資源簡介

章末檢測（八）　函數應用
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.函數f（x）＝ln（x＋1）－的零點所在的大致區間是（　?。?br/>A.（1，2） B.（0，1）
C.（2，e） D.（3，4）
2.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x（單位：℃）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到如圖的散點圖：
由此散點圖，在10 ℃至40 ℃之間，下面四個函數中最適宜作為發芽率y和溫度x的函數的是（　?。?br/>A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋bex D.y＝a＋bln x
3.以半徑為R的半圓上任意一點P為頂點，直徑AB為底邊的△PAB的面積S與高PD＝x的函數關系式是（　?。?br/>A.S＝Rx B.S＝2Rx（x＞0）
C.S＝Rx（0＜x≤R） D.S＝πR2
4.用二分法求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的根的近似值時，令f（x）＝ln（2x＋6）＋2－3x，并用計算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f（x） 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
則由表中的數據，可得方程ln（2x＋6）＋2＝3x的一個近似解（精確到0.1）為（　　）
A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
5.隨著智能手機的普及，短視頻APP迅速躥紅.針對這種現狀，某文化傳媒有限公司決定逐年加大短視頻制作的資金投入，若該公司2019年投入短視頻制作的資金為5 000萬元人民幣，在此基礎上，若以后每年的資金投入均比上一年增長8%，則該公司投入短視頻制作的資金開始超過6 900萬元人民幣的年份是（參考數據：lg 1.08≈0.03，lg 5≈0.70，lg 6.9≈0.84）（　　）
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
6.已知函數f（x）＝若關于x的方程f（x）＝k有兩個不等的實根，則實數k的取值范圍是（　?。?br/>A.（0，＋∞） B.（1，＋∞）
C.（0，1] D.（－∞，1）
7.國家為保民生采取宏觀調控對豬肉價格進行有效地控制.通過市場調查，得到豬肉價格在近四個月的市場平均價f（x）（單位：元/斤）與時間x（單位：月）的數據如下：
x 8 9 10 11
f（x） 28.00 33.99 36.00 34.02
現有三種函數模型：f（x）＝bx＋a，f（x）＝ax2＋bx＋c，f（x）＝（）x＋a，找出你認為最適合的函數模型，并估計12月份的豬肉市場平均價（單位：元/斤）為（　?。?br/>A.28 B.25
C.23 D.21
8.若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x＋2）＝f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）＝x，則函數y＝f（x）－log3｜x｜的零點個數是（　?。?br/>A.5 B.4
C.3 D.2
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.下列函數中，是奇函數且存在零點的是（　　）
A.y＝x3＋x B.y＝log2x
C.y＝2x2－3 D.y＝x｜x｜
10.已知狄利克雷函數f（x）滿足：當x取有理數時，f（x）＝1；當x取無理數時，f（x）＝0.則下列選項成立的是（　　）
A.f（x）≥0
B.f（x）≤1
C.f（x）－x3＝0有1個實數根
D.f（x）－x3＝0有2個實數根
11.在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石.布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的圖象不間斷的函數f（x），存在一個點x0，使得f（x0）＝x0，那么我們稱該函數為“不動點”函數.下列為“不動點”函數的是（　　）
A.f（x）＝2x＋x　　　　 B.f（x）＝x2－x－3
C.f（x）＝ D.f（x）＝－x
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.若函數f（x）＝（a＋2）x2＋2ax＋1有零點，但不能用二分法求其零點，則實數a的值為　　　　.
13.已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，－2是它的一個零點，且在（0，＋∞）上單調遞增，則該函數有　　　　個零點，這幾個零點的和等于　　　　.
14.已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減.現給某病人靜脈注射了該藥物2 500 mg，設經過x個小時后，藥物在病人血液中的量為y mg.
（1）y與x的關系式為　　　　　　　　；
（2）當該藥物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上時，才有療效；而低于500 mg時，病人就有危險.則要使病人沒有危險，再次注射該藥物的時間不能超過　　　小時.（精確到0.1，參考數據：0.87.2≈0.2）
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）設函數f（x）＝求函數g（x）＝f（x）－的零點.
16.（本小題滿分15分）某公司對營銷人員有如下規定：①年銷售額x（萬元）在8萬元以下，沒有獎金；②年銷售額x（萬元），x∈[8，64]時，獎金為y萬元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年銷售額越大，獎金越多；③年銷售額x（萬元）超過64萬元，按年銷售額的10%發獎金.
（1）求獎金y關于x的函數解析式；
（2）某營銷人員爭取獲得年獎金y∈[4，10]（萬元），求年銷售額x在什么范圍內.
17.（本小題滿分15分）已知函數f（x）＝ax2＋x＋1＋a.
（1）若函數y＝f（x）＋x有唯一的零點，求實數a的值；
（2）設a＞0，若對任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f（x）恒成立，求實數a的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）國內某大型機械加工企業在過去的一個月內（共計30天，包括第30天），其主營產品在第x天的指導價為每件P（x）（元），且滿足P（x）＝（x∈N），第x天的日交易量Q（x）（萬件）的部分數據如下表：
第x天 1 2 5 10
Q（x）（萬件） 14.01 12 10.8 10.38
（1）給出以下兩種函數模型：①Q（x）＝a＋2x＋b，②Q（x）＝a＋，其中a，b為常數.請你根據上表中的數據，從①②中選擇你認為最合適的一種函數模型來擬合該產品日交易量Q（x）（萬件）的函數關系；并且從四組數據中選擇你認為最簡潔合理的兩組數據進行合理的推理和運算，求出Q（x）的函數關系式；
（2）若該企業在未來一個月（共計30天，包括第30天）的生產經營水平維持上個月的水平基本不變，由（1）預測并求出該企業在未來一個月內第x天的日交易額f（x）的函數關系式，并確定f（x）取得最小值時對應的x.
19.（本小題滿分17分）已知函數f（x）＝ax－3x2（a＞0，a≠1）的圖象過點（－1，－），g（x）＝ln x.若函數F（x）在定義域內存在實數t，使得F（t＋1）＝F（t）＋F（1）成立，則稱函數F（x）具有性質M.
（1）求實數a的值；
（2）判斷函數g（x）是否具有性質M？并說明理由；
（3）證明：函數f（x）具有性質M.
章末檢測（八）　函數應用
1.A　f（1）＝ln 2－2＝ln＜ln 1＝0，f（2）＝ln 3－1＝ln＞ln 1＝0，所以函數f（x）＝ln（x＋1）－的零點所在的大致區間是（1，2）.
2.D　由散點圖可以看出，點大致分布在對數型函數的圖象附近.故選D.
3.C　S△PAB＝·AB·PD＝Rx，又0＜PD≤R，∴S＝Rx（0＜x≤R）.
4.B　∵f（1.25）f（1.375）＜0，故根據二分法思想，函數f（x）的零點在區間（1.25，1.375）內，由于1.25與1.375精確到0.1的近似值不同，需要再取其中點1.312 5，可估算f（1.312 5）＜0，∴f（x）的零點在區間（1.25，1.312 5）內，其精確到0.1的近似值為1.3.
5.B　依題意，年份為n時短視頻制作的資金為5 000×（1＋8%）n－2 019萬元，n∈N*，n≥2 019.由5 000×（1＋8%）n－2 019＞6 900，整理得（n－2 019）lg 1.08＞lg 6.9－lg 5，解得n＞＋2 019≈4.7＋2 019＝2 023.7，從而得n＝2 024，所以資金投入開始超過6 900萬元的年份是2024年.故選B.
6.C　作出函數f（x）的圖象，由圖象知，當0＜k≤1時，y＝k與y＝f（x）的圖象有兩個交點，此時方程f（x）＝k有兩個不等實根，所以0＜k≤1，故選C.
7.A　第二組數據近似為（9，34），第四組數據近似為（11，34），根據四組數據（8，28），（9，34），（10，36），（11，34），可得f（x）先增后減，而f（x）＝bx＋a和f（x）＝（）x＋a都是單調函數，故不符合要求，所以選f（x）＝
ax2＋bx＋c.由第二組數據（9，34）和第四組數據（11，34），可得f（x）的圖象關于x＝10對稱，故x＝12時，f（12）＝f（8）＝28.故選A.
8.B　∵偶函數f（x）滿足f（x＋2）＝f（x），∴函數的周期為2.當x∈[0，1]時，f（x）＝x，故當x∈[－1，0]時，f（x）＝－x.函數y＝f（x）－log3｜x｜的零點的個數等于函數y＝f（x）的圖象與函數y＝log3｜x｜的圖象的交點個數.在同一個坐標系中畫出函數y＝f（x）的圖象與函數y＝log3｜x｜的圖象，如圖所示.顯然函數y＝f（x）的圖象與函數y＝log3｜x｜的圖象有4個交點，故選B.
9.AD　A中，y＝x3＋x為奇函數，且存在零點0，與題意相符；B中，y＝log2x為非奇非偶函數，與題意不符；C中，y＝2x2－3為偶函數，與題意不符；D中，y＝x｜x｜是奇函數，且存在零點0，與題意相符.故選A、D.
10.ABC　因為f（x）的值域為，故A、B成立；當x取有理數時，f（x）－x3＝1－x3＝0只有一個根1，當x取無理數時，可得f（x）－x3＝0－x3＝0，解得x＝0（舍去），故C成立、D不成立.故選A、B、C.
11.BCD　根據定義可知，若f（x）有不動點，則f（x）＝x有解.A中，令2x＋x＝x，得2x＝0，此時無解，故f（x）不是“不動點”函數，故A錯誤；B中，令x2－x－3＝x，得x＝3或x＝－1，所以f（x）是“不動點”函數，故B正確；C中，當x≤1時，令2x2－1＝x，得x＝－或x＝1，所以f（x）是“不動點”函數，故C正確；D中，令－x＝x，所以x＝±，所以f（x）是“不動點”函數，故D正確.故選B、C、D.
12.2或－1　解析：由題意，知（a＋2）x2＋2ax＋1＝0有兩個相等實根，所以Δ＝4a2－4（a＋2）＝0，解得a＝2或a＝－1.
13.3　0　解析：因為f（x）是R上的奇函數，所以f（0）＝0，又因為f（x）在（0，＋∞）上單調遞增，由奇函數的對稱性可知，f（x）在（－∞，0）上也是單調遞增的，由f（2）＝－f（－2）＝0.因此在（0，＋∞），（－∞，0）上都只有一個零點，綜上，函數f（x）在R上共有3個零點，其和為－2＋0＋2＝0.
14.（1）y＝2 500×0.8x?。?）7.2　解析：（1）由題意知，該種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減，給某病人注射了該藥物2 500 mg，經過x個小時后，藥物在病人血液中的量為y＝2 500×（1－20%）x＝2 500×0.8x（mg），即y與x的關系式為y＝2 500×0.8x.
（2）當該藥物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上時，才有療效；而低于500 mg時，病人就有危險，∴令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是減函數，∴x≤7.2，∴要使病人沒有危險，再次注射該藥物的時間不能超過7.2小時.
15.解：求函數g（x）＝f（x）－的零點，即求方程f（x）－＝0的根.
當x≥1時，2x－2－＝0，得x＝；
當x＜1時，x2－2x－＝0，得x＝或x＝；
因為x＜1，所以x＝（舍去），
所以x＝.
故函數g（x）＝f（x）－的零點是和.
16.解：（1）依題意知y＝logax在x∈[8，64]上單調遞增，由題意得解得a＝2，
所以y＝
（2）易知x≥8.當8≤x≤64時，要使y∈[4，10]，
則4≤log2x≤10，所以16≤x≤1 024，
所以16≤x≤64；
當x＞64時，要使y∈[4，10]，則x∈[4，10]，
即40≤x≤100，所以64＜x≤100.
綜上，當年銷售額x在[16，100]（萬元）內時，年獎金y∈[4，10]（萬元）.
17.解：（1）函數y＝f（x）＋x有唯一的零點，等價于ax2＋2x＋a＋1＝0有唯一實根.
若a＝0，則方程為2x＋1＝0，方程根為x＝－，滿足題意；
若a≠0，則Δ＝22－4a（a＋1）＝－4a2－4a＋4＝0，得a＝.
綜上，a＝0或a＝.
（2）設a＞0，若對任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f（x）恒成立等價于ax2－x＋a＋1≥0恒成立，
設g（x）＝ax2－x＋a＋1，
若≤1，即a≥，則g（x）在[1，2]上遞增，
所以g（x）min＝g（1）＝2a≥0，所以a≥；
若1＜＜2，即＜a＜，則g（x）在［1，］上遞減，在［，2］上遞增，
所以g（x）min＝g（）≥0，所以＜a＜；
若≥2，即a≤，則g（x）在[1，2]上遞減，
所以g（x）min＝g（2）＝5a－1≥0，
所以≤a≤.
綜上所述，a≥，
即a的取值范圍為［，＋∞）.
18.解：（1）由給出數據可知：隨著自變量增大，函數值在變小，
又函數模型①是遞增的指數型函數，模型②為遞減的反比型函數，故選擇模型②.
觀察表格中的4組數據（1，14.01），（2，12），（5，10.8），（10，10.38），
從數據簡潔并且易于計算的角度，理應選擇中間兩組數據，
即解得
可以檢驗Q（1）＝14，Q（10）＝10.4相對合理，
從而Q（x）＝10＋.
（2）由（1）可得f（x）＝P（x）·Q（x）
＝
當1≤x≤20時，由基本不等式得f（x）＝10（x＋）＋404≥20＋404＝484，
當且僅當x＝4時取到最小值；
當20＜x≤30時，f（x）＝796－10x＋，
可得f（x）在（20，30]上單調遞減，
故在x＝30時，f（x）有最小值，最小值為萬元，
又484＜，所以當x＝4時，f（x）取得最小值.
19.解：（1）由題意，函數f（x）＝ax－3x2（a＞0，a≠1）的圖象過點（－1，－），所以f（－1）＝a－1－3（－1）2＝－，解得a＝2.
（2）函數g（x）不具有性質M.證明如下：
函數g（x）＝ln x的定義域為（0，＋∞），
方程g（t＋1）＝g（t）＋g（1） ln（t＋1）＝ln t＋ln 1 ln（t＋1）＝ln t t＋1＝t，
而方程t＋1＝t無解，所以不存在實數t∈（0，＋∞），使得g（t＋1）＝g（t）＋g（1）成立，所以函數g（x）不具有性質M.
（3）證明：由（1）知f（x）＝2x－3x2，定義域為R，方程f（t＋1）＝f（t）＋f（1） 2t＋1－3（t＋1）2＝2t－3t2＋2－3 2t－6t－2＝0.
設G（t）＝2t－6t－2，則G（0）＝20－2＝－1＜0，G（－1）＝2－1－6×（－1）－2＞0，即G（－1）G（0）＜0，
又函數G（t）的圖象連續，
所以函數G（t）在區間（－1，0）存在零點，
所以存在實數t使得f（t＋1）＝f（t）＋f（1）成立，
所以函數f（x）具有性質M.
2 / 3(共42張PPT)
章末檢測（八）　函數應用
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 函數 f （ x ）＝ln（ x ＋1）－ 的零點所在的大致區間是（　?。?br/>A. （1，2） B. （0，1）
C. （2，e） D. （3，4）
解析： 　 f （1）＝ln 2－2＝ln ＜ln 1＝0， f （2）＝ln 3－1＝ln
＞ln 1＝0，所以函數 f （ x ）＝ln（ x ＋1）－ 的零點所在的大致區
間是（1，2）.
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2. 某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率 y 和溫度 x （單
位：℃）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由
實驗數據（ xi ， yi ）（ i ＝1，2，…，20）得到如圖的散點圖：
由此散點圖，在10 ℃至40 ℃之間，下面四個函數中最適宜作為發
芽率 y 和溫度 x 的函數的是（　?。?br/>A. y ＝ a ＋ bx B. y ＝ a ＋ bx2
C. y ＝ a ＋ b e x D. y ＝ a ＋ b ln x
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解析： 　由散點圖可以看出，點大致分布在對數型函數的圖象附
近.故選D.
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3. 以半徑為 R 的半圓上任意一點 P 為頂點，直徑 AB 為底邊的△ PAB 的
面積 S 與高 PD ＝ x 的函數關系式是（　?。?br/>A. S ＝ Rx B. S ＝2 Rx （ x ＞0）
C. S ＝ Rx （0＜ x ≤ R ） D. S ＝π R2
解析： 　 S△ PAB ＝ · AB · PD ＝ Rx ，又0＜ PD ≤ R ，∴ S ＝ Rx （0
＜ x ≤ R ）.
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4. 用二分法求方程ln（2 x ＋6）＋2＝3 x 的根的近似值時，令 f （ x ）
＝ln（2 x ＋6）＋2－3 x ，并用計算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f （ x ） 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
則由表中的數據，可得方程ln（2 x ＋6）＋2＝3 x 的一個近似解（精
確到0.1）為（　?。?br/>A. 1.2 B. 1.3
C. 1.4 D. 1.5
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解析： 　∵ f （1.25） f （1.375）＜0，故根據二分法思想，函數
f （ x ）的零點在區間（1.25，1.375）內，由于1.25與1.375精確
到0.1的近似值不同，需要再取其中點1.312 5，可估算 f （1.312
5）＜0，∴ f （ x ）的零點在區間（1.25，1.312 5）內，其精確到
0.1的近似值為1.3.
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5. 隨著智能手機的普及，短視頻APP迅速躥紅.針對這種現狀，某文
化傳媒有限公司決定逐年加大短視頻制作的資金投入，若該公司
2019年投入短視頻制作的資金為5 000萬元人民幣，在此基礎上，
若以后每年的資金投入均比上一年增長8%，則該公司投入短視頻
制作的資金開始超過6 900萬元人民幣的年份是（參考數據：lg
1.08≈0.03，lg 5≈0.70，lg 6.9≈0.84）（　　）
A. 2023年 B. 2024年
C. 2025年 D. 2026年
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解析： 　依題意，年份為 n 時短視頻制作的資金為5 000×（1＋
8%） n－2 019萬元， n ∈N*， n ≥2 019.由5 000×（1＋8%） n－2 019＞
6 900，整理得（ n －2 019）lg 1.08＞lg 6.9－lg 5，解得 n ＞
＋2 019≈4.7＋2 019＝2 023.7，從而得 n ＝2 024，所以資
金投入開始超過6 900萬元的年份是2024年.故選B.
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6. 已知函數 f （ x ）＝若關于 x 的方程 f （ x ）＝ k 有
兩個不等的實根，則實數 k 的取值范圍是（　?。?br/>A. （0，＋∞） B. （1，＋∞）
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解析： 　作出函數 f （ x ）的圖象，由圖象知，當0＜ k ≤1時， y
＝ k 與 y ＝ f （ x ）的圖象有兩個交點，此時方程 f （ x ）＝ k 有兩個
不等實根，所以0＜ k ≤1，故選C.
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7. 國家為保民生采取宏觀調控對豬肉價格進行有效地控制.通過市場
調查，得到豬肉價格在近四個月的市場平均價 f （ x ）（單位：元/
斤）與時間 x （單位：月）的數據如下：
x 8 9 10 11
f （ x ） 28.00 33.99 36.00 34.02
現有三種函數模型： f （ x ）＝ bx ＋ a ， f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c ， f
（ x ）＝（ ） x ＋ a ，找出你認為最適合的函數模型，并估計12月
份的豬肉市場平均價（單位：元/斤）為（　　）
A. 28 B. 25
C. 23 D. 21
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解析： 　第二組數據近似為（9，34），第四組數據近似為
（11，34），根據四組數據（8，28），（9，34），（10，36），
（11，34），可得 f （ x ）先增后減，而 f （ x ）＝ bx ＋ a 和 f （ x ）
＝（ ） x ＋ a 都是單調函數，故不符合要求，所以選 f （ x ）＝ ax2
＋ bx ＋ c .由第二組數據（9，34）和第四組數據（11，34），可得
f （ x ）的圖象關于 x ＝10對稱，故 x ＝12時， f （12）＝ f （8）＝
28.故選A.
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8. 若定義在R上的偶函數 f （ x ）滿足 f （ x ＋2）＝ f （ x ），且當 x
∈[0，1]時， f （ x ）＝ x ，則函數 y ＝ f （ x ）－log3｜ x ｜的零點
個數是（　　）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
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解析： 　∵偶函數 f （ x ）滿足 f （ x ＋2）＝ f （ x ），∴函數的周期為2.當 x ∈[0，1]時， f （ x ）＝ x ，故當 x ∈[－1，0]時， f （ x ）＝－ x .函數 y ＝ f （ x ）－log3｜ x ｜的零點的個數等于函數 y ＝ f （ x ）的圖象與函數 y ＝log3｜ x ｜的圖象的交點個數.在同一個坐標系中畫出函數 y ＝ f （ x ）的圖象與函數 y ＝log3｜ x ｜的圖象，如圖所示.顯然函數 y ＝ f （ x ）的圖象與函數 y ＝log3｜ x ｜的圖象有4個交點，故選B.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 下列函數中，是奇函數且存在零點的是（　?。?br/>A. y ＝ x3＋ x B. y ＝log2 x
C. y ＝2 x2－3 D. y ＝ x ｜ x ｜
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解析： 　A中， y ＝ x3＋ x 為奇函數，且存在零點0，與題意相
符；B中， y ＝log2 x 為非奇非偶函數，與題意不符；C中， y ＝2 x2
－3為偶函數，與題意不符；D中， y ＝ x ｜ x ｜是奇函數，且存在
零點0，與題意相符.故選A、D.
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10. 已知狄利克雷函數 f （ x ）滿足：當 x 取有理數時， f （ x ）＝1；
當 x 取無理數時， f （ x ）＝0.則下列選項成立的是（　?。?br/>A. f （ x ）≥0
B. f （ x ）≤1
C. f （ x ）－ x3＝0有1個實數根
D. f （ x ）－ x3＝0有2個實數根
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解析： 　因為 f （ x ）的值域為 ，故A、B成立；當 x 取
有理數時， f （ x ）－ x3＝1－ x3＝0只有一個根1，當 x 取無理數
時，可得 f （ x ）－ x3＝0－ x3＝0，解得 x ＝0（舍去），故C成
立、D不成立.故選A、B、C.
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11. 在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動
點定理，它可應用到有限維空間，并構成一般不動點定理的基石.
布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（L. E.
J. Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的圖象不間斷的
函數 f （ x ），存在一個點 x0，使得 f （ x0）＝ x0，那么我們稱該函
數為“不動點”函數.下列為“不動點”函數的是（　?。?br/>A. f （ x ）＝2 x ＋ x B. f （ x ）＝ x2－ x －3
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解析： 　根據定義可知，若 f （ x ）有不動點，則 f （ x ）＝ x
有解.A中，令2 x ＋ x ＝ x ，得2 x ＝0，此時無解，故 f （ x ）不是
“不動點”函數，故A錯誤；B中，令 x2－ x －3＝ x ，得 x ＝3或 x
＝－1，所以 f （ x ）是“不動點”函數，故B正確；C中，當 x ≤1
時，令2 x2－1＝ x ，得 x ＝－ 或 x ＝1，所以 f （ x ）是“不動點”
函數，故C正確；D中，令 － x ＝ x ，所以 x ＝± ，所以 f （ x ）
是“不動點”函數，故D正確.故選B、C、D.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 若函數 f （ x ）＝（ a ＋2） x2＋2 ax ＋1有零點，但不能用二分法
求其零點，則實數 a 的值為 .
解析：由題意，知（ a ＋2） x2＋2 ax ＋1＝0有兩個相等實根，所
以Δ＝4 a2－4（ a ＋2）＝0，解得 a ＝2或 a ＝－1.
2或－1　
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13. 已知函數 f （ x ）是定義域為R的奇函數，－2是它的一個零點，且
在（0，＋∞）上單調遞增，則該函數有 個零點，這幾個零
點的和等于 .
解析：因為 f （ x ）是R上的奇函數，所以 f （0）＝0，又因為 f
（ x ）在（0，＋∞）上單調遞增，由奇函數的對稱性可知， f
（ x ）在（－∞，0）上也是單調遞增的，由 f （2）＝－ f （－2）
＝0.因此在（0，＋∞），（－∞，0）上都只有一個零點，綜
上，函數 f （ x ）在R上共有3個零點，其和為－2＋0＋2＝0.
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0　
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14. 已知某種藥物在血液中以每小時20%的比例衰減.現給某病人靜脈
注射了該藥物2 500 mg，設經過 x 個小時后，藥物在病人血液中的
量為 y mg.
（1） y 與 x 的關系式為 ；
解析： 由題意知，該種藥物在血液中以每小時20%的
比例衰減，給某病人注射了該藥物2 500 mg，經過 x 個小時
后，藥物在病人血液中的量為 y ＝2 500×（1－20%） x ＝2
500×0.8 x （mg），即 y 與 x 的關系式為 y ＝2 500×0.8 x .
y ＝2 500×0.8 x 　
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（2）當該藥物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上時，才有療
效；而低于500 mg時，病人就有危險.則要使病人沒有危
險，再次注射該藥物的時間不能超過 小時.（精確到
0.1，參考數據：0.87.2≈0.2）
解析： 當該藥物在病人血液中的量保持在1 500 mg以
上時，才有療效；而低于500 mg時，病人就有危險，∴令
2 500×0.8 x ≥500，即0.8 x ≥0.2.∵0.87.2≈0.2， y ＝0.8 x 是
減函數，∴ x ≤7.2，∴要使病人沒有危險，再次注射該藥
物的時間不能超過7.2小時.
7.2　
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）設函數 f （ x ）＝求函
數 g （ x ）＝ f （ x ）－ 的零點.
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解：求函數 g （ x ）＝ f （ x ）－ 的零點，即求方程 f （ x ）－ ＝
0的根.
當 x ≥1時，2 x －2－ ＝0，得 x ＝ ；
當 x ＜1時， x2－2 x － ＝0，得 x ＝ 或 x ＝ ；
因為 x ＜1，所以 x ＝ （舍去），
所以 x ＝ .
故函數 g （ x ）＝ f （ x ）－ 的零點是 和 .
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16. （本小題滿分15分）某公司對營銷人員有如下規定：①年銷售額
x （萬元）在8萬元以下，沒有獎金；②年銷售額 x （萬元）， x
∈[8，64]時，獎金為 y 萬元，且 y ＝log ax ， y ∈[3，6]，且年銷
售額越大，獎金越多；③年銷售額 x （萬元）超過64萬元，按年
銷售額的10%發獎金.
（1）求獎金 y 關于 x 的函數解析式；
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解： 依題意知 y ＝log ax 在 x ∈[8，64]上單調遞增，由
題意得解得 a ＝2，
所以 y ＝
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（2）某營銷人員爭取獲得年獎金 y ∈[4，10]（萬元），求年銷
售額 x 在什么范圍內.
解： 易知 x ≥8.當8≤ x ≤64時，要使 y ∈[4，10]，
則4≤log2 x ≤10，所以16≤ x ≤1 024，
所以16≤ x ≤64；
當 x ＞64時，要使 y ∈[4，10]，則 x ∈[4，10]，
即40≤ x ≤100，所以64＜ x ≤100.
綜上，當年銷售額 x 在[16，100]（萬元）內時，年獎金 y
∈[4，10]（萬元）.
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17. （本小題滿分15分）已知函數 f （ x ）＝ ax2＋ x ＋1＋ a .
（1）若函數 y ＝ f （ x ）＋ x 有唯一的零點，求實數 a 的值；
解： 函數 y ＝ f （ x ）＋ x 有唯一的零點，等價于
ax2＋2 x ＋ a ＋1＝0有唯一實根.
若 a ＝0，則方程為2 x ＋1＝0，方程根為 x ＝－ ，滿足
題意；
若 a ≠0，則Δ＝22－4 a （ a ＋1）＝－4 a2－4 a ＋4＝0，
得 a ＝ .
綜上， a ＝0或 a ＝ .
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（2）設 a ＞0，若對任意的 x ∈[1，2]，不等式2 x ≤ f （ x ）恒成
立，求實數 a 的取值范圍.
解： 設 a ＞0，若對任意的 x ∈[1，2]，不等式2 x ≤ f
（ x ）恒成立等價于 ax2－ x ＋ a ＋1≥0恒成立，
設 g （ x ）＝ ax2－ x ＋ a ＋1，
若 ≤1，即 a ≥ ，
則 g （ x ）在[1，2]上遞增，
所以 g （ x ）min＝ g （1）＝2 a ≥0，所以 a ≥ ；
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若1＜ ＜2，即 ＜ a ＜ ，則 g （ x ）在［1， ］上遞
減，在［ ，2］上遞增，
所以 g （ x ）min＝ g （ ）≥0，所以 ＜ a ＜ ；
若 ≥2，即 a ≤ ，則 g （ x ）在[1，2]上遞減，
所以 g （ x ）min＝ g （2）＝5 a －1≥0，所以 ≤ a ≤ .
綜上所述， a ≥ ，
即 a 的取值范圍為［ ，＋∞）.
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18. （本小題滿分17分）國內某大型機械加工企業在過去的一個月內
（共計30天，包括第30天），其主營產品在第 x 天的指導價為每
件 P （ x ）（元），且滿足 P （ x ）＝（ x
∈N），第 x 天的日交易量 Q （ x ）（萬件）的部分數據如下表：
第 x 天 1 2 5 10
Q （ x ）
（萬件） 14.01 12 10.8 10.38
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（1）給出以下兩種函數模型：① Q （ x ）＝ a ＋2 x＋ b ，② Q
（ x ）＝ a ＋ ，其中 a ， b 為常數.請你根據上表中的數
據，從①②中選擇你認為最合適的一種函數模型來擬合該產
品日交易量 Q （ x ）（萬件）的函數關系；并且從四組數據
中選擇你認為最簡潔合理的兩組數據進行合理的推理和運
算，求出 Q （ x ）的函數關系式；
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解： 由給出數據可知：隨著自變量增大，函數值在變小，又函數模型①是遞增的指數型函數，模型②為遞減的反比型函數，故選擇模型②.
觀察表格中的4組數據（1，14.01），（2，12），（5，10.8），（10，10.38），
從數據簡潔并且易于計算的角度，理應選擇中間兩組數據，
即解得
可以檢驗 Q （1）＝14， Q （10）＝10.4相對合理，
從而 Q （ x ）＝10＋ .
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（2）若該企業在未來一個月（共計30天，包括第30天）的生產經
營水平維持上個月的水平基本不變，由（1）預測并求出該
企業在未來一個月內第 x 天的日交易額 f （ x ）的函數關系
式，并確定 f （ x ）取得最小值時對應的 x .
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解： 由（1）可得 f （ x ）＝ P （ x ）· Q （ x ）＝
當1≤ x ≤20時，由基本不等式得 f （ x ）＝10（ x ＋ ）＋
404≥20 ＋404＝484，當且僅當 x ＝4時取到最小值；
當20＜ x ≤30時， f （ x ）＝796－10 x ＋ ，
可得 f （ x ）在（20，30]上單調遞減，
故在 x ＝30時， f （ x ）有最小值，最小值為 萬元，
又484＜ ，所以當 x ＝4時， f （ x ）取得最小值.
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19. （本小題滿分17分）已知函數 f （ x ）＝ ax －3 x2（ a ＞0， a ≠1）
的圖象過點（－1，－ ）， g （ x ）＝ln x .若函數 F （ x ）在定義
域內存在實數 t ，使得 F （ t ＋1）＝ F （ t ）＋ F （1）成立，則稱
函數 F （ x ）具有性質 M .
（1）求實數 a 的值；
解： 由題意，函數 f （ x ）＝ ax －3 x2（ a ＞0， a ≠1）
的圖象過點（－1，－ ），
所以 f （－1）＝ a－1－3（－1）2＝－ ，解得 a ＝2.
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（2）判斷函數 g （ x ）是否具有性質 M ？并說明理由；
解：函數 g （ x ）不具有性質 M . 證明如下：
函數 g （ x ）＝ln x 的定義域為（0，＋∞），
方程 g （ t ＋1）＝ g （ t ）＋ g （1） ln（ t ＋1）＝ln t ＋ln
1 ln（ t ＋1）＝ln t t ＋1＝ t ，
而方程 t ＋1＝ t 無解，所以不存在實數 t ∈（0，＋∞），使
得 g （ t ＋1）＝ g （ t ）＋ g （1）成立，
所以函數 g （ x ）不具有性質 M .
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（3）證明：函數 f （ x ）具有性質 M .
解：證明：由（1）知 f （ x ）＝2 x －3 x2，定義域為R，方程 f （ t ＋1）＝ f （ t ）＋ f （1） 2 t＋1－3（ t ＋1）2＝2 t －3 t2＋2－3 2 t －6 t －2＝0.
設 G （ t ）＝2 t －6 t －2，則 G （0）＝20－2＝－1＜0， G （－1）＝2－1－6×（－1）－2＞0，即 G （－1） G （0）＜0，
又函數 G （ t ）的圖象連續，
所以函數 G （ t ）在區間（－1，0）存在零點，
所以存在實數 t 使得 f （ t ＋1）＝ f （ t ）＋ f （1）成立，
所以函數 f （ x ）具有性質 M .
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