資源簡介

第2課時　向量的減法運算
1.化簡－＋＋＝（　　）
A.　　　　　　　 B.
C. D.
2.（2024·南通月考）如圖，已知ABCDEF是一正六邊形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，則＝（　?。?br/>A.a＋b B.b－a
C.c－b D.b－c
3.（2024·蘇州吳江中學月考）已知在四邊形ABCD中，－＝－，則四邊形ABCD一定是（　?。?br/>A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.邊長為1的正三角形ABC中，｜－｜＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
5.（多選）如圖，在五邊形ABCDE中，下列運算結果為的是（　　）
A.＋－
B.＋
C.－
D.－
6.（多選）對于菱形ABCD，下列各式正確的是（　　）
A.＝
B.｜｜＝｜｜
C.｜－｜＝｜＋｜
D.｜＋｜＝｜－｜
7.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點O，則－－＋＋＝　　　　.
8.（2024·鎮江月考）若a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，則a與a＋b所在直線的夾角是　　　　.
9.在矩形ABCD中，｜｜＝2，｜｜＝4，則｜＋－｜＝　　　　，｜＋＋｜＝　　　　.
10.向量a，b，c，d，e如圖所示，據圖解答下列各題：
（1）用a，d，e表示；
（2）用b，c表示；
（3）用a，b，e表示；
（4）用d，c表示.
11.在如圖所示的四邊形ABCD中，設＝a，＝b，＝c，則＝（　　）
A.a－b＋c
B.b－（a＋c）
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
12.（多選）已知△ABC為等腰直角三角形，且∠A＝90°，則有（　?。?br/>A.｜＋｜＝｜－｜
B.｜－｜＝｜－｜
C.｜－｜＝｜－｜
D.｜－｜2＞｜－｜2＋｜－｜2
13.（2024·宿遷月考）已知非零向量a，b滿足｜a｜＝＋1，｜b｜＝－1，且｜a－b｜＝4，則｜a＋b｜＝　　　　.
14.如圖，在 ABCD中，＝a，＝b.
（1）當a，b滿足什么條件時，a＋b與a－b所在的直線互相垂直？
（2）a＋b與a－b有可能為相等向量嗎？為什么？
15.如圖，O為△ABC的外心，H為垂心，求證：＝＋＋.
第2課時　向量的減法運算
1.B　原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝.
2.D　由題可得＝＝＝－＝b－c，故選D.
3.A　由－＝－，得＝，所以四邊形ABCD一定是平行四邊形.故選A.
4.D　如圖延長AB到D.使AB＝BD.∴＝，∴｜－｜＝｜－｜＝｜｜，∵△ABC是邊長為1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD為直角三角形，∴｜｜＝ ＝ ＝，∴｜－｜＝.故選D.
5.AB?。剑?，故A正確；＋＝，故B正確；－＝＋＝，故C錯誤；－＝＋≠，故D錯誤.故選A、B.
6.BCD　向量與的方向不同，但它們的模相等，所以B正確，A錯誤；因為｜－｜＝｜＋｜＝2｜｜，｜＋｜＝2｜｜，且｜｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜＋｜，所以C正確；因為｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以D正確.故選B、C、D.
7.　解析：－－＋＋＝＋＋＋＝.
8.30°　解析：設＝a，＝b，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，如圖所示，則a＋b＝，a－b＝.∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，∴△OAB是等邊三角形，四邊形OACB是菱形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，對角線OC平分∠BOA，∴a與a＋b所在直線的夾角為30°.
9.4　8　解析：∵＋－＝＋－＝－＋＝＋＝2，∴｜＋－｜＝｜2｜＝2＝4.∵＋＋＝＋＝2，∴｜＋＋｜＝2｜｜＝8.
10.解：由圖知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
（1）＝＋＋＝a＋d＋e.
（2）＝－＝－－＝－b－c.
（3）＝＋＋＝a＋b＋e.
（4）＝－＝－（＋）＝－c－d.
11.A?。剑剑璪＋a＋c＝a－b＋c.故選A.
12.ABC　由條件可知｜｜＝｜｜，以，為鄰邊的四邊形是正方形，對角線相等，根據向量加、減法則可知｜＋｜＝｜－｜，故A正確；｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故B正確；｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，所以｜－｜＝｜－｜，故C正確；｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，｜－｜2＝｜｜2，由條件可知｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，即｜－｜2＝｜－｜2＋｜－｜2，故D錯誤.故選A、B、C.
13.4　解析：如圖，設＝a，＝b，則｜｜＝｜a－b｜.以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則｜｜＝｜a＋b｜，由于（＋1）2＋（－1）2＝42，因此｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，因此△OAB是直角三角形，從而OA⊥OB，所以四邊形OACB是矩形，所以｜｜＝｜｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
14.解：（1）＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
若a＋b與a－b所在的直線互相垂直，則AC⊥BD.
因為當｜a｜＝｜b｜時，四邊形ABCD為菱形，此時AC⊥BD，故當a，b滿足｜a｜＝｜b｜時，a＋b與a－b所在的直線互相垂直.
（2）不可能.因為 ABCD的兩對角線不可能平行，所以a＋b與a－b不可能為共線向量，更不可能為相等向量.
15.證明：如圖，連接AH，HC，延長BO交圓O于點D，連接DA，DC，則OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，
所以CH∥DA，AH∥DC，
所以四邊形AHCD是平行四邊形，
所以＝.
又＝－＝＋，
所以＝＋＝＋＝＋＋.
3 / 3第2課時　向量的減法運算
新課程標準解讀 核心素養
1.了解向量加法與減法的關系 邏輯推理
2.掌握向量的減法運算，并理解其幾何意義 直觀想象
　　在實數的運算中，減法是加法的逆運算，其運算法則是：減去一個數等于加上這個數的相反數.如圖，向量是向量與向量x的和.
【問題】?。?）類比實數的運算，向量的減法與加法有什么關系？
（2）圖中，結合向量加法的幾何表示，你能作出向量x嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　向量的減法
1.定義：平面上任意兩個向量a，b，如果向量x滿足　　　　　　，則向量x叫作a與b的差，記為　　　　.求兩個向量差的運算，叫作向量的減法.
2.作法：如圖，在平面內任取一點O，作　　　　　　，　　　　　　，則向量a－b＝　　　　.
3.法則：當向量　　　　　　時，向量a，b，a－b正好能構成一個三角形，因此求兩　　　　　的作圖方法也常稱為向量作差的　　　　　　.
4.幾何意義：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.
提醒　對向量減法的三點說明：①向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義，－＝，就可以把減法轉化為加法，即a－b＝a＋（－b）；②兩個向量作差的前提是將兩個向量移到共同的起點；③在用三角形法則作向量減法時，要注意“共起點，連終點，指向被減”.
5.｜a＋b｜與｜a－b｜的幾何意義
若a，b是不共線的向量，則｜a＋b｜與｜a－b｜的幾何意義分別是：
如圖所示，設＝a，＝b，則＝a＋b，＝a－b.因為四邊形OACB是平行四邊形，所以｜a＋b｜＝｜｜，｜a－b｜＝｜｜，分別是以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長.
1.在△ABC中，若＝a，＝b，則＝（　?。?br/>A.a　　　　　　　　　 B.a＋b
C.b－a D.a－b
2.下列計算正確的是（　　）
A.－＝ B.－＝
C.－＝ D.＋＝
3.（2024·蘇州汾湖高中月考）化簡：－＋＝　　　　　.
題型一 向量減法及其幾何意義
【例1】　（鏈接教科書第13頁例3）如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.
通性通法
求作兩個向量的差向量的兩種思路
（1）轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可；
（2）用向量減法的三角形法則，即通過平移使兩個向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.
【跟蹤訓練】
如圖所示，O為△ABC內一點，＝a，＝b，＝c，求作：
（1）向量b＋c－a；
（2）向量a－b－c.
題型二 向量的減法運算
【例2】　（鏈接教科書第15頁練習4題）（1）如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點，且＝，則化簡＋－－的結果為（　?。?br/>A.0　　　　　　　 B.
C. D.
（2）化簡：①＋－－；
②（＋＋）－（－－）.
通性通法
向量減法運算的常用方法
【跟蹤訓練】
化簡：（1）－－＋＋；
（2）（－）－（－）.
題型三 向量加、減法法則的綜合應用
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?4頁例4）如圖，點O是 ABCD的兩條對角線的交點，＝a，＝b.
（1）試用向量a，b表示向量，；
（2）若＝c，求證：c－b－a＝.
【母題探究】
?。ㄗ冊O問）本例條件不變，當a，b滿足什么條件時，｜a＋b｜＝｜a－b｜.
通性通法
利用已知向量表示其他向量的一個關鍵及三點注意
（1）一個關鍵：一定要將兩個向量之間的運算放在同一個三角形中，可以通過平移其中的一個向量來達到此目的；
（2）三點注意：①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形三向量之間的關系；②注意應用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律；③注意在封閉圖形中利用多邊形法則.
【跟蹤訓練】
如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且＝a，＝b，＝c，試用向量a，b，c表示向量，，.
題型四 向量減法幾何意義的應用
【例4】?。ㄦ溄咏炭茣?6頁習題14題）已知｜｜＝6，｜｜＝9，求：
（1）｜－｜的取值范圍；
（2）｜＋｜的取值范圍.
通性通法
向量加減法幾何意義的應用
（1）由題意作出相應的幾何圖形，構造有關向量，一般作圖思路為①首尾相連對應和；②起點相同對應差；
（2）利用三角形法則或平行四邊形法則，對向量進行加減運算；
（3）弄懂a＋b，a－b的幾何意義，正確理解｜a｜－｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜的幾何含義及等號成立的條件.
【跟蹤訓練】
?。?024·無錫月考）若非零向量a，b滿足｜a－b｜＝｜b｜，則（　?。?br/>A.｜2a｜＞｜2a－b｜　　 B.｜2a｜＜｜2a－b｜
C.｜2b｜＞｜a－2b｜ D.｜2b｜≤｜a－2b｜
1.如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且＝a，＝b，則可以表示為（　　）
A.a＋b B.a－b
C.b－a D.－a－b
2.（多選）下列四個等式中正確的是（　?。?br/>A.a－b＝b－a B.－（－a）＝a
C.＋＋＝0 D.a＋（－a）＝0
3.（2024·徐州月考）已知非零向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，則a與b的夾角為　　　　.
4.已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－b｜.
第2課時　向量的減法運算
【基礎知識·重落實】
知識點
1.b＋x＝a　a－b
2.＝a　＝b　
3.a，b不共線　向量差　三角形法則
自我診斷
1.D　 ＝－＝a－b.故選D.
2.B　∵－＝，∴B正確，A錯誤；∵－＝＋＝，∴C錯誤，D錯誤.故選B.
3.0　解析：由向量的加減法運算知，－＋＝＋＋＝＋＝0.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：法一　如圖①所示，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c.
法二　如圖②所示，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c.
跟蹤訓練
　解：（1）以，為鄰邊作 OBDC，
如圖，連接OD，AD，
則＝＋＝b＋c，
＝－＝b＋c－a.
（2）由a－b－c＝a－（b＋c），如圖，
作 OBEC，連接OE，則＝＋＝b＋c，連接AE，則＝a－（b＋c）＝a－b－c.
【例2】?。?）A　＋－－＝－＋－＝＋＝0，故選A.
（2）解：①＋－－＝（－）＋（－）＝＋＝.
②（＋＋）－（－－）＝＋－＋＝＋＋＋＝0.
跟蹤訓練
　解：（1）－－＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝－＝.
（2）法一?。ǎǎ剑剑剑?.
法二?。ǎǎ剑剑ǎ剑剑?.
法三　設O是平面內任意一點，則（－）－（－）＝－－＋＝（－）－（－）－（－）＋（－）＝－－＋－＋＋－＝0.
【例3】　解：（1）由向量加法的平行四邊形法則，得＝a＋b；
同樣，由向量減法的三角形法則，知＝－＝a－b.
（2）證明：c－b－a＝－－＝＋－＝＋－＝－＝＝.
母題探究
　解：｜a＋b｜＝｜a－b｜表示平行四邊形的兩條對角線長度相等，這樣的平行四邊形為矩形，故a，b應互相垂直.
跟蹤訓練
　解：由平行四邊形的性質可知＝＝c，
由向量的減法可知＝－＝b－a，
由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c.
【例4】　解：（1）∵｜｜｜－｜｜｜≤｜－｜≤｜｜＋｜｜，且｜｜＝9，｜｜＝6，
∴3≤｜－｜≤15，
當與同向時，｜－｜＝3；當與反向時，｜－｜＝15.
∴｜－｜的取值范圍為[3，15].
（2）由｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜，且｜｜＝6，｜｜＝9，
∴3≤｜＋｜≤15.
當與同向時，｜＋｜＝15；當與反向時，｜＋｜＝3.
∴｜＋｜的取值范圍為[3，15].
跟蹤訓練
　C　∵｜a－b｜＝｜b｜，∴｜a－2b｜＝｜a－b－b｜≤｜a－b｜＋｜b｜＝｜2b｜.若｜a－2b｜＝｜2b｜，由｜a－b｜＝｜b｜，則a必為零向量，∴這與a，b非零向量矛盾，即｜a－2b｜≠｜2b｜，∴｜2b｜＞｜a－2b｜.同理知無法判斷｜2a｜，｜2a－b｜之間的大小關系.故選C.
隨堂檢測
1.D　在平行四邊形ABCD中，依題意，＝－＝－a，而＝b，所以＝－＝－a－b.故選D.
2.BC　A中，a－b＝－（b－a），故A錯誤；D中，a＋（－a）＝0，故D錯誤；B、C正確.故選B、C.
3.60°　解析：由題意可知a，b，a－b所在有向線段可構成等邊三角形，故a，b的夾角為60°.
4.解：設＝a，＝b，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，如圖所示，
則＝a＋b，＝a－b，因為｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以｜｜＝｜｜.
又因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，｜｜＝｜a｜＝8，｜｜＝｜b｜＝6，
由勾股定理，得｜｜＝＝＝10，所以｜a－b｜＝10.
4 / 4(共57張PPT)
第2課時　
向量的減法運算
新課程標準解讀 核心素養
1.了解向量加法與減法的關系 邏輯推理
2.掌握向量的減法運算，并理解其幾何意義 直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　在實數的運算中，減法是加法的逆運算，其運算法則是：減
去一個數等于加上這個數的相反數.如圖，向量 是向量 與向
量x的和.
【問題】?。?）類比實數的運算，向量的減法與加法有什么關系？
（2）圖中，結合向量加法的幾何表示，你能作出向量x嗎？
知識點　向量的減法
1. 定義：平面上任意兩個向量a，b，如果向量x滿足
，則向量x叫作a與b的差，記為 .求兩個向量差的運
算，叫作向量的減法.
2. 作法：如圖，在平面內任取一點O，作 ，
，則向量a－b＝ .
b＋x＝
a　
a－b　
＝a　
＝
b　
　
3. 法則：當向量 時，向量a，b，a－b正好能構成
一個三角形，因此求兩 的作圖方法也常稱為向量作差
的 .
4. 幾何意義：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差
是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.
a，b不共線　
向量差　
三角形法則　
提醒　對向量減法的三點說明：①向量減法的實質是向量加法的逆
運算.利用相反向量的定義，－ ＝ ，就可以把減法轉化為加
法，即a－b＝a＋（－b）；②兩個向量作差的前提是將兩個向量
移到共同的起點；③在用三角形法則作向量減法時，要注意“共起
點，連終點，指向被減”.
5. ｜a＋b｜與｜a－b｜的幾何意義
若a，b是不共線的向量，則｜a＋b｜與｜a－b｜的幾何意義分
別是：
如圖所示，設 ＝a， ＝b，則 ＝a＋b， ＝a－b.因
為四邊形OACB是平行四邊形，所以｜a＋b｜＝｜ ｜，｜a－
b｜＝｜ ｜，分別是以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對
角線的長.
1. 在△ABC中，若 ＝a， ＝b，則 ＝（　?。?br/>A. a B. a＋b C. b－a D. a－b
解析： 　 ＝ － ＝a－b.故選D.
2. 下列計算正確的是（　?。?br/>A. － ＝ B. － ＝
C. － ＝ D. ＋ ＝
解析： 　∵ － ＝ ，∴B正確，A錯誤；∵ － ＝
＋ ＝ ，∴C錯誤，D錯誤.故選B.
√
√
3. （2024·蘇州汾湖高中月考）化簡： － ＋ ＝ .
解析：由向量的加減法運算知， － ＋ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＝0.
0　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 向量減法及其幾何意義
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?3頁例3）如圖，已知向量a，b，c不共
線，求作向量a＋b－c.
解：法一　如圖①所示，在平面內任取一點O，作 ＝a， ＝
b，則 ＝a＋b，再作 ＝c，則 ＝a＋b－c.
法二　如圖②所示，在平面內任取
一點O，作 ＝a， ＝b，則
＝a＋b，再作 ＝c，連接
OC，則 ＝a＋b－c.
通性通法
求作兩個向量的差向量的兩種思路
（1）轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a
＋（－b）即可；
（2）用向量減法的三角形法則，即通過平移使兩個向量的起點重
合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的
向量.
【跟蹤訓練】
如圖所示，O為△ABC內一點， ＝a， ＝b， ＝c，求作：
（1）向量b＋c－a；
解： 以 ， 為鄰邊作 OBDC，
如圖，連接OD，AD，
則 ＝ ＋ ＝b＋c，
＝ － ＝b＋c－a.
（2）向量a－b－c.
解： 由a－b－c＝a－（b＋c），如圖，作 OBEC，連接OE，則 ＝ ＋ ＝b＋c，連接AE，則 ＝a－（b＋c）＝a－b－c.
題型二 向量的減法運算
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?5頁練習4題）（1）如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點，且 ＝ ，則化簡 ＋ － － 的結果為（?。?br/>A. 0 B.
C. D.
√
解析： 　 ＋ － － ＝ － ＋ － ＝
＋ ＝0，故選A.
（2）化簡：① ＋ － － ；
②（ ＋ ＋ ）－（ － － ）.
解：① ＋ － － ＝（ － ）＋（ －
）＝ ＋ ＝ .
②（ ＋ ＋ ）－（ － － ）＝ ＋ －
＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
通性通法
向量減法運算的常用方法
【跟蹤訓練】
化簡：（1） － － ＋ ＋ ；
解： － － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝ － ＝ .
（2）（ － ）－（ － ）.
解： 法一　（ － ）－（ － ）＝ － －
＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
法二　（ － ）－（ － ）＝ － － ＋ ＝（
－ ）－ ＋ ＝ － ＋ ＝ ＋ ＝0.
法三　設O是平面內任意一點，則（ － ）－（ － ）＝
－ － ＋ ＝（ － ）－（ － ）－（ －
）＋（ － ）＝ － － ＋ － ＋ ＋ －
＝0.
題型三 向量加、減法法則的綜合應用
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?4頁例4）如圖，點O是 ABCD的兩條對
角線的交點， ＝a， ＝b.
（1）試用向量a，b表示向量 ， ；
解： 由向量加法的平行四邊形法則，得 ＝a＋b；
同樣，由向量減法的三角形法則，知 ＝ － ＝a－b.
（2）若 ＝c，求證：c－b－a＝ .
解：證明：c－b－a＝ － － ＝ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝ ＝ .
【母題探究】
?。ㄗ冊O問）本例條件不變，當a，b滿足什么條件時，｜a＋b｜
＝｜a－b｜.
解：｜a＋b｜＝｜a－b｜表示平行四邊形的兩條對角線長度相等，
這樣的平行四邊形為矩形，故a，b應互相垂直.
通性通法
利用已知向量表示其他向量的一個關鍵及三點注意
（1）一個關鍵：一定要將兩個向量之間的運算放在同一個三角形
中，可以通過平移其中的一個向量來達到此目的；
（2）三點注意：①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構成三
角形三向量之間的關系；②注意應用向量加法、減法的幾何意
義以及它們的運算律；③注意在封閉圖形中利用多邊形法則.
【跟蹤訓練】
如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，
且 ＝a， ＝b， ＝c，試用向量a，b，c表示向量 ，
， .
解：由平行四邊形的性質可知 ＝ ＝c，
由向量的減法可知 ＝ － ＝b－a，
由向量的加法可知 ＝ ＋ ＝b－a＋c.
題型四 向量減法幾何意義的應用
【例4】　（鏈接教科書第16頁習題14題）已知｜ ｜＝6，｜ ｜
＝9，求：
（1）｜ － ｜的取值范圍；
解： ∵｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ － ｜≤｜ ｜
＋｜ ｜，且｜ ｜＝9，｜ ｜＝6，
∴3≤｜ － ｜≤15，
當 與 同向時，｜ － ｜＝3；當 與 反向
時，｜ － ｜＝15.
∴｜ － ｜的取值范圍為[3，15].
（2）｜ ＋ ｜的取值范圍.
解： 由｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ ＋ ｜≤｜ ｜
＋｜ ｜，且｜ ｜＝6，｜ ｜＝9，
∴3≤｜ ＋ ｜≤15.
當 與 同向時，｜ ＋ ｜＝15；當 與 反向
時，｜ ＋ ｜＝3.
∴｜ ＋ ｜的取值范圍為[3，15].
通性通法
向量加減法幾何意義的應用
（1）由題意作出相應的幾何圖形，構造有關向量，一般作圖思路為
①首尾相連對應和；②起點相同對應差；
（2）利用三角形法則或平行四邊形法則，對向量進行加減運算；
（3）弄懂a＋b，a－b的幾何意義，正確理解｜a｜－｜b｜≤｜
a±b｜≤｜a｜＋｜b｜的幾何含義及等號成立的條件.
【跟蹤訓練】
?。?024·無錫月考）若非零向量a，b滿足｜a－b｜＝｜b｜，則
（　?。?br/>A. ｜2a｜＞｜2a－b｜
B. ｜2a｜＜｜2a－b｜
C. ｜2b｜＞｜a－2b｜
D. ｜2b｜≤｜a－2b｜
√
解析： 　∵｜a－b｜＝｜b｜，∴｜a－2b｜＝｜a－b－b｜≤｜
a－b｜＋｜b｜＝｜2b｜.若｜a－2b｜＝｜2b｜，由｜a－b｜
＝｜b｜，則a必為零向量，∴這與a，b非零向量矛盾，即｜a－
2b｜≠｜2b｜，∴｜2b｜＞｜a－2b｜.同理知無法判斷｜
2a｜，｜2a－b｜之間的大小關系.故選C.
1. 如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且
＝a， ＝b，則 可以表示為（　?。?br/>A. a＋b B. a－b
C. b－a D. －a－b
解析： 　在平行四邊形ABCD中，依題意， ＝－ ＝－a，
而 ＝b，所以 ＝ － ＝－a－b.故選D.
√
2. （多選）下列四個等式中正確的是（　?。?br/>A. a－b＝b－a B. －（－a）＝a
C. ＋ ＋ ＝0 D. a＋（－a）＝0
解析： 　A中，a－b＝－（b－a），故A錯誤；D中，a＋
（－a）＝0，故D錯誤；B、C正確.故選B、C.
√
√
3. （2024·徐州月考）已知非零向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜＝｜a
－b｜，則a與b的夾角為 .
解析：由題意可知a，b，a－b所在有向線段可構成等邊三角形，
故a，b的夾角為60°.
60°　
4. 已知｜a｜＝8，｜b｜＝6，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，求｜a－
b｜.
解：設 ＝a， ＝b，以AB，AD為鄰邊作平
行四邊形ABCD，如圖所示，
則 ＝a＋b， ＝a－b，因為｜a＋b｜＝
｜a－b｜，所以｜ ｜＝｜ ｜.
又因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，｜ ｜＝｜a｜＝8，｜ ｜＝｜b｜＝6，
由勾股定理，得｜ ｜＝ ＝ ＝10，所以｜a－b｜＝10.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 化簡 － ＋ ＋ ＝（　?。?br/>A. B.
C. D.
解析： 　原式＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋0＝ .
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√
2. （2024·南通月考）如圖，已知ABCDEF是一正六邊形，O是它的
中心，其中 ＝a， ＝b， ＝c，則 ＝（　?。?br/>A. a＋b
B. b－a
C. c－b
D. b－c
解析： 由題可得 ＝ ＝ ＝ － ＝b－c，故選D.
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3. （2024·蘇州吳江中學月考）已知在四邊形ABCD中， － ＝
－ ，則四邊形ABCD一定是（　　）
A. 平行四邊形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
解析： 　由 － ＝ － ，得 ＝ ，所以四邊形
ABCD一定是平行四邊形.故選A.
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4. 邊長為1的正三角形ABC中，｜ － ｜＝（　?。?br/>A. 1 B. 2
C. D.
√
解析： 　如圖延長AB到D. 使AB＝BD. ∴ ＝ ，∴｜ － ｜＝｜ － ｜＝｜ ｜，∵△ABC是邊長為1的正三角形.∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD為直角三角形，∴｜ ｜＝ ＝ ＝ ，
∴｜ － ｜＝ .故選D.
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5. （多選）如圖，在五邊形ABCDE中，下列運算結果為 的是
（　?。?br/>A. ＋ －
B. ＋
C. －
D. －
解析： 　 ＋ － ＝ ＋ ＝ ，故A正確； ＋
＝ ，故B正確； － ＝ ＋ ＝ ，故C錯誤；
－ ＝ ＋ ≠ ，故D錯誤.故選A、B.
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6. （多選）對于菱形ABCD，下列各式正確的是（　?。?br/>A. ＝
B. ｜ ｜＝｜ ｜
C. ｜ － ｜＝｜ ＋ ｜
D. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
√
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解析： 　向量 與 的方向不同，但它們的模相等，所以B
正確，A錯誤；因為｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜
｜，｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜，所以｜
－ ｜＝｜ ＋ ｜，所以C正確；因為｜ ＋ ｜
＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以D正
確.故選B、C、D.
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7. 如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點O，則
－ － ＋ ＋ ＝ .
解析： － － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .
　
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8. （2024·鎮江月考）若a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－
b｜，則a與a＋b所在直線的夾角是 .
解析：設 ＝a， ＝b，以OA，OB為鄰邊
作平行四邊形OACB，如圖所示，則a＋b＝
，a－b＝ .∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－
b｜，∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，∴△OAB是等邊三角形，四邊形OACB是菱形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，對角線OC平分∠BOA，∴a與a＋b所在直線的夾角為30°.
30°　
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9. 在矩形ABCD中，｜ ｜＝2，｜ ｜＝4，則｜ ＋ －
｜＝ ，｜ ＋ ＋ ｜＝ .
解析：∵ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＋ ＝
＋ ＝2 ，∴｜ ＋ － ｜＝｜2 ｜＝2 ＝
4 .∵ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝2 ，∴｜ ＋ ＋ ｜
＝2｜ ｜＝8.
4 　
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10. 向量a，b，c，d，e如圖所示，據圖解答下列各題：
（1）用a，d，e表示 ；
（1） ＝ ＋ ＋ ＝a＋d＋e.
解：由圖知， ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e.
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（2）用b，c表示 ；
解析： ＝ － ＝－ － ＝－b－c.
（3）用a，b，e表示 ；
解析： ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋e.
（4）用d，c表示 .
解析： ＝－ ＝－（ ＋ ）＝－c－d.
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11. 在如圖所示的四邊形ABCD中，設 ＝a， ＝b， ＝c，
則 ＝（　?。?br/>A. a－b＋c
B. b－（a＋c）
C. a＋b＋c
D. b－a＋c
解析： 　 ＝－ ＋ ＋ ＝－b＋a＋c＝a－b＋c.故
選A.
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12. （多選）已知△ABC為等腰直角三角形，且∠A＝90°，則有
（　?。?br/>A. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
B. ｜ － ｜＝｜ － ｜
C. ｜ － ｜＝｜ － ｜
D. ｜ － ｜2＞｜ － ｜2＋｜ － ｜2
√
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解析： 　由條件可知｜ ｜＝｜ ｜，以 ， 為鄰邊
的四邊形是正方形，對角線相等，根據向量加、減法則可知｜
＋ ｜＝｜ － ｜，故A正確；｜ － ｜＝｜
｜，｜ － ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ －
｜，故B正確；｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜
－ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜
－ ｜，故C正確；｜ － ｜2＝｜ ｜2，｜ － ｜2＝｜ ｜2，｜ － ｜2＝｜ ｜2，由條件可知｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，即｜ － ｜2＝｜ － ｜2＋｜ － ｜2，故D錯誤.故選A、B、C.
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13. （2024·宿遷月考）已知非零向量a，b滿足｜a｜＝ ＋1，｜
b｜＝ －1，且｜a－b｜＝4，則｜a＋b｜＝ .
解析：如圖，設 ＝a， ＝b，則｜ ｜＝
｜a－b｜.以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，
則｜ ｜＝｜a＋b｜，由于（ ＋1）2＋（
－1）2＝42，因此｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，因此△OAB是直角三角形，從而OA⊥OB，所以四邊形OACB是矩形，所以
｜ ｜＝｜ ｜＝4，即｜a＋b｜＝4.
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14. 如圖，在 ABCD中， ＝a， ＝b.
（1）當a，b滿足什么條件時，a＋b與a－b所在的直線互相垂
直？
解： ＝ ＋ ＝a＋b， ＝
－ ＝a－b.
若a＋b與a－b所在的直線互相垂直，則AC⊥BD.
因為當｜a｜＝｜b｜時，四邊形ABCD為菱形，此時AC⊥BD，故當a，b滿足｜a｜＝｜b｜時，a＋b與a－b所在的直線互相垂直.
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（2）a＋b與a－b有可能為相等向量嗎？為什么？
解： 不可能.因為 ABCD的兩對角線
不可能平行，所以a＋b與a－b不可能為共
線向量，更不可能為相等向量.
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15. 如圖，O為△ABC的外心，H為垂心，求證： ＝ ＋ ＋ .
證明：如圖，連接AH，HC，延長BO交圓O于點
D，連接DA，DC，則OB＝OD，DA⊥AB，
DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，所以CH∥DA，AH∥DC，所以四邊形AHCD是平行四邊形，
所以 ＝ .
又 ＝ － ＝ ＋ ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ .
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