；對C， f （ x ）＝3 x －1的零點為0；對D， f
（ x ）＝2 x －3的零點為 ； g （0）＝40－2＝－1＜0， g （ ）＝
＋2× －2＝1＞0， g （0） g （ ）＜0，故 g （ x ）零點在
（0， ）之間，再用二分法，取 x ＝ ， g （ ）＝ ＋2× －2
＝ － ＜0， g （ ） g （ ）＜0，故 g （ x ）的零點 x ∈（ ，
），由題 f （ x ）， g （ x ）的零點之差的絕對值不超過0.25，則
只有 f （ x ）＝4 x －1的零點符合.故選A.
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12. 已知定義在區間[ a ， b ]上的增函數 f （ x ），在用二分法尋找零
點的過程中，依次確定了零點所在區間為[ a ， b ]，［ a ，
］，［ a ＋ ， ］，又 f （ ）＝0，則函數 f （ x ）的
零點為（　　）
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解析： 　由題意得， f （ a ）＜0， f （ b ）＞0，又 a ＋ ＞ a 恒成
立，則解得∵ f （ ）＝0，
∴ f （ x ）的零點為 ＝－ .故選C.
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13. 已知 y ＝ x （ x －1）（ x ＋1）的圖象如圖所示，今考慮 f （ x ）＝
x （ x －1）（ x ＋1）＋0.01，則方程 f （ x ）＝0：
①有三個實根；
②當 x ＜－1時，恰有一實根（有一實根且僅有一實根）；
③當－1＜ x ＜0時，恰有一實根；
④當0＜ x ＜1時，恰有一實根；
⑤當 x ＞1時，恰有一實根.
正確的有 .（填序號）
①②　
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解析：由 y ＝ x （ x －1）（ x ＋1）的圖象可知， f （ x ）＝ x （ x －
1）（ x ＋1）＋0.01與 x 軸有三個交點，對應 f （ x ）＝0有三個實
根，①正確；∵ f （－2）＝（－2）×（－3）×（－1）＋0.01＝
－5.99＜0， f （－1）＝0.01＞0，即 f （－2） f （－1）＜0，
∴在（－2，－1）內有一個實根，結合圖象（圖略）可知，方程
在（－∞，－1）上恰有一個實根，②正確；又∵ f （0）＝0.01＞
0，結合圖象可知 f （ x ）＝0在（－1，0）上沒有實數根，③不正
確；又∵ f （0.5）＝0.5×（－0.5）×1.5＋0.01＝－0.365＜0， f （1）＝0.01＞0，即 f （0.5） f （1）＜0，∴ f （ x ）＝0在（0.5，1）上必有一實根，且 f （0） f （0.5）＜0，∴ f （ x ）＝0在（0，0.5）上也有一個實根.∴ f （ x ）＝0在（0，1）上有兩個實根，④不正確；由 f （1）＞0結合圖象知， f （ x ）＝0在（1，＋∞）上沒有實根，⑤不正確.
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14. 已知函數 f （ x ）＝3 ax2＋2 bx ＋ c ， a ＋ b ＋ c ＝0， f （0）＞0， f
（1）＞0，證明 a ＞0，并利用二分法證明方程 f （ x ）＝0在區間
[0，1]內有兩個實根.
證明：∵ f （1）＞0，∴ f （1）＝3 a ＋2 b ＋ c ＞0，
即3（ a ＋ b ＋ c ）－ b －2 c ＞0.
∵ a ＋ b ＋ c ＝0，∴ a ＝－ b － c ，－ b －2 c ＞0，
∴－ b － c ＞ c ，即 a ＞ c .
∵ f （0）＞0，∴ f （0）＝ c ＞0，∴ a ＞0.
取區間[0，1]的中點 ，
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則 f （ ）＝ a ＋ b ＋ c ＝ a ＋（－ a ）＝－ a ＜0.
∵ f （0）＞0， f （1）＞0，
∴函數 f （ x ）在區間 和 上各有一個零點.
又 f （ x ）為二次函數，最多有兩個零點，
∴ f （ x ）＝0在[0，1]內有兩個實根.
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15. 判斷方程2 x3－6 x2＋3＝0是否有解？如果有解，有幾個解，且全
部解的和為多少（精確到0.01）？
解：設函數 f （ x ）＝2 x3－6 x2＋3.
∵ f （－1）＝－5＜0， f （0）＝3＞0， f （1）＝－1＜0， f （2）
＝－5＜0， f （3）＝3＞0，且函數 f （ x ）＝2 x3－6 x2＋3的圖象
是一條連續的曲線，
∴函數 f （ x ）＝2 x3－6 x2＋3在區間（－1，0），（0，1），
（2，3）上分別有一個零點，
∴方程2 x3－6 x2＋3＝0有3個實數解.
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∵ f （－1） f （0）＜0，∴函數 f （ x ）在區間（－1，0）內有一
個零點 x0.
取區間（－1，0）的中點 x1＝－0.5，用計算器計算得 f （－0.5）
＝1.25＞0.
∵ f （－1） f （－0.5）＜0，∴ x0∈（－1，－0.5）.
再?。ǎ?，－0.5）的中點 x2＝－0.75，用計算器計算得 f （－
0.75）＝－1.218 75＜0，
∵ f （－0.75） f （－0.5）＜0，
∴ x0∈（－0.75，－0.5）.
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同理可得， x0∈（－0.75，－0.625），
x0∈（－0.687 5，－0.625），
x0∈（－0.656 25，－0.625），
x0∈（－0.656 25，－0.640 625），
x0∈（－0.648 437 5，－0.640 625），
x0∈（－0.644 531 25，－0.640 625）.
∵－0.644 531 25和－0.640 625精確到0.01的近似值都是－
0.64，
∴方程2 x3－6 x2＋3＝0在區間（－1，0）內的近似解為－0.64.
同理，可求得方程2 x3－6 x2＋3＝0在區間（0，1）和（2，3）內
的近似解分別為0.83，2.81.
∴方程2 x3－6 x2＋3＝0的3個解的和為－0.64＋0.83＋2.81＝3.
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