資源簡介

模塊綜合檢測
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.命題“ x＞0，ln x≥1－”的否定是（　　）
A. x≤0，ln x≥1－　B. x≤0，ln x＜1－
C. x＞0，ln x≥1－ D. x＞0，ln x＜1－
2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＜2}，則A∪（ RB）＝（　?。?br/>A.{x｜x＞1} B.{x｜x≥1}
C.{x｜x＜1} D.{x｜1＜x≤2}
3.已知p：x＋y＞3，q：x＞1且y＞2，則q是p的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.函數y＝sin x＋的圖象大致是（　?。?br/>5.已知a＝log23，b＝，c＝20.4，則下列結論正確的是（　?。?br/>A.c＞b＞a B.b＞c＞a
C.b＞a＞c D.a＞b＞c
6.設函數f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜x＜1時，f（x）＝4x，則f＋f（9）＝（　　）
A.－2 B.2
C.4 D.6
7.已知函數f（x）＝有且僅有3個零點，則正數a的取值范圍是（　?。?br/>A.［，） B.［，）
C.［，） D.［，］
8.已知奇函數f（x）在R上是增函數，g（x）＝f（x－1），則關于x的不等式g（x－3）＋g（2x－7）＞0的解集為（　?。?br/>A.（4，＋∞） B.（－∞，4）
C.（4，5） D.（4，3）
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.若函數f（x）同時滿足①對于定義域上的任意x，恒有f（x）＋f（－x）＝0，②f（x）在定義域上是減函數，則稱函數f（x）為“理想函數”.則下列四個函數中能被稱為“理想函數”的有（　　）
A.f（x）＝－x
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
10.下列命題為真命題的是（　　）
A.函數y＝tan x的圖象關于點，k∈Z對稱
B.函數f（x）＝sin ｜x｜是最小正周期為π的周期函數
C.設θ為第二象限角，則tan＞cos，且sin＞cos
D.函數y＝cos2x＋sin x的最小值為－1
11.已知函數f（x）＝方程｜f（x）－1｜＝2－m（m∈R），則下列判斷正確的是（　?。?br/>A.函數f（x）的圖象關于直線x＝對稱
B.函數f（x）在區間（3，＋∞）上單調遞增
C.當m∈（1，2）時，方程有2個不同的實數解
D.當m∈（－1，0）時，方程有3個不同的實數解
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.設函數f（x）＝x3cos x＋1，若f（2 024）＝－2 023，則f（－2 024）＝　　　　.
13.一批救災物資由51輛汽車從某市以v km/h的速度勻速送達災區，已知兩地公路線長400 km，為了安全，兩輛汽車的間距不得小于 km，那么這批物資全部到達災區，最少需要　　　　 h.
14.設ω＞0，若函數f（x）＝2sin ωx在上單調遞增，則ω的取值范圍是　　　??；若函數f（x）＝2sin ωx在區間上的最小值是－2，則ω的最小值為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知tan α＝log23·log34－＋（0.125.
（1）若α是第一象限角，求sin α的值；
（2）求的值.
16.（本小題滿分15分）已知函數f（x）＝是定義在（－2，2）上的奇函數，且f（1）＝.
（1）求實數a和b的值；
（2）判斷函數f（x）在（－2，2）上的單調性，并證明你的結論.
17.（本小題滿分15分）已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（其中ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期為π，且　　　 .
①點（，1）在函數y＝f（x）的圖象上；②函數f（x）的一個零點為－；③f（x）的一個增區間為（－，）.請你從以上三個條件選擇一個（如果選擇多個，則按選擇的第一個給分），補充完整題目，并求解下列問題：
（1）求f（x）的解析式；
（2）用“五點作圖法”畫出函數f（x）一個周期內的圖象.
18.（本小題滿分17分）如圖①，有一塊半徑為2（單位：cm）的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點在圓周上.為了求出等腰梯形ABCD的周長y（單位：cm）的最大值，小明和小亮兩位同學分別給出了如下兩種方案：
（1）小明的方案：設梯形的腰長為x（單位：cm），請你幫他求y與x之間的函數關系式，并求出梯形周長的最大值；
（2）小亮的方案：如圖②，連接AC，設∠BAC＝θ，請你幫他求y與θ之間的函數關系式，并求出梯形周長的最大值.
19.（本小題滿分17分）設函數f（x）的定義域為D，對于區間I＝[a，b]（a＜b，I D），若滿足以下兩條性質之一，則稱I為f（x）的一個“Ω區間”.
性質1：對任意x∈I，有f（x）∈I；
性質2：對任意x∈I，有f（x） I.
（1）分別判斷區間[1，2]是否為下列兩函數的“Ω區間”（直接寫出結論）；
①y＝3－x；②y＝；
（2）已知定義在R上，且圖象連續不斷的函數f（x）單調遞減，且滿足：對任意x1，x2∈R，且x1≠x2，有＜－1.求證：f（x）存在“Ω區間”；
（3）若[0，m]（m＞0）是函數f（x）＝－x2＋2x的“Ω區間”，求m的取值范圍.
模塊綜合檢測
1.D　依題意可得“ x＞0，ln x≥1－”是一個全稱量詞命題，則它的否定是存在量詞命題，即“ x＞0，ln x＜1－”.故選D.
2.A　因為集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＜2}，則 RB＝{x｜x≥2}，因此A∪（ RB）＝{x｜x＞1}.故選A.
3.A　若x＞1且y＞2，則x＋y＞3，反之則不然，比如x＝0，y＝4，故q是p的充分不必要條件.故選A.
4.A　因為y＝sin x＋的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），關于原點對稱，且令f（x）＝sin x＋，則f（－x）＝sin（－x）＋＝－（sin x＋）＝－f（x），所以f（x）為奇函數，排除B、D；又f（1）＝sin 1＋＞1，所以排除C.故選A.
5.C　因為y＝log2x在（0，＋∞）上為增函數，且＜＜4，所以log2＜log2＜log24，即log2＜log23＜log222，所以＜log23＜2，即＜a＜2，b＝＝log310，因為y＝log3x在（0，＋∞）上為增函數，且10＞9，所以log310＞log39＝2，即b＞2，因為y＝2x在R上為增函數，且0＜0.4＜，所以20＜20.4＜＝＜1.5，即1＜c＜1.5，所以b＞a＞c.故選C.
6.A　因為f（x）的周期為2，所以f＝f且f（9）＝f（1），又f（x）為奇函數，所以f＝－f＝－2，f（－1）＝－f（1），但f（－1）＝f（1），故f（－1）＝f（1）＝0，故f＋f（9）＝－2，故選A.
7.B　對于y＝－x2＋ax＋1，易知Δ＝a2＋4＞0，且拋物線開口向下，則0＝－x2＋ax＋1必有一個負根，所以y＝sin（ax＋），0≤x≤π有且只有兩個零點，易知ax＋∈［，aπ＋］（a＞0），則aπ＋∈[2π，3π） a∈［，）.故選B.
8.A　由已知可得g（x－3）＝f（x－4），g（2x－7）＝f（2x－8），由g（x－3）＋g（2x－7）＞0可得，f（x－4）＋f（2x－8）＞0，因為奇函數f（x）在R上是增函數，則f（2x－8）＞－f（x－4）＝f（4－x），所以2x－8＞4－x，解得x＞4.故選A.
9.AD　根據f（x）＋f（－x）＝0得f（x）為奇函數，且在定義域上是減函數.f（x）＝－x是奇函數且是減函數，故A正確；f（x）＝是冪函數且為偶函數，故B錯誤；f（x）＝，在區間（－∞，0）和（0，＋∞）上單調遞減，但在整個定義域上不是減函數，故C錯誤；由f（x）＝的大致圖象（如圖）可知D選項正確 .
10.AD　A中，，k∈Z是正切函數圖象的對稱中心，故A正確；B中，f（x）＝sin ｜x｜不是周期函數，故B錯誤；C中，∈（ ＋kπ，＋kπ），k∈Z，當k＝2n＋1，n∈Z時，sin＜cos，故C錯誤；D中，∵y＝1－sin2x＋sin x＝－（ sin x－）2＋，∴當sin x＝－1時，ymin＝－1，故D正確.故選A、D.
11.BC　對于選項A，f（4）＝4，f（－1）＝1－e，顯然函數f（x）的圖象不關于直線x＝對稱，錯誤；對于選項B，f（x）＝x2－3x的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x＝，所以函數f（x）在區間（3，＋∞）上單調遞增，正確；對于選項C，作出函數y＝｜f（x）－1｜的圖象，如圖，當m∈（1，2）時，2－m∈（0，1），結合圖象可知方程｜f（x）－1｜＝2－m（m∈R）有2個不同的實數根，正確；對于選項D，當m∈（－1，0）時，2－m∈（2，3），結合圖象可知方程｜f（x）－1｜＝2－m（m∈R）有4個不同的實數解，錯誤.故選B、C.
12.2 025　解析：函數f（x）＝x3cos x＋1的定義域為R，令g（x）＝x3cos x，x∈R，則g（－x）＝（－x）3cos（－x）＝－x3cos x＝－g（x），所以g（x）為奇函數，又f（2 024）＝g（2 024）＋1＝－2 023，所以g（2 024）＝－2 024，所以f（－2 024）＝g（－2 024）＋1＝－g（2 024）＋1＝2 025.
13.10　解析：當最后一輛汽車出發時，第一輛汽車走了＝ h，最后一輛汽車走完全程共需要 h，所以一共需要h，結合基本不等式計算最值，可得＋≥2 ＝10（當且僅當＝，即v＝80時，等號成立），故最少需要10 h.
14.　　解析：令－≤ωx≤，得－≤x≤，則是函數f（x）＝2sin ωx（ω＞0）關于原點對稱的遞增區間中范圍最大的，∴ ，則解得ω≤，∴ω的取值范圍是.要使函數f（x）＝2sin ωx（ω＞0）在區間上的最小值是－2，則≤或T≤，即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6，∴ω的最小值為.
15.解：（1）因為tan α＝log23·log34－＋（0.125＝log24－4＋4＝2，
所以＝2，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
因為α是第一象限角，所以sin α＝.
（2）＝＝＝＝－.
16.解：（1）由函數f（x）＝是定義在（－2，2）上的奇函數，
所以f（0）＝＝0得b＝0，
又因為f（1）＝＝，所以a＝2，
經檢驗，當a＝2，b＝0時，f（－x）＝＝－＝－f（x），f（x）是奇函數，
所以a＝2，b＝0.
（2）由（1）可知f（x）＝，設－2＜x1＜x2＜2，
所以f（x1）－f（x2）＝－
＝
＝2·
＝2·，
因為－2＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，4－＞0，4－＞0，x1x2＋4＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函數f（x）在（－2，2）上單調遞增.
17.解：（1）由題意最小正周期為T＝＝π，ω＞0，
解得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），
若選①，則f（）＝sin（2×＋φ）＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0＜φ＜，所以k＝0，φ＝，
所以函數f（x）的解析式為f（x）＝sin（2x＋）.
若選②，則f（－）＝sin（－＋φ）＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z，
又0＜φ＜，所以k＝0，φ＝，
所以函數f（x）的解析式為f（x）＝sin（2x＋）.
若選③，即f（x）的一個增區間為（－，），
當x∈（－，）時，2x＋φ∈（－＋φ，＋φ），
又0＜φ＜，由復合函數單調性可知，只能（－＋φ，＋φ）＝（－，），
則φ＝，所以函數f（x）的解析式為f（x）＝sin（2x＋）.
（2）列表如下：
x －
2x＋ 0 π 2π
f（x）＝sin（2x＋） 0 1 0 －1 0
描點、連線（光滑曲線）畫出函數f（x）一個周期內的圖象如圖所示：
18.解：（1）因為AD＝BC＝x，作DE⊥AB，垂足為E，連接BD，
則∠ADB＝，故AD2＝AE×AB，即AE＝，所以CD＝AB－2AE＝4－，則y＝4＋2x＋4－＝－＋2x＋8，
依題意得，0＜x＜2，故y＝－＋2x＋8，0＜x＜2，
其對稱軸為x＝2∈（0，2），則x＝2時，ymax＝10 cm.
（2）過點C作CF垂直于AB于點F，因為∠ACB＝，AB＝4，
所以BC＝ABsin θ＝4sin θ，
又∠BCF＝∠BAC＝θ，所以BF＝BCsin θ＝4sin2θ，
所以CD＝AB－2BF＝4－8sin2θ，
則梯形的周長y＝AB＋CD＋2BC＝4＋4－8sin2θ＋8sin θ＝－8sin2θ＋8sin θ＋8，且0＜θ＜，
設t＝sin θ∈（0，），則y＝－8t2＋8t＋8，對稱軸為t＝∈（0，），
所以t＝，即θ＝時，ymax＝10.
19.解：（1）對①， x∈[1，2]，y＝3－x∈[1，2]，滿足性質1，[1，2]是函數的“Ω區間”.
對②，當x＝1時，y＝3 [1，2]，當x＝2時，y＝∈[1，2]，故不滿足性質1，2，
[1，2]不是函數的“Ω區間”.
（2）證明：對于任意區間I＝[a，b]（a＜b），記S＝{f（x）｜x∈I}，
由題意知f（x）在I上單調遞減，則S＝[f（b），f（a）].
因為＜－1，所以f（a）－f（b）＞b－a，
即S的長度大于I的長度，故不滿足性質1.
因此，如果I為f（x）的“Ω區間”，只能滿足性質2，則S∩I＝ ，
即只需存在a∈R使得f（a）＜a，或存在b∈R使得f（b）＞b.
因為f（x）＝x不恒成立，所以上述條件滿足，所以f（x）一定存在“Ω區間”.
（3）記I＝[0，m]（m＞0），S＝{f（x）｜x∈I}，注意到f（0）＝0∈[0，m]，
因此，若I為函數f（x）的“Ω區間”，則其不滿足性質2，必滿足性質1，即S I.
f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1.
當0＜m＜1時，f（x）在I上單調遞增，且f（m）－m＝－m（m－1）＞0，
所以S＝[0，f（m）]不包含于I＝[0，m]，不合題意；
當1≤m≤2時，S＝[f（0），f（1）]＝[0，1] [0，m]＝I，符合題意；
當m＞2時，f（m）＜f（2）＝f（0）＝0，所以f（m） I，不合題意.
綜上，m∈[1，2].
3 / 3(共46張PPT)
模塊綜合檢測
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 命題“ x ＞0，ln x ≥1－ ”的否定是（　　）
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解析： 　依題意可得“ x ＞0，ln x ≥1－ ”是一個全稱量
詞命題，則它的否定是存在量詞命題，即“ x ＞0，ln x ＜1－
”.故選D.
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2. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}， B ＝{ x ｜ x ＜2}，則 A ∪（ R B ）＝
（　?。?br/>A. { x ｜ x ＞1} B. { x ｜ x ≥1}
C. { x ｜ x ＜1} D. { x ｜1＜ x ≤2}
解析： 　因為集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}， B ＝{ x ｜ x ＜2}，則 R B ＝
{ x ｜ x ≥2}，因此 A ∪（ R B ）＝{ x ｜ x ＞1}.故選A.
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3. 已知 p ： x ＋ y ＞3， q ： x ＞1且 y ＞2，則 q 是 p 的（　　）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解析： 　若 x ＞1且 y ＞2，則 x ＋ y ＞3，反之則不然，比如 x ＝
0， y ＝4，故 q 是 p 的充分不必要條件.故選A.
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4. 函數 y ＝ sin x ＋ 的圖象大致是（　?。?br/>1
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解析： 　因為 y ＝ sin x ＋ 的定義域為（－∞，0）∪（0，＋
∞），關于原點對稱，且令 f （ x ）＝ sin x ＋ ，則 f （－ x ）＝ sin
（－ x ）＋ ＝－（ sin x ＋ ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）為奇函
數，排除B、D；又 f （1）＝ sin 1＋ ＞1，所以排除C. 故選A.
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5. 已知 a ＝log23， b ＝ ， c ＝20.4，則下列結論正確的是（　　）
A. c ＞ b ＞ a B. b ＞ c ＞ a
C. b ＞ a ＞ c D. a ＞ b ＞ c
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解析： 　因為 y ＝log2 x 在（0，＋∞）上為增函數，且 ＜
＜4，所以log2 ＜log2 ＜log24，即log2 ＜log23＜log222，所
以 ＜log23＜2，即 ＜ a ＜2， b ＝ ＝log310，因為 y ＝log3 x 在
（0，＋∞）上為增函數，且10＞9，所以log310＞log39＝2，即 b ＞
2，因為 y ＝2 x 在R上為增函數，且0＜0.4＜ ，所以20＜20.4＜
＝ ＜1.5，即1＜ c ＜1.5，所以 b ＞ a ＞ c .故選C.
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6. 設函數 f （ x ）是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜ x ＜1時， f
（ x ）＝4 x ，則 f ＋ f （9）＝（　?。?br/>A. －2 B. 2
C. 4 D. 6
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解析： 因為 f （ x ）的周期為2，所以 f ＝ f 且 f （9）
＝ f （1），又 f （ x ）為奇函數，所以 f ＝－ f ＝－2， f
（－1）＝－ f （1），但 f （－1）＝ f （1），故 f （－1）＝ f （1）
＝0，故 f ＋ f （9）＝－2，故選A.
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7. 已知函數 f （ x ）＝有且僅有3個零點，
則正數 a 的取值范圍是（　?。?br/>1
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解析： 　對于 y ＝－ x2＋ ax ＋1，易知Δ＝ a2＋4＞0，且拋物線開
口向下，則0＝－ x2＋ ax ＋1必有一個負根，所以 y ＝ sin （ ax ＋
），0≤ x ≤π有且只有兩個零點，易知 ax ＋ ∈［ ， a π＋ ］
（ a ＞0），則 a π＋ ∈[2π，3π） a ∈［ ， ）.故選B.
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8. 已知奇函數 f （ x ）在R上是增函數， g （ x ）＝ f （ x －1），則關
于 x 的不等式 g （ x －3）＋ g （2 x －7）＞0的解集為（　?。?br/>A. （4，＋∞） B. （－∞，4）
C. （4，5）
解析： 　由已知可得 g （ x －3）＝ f （ x －4）， g （2 x －7）＝ f
（2 x －8），由 g （ x －3）＋ g （2 x －7）＞0可得， f （ x －4）＋ f
（2 x －8）＞0，因為奇函數 f （ x ）在R上是增函數，則 f （2 x －
8）＞－ f （ x －4）＝ f （4－ x ），所以2 x －8＞4－ x ，解得 x ＞4.
故選A.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 若函數 f （ x ）同時滿足①對于定義域上的任意 x ，恒有 f （ x ）＋ f
（－ x ）＝0，② f （ x ）在定義域上是減函數，則稱函數 f （ x ）為
“理想函數”.則下列四個函數中能被稱為“理想函數”的有（　）
A. f （ x ）＝－ x
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解析： 　根據 f （ x ）＋ f （－ x ）＝0得 f （ x ）為
奇函數，且在定義域上是減函數. f （ x ）＝－ x 是奇
函數且是減函數，故A正確； f （ x ）＝ 是冪函數
且為偶函數，故B錯誤； f （ x ）＝ ，在區間（－
∞，0）和（0，＋∞）上單調遞減，但在整個定義
域上不是減函數，故C錯誤；由 f （ x ）＝
的大致圖象（如圖）可知D選項
正確 .
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10. 下列命題為真命題的是（　?。?br/>B. 函數 f （ x ）＝ sin ｜ x ｜是最小正周期為π的周期函數
D. 函數 y ＝ cos 2 x ＋ sin x 的最小值為－1
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解析： 　A中， ， k ∈Z是正切函數圖象的對稱中
心，故A正確；B中， f （ x ）＝ sin ｜ x ｜不是周期函數，故B錯
誤；C中， ∈（ ＋ k π， ＋ k π）， k ∈Z，當 k ＝2 n ＋1， n ∈Z
時， sin ＜ cos ，故C錯誤；D中，∵ y ＝1－ sin 2 x ＋ sin x ＝－
（ sin x － ）2＋ ，∴當 sin x ＝－1時， ymin＝－1，故D正確.故
選A、D.
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11. 已知函數 f （ x ）＝方程｜ f （ x ）－1｜＝2－
m （ m ∈R），則下列判斷正確的是（　?。?br/>B. 函數 f （ x ）在區間（3，＋∞）上單調遞增
C. 當 m ∈（1，2）時，方程有2個不同的實數解
D. 當 m ∈（－1，0）時，方程有3個不同的實數解
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解析： 　對于選項A， f （4）＝4， f （－1）
＝1－e，顯然函數 f （ x ）的圖象不關于直線 x
＝ 對稱，錯誤；對于選項B， f （ x ）＝ x2－3 x
的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為 x ＝ ，
所以函數 f （ x ）在區間（3，＋∞）上單調遞增，正確；對于選項C，作出函數 y ＝｜ f （ x ）－1｜的圖象，如圖，當 m ∈（1，2）時，2－ m ∈（0，1），結合圖象可知方程｜ f （ x ）－1｜＝2－ m （ m ∈R）有2個不同的實數根，正確；對于選項D，當 m ∈（－1，0）時，2－ m ∈（2，3），結合圖象可知方程｜ f （ x ）－1｜＝2－ m （ m ∈R）有4個不同的實數解，錯誤.故選B、C.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 設函數 f （ x ）＝ x3 cos x ＋1，若 f （2 024）＝－2 023，則 f （－2
024）＝ .
解析：函數 f （ x ）＝ x3 cos x ＋1的定義域為R，令 g （ x ）＝ x3
cos x ， x ∈R，則 g （－ x ）＝（－ x ）3 cos （－ x ）＝－ x3 cos x
＝－ g （ x ），所以 g （ x ）為奇函數，又 f （2 024）＝ g （2
024）＋1＝－2 023，所以 g （2 024）＝－2 024，所以 f （－2
024）＝ g （－2 024）＋1＝－ g （2 024）＋1＝2 025.
2 025　
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13. 一批救災物資由51輛汽車從某市以 v km/h的速度勻速送達災區，
已知兩地公路線長400 km，為了安全，兩輛汽車的間距不得小于
km，那么這批物資全部到達災區，最少需要 h.
10　
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解析：當最后一輛汽車出發時，第一輛汽車走了 ＝ h，最
后一輛汽車走完全程共需要 h，所以一共需要 h，結
合基本不等式計算最值，可得 ＋ ≥2 ＝10（當且僅
當 ＝ ，即 v ＝80時，等號成立），故最少需要10 h.
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14. 設ω＞0，若函數 f （ x ）＝2 sin ω x 在 上單調遞增，則ω
的取值范圍是 　 　；若函數 f （ x ）＝2 sin ω x 在區間
上的最小值是－2，則ω的最小值為 　 　.
　
　
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解析：令－ ≤ω x ≤ ，得－ ≤ x ≤ ，則 是函數
f （ x ）＝2 sin ω x （ω＞0）關于原點對稱的遞增區間中范圍最大
的，∴ ，則解得ω≤ ，∴ω
的取值范圍是 .要使函數 f （ x ）＝2 sin ω x （ω＞0）在區
間 上的最小值是－2，則 ≤ 或 T ≤ ，即 ≤ 或
≤π，解得ω≥ 或ω≥6，∴ω的最小值為 .
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知tan α＝log23·log34－ ＋（0.125 .
（1）若α是第一象限角，求 sin α的值；
解： 因為tan α＝log23·log34－ ＋（0.125 ＝
log24－4＋4＝2，
所以 ＝2，又 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 sin 2α＝ ，
因為α是第一象限角，所以 sin α＝ .
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（2）求 的值.
解： ＝ ＝
＝ ＝－ .
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解： 由函數 f （ x ）＝ 是定義在（－2，2）上的
奇函數，
所以 f （0）＝ ＝0得 b ＝0，
又因為 f （1）＝ ＝ ，所以 a ＝2，
經檢驗，當 a ＝2， b ＝0時， f （－ x ）＝ ＝－
＝－ f （ x ）， f （ x ）是奇函數，
所以 a ＝2， b ＝0.
16. （本小題滿分15分）已知函數 f （ x ）＝ 是定義在（－2，
2）上的奇函數，且 f （1）＝ .
（1）求實數 a 和 b 的值；
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（2）判斷函數 f （ x ）在（－2，2）上的單調性，并證明你的
結論.
解：由（1）可知 f （ x ）＝ ，設－2＜ x1＜ x2＜2，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＝ －
＝
＝2·
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＝2· ，
因為－2＜ x1＜ x2＜2，所以 x1－ x2＜0，4－ ＞0，4－
＞0， x1 x2＋4＞0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
所以函數 f （ x ）在（－2，2）上單調遞增.
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17. （本小題滿分15分）已知函數 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（其中ω＞
0，0＜φ＜ ）的最小正周期為π，且 　　　 .
①點（ ，1）在函數 y ＝ f （ x ）的圖象上；②函數 f （ x ）的一
個零點為－ ；③ f （ x ）的一個增區間為（－ ， ）.請你從
以上三個條件選擇一個（如果選擇多個，則按選擇的第一個給
分），補充完整題目，并求解下列問題：
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（1）求 f （ x ）的解析式；
解： 由題意最小正周期為 T ＝ ＝π，ω＞0，
解得ω＝2，所以 f （ x ）＝ sin （2 x ＋φ），
若選①，則 f （ ）＝ sin （2× ＋φ）＝1，所以 ＋φ＝
＋2 k π， k ∈Z，
又0＜φ＜ ，所以 k ＝0，φ＝ ，
所以函數 f （ x ）的解析式為 f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）.
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若選②，則 f （－ ）＝ sin （－ ＋φ）＝0，所以－ ＋φ＝
k π， k ∈Z，
又0＜φ＜ ，所以 k ＝0，φ＝ ，
所以函數 f （ x ）的解析式為 f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）.
若選③，即 f （ x ）的一個增區間為（－ ， ），
當 x ∈（－ ， ）時，2 x ＋φ∈（－ ＋φ， ＋φ），
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又0＜φ＜ ，由復合函數單調性可知，只能（－ ＋φ，
＋φ）＝（－ ， ），
則φ＝ ，所以函數 f （ x ）的解析式為 f （ x ）＝ sin （2 x ＋
）.
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（2）用“五點作圖法”畫出函數 f （ x ）一個周期內的圖象.
解： 列表如下：
x
0 π 2π
0 1 0 －1 0
描點、連線（光滑曲線）畫出函數 f
（ x ）一個周期內的圖象如圖所示：
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18. （本小題滿分17分）如圖①，有一塊半徑為2（單位：cm）的半
圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形 ABCD 的形狀，它的下底 AB 是半
圓的直徑，上底 CD 的端點在圓周上.為了求出等腰梯形 ABCD 的
周長 y （單位：cm）的最大值，小明和小亮兩位同學分別給出了
如下兩種方案：
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（1）小明的方案：設梯形的腰長為 x （單位：cm），請你幫他求
y 與 x 之間的函數關系式，并求出梯形周長的最大值；
解： 因為 AD ＝ BC ＝ x ，作 DE ⊥
AB ，垂足為 E ，連接 BD ，
則∠ ADB ＝ ，故 AD2＝ AE × AB ，即 AE
＝ ，所以 CD ＝ AB －2 AE ＝4－ ，則 y ＝4＋2 x ＋4－ ＝－ ＋2 x ＋8，依題意得，0＜ x ＜2 ，故 y ＝－ ＋2 x
＋8，0＜ x ＜2 ，其對稱軸為 x ＝2∈（0，2 ），則 x ＝2
時， ymax＝10 cm.
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（2）小亮的方案：如圖②，連接 AC ，設∠ BAC ＝θ，請你幫他
求 y 與θ之間的函數關系式，并求出梯形周長的最大值.
解： 過點 C 作 CF 垂直于 AB 于點
F ，因為∠ ACB ＝ ， AB ＝4，
所以 BC ＝ AB sin θ＝4 sin θ，
又∠ BCF ＝∠ BAC ＝θ，所以 BF ＝ BC sin θ＝4 sin 2θ，
所以 CD ＝ AB －2 BF ＝4－8 sin 2θ，則梯形的周長 y ＝ AB ＋ CD ＋2 BC ＝4＋4－8 sin 2θ＋8 sin θ＝－8 sin 2θ＋8 sin
θ＋8，
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且0＜θ＜ ，
設 t ＝ sin θ∈（0， ），則 y ＝－8 t2＋
8 t ＋8，對稱軸為 t ＝ ∈（0， ），所
以 t ＝ ，即θ＝ 時， ymax＝10.
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19. （本小題滿分17分）設函數 f （ x ）的定義域為 D ，對于區間 I ＝
[ a ， b ]（ a ＜ b ， I D ），若滿足以下兩條性質之一，則稱 I 為 f
（ x ）的一個“Ω區間”.
性質1：對任意 x ∈ I ，有 f （ x ）∈ I ；
性質2：對任意 x ∈ I ，有 f （ x ） I .
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（1）分別判斷區間[1，2]是否為下列兩函數的“Ω區間”（直接
寫出結論）；
① y ＝3－ x ；② y ＝ ；
解： 對①， x ∈[1，2]， y ＝3－ x ∈[1，2]，滿足性
質1，[1，2]是函數的“Ω區間”.
對②，當 x ＝1時， y ＝3 [1，2]，當 x ＝2時， y ＝ ∈[1，
2]，故不滿足性質1，2，
[1，2]不是函數的“Ω區間”.
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（2）已知定義在R上，且圖象連續不斷的函數 f （ x ）單調遞減，
且滿足：對任意 x1， x2∈R，且 x1≠ x2，有 ＜
－1.求證： f （ x ）存在“Ω區間”；
解： 證明：對于任意區間 I ＝[ a ， b ]（ a ＜ b ），記 S
＝{ f （ x ）｜ x ∈ I }，
由題意知 f （ x ）在 I 上單調遞減，則 S ＝[ f （ b ）， f （ a ）].
因為 ＜－1，所以 f （ a ）－ f （ b ）＞ b － a ，
即 S 的長度大于 I 的長度，故不滿足性質1.
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因此，如果 I 為 f （ x ）的“Ω區間”，只能滿足性質2，則 S
∩ I ＝ ，
即只需存在 a ∈R使得 f （ a ）＜ a ，或存在 b ∈R使得 f
（ b ）＞ b .
因為 f （ x ）＝ x 不恒成立，所以上述條件滿足，所以 f
（ x ）一定存在“Ω區間”.
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（3）若[0， m ]（ m ＞0）是函數 f （ x ）＝－ x2＋2 x 的“Ω區
間”，求 m 的取值范圍.
解： 記 I ＝[0， m ]（ m ＞0）， S ＝{ f （ x ）｜ x ∈
I }，注意到 f （0）＝0∈[0， m ]，
因此，若 I 為函數 f （ x ）的“Ω區間”，則其不滿足性質2，
必滿足性質1，即 S I .
f （ x ）＝－ x2＋2 x ＝－（ x －1）2＋1.
當0＜ m ＜1時， f （ x ）在 I 上單調遞增，且 f （ m ）－ m ＝
－ m （ m －1）＞0，
所以 S ＝[0， f （ m ）]不包含于 I ＝[0， m ]，不合題意；
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當1≤ m ≤2時， S ＝[ f （0）， f （1）]＝[0，1] [0， m ]
＝ I ，符合題意；
當 m ＞2時， f （ m ）＜ f （2）＝ f （0）＝0，所以 f （ m ）
I ，不合題意.
綜上， m ∈[1，2].
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