資源簡介

培優課　函數零點的綜合問題
1.已知2是函數f（x）＝xn－8（n為常數）的零點，且f（m）＝56，則m的值為（　?。?br/>A.－3　　　　　　　　　B.－4　　　　　　　　　C.4　　　　　　　　　　D.3
2.若函數f（x）＝mx－m＋1在區間[0，1]上無零點，則m的取值范圍為（　?。?br/>A.0＜m＜1 B.m＞1 C.m＜0 D.m＜1
3.二次函數f（x）＝x2＋（m－3）x＋2m的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，且0＜x1＜2＜x2，如圖所示，則m的取值范圍是（　?。?br/>A.m＞0 B.m＞
C.m＞5 D.0＜m＜
4.已知函數f（x）＝若函數y＝f（x）－m2有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍為（　?。?br/>A.（0，1） B.{－1，0，1} C.[0，1] D.{0，1}
5.已知a，b，c，d都是常數，a＞b，c＞d，若f（x）＝2 024－（x－a）（x－b）的零點為c，d，則下列不等式正確的是（　?。?br/>A.a＞c＞b＞d B.a＞b＞c＞d C.c＞d＞a＞b D.c＞a＞b＞d
6.（多選）已知函數f（x）＝ax－x－a（a＞0，a≠1），則下列說法中正確的是（　?。?br/>A.當a＞1時，f（x）有1個零點 B.當a＞1時，f（x）有2個零點
C.當0＜a＜1時，f（x）沒有零點 D.當0＜a＜1時，f（x）有1個零點
7.（多選）已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），分析該函數圖象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，則下列推理一定成立的是（　?。?br/>A.2＜－＜3 B.4ac－b2≤0
C.f（2）＜0 D.f（3）＜0
8.試寫出一個實數a＝　　　　，使得函數f（x）＝ax2＋4x－1在（－1，1）上恰有一個零點.
9.若函數f（x）＝3x2－5x＋a的一個零點在區間（－2，0）內，另一個零點在區間（1，3）內，則實數a的取值范圍是　　　　.
10.已知函數f（x）＝若函數g（x）＝f（x）－k有三個零點，則k的取值范圍是　　　　.
11.已知函數f（x）＝x2－bx＋3.
（1）若f（0）＝f（4），求函數f（x）的零點；
（2）若函數f（x）一個零點大于1，另一個零點小于1，求b的取值范圍.
12.已知函數f（x）＝2x－4x－m，x∈[－1，1].
（1）當m＝－2時，求函數f（x）的零點；
（2）若函數f（x）在[－1，1]上有零點，求實數m的取值范圍.
13.若在定義域內存在實數x0使f（x0＋1）＝f（x0）＋f（1）成立，則稱函數有“漂移點”x0.
（1）請判斷函數f（x）＝是否有漂移點？并說明理由；
（2）求證：函數f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移點；
（3）若函數f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移點，求實數a的取值范圍.
培優課　函數零點的綜合問題
1.C　因為2是函數f（x）＝xn－8（n為常數）的零點，所以2n＝8，得n＝3，所以f（x）＝x3－8，因為f（m）＝56，所以m3－8＝56，得m＝4，故選C.
2.D　當m＝0時，則f（x）＝1，此時f（x）無零點，符合題意；當m≠0時，令f（x）＝0，則x＝，故x＝＜0或x＝＞1，解得0＜m＜1或m＜0，綜上可知f（x）＝mx－m＋1在區間[0，1]上無零點，則m＜1，故選D.
3.D　由題意可得即解得0＜m＜.故選D.
4.B　由y＝f（x）－m2有兩個不同的零點，即方程f（x）＝m2有兩個不同的解，即函數y＝f（x）與y＝m2的圖象有兩個不同的交點，畫出函數y＝f（x）的圖象，如圖所示，結合圖象可得m2＝1或m2＝0，解m＝±1或m＝0，即m∈{－1，0，1}.故選B.
5.D　由題意設g（x）＝（x－a）（x－b），則f（x）＝2 024－g（x），且g（x）＝0的兩個根是a，b.由題意知f（x）＝0的兩根是c，d，也就是g（x）＝2 024的兩根，畫出g（x）（開口向上）及y＝2 024的大致圖象（圖略），則y＝2 024與g（x）的圖象交點的橫坐標就是c，d，g（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標就是a，b，則c，d在a，b外，又a＞b，c＞d，由圖得c＞a＞b＞d.
6.BD　在同一平面直角坐標系中作出函數y＝ax與y＝x＋a的圖象，當a＞1時，如圖①，y＝ax與y＝x＋a有2個交點，則f（x）有2個零點；當0＜a＜1時，如圖②，y＝ax與y＝x＋a有1個交點，則f（x）有1個零點.
7.CD　函數f（x）的大致圖象如圖所示，方程f（x）＝0一定有兩實數根，故Δ＝b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，故B錯誤；由圖可知，必有f（2）＜0，f（3）＜0，所以C、D一定成立；若f（x）＝x2－7x＋6，方程f（x）＝0的根為x1＝1＜2，x2＝6＞3，此時－＝，所以此時2＜－＜3不成立.故A錯誤.故選C、D.
8.1（答案不唯一）　解析：不妨取a＝1，則f（x）＝x2＋4x－1，則f（1）＝4，f（－1）＝－4，即得f（1）f（－1）＜0，又f（x）＝x2＋4x－1圖象的對稱軸為x＝－2，則f（x）在（－1，1）上單調遞增，故f（x）＝x2＋4x－1在（－1，1）上恰有一個零點.
9.（－12，0）　解析：∵f（x）＝3x2－5x＋a的一個零點在區間（－2，0）內，另一個零點在區間（1，3）內，∴即解得－12＜a＜0，故a的取值范圍為（－12，0）.
10.（－1，1）　解析：令g（x）＝f（x）－k＝0，可得f（x）＝k，作出y＝f（x）的圖象，如圖.由圖可知，當y＝k與y＝f（x）的圖象有三個不同的交點時，－1＜k＜1，所以k的取值范圍是（－1，1）.
11.解：（1）由f（0）＝f（4）得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f（x）＝x2－4x＋3，令f（x）＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f（x）的零點是1和3.
（2）因為f（x）的零點一個大于1，另一個小于1，如圖.
需f（1）＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范圍為（4，＋∞）.
12.解：（1）當m＝－2時，f（x）＝2x－4x＋2，令2x－4x＋2＝0，得2x＝2或2x＝－1舍去，解得x＝1.
∴函數的零點為1.
（2）f（x）＝2x－4x－m＝0 2x－4x＝m，
令g（x）＝2x－4x，
函數f（x）有零點等價于方程2x－4x＝m有解，等價于m在g（x）的值域內，
設t＝2x，∵x∈[－1，1]，∴t∈［，2］，
則y＝t－t2＝－（t－）2＋，當t＝時，ymax＝，當t＝2時，ymin＝－2.
∴g（x）的值域為［－2，］.
∴m的取值范圍為［－2，］.
13.解：（1）假設函數f（x）＝有“漂移點”x0，則＝＋2，
即＋x0＋1＝0，由此方程無實根，與題設矛盾，所以函數f（x）＝沒有漂移點.
（2）證明：令h（x）＝f（x＋1）－f（x）－f（1）＝（x＋1）2＋3x＋1－（x2＋3x）－4＝2×3x＋2x－3，
所以h（0）＝－1，h（1）＝5.所以h（0）h（1）＜0，
又h（x）在（0，1）上連續，所以h（x）＝0在（0，1）上至少有一個實根x0，
即函數f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移點.
（3）若f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移點x0，所以lg ＝lg ＋lg a成立，即＝·a，a＞0，
整理得a＝＝（）2，
由x0＞0，得0＜＜1，則0＜a＜1.
則實數a的取值范圍是（0，1）.
1 / 2培優課　函數零點的綜合問題
題型一 根據零點情況求參數范圍
【例1】　若f（x）＝2x（x－a）－1在（0，＋∞）內有零點，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（－∞，＋∞） B.（－2，＋∞）
C.（0，＋∞） D.（－1，＋∞）
通性通法
已知函數有零點（方程有根）求參數值（范圍）的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.
【跟蹤訓練】
1.若關于x的方程lox＝在區間（0，1）內有解，則實數m的取值范圍是（　?。?br/>A.（0，1）
B.（1，2）
C.（－∞，1）∪（2，＋∞）
D.（－∞，0）∪（1，＋∞）
2.若函數f（x）＝｜2x－2｜－b有兩個零點，則實數b的取值范圍為　　　　.
題型二 一元二次方程的根的分布問題
【例2】　已知關于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0.
（1）若方程有兩個實根，且一個比2大，一個比2小，求實數m的取值范圍；
（2）若方程有兩個實根α，β，且滿足0＜α＜1＜β＜4，求實數m的取值范圍；
（3）若方程至少有一個正根，求實數m的取值范圍.
通性通法
　　一元二次方程根的分布問題可轉化為二次函數的圖象與x軸交點的情況，先將函數草圖上下平移，確定根的個數，用判別式限制，再左右平移，確定對稱軸有無超過區間，或是根據根的正負情況，用根與系數的關系進行限制.
【跟蹤訓練】
已知關于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有兩個實數根，其中一個根在區間（－1，0）內，另一根在區間（1，2）內，求實數m的取值范圍.
題型三 分段函數的零點問題
【例3】　已知函數f（x）＝g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2個零點，則實數a的取值范圍是（　?。?br/>A.[－1，0） B.[0，＋∞）
C.[－1，＋∞） D.[1，＋∞）
通性通法
求分段函數的零點的常用方法
（1）對于較簡單的分段函數，直接分不同區間解方程，求出零點，并且檢驗是否滿足區間范圍；
（2）對于一般的分段函數，首先作出函數圖象，然后分析函數在各個區間上的零點情況，利用數形結合思想及分類討論思想判斷零點所在區間，求解零點的個數或參數范圍.
【跟蹤訓練】
1.函數f（x）＝的零點個數為（　?。?br/>A.3 B.2
C.1 D.0
2.函數f（x）＝x2－2｜x｜＋a－1有四個不同的零點，則實數a的取值范圍為　　　　.
1.函數f（x）＝的所有零點構成的集合為（　　）
A.{1}　 B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0，1}
2.函數f（x）＝3x－－a的一個零點在區間（1，2）內，則實數a的取值范圍是（　?。?br/>A.（－2，7） B.（－1，6）
C.（－1，7） D.（－2，6）
3.（2024·徐州期中）已知函數f（x）＝ax2－2x＋1（x∈R）有兩個零點，一個大于1另一個小于1，求實數a的取值范圍.
培優課　函數零點的綜合問題
【典型例題·精研析】
【例1】　D　令2x（x－a）－1＝0，∴a＝x－（）x（x＞0）.令g（x）＝x－（）x，則該函數在（0，＋∞）上為增函數.令h（x）＝a，則g（x）與h（x）在（0，＋∞）上的圖象有交點.如圖所示，作出簡圖，結合圖象易知a＞－1.故選D.
跟蹤訓練
1.A　∵函數y＝lox在區間（0，1）上的值域為（0，＋∞），∴＞0，即＜0，解得0＜m＜1.∴實數m的取值范圍是（0，1）.故選A.
2.（0，2）　解析：由f（x）＝｜2x－2｜－b＝0，得｜2x－2｜＝b.在同一平面直角坐標系中分別畫出y＝｜2x－2｜與y＝b的圖象，如圖所示.則當0＜b＜2時，兩函數圖象有兩個交點，從而函數f（x）＝｜2x－2｜－b有兩個零點.
【例2】　解：設f（x）＝x2＋2（m－1）x＋2m＋6.
（1）f（x）的大致圖象如圖（?。┧?，
∴f（2）＜0，即4＋4（m－1）＋2m＋6＜0，得m＜－1，
∴實數m的取值范圍為（－∞，－1）.
（2）f（x）的大致圖象如圖（ⅱ）所示，
∴
解得－＜m＜－，∴實數m的取值范圍為（－，－）.
（3）方程至少有一個正根，則有三種可能的情況，
①有兩個正根，此時如圖（ⅲ）所示，
可得
即
∴－3＜m≤－1.
　
②有一個正根，一個負根，此時如圖（ⅳ）所示，可得f（0）＜0，得m＜－3.
③有一個正根，另一根為0，此時如圖（ⅴ）所示，可得∴m＝－3.
綜上所述，當方程至少有一個正根時，實數m的取值范圍為（－∞，－1].
跟蹤訓練
　解：令f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1.依題意作出f（x）的草圖如圖，
則
即
解得－＜m＜－.∴實數m的取值范圍為（－，－）.
【例3】　C　函數g（x）＝f（x）＋x＋a存在2個零點，即關于x的方程f（x）＝－x－a有2個不同的實根，即函數f（x）的圖象與直線y＝－x－a有2個交點，作出直線y＝－x－a與函數f（x）的圖象，如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1.故選C.
跟蹤訓練
1.B　當x≤0時，令f（x）＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1（舍去）.當x＞0時，令f（x）＝0，即x－2＋ln x＝0，即ln x＝－x＋2.在同一直角坐標系中作出兩函數y＝ln x與y＝－x＋2（x＞0）的圖象，如圖，由圖可知兩圖象只有一個交點.綜上可知，函數f（x）的零點個數為2.
2.（1，2）　解析：由f（x）＝0得a－1＝2｜x｜－x2，因為函數f（x）＝x2－2｜x｜＋a－1有四個不同的零點，所以函數y＝a－1與y＝2｜x｜－x2的圖象有四個交點，畫出函數y＝2｜x｜－x2的圖象，如圖所示，
觀察圖象可知，0＜a－1＜1，即1＜a＜2，所以實數a的取值范圍是（1，2）.
隨堂檢測
1.C　當x≤0時，f（x）＝x＋1＝0 x＝－1；當x＞0時，f（x）＝log2x＝0 x＝1，所以函數f（x）的所有零點構成的集合為{－1，1}.
2.C　由題意可得f（1）f（2）＝（3－4－a）·（9－2－a）＜0，即（a＋1）（a－7）＜0，解得－1＜a＜7，故實數a的取值范圍是（－1，7）.故選C.
3.解：由題意得f（0）＝1＞0，且a≠0，函數f（x）的示意圖如圖，
　
所以或
解得0＜a＜1，所以實數a的取值范圍為（0，1）.
2 / 2(共48張PPT)
培優課　
函數零點的綜合問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 根據零點情況求參數范圍
【例1】　若 f （ x ）＝2 x （ x － a ）－1在（0，＋∞）內有零點，則實
數 a 的取值范圍是（　?。?br/>A. （－∞，＋∞） B. （－2，＋∞）
C. （0，＋∞） D. （－1，＋∞）
解析： 令2 x （ x － a ）－1＝0，∴ a ＝ x －（ ） x
（ x ＞0）.令 g （ x ）＝ x －（ ） x ，則該函數在（0，
＋∞）上為增函數.令 h （ x ）＝ a ，則 g （ x ）與 h
（ x ）在（0，＋∞）上的圖象有交點.如圖所示，作
出簡圖，結合圖象易知 a ＞－1.故選D.
通性通法
已知函數有零點（方程有根）求參數值（范圍）的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參
數范圍；
（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以
解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在
同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方
法求解.
【跟蹤訓練】
1. 若關于 x 的方程lo x ＝ 在區間（0，1）內有解，則實數 m 的
取值范圍是（　　）
A. （0，1）
B. （1，2）
C. （－∞，1）∪（2，＋∞）
D. （－∞，0）∪（1，＋∞）
解析： 　∵函數 y ＝lo x 在區間（0，1）上的值域為（0，＋
∞），∴ ＞0，即 ＜0，解得0＜ m ＜1.∴實數 m 的取值范
圍是（0，1）.故選A.
2. 若函數 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b 有兩個零點，則實數 b 的取值范圍
為 .
解析：由 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b ＝0，得｜2 x
－2｜＝ b .在同一平面直角坐標系中分別畫出
y ＝｜2 x －2｜與 y ＝ b 的圖象，如圖所示.則當
0＜ b ＜2時，兩函數圖象有兩個交點，從而函
數 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b 有兩個零點.
（0，2）　
題型二 一元二次方程的根的分布問題
【例2】　已知關于 x 的方程 x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6＝0.
（1）若方程有兩個實根，且一個比2大，一個比2小，求實數 m 的取
值范圍；
解：設 f （ x ）＝ x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6.
f （ x ）的大致圖象如圖（?。┧?，
∴ f （2）＜0，即4＋4（ m －1）＋2 m ＋6＜0，得 m
＜－1，
∴實數 m 的取值范圍為（－∞，－1）.
（2）若方程有兩個實根α，β，且滿足0＜α＜1＜β＜4，求實數 m
的取值范圍；
解： f （ x ）的大致圖象如圖（ⅱ）所示，
∴
解得－ ＜ m ＜－ ，∴實數 m 的取值范圍為（－ ，－ ）.
①有兩個正根，此時如圖（ⅲ）所示，
可得即
∴－3＜ m ≤－1.
（3）若方程至少有一個正根，求實數 m 的取值范圍.
解：方程至少有一個正根，則有三種可能的情況，
③有一個正根，另一根為0，此時如圖（ⅴ）所示，可得
∴ m ＝－3.
綜上所述，當方程至少有一個正根時，實數 m 的取值范圍為
（－∞，－1].
②有一個正根，一個負根，此時如圖（ⅳ）所示，可得 f （0）＜
0，得 m ＜－3.
通性通法
　　一元二次方程根的分布問題可轉化為二次函數的圖象與 x 軸交點
的情況，先將函數草圖上下平移，確定根的個數，用判別式限制，再
左右平移，確定對稱軸有無超過區間，或是根據根的正負情況，用根
與系數的關系進行限制.
【跟蹤訓練】
已知關于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋2 m ＋1＝0，若方程有兩個實數
根，其中一個根在區間（－1，0）內，另一根在區間（1，2）內，求
實數 m 的取值范圍.
解：令 f （ x ）＝ x2＋2 mx ＋2 m ＋1.依題意作出 f （ x ）的草圖如圖，
則即
解得－ ＜ m ＜－ .∴實數 m 的取值范圍為（－ ，－ ）.
題型三 分段函數的零點問題
【例3】　已知函數 f （ x ）＝ g （ x ）＝ f （ x ）＋ x ＋
a .若 g （ x ）存在2個零點，則實數 a 的取值范圍是（　?。?br/>A. [－1，0） B. [0，＋∞）
C. [－1，＋∞） D. [1，＋∞）
解析： 　函數 g （ x ）＝ f （ x ）＋ x ＋ a 存在2個零點，即關于 x 的方
程 f （ x ）＝－ x － a 有2個不同的實根，即函數 f （ x ）的圖象與直線 y
＝－ x － a 有2個交點，作出直線 y ＝－ x － a 與函數 f （ x ）的圖象，
如圖所示，由圖可知，－ a ≤1，解得 a ≥－1.故選C.
通性通法
求分段函數的零點的常用方法
（1）對于較簡單的分段函數，直接分不同區間解方程，求出零點，
并且檢驗是否滿足區間范圍；
（2）對于一般的分段函數，首先作出函數圖象，然后分析函數在各
個區間上的零點情況，利用數形結合思想及分類討論思想判斷
零點所在區間，求解零點的個數或參數范圍.
【跟蹤訓練】
1. 函數 f （ x ）＝的零點個數為（　?。?br/>A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 　當 x ≤0時，令 f （ x ）＝0，即 x2＋2 x －3
＝0，解得 x1＝－3， x2＝1（舍去）.當 x ＞0時，令 f
（ x ）＝0，即 x －2＋ln x ＝0，即ln x ＝－ x ＋2.在
同一直角坐標系中作出兩函數 y ＝ln x 與 y ＝－ x ＋2
（ x ＞0）的圖象，如圖，由圖可知兩圖象只有一個
交點.綜上可知，函數 f （ x ）的零點個數為2.
2. 函數 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜＋ a －1有四個不同的零點，則實數 a 的
取值范圍為 .
解析：由 f （ x ）＝0得 a －1＝2｜ x ｜－ x2，因為函數 f （ x ）＝ x2
－2｜ x ｜＋ a －1有四個不同的零點，所以函數 y ＝ a －1與 y ＝2｜
x ｜－ x2的圖象有四個交點，畫出函數 y ＝2｜ x ｜－ x2的圖象，如
圖所示，
（1，2）　
觀察圖象可知，0＜ a －1＜1，即1＜ a ＜2，所以實數 a 的取值范圍是（1，2）.
1. 函數 f （ x ）＝的所有零點構成的集合為（　?。?br/>A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0，1}
解析： 　當 x ≤0時， f （ x ）＝ x ＋1＝0 x ＝－1；當 x ＞0時， f
（ x ）＝log2 x ＝0 x ＝1，所以函數 f （ x ）的所有零點構成的集合
為{－1，1}.
2. 函數 f （ x ）＝3 x － － a 的一個零點在區間（1，2）內，則實數 a
的取值范圍是（　?。?br/>A. （－2，7） B. （－1，6）
C. （－1，7） D. （－2，6）
解析： 　由題意可得 f （1） f （2）＝（3－4－ a ）（9－2－ a ）
＜0，即（ a ＋1）（ a －7）＜0，解得－1＜ a ＜7，故實數 a 的取值
范圍是（－1，7）.故選C.
3. （2024·徐州期中）已知函數 f （ x ）＝ ax2－2 x ＋1（ x ∈R）有兩
個零點，一個大于1另一個小于1，求實數 a 的取值范圍.
解：由題意得 f （0）＝1＞0，且 a ≠0，函數 f （ x ）的示意圖
如圖，
　
所以或解得0＜
a ＜1，所以實數 a 的取值范圍為（0，1）.
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知2是函數 f （ x ）＝ xn －8（ n 為常數）的零點，且 f （ m ）＝
56，則 m 的值為（　?。?br/>A. －3 B. －4 C. 4 D. 3
解析： 　因為2是函數 f （ x ）＝ xn －8（ n 為常數）的零點，所以
2 n ＝8，得 n ＝3，所以 f （ x ）＝ x3－8，因為 f （ m ）＝56，所以
m3－8＝56，得 m ＝4，故選C.
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2. 若函數 f （ x ）＝ mx － m ＋1在區間[0，1]上無零點，則 m 的取值
范圍為（　?。?br/>A. 0＜ m ＜1 B. m ＞1
C. m ＜0 D. m ＜1
解析： 當 m ＝0時，則 f （ x ）＝1，此時 f （ x ）無零點，符合
題意；當 m ≠0時，令 f （ x ）＝0，則 x ＝ ，故 x ＝ ＜0或 x
＝ ＞1，解得0＜ m ＜1或 m ＜0，綜上可知 f （ x ）＝ mx － m ＋1
在區間[0，1]上無零點，則 m ＜1，故選D.
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3. 二次函數 f （ x ）＝ x2＋（ m －3） x ＋2 m 的圖象與 x 軸的兩個交點
的橫坐標分別為 x1， x2，且0＜ x1＜2＜ x2，如圖所示，則 m 的取值
范圍是（　?。?br/>A. m ＞0
C. m ＞5
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解析： 　由題意可得即
解得0＜ m ＜ .故選D.
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4. 已知函數 f （ x ）＝若函數 y ＝ f （ x ）－ m2有兩
個不同的零點，則實數 m 的取值范圍為（　?。?br/>A. （0，1） B. {－1，0，1}
C. [0，1] D. {0，1}
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解析： 　由 y ＝ f （ x ）－ m2有兩個不同的零
點，即方程 f （ x ）＝ m2有兩個不同的解，即函數
y ＝ f （ x ）與 y ＝ m2的圖象有兩個不同的交點，
畫出函數 y ＝ f （ x ）的圖象，如圖所示，結合圖
象可得 m2＝1或 m2＝0，解 m ＝±1或 m ＝0，即 m
∈{－1，0，1}.故選B.
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5. 已知 a ， b ， c ， d 都是常數， a ＞ b ， c ＞ d ，若 f （ x ）＝2 024－
（ x － a ）（ x － b ）的零點為 c ， d ，則下列不等式正確的是
（　?。?br/>A. a ＞ c ＞ b ＞ d B. a ＞ b ＞ c ＞ d
C. c ＞ d ＞ a ＞ b D. c ＞ a ＞ b ＞ d
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解析： 　由題意設 g （ x ）＝（ x － a ）（ x － b ），則 f （ x ）＝2
024－ g （ x ），且 g （ x ）＝0的兩個根是 a ， b .由題意知 f （ x ）
＝0的兩根是 c ， d ，也就是 g （ x ）＝2 024的兩根，畫出 g （ x ）
（開口向上）及 y ＝2 024的大致圖象（圖略），則 y ＝2 024與 g
（ x ）的圖象交點的橫坐標就是 c ， d ， g （ x ）的圖象與 x 軸的交
點的橫坐標就是 a ， b ，則 c ， d 在 a ， b 外，又 a ＞ b ， c ＞ d ，由
圖得 c ＞ a ＞ b ＞ d .
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6. （多選）已知函數 f （ x ）＝ ax － x － a （ a ＞0， a ≠1），則下列
說法中正確的是（　　）
A. 當 a ＞1時， f （ x ）有1個零點
B. 當 a ＞1時， f （ x ）有2個零點
C. 當0＜ a ＜1時， f （ x ）沒有零點
D. 當0＜ a ＜1時， f （ x ）有1個零點
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解析： 　在同一平面直角坐標系中作出函數 y ＝ ax 與 y ＝ x ＋ a
的圖象，當 a ＞1時，如圖①， y ＝ ax 與 y ＝ x ＋ a 有2個交點，則 f
（ x ）有2個零點；當0＜ a ＜1時，如圖②， y ＝ ax 與 y ＝ x ＋ a
有1個交點，則 f （ x ）有1個零點.
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7. （多選）已知 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ＞0），分析該函數圖象的
特征，若方程 f （ x ）＝0一根大于3，另一根小于2，則下列推理一
定成立的是（　?。?br/>B. 4 ac － b2≤0
C. f （2）＜0 D. f （3）＜0
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解析： 　函數 f （ x ）的大致圖象如圖所示，方
程 f （ x ）＝0一定有兩實數根，故Δ＝ b2－4 ac ＞
0，所以4 ac － b2＜0，故B錯誤；由圖可知，必有
f （2）＜0， f （3）＜0，所以C、D一定成立；若
f （ x ）＝ x2－7 x ＋6，方程 f （ x ）＝0的根為 x1＝1＜2， x2＝6＞3，此時－ ＝ ，所以此時2＜－ ＜3不成立.故A錯誤.故選C、D.
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8. 試寫出一個實數 a ＝ ，使得函數 f （ x ）＝ ax2＋
4 x －1在（－1，1）上恰有一個零點.
解析：不妨取 a ＝1，則 f （ x ）＝ x2＋4 x －1，則 f （1）＝4， f
（－1）＝－4，即得 f （1） f （－1）＜0，又 f （ x ）＝ x2＋4 x －1
圖象的對稱軸為 x ＝－2，則 f （ x ）在（－1，1）上單調遞增，故 f
（ x ）＝ x2＋4 x －1在（－1，1）上恰有一個零點.
1（答案不唯一）　
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解析：∵ f （ x ）＝3 x2－5 x ＋ a 的一個零點在區間（－2，0）內，
另一個零點在區間（1，3）內，∴即
解得－12＜ a ＜0，故 a 的取值范圍為（－12，0）.
9. 若函數 f （ x ）＝3 x2－5 x ＋ a 的一個零點在區間（－2，0）內，另
一個零點在區間（1，3）內，則實數 a 的取值范圍是 .
（－12， 0）
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10. 已知函數 f （ x ）＝若函數 g （ x ）＝ f
（ x ）－ k 有三個零點，則 k 的取值范圍是 .
解析：令 g （ x ）＝ f （ x ）－ k ＝0，可得
f （ x ）＝ k ，作出 y ＝ f （ x ）的圖象，如
圖.由圖可知，當 y ＝ k 與 y ＝ f （ x ）的圖
象有三個不同的交點時，－1＜ k ＜1，所
以 k 的取值范圍是（－1，1）.
（－1，1）　
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11. 已知函數 f （ x ）＝ x2－ bx ＋3.
（1）若 f （0）＝ f （4），求函數 f （ x ）的零點；
解： 由 f （0）＝ f （4）得3＝16－4 b ＋3，即 b ＝4，
所以 f （ x ）＝ x2－4 x ＋3，令 f （ x ）＝0即 x2－4 x ＋3＝0得
x1＝3， x2＝1.
所以 f （ x ）的零點是1和3.
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（2）若函數 f （ x ）一個零點大于1，另一個零點小于1，求 b 的取
值范圍.
解： 因為 f （ x ）的零點一個大于1，
另一個小于1，如圖.
需 f （1）＜0，即1－ b ＋3＜0，所以 b ＞4.
故 b 的取值范圍為（4，＋∞）.
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12. 已知函數 f （ x ）＝2 x －4 x － m ， x ∈[－1，1].
（1）當 m ＝－2時，求函數 f （ x ）的零點；
解： 當 m ＝－2時， f （ x ）＝2 x －4 x ＋2，令2 x －4 x ＋2
＝0，得2 x ＝2或2 x ＝－1舍去，解得 x ＝1.
∴函數的零點為1.
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（2）若函數 f （ x ）在[－1，1]上有零點，求實數 m 的取值范圍.
解： f （ x ）＝2 x －4 x － m ＝0 2 x －4 x ＝ m ，
令 g （ x ）＝2 x －4 x ，
函數 f （ x ）有零點等價于方程2 x －4 x ＝ m 有解，等價于 m
在 g （ x ）的值域內，
設 t ＝2 x ，∵ x ∈[－1，1]，∴ t ∈［ ，2］，
則 y ＝ t － t2＝－（ t － ）2＋ ，當 t ＝ 時， ymax＝ ，當 t
＝2時， ymin＝－2.
∴ g （ x ）的值域為［－2， ］.
∴ m 的取值范圍為［－2， ］.
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13. 若在定義域內存在實數 x0使 f （ x0＋1）＝ f （ x0）＋ f （1）成立，
則稱函數有“漂移點” x0.
（1）請判斷函數 f （ x ）＝ 是否有漂移點？并說明理由；
解： 假設函數 f （ x ）＝ 有“漂移點” x0，則 ＝
＋2，
即 ＋ x0＋1＝0，由此方程無實根，與題設矛盾，所以函
數 f （ x ）＝ 沒有漂移點.
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（2）求證：函數 f （ x ）＝ x2＋3 x 在（0，1）上存在漂移點；
解： 證明：令 h （ x ）＝ f （ x ＋1）－ f （ x ）－ f （1）
＝（ x ＋1）2＋3 x＋1－（ x2＋3 x ）－4＝2×3 x ＋2 x －3，
所以 h （0）＝－1， h （1）＝5.所以 h （0） h （1）＜0，
又 h （ x ）在（0，1）上連續，所以 h （ x ）＝0在（0，1）
上至少有一個實根 x0，
即函數 f （ x ）＝ x2＋3 x 在（0，1）上存在漂移點.
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（3）若函數 f （ x ）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移點，求實數 a
的取值范圍.
解： 若 f （ x ）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移點
x0，所以lg ＝lg ＋lg a 成立，即 ＝
· a ， a ＞0，整理得 a ＝ ＝（ ）2，
由 x0＞0，得0＜ ＜1，則0＜ a ＜1.
則實數 a 的取值范圍是（0，1）.
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