資源簡介

8.2.2　函數的實際應用
1.隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量y（g/m3）與大氣壓強x（kPa）成正比例函數關系.當x＝36 kPa時，y＝108 g/m3，則y與x的函數解析式為（　　）
A.y＝3x（x≥0） B.y＝3x
C.y＝x（x≥0） D.y＝x
2.中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經驗表明，某種綠茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃時飲用，可以產生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需的時間，某研究人員每隔1 min測量一次茶水的溫度，根據所得數據作出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規律（　　）
A.y＝mx2＋n（m＞0）
B.y＝mx＋n（m＞0）
C.y＝max＋n（m＞0，a＞0，a≠1）
D.y＝mlogax＋n（m＞0，a＞0，a≠1）
3.某工廠采用高科技改革，在兩年內產值的月增長率都是a，則這兩年內第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率為（　　）
A.a12－1 B.（1＋a）12－1
C.a D.a－1
4.衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發而體積縮小，剛放進的新丸體積為a，經過t天后體積V與天數t的關系式為：V＝ae－kt.已知新丸經過50天后，體積變為a.若一個新丸體積變為a，則需經過的天數為（　　）
A.125　　　B.100 C.75　　　　D.50
5.（多選）常見的《標準對數視力表》中有兩列數據，分別表示五分記錄和小數記錄數據，把小數記錄數據記為x，對應的五分記錄數據記為y，當小數記錄數據為0.1時，對應的五分記錄數據記為4.0，現有兩個函數模型供選擇：①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg.根據如圖標準對數視力表中的數據，下列結論中正確的是（參考數據：100.1≈1.25）（　　）
A.選擇函數模型①
B.選擇函數模型②
C.小明去檢查視力，醫生告訴他視力為5.0，則小明視力的小數記錄數據為0.9
D.小明去檢查視力，醫生告訴他視力為4.9，則小明視力的小數記錄數據為0.8
6.（多選）為預防秋冬季流感，學校每天定時對教室進行噴灑消毒.教室內每立方米空氣中的含藥量y（單位：mg）隨時間x（單位：h）的變化情況如圖所示，在藥物釋放過程中，y與x成正比；藥物釋放完畢后，y與x的函數關系式為y＝0.3x－a（a為常數），則下列結論中正確的是（　　）
A.當0≤x≤0.2時，y＝5x
B.當x＞0.2時，y＝0.3x－0.2
C.x＝2時，教室內每立方米空氣中的含藥量高于0.09 mg
D.教室內每立方米空氣中的含藥量高于0.3 mg的持續時間超過90 min
7.某工廠生產某種產品固定成本為2 000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元.又知總收入K是單位產品數Q的函數，且K（Q）＝40Q－Q2，則總利潤L（Q）的最大值是　　　　萬元.
8.如圖所示，由桶①向桶②倒水，開始時，桶①中有a L水，桶②中無水，t min后，桶①中剩余水為y1 L，滿足函數關系式y1＝ae－nt.假設經過5 min，桶①和桶②中的水一樣多，則再過　　　　min，桶①中的水只有 L.
9.某電商結合自己出售的商品，要購買3 000個高為2分米，體積為18立方分米的長方體紙質包裝盒.經過市場調研，此類包裝盒按面積計價，每平方分米的價格y（單位：元）與訂購數量x（單位：個）之間滿足y＝則該電商購入3 000個包裝盒至少需要　　　　元.（說明：每個紙盒計費面積為六個面的面積之和）
10.醫學上為研究某種傳染病傳播過程中病毒細胞的發展規律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗.經檢測，病毒細胞在體內的總數與天數的關系記錄如下表.已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數超過108的時候小白鼠將死亡.但注射某種藥物，將可殺死此時其體內該病毒細胞的98%.
天數/x 病毒細胞總數/N
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）
（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）（參考數據：lg 2≈0.301 0）
11.某公司職工分別住在A，B，C三個住宅區，A區有30人，B區有15人，C區有10人，三個區始終在同一直線上，位置如圖所示，公司接送車籌劃在此間只設一個停靠點，要使所有職工步行到停靠點路程總和最少，那么停靠點位置應在（　　）
A.A區　　　　　　　　B.B區
C.C區 D.A，B兩區之間
12.（多選）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數關系y＝ekx＋b（e＝2.718…，k，b為常數）.若該食品在0 ℃的保鮮時間是120小時，在20 ℃的保鮮時間是30小時，則關于該食品保鮮的描述正確的結論是（　　）
A.k＜0
B.儲存溫度越高保鮮時間越長
C.在10 ℃的保鮮時間是60小時
D.在30 ℃的保鮮時間是20小時
13.一種藥在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，現給某病人注射了這種藥2 500 mg，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發揮藥物的利用價值，那么從現在起經過　　　　小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效（附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精確到0.1）.
14.某學習小組在暑期社會實踐活動中，通過對某商店一種小物品的銷售情況的調查發現：該小物品在過去的一個月內（以30天計）每件的銷售價格P（x）（單位：元）與時間x（單位：天）的函數關系近似滿足P（x）＝1＋（k為正常數），日銷售量Q（x）（單位：件）與時間x（單位：天）的部分數據如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q（x）/件 110 120 125 120
已知第10天的日銷售收入為121元.
（1）求k的值；
（2）給出以下四種函數模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述日銷售量Q（x）與時間x的變化關系，并求出該函數的解析式；
（3）求該小物品的日銷售收入f（x）（單位：元）的最小值.
8.2.2　函數的實際應用
1.A　由題意設y＝kx（k≠0），將（36，108）代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考慮到含氧量不可能為負，可知x≥0.
2.C　由函數圖象可知符合條件的只有指數型函數模型.故選C.
3.B　不妨設第一年1月份的產值為b，則2月份的產值為b（1＋a），3月份的產值為b（1＋a）2，依此類推，第二年1月份產值是b（1＋a）12.由增長率的概念知，這兩年內的第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率為＝（1＋a）12－1.故選B.
4.C　由已知，得a＝ae－50k，∴e－k＝.設經過t1天后，一個新丸體積變為a，則a＝a，∴＝（e－k＝，∴＝，t1＝75.故選C.
5.BD　當x＝0.1時，代入y＝5＋2lg x得y＝5－2＝3，代入y＝5－lg得y＝5－1＝4，故選擇函數模型②，故A錯誤，B正確；當y＝5時，由y＝5－lg，解得x＝1，則小明視力的小數記錄數據為1.0，故C錯誤；當y＝4.9時，由y＝5－lg，解得x≈0.8，則小明視力的小數記錄數據為0.8，故D正確.故選B、D.
6.ABC　對于A，當0≤x≤0.2時，設y＝kx，則1＝0.2k，解得k＝5，即y＝5x，故A正確；對于B，當x＞0.2時，將（0.2，1）代入y＝0.3x－a，得1＝0.30.2－a，解得a＝0.2，即y＝0.3x－0.2，故B正確；對于C，當x＝2時，y＝0.32－0.2＝0.31.8＞0.32＝0.09 mg，故C正確；對于D，當0≤x≤0.2時，由5x＞0.3，得x＞＝0.06，當x＞0.2時，由0.3x－0.2＞0.3，得x－0.2＜1，即x＜1.2，故持續時間為1.2－0.06＝1.14（h）＝1.14×60＝68.4（min），故D錯誤.故選A、B、C.
7.2 500　解析：L（Q）＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－（Q－300）2＋2 500，當Q＝300時，L（Q）取得最大值，最大值為2 500萬元.
8.10　解析：由題意，可得ae－5n＝，得n＝ln 2.令a＝，得t＝15，從而再經過10 min，桶①中的水只有 L.
9.1 260　解析：設長方體包裝盒的底面長為t（t＞0）分米，則寬為分米，故長方體包裝盒的表面積S＝4t＋＋18（t＞0）.∵S＝4t＋＋18≥2＋18＝42，當且僅當4t＝，即t＝3時取等號，∴Smin＝42.當x＝3 000時，y＝0.01，∴總費用最少為42×3 000×0.01＝1 260（元）.
10.解：（1）由題意，病毒細胞總數y關于時間x的函數關系式為y＝2x－1（其中x∈N*）.
則將2x－1≤108兩邊取常用對數，得（x－1）lg 2≤8，
從而x≤＋1≈27.58.
故第一次最遲應在第27天注射該種藥物.
（2）由題意，第一次最遲注入藥物后小白鼠體內剩余的病毒細胞個數為226×2%.
再經過x天后小白鼠體內病毒細胞個數為226×2%×2x，
則226×2%×2x≤108.
兩邊取常用對數，得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤－27≈6.2.
故再經過6天必須注射藥物，即第二次最遲應在第33天注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命.
11.A　由題意得，若停靠在A區，所有員工路程和為15×100＋10×300＝4 500（米）；若停靠在B區，所有員工的路程和為30×100＋10×200＝5 000（米）；若停靠在C區，所有員工的路程和為30×300＋15×200＝12 000（米）；若停靠點在A區和B區之間，設距離A區為x米，所有員工的路程和為30x＋15×（100－x）＋10×（100＋200－x）＝5x＋4 500，當x＝0時取得最小值，故停靠點為A區.綜上，若停靠點為A區，所有員工步行到停靠點的路程和最小，那么停靠點位置應在A區.
12.AC　因為在0 ℃的保鮮時間是120小時，在20 ℃的保鮮時間是30小時，所以易知y＝ekx＋b是減函數，結合復合函數的單調性可知k＜0，故A正確；儲存溫度越高保鮮時間越短，故B錯誤；120＝eb，30＝e20k＋b＝e20k·eb，則e20k＝，e10k＝，故e10k＋b＝e10k·eb＝×120＝60（小時），故C正確；e30k＋b＝e30k·eb＝（）3×120＝15（小時），故D錯誤.故選A、C.
13.2.3　解析：設從現在起經過x小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.則2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6，所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，x＝＝＝≈≈2.3.
14.解：（1）依題意知第10天的日銷售收入為P（10）·Q（10）＝×110＝121，解得k＝1.
（2）由表中的數據知，當時間變化時，日銷售量有增有減并不單調，故只能選②Q（x）＝a｜x－25｜＋b.從表中任意取兩組值代入可求得Q（x）＝125－｜x－25｜（1≤x≤30，x∈N*）.
（3）由（2）知Q（x）＝125－｜x－25｜
＝
所以f（x）＝P（x）·Q（x）
＝
當1≤x＜25時，y＝x＋在[1，10]上單調遞減，在[10，25）上單調遞增，所以當x＝10時，f（x）取得最小值，f（x）min＝121；
當25≤x≤30時，y＝－x單調遞減，所以當x＝30時，f（x）取得最小值，f（x）min＝124.
綜上所述，當x＝10時，f（x）取得最小值，f（x）min＝121.
所以該小物品的日銷售收入的最小值為121元.
3 / 38.2.2　函數的實際應用
新課程標準解讀 核心素養
理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具.在實際情境中，會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律 數學建模
　　果農采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度，若某種水果失去新鮮度h與其采摘后時間t（天）滿足的函數關系式為h＝m·at.若采摘后5天，這種水果失去的新鮮度為5%，采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%.
【問題】　采摘下來的這種水果失去20%新鮮度大概是多少天后？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　幾種常見函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f（x）＝kx＋b（k，b為常數，k≠0）
反比例函數模型 f（x）＝＋b（k，b為常數且k≠0）
二次函數模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數，a≠0）
指數型函數模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c為常數，b≠0，a＞0且a≠1）
對數型函數模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c為常數，b≠0，a＞0且a≠1）
冪函數模型 f（x）＝axn＋b（a，b為常數，a≠0）
分段函數模型 y＝
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.實際問題中兩個變量之間不一定有確定的函數關系
B.函數模型中，要求的定義域只需使函數式有意義
C.用函數模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數模型就無存在意義了
D.求實際應用問題的最值時，要注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符
2.若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后的剩留量為y，則x，y的函數關系是　　　　.
題型一 已知函數模型解決實際問題
【例1】　（鏈接教科書第241頁例4）灌滿開水的熱水瓶蓋上瓶蓋放在室內，如果瓶內開水原來的溫度是θ1 ℃，室內氣溫是θ0 ℃，那么t min后，開水的溫度可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－kt求得，這里k是一個與熱水瓶類型有關的正的常量.已知某種類型的熱水瓶灌滿開水，測得瓶內溫度為100 ℃，過1 h后又測得瓶內溫度為98 ℃.已知某種奶粉必須用不低于85 ℃的開水沖泡，現在用這種類型的熱水瓶在早上6：00灌滿100 ℃的開水，則在這一天的中午12：00　　　　（填“能”或“不能”）用這瓶開水來沖泡上述奶粉.（假定該地白天室溫為20 ℃）
通性通法
利用已知函數模型解決實際問題的方法
（1）首先確定已知函數模型解析式中的未知參數；
（2）利用已知函數模型相關的運算性質、函數性質解決實際問題；
（3）涉及較為復雜的指數運算時，常常利用等式的兩邊取對數的方法，將指數運算轉化為對數運算.
【跟蹤訓練】
　在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的質量M（kg）、火箭（除燃料外）的質量m（kg）的函數關系式是v＝2 000·ln.當燃料質量是火箭質量的　　　倍時，火箭的最大速度可達12千米/秒.
題型二 建立函數模型解決實際問題
【例2】　（鏈接教科書第240頁例3）一種放射性元素，最初的質量為500 g，按每年10%衰減.
（1）求t年后，這種放射性元素的質量w的表達式；
（2）由求出的函數表達式，求這種放射性元素的半衰期（結果精確到0.1）.
通性通法
建立函數模型解決實際問題的步驟
（1）根據收集到的數據，在平面直角坐標系內畫出散點圖；
（2）根據點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函數模型；
（3）選擇其中的幾組數據求出函數模型；
（4）將已知數據代入所求出的函數模型中進行檢驗，看其是否符合實際，若不符合實際，則返回步驟（2）；若符合實際，則進入下一步；
（5）用所得函數模型解決實際問題.
【跟蹤訓練】
某水果批發商銷售進價為每箱40元的蘋果，假設每箱售價不低于50元且不得高于55元.市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱.
（1）求平均每天的銷售量y（箱）與銷售單價x（元）之間的函數解析式；
（2）求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式；
（3）當每箱蘋果的售價為多少元時，每天可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
題型三 選擇函數模型解決實際問題
【例3】　某工廠因排污比較嚴重，決定著手整治，第一個月時污染度為60，整治后前四個月的污染度如表：
月數 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現用下列三個函數模擬從整治后第一個月開始工廠的污染情況：f（x）＝20｜x－4｜（x≥1），g（x）＝（x－4）2（x≥1），h（x）＝30｜log2x－2｜（x≥1），其中x表示月數，f（x），g（x），h（x）分別表示污染度.
（1）選用哪個函數模擬比較合理，并說明理由；
（2）若以比較合理的模擬函數預測，整治后有多少個月的污染度不超過60.
通性通法
選擇函數模型解決實際問題的步驟
【跟蹤訓練】
某紀念章從2024年2月1日開始上市，通過市場調查，得到該紀念章每1枚的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據如下：
上市時間x天 4 10 36
市場價y元 90 51 90
（1）根據上表數據，從下列函數中選取一個恰當的函數描述該紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
（2）利用你選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格.
1.一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，燃燒時剩下的高度h（cm）與燃燒時間t（h）的函數關系用圖象表示為圖中的（　　）
2.一個模具廠一年中12月份的產量是1月份產量的m倍，那么該模具廠這一年中產量的月平均增長率是　　　　.
3.已知強度為x的聲音對應的等級為f（x） dB且f（x）＝10lg .噴氣式飛機起飛時，聲音約為140 dB；一般說話時，聲音約為60 dB.則噴氣式飛機起飛時的聲音強度是一般說話時聲音強度的　　　　倍.
8.2.2　函數的實際應用
【基礎知識·重落實】
自我診斷
1.AD　A中，兩個變量之間可以有關系，但不一定是確定的函數關系，故A正確；B中，函數模型中定義域還必須滿足實際意義，故B錯誤；C中，擬合函數預測的結果近似地符合實際結果即可，故C錯誤；易知D正確.故選A、D.
2.y＝0.957 　解析：由題意可知y＝（95.76%，即y＝0.957 .
【典型例題·精研析】
【例1】　能　解析：根據題意，有98＝20＋（100－20）e－60k.整理，得e－60k＝.從早上6：00至中午12：00，共6 h，即360 min.當t＝360時，θ＝20＋80e－360k＝20＋80×（）6.利用計算器，解得θ≈88.7.因為88.7＞85，所以在這一天的中午12：00能用這瓶開水來沖泡上述奶粉.
跟蹤訓練
　e6－1　解析：當v＝12 000 m/s時，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6.所以＝e6－1.
【例2】　解：（1）最初的質量為500 g.
經過1年，w＝500（1－10%）＝500×0.9；
經過2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
（2）由題意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，
兩邊取以10為底的對數，得lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即這種放射性元素的半衰期為6.6年.
跟蹤訓練
　解：（1）根據題意，得y＝90－3（x－50），
化簡得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）.
（2）因為該批發商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤，所以w＝（－3x＋240）（x－40）＝－3x2＋360x－9 600（50≤x≤55，x∈N）.
（3）因為w＝－3x2＋360x－9 600＝－3（x－60）2＋1 200，
所以當x＜60時，w隨x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，
所以當x＝55時，w有最大值，最大值為1 125.
所以當每箱蘋果的售價為55元時，每天可以獲得最大利潤，最大利潤是1 125元.
【例3】　解：（1）選用h（x）模擬比較合理，理由如下：
計算各函數對應各月份污染度得下表：
月數 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
f（x） 60 40 20 0 …
g（x） 60 26.7 6.7 0 …
h（x） 60 30 12.45 0 …
從上表可知，函數h（x）模擬比較合理，故選擇h（x）作為模擬函數.
（2）令h（x）≤60，得｜log2x－2｜≤2，
得0≤log2x≤4，
解得1≤x≤16，
所以整治后有16個月的污染度不超過60.
跟蹤訓練
　解：（1）選取②y＝ax2＋bx＋c.理由如下：
因為隨著時間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個函數中y＝ax＋b和y＝alogbx顯然都是單調函數，不滿足題意，所以選取y＝ax2＋bx＋c.
（2）把點（4，90），（10，51），（36，90）代入y＝ax2＋bx＋c中，
得
解得a＝，b＝－10，c＝126.
所以y＝x2－10x＋126＝（x－20）2＋26，
所以當x＝20時，y有最小值，ymin＝26.
故當紀念章上市20天時，該紀念章的市場價最低，最低市場價為26元.
隨堂檢測
1.B　由題意h＝20－5t，0≤t≤4.結合圖象知應選B.
2.－1　解析：設每月的產量增長率為x，1月份產量為a，則a（1＋x）11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
3.108　解析：f（x）＝10lg ＝10（lg x＋12）.當f（x）＝140時，10（lg x＋12）＝140，所以x＝100.當f（x）＝60時，10（lg x＋12）＝60，所以x＝10－6.＝108，所以噴氣式飛機起飛時的聲音強度是一般說話時聲音強度的108倍.
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8.2.2　
函數的實際應用
新課程標準解讀 核心素養
理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的
重要數學語言和工具.在實際情境中，會選擇合適的
函數模型刻畫現實問題的變化規律 數學建模
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　果農采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度，若某種水果失去新鮮度
h 與其采摘后時間 t （天）滿足的函數關系式為 h ＝ m · at .若采摘后5
天，這種水果失去的新鮮度為5%，采摘后10天，這種水果失去的新
鮮度為10%.
【問題】　采摘下來的這種水果失去20%新鮮度大概是多少天后？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　
知識點　幾種常見函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b 為常數， k ≠0）
反比例函數模型
二次函數模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 為常數， a ≠0）
指數型函數模型 f （ x ）＝ bax ＋ c （ a ， b ， c 為常數， b ≠0， a ＞0且 a
≠1）
對數型函數模型 f （ x ）＝ b log ax ＋ c （ a ， b ， c 為常數， b ≠0， a ＞0且 a ≠1）
函數模型 函數解析式
冪函數模型 f （ x ）＝ axn ＋ b （ a ， b 為常數， a ≠0）
分段函數模型
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 實際問題中兩個變量之間不一定有確定的函數關系
B. 函數模型中，要求的定義域只需使函數式有意義
C. 用函數模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數模型就無
存在意義了
D. 求實際應用問題的最值時，要注意取得最值時的自變量與實際意
義是否相符
解析： 　A中，兩個變量之間可以有關系，但不一定是確定的
函數關系，故A正確；B中，函數模型中定義域還必須滿足實際意
義，故B錯誤；C中，擬合函數預測的結果近似地符合實際結果即
可，故C錯誤；易知D正確.故選A、D.

解析：由題意可知 y ＝（95.76% ，即 y ＝0.957 .
y ＝0.957 　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 已知函數模型解決實際問題
【例1】　（鏈接教科書第241頁例4）灌滿開水的熱水瓶蓋上瓶蓋放
在室內，如果瓶內開水原來的溫度是θ1 ℃，室內氣溫是θ0 ℃，那么
t min后，開水的溫度可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－ kt 求得，這里 k
是一個與熱水瓶類型有關的正的常量.已知某種類型的熱水瓶灌滿開
水，測得瓶內溫度為100 ℃，過1 h后又測得瓶內溫度為98 ℃.已知某
種奶粉必須用不低于85 ℃的開水沖泡，現在用這種類型的熱水瓶在早
上6：00灌滿100 ℃的開水，則在這一天的中午12：00 （填“能”
或“不能”）用這瓶開水來沖泡上述奶粉.（假定該地白天室溫為20
℃）
能　
解析：根據題意，有98＝20＋（100－20）e－60 k .整理，得e－60 k ＝ .
從早上6：00至中午12：00，共6 h，即360 min.當 t ＝360時，θ＝20
＋80e－360 k ＝20＋80×（ ）6.利用計算器，解得θ≈88.7.因為88.7
＞85，所以在這一天的中午12：00能用這瓶開水來沖泡上述奶粉.
通性通法
利用已知函數模型解決實際問題的方法
（1）首先確定已知函數模型解析式中的未知參數；
（2）利用已知函數模型相關的運算性質、函數性質解決實際問題；
（3）涉及較為復雜的指數運算時，常常利用等式的兩邊取對數的方
法，將指數運算轉化為對數運算.
【跟蹤訓練】
　在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度 v （m/s）和燃料的質
量 M （kg）、火箭（除燃料外）的質量 m （kg）的函數關系式是 v ＝2
000·ln .當燃料質量是火箭質量的 倍時，火箭的最大速
度可達12千米/秒.
解析：當 v ＝12 000 m/s時，2 000·ln ＝12 000，所以ln
＝6.所以 ＝e6－1.
e6－1　
題型二 建立函數模型解決實際問題
【例2】　（鏈接教科書第240頁例3）一種放射性元素，最初的質量
為500 g，按每年10%衰減.
（1）求 t 年后，這種放射性元素的質量 w 的表達式；
解：最初的質量為500 g.
經過1年， w ＝500（1－10%）＝500×0.9；
經過2年， w ＝500×0.92；
由此推知， t 年后， w ＝500×0.9 t .
（2）由求出的函數表達式，求這種放射性元素的半衰期（結果精確
到0.1）.
解：由題意得500×0.9 t ＝250，即0.9 t ＝0.5，
兩邊取以10為底的對數，得lg 0.9 t ＝lg 0.5，
即 t lg 0.9＝lg 0.5，
∴ t ＝ ≈6.6.
即這種放射性元素的半衰期為6.6年.
通性通法
建立函數模型解決實際問題的步驟
（1）根據收集到的數據，在平面直角坐標系內畫出散點圖；
（2）根據點的分布特征，選擇一個能刻畫散點圖特征的函數模型；
（3）選擇其中的幾組數據求出函數模型；
（4）將已知數據代入所求出的函數模型中進行檢驗，看其是否符合
實際，若不符合實際，則返回步驟（2）；若符合實際，則進入
下一步；
（5）用所得函數模型解決實際問題.
【跟蹤訓練】
某水果批發商銷售進價為每箱40元的蘋果，假設每箱售價不低于50元
且不得高于55元.市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每
天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱.
（1）求平均每天的銷售量 y （箱）與銷售單價 x （元）之間的函數解
析式；
解：根據題意，得 y ＝90－3（ x －50），
化簡得 y ＝－3 x ＋240（50≤ x ≤55， x ∈N）.
（2）求該批發商平均每天的銷售利潤 w （元）與銷售單價 x （元）之
間的函數解析式；
解：因為該批發商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×
每箱銷售利潤，所以 w ＝（－3 x ＋240）（ x －40）＝－3 x2＋
360 x －9 600（50≤ x ≤55， x ∈N）.
（3）當每箱蘋果的售價為多少元時，每天可以獲得最大利潤？最大
利潤是多少？
解：因為 w ＝－3 x2＋360 x －9 600＝－3（ x －60）2＋1 200，
所以當 x ＜60時， w 隨 x 的增大而增大.
又50≤ x ≤55， x ∈N，
所以當 x ＝55時， w 有最大值，最大值為1 125.
所以當每箱蘋果的售價為55元時，每天可以獲得最大利潤，最
大利潤是1 125元.
題型三 選擇函數模型解決實際問題
【例3】　某工廠因排污比較嚴重，決定著手整治，第一個月時污染
度為60，整治后前四個月的污染度如表：
月數 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現用下列三
個函數模擬從整治后第一個月開始工廠的污染情況： f （ x ）＝20｜ x
－4｜（ x ≥1）， g （ x ）＝ （ x －4）2（ x ≥1）， h （ x ）＝30｜
log2 x －2｜（ x ≥1），其中 x 表示月數， f （ x ）， g （ x ）， h （ x ）
分別表示污染度.
（1）選用哪個函數模擬比較合理，并說明理由；
解：選用 h （ x ）模擬比較合理，理由如下：
計算各函數對應各月份污染度得下表：
月數 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
f （ x ） 60 40 20 0 …
g （ x ） 60 26.7 6.7 0 …
h （ x ） 60 30 12.45 0 …
從上表可知，函數 h （ x ）模擬比較合理，故選擇 h （ x ）作為
模擬函數.
（2）若以比較合理的模擬函數預測，整治后有多少個月的污染度不
超過60.
解：令 h （ x ）≤60，得｜log2 x －2｜≤2，
得0≤log2 x ≤4，
解得1≤ x ≤16，
所以整治后有16個月的污染度不超過60.
通性通法
選擇函數模型解決實際問題的步驟
【跟蹤訓練】
某紀念章從2024年2月1日開始上市，通過市場調查，得到該紀念章每
1枚的市場價 y （單位：元）與上市時間 x （單位：天）的數據如下：
上市時間 x 天 4 10 36
市場價 y 元 90 51 90
（1）根據上表數據，從下列函數中選取一個恰當的函數描述該紀念
章的市場價 y 與上市時間 x 的變化關系并說明理由：① y ＝ ax ＋
b ；② y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；③ y ＝ a log bx ；
解：選取② y ＝ ax2＋ bx ＋ c .理由如下：
因為隨著時間 x 的增加， y 的值先減后增，而所給的三個函數中
y ＝ ax ＋ b 和 y ＝ a log bx 顯然都是單調函數，不滿足題意，所以
選取 y ＝ ax2＋ bx ＋ c .
（2）利用你選取的函數，求該紀念章市場價最低時的上市天數及最
低的價格.
解：把點（4，90），（10，51），（36，90）代入 y ＝ ax2＋ bx
＋ c 中，得
解得 a ＝ ， b ＝－10， c ＝126.
所以 y ＝ x2－10 x ＋126＝ （ x －20）2＋26，
所以當 x ＝20時， y 有最小值， ymin＝26.
故當紀念章上市20天時，該紀念章的市場價最低，最低市場價
為26元.
1. 一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，燃燒時剩下的高度 h
（cm）與燃燒時間 t （h）的函數關系用圖象表示為圖中的
（　　）
解析： 由題意 h ＝20－5 t ，0≤ t ≤4.結合圖象知應選B.

解析：設每月的產量增長率為 x ，1月份產量為 a ，則 a （1＋ x ）11
＝ ma ，所以1＋ x ＝ ，即 x ＝ －1.
－1　
3. 已知強度為 x 的聲音對應的等級為 f （ x ） dB且 f （ x ）＝10lg
.噴氣式飛機起飛時，聲音約為140 dB；一般說話時，聲音
約為60 dB. 則噴氣式飛機起飛時的聲音強度是一般說話時聲音強
度的 倍.
解析： f （ x ）＝10lg ＝10（lg x ＋12）.當 f （ x ）＝140時，
10（lg x ＋12）＝140，所以 x ＝100.當 f （ x ）＝60時，10（lg x ＋
12）＝60，所以 x ＝10－6. ＝108，所以噴氣式飛機起飛時的聲
音強度是一般說話時聲音強度的108倍.
108　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下
降，且含氧量 y （g/m3）與大氣壓強 x （kPa）成正比例函數關系.
當 x ＝36 kPa時， y ＝108 g/m3，則 y 與 x 的函數解析式為（　　）
A. y ＝3 x （ x ≥0） B. y ＝3 x
解析： 　由題意設 y ＝ kx （ k ≠0），將（36，108）代入解析式
可得 k ＝3，故 y ＝3 x ，考慮到含氧量不可能為負，可知 x ≥0.
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2. 中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經驗
表明，某種綠茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃時飲
用，可以產生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需的時
間，某研究人員每隔1 min測量一次茶水的溫度，根據所得數據作
出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數模型
可以近似地刻畫茶水溫度 y 隨時間 x 變化的規律（　　）
A. y ＝ mx2＋ n （ m ＞0）
B. y ＝ mx ＋ n （ m ＞0）
C. y ＝ max ＋ n （ m ＞0， a ＞0， a ≠1）
D. y ＝ m log ax ＋ n （ m ＞0， a ＞0， a ≠1）
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解析： 　由函數圖象可知符合條件的只有指數型函數模型.故
選C.
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3. 某工廠采用高科技改革，在兩年內產值的月增長率都是 a ，則這兩
年內第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率為（　　）
A. a12－1 B. （1＋ a ）12－1
C. a D. a －1
解析： 　不妨設第一年1月份的產值為 b ，則2月份的產值為 b （1
＋ a ），3月份的產值為 b （1＋ a ）2，依此類推，第二年1月份產
值是 b （1＋ a ）12.由增長率的概念知，這兩年內的第二年某月的
產值比第一年相應月產值的增長率為 ＝（1＋ a ）12－
1.故選B.
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4. 衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發而體積縮小，剛放進的新丸體積
為 a ，經過 t 天后體積 V 與天數 t 的關系式為： V ＝ a e－ kt .已知新丸
經過50天后，體積變為 a .若一個新丸體積變為 a ，則需經過的
天數為（　　）
A. 125 B. 100 C. 75 D. 50
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解析： 　由已知，得 a ＝ a e－50 k ，∴e－ k ＝ .設經過 t1天
后，一個新丸體積變為 a ，則 a ＝ a ，∴ ＝（e－ k
＝ ，∴ ＝ ， t1＝75.故選C.
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5. （多選）常見的《標準對數視力表》中有兩列數據，分別表示五分
記錄和小數記錄數據，把小數記錄數據記為 x ，對應的五分記錄數
據記為 y ，當小數記錄數據為0.1時，對應的五分記錄數據記為
4.0，現有兩個函數模型供選擇：① y ＝5＋2lg x ；② y ＝5－lg .根
據如圖標準對數視力表中的數據，下列結論中正確的是（參考數
據：100.1≈1.25）（　　）
A. 選擇函數模型①
B. 選擇函數模型②
C. 小明去檢查視力，醫生告訴他視力為5.0，則小明視
力的小數記錄數據為0.9
D. 小明去檢查視力，醫生告訴他視力為4.9，則小明視
力的小數記錄數據為0.8
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解析： 　當 x ＝0.1時，代入 y ＝5＋2lg x 得 y ＝5－2＝3，代入 y
＝5－lg 得 y ＝5－1＝4，故選擇函數模型②，故A錯誤，B正確；
當 y ＝5時，由 y ＝5－lg ，解得 x ＝1，則小明視力的小數記錄數
據為1.0，故C錯誤；當 y ＝4.9時，由 y ＝5－lg ，解得 x ≈0.8，則
小明視力的小數記錄數據為0.8，故D正確.故選B、D.
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6. （多選）為預防秋冬季流感，學校每天定時對教室進行噴灑消毒.
教室內每立方米空氣中的含藥量 y （單位：mg）隨時間 x （單位：
h）的變化情況如圖所示，在藥物釋放過程中， y 與 x 成正比；藥物
釋放完畢后， y 與 x 的函數關系式為 y ＝0.3 x－ a （ a 為常數），則下
列結論中正確的是（　　）
A. 當0≤ x ≤0.2時， y ＝5 x
B. 當 x ＞0.2時， y ＝0.3 x－0.2
C. x ＝2時，教室內每立方米空氣中的含藥量高于0.09
mg
D. 教室內每立方米空氣中的含藥量高于0.3 mg的持續
時間超過90 min
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解析： 　對于A，當0≤ x ≤0.2時，設 y ＝ kx ，則1＝0.2 k ，解
得 k ＝5，即 y ＝5 x ，故A正確；對于B，當 x ＞0.2時，將（0.2，
1）代入 y ＝0.3 x－ a ，得1＝0.30.2－ a ，解得 a ＝0.2，即 y ＝0.3 x－
0.2，故B正確；對于C，當 x ＝2時， y ＝0.32－0.2＝0.31.8＞0.32＝
0.09 mg，故C正確；對于D，當0≤ x ≤0.2時，由5 x ＞0.3，得 x ＞
＝0.06，當 x ＞0.2時，由0.3 x－0.2＞0.3，得 x －0.2＜1，即 x ＜
1.2，故持續時間為1.2－0.06＝1.14（h）＝1.14×60＝68.4
（min），故D錯誤.故選A、B、C.
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7. 某工廠生產某種產品固定成本為2 000萬元，并且每生產一單位產
品，成本增加10萬元.又知總收入 K 是單位產品數 Q 的函數，且 K
（ Q ）＝40 Q － Q2，則總利潤 L （ Q ）的最大值是 萬元.
解析： L （ Q ）＝40 Q － Q2－10 Q －2 000＝－ Q2＋30 Q －2
000＝－ （ Q －300）2＋2 500，當 Q ＝300時， L （ Q ）取得最大
值，最大值為2 500萬元.
2 500　
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8. 如圖所示，由桶①向桶②倒水，開始時，桶①中有 a L水，桶②中
無水， t min后，桶①中剩余水為 y1 L，滿足函數關系式 y1＝ a e－ nt .
假設經過5 min，桶①和桶②中的水一樣多，則再過 min，桶①
中的水只有 L.
10　
解析：由題意，可得 a e－5 n ＝ ，得 n ＝ ln 2.令 a ＝ ，得 t ＝15，從而再經過10 min，桶①中的水只有 L.
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9. 某電商結合自己出售的商品，要購買3 000個高為2分米，體積為18
立方分米的長方體紙質包裝盒.經過市場調研，此類包裝盒按面積
計價，每平方分米的價格 y （單位：元）與訂購數量 x （單位：
個）之間滿足 y ＝則該電商購入3 000
個包裝盒至少需要 元.（說明：每個紙盒計費面積為六個面
的面積之和）
1 260　
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解析：設長方體包裝盒的底面長為 t （ t ＞0）分米，則寬為 分
米，故長方體包裝盒的表面積 S ＝4 t ＋ ＋18（ t ＞0）.∵ S ＝4 t
＋ ＋18≥2 ＋18＝42，當且僅當4 t ＝ ，即 t ＝3時取等
號，∴ Smin＝42.當 x ＝3 000時， y ＝0.01，∴總費用最少為42×
3 000×0.01＝1 260（元）.
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10. 醫學上為研究某種傳染病傳播過程中病毒細胞的發展規律及其預
防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗.經檢測，病毒細胞
在體內的總數與天數的關系記錄如下表.已知該種病毒細胞在小白
鼠體內的個數超過108的時候小白鼠將死亡.但注射某種藥物，將
可殺死此時其體內該病毒細胞的98%.
天數/x 病毒細胞總數/N
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
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（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注
射該種藥物？（精確到天）
解： 由題意，病毒細胞總數 y 關于時間 x 的函數關系式
為 y ＝2 x－1（其中 x ∈N*）.
則將2 x－1≤108兩邊取常用對數，得（ x －1）lg 2≤8，
從而 x ≤ ＋1≈27.58.
故第一次最遲應在第27天注射該種藥物.
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（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生
命？（精確到天）（參考數據：lg 2≈0.301 0）
解： 由題意，第一次最遲注入藥物后小白鼠體內剩余
的病毒細胞個數為226×2%.
再經過 x 天后小白鼠體內病毒細胞個數為226×2%×2 x ，
則226×2%×2 x ≤108.
兩邊取常用對數，得26lg 2＋lg 2－2＋ x lg 2≤8，解得 x ≤
－27≈6.2.
故再經過6天必須注射藥物，即第二次最遲應在第33天注射
該種藥物，才能維持小白鼠的生命.
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11. 某公司職工分別住在 A ， B ， C 三個住宅區， A 區有30人， B 區有
15人， C 區有10人，三個區始終在同一直線上，位置如圖所示，
公司接送車籌劃在此間只設一個停靠點，要使所有職工步行到停
靠點路程總和最少，那么停靠點位置應在（　　）
A. A 區 B. B 區
C. C 區 D. A ， B 兩區之間
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解析： 　由題意得，若停靠在 A 區，所有員工路程和為15×100
＋10×300＝4 500（米）；若停靠在 B 區，所有員工的路程和為
30×100＋10×200＝5 000（米）；若停靠在 C 區，所有員工的路
程和為30×300＋15×200＝12 000（米）；若停靠點在 A 區和 B 區
之間，設距離 A 區為 x 米，所有員工的路程和為30 x ＋15×（100
－ x ）＋10×（100＋200－ x ）＝5 x ＋4 500，當 x ＝0時取得最小
值，故停靠點為 A 區.綜上，若停靠點為 A 區，所有員工步行到停
靠點的路程和最小，那么停靠點位置應在 A 區.
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12. （多選）某食品的保鮮時間 y （單位：小時）與儲存溫度 x （單
位：℃）滿足函數關系 y ＝e kx＋ b （e＝2.718…， k ， b 為常數）.
若該食品在0 ℃的保鮮時間是120小時，在20 ℃的保鮮時間是30小
時，則關于該食品保鮮的描述正確的結論是（　　）
A. k ＜0
B. 儲存溫度越高保鮮時間越長
C. 在10 ℃的保鮮時間是60小時
D. 在30 ℃的保鮮時間是20小時
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解析： 　因為在0 ℃的保鮮時間是120小時，在20 ℃的保鮮時
間是30小時，所以易知 y ＝e kx＋ b 是減函數，結合復合函數的單調
性可知 k ＜0，故A正確；儲存溫度越高保鮮時間越短，故B錯
誤；120＝e b ，30＝e20 k＋ b ＝e20 k ·e b ，則e20 k ＝ ，e10 k ＝ ，故e10 k＋
b ＝e10 k ·e b ＝ ×120＝60（小時），故C正確；e30 k＋ b ＝e30 k ·e b ＝
（ ）3×120＝15（小時），故D錯誤.故選A、C.
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13. 一種藥在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，現給某病人
注射了這種藥2 500 mg，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰
減，為了充分發揮藥物的利用價值，那么從現在起經過 小時
向病人的血液補充這種藥，才能保持療效（附：lg 2≈0.301 0，lg
3≈0.477 1，答案采取四舍五入精確到0.1）.
2.3　
解析：設從現在起經過 x 小時向病人的血液補充這種藥，才能保
持療效.則2 500×0.8 x ＝1 500，即0.8 x ＝0.6，所以lg 0.8 x ＝lg
0.6，即 x lg 0.8＝lg 0.6， x ＝ ＝ ＝ ≈
≈2.3.
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14. 某學習小組在暑期社會實踐活動中，通過對某商店一種小物品
的銷售情況的調查發現：該小物品在過去的一個月內（以30天
計）每件的銷售價格 P （ x ）（單位：元）與時間 x （單位：
天）的函數關系近似滿足 P （ x ）＝1＋ （ k 為正常數），日
銷售量 Q （ x ）（單位：件）與時間 x （單位：天）的部分數
據如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q （ x ）/件 110 120 125 120
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已知第10天的日銷售收入為121元.
（1）求 k 的值；
解： 依題意知第10天的日銷售收入為 P （10）· Q
（10）＝ ×110＝121，解得 k ＝1.
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（2）給出以下四種函數模型：① Q （ x ）＝ ax ＋ b ；② Q （ x ）
＝ a ｜ x －25｜＋ b ；③ Q （ x ）＝ a · bx ；④ Q （ x ）＝ a ·log
bx .請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種
函數來描述日銷售量 Q （ x ）與時間 x 的變化關系，并求出
該函數的解析式；
解：由表中的數據知，當時間變化時，日銷售量有增有減
并不單調，故只能選② Q （ x ）＝ a ｜ x －25｜＋ b .從表中
任意取兩組值代入可求得 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜（1≤ x
≤30， x ∈N*）.
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（3）求該小物品的日銷售收入 f （ x ）（單位：元）的最小值.
解：由（2）知 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜
＝
所以 f （ x ）＝ P （ x ）· Q （ x ）
＝
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當1≤ x ＜25時， y ＝ x ＋ 在[1，10]上單調遞減，在[10，25）上單調遞增，所以當 x ＝10時， f （ x ）取得最小值， f （ x ）min＝121；
當25≤ x ≤30時， y ＝ － x 單調遞減，所以當 x ＝30時， f （ x ）取得最小值， f （ x ）min＝124.
綜上所述，當 x ＝10時， f （ x ）取得最小值， f （ x ）min＝121.
所以該小物品的日銷售收入的最小值為121元.
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