資源簡介

第1課時　向量的線性運算
1.3（a＋b）－2（a－b）－a＝（　　）
A.5a B.－5a
C.5b D.－5b
2.點C在直線AB上，且＝3，則＝（　　）
A.2 B.
C.－ D.－2
3.（2024·泰州中學期中）如圖，向量a－b＝（　　）
A.e1－3e2 B.－4e1－2e2
C.－2e1－3e2 D.－e1＋3e2
4.在△ABC中，＝3，則3＝（　　）
A.＋4 B.－4
C.4－ D.－4
5.（多選）已知m，n是實數，a，b是向量，下列命題正確的是（　　）
A.m（a－b）＝ma－mb B.（m－n）a＝ma－na
C.若ma＝mb，則a＝b D.若ma＝na，則m＝n
6.（多選）在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，則－＝（　　）
A. B.　
C. D.
7.計算：（a－b）－（2a＋4b）＋（2a＋13b）＝　　　　　.
8.已知向量a，b滿足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，則實數λ的值是　　　　.
9.（2024·蘇州吳江中學月考）在△ABC中，＝c，＝b，點M滿足＝λ（0＜λ＜1），若＝b＋c，則λ的值為　　　　.
10.計算：
（1）6（3a－2b）＋9（－2a＋b）；
（2）6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）.
11.（2024·江蘇海門中學月考）點O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，＝a，＝b，＝c，則b＋c－a＝（　　）
A. B.
C.0 D.
12.（多選）設a，b都是非零向量，則下列四個條件中，一定能使＋＝0成立的條件是（　　）
A.a＝－2b B.a＝2b
C.a＝b D.a＝－b
13.若2（y－a）－（c＋b－3y）＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，則未知向量y＝　　　　.
14.已知e，f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
（1）用e，f表示；
（2）證明四邊形ABCD為梯形.
15.已知O是△ABC所在平面內一點，D為BC邊的中點，E為AC邊的中點，O在線段DE上，且滿足＋2＋3＝0，DO＝2，求AB的長.
第1課時　向量的線性運算
1.C　根據向量運算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.故選C.
2.A　如圖，＝3，所以＝2.故選A.
3.D　如圖，設a＝，b＝，所以a－b＝a＋（－b）＝＋＝＝－e1＋3e2.故選D.
4.C　3＝3（＋）＝3（＋）＝3＋4＝3＋4（－）＝4－.故選C.
5.AB　m（a－b）＝ma－mb，A正確；（m－n）a＝ma－na，B正確；若m＝0，則a，b不一定相等，C錯誤；若a＝0，則m，n不一定相等，D錯誤.故選A、B.
6.AC　如圖，－＝－＝＝＝.故選A、C.
7.0　解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝（－＋）a＋（－－＋）b＝0.
8.±　解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝，即λ＝±.
9.　解析：由題意得，＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝λ＋（1－λ）＝λb＋（1－λ）c＝b＋c.所以λ＝.
10.解：（1）原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
（2）原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c）
＝6a＋2b.
11.A　b＋c－a＝－＋－＝－（＋）＋＝－＋＝－＝.故選A.
12.AD　因為與a同向的單位向量為，與b同向的單位向量為，若＋＝0，則a，b方向相反.故選A、D.
13.a－b＋c　解析：將原等式變形為2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0，y＝a－b＋c，∴y＝（a－b＋c）＝a－b＋c.
14.解：（1）由題意，有＝＋＋＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f.
（2）證明：由（1）知＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2，即＝2.
根據向量數乘的定義，與同方向，且的長度為的長度的2倍，所以在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD為梯形.
15.解：如圖，因為＋2＋3＝（＋）＋2（＋）＝2＋4＝0，
所以＝2，所以DE＝3DO.
又由題意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12.
2 / 29.2.2　向量的數乘
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解其幾何意義 數學抽象
2.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義 數學運算
3.理解兩個向量共線的含義 邏輯推理
第1課時　向量的線性運算
　　一根細繩東西方向擺放，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，如果螞蟻向東運動1秒鐘的位移對應的向量為a，那么它在同一方向上運動3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？螞蟻向西運動3秒鐘的位移對應的向量又怎樣表示？是－3a嗎？你能用圖形表示嗎？
【問題】　（1）在相反方向上經過4 s的位移所對應的向量應該怎樣表示呢？
（2）類比實數的運算“a＋a＋a＋a＝4a”你能猜想實例中a＋a＋a＋a的結果嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　向量的數乘
1.定義：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，實數λ與向量a相乘的運算叫作向量的數乘.
規定：（1）當　　　，且a≠0時，｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；
（2）若a≠0，則
①當　　　　時，λa與a方向相同；
②當　　　　時，λa與a方向相反；
③當　　　　時，0a＝0；
（3）當a＝0時，λ0＝0.
2.向量數乘λa的幾何意義
當λ＞0時，把向量a沿著a的　　　　方向放大或縮小；當λ＜0時，把向量a沿著a的　　　　方向放大或縮小.
3.向量的線性運算
向量的加法、減法和數乘統稱為向量的線性運算.
知識點二　向量數乘的運算律
設a，b為向量，λ，μ為實數，那么：
（1）λ（μ a）＝　　　　　　；
（2）（λ＋μ）a＝　　　　　　；
（3）λ（a＋b）＝　　　　　　.
提醒　當a≠0時，向量是與向量a同向的單位向量.
1.（多選）下列說法中正確的是　　（　　）
A.4a與－4a的模相等
B.a與－λa的方向相反
C.λ（a－b）＝λa－λb
D.若λa＝0，則a＝0
2.在△ABC中，D是BC的中點，則＋＝（　　）
A.2　　　　　　　 B.2
C.2 D.2
3.（2024·鹽城月考）化簡：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝　　　　.
題型一 向量的數乘及其幾何意義
【例1】　（多選）已知λ，μ∈R，則下列命題正確的是（　　）
A.λ＜0，a≠0時，λa與a的方向一定相反
B.λ＞0，a≠0時，λa與a的方向一定相同
C.λμ＞0，a≠0時，λa與μa的方向一定相同
D.λμ＜0，a≠0時，λa與μa的方向一定相同
通性通法
　　λ的正負決定向量λa（a≠0）的方向，λ的大小決定λa的模.
【跟蹤訓練】
　已知a，b為非零向量，則下列命題正確的序號是　　　　.
①2a的方向與a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
②要得到向量－2a，可將向量a的方向反向，長度伸長為原來的2倍；
③－2a與2a是一對相反向量；
④a－b與－（b－a）是一對相反向量.
題型二 向量的線性運算的幾何作圖
【例2】　
（鏈接教科書第17頁例1）如圖，已知向量a，b，求作向量3a－2b.
通性通法
　　向量的加法、減法、數乘是向量的基本運算，不僅要掌握其運算法則，更要理解其幾何意義.在作向量的差時，可以把“差”轉換成“和”來作.
【跟蹤訓練】
　已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋c.
題型三 向量的線性運算
【例3】　（1）（鏈接教科書第17頁例2）計算：
①3（a＋b）－2（a－2b）；
②（2a＋3b－c）－2（3a－2b＋c）.
（2）（鏈接教科書第18頁練習第5題）已知向量a＝i＋2j，b＝3i－5j，求5a－3b（用i，j表示）.
通性通法
向量線性運算的基本方法技巧
（1）向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”及“公因式”都是指向量或向量前的實數，實數可看成是向量的系數；
（2）向量也可以通過列方程來解，即把所求向量當成未知量，利用解代數方程的方法求解.
【跟蹤訓練】
1.（2024·淮安月考）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），則x＝　　　　.
2.已知向量e1，e2是兩個不共線的向量，向量a＝3e1＋e2，b＝2e1－e2，求a－2b（用e1，e2表示）.
1.已知λ∈R，則下列結論中正確的是（　　）
A.｜λa｜＝λ｜a｜　　　 B.｜λa｜＝｜λ｜a　
C.｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D.｜λa｜＞0
2.（多選）下列運算正確的是（　　）
A.（－3）·2a＝－6a
B.2（a＋b）－（2b－a）＝3a
C.a－2b＋2（a＋b）＝3a
D.（a＋2b）－（2b＋a）＝0
3.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若＋＝λ，則λ＝　　　　.
4.已知在任意四邊形ABCD中，E是AD的中點，F是BC的中點.求證：＝（＋）.
第1課時　向量的線性運算
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.（1）λ≠0　（2）①λ＞0　②λ＜0　③λ＝0
2.相同　相反
知識點二
　（1）（λμ）a　（2）λa＋μ a　（3）λa＋λb
自我診斷
1.AC　A中，由｜λa｜＝｜λ｜｜a｜得，｜4a｜＝｜4｜｜a｜＝4｜a｜，｜－4a｜＝｜－4｜｜a｜＝4｜a｜，故A正確；B中，當λ＜0時，a與－λa的方向相同，故B錯誤；C中，由數乘運算的分配律得C正確；D中，若λa＝0，則a＝0或λ＝0，故D錯誤.故選A、C.
2.A　由題意＝－，＋＝（＋）＋（＋）＝2，故選A.
3.14a－9b　解析：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
【典型例題·精研析】
【例1】　ABC　對于A、B，由向量數乘的定義知，當λ＞0時，λa與a方向相同；當λ＜0時，λa與a方向相反，故A、B正確；對于C、D，當λμ＞0時，λ，μ同正或同負，∴λa與μa或者都與a同向，或者都與a反向，∴λa與μa同向，當λμ＜0時，則λ與μ異號，λa與μa中，一個與a同向，一個與a反向，∴λa與μa反向，故C正確，D錯誤.故選A、B、C.
跟蹤訓練
　①②③　解析：對于①，2a＝a＋a與a方向相同，且｜2a｜＝｜a＋a｜＝｜a｜＋｜a｜＝2｜a｜，故①正確；對于②，根據向量數乘的概念及幾何意義可知，要得到向量－2a，可將向量a的方向反向，長度伸長為原來的2倍，故②正確；對于③，∵－2a＋2a＝（－2＋2）a＝0，∴－2a與2a是一對相反向量，故③正確；對于④，∵－（b－a）與b－a是一對相反向量，a－b與b－a是一對相反向量，∴－（b－a）與a－b是相等向量，故④錯誤.
【例2】　解：法一　如圖①，在平面內任取一點O，作＝3a，＝2b，連接BA，則＝－＝3a－2b.
法二　如圖②，在平面內任取一點O，作＝3a，＝－2b，連接OB，則＝＋＝3a＋（－2b）＝3a－2b.
法三　如圖③，在平面內任取一點O，作＝3a，＝－2b，分別以OA，OC為鄰邊作 OABC， OABC的對角線記作OB，則向量為所求作的向量.
跟蹤訓練
　解：法一　如圖①，由向量的加法可知，向量＝3a－2b＋c.
法二　如圖②，作＝3a，＝－2b，＝c，分別以AB， AC為鄰邊作 ABDC，
以 ABDC的對角線AD及AE為鄰邊作 AEFD，則向量＝3a－2b＋c.
【例3】　解：（1）①原式＝3a＋3b－2a＋4b＝a＋7b.
②原式＝2a＋3b－c－6a＋4b－2c＝－4a＋7b－3c.
（2）5a－3b＝5（i＋2j）－3（3i－5j）
＝5i＋10j－9i＋15j
＝－4i＋25j.
跟蹤訓練
1.－8a＋9b－3c　解析：因為3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.
2.解：a－2b＝（3e1＋e2）－2（2e1－e2）＝－3e1＋e2.
隨堂檢測
1.C　當λ＞0時，λa方向與a方向相同，大小等于λ｜a｜；當λ＜0時，λa方向與a方向相反，大小等于｜λ｜｜a｜，所以｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故A、B錯誤，C正確；｜λa｜≥0，故D錯誤.故選C.
2.ABC　根據向量數乘運算和加減運算規律知A、B、C正確；D中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，故D錯誤.故選A、B、C.
3.2　解析：在平行四邊形ABCD中，＝＋＝2，所以λ＝2.
4.證明：因為E是AD的中點，F是BC的中點，
所以＝－，＝－，
所以 2＝＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋，
所以＝（＋）.
3 / 3(共48張PPT)
9.2.2　向量的數乘
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運
算法則，理解其幾何意義 數學抽象
2.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義 數學運算
3.理解兩個向量共線的含義 邏輯推理
第1課時　
向量的線性運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　一根細繩東西方向擺放，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，如
果螞蟻向東運動1秒鐘的位移對應的向量為a，那么它在同一方向上運
動3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？螞蟻向西運動3秒鐘的
位移對應的向量又怎樣表示？是－3a嗎？你能用圖形表示嗎？
【問題】　（1）在相反方向上經過4 s的位移所對應的向量應該怎樣
表示呢？
（2）類比實數的運算“a＋a＋a＋a＝4a”你能猜想實例中a＋a
＋a＋a的結果嗎？
知識點一　向量的數乘
1. 定義：實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，實數λ與向量
a相乘的運算叫作向量的數乘.
規定：（1）當 ，且a≠0時，｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；
（2）若a≠0，則
①當 時，λa與a方向相同；
②當 時，λa與a方向相反；
③當 時，0a＝0；
λ≠0　
λ＞0　
λ＜0　
λ＝0　
（3）當a＝0時，λ0＝0.
2. 向量數乘λa的幾何意義
當λ＞0時，把向量a沿著a的 方向放大或縮小；當λ＜0
時，把向量a沿著a的 方向放大或縮小.
3. 向量的線性運算
向量的加法、減法和數乘統稱為向量的線性運算.
相同　
相反　
知識點二　向量數乘的運算律
設a，b為向量，λ，μ為實數，那么：
（1）λ（μ a）＝ ；
（2）（λ＋μ）a＝ ；
（3）λ（a＋b）＝ .
提醒　當a≠0時，向量 是與向量a同向的單位向量.
（λμ）a　
λa＋μ a　
λa＋λb　
1. （多選）下列說法中正確的是　　（　　）
A. 4a與－4a的模相等
B. a與－λa的方向相反
C. λ（a－b）＝λa－λb
D. 若λa＝0，則a＝0
√
√
解析： 　A中，由｜λa｜＝｜λ｜｜a｜得，｜4a｜＝｜
4｜｜a｜＝4｜a｜，｜－4a｜＝｜－4｜｜a｜＝4｜a｜，故A正
確；B中，當λ＜0時，a與－λa的方向相同，故B錯誤；C中，由
數乘運算的分配律得C正確；D中，若λa＝0，則a＝0或λ＝0，
故D錯誤.故選A、C.
2. 在△ABC中，D是BC的中點，則 ＋ ＝（　　）
解析： 　由題意 ＝－ ， ＋ ＝（ ＋ ）＋（
＋ ）＝2 ，故選A.
3. （2024·鹽城月考）化簡：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－
a）＝ .
解析：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝6a－4b＋3a
＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
14a－9b　
√
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 向量的數乘及其幾何意義
【例1】　（多選）已知λ，μ∈R，則下列命題正確的是（　　）
A. λ＜0，a≠0時，λa與a的方向一定相反
B. λ＞0，a≠0時，λa與a的方向一定相同
C. λμ＞0，a≠0時，λa與μa的方向一定相同
D. λμ＜0，a≠0時，λa與μa的方向一定相同
√
√
√
解析： 　對于A、B，由向量數乘的定義知，當λ＞0時，λa與
a方向相同；當λ＜0時，λa與a方向相反，故A、B正確；對于C、
D，當λμ＞0時，λ，μ同正或同負，∴λa與μa或者都與a同
向，或者都與a反向，∴λa與μa同向，當λμ＜0時，則λ與μ異
號，λa與μa中，一個與a同向，一個與a反向，∴λa與μa反
向，故C正確，D錯誤.故選A、B、C.
通性通法
　　λ的正負決定向量λa（a≠0）的方向，λ的大小決定λa的模.
【跟蹤訓練】
　已知a，b為非零向量，則下列命題正確的序號是 .
①2a的方向與a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
②要得到向量－2a，可將向量a的方向反向，長度伸長為原來的2
倍；
③－2a與2a是一對相反向量；
④a－b與－（b－a）是一對相反向量.
①②③　
解析：對于①，2a＝a＋a與a方向相同，且｜2a｜＝｜a＋a｜
＝｜a｜＋｜a｜＝2｜a｜，故①正確；對于②，根據向量數乘的概
念及幾何意義可知，要得到向量－2a，可將向量a的方向反向，長度
伸長為原來的2倍，故②正確；對于③，∵－2a＋2a＝（－2＋2）a
＝0，∴－2a與2a是一對相反向量，故③正確；對于④，∵－（b－
a）與b－a是一對相反向量，a－b與b－a是一對相反向量，∴－
（b－a）與a－b是相等向量，故④錯誤.
題型二 向量的線性運算的幾何作圖
【例2】　（鏈接教科書第17頁例1）如圖，已知向量a，b，求作向
量3a－2b.
解：法一　如圖①，在平面內任取一點O，作 ＝3a， ＝2b，
連接BA，則 ＝ － ＝3a－2b.
法二　如圖②，在平面內任取一點O，作 ＝3a， ＝－2b，連
接OB，則 ＝ ＋ ＝3a＋（－2b）＝3a－2b.
法三　如圖③，在平面
內任取一點O，作
＝3a， ＝－2b，分
別以OA，OC為鄰邊作
OABC， OABC的
對角線記作OB，則向
量 為所求作的向量.
通性通法
　　向量的加法、減法、數乘是向量的基本運算，不僅要掌握其運算
法則，更要理解其幾何意義.在作向量的差時，可以把“差”轉換成
“和”來作.
【跟蹤訓練】
　已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋ c.
解：法一　如圖①，由向量的加法可知，向量 ＝3a－2b＋ c.
法二　如圖②，作 ＝3a， ＝－2b， ＝ c，分別以AB，
AC為鄰邊作 ABDC，
以 ABDC的對角線AD及AE為鄰邊作 AEFD，則向量 ＝3a－
2b＋ c.
題型三 向量的線性運算
【例3】　（1）（鏈接教科書第17頁例2）計算：
①3（a＋b）－2（a－2b）；
②（2a＋3b－c）－2（3a－2b＋c）.
解： ①原式＝3a＋3b－2a＋4b＝a＋7b.
②原式＝2a＋3b－c－6a＋4b－2c＝－4a＋7b－3c.
（2）（鏈接教科書第18頁練習第5題）已知向量a＝i＋2j，b＝3i－
5j，求5a－3b（用i，j表示）.
解： 5a－3b＝5（i＋2j）－3（3i－5j）
＝5i＋10j－9i＋15j
＝－4i＋25j.
通性通法
向量線性運算的基本方法技巧
（1）向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，主要是“合并同類
項”“提取公因式”，但這里的“同類項”及“公因式”都是
指向量或向量前的實數，實數可看成是向量的系數；
（2）向量也可以通過列方程來解，即把所求向量當成未知量，利用
解代數方程的方法求解.
【跟蹤訓練】
1. （2024·淮安月考）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），則
x＝ .
解析：因為3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋
3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.
2. 已知向量e1，e2是兩個不共線的向量，向量a＝3e1＋e2，b＝2e1
－e2，求 a－2b（用e1，e2表示）.
解： a－2b＝ （3e1＋e2）－2（2e1－e2）＝－3e1＋ e2.
－8a＋9b－3c　
1. 已知λ∈R，則下列結論中正確的是（　　）
A. ｜λa｜＝λ｜a｜ B. ｜λa｜＝｜λ｜a
C. ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D. ｜λa｜＞0
解析： 　當λ＞0時，λa方向與a方向相同，大小等于λ｜
a｜；當λ＜0時，λa方向與a方向相反，大小等于｜λ｜｜
a｜，所以｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，故A、B錯誤，C正確；｜
λa｜≥0，故D錯誤.故選C.
√
2. （多選）下列運算正確的是（　　）
A. （－3）·2a＝－6a
B. 2（a＋b）－（2b－a）＝3a
C. a－2b＋2（a＋b）＝3a
D. （a＋2b）－（2b＋a）＝0
解析： 　根據向量數乘運算和加減運算規律知A、B、C正
確；D中，（a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零
向量，而不是0，故D錯誤.故選A、B、C.
√
√
√
3. 如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若
＋ ＝λ ，則λ＝ .
解析：在平行四邊形ABCD中， ＝ ＋ ＝2 ，所以λ
＝2.
2　
4. 已知在任意四邊形ABCD中，E是AD的中點，F是BC的中點.求
證： ＝ （ ＋ ）.
證明：因為E是AD的中點，F是BC的中點，
所以 ＝－ ， ＝－ ，
所以 2 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ，
所以 ＝ （ ＋ ）.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 3（a＋b）－2（a－b）－a＝（　　）
A. 5a B. －5a
C. 5b D. －5b
解析： 　根據向量運算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b.故選C.
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2. 點C在直線AB上，且 ＝3 ，則 ＝（　　）
解析： 　如圖， ＝3 ，所以 ＝2 .故選
A.
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3. （2024·泰州中學期中）如圖，向量a－b＝（　　）
A. e1－3e2 B. －4e1－2e2
C. －2e1－3e2 D. －e1＋3e2
解析： 　如圖，設a＝ ，b＝ ，所以a－b＝a＋（－b）＝ ＋ ＝ ＝－e1＋3e2.故選D.
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4. 在△ABC中， ＝3 ，則3 ＝（　　）
解析： 　3 ＝3（ ＋ ）＝3（ ＋ ）＝3 ＋4
＝3 ＋4（ － ）＝4 － .故選C.
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5. （多選）已知m，n是實數，a，b是向量，下列命題正確的是
（　　）
A. m（a－b）＝ma－mb
B. （m－n）a＝ma－na
C. 若ma＝mb，則a＝b
D. 若ma＝na，則m＝n
解析： 　m（a－b）＝ma－mb，A正確；（m－n）a＝ma
－na，B正確；若m＝0，則a，b不一定相等，C錯誤；若a＝0，
則m，n不一定相等，D錯誤.故選A、B.
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6. （多選）在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，則
－ ＝（　　）
解析： 　如圖， － ＝ － ＝
＝ ＝ .故選A、C.
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7. 計算： （a－b）－ （2a＋4b）＋ （2a＋13b）＝ .
解析：原式＝ a－ b－ a－ b＋ a＋ b＝（ － ＋ ）a＋
（－ － ＋ ）b＝0.
0　
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8. 已知向量a，b滿足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，則實數λ
的值是 .
解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝
3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝ ，即λ＝± .
± 　
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9. （2024·蘇州吳江中學月考）在△ABC中， ＝c， ＝b，點
M滿足 ＝λ （0＜λ＜1），若 ＝ b＋ c，則λ的值
為 .
解析：由題意得， ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（
－ ）＝λ ＋（1－λ） ＝λb＋（1－λ）c＝ b＋ c.
所以λ＝ .
　
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10. 計算：
（1）6（3a－2b）＋9（－2a＋b）；
解： 原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
（2）6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）.
解： 原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c）
＝6a＋2b.
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11. （2024·江蘇海門中學月考）點O是平行四邊形ABCD的兩條對角
線的交點， ＝a， ＝b， ＝c，則b＋c－a＝（　　）
C. 0
解析： 　b＋c－a＝－ ＋ － ＝－（ ＋ ）＋ ＝－ ＋ ＝－ ＝ .故選A.
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12. （多選）設a，b都是非零向量，則下列四個條件中，一定能使
＋ ＝0成立的條件是（　　）
A. a＝－2b B. a＝2b
C. a＝b D. a＝－b
解析： 　因為與a同向的單位向量為 ，與b同向的單位
向量為 ，若 ＋ ＝0，則a，b方向相反.故選
A、D.
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13. 若2（y－ a）－ （c＋b－3y）＋b＝0，其中a，b，c為已知
向量，則未知向量y＝ .
解析：將原等式變形為2y－ a－ c－ b＋ y＋b＝0，即 y－
a－ c＋ b＝0， y＝ a－ b＋ c，∴y＝ （ a－ b＋ c）
＝ a－ b＋ c.
a－ b＋ c　
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14. 已知e，f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足 ＝e＋
2f， ＝－4e－f， ＝－5e－3f.
（1）用e，f表示 ；
解： 由題意，有 ＝ ＋ ＋ ＝（e＋2f）＋
（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－
3）f＝－8e－2f.
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（2）證明四邊形ABCD為梯形.
解： 證明：由（1）知 ＝－8e－2f＝2（－4e－
f）＝2 ，即 ＝2 .
根據向量數乘的定義， 與 同方向，且 的長度為
的長度的2倍，所以在四邊形ABCD中，AD∥BC，且
AD≠BC，所以四邊形ABCD為梯形.
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15. 已知O是△ABC所在平面內一點，D為BC邊的中點，E為AC邊
的中點，O在線段DE上，且滿足 ＋2 ＋3 ＝0，DO＝
2，求AB的長.
解：如圖，因為 ＋2 ＋3 ＝（ ＋
）＋2（ ＋ ）＝2 ＋4 ＝0，
所以 ＝2 ，所以DE＝3DO.
又由題意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12.
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