資源簡介

9.1　向量概念
1.下列四個命題中正確的是（　　）
A.時間、距離都是向量
B.兩個有共同起點且相等的向量，其終點一定相同
C.向量與向量表示同一個向量
D.平行向量不一定是共線向量
2.在銳角△ABC中，下列說法正確的是（　　）
A.與的夾角是銳角
B.與的夾角是銳角
C.與的夾角是鈍角
D.與的夾角是銳角
3.（2024·無錫月考）設a0，b0分別是與a，b同向的單位向量，則下列結論中正確的是（　　）
A.a0＝b0 B.a0＝－b0
C.a0∥b0 D.｜a0｜＋｜b0｜＝2
4.（2024·常州月考）若｜｜＝｜｜且 ＝，則四邊形ABCD的形狀為（　　）
A.平行四邊形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
5.（多選）下列能使a∥b成立的是（　　）
A.a＝b B.｜a｜＝｜b｜
C.a與b方向相反 D.｜a｜＝0或｜b｜＝0
6.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.若a≠b，則a，b一定不共線
B.在 ABCD中，一定有＝
C.若a＝b，b＝c，則a＝c
D.共線向量是在一條直線上的向量
7.（2024·徐州月考）給出下列命題：①若｜a｜＝0，則 a＝0；②若｜a｜＝｜b｜，則a＝－b；③若a∥b，則｜a｜＝｜b｜.其中，正確的命題個數有　　　　.
8.如圖，在△ABC中，D，E，F分別是AB，AC，BC的中點， 則圖中的相反向量為　　　　.
9.在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，則向量與的夾角為　　　　.
10.如圖，D，E，F分別是正三角形ABC各邊的中點.
（1）寫出圖中所示向量與向量長度相等的向量；
（2）分別寫出圖中所示向量與向量，共線的向量；
（3）求與，與的夾角的度數.
11.（多選）在下列結論中正確的有（　　）
A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分條件
B.a≠b是｜a｜≠｜b｜的充分不必要條件
C.a與b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要條件
D.a與b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要條件
12.（2024·泰州月考）已知A，B，C是不共線的三點，向量m與向量是平行向量，與是共線向量，則m＝　　　　.
13.如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，在圖中所標出的向量中，與向量的夾角為120°的向量是　　　　　　　.
14.如圖所示的方格紙由若干個邊長為1的小正方形組成，方格紙中有兩個定點A，B.點C為小正方形的頂點，且｜｜＝.
（1）畫出所有的向量；
（2）求｜｜的最大值與最小值.
15.一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30 n mile，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向40 n mile處有一艘漁船拋錨需救助.試求：
（1）巡邏艇從港口出發到漁船出事點所航行的路程；
（2）巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移.（參考數據：sin 53°≈0.8）
9.1　向量概念
1.B　對于A，時間和距離只有大小，沒有方向，是數量，不是向量，故A錯誤；對于B，兩個有共同起點且相等的向量，其終點一定相同，故B正確；對于C，向量與向量表示的是模長相等，方向相反的兩個不同的向量，故C錯誤；對于D，平行向量也叫作共線向量，故D錯誤.故選B.
2.B　由兩向量的夾角的定義知，與的夾角等于180°－∠ABC，與的夾角等于∠BAC，與的夾角等于∠ACB，與的夾角等于180°－∠ACB，因為△ABC為銳角三角形，所以只有B正確.故選B.
3.D　單位向量的模長為1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正確；a0，b0分別與a，b同向，而a，b方向不確定，A、B、C錯誤，故選D.
4.C　∵＝，∴四邊形ABCD為平行四邊形.又∵｜｜＝｜｜，∴平行四邊形ABCD相鄰兩邊相等，故四邊形ABCD為菱形.故選C.
5.ACD　對于A，若a＝b，則a與b的長度相等且方向相同，所以a∥b；對于B，若｜a｜＝｜b｜，則a與b的長度相等，而方向不確定，因此不一定有a∥b；對于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a與b方向相反，則有a∥b；對于D，零向量與任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，則a∥b.
6.BC　對于A，兩個向量不相等，可能是長度不相等，但方向相同或相反，所以a與b有共線的可能，故A不正確.對于B，在 ABCD中，｜｜＝｜｜，與平行且方向相同，所以＝，故B正確.對于C，a＝b，則｜a｜＝｜b｜，且a與b方向相同；b＝c，則｜b｜＝｜c｜，且b與c方向相同，所以a與c方向相同且模相等，故a＝c，故C正確.對于D，共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D不正確.故選B、C.
7.0　解析：①忽略了0與0的區別，a＝0；②混淆了兩個向量的模相等與兩個向量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等.
8.，，　解析：∵D，E，F分別為AB，AC，BC的中點，∴DE∥BC且DE＝BC.∴｜｜＝｜｜且方向相反.｜｜＝｜｜且方向相反.∴的相反向量為，，.
9.135°　解析：∵∠B＝45°，∴與的夾角為135°.
10.解：（1）與長度相等的向量是，，，，，，，.
（2）與共線的向量是，，；
與共線的向量是，，.
（3）因為△ABC為正三角形，與的夾角為∠ABC，故與的夾角為60°，與的夾角為∠AFD的補角，故與的夾角為120°.
11.ACD　若a＝b， 則a與b方向相同，模相等，所以A、C正確；對于B，由a≠b /｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜ a≠b，所以a≠b是｜a｜≠｜b｜的必要不充分條件，故B錯誤；對于D，由a與b方向相反，可以推出a≠b，也可由｜a｜≠｜b｜推出a≠b，則a與b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分條件，但反過來不一定成立，故D正確.
12.0　解析：向量m與向量是平行向量，則向量m與向量方向相同或相反；向量m與是共線向量，則向量m與向量方向相同或相反.由A，B，C是不共線的三點，可知向量與向量方向不同且不共線，則m＝0.
13.，，　解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC.∴結合共線向量及向量夾角的定義可知與的夾角為120°的向量為，，.
14.解：（1）畫出所有的向量，如圖所示.
（2）由（1）所畫的圖知，
①當點C位于點C1或C2時，｜｜取得最小值＝；
②當點C位于點C5或C6時，｜｜取得最大值＝.
所以｜｜的最大值為，最小值為.
15.解：（1）畫出示意圖，如圖所示，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，
即AB＋BC＝70 n mile.
（2）巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為｜｜＝＝50（n mile），
由于sin∠BAC＝，故方向約為北偏東53°.
2 / 29.1　向量概念
新課程標準解讀 核心素養
1.通過對力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實際背景 數學抽象
2.理解平面向量的幾何表示和基本要素 直觀想象
3.了解平面向量共線和向量相同的含義 數學抽象
把木塊放置在光滑的斜面上，斜面上的木塊受到兩個力的影響：重力G和斜面的支持力N.木塊在重力與支持力的合力作用下，會沿著斜面向下運動，產生位置的變化，物理上用“位移”來刻畫這種變化.
【問題】　（1）物理中，位移和距離這兩個量有什么不同？
（2）你能舉出一些既有大小又有方向的量嗎？有沒有只有大小沒有方向的量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　向量的概念及表示
1.向量的概念
（1）向量：既有　　　　又有　　　　的量；
（2）數量：只有大小沒有方向的量.
提醒　（1）數量是一個代數量，只有大小沒有方向，可以比較大小，如長度、質量、面積、體積等都是數量；（2）向量既有大小又有方向，因為方向不能比較大小，所以向量不能比較大小.
2.向量的表示
（1）有向線段：具有方向的線段叫作有向線段，它包含三個要素：起點、方向、長度，如圖所示.
（2）向量的表示
①幾何表示：向量常用一條　　　　　　來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，以A為起點、B為終點的向量記為　　　.向量的大小稱為向量的　　　　（或稱為　　），記作　　　；
②字母表示：向量也可用小寫字母a，b，c來表示（印刷用粗體a，b，c，書寫用，，）.
提醒　（1）向量不能比較大小，但向量的模能比較大小；（2）有向線段是向量的幾何表示，并不是說向量就是有向線段.一條有向線段對應著一個向量，但一個向量對應著無數多條有向線段.
知識點二　幾類特殊向量
特殊向量 定義
零向量 長度為0的向量，記作　
單位向量 長度等于　　　　　　長度的向量
平行向量（共線向量） 方向　　　　　　的非零向量；向量a與向量b平行，記作a∥b，規定：零向量與任一向量　　　　
相等向量 長度　　　　且方向　　　　的向量；向量a與b相等，記作a＝b
相反向量 與向量a長度　　　　，方向　　　的向量叫作a的相反向量，記作－a，a與－a互為相反向量. 規定：零向量的相反向量仍是零向量. 性質：對任意一個向量a，總有－（－a）＝a
【想一想】
1.0與0相同嗎？0是不是沒有方向？
2.若a∥b，b∥c，則a與c一定平行嗎？
3.相等向量一定是共線向量嗎？反之是否成立？
知識點三　兩個向量的夾角
1.定義：對于兩個非零向量a和b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a與b的夾角（如圖）.
2.當θ＝　　　　時，a與b同向；當θ＝　　　時，a與b反向；當θ＝　　　　時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.
1.給出下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（　　）
A.3個 B.4個
C.5個 D.6個
2.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.平行向量的方向相同或相反
B.零向量的模為1
C.向量與向量是相反向量
D.與非零向量a共線的單位向量是唯一的
3.如圖，在四邊形ABCD中，若＝，則圖中相等的向量是（　　）
A.與 B.與
C.與 D.與
題型一 向量的有關概念
【例1】　（多選）下列結論正確的是（　　）
A.若a，b都是單位向量，則a＝b
B.物理學中作用力與反作用力是一對共線向量
C.方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量
D.直角坐標平面上的x軸，y軸都是向量
通性通法
解決與向量概念有關問題的方法
　　解決與向量概念有關問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相同向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0.
【跟蹤訓練】
　（2024·宿遷月考）下列命題正確的是（　　）
A.｜a｜＝｜b｜ a＝b　 B.｜a｜＞｜b｜ a＞b
C.a∥b a＝b D.｜a｜＝0 a＝0
題型二 共線向量與相等（相反）向量
【例2】　（鏈接教科書第6頁例1）如圖，已知點O是正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標出的向量中：
（1）寫出與共線的向量；
（2）寫出與的模相等的向量；
（3）寫出與相等的向量；
（4）與相等嗎？
【母題探究】
1.（變設問）本例條件不變，試寫出與長度相等且方向相反的向量.
2.（變條件，變設問）在本例中，若｜｜＝1，則正六邊形的邊長是多少？
通性通法
尋找共線向量或相等向量的方法
（1）尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量；
（2）尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是與已知向量方向相同的向量.
【跟蹤訓練】
如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.
（1）與向量相等的向量為　　　；
（2）若｜｜＝3，則向量｜｜＝　　　　.
題型三 向量的表示及應用
【例3】　（鏈接教科書第7頁例2）在圖中的3×4方格紙中有一個向量（小正方形的邊長為1），分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中：
（1）與相等的向量有多少個？
（2）與長度相等的共線向量有多少個（除外）？
（3）與平行且模為的向量有多少個？
通性通法
用有向線段表示向量的步驟
（1）定起點：先確定向量的起點；
（2）定方向：再確定向量的方向；
（3）定終點：有了起點和方向，結合向量的長度確定向量的終點.
【跟蹤訓練】
一輛消防車從A地去B地執行任務，先從A地向北偏東30°方向行駛2 km到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6 km到達C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2 km才到達B地.
（1）在圖中作出，，，；
（2）求B地相對于A地的位置.
題型四 向量的夾角
【例4】　已知平行四邊形ABCD中，｜｜＝｜｜，且向量與的夾角為60°，則與的夾角為多少？與的夾角又是多少？
通性通法
求向量的夾角
　　求兩個向量的夾角，關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.
【跟蹤訓練】
　（2024·泰州月考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，則與的夾角為（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
1.（2024·蘇州汾湖高中月考）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，下列說法正確的是（　　）
A.＝ B.｜｜＝｜｜
C.與共線 D.＞
2.（多選）下列結論中，正確的是（　　）
A.若＝，則∥
B.向量，共線與∥的意義是相同的
C.平行四邊形兩對邊所表示的向量一定是相等向量
D.若＝，則＝
3.（2024·鹽城月考）設M是正方形ABCD的中心，則，，，是（　　）
A.有相同起點的向量
B.相等向量
C.模相等的向量
D.平行向量
4.如圖，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中不同的點為起點和終點，可以寫出　　　　個向量.
9.1　向量概念
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.（1）大小　方向　2.（2）①有向線段　　長度　模　｜｜
知識點二
　0　1個單位　相同或相反　平行
相等　相同　相等　相反
想一想
1.提示：0與0不相同，0是實數，0是向量，有方向.0的方向是任意的.
2.提示：不一定.當b＝0時，a與c不一定平行，因為0與任何向量平行.
3.提示：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等.
知識點三
2.0°　180°　90°
自我診斷
1.B　質量、路程、密度、功只有大小，沒有方向，所以是數量，不是向量.
2.AC　對于A，平行向量的方向相同或相反，故A正確；對于B，零向量的模為0，故B錯誤；對于C，向量與向量長度相等，方向相反，向量與向量是相反向量，故C正確；對于D，與非零向量a共線的單位向量有兩個，一個與a同向，一個與a反向，故D錯誤.故選A、C.
3.C　對于A，由＝，可得四邊形ABCD為平行四邊形.與互為相反向量，故A錯誤；對于B，與互為相反向量，故B錯誤；對于C，與滿足相等向量的定義，故C正確；對于D，與方向不同不滿足相等向量的定義，故D錯誤.故選C.
【典型例題·精研析】
【例1】　BC　對于A，單位向量的方向不一定相同，故A錯誤；對于B，物理學中的作用力與反作用力大小相等，方向相反，是一對共線向量，故B正確；對于C，如圖所示，方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量在一條直線上，是共線向量，故C正確；對于D，直角坐標平面上的x軸，y軸只有方向，沒有大小，不是向量，故D錯誤.故選B、C.
跟蹤訓練
　D　對于A，兩個向量的模相等，但是方向不一定相同，故A錯誤；對于B，兩個向量不能比較大小，故B錯誤；對于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，故C錯誤；對于D，若一個向量的模等于0，則這個向量是0，故D正確.故選D.
【例2】　解：（1）與共線的向量有，，.
（2）與的模相等的向量有，，，，，，，，，，.
（3）與長度相等且方向相同，則＝.
（4）雖然//，且｜｜＝｜｜，但它們方向相反，所以這兩個向量不相等.
母題探究
1.解：與長度相等、方向相反的向量有，.
2.解：由正六邊形性質知，△FOA為等邊三角形，所以邊長AF＝｜｜＝1.
跟蹤訓練
　（1），　（2）6　解析：（1）在平行四邊形ABCD和ABDE中，∵＝，＝，∴＝，∴與向量相等的向量為，.
（2）由（1）知，＝，∴E，D，C三點共線，∴｜｜＝｜｜＋｜｜＝2｜｜＝6.
【例3】　解：（1）當向量的起點C是圖中所圈的格點時，可以作出與相等的向量.
這樣的格點共有6個，除去點A外，還有5個，所以共有5個向量與相等.
（2）與長度相等的共線向量（除外）共有5×2＋1＝11（個）.
（3）每個小正方形的邊長為1，則對角線長為，
每個小正方形中存在兩個與平行且模為的向量，一共有12個正方形，
故與平行且模為的向量共有24個.
跟蹤訓練
　解：（1）向量，，，，如圖所示.
（2）由題意知＝，∴AD＝BC，AD∥BC，
則四邊形ABCD為平行四邊形，
∴＝，
則B地相對于A地的位置為“北偏東60°，距離為6 km”.
【例4】　解：因為平行四邊形ABCD中，｜｜＝｜｜，所以該平行四邊形為菱形，
又由題意知∠BAD＝60°，所以△ABD為等邊三角形，
故向量與的夾角為∠BAC＝30°，
向量與的夾角大小與∠ABD相等，
且∠ABD＝60°，即它們的夾角為60°.
跟蹤訓練
　C　如圖，作向量＝，則∠BAD是與的夾角.在△ABC中，因為∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即與的夾角為120°.故選C.
隨堂檢測
1.B　對于A，≠，故A錯誤；對于B，｜｜＝｜｜，故B正確；對于C，與不共線，故C錯誤；對于D，向量不能比較大小，故D錯誤.故選B.
2.ABD　C中，平行四邊形兩對邊所表示的向量也可能方向相反，故C錯誤，A、B、D都正確.故選A、B、D.
3.C　根據正方形ABCD的性質可知，，，，是模相等的向量.故選C.
4.12　解析：由向量的表示方法知，可以寫出12個向量，它們分別是，，，，，，，，，，，.
5 / 5(共64張PPT)
9.1　向量概念
新課程標準解讀 核心素養
1.通過對力、速度、位移等物理量的分析，了
解平面向量的實際背景 數學抽象
2.理解平面向量的幾何表示和基本要素 直觀想象
3.了解平面向量共線和向量相同的含義 數學抽象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
把木塊放置在光滑的斜面上，斜面上的木塊受到兩個力的影響：重力
G和斜面的支持力N. 木塊在重力與支持力的合力作用下，會沿著斜
面向下運動，產生位置的變化，物理上用“位移”來刻畫這種變化.
（2）你能舉出一些既有大小又有方向的量嗎？有沒有只有大小沒有
方向的量？
【問題】　（1）物理中，位移和距離這兩個量有什么不同？
知識點一　向量的概念及表示
1. 向量的概念
（1）向量：既有 又有 的量；
（2）數量：只有大小沒有方向的量.
提醒　（1）數量是一個代數量，只有大小沒有方向，可以比
較大小，如長度、質量、面積、體積等都是數量；（2）向量
既有大小又有方向，因為方向不能比較大小，所以向量不能
比較大小.
大小　
方向　
2. 向量的表示
（1）有向線段：具有方向的線段叫作有向線段，它包含三個要
素：起點、方向、長度，如圖所示.
（2）向量的表示
①幾何表示：向量常用一條 來表示，有向線段
的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，
以A為起點、B為終點的向量記為 .向量 的大小稱
為向量的 （或稱為 ），記作 ；
有向線段　
　
長度　
模　
｜ ｜　
②字母表示：向量也可用小寫字母a，b，c來表示（印刷用
粗體a，b，c，書寫用 ， ， ）.
提醒　（1）向量不能比較大小，但向量的模能比較大小；
（2）有向線段是向量的幾何表示，并不是說向量就是有向線
段.一條有向線段對應著一個向量，但一個向量對應著無數多
條有向線段.
知識點二　幾類特殊向量
特殊向量 定義
零向量 長度為0的向量，記作
單位向量 長度等于 長度的向量
平行向量 （共線向量） 方向 的非零向量；向量a與向量b
平行，記作a∥b，規定：零向量與任一向量

相等向量 長度 且方向 的向量；向量a與b
相等，記作a＝b
0　
1個單位　
相同或相反　
平
行　
相等　
相同　
特殊向量 定義
相反向量 與向量a長度 ，方向 的向量叫作
a的相反向量，記作－a，a與－a互為相反向量.
規定：零向量的相反向量仍是零向量.
性質：對任意一個向量a，總有－（－a）＝a
相等　
相反　
【想一想】
1.0與0相同嗎？0是不是沒有方向？
提示：0與0不相同，0是實數，0是向量，有方向.0的方向是任
意的.
2. 若a∥b，b∥c，則a與c一定平行嗎？
提示：不一定.當b＝0時，a與c不一定平行，因為0與任何向量
平行.
3. 相等向量一定是共線向量嗎？反之是否成立？
提示：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等.
知識點三　兩個向量的夾角
1. 定義：對于兩個非零向量a和b，在平面內任取一點O，作 ＝
a， ＝b，∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a與b的夾
角（如圖）.
2. 當θ＝ 時，a與b同向；當θ＝ 時，a與b反向；
當θ＝ 時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.
0°　
180°　
90°　
1. 給出下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥
路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（　　）
A. 3個 B. 4個
C. 5個 D. 6個
解析： 　質量、路程、密度、功只有大小，沒有方向，所以是數
量，不是向量.
√
2. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 平行向量的方向相同或相反
B. 零向量的模為1
D. 與非零向量a共線的單位向量是唯一的
√
√
解析： 　對于A，平行向量的方向相同或相反，故A正確；對于
B，零向量的模為0，故B錯誤；對于C，向量 與向量 長度相
等，方向相反，向量 與向量 是相反向量，故C正確；對于
D，與非零向量a共線的單位向量有兩個，一個與a同向，一個與a
反向，故D錯誤.故選A、C.
3. 如圖，在四邊形ABCD中，若 ＝ ，則圖中相等的向量是
（　　）
√
解析： 　對于A，由 ＝ ，可得四邊形ABCD為平行四邊
形. 與 互為相反向量，故A錯誤；對于B， 與 互為相
反向量，故B錯誤；對于C， 與 滿足相等向量的定義，故C
正確；對于D， 與 方向不同不滿足相等向量的定義，故D錯
誤.故選C.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 向量的有關概念
【例1】　（多選）下列結論正確的是（　　）
A. 若a，b都是單位向量，則a＝b
B. 物理學中作用力與反作用力是一對共線向量
C. 方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量
D. 直角坐標平面上的x軸，y軸都是向量
√
√
解析： 　對于A，單位向量的方向不一定相
同，故A錯誤；對于B，物理學中的作用力與反
作用力大小相等，方向相反，是一對共線向
量，故B正確；對于C，如圖所示，方向為南偏
西60°的向量與北偏東60°的向量在一條直線上，是共線向量，故C正確；對于D，直角坐標平面上的x軸，y軸只有方向，沒有大小，不是向量，故D錯誤.故選B、C.
通性通法
解決與向量概念有關問題的方法
　　解決與向量概念有關問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長
度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相同向
量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，
但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0.
【跟蹤訓練】
　（2024·宿遷月考）下列命題正確的是（　　）
A. ｜a｜＝｜b｜ a＝b B. ｜a｜＞｜b｜ a＞b
C. a∥b a＝b D. ｜a｜＝0 a＝0
解析： 　對于A，兩個向量的模相等，但是方向不一定相同，故A錯
誤；對于B，兩個向量不能比較大小，故B錯誤；對于C，向量平行只
是方向相同或相反，不能得到向量相等，故C錯誤；對于D，若一個
向量的模等于0，則這個向量是0，故D正確.故選D.
√
題型二 共線向量與相等（相反）向量
【例2】　（鏈接教科書第6頁例1）如圖，已知點O是正六邊形
ABCDEF的中心，在圖中所標出的向量中：
（1）寫出與 共線的向量；
解： 與 共線的向量有 ， ， .
（2）寫出與 的模相等的向量；
解： 與 的模相等的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
（3）寫出與 相等的向量；
解： 與 長度相等且方向相同，則 ＝ .
（4） 與 相等嗎？
解： 雖然 // ，且｜ ｜＝｜ ｜，但它們方向相反，所以這兩個向量不相等.
【母題探究】
1. （變設問）本例條件不變，試寫出與 長度相等且方向相反的
向量.
解：與 長度相等、方向相反的向量有 ， .
2. （變條件，變設問）在本例中，若｜ ｜＝1，則正六邊形的邊
長是多少？
解：由正六邊形性質知，△FOA為等邊三角形，所以邊長AF＝｜
｜＝1.
通性通法
尋找共線向量或相等向量的方法
（1）尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的
線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向
量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量；
（2）尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向
量，再確定哪些是與已知向量方向相同的向量.
【跟蹤訓練】
如圖所示，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.
（1）與向量 相等的向量為 ；
解析： 在平行四邊形ABCD和ABDE中，
∵ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ，∴與向
量 相等的向量為 ， .
， 　
（2）若｜ ｜＝3，則向量｜ ｜＝ .
解析： 由（1）知， ＝ ，∴E，D，C三點共線，∴｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝2｜ ｜＝6.
6　
題型三 向量的表示及應用
【例3】　（鏈接教科書第7頁例2）在圖中的3×4方格紙中有一個向量 （小正方形的邊長為1），分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中：
（1）與 相等的向量有多少個？
解： 當向量 的起點C是圖中所圈的格點時，可以作出與 相等的向量.
這樣的格點共有6個，除去點A外，還有5個，
所以共有5個向量與 相等.
（2）與 長度相等的共線向量有多少個（ 除外）？
解： 與 長度相等的共線向量（除 外）共有5×2＋1＝11（個）.
（3）與 平行且模為 的向量有多少個？
解： 每個小正方形的邊長為1，則對角線長為 ，
每個小正方形中存在兩個與 平行且模為 的
向量，一共有12個正方形，
故與 平行且模為 的向量共有24個.
通性通法
用有向線段表示向量的步驟
（1）定起點：先確定向量的起點；
（2）定方向：再確定向量的方向；
（3）定終點：有了起點和方向，結合向量的長度確定向量的終點.
【跟蹤訓練】
一輛消防車從A地去B地執行任務，先從A地向北偏東30°方向行駛2
km到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6 km到達C地，從C地
又向南偏西30°方向行駛2 km才到達B地.
（1）在圖中作出 ， ， ， ；
解： 向量 ， ， ， ，如圖所示.
（2）求B地相對于A地的位置.
解： 由題意知 ＝ ，∴AD＝BC，AD∥BC，
則四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ ＝ ，
則B地相對于A地的位置為“北偏東60°，
距離為6 km”.
題型四 向量的夾角
【例4】　已知平行四邊形ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜，且向量
與 的夾角為60°，則 與 的夾角為多少？ 與 的夾角又
是多少？
解：因為平行四邊形ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜，所以該平行四邊
形為菱形，
又由題意知∠BAD＝60°，所以△ABD為等邊三角形，
故向量 與 的夾角為∠BAC＝30°，
向量 與 的夾角大小與∠ABD相等，
且∠ABD＝60°，即它們的夾角為60°.
通性通法
求向量的夾角
　　求兩個向量的夾角，關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重
合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.
【跟蹤訓練】
　（2024·泰州月考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝ AB，則
與 的夾角為（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　如圖，作向量 ＝ ，則∠BAD是 與
的夾角.在△ABC中，因為∠ACB＝90°，BC＝
AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即 與
的夾角為120°.故選C.
√
1. （2024·蘇州汾湖高中月考）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中
心，下列說法正確的是（　　）
解析： 　對于A， ≠ ，故A錯誤；對于B，｜ ｜＝｜
｜，故B正確；對于C， 與 不共線，故C錯誤；對于D，
向量不能比較大小，故D錯誤.故選B.
√
2. （多選）下列結論中，正確的是（　　）
C. 平行四邊形兩對邊所表示的向量一定是相等向量
解析： C中，平行四邊形兩對邊所表示的向量也可能方向相
反，故C錯誤，A、B、D都正確.故選A、B、D.
√
√
√
3. （2024·鹽城月考）設M是正方形ABCD的中心，則 ， ，
， 是（　　）
A. 有相同起點的向量 B. 相等向量
C. 模相等的向量 D. 平行向量
解析： 　根據正方形ABCD的性質可知， ， ， ，
是模相等的向量.故選C.
√
4. 如圖，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中不同的點為起點
和終點，可以寫出 個向量.
解析：由向量的表示方法知，可以寫出12個向量，它們分別是
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
.
12　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列四個命題中正確的是（　　）
A. 時間、距離都是向量
B. 兩個有共同起點且相等的向量，其終點一定相同
D. 平行向量不一定是共線向量
√
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解析： 　對于A，時間和距離只有大小，沒有方向，是數量，不
是向量，故A錯誤；對于B，兩個有共同起點且相等的向量，其終
點一定相同，故B正確；對于C，向量 與向量 表示的是模長
相等，方向相反的兩個不同的向量，故C錯誤；對于D，平行向量
也叫作共線向量，故D錯誤.故選B.
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2. 在銳角△ABC中，下列說法正確的是（　　）
解析： 　由兩向量的夾角的定義知， 與 的夾角等于180°
－∠ABC， 與 的夾角等于∠BAC， 與 的夾角等于
∠ACB， 與 的夾角等于180°－∠ACB，因為△ABC為銳角
三角形，所以只有B正確.故選B.
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3. （2024·無錫月考）設a0，b0分別是與a，b同向的單位向量，則下
列結論中正確的是（　　）
A. a0＝b0 B. a0＝－b0
C. a0∥b0 D. ｜a0｜＋｜b0｜＝2
解析： 　單位向量的模長為1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正
確；a0，b0分別與a，b同向，而a，b方向不確定，A、B、C錯
誤，故選D.
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4. （2024·常州月考）若｜ ｜＝｜ ｜且 ＝ ，則四邊形
ABCD的形狀為（　　）
A. 平行四邊形 B. 矩形
C. 菱形 D. 等腰梯形
解析： 　∵ ＝ ，∴四邊形ABCD為平行四邊形.又∵｜
｜＝｜ ｜，∴平行四邊形ABCD相鄰兩邊相等，故四邊形
ABCD為菱形.故選C.
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5. （多選）下列能使a∥b成立的是（　　）
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a與b方向相反 D. ｜a｜＝0或｜b｜＝0
解析： 　對于A，若a＝b，則a與b的長度相等且方向相同，
所以a∥b；對于B，若｜a｜＝｜b｜，則a與b的長度相等，而
方向不確定，因此不一定有a∥b；對于C，方向相同或相反的向
量都是平行向量，因此若a與b方向相反，則有a∥b；對于D，零
向量與任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，則a∥b.
√
√
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6. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 若a≠b，則a，b一定不共線
C. 若a＝b，b＝c，則a＝c
D. 共線向量是在一條直線上的向量
√
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解析： 　對于A，兩個向量不相等，可能是長度不相等，但方向
相同或相反，所以a與b有共線的可能，故A不正確.對于B，在
ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜， 與 平行且方向相同，所
以 ＝ ，故B正確.對于C，a＝b，則｜a｜＝｜b｜，且a與
b方向相同；b＝c，則｜b｜＝｜c｜，且b與c方向相同，所以a
與c方向相同且模相等，故a＝c，故C正確.對于D，共線向量可以
是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D
不正確.故選B、C.
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7. （2024·徐州月考）給出下列命題：①若｜a｜＝0，則 a＝0；②
若｜a｜＝｜b｜，則a＝－b；③若a∥b，則｜a｜＝｜b｜.其
中，正確的命題個數有 .
解析：①忽略了0與0的區別，a＝0；②混淆了兩個向量的模相等
與兩個向量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能說明它們的長度相
等，它們的方向并不確定；③兩個向量平行，可以得出它們的方向
相同或相反，未必得到它們的模相等.
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8. 如圖，在△ABC中，D，E，F分別是AB，AC，BC的中點， 則
圖中 的相反向量為 .
解析：∵D，E，F分別為AB，AC，BC的中點，∴DE∥BC且
DE＝ BC. ∴｜ ｜＝｜ ｜且方向相反.｜ ｜＝｜ ｜且
方向相反.∴ 的相反向量為 ， ， .
， ， 　
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9. 在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，則向量 與 的夾角
為 .
解析：∵∠B＝45°，∴ 與 的夾角為135°.
135°　
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10. 如圖，D，E，F分別是正三角形ABC各邊的中點.
（1）寫出圖中所示向量與向量 長度相等的向量；
解： 與 長度相等的向量是 ，
， ， ， ， ， ， .
（2）分別寫出圖中所示向量與向量 ， 共線的向量；
解： 與 共線的向量是 ， ， ；
與 共線的向量是 ， ， .
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（3）求 與 ， 與 的夾角的度數.
解： 因為△ABC為正三角形， 與 的夾角為∠ABC，故 與 的夾角為60°， 與 的夾角為∠AFD的補角，故 與 的夾角為120°.
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11. （多選）在下列結論中正確的有（　　）
A. a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分條件
B. a≠b是｜a｜≠｜b｜的充分不必要條件
C. a與b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要條件
D. a與b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要條件
√
√
√
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解析： 　若a＝b， 則a與b方向相同，模相等，所以A、C
正確；對于B，由a≠b ｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜
a≠b，所以a≠b是｜a｜≠｜b｜的必要不充分條件，故B錯
誤；對于D，由a與b方向相反，可以推出a≠b，也可由｜a｜
≠｜b｜推出a≠b，則a與b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b
的充分條件，但反過來不一定成立，故D正確.
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12. （2024·泰州月考）已知A，B，C是不共線的三點，向量m與向
量 是平行向量，與 是共線向量，則m＝ .
解析：向量m與向量 是平行向量，則向量m與向量 方向相
同或相反；向量m與 是共線向量，則向量m與向量 方向相
同或相反.由A，B，C是不共線的三點，可知向量 與向量
方向不同且不共線，則m＝0.
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13. 如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平
行四邊形，在圖中所標出的向量中，與向量 的夾角為120°的
向量是 .
， ， 　
解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC. ∴結合
共線向量及向量夾角的定義可知與 的夾角為120°的向量為
， ， .
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14. 如圖所示的方格紙由若干個邊長為1的小正方形組成，方格紙中有
兩個定點A，B. 點C為小正方形的頂點，且｜ ｜＝ .
（1）畫出所有的向量 ；
解： 畫出所有的向量 ，如圖所示.
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（2）求｜ ｜的最大值與最小值.
解： 由（1）所畫的圖知，
①當點C位于點C1或C2時，｜ ｜取
得最小值 ＝ ；
②當點C位于點C5或C6時，｜ ｜取
得最大值 ＝ .
所以｜ ｜的最大值為 ，最小值
為 .
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15. 一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30 n mile，這時接到求救
信號，在巡邏艇的正東方向40 n mile處有一艘漁船拋錨需救
助.試求：
（1）巡邏艇從港口出發到漁船出事點所航行的路程；
解： 畫出示意圖，如圖
所示，易得所求路程為巡邏艇
兩次路程的和，
即AB＋BC＝70 n mile.
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（2）巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移.（參考數據： sin
53°≈0.8）
解： 巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移是向量，
既有大小又有方向，其大小為｜ ｜＝
＝50（n mile），
由于 sin ∠BAC＝ ，故方向約為北偏東53°.
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