資源簡介

第1課時　向量的加法運算
1.（2024·揚州邗江一中月考）下列向量關系式中，正確的是（　　）
A.＝　　　 B.＋＝
C.＋＝ D.＋＋＝
2.在四邊形ABCD中，＋＝，則四邊形ABCD是（　　）
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四邊形
3.（2024·淮安月考）若向量a表示“向東航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，則向量a＋b表示（　　）
A.向東北方向航行2 km
B.向北偏東30°方向航行2 km
C.向北偏東60°方向航行2 km
D.向東北方向航行（1＋）km
4.已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足＋＝，則下列結論中正確的是（　　）
A.P在△ABC的內部
B.P在△ABC的邊AB上
C.P在AB邊所在的直線上
D.P在△ABC的外部
5.（多選）在 ABCD中，設＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式成立的是（　　）
A.a＋b＝c B.a＋d＝b
C.b＋d＝a D.｜a＋b｜＝｜c｜
6.（多選）已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，則｜a＋b｜的值可能為（　　）
A.4 B.8
C.10 D.12
7.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點.則
（1）＋＋＝　　　　；
（2）＋＋＝　　　　.
8.（2024·鹽城月考）在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜｜＝2，則｜＋｜＝　　　　.
9.在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么＋＝　　　　，＋＝　　　　.
10.如圖所示，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800 km到達B地，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行600 km到達C地，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和（參考數據：sin 37°＝0.6）.
11.（2024·南京月考）P為四邊形ABCD所在平面上一點，＋＋＋＝＋，則P為（　　）
A.四邊形ABCD對角線的交點
B.AC的中點
C.BD的中點
D.CD邊上一點
12.（多選）設a＝（＋）＋（＋），b是任一非零向量，則在下列結論中，正確的是（　　）
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
13.（2024·鎮江月考）如圖所示，已知在矩形ABCD中，｜｜＝4，設＝a，＝b，＝c，則｜a＋b＋c｜＝　　　　.
14.如圖，點D，E，F分別為△ABC的三邊AB，BC，CA的中點.求證：
（1）＋＝＋；
（2）＋＋＝0.
15.如圖，已知向量a，b，c，d.
（1）求作a＋b＋c＋d；
（2）設｜a｜＝2，e為單位向量，求｜a＋e｜的最大值.
第1課時　向量的加法運算
1.D　對于A，＝－，故A錯誤；對于B，由＋＝＝－≠，故B錯誤；對于C，＋＝＋＝，故C錯誤；對于D，由向量加法的運算法則，有＋＋＝，故D正確.故選D.
2.D　由平行四邊形法則可得，四邊形ABCD是以AB，AD為鄰邊的平行四邊形.故選D.
3.B　如圖，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏東30°.又｜a＋b｜＝2 km，故選B.
4.D　由＋＝，根據平行四邊形法則，如圖，則點P在△ABC外，故D正確.
5.ABD　如圖，由向量加法的平行四邊形法則知A、D正確；由三角形法則知B正確，C錯誤.故選A、B、D.
6.AD　由a∥b可知，a，b共線.由｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.當a，b方向相同時，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12，當a，b方向相反時，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故選A、D.
7.（1）　（2）0　解析：（1）＋＋＝＋＝.
（2）＋＋＝＋＋＝＋＝0.
8.2　解析：如圖所示，設菱形ABCD的對角線的交點為O.＋＝＋＝.∵∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，AO＝＝，∴｜｜＝2｜｜＝2，即｜＋｜＝2.
9.　　解析：因為DE∥BC，AB∥CF，所以四邊形DFCB為平行四邊形.由向量加法的運算法則可知＋＝＋＝，＋＝＋＝.
10.解：設，分別表示飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800 km，從B地按南偏東55°的方向飛行600 km，
則飛機飛行的路程指的是｜｜＋｜｜；兩次位移的和指的是＋＝.
依題意，有｜｜＋｜｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
在Rt△ABC中，｜｜＝＝＝1 000，
所以sin∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即兩次位移的和的方向為北偏東35°＋37°＝72°.
從而飛機飛行的路程是1 400 km，兩次位移的和的大小為1 000 km，方向為北偏東72°.
11.B　因為＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋，所以＋＝＋，所以＋＝0.所以P為線段AC的中點，故選B.
12.ACD　因為a＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＝0.所以A、C、D正確.故選A、C、D.
13.8　解析：a＋b＋c＝＋＋＝＋.如圖，延長BC至點E，使CE＝BC，連接DE.∵＝＝，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴｜a＋b＋c｜＝｜｜＝2｜｜＝2｜｜＝8.
14.證明：（1）由向量加法的三角形法則，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋.
（2）由向量加法的平行四邊形法則，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝0＋0＋0＝0.
15.解：（1）在平面內任取一點O，作＝a，＝b，＝c，＝d，則＝a＋b＋c＋d.如圖所示.
（2）在平面內任取一點O，
作＝a，＝e，
則a＋e＝＋＝，
因為e為單位向量，
所以點B在以A為圓心的單位圓上（如圖所示），
由圖可知當點B在點B1處時，O，A，B1三點共線，此時｜｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3.
2 / 2第1課時　向量的加法運算
新課程標準解讀 核心素養
1.借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加法運算，理解其幾何意義 數學抽象
2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能利用兩個法則進行向量的加法運算 直觀想象
如圖，一個人先從景點O到景點A，再從景點A到景點B和這個人直接由景點O到景點B的結果是相同的，即都從景點O到達景點B.利用向量表示就是：從景點O到景點A的位移為，從景點A到景點B的位移為，由景點O到景點B的位移是.
【問題】　向量，，三者之間有何關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　向量加法的定義及其運算法則
1.定義：求兩個向量和的運算.
2.向量求和的運算法則
三角形 法則 已知向量a和b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則向量叫作a與b的和，記作　　　　，即a＋b＝　　　　　　＝
平行四邊 形法則 對于任意兩個　　　　　的非零向量a，b，分別作＝a，＝b，以OA，OC為鄰邊作　　　　，則以O為起點的對角線表示的向量就是向量a與b的和
提醒　（1）運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接，再首尾相連”；（2）運用向量加法的平行四邊形法則作圖時，要強調兩個向量起點相同.
知識點二　向量加法的運算律
交換律 結合律
a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
提醒　｜a＋b｜與｜a｜，｜b｜之間的關系：一般地，我們有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，當且僅當a，b中有一個是零向量或a，b是方向相同的非零向量時，等號成立.
1.在△ABC中，＝a，＝b，則a＋b＝（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.
2.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.a＋0＝a B.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C.a＋b＝b＋a D.＝＋＋
3.在正方形ABCD中，若｜｜＝1，則＋｜＝　　　　.
題型一 向量加法的運算法則
【例1】　（鏈接教科書第11頁例1）（1）如圖①所示，求作向量a＋b；
（2）如圖②所示，求作向量a＋b＋c.
通性通法
求作和向量的方法
（1）利用三角形法則：在平面內任取一點，以該點為始點，將兩向量平移到首尾相接，從該始點到另外一個終點的向量就是這兩個向量的和.一定要注意首尾相接；
（2）利用平行四邊形法則：在平面內任取一點，從此點出發分別作兩個向量等于已知向量，以這兩個向量所在線段為鄰邊作平行四邊形，以所取的點為始點的對角線所對應的向量就是這兩個向量的和.
【跟蹤訓練】
1.（2024·連云港月考）如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F，G，H，則＋＝（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.
2.已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜｜＝1，則｜＋｜＝　　　　.
題型二 向量加法運算律的應用
【例2】　（鏈接教科書第13頁練習第4題）化簡下列各式：
（1）＋＋；
（2）（＋）＋（＋）；
（3）＋＋＋＋.
通性通法
1.當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立.
2.多個向量的加法運算可以按照任意的次序與任意的組合進行，如（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.
3.向量求和的多邊形法則：＋＋＋…＋＝.特別地，當An和A1重合時，＋＋＋…＋＝0.
【跟蹤訓練】
1.在平行四邊形ABCD中，＋＋＝（　　）
A. B.
C. D.
2.如圖，在正六邊形ABCDEF中，O是其中心.
則：①＋＝　　　　；
②＋＋＝　　　　；
③＋＋＝　　　　.
題型三 向量加法的實際應用
【例3】　（鏈接教科書第12頁例2）如圖，在長江南岸某渡口處，江水以10 km/h的速度向東流，渡船在靜水中的速度為20 km/h.
（1）用向量表示水流速度，渡船的靜水速度，以及渡船的實際速度；
（2）若渡船從南岸出發垂直地渡過長江，則渡船的航向應如何確定？
【母題探究】
1.（變設問）若本例條件不變，則經過3小時，該船的實際航程是多少km？
2.（變設問）若本例條件不變，本例（2）中改為“若渡船沿垂直于水流的方向航行，求渡船實際行進的方向與河岸的夾角的正切值”.
通性通法
利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟
【跟蹤訓練】
雨滴在下落一定時間后的運動是勻速的，無風時雨滴下落的速度是4 m/s，現在有風，風使雨滴以 m/s的速度水平向東移動，求雨滴著地時速度的大小和方向.
1.（多選）對于任意一個四邊形ABCD，下列式子能化簡為的是（　　）
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D.＋＋
2.（2024·南通月考）a，b為非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，則（　　）
A.a，b同向
B.a，b反向
C.a＝－b
D.a，b無論什么關系均可
3.如圖，在矩形ABCD中，＋＋＝　　　　.
4.某人在靜水中游泳，速度為4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河對岸，水流的流速為4 km/h，則此人實際沿　　　　的方向前進，速度為　　　　.
第1課時　向量的加法運算
【基礎知識·重落實】
知識點一
2.a＋b　＋　不共線　 OABC　自我診斷
1.D　＋＝.故選D.
2.ACD　A中，a＋0＝a，故A正確；B中，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜不一定成立，例如，a＝－b時，該式不成立，故B錯誤；C、D正確.故選A、C、D.
3.　解析：根據向量加法的平行四邊形法則知，＋＝，則｜＋｜＝｜｜＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b.如圖③所示.
（2）法一（三角形法則）
如圖④所示，首先在平面內任取一點O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即為所求.
法二（平行四邊形法則）
如圖⑤所示，
首先在平面內任取一點O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB為鄰邊作 OADB，連接OD，
則＝＋＝a＋b.
再以OD，OC為鄰邊作 ODEC，連接OE，
則＝＋＝a＋b＋c即為所求.
跟蹤訓練
1.C　以OP，OQ為鄰邊作平行四邊形，如圖所示，則＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝.
2.1　解析：因為在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD為等邊三角形，所以｜＋｜＝｜｜＝｜｜＝1.
【例2】　解：（1）＋＋＝（＋）＋＝＋＝.
（2）法一　（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＝.
法二　（＋）＋（＋）＝＋（＋＋）＝＋0＝.
（3）＋＋＋＋＝（＋）＋（＋＋）＝＋＝0.
跟蹤訓練
1.D　原式＝＋＋＝.故選D.
2.①或　②　③ 　
解析：①＋＝＋＝＋＝或＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝＋＋＝.
【例3】　解：（1） 作出圖形，如圖.
設表示水流的速度，表示渡船的靜水速度，表示渡船的實際速度.
（2）船速v船與正北方向成α角，
由圖可知，v水＋v船＝v實際，即＋＝.
∴四邊形ABCD為平行四邊形.
在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 km/h，｜｜＝｜v船｜＝20 km/h，
∴sin α＝＝＝，∴α＝30°，從而渡船行進的方向與正北方向成30°的角.
故渡船行進的方向應為北偏西30°.
母題探究
1.解：由圖可知｜｜＝cos α｜｜＝｜｜＝×20＝10（km/h），
則經過3小時，該船的實際航程是3×10＝30（km）.
2.解：如圖所示，｜｜＝｜｜＝｜v船｜＝20 km/h，｜｜＝｜v水｜＝10 km/h，
渡船實際行進的方向與河岸的夾角為∠BAC，則tan∠BAC＝＝2.
即船實際行進的方向與河岸的夾角的正切值為2.
跟蹤訓練
　解：如圖，用表示無風時雨滴下落的速度，表示風使雨滴水平向東的速度.以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則就是雨滴下落的實際速度.
在Rt△OAC中，｜｜＝4，｜｜＝｜｜＝，
所以｜｜＝＝＝，
所以tan∠AOC＝＝＝，
所以∠AOC＝30°.
故雨滴著地時速度的大小是 m/s，方向為與豎直向下方向成30°角.
隨堂檢測
1.ABD　在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.故選A、B、D.
2.A　當兩個非零向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b的方向都不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；向量a與b同向時，a＋b的方向與a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；向量a與b反向且｜a｜＜｜b｜時，a＋b的方向與b的方向相同（與a的方向相反），且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.故選A.
3.　解析：＋＋＝＋＝.
4.與水流方向成60°　8 km/h
解析：如圖所示，∵OB＝4，OA＝4，∴OC＝8，∠COA＝60°.即他實際沿與水流方向成60°的方向前進，速度為8 km/h.
4 / 4(共58張PPT)
第1課時　
向量的加法運算
新課程標準解讀 核心素養
1.借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量
加法運算，理解其幾何意義 數學抽象
2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，
并能利用兩個法則進行向量的加法運算 直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
如圖，一個人先從景點O到景點A，再從景點A到景點B和這個人直
接由景點O到景點B的結果是相同的，即都從景點O到達景點B. 利
用向量表示就是：從景點O到景點A的位移為 ，從景點A到景點B
的位移為 ，由景點O到景點B的位移是 .
【問題】　向量 ， ， 三者之間有何關系？
知識點一　向量加法的定義及其運算法則
1. 定義：求兩個向量和的運算.
2. 向量求和的運算法則
三角形 法則 已知向量a和b，在平面內任取一點O，作 ＝a， ＝
b，則向量 叫作a與b的和，記作 ，即a＋b
＝ ＝
a＋b　
＋ 　
平行四
邊 形法則 對于任意兩個 的非零向量a，b，分別作 ＝
a， ＝b，以OA，OC為鄰邊作 ，則以O
為起點的對角線表示的向量 就是向量a與b的和
提醒　（1）運用向量加法的三角形法則作圖時要“首尾相接，再
首尾相連”；（2）運用向量加法的平行四邊形法則作圖時，要強
調兩個向量起點相同.
不共線　
OABC　
知識點二　向量加法的運算律
交換律 結合律
a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
提醒　｜a＋b｜與｜a｜，｜b｜之間的關系：一般地，我們有｜a
＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，當且僅當a，b中有一個是零向量或a，b是
方向相同的非零向量時，等號成立.
1. 在△ABC中， ＝a， ＝b，則a＋b＝（　　）
A. B. C. D.
解析： 　 ＋ ＝ .故選D.
√
2. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. a＋0＝a
B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C. a＋b＝b＋a
D. ＝ ＋ ＋
解析： 　A中，a＋0＝a，故A正確；B中，｜a＋b｜＝｜
a｜＋｜b｜不一定成立，例如，a＝－b時，該式不成立，故B錯
誤；C、D正確.故選A、C、D.
√
√
√
3. 在正方形ABCD中，若｜ ｜＝1，則 ＋ ｜＝ .
解析：根據向量加法的平行四邊形法則知， ＋ ＝ ，則｜
＋ ｜＝｜ ｜＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 向量加法的運算法則
【例1】　（鏈接教科書第11頁例1）（1）如圖①所示，求作向量a
＋b；
解： 首先作向量 ＝a，
然后作向量 ＝b，
則向量 ＝a＋b.如圖③所示.
（2）如圖②所示，求作向量a＋b＋c.
解： 法一（三角形法則）　如圖④所示，
首先在平面內任取一點O，作向量 ＝a，再
作向量 ＝b，則得向量 ＝a＋b，然后作
向量 ＝c，則向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋
b＋c即為所求.
法二（平行四邊形法則）　如圖⑤所示，
首先在平面內任取一點O，作向量 ＝a，
＝b， ＝c，
以OA，OB為鄰邊作 OADB，連接OD，
則 ＝ ＋ ＝a＋b.
再以OD，OC為鄰邊作 ODEC，
連接OE，
則 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即為所求.
通性通法
求作和向量的方法
（1）利用三角形法則：在平面內任取一點，以該點為始點，將兩向
量平移到首尾相接，從該始點到另外一個終點的向量就是這兩
個向量的和.一定要注意首尾相接；
（2）利用平行四邊形法則：在平面內任取一點，從此點出發分別作
兩個向量等于已知向量，以這兩個向量所在線段為鄰邊作平行
四邊形，以所取的點為始點的對角線所對應的向量就是這兩個
向量的和.
【跟蹤訓練】
1. （2024·連云港月考）如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F，G，H，則 ＋ ＝（　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　以OP，OQ為鄰邊作平行四邊形，
如圖所示，則 ＋ ＝ ，由 和 的
模相等，方向相同，得 ＝ ，即 ＋
＝ .
2. 已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜ ｜＝1，則｜ ＋
｜＝ .
解析：因為在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD為等邊
三角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
1　
題型二 向量加法運算律的應用
【例2】　（鏈接教科書第13頁練習第4題）化簡下列各式：
（1） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .
法二　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋（ ＋ ＋ ）＝
＋0＝ .
解： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ＋
）＝ ＋ ＝0.
（2）（ ＋ ）＋（ ＋ ）；
解：法一　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋
（ ＋ ）＝ ＋ ＝ .
（3） ＋ ＋ ＋ ＋ .
通性通法
1. 當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立.
2. 多個向量的加法運算可以按照任意的次序與任意的組合進行，如
（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋
e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.
3. 向量求和的多邊形法則： ＋ ＋ ＋…＋ ＝
.特別地，當An和A1重合時， ＋ ＋ ＋…＋
＝0.
【跟蹤訓練】
1. 在平行四邊形ABCD中， ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　原式＝ ＋ ＋ ＝ .故選D.
√
2. 如圖，在正六邊形ABCDEF中，O是其中心.
則：① ＋ ＝ ；
或 　
② ＋ ＋ ＝ ；
③ ＋ ＋ ＝ .
　
　
解析：① ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 或 ＋ ＝
＋ ＝ .
② ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
③ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .
題型三 向量加法的實際應用
【例3】　（鏈接教科書第12頁例2）如圖，在長江南
岸某渡口處，江水以10 km/h的速度向東流，渡船在靜
水中的速度為20 km/h.
（1）用向量表示水流速度，渡船的靜水速度，以及渡船的實際速度；
解： 作出圖形，如圖.
設 表示水流的速度， 表示渡船的靜水
速度， 表示渡船的實際速度.
（2）若渡船從南岸出發垂直地渡過長江，則渡船的航向應如何確
定？
解： 船速v船與正北方向成α角，由圖可知，v水＋v船＝v實際，即 ＋ ＝ .
∴四邊形ABCD為平行四邊形.
在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜
＝10 km/h，｜ ｜＝｜v船｜＝20 km/h，
∴ sin α＝ ＝ ＝ ，∴α＝30°，從而渡船行進的方向
與正北方向成30°的角.
故渡船行進的方向應為北偏西30°.
【母題探究】
1. （變設問）若本例條件不變，則經過3小時，該船的實際航程是多
少km？
解：由圖可知｜ ｜＝ cos α｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝
10 （km/h），
則經過3小時，該船的實際航程是3×10 ＝30 （km）.
2. （變設問）若本例條件不變，本例（2）中改為“若渡船沿垂直于
水流的方向航行，求渡船實際行進的方向與河岸的夾角的正切
值”.
解：如圖所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20
km/h，｜ ｜＝｜v水｜＝10 km/h，
渡船實際行進的方向與河岸的夾角為∠BAC，則
tan∠BAC＝ ＝2.
即船實際行進的方向與河岸的夾角的正切值為2.
通性通法
利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟
【跟蹤訓練】
雨滴在下落一定時間后的運動是勻速的，無風時雨滴下落的速度是4
m/s，現在有風，風使雨滴以 m/s的速度水平向東移動，求雨滴著
地時速度的大小和方向.
解：如圖，用 表示無風時雨滴下落的速度， 表示風
使雨滴水平向東的速度.以 ， 為鄰邊作平行四邊形
OACB，則 就是雨滴下落的實際速度.
在Rt△OAC中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝｜ ｜＝ ，
所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ，
所以tan∠AOC＝ ＝ ＝ ，所以∠AOC＝30°.
故雨滴著地時速度的大小是 m/s，方向為與豎直向下方
向成30°角.
1. （多選）對于任意一個四邊形ABCD，下列式子能化簡為 的是
（　　）
A. ＋ ＋ B. ＋ ＋
C. ＋ ＋ D. ＋ ＋
解析： 　在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在B
中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在C中， ＋ ＋ ＝
＋ ＝ ；在D中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＝ .故選A、B、D.
√
√
√
2. （2024·南通月考）a，b為非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜
b｜，則（　　）
A. a，b同向
B. a，b反向
C. a＝－b
D. a，b無論什么關系均可
√
解析： 　當兩個非零向量a與b不共線時，a＋b的方向與a，b
的方向都不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；向量a與b同向
時，a＋b的方向與a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜
＋｜b｜；向量a與b反向且｜a｜＜｜b｜時，a＋b的方向與b的
方向相同（與a的方向相反），且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.故
選A.
3. 如圖，在矩形ABCD中， ＋ ＋ ＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .

4. 某人在靜水中游泳，速度為4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方
向游向河對岸，水流的流速為4 km/h，則此人實際沿
的方向前進，速度為 .
解析：如圖所示，∵OB＝4 ，OA＝4，∴OC＝
8，∠COA＝60°.即他實際沿與水流方向成60°的方
向前進，速度為8 km/h.
與水流方向
成60°　
8 km/h　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. （2024·揚州邗江一中月考）下列向量關系式中，正確的是
（　　）
A. ＝
B. ＋ ＝
C. ＋ ＝
D. ＋ ＋ ＝
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解析： 　對于A， ＝－ ，故A錯誤；對于B，由 ＋
＝ ＝－ ≠ ，故B錯誤；對于C， ＋ ＝ ＋ ＝
，故C錯誤；對于D，由向量加法的運算法則，有 ＋ ＋
＝ ，故D正確.故選D.
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2. 在四邊形ABCD中， ＋ ＝ ，則四邊形ABCD是（　　）
A. 梯形 B. 矩形
C. 正方形 D. 平行四邊形
解析： 　由平行四邊形法則可得，四邊形ABCD是以AB，AD為
鄰邊的平行四邊形.故選D.
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3. （2024·淮安月考）若向量a表示“向東航行1 km”，向量b表示
“向北航行 km”，則向量a＋b表示（　　）
A. 向東北方向航行2 km
B. 向北偏東30°方向航行2 km
C. 向北偏東60°方向航行2 km
D. 向東北方向航行（1＋ ）km
解析： 　如圖，易知tan α＝ ，所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏東30°.又｜a＋b｜＝2
km，故選B.
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4. 已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足 ＋ ＝
，則下列結論中正確的是（　　）
A. P在△ABC的內部
B. P在△ABC的邊AB上
C. P在AB邊所在的直線上
D. P在△ABC的外部
解析： 　由 ＋ ＝ ，根據平行四邊形法
則，如圖，則點P在△ABC外，故D正確.
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5. （多選）在 ABCD中，設 ＝a， ＝b， ＝c， ＝
d，下列等式成立的是（　　）
A. a＋b＝c B. a＋d＝b
C. b＋d＝a D. ｜a＋b｜＝｜c｜
解析： 　如圖，由向量加法的平行四邊形法則
知A、D正確；由三角形法則知B正確，C錯誤.故選
A、B、D.
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6. （多選）已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，則｜a＋b｜的值可能
為（　　）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
解析： 　由a∥b可知，a，b共線.由｜a｜＝2｜b｜＝8可
得，｜a｜＝8，｜b｜＝4.當a，b方向相同時，｜a＋b｜＝｜
a｜＋｜b｜＝12，當a，b方向相反時，｜a＋b｜＝｜a｜－｜
b｜＝4.故選A、D.
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7. 如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點.則
（1） ＋ ＋ ＝ ；
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
　
0　
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8. （2024·鹽城月考）在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜ ｜＝
2，則｜ ＋ ｜＝ .
解析：如圖所示，設菱形ABCD的對角線的交點為
O. ＋ ＝ ＋ ＝ .∵∠DAB＝60°，
∴△ABD為等邊三角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在
Rt△AOB中，AO＝ ＝ ，∴｜ ｜＝2｜ ｜＝2 ，即｜ ＋ ｜＝2 .
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9. 在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F為線段DE延長線
上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么 ＋
＝ ， ＋ ＝ .
解析：因為DE∥BC，AB∥CF，所以四邊形DFCB為平行四邊
形.由向量加法的運算法則可知 ＋ ＝ ＋ ＝ ， ＋
＝ ＋ ＝ .
　
　
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10. 如圖所示，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800 km到達
B地，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行600 km到達C地，求
這架飛機飛行的路程及兩次位移的和（參考數據： sin 37°＝
0.6）.
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解：設 ， 分別表示飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800
km，從B地按南偏東55°的方向飛行600 km，
則飛機飛行的路程指的是｜ ｜＋｜ ｜；兩次位移的和指的
是 ＋ ＝ .
依題意，有｜ ｜＋｜ ｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°
＋55°＝90°.
在Rt△ABC中，｜ ｜＝ ＝
＝1 000，
所以 sin ∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即兩次位移的和的方
向為北偏東35°＋37°＝72°.
從而飛機飛行的路程是1 400 km，兩次位移的和的大小為1 000
km，方向為北偏東72°.
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11. （2024·南京月考）P為四邊形ABCD所在平面上一點， ＋
＋ ＋ ＝ ＋ ，則P為（　　）
A. 四邊形ABCD對角線的交點 B. AC的中點
C. BD的中點 D. CD邊上一點
解析： 　因為 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＋ ＋
＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝
0.所以P為線段AC的中點，故選B.
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12. （多選）設a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是任一非零向
量，則在下列結論中，正確的是（　　）
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
解析： 　因為a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋
）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝0.所以A、C、D正確.故選
A、C、D.
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13. （2024·鎮江月考）如圖所示，已知在矩形ABCD中，｜ ｜＝
4 ，設 ＝a， ＝b， ＝c，則｜a＋b＋c｜
＝ .
8 　
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解析：a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝
＋ .如圖，延長BC至點E，使CE＝
BC，連接DE. ∵ ＝ ＝ ，∴四
邊形ACED是平行四邊形，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ，∴｜a＋b＋c｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝2｜ ｜
＝8 .
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14. 如圖，點D，E，F分別為△ABC的三邊AB，BC，CA的中點.
求證：
（1） ＋ ＝ ＋ ；
證明： 由向量加法的三角形法則，
∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ .
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（2） ＋ ＋ ＝0.
證明： 由向量加法的平行四邊形法則，∵ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，
∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝0＋0＋0＝0.
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15. 如圖，已知向量a，b，c，d.
（1）求作a＋b＋c＋d；
解： 在平面內任取一點O，作 ＝
a， ＝b， ＝c， ＝d，則 ＝a
＋b＋c＋d.如圖所示.
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（2）設｜a｜＝2，e為單位向量，求｜a＋e｜的最大值.
解： 在平面內任取一點O，
作 ＝a， ＝e，
則a＋e＝ ＋ ＝ ，
因為e為單位向量，
所以點B在以A為圓心的單位圓上（如圖所示），
由圖可知當點B在點B1處時，O，A，B1三點共線，此時｜ ｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3.
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