資源簡介

　　
一、函數的零點
　　函數的零點主要考查零點個數及零點所在區間，主要利用轉化思想把零點問題轉化成函數與x軸的交點以及兩函數圖象的交點問題.
【例1】?。?）已知函數f（x）＝函數g（x）＝3－f（2－x），則函數y＝f（x）－g（x）的零點個數為（　?。?br/>A.2　　　　B.3 C.4　　　　D.5
（2）已知函數f（x）＝－log2x，在下列區間中，包含f（x）零點的區間是（　　）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，4） D.（4，＋∞）
反思感悟
　　轉化是解決函數零點問題的基本思想，主要體現在函數的零點、方程的實數根、函數圖象與x軸交點的橫坐標、兩函數圖象交點的橫坐標這四個問題間的相互轉化，解決問題的過程中要注意等價轉換.
二、二分法
　　二分法求函數的零點或方程的近似解是對函數零點存在定理的應用，用二分法求方程的近似解，首先要選好計算的初始區間，其次要及時檢驗所得區間端點的近似值是否達到要求，以決定是停止計算還是繼續計算.
【例2】　判斷方程2x3－4x2－3x＋3＝0在（0，1）內是否有解，若有，則利用二分法求出該方程在（0，1）內的近似解.（精確到0.1）
反思感悟
用二分法求方程近似解的關注點
（1）理論依據：函數零點存在定理；
（2）方法：構造函數，通過求函數零點近似值解決；
（3）表示：借助表格或數軸表示，會使求解過程顯得更清晰；
（4）注意：要隨時檢驗有根區間（a，b）的端點值，在精確到同一數位下的近似值是否相等.
三、函數模型的應用
　函數模型的應用一般分為兩類
（1）已知函數模型解決實際問題；
（2）根據實際生活情境抽象構建出切合實際的函數模型，并應用模型解決實際問題.
【例3】　某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線.其中OA是線段，曲線段AB是函數y＝kat （t≥1，a＞0，k，a是常數）的部分圖象.
（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關于時間t的函數關系式；
（2）據測定：每毫升血液中含藥量不少于2 μg時治療有效，若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？
（3）若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3 h該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1 μg）
反思感悟
建立函數模型解決實際問題的步驟
章末復習與總結
【例1】?。?）A　（2）C　解析：（1）函數y＝f（x）－g（x）的零點個數即f（x），g（x）圖象的交點個數.在同一平面直角坐標系中分別畫出函數f（x）＝和函數g（x）＝3－f（2－x）＝的大致圖象，如圖所示，由圖可知，函數f（x），g（x）的圖象有2個交點，所以函數y＝f（x）－g（x）的零點個數為2.
（2）因為f（x）在（0，＋∞）上為減函數，又f（1）＝6－log21＝6＞0，f（2）＝3－log22＝2＞0，f（4）＝－log24＝－＜0，所以由函數零點存在定理知函數f（x）在區間（2，4）內必存在零點.
【例2】　解：設f（x）＝2x3－4x2－3x＋3，
∵f（0）＝3＞0，f（1）＝－2＜0，且函數f（x）在區間[0，1]上的圖象是不間斷的，
∴原方程在（0，1）內有解.
設方程的零點為x0，
?。?，1）的中點0.5，且f（0.5）＝0.75＞0，
∴x0∈（0.5，1）.取（0.5，1）的中點0.75，
且f（0.75）≈－0.656＜0，∴x0∈（0.5，0.75）.
?。?.5，0.75）的中點0.625，
且f（0.625）≈0.05＞0，∴x0∈（0.625，0.75）.
?。?.625，0.75）的中點0.687 5，
且f（0.687 5）≈－0.3＜0.
∴x0∈（0.625，0.687 5），
同理x0∈（0.625，0.656 25），
x0∈（0.625，0.640 625）.
由于0.625與0.640 625精確到0.1的近似值都是0.6，∴原方程的近似解（精確到0.1）為0.6.
【例3】　解：（1）當0≤t＜1時，y＝8t；
當t≥1時，把A（1，8），B（7，1）代入y＝kat，得解得
故y＝
（2）設第一次服藥后最遲過t小時服第二次藥，則解得t＝5，
即第一次服藥5 h后服第二次藥，即上午11：00服藥.
（3）第二次服藥3 h后，每毫升血液中所包含的第一次服藥后的剩余量為：y1＝8＝（μg），第二次服藥量剩余為：y2＝8＝4（μg），
所以此時兩次服藥剩余的量為＋4≈4.7（μg），
故該病人每毫升血液中的含藥量約為4.7 μg.
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章末復習與總結
一、函數的零點
　　函數的零點主要考查零點個數及零點所在區間，主要利用轉化思
想把零點問題轉化成函數與 x 軸的交點以及兩函數圖象的交點問題.
【例1】?。?）已知函數 f （ x ）＝函數 g
（ x ）＝3－ f （2－ x ），則函數 y ＝ f （ x ）－ g （ x ）的零點個數為
（　A?。?br/>A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
解析：函數 y ＝ f （ x ）－ g （ x ）的零點個數即 f （ x ）， g （ x ）圖象
的交點個數.在同一平面直角坐標系中分別畫出函數 f （ x ）＝
和函數 g （ x ）＝3－ f （2－ x ）＝
的大致圖象，如圖所示，由圖可知，函數 f
（ x ）， g （ x ）的圖象有2個交點，所以函數 y ＝ f （ x ）－ g （ x ）的
零點個數為2.
（2）已知函數 f （ x ）＝ －log2 x ，在下列區間中，包含 f （ x ）零點
的區間是（　C?。?br/>A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，4） D. （4，＋∞）
解析：因為 f （ x ）在（0，＋∞）上為減函數，又 f （1）＝6－
log21＝6＞0， f （2）＝3－log22＝2＞0， f （4）＝ －log24＝－
＜0，所以由函數零點存在定理知函數 f （ x ）在區間（2，4）
內必存在零點.
C
反思感悟
　　轉化是解決函數零點問題的基本思想，主要體現在函數的零點、
方程的實數根、函數圖象與 x 軸交點的橫坐標、兩函數圖象交點的橫
坐標這四個問題間的相互轉化，解決問題的過程中要注意等價轉換.
二、二分法
　　二分法求函數的零點或方程的近似解是對函數零點存在定理的應
用，用二分法求方程的近似解，首先要選好計算的初始區間，其次要
及時檢驗所得區間端點的近似值是否達到要求，以決定是停止計算還
是繼續計算.
【例2】　判斷方程2 x3－4 x2－3 x ＋3＝0在（0，1）內是否有解，若
有，則利用二分法求出該方程在（0，1）內的近似解.（精確到0.1）
解：設 f （ x ）＝2 x3－4 x2－3 x ＋3，
∵ f （0）＝3＞0， f （1）＝－2＜0，且函數 f （ x ）在區間[0，1]上的
圖象是不間斷的，
∴原方程在（0，1）內有解.
設方程的零點為 x0，
取（0，1）的中點0.5，且 f （0.5）＝0.75＞0，
∴ x0∈（0.5，1）.取（0.5，1）的中點0.75，
且 f （0.75）≈－0.656＜0，∴ x0∈（0.5，0.75）.
?。?.5，0.75）的中點0.625，
且 f （0.625）≈0.05＞0，∴ x0∈（0.625，0.75）.
取（0.625，0.75）的中點0.687 5，
且 f （0.687 5）≈－0.3＜0.
∴ x0∈（0.625，0.687 5），
同理 x0∈（0.625，0.656 25），
x0∈（0.625，0.640 625）.
由于0.625與0.640 625精確到0.1的近似值都是0.6，∴原方程的近似
解（精確到0.1）為0.6.
反思感悟
用二分法求方程近似解的關注點
（1）理論依據：函數零點存在定理；
（2）方法：構造函數，通過求函數零點近似值解決；
（3）表示：借助表格或數軸表示，會使求解過程顯得更清晰；
（4）注意：要隨時檢驗有根區間（ a ， b ）的端點值，在精確到同一
數位下的近似值是否相等.
三、函數模型的應用
　函數模型的應用一般分為兩類
（1）已知函數模型解決實際問題；
（2）根據實際生活情境抽象構建出切合實際的函數模型，并應用模
型解決實際問題.
【例3】　某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的
劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量 y （μg）與服藥后的時
間 t （h）之間近似滿足如圖所示的曲線.其中 OA 是線段，曲線段 AB
是函數 y ＝ kat （ t ≥1， a ＞0， k ， a 是常數）的部分圖象.
（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量 y 關于時間 t 的函數關系式；
解：當0≤ t ＜1時， y ＝8 t ；
當 t ≥1時，把 A （1，8）， B （7，1）代入 y ＝ kat ，得
解得故 y ＝
（2）據測定：每毫升血液中含藥量不少于2 μg時治療有效，若某病
人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當
天幾點鐘？
解：設第一次服藥后最遲過 t 小時服第二次藥，則
解得 t ＝5，
即第一次服藥5 h后服第二次藥，即上午11：00服藥.
（3）若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3 h
該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1 μg）
解：第二次服藥3 h后，每毫升血液中所包含的第一次服藥后的
剩余量為： y1＝8 ＝ （μg），第二次服藥量剩余
為： y2＝8 ＝4（μg），
所以此時兩次服藥剩余的量為 ＋4≈4.7（μg），
故該病人每毫升血液中的含藥量約為4.7 μg.
反思感悟
建立函數模型解決實際問題的步驟
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