資源簡介

8.2.1　幾個函數(shù)模型的比較
1.下表是函數(shù)值y隨自變量x變化而變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是（　　）
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函數(shù)模型 B.冪函數(shù)模型
C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對數(shù)函數(shù)模型
2.某研究小組在一項實驗中獲得一組關(guān)于y，t的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點圖.則下列函數(shù)中最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是（　　）
A.y＝2t B.y＝2t2
C.y＝t3 D.y＝log2t
3.某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y（單位：萬公頃）關(guān)于年數(shù)x（單位：年）的函數(shù)關(guān)系較近似于（　　）
A.y＝0.2x B.y＝（x2＋2x）
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
4.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2＜x＜4時，有（　　）
A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1
5.下列說法中正確的是（　　）
A.冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快
B.對任意的x＞0，xn＞logax
C.對任意的x＞0，ax＞logax
D.不一定存在x0，當(dāng)x＞x0時，總有ax＞xn＞logax
6.（多選）下面對函數(shù)f（x）＝lox與g（x）＝在區(qū)間（0，＋∞）上的衰減情況的說法中正確的有（　　）
A.f（x）的衰減速度越來越慢
B.f（x）的衰減速度越來越快
C.g（x）的衰減速度越來越慢
D.g（x）的衰減速度越來越快
7.現(xiàn)測得（x，y）的兩組對應(yīng)值分別為（1，2），（2，5），現(xiàn)有兩個待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得（x，y）的一組對應(yīng)值為（3，10.2），則應(yīng)選用　　　　作為函數(shù)模型.
8.函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xln x在區(qū)間（1，＋∞）上增長較快的是　　　　.
9.某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗數(shù)據(jù)：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
現(xiàn)有如下5個函數(shù)：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝（）x＋1.74.
請從中選擇一個函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選　　　　.（填序號）
10.假設(shè)有一套住房的房價從2013年的20萬元上漲到2023年的40萬元.下表給出了兩種價格增長方式，其中P1是按直線上升的房價，P2是按指數(shù)增長的房價，t是2013年以來經(jīng)過的年數(shù).
t 0 5 10 15 20
P1/萬元 20 40
P2/萬元 20 40
（1）求函數(shù)P1＝f（t）的解析式；
（2）求函數(shù)P2＝g（t）的解析式；
（3）完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，然后比較兩種價格增長方式的差異.
11.安徽懷遠石榴自古就有“九州之奇樹，天下之名果”的美稱，今年又喜獲豐收.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進行社會調(diào)查，了解到某石榴合作社為了實現(xiàn)100萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤超過6萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不能超過利潤的20%.同學(xué)們利用函數(shù)知識設(shè)計了如下函數(shù)模型，其中符合合作社要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.015100≈4.432，113＝1 331）（　　）
A.y＝0.04x B.y＝1.015x－1
C.y＝tan（－1） D.y＝log11（3x－10）
12.（多選）甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方向運動，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）關(guān)于時間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系式分別為f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），以下說法正確的是（　　）
A.當(dāng)x＞1時，乙走在最前面
B.當(dāng)0＜x＜1時，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時，丁走在最后面
C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D.如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲
13.如圖，與函數(shù)y＝2x，y＝5x，y＝，y＝log0.5x，y＝log0.3x相對應(yīng)的圖象依次為　　　　.（只填序號）
14.某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個月的月生產(chǎn)量依次為100 t，120 t，130 t.為了預(yù)測今后各個月的生產(chǎn)量，需要以這三個月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y與月序數(shù)x之間的關(guān)系.對此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均為待定系數(shù)，x∈N*）或函數(shù)y＝g（x）＝pqx＋r（p，q，r均為待定系數(shù)，x∈N*），現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個月的月產(chǎn)量為137 t，則選用這兩個函數(shù)中的哪一個作為模擬函數(shù)較好？
8.2.1　幾個函數(shù)模型的比較
1.A　根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知自變量每增加1，函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型.
2.D　由圖知該函數(shù)可能是y＝log2t.故選D.
3.C　將x＝1，y＝0.2，x＝2，y＝0.4，x＝3，y＝0.76分別代入上述四個選項解析式比較，發(fā)現(xiàn)只有y＝近似度最高.故選C.
4.B　由題意可知，三個函數(shù)在區(qū)間（2，4）上都是單調(diào)遞增的，所以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函數(shù)y1，y2的圖象可知，在區(qū)間（2，4）上，函數(shù)y2的圖象恒在函數(shù)y1的圖象上方，所以y2＞y1＞y3.
5.D　對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次項系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長幅度不能比較，故A錯誤；對于B、C，當(dāng)0＜a＜1時，顯然不成立，故B、C錯誤；對于D，當(dāng)a＞1，n＞0時，一定存在x0，使得當(dāng)x＞x0時，總有ax＞xn＞logax，但若去掉限制條件“a＞1，n＞0”，則結(jié)論不成立，故D正確.
6.AC　在平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝f（x）與y＝g（x）的圖象如圖所示.由圖象可知，f（x）的衰減速度越來越慢，g（x）的衰減速度也越來越慢.故選A、C.
7.甲　解析：把x＝1，2，3分別代入甲、乙兩個函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)模型甲擬合較好.
8.y＝x2　解析：在區(qū)間（1，＋∞）上，當(dāng)x變大時，x比ln x增長要快，∴x2比xln x增長的要快.
9.④　解析：畫出散點圖如圖所示，故選擇y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.
10.解：（1）設(shè)f（t）＝kt＋b（k≠0），
則
∴P1＝f（t）＝2t＋20.
（2）設(shè)g（t）＝mat（a＞0，且a≠1），
則
∴P2＝g（t）＝20×（）t＝20×.
（3）表格中的數(shù)據(jù)如下表所示：
t 0 5 10 15 20
P1/萬元 20 30 40 50 60
P2/萬元 20 20 40 40 80
圖象如圖.
由圖象可以看出，在前10年，按P1增長的價格始終高于按P2增長的價格，但10年后，P2價格增長速度很快，遠遠超出P1的價格并且時間越長，差別越大.
11.D　對于函數(shù)y＝0.04x，當(dāng)x＝100時，y＝4＞3，不符合題意；對于函數(shù)y＝1.015x－1，當(dāng)x＝100時，y＝3.432＞3，不符合題意；對于函數(shù)y＝tan（－1），不滿足單調(diào)遞增，不符合題意；對于函數(shù)y＝log11（3x－10），滿足當(dāng)x∈（6，100]時，函數(shù)單調(diào)遞增，且y≤log11（3×100－10）＝log11290＜log111 331＝3，符合題意.
12.BCD　f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1）相應(yīng)的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)，二次函數(shù)，一次函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)模型.當(dāng)x＝5時，f1（5）＝31，f2（5）＝25，f1（5）＞f2（5），A不正確；根據(jù)四種函數(shù)的變化特點，對數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當(dāng)x＝1時甲、乙、丙、丁四個物體又重合，從而可知當(dāng)0＜x＜1時，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時，丁走在最后面，B正確；指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當(dāng)運動的時間足夠長，最前面的一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體，即一定是甲物體，D正確；結(jié)合對數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正確.
13.（2）（1）（3）（5）（4）　解析：（1）（2）分別為y＝5x和y＝2x的圖象；（3）為y＝的圖象；（4）（5）分別為y＝log0.3x和y＝log0.5x的圖象.
14.解：根據(jù)題意可列方程組
解得
所以y＝f（x）＝－5x2＋35x＋70. ①
同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140. ②
再將x＝4分別代入①式與②式得f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t），g（4）＝－80×0.54＋140＝135（t）.
與f（4）相比，g（4）在數(shù)值上更為接近第四個月的實際月產(chǎn)量，所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好，故選用函數(shù)y＝g（x）＝pqx＋r作為模擬函數(shù)較好.
3 / 38.2.1　幾個函數(shù)模型的比較
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模
　　假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報60元；
方案二：第一天回報20元，以后每天的回報比前一天多10元；
方案三：第一天回報2元，以后每天的回報是前一天的兩倍.
【問題】　若投資的時間為5天，為使投資的回報最多，你會選擇哪種方案投資？10天呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　四種常見函數(shù)模型的增長差異
　　函數(shù) 性質(zhì) y＝ax （a＞1） y＝logax （a＞1） y＝xα （α＞0） y＝kx （k＞0）
在（0，＋∞） 上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增
圖象的變化 隨x的增大逐漸變　　 隨x的增大逐漸趨于　　 隨α值的不同而不同 增長速度　 　
增長速度 ax的增長　　　　xα的增長，xα的增長　　　　kx的增長，kx的增長　　　　logax的增長
增長結(jié)果 當(dāng)x足夠大時，有ax＞xα＞kx＞logax（a＞1，α＞0）
1.下列函數(shù)中，在（0，＋∞）上增長速度最快的是（　　）
A.y＝x2 B.y＝log2x
C.y＝2x D.y＝2x
2.下列選項是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時間x的函數(shù)，從足夠長遠的角度看，更有前途的生意是（　　）
A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x1.5
C.y＝30＋lg（x－1） D.y＝50
3.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型
B.函數(shù)y＝100x比y＝2x增長的速度更快些
C.對于任意x∈R恒有ax＞x2（a＞1）
D.函數(shù)y＝lox衰減的速度越來越慢
題型一 幾類函數(shù)模型增長的差異
【例1】　（1）下列函數(shù)中，增長速度最快的是（　　）
A.y＝2 024x　　　　　B.y＝x2 024
C.y＝log2 024x D.y＝2 024x
（2）三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
則與x呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次是（　　）
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2
通性通法
常見的函數(shù)模型及增長特點
（1）一次函數(shù)模型：一次函數(shù)模型y＝kx＋b（k＞0）的增長特點是直線上升，其增長速度不變；
（2）指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型y＝ax（a＞1）的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”；
（3）對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型y＝logax（a＞1）的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩；
（4）冪函數(shù)模型：冪函數(shù)y＝xn（n＞0）的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.
【跟蹤訓(xùn)練】
下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是（　　）
A.y＝6x　　　　　　　 B.y＝log6x
C.y＝x2 D.y＝6x
題型二 幾類函數(shù)模型的比較
【例2】　函數(shù)f（x）＝2x和g（x）＝x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2.
（1）請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象示意圖，判斷f（6），g（6），f（2 024），g（2 024）的大小.
通性通法
　　根據(jù)圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和一次函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，圖象增長介于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間的是冪函數(shù)，圖象呈直線上升的函數(shù)是一次函數(shù).
【跟蹤訓(xùn)練】
函數(shù)f（x）＝lg x，g（x）＝0.3x－1的圖象如圖所示：
（1）指出曲線C1，C2分別對應(yīng)題中哪一個函數(shù)；
（2）比較兩函數(shù)的增長差異（以兩圖象交點為分界點，對f（x），g（x）的大小進行比較）.
題型三 函數(shù)模型的選取
【例3】　某工廠生產(chǎn)一種電腦元件，每月的生產(chǎn)數(shù)據(jù)如表：
月份 1 2 3
月產(chǎn)量（千件） 50 52 53.9
為估計以后每月該電腦元件的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用函數(shù)y＝ax＋b或y＝ax＋b（a，b為常數(shù)，a＞0且a≠1）來模擬這種電腦元件的月產(chǎn)量y千件與月份x的關(guān)系.請問：用以上哪個模擬函數(shù)較好？說明理由.
通性通法
　　對于函數(shù)模型的選取問題，熟悉各種函數(shù)模型的增長特點是關(guān)鍵.一次函數(shù)模型的增長是勻速的，二次函數(shù)模型是對稱的，一側(cè)增，一側(cè)減；指數(shù)型函數(shù)模型適合描述增長速度很快的變化規(guī)律；對數(shù)型函數(shù)模型比較適合描述增長速度平緩的變化規(guī)律；冪型函數(shù)模型介于指數(shù)型函數(shù)模型和對數(shù)型函數(shù)模型之間，適合描述不快不慢的變化規(guī)律.
【跟蹤訓(xùn)練】
某技能培訓(xùn)機構(gòu)為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨生源利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該機構(gòu)的要求？
1.下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是（　　）
A.y＝2x＋1 B.y＝log2x＋1
C.y＝x2＋1 D.y＝2x＋1
2.在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
則對x，y最適合的函數(shù)模型是（　　）
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
3.已知函數(shù)f（x）＝3x，g（x）＝2x，當(dāng)x∈R時，f（x）與g（x）的大小關(guān)系為　　　　.
8.2.1　幾個函數(shù)模型的比較
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點
　陡　穩(wěn)定　不變　快于　快于　快于
自我診斷
1.D
2.A　由于給出的指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)大于1，且系數(shù)為正數(shù)，則其增長速度隨著時間的推移越來越快，所以y＝10×1.05x是更有前途的生意.故選A.
3.AD　A中，一次函數(shù)模型增長特點是直線上升，增長速度不變，故A正確；B中，函數(shù)y＝2x比y＝100x增長的速度更快些，故B錯誤；C中，當(dāng)a＝x＝2時不成立，故C錯誤；D中，函數(shù)y＝lox衰減的速度越來越慢，故D正確.故選A、D.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）A　（2）C　解析：（1）比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快.
（2）由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速度比較，指數(shù)函數(shù)增長最快，對數(shù)函數(shù)增長最慢，由題中表格可知，y1是冪函數(shù)型函數(shù)，y2是指數(shù)型函數(shù)，y3是對數(shù)型函數(shù)，故選C.
跟蹤訓(xùn)練
　B　D中一次函數(shù)的增長速度不變；A、C中函數(shù)的增長速度越來越快；只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意.
【例2】　解：（1）C1對應(yīng)的函數(shù)為g（x）＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f（x）＝2x.
（2）因為f（1）＞g（1），f（2）＜g（2），f（9）＜g（9），f（10）＞g（10），
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2，2 024＞x2，
從圖象上可以看出當(dāng)x1＜x＜x2時，f（x）＜g（x），
所以f（6）＜g（6）；
當(dāng)x＞x2時，f（x）＞g（x），所以f（2 024）＞g（2 024）；
又因為g（2 024）＞g（6），
所以f（2 024）＞g（2 024）＞g（6）＞f（6）.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）C1對應(yīng)的函數(shù)為g（x）＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f（x）＝lg x.
（2）當(dāng)x∈（0，x1）時，g（x）＞f（x）；
當(dāng)x∈（x1，x2）時，g（x）＜f（x）；
當(dāng)x∈（x2，＋∞）時，g（x）＞f（x）.
【例3】　解：將（1，50），（2，52）分別代入兩解析式得
（a＞0且a≠1）
解得（兩方程組的解相同）.
所以兩函數(shù)分別為y＝2x＋48，y＝2x＋48.
當(dāng)x＝3時，對于y＝2x＋48有y＝54；
對于y＝2x＋48有y＝56.
由于56與53.9的誤差較大，所以選函數(shù)y＝ax＋b模擬較好.
跟蹤訓(xùn)練
　解：作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象（如圖所示）.
觀察圖象可知，在區(qū)間[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合該機構(gòu)的要求.
隨堂檢測
1.B　D中一次函數(shù)的增長速度不變，A、C中函數(shù)的增長速度越來越快，只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意.
2.D　將x＝0.50代入計算，可以排除A；將x＝2.01代入計算，可以排除B、C.故選D.
3.f（x）＞g（x）　
解析：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）＝3x，g（x）＝2x的圖象，如圖所示，由于函數(shù)f（x）＝3x的圖象在函數(shù)g（x）＝2x圖象的上方，則f（x）＞g（x）.
2 / 3(共56張PPT)
8.2.1　
幾個函數(shù)模型的比較
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對
數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度
的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆
炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義 數(shù)學(xué)抽象、
數(shù)學(xué)建模
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三
種方案的回報如下：
方案一：每天回報60元；
方案二：第一天回報20元，以后每天的回報比前一天多10元；
方案三：第一天回報2元，以后每天的回報是前一天的兩倍.
【問題】　若投資的時間為5天，為使投資的回報最多，你會選擇哪
種方案投資？10天呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
知識點　四種常見函數(shù)模型的增長差異
　　函數(shù) 性質(zhì) y ＝ ax （ a ＞1） y ＝log ax （ a ＞1） y ＝ xα （α＞0） y ＝ kx
（ k ＞0）
在（0，＋
∞）上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增
圖象的 變化 隨 x 的增大逐
漸變 隨 x 的增大
逐漸趨
于 隨α值的不
同而不同 增長速度

增長速度 ax 的增長 xα的增長， xα的增長 kx 的
增長， kx 的增長 log ax 的增長 增長結(jié)果 當(dāng) x 足夠大時，有 ax ＞ xα＞ kx ＞log ax （ a ＞1，α＞0） 陡　
穩(wěn)定　
不
變　
快于　
快于　
快于　
1. 下列函數(shù)中，在（0，＋∞）上增長速度最快的是（　　）
A. y ＝ x2 B. y ＝log2 x
C. y ＝2 x D. y ＝2 x
2. 下列選項是四種生意預(yù)期的收益 y 關(guān)于時間 x 的函數(shù)，從足夠長遠
的角度看，更有前途的生意是（　　）
A. y ＝10×1.05 x B. y ＝20＋ x1.5
C. y ＝30＋lg（ x －1） D. y ＝50
解析： 　由于給出的指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)大于1，且系數(shù)為正數(shù)，
則其增長速度隨著時間的推移越來越快，所以 y ＝10×1.05 x 是更
有前途的生意.故選A.
3. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型
B. 函數(shù) y ＝100 x 比 y ＝2 x 增長的速度更快些
C. 對于任意 x ∈R恒有 ax ＞ x2（ a ＞1）
解析： 　A中，一次函數(shù)模型增長特點是直線上升，增長速度
不變，故A正確；B中，函數(shù) y ＝2 x 比 y ＝100 x 增長的速度更快些，
故B錯誤；C中，當(dāng) a ＝ x ＝2時不成立，故C錯誤；D中，函數(shù) y ＝
lo x 衰減的速度越來越慢，故D正確.故選A、D.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 幾類函數(shù)模型增長的差異
【例1】　（1）下列函數(shù)中，增長速度最快的是（　A　）
A. y ＝2 024 x B. y ＝ x2 024
C. y ＝log2 024 x D. y ＝2 024 x
解析：比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)
增長速度最快.
A
（2）三個變量 y1， y2， y3隨著變量 x 的變化情況如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
則與 x 呈對數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依
次是（　C　）
C
A. y1， y2， y3 B. y2， y1， y3
C. y3， y2， y1 D. y3， y1， y2
解析：由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速度比較，指數(shù)
函數(shù)增長最快，對數(shù)函數(shù)增長最慢，由題中表格可知， y1是冪
函數(shù)型函數(shù)， y2是指數(shù)型函數(shù)， y3是對數(shù)型函數(shù)，故選C.
通性通法
常見的函數(shù)模型及增長特點
（1）一次函數(shù)模型：一次函數(shù)模型 y ＝ kx ＋ b （ k ＞0）的增長特點是
直線上升，其增長速度不變；
（2）指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)模型 y ＝ ax （ a ＞1）的增長特點是隨
著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急
劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”；
（3）對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型 y ＝log ax （ a ＞1）的增長特點是
隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度
平緩；
（4）冪函數(shù)模型：冪函數(shù) y ＝ xn （ n ＞0）的增長速度介于指數(shù)增長
和對數(shù)增長之間.
【跟蹤訓(xùn)練】
下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是（　　）
A. y ＝6 x B. y ＝log6 x
C. y ＝ x2 D. y ＝6 x
解析： 　D中一次函數(shù)的增長速度不變；A、C中函數(shù)的增長速度越
來越快；只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意.
題型二 幾類函數(shù)模型的比較
【例2】　函數(shù) f （ x ）＝2 x 和 g （ x ）＝ x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），且 x1＜ x2.
（1）請指出示意圖中曲線 C1， C2分別對應(yīng)哪
一個函數(shù)；
解： C1對應(yīng)的函數(shù)為 g （ x ）＝ x3， C2對應(yīng)的函數(shù)為 f （ x ）＝2x .
（2）結(jié)合函數(shù)圖象示意圖，判斷 f （6）， g （6）， f （2 024）， g
（2 024）的大小.
解：因為 f （1）＞ g （1）， f （2）＜ g （2）， f （9）＜ g
（9）， f （10）＞ g （10），
所以1＜ x1＜2，9＜ x2＜10，所以 x1＜6＜ x2，2 024＞ x2，
從圖象上可以看出當(dāng) x1＜ x ＜ x2時， f （ x ）＜ g （ x ），
所以 f （6）＜ g （6）；
當(dāng) x ＞ x2時， f （ x ）＞ g （ x ），所以 f （2 024）＞ g （2 024）；
又因為 g （2 024）＞ g （6），
所以 f （2 024）＞ g （2 024）＞ g （6）＞ f （6）.
通性通法
　　根據(jù)圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和一次函數(shù)時，
通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最
“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，圖
象增長介于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間的是冪函數(shù)，圖象呈直線上
升的函數(shù)是一次函數(shù).
【跟蹤訓(xùn)練】
函數(shù) f （ x ）＝lg x ， g （ x ）＝0.3 x －1的圖象如圖所示：
（1）指出曲線 C1， C2分別對應(yīng)題中哪一個函數(shù)；
解： C1對應(yīng)的函數(shù)為 g （ x ）＝0.3 x －1， C2對應(yīng)的函數(shù)為 f
（ x ）＝lg x .
（2）比較兩函數(shù)的增長差異（以兩圖象交點為分界點，對 f （ x ），
g （ x ）的大小進行比較）.
解：當(dāng) x ∈（0， x1）時， g （ x ）＞ f （ x ）；
當(dāng) x ∈（ x1， x2）時， g （ x ）＜ f （ x ）；
當(dāng) x ∈（ x2，＋∞）時， g （ x ）＞ f （ x ）.
題型三 函數(shù)模型的選取
【例3】　某工廠生產(chǎn)一種電腦元件，每月的生產(chǎn)數(shù)據(jù)如表：
月份 1 2 3
月產(chǎn)量（千件） 50 52 53.9
為估計以后每月該電腦元件的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用函
數(shù) y ＝ ax ＋ b 或 y ＝ ax ＋ b （ a ， b 為常數(shù)， a ＞0且 a ≠1）來模擬這種
電腦元件的月產(chǎn)量 y 千件與月份 x 的關(guān)系.請問：用以上哪個模擬函數(shù)
較好？說明理由.
解：將（1，50），（2，52）分別代入兩解析式得
（ a ＞0且 a ≠1）
解得（兩方程組的解相同）.
所以兩函數(shù)分別為 y ＝2 x ＋48， y ＝2 x ＋48.
當(dāng) x ＝3時，對于 y ＝2 x ＋48有 y ＝54；
對于 y ＝2 x ＋48有 y ＝56.
由于56與53.9的誤差較大，所以選函數(shù) y ＝ ax ＋ b 模擬較好.
通性通法
　　對于函數(shù)模型的選取問題，熟悉各種函數(shù)模型的增長特點是關(guān)
鍵.一次函數(shù)模型的增長是勻速的，二次函數(shù)模型是對稱的，一側(cè)
增，一側(cè)減；指數(shù)型函數(shù)模型適合描述增長速度很快的變化規(guī)律；對
數(shù)型函數(shù)模型比較適合描述增長速度平緩的變化規(guī)律；冪型函數(shù)模型
介于指數(shù)型函數(shù)模型和對數(shù)型函數(shù)模型之間，適合描述不快不慢的變
化規(guī)律.
【跟蹤訓(xùn)練】
某技能培訓(xùn)機構(gòu)為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵
招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎
勵，且獎金
y （單位：萬元）隨生源利潤 x （單位：萬元）的增加而增加，但
獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎
勵模型： y ＝0.2 x ， y ＝log5 x ， y ＝1.02 x ，其中哪個模型符合
該機構(gòu)的要求？
解：作出函數(shù) y ＝3， y ＝0.2 x ， y ＝log5
x ， y ＝1.02 x 的圖象（如圖所示）.觀察
圖象可知，在區(qū)間[5，60]上， y ＝0.2
x ， y ＝1.02 x 的圖象都有一部分在直線 y
＝3的上方，只有 y ＝log5 x 的圖象始終在y ＝3和 y ＝0.2 x 的下方，這說明只有按模型 y ＝log5 x 進行獎勵才符合該機構(gòu)的要求.
1. 下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是（　　）
A. y ＝2 x ＋1 B. y ＝log2 x ＋1
C. y ＝ x2＋1 D. y ＝2 x ＋1
解析： 　D中一次函數(shù)的增長速度不變，A、C中函數(shù)的增長速度
越來越快，只有B中對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，符合題意.
2. 在某個物理實驗中，測量得變量 x 和變量 y 的幾組數(shù)據(jù)，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
則對 x ， y 最適合的函數(shù)模型是（　　）
A. y ＝2 x B. y ＝ x2－1
C. y ＝2 x －2 D. y ＝log2 x
解析： 　將 x ＝0.50代入計算，可以排除A；將 x ＝2.01代入計
算，可以排除B、C. 故選D.
3. 已知函數(shù) f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝2 x ，當(dāng) x ∈R時， f （ x ）與 g
（ x ）的大小關(guān)系為 .
解析：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù) f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝2 x 的
圖象，如圖所示，由于函數(shù) f （ x ）＝3 x 的圖象在函數(shù) g （ x ）＝2 x
圖象的上方，則 f （ x ）＞ g （ x ）.
f （ x ）＞ g （ x ）　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 下表是函數(shù)值 y 隨自變量 x 變化而變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函
數(shù)模型是（　　）
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A. 一次函數(shù)模型 B. 冪函數(shù)模型
C. 指數(shù)函數(shù)模型 D. 對數(shù)函數(shù)模型
解析： 　根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知自變量每增加1，函數(shù)值增加2，因此
函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型.
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2. 某研究小組在一項實驗中獲得一組關(guān)于 y ， t 的數(shù)據(jù)，將其整理得
到如圖所示的散點圖.則下列函數(shù)中最能近似刻畫 y 與 t 之間關(guān)系的
是（　　）
A. y ＝2 t B. y ＝2 t2
C. y ＝ t3 D. y ＝log2 t
解析： 　由圖知該函數(shù)可能是 y ＝log2 t .故選D.
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3. 某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加
值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù) y
（單位：萬公頃）關(guān)于年數(shù) x （單位：年）的函數(shù)關(guān)系較近似于
（　　）
A. y ＝0.2 x
D. y ＝0.2＋log16 x
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解析： 　將 x ＝1， y ＝0.2， x ＝2， y ＝0.4， x ＝3， y ＝0.76分
別代入上述四個選項解析式比較，發(fā)現(xiàn)只有 y ＝ 近似度最高.故
選C.
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4. y1＝2 x ， y2＝ x2， y3＝log2 x ，當(dāng)2＜ x ＜4時，有（　　）
A. y1＞ y2＞ y3 B. y2＞ y1＞ y3
C. y1＞ y3＞ y2 D. y2＞ y3＞ y1
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解析： 　由題意可知，三個函數(shù)在區(qū)間（2，4）上都是單調(diào)遞增
的，所以4＜ y1＜16，4＜ y2＜16，1＜ y3＜2，所以 y3最小，由函數(shù)
y1， y2的圖象可知，在區(qū)間（2，4）上，函數(shù) y2的圖象恒在函數(shù) y1
的圖象上方，所以 y2＞ y1＞ y3.
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5. 下列說法中正確的是（　　）
A. 冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快
B. 對任意的 x ＞0， xn ＞log ax
C. 對任意的 x ＞0， ax ＞log ax
D. 不一定存在 x0，當(dāng) x ＞ x0時，總有 ax ＞ xn ＞log ax
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解析： 對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次
項系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長幅度不能比較，
故A錯誤；對于B、C，當(dāng)0＜ a ＜1時，顯然不成立，故B、C錯
誤；對于D，當(dāng) a ＞1， n ＞0時，一定存在 x0，使得當(dāng) x ＞ x0時，總
有 ax ＞ xn ＞log ax ，但若去掉限制條件“ a ＞1， n ＞0”，則結(jié)論不
成立，故D正確.
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6. （多選）下面對函數(shù) f （ x ）＝lo x 與 g （ x ）＝ 在區(qū)間（0，
＋∞）上的衰減情況的說法中正確的有（　　）
A. f （ x ）的衰減速度越來越慢
B. f （ x ）的衰減速度越來越快
C. g （ x ）的衰減速度越來越慢
D. g （ x ）的衰減速度越來越快
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解析： 　在平面直角坐標(biāo)系中畫出 y ＝ f
（ x ）與 y ＝ g （ x ）的圖象如圖所示.由圖象可
知， f （ x ）的衰減速度越來越慢， g （ x ）的
衰減速度也越來越慢.故選A、C.
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7. 現(xiàn)測得（ x ， y ）的兩組對應(yīng)值分別為（1，2），（2，5），現(xiàn)有
兩個待選模型，甲： y ＝ x2＋1，乙： y ＝3 x －1，若又測得（ x ，
y ）的一組對應(yīng)值為（3，10.2），則應(yīng)選用 作為函數(shù)模型.
解析：把 x ＝1，2，3分別代入甲、乙兩個函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)
模型甲擬合較好.
甲　
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8. 函數(shù) y ＝ x2與函數(shù) y ＝ x ln x 在區(qū)間（1，＋∞）上增長較快的是
.
解析：在區(qū)間（1，＋∞）上，當(dāng) x 變大時， x 比ln x 增長要快，
∴ x2比 x ln x 增長的要快.
y ＝
x2　
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9. 某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗
數(shù)據(jù)：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
現(xiàn)有如下5個函數(shù)：
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① y ＝0.58 x －0.16；② y ＝2 x －3.02；③ y ＝ x2－5.5 x ＋8；④ y ＝
log2 x ；⑤ y ＝（ ） x ＋1.74.
請從中選擇一個函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)
選 .（填序號）
解析：畫出散點圖如圖所示，故選擇 y ＝log2 x
可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.
④　
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10. 假設(shè)有一套住房的房價從2013年的20萬元上漲到2023年的40萬元.
下表給出了兩種價格增長方式，其中 P1是按直線上升的房價， P2
是按指數(shù)增長的房價， t 是2013年以來經(jīng)過的年數(shù).
t 0 5 10 15 20
P1/萬元 20 40
P2/萬元 20 40
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（1）求函數(shù) P1＝ f （ t ）的解析式；
解： 設(shè) f （ t ）＝ kt ＋ b （ k ≠0），
則
∴ P1＝ f （ t ）＝2 t ＋20.
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（2）求函數(shù) P2＝ g （ t ）的解析式；
解： 設(shè) g （ t ）＝ mat （ a ＞0，且 a ≠1），
則
∴ P2＝ g （ t ）＝20×（ ） t ＝20× .
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（3）完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個函
數(shù)的圖象，然后比較兩種價格增長方式的差異.
解： 表格中的數(shù)據(jù)如下表所示：
t 0 5 10 15 20
P1/萬元 20 30 40 50 60
P2/萬元 20 40 80
圖象如圖.
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由圖象可以看出，在前10年，按 P1增長的價格始終高于按
P2增長的價格，但10年后， P2價格增長速度很快，遠遠超出
P1的價格并且時間越長，差別越大.
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11. 安徽懷遠石榴自古就有“九州之奇樹，天下之名果”的美稱，今
年又喜獲豐收.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進行社會調(diào)查，了解到某石榴
合作社為了實現(xiàn)100萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定激勵銷售人員的獎
勵方案：在銷售利潤超過6萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金
y （單位：萬元）隨銷售利潤 x （單位：萬元）的增加而增加，但
獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不能超過利潤的20%.同學(xué)們利
用函數(shù)知識設(shè)計了如下函數(shù)模型，其中符合合作社要求的是（參
考數(shù)據(jù)：1.015100≈4.432，113＝1 331）（　　）
A. y ＝0.04 x B. y ＝1.015 x －1
D. y ＝log11（3 x －10）
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解析： 　對于函數(shù) y ＝0.04 x ，當(dāng) x ＝100時， y ＝4＞3，不符合
題意；對于函數(shù) y ＝1.015 x －1，當(dāng) x ＝100時， y ＝3.432＞3，不
符合題意；對于函數(shù) y ＝tan（ －1），不滿足單調(diào)遞增，不符合
題意；對于函數(shù) y ＝log11（3 x －10），滿足當(dāng) x ∈（6，100]時，
函數(shù)單調(diào)遞增，且 y ≤log11（3×100－10）＝log11290＜log111 331
＝3，符合題意.
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12. （多選）甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方
向運動，其路程 fi （ x ）（ i ＝1，2，3，4）關(guān)于時間 x （ x ≥0）
的函數(shù)關(guān)系式分別為 f1（ x ）＝2 x －1， f2（ x ）＝ x2， f3（ x ）＝
x ， f4（ x ）＝log2（ x ＋1），以下說法正確的是（　　）
A. 當(dāng) x ＞1時，乙走在最前面
B. 當(dāng)0＜ x ＜1時，丁走在最前面，當(dāng) x ＞1時，丁走在最后面
C. 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D. 如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲
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解析： 　 f1（ x ）＝2 x －1， f2（ x ）＝ x2， f3（ x ）＝ x ， f4
（ x ）＝log2（ x ＋1）相應(yīng)的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)，二次函
數(shù)，一次函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)模型.當(dāng) x ＝5時， f1（5）＝31， f2
（5）＝25， f1（5）＞ f2（5），A不正確；根據(jù)四種函數(shù)的變化
特點，對數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當(dāng) x ＝1時甲、乙、丙、丁
四個物體又重合，從而可知當(dāng)0＜ x ＜1時，丁走在最前面，當(dāng) x ＞
1時，丁走在最后面，B正確；指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當(dāng)運動
的時間足夠長，最前面的一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體，即
一定是甲物體，D正確；結(jié)合對數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情
況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正確.
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13. 如圖，與函數(shù) y ＝2 x ， y ＝5 x ， y ＝ ， y ＝log0.5 x ， y ＝
log0.3 x 相對應(yīng)的圖象依次為 .
（只填序號）
（2）（1）（3）（5）（4）　
解析： （2）分別為 y ＝5 x 和 y ＝2 x 的圖象；（3）為 y ＝ 的圖象；（4）（5）分別為 y ＝log0.3 x 和 y ＝log0.5 x 的圖象.
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14. 某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個月的月生產(chǎn)量依次為
100 t，120 t，130 t.為了預(yù)測今后各個月的生產(chǎn)量，需要以這三
個月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)來模擬月產(chǎn)量 y 與月序數(shù) x 之間
的關(guān)系.對此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù) y ＝ f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c
（ a ， b ， c 均為待定系數(shù)， x ∈N*）或函數(shù) y ＝ g （ x ）＝ pqx ＋ r
（ p ， q ， r 均為待定系數(shù)， x ∈N*），現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品
在第四個月的月產(chǎn)量為137 t，則選用這兩個函數(shù)中的哪一個作為
模擬函數(shù)較好？
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解：根據(jù)題意可列方程組
解得
所以 y ＝ f （ x ）＝－5 x2＋35 x ＋70.　①
同理 y ＝ g （ x ）＝－80×0.5 x ＋140.　②
再將 x ＝4分別代入①式與②式得 f （4）＝－5×42＋35×4＋70＝
130（t）， g （4）＝－80×0.54＋140＝135（t）.
與 f （4）相比， g （4）在數(shù)值上更為接近第四個月的實際月產(chǎn)
量，所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好，故選用函數(shù) y ＝ g （ x ）
＝ pqx ＋ r 作為模擬函數(shù)較好.
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