資源簡介

第2課時　向量共線定理
1.（2024·無錫月考）已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3（a－b），則（　　）
A.A，B，C三點(diǎn)共線 B.A，B，D三點(diǎn)共線
C.A，C，D三點(diǎn)共線 D.B，C，D三點(diǎn)共線
2.已知e1，e2是不共線向量，則下列各組向量中是共線向量的有（　　）
①a＝5e1，b＝7e1；
②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
3.如圖，在 ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，若＝a，＝b，則＝（　　）
A.a－b B.a＋b
C.a＋b D.a－b
4.（2024·南京月考）已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，＝，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
5.（多選）已知等邊三角形ABC內(nèi)接于☉O，D為線段OA的中點(diǎn)，E為線段BC的中點(diǎn)，則＝（　　）
A.＋ B.－
C.＋ D.＋
6.（多選）已知向量a，b是兩個非零向量，在下列四個條件中，一定可以使a，b共線的是（　　）
A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B.存在相異的實(shí)數(shù)λ，μ，使λa＋μb＝0
C.已知正五邊形ABCDE，其中＝a，＝b
D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
7.設(shè)向量a，b不平行，向量2a－λb與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝　　　　，此時向量2a－λb與a＋2b的方向　　　　.（填“相同”或“相反”）
8.（2024·鎮(zhèn)江月考）已知四邊形ABCD為正方形，＝3，AP與CD交于點(diǎn)E，若＝m＋n，則m－n＝　　　　.
9.如圖，在△ABC中，D，E分別在AB，AC上，且＝＝，則＝　　　.
10.設(shè)不共線向量e1，e2，若＝e1＋2e2，＝－2e1－3e2，＝6e1＋11e2.
（1）計算2＋－；
（2）判斷A，B，D三點(diǎn)是否共線，并說明理由.
11.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若＝a，＝b，＝3，則＝（　　）
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
12.（多選）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O，G，H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（　　）
A.＋＋＝0
B.＋＝2－4
C.＝3
D.｜｜＝｜｜＝｜｜
13.（2024·常州質(zhì)檢）已知在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足＋＋＝，則△PBC與△ABC的面積之比是　　　　.
14.在 ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若＝m＋n（m，n∈R），求的值.
15.設(shè)平面上不在一條直線上的三個點(diǎn)為O，A，B，當(dāng)實(shí)數(shù)p，q滿足＋＝1時，連接p，q兩個向量終點(diǎn)的直線是否通過一個定點(diǎn)？證明你的結(jié)論.
第2課時　向量共線定理
1.B　＝＋＝－2a＋8b＋3（a－b）＝a＋5b＝，又∵與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線.故選B.
2.A　①中，a與b顯然共線；②中，因?yàn)閎＝3e1－2e2＝6＝6a，故a與b共線；③中，設(shè)b＝3e1－3e2＝k（e1＋e2），得無解，故a與b不共線.故選A.
3.D　因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以＝＝－＝－b，所以＝＋＝＋＝a－b.
4.C　因?yàn)椋剑剑剑ǎ剑剑驭耍剑蹋?故λ＋μ＝.故選C.
5.AC　如圖所示，則＝＋＝＋＝＋（＋）＝－＋×＝＋.故選A、C.
6.AB　選項A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，則b＝－4a，故a，b共線；選項B，不妨設(shè)λ≠0，則有a＝－b，故a，b共線；選項C，a，b顯然不共線；選項D，當(dāng)AB，CD分別為梯形ABCD的兩腰時，直線AB與直線CD是相交直線，則向量，不是共線向量，即不能判定a，b共線.故選A、B.
7.－4　相同　解析：因?yàn)?a－λb與a＋2b平行，所以存在實(shí)數(shù)k使得2a－λb＝k（a＋2b），即（2－k）a＋（－λ－2k）b＝0.又因?yàn)閍與b不平行，所以即又因?yàn)閗＞0，所以兩向量方向相同.
8.　解析：由題作圖如圖所示，∵＝3，∴BP＝3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，∴m－n＝－＝.
9.　解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又與同向，∴＝.
10.解：（1）2＋－
＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2
＝－6e1－10e2.
（2）因?yàn)椋剑?e1－3e2，＝6e1＋11e2，
所以＝＋＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2，
又＝e1＋2e2，
所以＝，
所以和共線，又和有公共點(diǎn)B，
所以A，B，D三點(diǎn)共線.
11.B　由題得＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）.解得＝＋，即＝a＋b.故選B.
12.ABD　如圖，因?yàn)镺，G，H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以＝.對于A，因?yàn)镚是重心，M為BC的中點(diǎn)，所以＝2.又＋＝2，所以＋＝，即＋＋＝0，故A正確；對于B，由A可得＝3，故＋＝2＝6＝2＋4＝2（－）＋4（－）＝2－4＋4－2＝2－4，即＋＝2－4，故B正確；對于C，＝－＝2－2＝2，故C不正確；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)O為△ABC的外心，所以點(diǎn)O到三個頂點(diǎn)的距離相等，即｜｜＝｜｜＝｜｜，故D正確.故選A、B、D.
13.2∶3　解析：因?yàn)椋剑裕剑剑?，所以點(diǎn)P在邊CA上，且是靠近點(diǎn)A一側(cè)的三等分點(diǎn)，所以△PBC和△ABC的面積之比為2∶3.
14.解：根據(jù)題意作圖如圖所示，取BC的中點(diǎn)M，連接DM交AC于點(diǎn)N.在 ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以四邊形BEDM是平行四邊形，所以BE∥MD.
在△AND中，E為AD的中點(diǎn)，
所以F為AN的中點(diǎn)，所以AF＝FN.
同理可得FN＝CN.
所以AF＝FN＝CN，
所以＝＋＝－＋＝－＋（＋）＝－.
又因?yàn)椋絤＋n（m，n∈R），
所以m＝，n＝－，所以＝－2.
15.解：設(shè)＝＋，則C為定點(diǎn).證明如下：
設(shè)p＝，q＝，C'為直線A'B'上任意一點(diǎn).
∵O，A，B不共線，
∴存在實(shí)數(shù)m，n使＝m＋n＝mp＋nq，且m＋n＝1.
∵＋＝1，∴可設(shè)m＝，n＝，∴＝＋.
又∵＋＝，∴C與C'重合.
故連接p，q兩個向量終點(diǎn)的直線通過一個定點(diǎn)C.
2 / 2第2課時　向量共線定理
　　質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)O出發(fā)做勻速直線運(yùn)動，若經(jīng)過1 s的位移對應(yīng)的向量用a表示，那么在同方向上經(jīng)過3 s的位移所對應(yīng)的向量可用3a來表示，記b＝3a.
【問題】　（1）向量b與向量a共線嗎？
（2）如果有一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，那么向量b與向量a共線嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)　向量共線定理
　設(shè)a為非零向量，如果有一個實(shí)數(shù)λ，使　　　　，那么b與a是　　　　向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使　　　　.
提醒　（1）向量共線定理的代數(shù)形式及其推論：①代數(shù)形式：b∥a（a≠0） 存在唯一λ∈R使b＝λa；②推論：若a，b不共線，則λa＋μb＝0 λ＝μ＝0.
（2）向量共線定理的幾何形式及其推論：①幾何形式：∥ 存在唯一λ∈R使＝λ；②推論：∥ 存在x，y∈R使＝x＋y且x＋y＝1.
【想一想】
向量共線定理中為什么規(guī)定a≠0？
1.若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是（　　）
A.b＝2a　　　　　　 B.b＝－2a
C.a＝2b D.a＝－2b
2.（多選）若非零向量e1與e2不共線，下列各組向量中，a與b一定共線的是（　　）
A.a＝－3e1，b＝2e1 B.a＝0，b＝－e2
C.a＝e1－e2，b＝－3e1＋3e2 D.a＝e1－e2，b＝e1＋2e2
3.若e1與e2不共線，且e1與e1＋λe2共線，則λ＝　　　　.
題型一 向量共線的判定及應(yīng)用
角度1　判定向量共線
【例1】　（1）（鏈接教科書第18頁例3）如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn).求證：與共線，并將用線性表示；
（2）已知非零向量e1，e2不共線，若a＝e1－e2，b＝5e1－e2，判斷向量a，b是否共線.
通性通法
向量共線的判定方法
　　向量共線的判定一般是用向量共線定理，即a是一個非零向量，若存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線.向量共線的判斷（證明），需要把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，由此判斷共線.
角度2　證明或判斷三點(diǎn)共線
【例2】　（鏈接教科書第21頁習(xí)題11題）設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量.若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.
通性通法
證明或判斷三點(diǎn)共線的方法
（1）一般來說，要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ（或＝λ等）即可；
（2）利用結(jié)論：若A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn) 存在實(shí)數(shù)x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.
角度3　利用向量共線求參數(shù)
【例3】　（鏈接教科書第21頁習(xí)題8題）（1）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ＝（　　）
A.　　　　　　　 B.　
C.－ D.－
（2）設(shè)e1，e2是兩個不共線向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則實(shí)數(shù)k＝　　　　.
通性通法
利用向量共線求參數(shù)的方法
　　利用向量共線求參數(shù)，就是利用向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算表示出相關(guān)向量，再利用共線的條件轉(zhuǎn)化為向量相等、相應(yīng)向量的和相等，利用待定系數(shù)法建立方程（組），解方程（組），求得參數(shù)的值.若解析過程中出現(xiàn)λa＝μb（a，b不共線）的條件，則λ＝μ＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（多選）向量a＝2e，b＝－6e，則下列說法正確的是（　　）
A.a∥b B.向量a，b方向相反
C.｜a｜＝3｜b｜ D.b＝－3a
2.（2024·蘇州汾湖高中月考）設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量.
（1）若＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）若4a＋kb與ka＋b共線，求實(shí)數(shù)k的值.
題型二 利用已知向量表示未知向量
【例4】　在△ABC中，已知D是BC上的點(diǎn)，且CD＝2BD，設(shè)＝a，＝b，試用a和b表示.
【母題探究】
（變條件）若將本例中的“CD＝2BD”改為“CD＝BD”，你能用兩種方法解答嗎？
通性通法
用已知向量表示未知向量的兩種方法
（1）直接法
（2）方程法：當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2022·新高考Ⅰ卷3題）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記＝m，＝n，則＝（　　）
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
2.如圖，已知ABCD是一個梯形，∥且｜｜＝2｜｜，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，已知＝e1，＝e2，分別用e1，e2表示，.
1.若｜a｜＝5，b與a的方向相反，且｜b｜＝7，則a＝（　　）
A.b B.－b
C.b D.－b
2.已知a，b是不共線的非零向量，＝a＋2b，＝3a－b，＝2a－3b，則四邊形ABCD是（　　）
A.梯形 B.平行四邊形
C.矩形 D.菱形
3.（2024·徐州月考）如圖，在△ABC中，向量＝3，且＝λ＋μ（λ，μ∈R），則λ＋μ＝　　　　.
4.已知非零向量e1和e2不共線，試判斷3e1＋2e2與3e1－2e2是否共線？
第2課時　向量共線定理
【基礎(chǔ)知識·重落實(shí)】
知識點(diǎn)
　b＝λa　共線　b＝λa
想一想
　提示：（1）若將條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時，顯然a與b共線；
（2）當(dāng)a＝0時，若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，但此時向量a與b共線；
（3）當(dāng)a＝0時，若b＝0，則對任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa，與存在唯一一個實(shí)數(shù)λ矛盾.
自我診斷
1.A
2.ABC
3.0　解析：∵e1與e1＋λe2共線，∴存在實(shí)數(shù)μ，使得e1＝μ（e1＋λe2）＝μe1＋μλe2，∴∴λ＝0.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
所以DE∥BC，所以與共線.
又DE＝BC，且與同向，所以＝.
（2）因?yàn)閎＝5a，所以a與b共線.
【例2】　證明：∵＝－＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，＝－＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2，
∴與共線，且有公共點(diǎn)B，∴A，B，C三點(diǎn)共線.
【例3】　（1）A　（2）－4　解析：（1）由＝2，得－＝2（－），即＝＋，所以λ＝.
（2）由題意知，ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋2e2＝λ（8e1＋ke2）＝8λe1＋kλe2.∵e1，e2不共線，∴解得或∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4.
跟蹤訓(xùn)練
1.ABD　因?yàn)閍＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正確；由向量共線定理知，A正確；－3＜0，a與b方向相反，故B正確；由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C錯誤.故選A、B、D.
2.解：（1）證明：因?yàn)椋剑?a＋2b－（4a－2b）＝2a＋4b，
＝－＝2a－6b－（6a＋2b）＝－4a－8b＝－2（2a＋4b）＝－2，
所以∥，又與有公共點(diǎn)B，
所以A，B，C三點(diǎn)共線.
（2）由4a＋kb與ka＋b共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得4a＋kb＝λ（ka＋b），
即（4－λk）a＋（k－λ）b＝0，又a，b是不共線的兩個非零向量，
因此解得或
所以，實(shí)數(shù)k的值是±4.
【例4】　解：∵B，C，D三點(diǎn)共線，且CD＝2BD，
∴＝.
∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.
母題探究
　解：法一　如圖①，∵＝－，且CD＝BD，
∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝（a＋b）.
法二　如圖②，以AB，AC為鄰邊作 ABEC，則＝＋.
∵CD＝BD，∴D是AE的中點(diǎn).
∴＝＝（＋）＝（a＋b）.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　法一　因?yàn)锽D＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋
3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故選B.
法二（作圖法）　如圖，利用平行四邊形法則，合成出向量，由圖易知（即向量m）的系數(shù)為負(fù)數(shù)，排除A、C、D，故選B.
2.解：因?yàn)椤危?｜｜，
所以＝2，＝.
則＝＋＝e2＋e1.
因?yàn)镸，N分別為DC，AB的中點(diǎn)，
所以｜｜＝2｜｜，｜｜＝2｜｜，
則＝＋＋
＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
隨堂檢測
1.B　∵b與a的方向相反，∴存在實(shí)數(shù)λ＜0，使a＝λb，∴｜a｜＝－λ｜b｜，即5＝－λ×7，∴λ＝－，∴a＝－b.
2.A　因?yàn)椋剑裕?（a＋2b）＋（3a－b）＋（2a－3b）＝2（3a－b），因?yàn)椋?a－b，a，b是不共線的非零向量，所以AD∥BC且｜｜≠｜｜，所以四邊形ABCD是梯形.故選A.
3.1　解析：由題意知，＝＋，所以＝3＝3＋3＝－3＋3.所以＝＋＝－3＋3＝－2＋3，則λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1.
4.解：若向量e1和e2不共線，設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－2e2），
則3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即（3－3λ）e1＝（－2λ－2）e2，
所以λ無解，所以不存在實(shí)數(shù)λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－2e2），
故兩個向量不共線.
3 / 3(共58張PPT)
第2課時　
向量共線定理
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)O出發(fā)做勻速直線運(yùn)動，若經(jīng)過1 s的位移對應(yīng)的向量用
a表示，那么在同方向上經(jīng)過3 s的位移所對應(yīng)的向量可用3a來表示，
記b＝3a.
【問題】　（1）向量b與向量a共線嗎？
（2）如果有一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，那么向量b與向量a共線
嗎？
知識點(diǎn)　向量共線定理
　設(shè)a為非零向量，如果有一個實(shí)數(shù)λ，使 ，那么b與a
是 向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個
實(shí)數(shù)λ，使 .
b＝λa　
共線　
b＝λa　
提醒　（1）向量共線定理的代數(shù)形式及其推論：①代數(shù)形式：b∥a
（a≠0） 存在唯一λ∈R使b＝λa；②推論：若a，b不共線，則
λa＋μb＝0 λ＝μ＝0.（2）向量共線定理的幾何形式及其推
論：①幾何形式： ∥ 存在唯一λ∈R使 ＝λ ；②推
論： ∥ 存在x，y∈R使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.
【想一想】
向量共線定理中為什么規(guī)定a≠0？
提示：（1）若將條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時，顯然a與b共線；
（2）當(dāng)a＝0時，若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，但此時向
量a與b共線；
（3）當(dāng)a＝0時，若b＝0，則對任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa，與存在
唯一一個實(shí)數(shù)λ矛盾.
1. 若｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的
是（　　）
A. b＝2a B. b＝－2a
C. a＝2b D. a＝－2b
√
2. （多選）若非零向量e1與e2不共線，下列各組向量中，a與b一定
共線的是（　　）
A. a＝－3e1，b＝2e1
B. a＝0，b＝－e2
C. a＝e1－e2，b＝－3e1＋3e2
D. a＝e1－e2，b＝e1＋2e2
√
√
√
3. 若e1與e2不共線，且e1與e1＋λe2共線，則λ＝ .
解析：∵e1與e1＋λe2共線，∴存在實(shí)數(shù)μ，使得e1＝μ（e1＋
λe2）＝μe1＋μλe2，∴∴λ＝0.
0　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 向量共線的判定及應(yīng)用
角度1　判定向量共線
【例1】　（1）（鏈接教科書第18頁例3）如圖，已知D，E分別為
△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn).求證： 與 共線，并將 用 線
性表示；
解： 因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
所以DE∥BC，所以 與 共線.
又DE＝ BC，且 與 同向，所以 ＝ .
（2）已知非零向量e1，e2不共線，若a＝e1－ e2，b＝5e1－e2，判
斷向量a，b是否共線.
解： 因?yàn)閎＝5a，所以a與b共線.
通性通法
向量共線的判定方法
　　向量共線的判定一般是用向量共線定理，即a是一個非零向量，
若存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線.
向量共線的判斷（證明），需要把兩向量用共同的已知向量來表示，
進(jìn)而互相表示，由此判斷共線.
角度2　證明或判斷三點(diǎn)共線
【例2】　（鏈接教科書第21頁習(xí)題11題）設(shè)a，b是不共線的兩個非
零向量.若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求證：A，
B，C三點(diǎn)共線.
證明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，
＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2 ，
∴ 與 共線，且有公共點(diǎn)B，∴A，B，C三點(diǎn)共線.
通性通法
證明或判斷三點(diǎn)共線的方法
（1）一般來說，要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)
數(shù)λ，使得 ＝λ （或 ＝λ 等）即可；
（2）利用結(jié)論：若A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn) 存在實(shí)數(shù)
x，y，使 ＝x ＋y 且x＋y＝1.
角度3　利用向量共線求參數(shù)
【例3】　（鏈接教科書第21頁習(xí)題8題）（1）在△ABC中，已知D
是AB邊上一點(diǎn)，若 ＝2 ， ＝ ＋λ ，則λ＝
（　A　）
解析： 由 ＝2 ，得 － ＝2（ － ），即
＝ ＋ ，所以λ＝ .
A
（2）設(shè)e1，e2是兩個不共線向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相
反，則實(shí)數(shù)k＝ .
解析： 由題意知，ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，∴存在實(shí)數(shù)
λ，使ke1＋2e2＝λ（8e1＋ke2）＝8λe1＋kλe2.∵e1，e2不
共線，∴解得或∵ke1＋2e2與8e1
＋ke2反向，∴λ＝－ ，k＝－4.
－4　
通性通法
利用向量共線求參數(shù)的方法
　　利用向量共線求參數(shù)，就是利用向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算表
示出相關(guān)向量，再利用共線的條件轉(zhuǎn)化為向量相等、相應(yīng)向量的和相
等，利用待定系數(shù)法建立方程（組），解方程（組），求得參數(shù)的
值.若解析過程中出現(xiàn)λa＝μb（a，b不共線）的條件，則λ＝μ
＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （多選）向量a＝2e，b＝－6e，則下列說法正確的是（　　）
A. a∥b B. 向量a，b方向相反
C. ｜a｜＝3｜b｜ D. b＝－3a
解析： 　因?yàn)閍＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正確；
由向量共線定理知，A正確；－3＜0，a與b方向相反，故B正確；
由上可知｜b｜＝3｜a｜，故C錯誤.故選A、B、D.
√
√
√
2. （2024·蘇州汾湖高中月考）設(shè)a，b是不共線的兩個非零向量.
（1）若 ＝4a－2b， ＝6a＋2b， ＝2a－6b，求證：
A，B，C三點(diǎn)共線；
解： 證明：因?yàn)?＝ － ＝6a＋2b－（4a－
2b）＝2a＋4b，
＝ － ＝2a－6b－（6a＋2b）＝－4a－8b＝－2
（2a＋4b）＝－2 ，
所以 ∥ ，又 與 有公共點(diǎn)B，
所以A，B，C三點(diǎn)共線.
（2）若4a＋ kb與 ka＋b共線，求實(shí)數(shù)k的值.
解： 由4a＋ kb與 ka＋b共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得
4a＋ kb＝λ（ ka＋b），
即（4－ λk）a＋（ k－λ）b＝0，又a，b是不共線的
兩個非零向量，
因此解得或
所以，實(shí)數(shù)k的值是±4.
題型二 利用已知向量表示未知向量
【例4】　在△ABC中，已知D是BC上的點(diǎn)，且CD＝2BD，設(shè)
＝a， ＝b，試用a和b表示 .
解：∵B，C，D三點(diǎn)共線，且CD＝2BD，
∴ ＝ .
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋
＝ a＋ b.
【母題探究】
（變條件）若將本例中的“CD＝2BD”改為“CD＝BD”，你能用
兩種方法解答嗎？
解：法一　如圖①，∵ ＝ － ，且CD＝BD，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －
）＝ ＋ ＝ （a＋b）.
法二　如圖②，以AB，AC為鄰邊作 ABEC，則 ＝ ＋ .
∵CD＝BD，∴D是AE的中點(diǎn).
∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （a＋b）.
通性通法
用已知向量表示未知向量的兩種方法
（1）直接法
（2）方程法：當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和
平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然
后解關(guān)于所求向量的方程.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2022·新高考Ⅰ卷3題）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.
記 ＝m， ＝n，則 ＝（　　）
A. 3m－2n B. －2m＋3n
C. 3m＋2n D. 2m＋3n
√
解析： 　法一　因?yàn)锽D＝2DA，所以 ＝3 ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ －
）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故選B.
法二（作圖法）　如圖，利用平行四邊形法則，合成
出向量 ，由圖易知 （即向量m）的系數(shù)為負(fù)數(shù)，排除A、C、D，故選B.
2. 如圖，已知ABCD是一個梯形， ∥ 且｜ ｜＝2｜ ｜，
M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，已知 ＝e1， ＝e2，分別用
e1，e2表示 ， .
解：因?yàn)?∥ ，｜ ｜＝2｜ ｜，
所以 ＝2 ， ＝ .
則 ＝ ＋ ＝e2＋ e1.
因?yàn)镸，N分別為DC，AB的中點(diǎn)，
所以｜ ｜＝2｜ ｜，｜ ｜＝2｜ ｜，
則 ＝ ＋ ＋
＝－ － ＋
＝－ e1－e2＋ e1＝ e1－e2.
1. 若｜a｜＝5，b與a的方向相反，且｜b｜＝7，則a＝（　　）
解析： 　∵b與a的方向相反，∴存在實(shí)數(shù)λ＜0，使a＝λb，
∴｜a｜＝－λ｜b｜，即5＝－λ×7，∴λ＝－ ，∴a＝－ b.
√
2. 已知a，b是不共線的非零向量， ＝a＋2b， ＝3a－b，
＝2a－3b，則四邊形ABCD是（　　）
A. 梯形 B. 平行四邊形
C. 矩形 D. 菱形
解析： 　因?yàn)?＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ （a＋2b）＋
（3a－b）＋（2a－3b）＝2（3a－b），因?yàn)?＝3a－b，
a，b是不共線的非零向量，所以AD∥BC且｜ ｜≠｜ ｜，
所以四邊形ABCD是梯形.故選A.
√
3. （2024·徐州月考）如圖，在△ABC中，向量 ＝3 ，且 ＝
λ ＋μ （λ，μ∈R），則λ＋μ＝ .
解析：由題意知， ＝ ＋ ，所以 ＝3 ＝3 ＋3
＝－3 ＋3 .所以 ＝ ＋ ＝ －3 ＋3 ＝－2
＋3 ，則λ＝－2，μ＝3，故λ＋μ＝1.
1　
4. 已知非零向量e1和e2不共線，試判斷3e1＋2e2與3e1－2e2是否共
線？
解：若向量e1和e2不共線，設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使3e1＋2e2＝λ（3e1－
2e2），
則3e1＋2e2＝3λe1－2λe2，即（3－3λ）e1＝（－2λ－2）e2，
所以λ無解，所以不存在實(shí)數(shù)λ，使3e1＋2e2＝λ
（3e1－2e2），
故兩個向量不共線.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
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1. （2024·無錫月考）已知 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3
（a－b），則（　　）
A. A，B，C三點(diǎn)共線
B. A，B，D三點(diǎn)共線
C. A，C，D三點(diǎn)共線
D. B，C，D三點(diǎn)共線
解析： 　 ＝ ＋ ＝－2a＋8b＋3（a－b）＝a＋5b＝
，又∵ 與 有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線.故選B.
√
2. 已知e1，e2是不共線向量，則下列各組向量中是共線向量的有
（　　）
①a＝5e1，b＝7e1；
②a＝ e1－ e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
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解析： 　①中，a與b顯然共線；②中，因?yàn)閎＝3e1－2e2＝
6 ＝6a，故a與b共線；③中，設(shè)b＝3e1－3e2＝k（e1
＋e2），得無解，故a與b不共線.故選A.
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3. 如圖，在 ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，若 ＝a， ＝b，則
＝（　　）
解析： 　因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以 ＝ ＝－ ＝－
b，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－ b.
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4. （2024·南京月考）已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)， ＝ ，
若 ＝λ ＋μ ，則λ＋μ＝（　　）
解析： 　因?yàn)?＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －
）＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以λ＝－ ，μ＝ .故λ
＋μ＝ .故選C.
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5. （多選）已知等邊三角形ABC內(nèi)接于☉O，D為線段OA的中點(diǎn)，
E為線段BC的中點(diǎn)，則 ＝（　　）
解析： 　如圖所示，則 ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ （ ＋ ）＝ － ＋ ×
＝ ＋ .故選A、C.
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6. （多選）已知向量a，b是兩個非零向量，在下列四個條件中，一
定可以使a，b共線的是（　　）
A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B. 存在相異的實(shí)數(shù)λ，μ，使λa＋μb＝0
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解析： 　選項A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝
e，b＝－ e，則b＝－4a，故a，b共線；選項B，不妨設(shè)
λ≠0，則有a＝－ b，故a，b共線；選項C，a，b顯然不共
線；選項D，當(dāng)AB，CD分別為梯形ABCD的兩腰時，直線AB與
直線CD是相交直線，則向量 ， 不是共線向量，即不能判定
a，b共線.故選A、B.
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7. 設(shè)向量a，b不平行，向量2a－λb與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ
＝ ，此時向量2a－λb與a＋2b的方向 .（填“相
同”或“相反”）
解析：因?yàn)?a－λb與a＋2b平行，所以存在實(shí)數(shù)k使得2a－λb
＝k（a＋2b），即（2－k）a＋（－λ－2k）b＝0.又因?yàn)閍與
b不平行，所以即又因?yàn)閗＞0，所以兩
向量方向相同.
－4　
相同　
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8. （2024·鎮(zhèn)江月考）已知四邊形ABCD為正方形， ＝3 ，AP
與CD交于點(diǎn)E，若 ＝m ＋n ，則m－n＝ .
解析：由題作圖如圖所示，∵ ＝3 ，∴BP＝
3CP，∴AB＝3CE＝CD，∴ ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，∴m
－n＝ － ＝ .
　
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9. 如圖，在△ABC中，D，E分別在AB，AC上，且 ＝ ＝ ，
則 ＝ .
解析：∵ ＝ ＝ ，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴ ＝
.又 與 同向，∴ ＝ .
　
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10. 設(shè)不共線向量e1，e2，若 ＝e1＋2e2， ＝－2e1－3e2，
＝6e1＋11e2.
（1）計算2 ＋ － ；
解： 2 ＋ －
＝2（e1＋2e2）－2e1－3e2－6e1－11e2
＝－6e1－10e2.
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（2）判斷A，B，D三點(diǎn)是否共線，并說明理由.
解： 因?yàn)?＝－2e1－3e2， ＝6e1＋11e2，
所以 ＝ ＋ ＝－2e1－3e2＋6e1＋11e2＝4e1＋8e2，
又 ＝e1＋2e2，
所以 ＝ ，
所以 和 共線，又 和 有公共點(diǎn)B，
所以A，B，D三點(diǎn)共線.
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11. 我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出
了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等
的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在
“趙爽弦圖”中，若 ＝a， ＝b， ＝3 ，則 ＝
（　　）
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解析： 　由題得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋
）＝ ＋ （－ ＋ ）.解得 ＝ ＋ ，即
＝ a＋ b.故選B.
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12. （多選）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出如下定理：三角形的外心、重
心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到
垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為
歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O，G，H分別是△ABC的外心、重心、垂心，
且M為BC的中點(diǎn)，則（　　）
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解析： 　如圖，因?yàn)镺，G，H分別是
△ABC的外心、重心、垂心，且重心到外心的距
離是重心到垂心距離的一半，所以 ＝ .對
于A，因?yàn)镚是重心，M為BC的中點(diǎn)，所以 ＝2 .又 ＋ ＝2 ，所以 ＋ ＝ ，即 ＋ ＋ ＝0，故A正確；對于B，由A可得 ＝3 ，故 ＋ ＝2 ＝6
＝2 ＋4 ＝2（ － ）＋4（ － ）＝2 －4 ＋4 －2 ＝2 －4 ，即 ＋ ＝2 －4 ，故B正確；對于C， ＝ － ＝2 －2 ＝2 ，故C不正確；對于D，因?yàn)辄c(diǎn)O為△ABC的外心，所以點(diǎn)
O到三個頂點(diǎn)的距離相等，即｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，故D正確.故選A、B、D.
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13. （2024·常州質(zhì)檢）已知在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足
＋ ＋ ＝ ，則△PBC與△ABC的面積之比
是 .
解析：因?yàn)?＋ ＋ ＝ ，所以 ＝ － － ＝
＋ ＋ ＝2 ，所以點(diǎn)P在邊CA上，且是靠近點(diǎn)A一側(cè)
的三等分點(diǎn)，所以△PBC和△ABC的面積之比為2∶3.
2∶3　
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解：根據(jù)題意作圖如圖所示，取BC的中點(diǎn)M，連接
DM交AC于點(diǎn)N. 在 ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，
M是BC的中點(diǎn)，所以ED∥BM，且ED＝BM，所以
四邊形BEDM是平行四邊形，所以BE∥MD.
在△AND中，E為AD的中點(diǎn)，
所以F為AN的中點(diǎn)，所以AF＝FN.
14. 在 ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若
＝m ＋n （m，n∈R），求 的值.
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同理可得FN＝CN.
所以AF＝FN＝CN，
所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋
（ ＋ ）＝ － .
又因?yàn)?＝m ＋n （m，n∈R），
所以m＝ ，n＝－ ，所以 ＝－2.
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15. 設(shè)平面上不在一條直線上的三個點(diǎn)為O，A，B，當(dāng)實(shí)數(shù)p，q滿
足 ＋ ＝1時，連接p ，q 兩個向量終點(diǎn)的直線是否通過一
個定點(diǎn)？證明你的結(jié)論.
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解：設(shè) ＝ ＋ ，則C為定點(diǎn).證明如下：
設(shè)p ＝ ，q ＝ ，C'為直線A'B'上任意一點(diǎn).
∵O，A，B不共線，
∴存在實(shí)數(shù)m，n使 ＝m ＋n ＝mp ＋nq ，且m
＋n＝1.
∵ ＋ ＝1，∴可設(shè)m＝ ，n＝ ，∴ ＝ ＋ .
又∵ ＋ ＝ ，∴C與C'重合.
故連接p ，q 兩個向量終點(diǎn)的直線通過一個定點(diǎn)C.
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