資源簡介

第1課時　向量數量積的概念、運算及投影向量
1.如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水平面成60°角.則當小車向前運動10 m時，力F做的功為（　　）
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
2.已知m，n為非零向量，則“m·n＞0”是“＜m，n＞為銳角”的（　　）
A.充要條件 B.必要不充分條件
C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，則向量a在b方向上的投影向量的模為（　　）
A. B.3
C.4 D.5
4.（2024·徐州月考）在邊長為1的等邊△ABC中，設＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
5.如圖所示的是一個圓形，圓心為O，A，B是圓O上的兩點，若｜｜＝4，則·＝（　　）
A.4 B.8
C.8 D.16
6.（多選）若｜a｜＝1，｜b｜＝2，則｜a·b｜的值可能是（　　）
A.0 B.
C.2 D.3
7.在四邊形ABCD中，·＝0，＝，則四邊形ABCD的形狀是　　　　（填“平行四邊形”“矩形”“菱形”或“正方形”）.
8.（2024·蘇州月考）已知｜b｜＝3，a在b上的投影向量為b，則a·b的值為　　　　.
9.如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，則·＝　　　　.
10.在△ABC中，AC＝3，向量在上的投影向量為－2，S△ABC＝3，求BC的長度.
11.（2024·泰州月考）定義：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ為向量a與b的夾角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，則｜a×b｜＝（　　）
A.8 B.－8
C.8或－8 D.6
12.（多選）已知兩個單位向量e1，e2的夾角為θ，則下列說法正確的是（　　）
A.cos θ＞0 e1·e2＞0
B.若e1∥e2，則e1·e2＝1
C.若e1∥e2，則e1·e2＝－1
D.｜e1·e2｜≤1
13.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則·＝　　　　.
14.（2024·無錫月考）如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點，且＝x＋y.
（1）若＝，求x，y的值；
（2）若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且與的夾角為60°，求·的值.
15.如圖，扇形AOB的弧的中點為M，動點C，D分別在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若點D是線段OB上靠近點O的四等分點，用，表示向量；
（2）求·的取值范圍.
第1課時　向量數量積的概念、運算及投影向量
1.B　由題意，根據向量的數量積的定義，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）.
2.B　易知，若m·n＞0，則｜m｜｜n｜cos＜m，n＞＞0，故cos＜m，n＞＞0，結合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n＞＝0或＜m，n＞∈（0，），反之，若＜m，n＞∈（0，），則必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞為銳角”的必要不充分條件，故選B.
3.A　設向量a，b的夾角為θ，則向量a在b方向上投影向量的模為｜a｜cos θ＝＝.故選A.
4.A　a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
5.B　法一　依題意，｜｜cos＜，＞＝｜｜，則·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝｜｜×｜｜＝4×2＝8.
法二　結合圓的性質易得在上的投影向量為，所以·＝＝×42＝8.
6.ABC　由向量的數量積性質｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知A、B、C正確.故選A、B、C.
7.矩形　解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC AD，所以四邊形ABCD是矩形.
8.　解析：設a與b的夾角為θ，∵｜a｜·cos θ＝b，∴｜a｜·cos θ＝，∴｜a｜·cos θ＝，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×＝.
9.－1　解析：法一　·＝｜｜·｜｜cos（180°－∠B）＝－｜｜｜｜·cos B＝－｜｜｜｜·＝－｜｜2＝－1.
法二　｜｜＝1，即為單位向量，·＝－·＝－｜｜·｜｜cos B，而｜｜·cos B＝｜｜，所以·＝－｜｜2＝－1.
10.解：因為向量在上的投影向量為－2，故∠BAC為鈍角，
如圖，過B作AC的垂線，垂足為E，則E在CA的延長線上，
而向量在上的投影向量為＝｜｜×cos∠BAC×＝－｜｜×，故｜｜＝2.
又S△ABC＝3，所以×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝＝＝.
11.A　cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴｜a×b｜＝2×5×＝8.故選A.
12.AD　∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos θ＝cos θ，∴若cos θ＞0，則e1·e2＞0；若e1·e2＞0，則必有cos θ＞0，故A正確；e1∥e2，需分兩種情況，當e1，e2同向時，e1·e2＝1；當e1，e2反向時，e1·e2＝－1，故B、C錯誤；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，故D正確.故選A、D.
13.18　解析：設AC與BD相交于點O，則O為AC的中點，·＝·＝2·，因為在上的投影向量為，則·＝·.所以·＝2·＝2｜｜2＝2×32＝18.
14.解：（1）若＝，則＝＋，
故x＝y＝.
（2）因為｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2.
又因為＝3，所以｜｜＝.
所以｜｜＝＝，cos∠OPB＝.
設與的夾角為θ，所以與的夾角θ的余弦值為－.
所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3.
15.解：（1）由已知可得＝，＝－，
易得OAMB是菱形（圖略），則＝＋，
所以＝－＝－（＋）＝－－.
（2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，　
那么只需求MC的最大值與最小值即可.
當MC⊥OA時，MC最小，此時MC＝，
則·＝××cos 60°＝；
當MC與MO重合時，MC最大，
此時MC＝1，則·＝cos 60°＝，
所以·的取值范圍為.
2 / 29.2.3　向量的數量積
新課程標準解讀 核心素養
1.通過物理中功等實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積 數學抽象、數學運算
2.通過幾何直觀了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義 數學抽象
3.會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系 邏輯推理
第1課時　向量數量積的概念、運算及投影向量
在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜cos θ，其中θ是F與s的夾角.
　　功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定.這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結果呢？受此啟發，我們引入向量“數量積”的概念.
【問題】　兩個向量的數量積與這兩個向量的哪些量有關？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　向量的數量積
1.定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角是θ，把數量　　　　　　叫作向量a和b的數量積，記作　　　　，即a·b＝　　　　　　.
規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝　　.
提醒　（1）數量積運算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫；（2）向量的數量積是一個實數，不是向量，它的值可正、可負、可為0.
2.兩個非零向量a和b的夾角θ，可以由cos θ＝　　　　求得.
3.平面向量數量積的性質
設向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則
（1）a·e＝e·a＝｜a｜cos θ；
（2）a⊥b a·b＝0；
（3）當a∥b時，a·b＝
特別地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝；
（4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜.
【想一想】
　已知非零向量a，b，a與b的夾角為θ，若a·b＜0，則θ是鈍角對嗎？
知識點二　投影向量
1.定義：設a，b是兩個非零向量，如圖，表示向量a，表示向量b，過點A作所在直線的垂線，垂足為點A1，我們將上述由向量a得到向量的　　　　稱為向量a向向量b投影，向量　　　　稱為向量a在向量b上的投影向量.
2.對于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量為　　　　　　.
3.向量數量積的幾何意義：向量a和b的數量積就是向量a在向量b上的　　　　　　與向量b的數量積.
提醒　（1）向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量；（2）如果向量a與向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，當a與b垂直時，a在b上的投影向量為0；（3）向量a在向量b上的投影向量與向量b在向量a上的投影向量不是同一個向量.
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.對任意向量a，都有a2＝｜a｜2
B.若a≠0，且a·b＝a·c，則b＝c
C.若a·b＝｜a｜｜b｜，則a∥b
D.若a∥b，則a·b＝｜a｜｜b｜
2.已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，當它們之間的夾角為時，a·b＝（　　）
A.4　 　　　　　　　 B.4
C.8 D.8
3.（2024·揚州紅橋高中期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a與b的夾角為135°，則b在a方向上的投影向量為　　　　.
題型一 平面向量數量積的有關概念
【例1】　（多選）下列敘述正確的是（　　）
A.a·0＝0
B.a·0＝0
C.若a≠0，則對任一非零向量b，有a·b≠0
D.若a與b是兩個單位向量，則a2＝b2
通性通法
　　兩個平面向量的數量積是一個全新的運算，最后的結果是一個實數，它是由兩個向量的模與兩個向量夾角的余弦值相乘所得的結果，所以最后的值由｜a｜，｜b｜及cos＜a，b＞所決定.即有以下結論：設兩個非零向量a與b的夾角為θ，則
（1）當θ＝0時，cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜；
（2）當θ為銳角時，cos θ＞0，a·b＞0；
（3）當θ為直角時，cos θ＝0，a·b＝0；
（4）當θ為鈍角時，cos θ＜0，a·b＜0；
（5）當θ＝π時，cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜.
【跟蹤訓練】
　（多選）已知a，b，c是三個非零向量，則下列選項中正確的是（　　）
A.a·b＝±｜a｜｜b｜ a∥b
B.a與b同向 a·b＝｜a｜｜b｜
C.｜a｜＝｜b｜ ｜a·c｜＝｜b·c｜
D.若a·b＝0，則＜a，b＞＝
題型二 向量數量積的運算
【例2】　（鏈接教科書第22頁例1）（1）已知向量a與b的夾角為120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b；
（2）已知正三角形ABC的邊長為1，求：①·；②·；③·.
通性通法
定義法求平面向量的數量積
　　若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.運用此法計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.
【跟蹤訓練】
　
1.設｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為（　　）
A.　 　B.　 　C.　 　D.π
2.（2024·南通月考）已知平面上三點A，B，C滿足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，則·＋·＋·＝（　　）
A.－7 B.7 C.25 D.－25
題型三 投影向量
【例3】　（鏈接教科書第24頁練習5題）已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求：
（1）a在b上的投影向量；
（2）b在a上的投影向量的模.
通性通法
投影向量的求解方法
　　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量），其中｜a｜｜cos θ｜為a在b上投影向量的模.
【跟蹤訓練】
1.（2024·揚州月考）若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，則向量a在向量b上的投影向量為（　　）
A.－b B.－b
C.b D.－b
2.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，其中a，b的夾角為，則a在b上的投影向量的模為（　　）
A.1 B.
C. D.
1.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角是120°，則a·b＝（　　）
A.3 B.－3
C.－3 D.3
2.（多選）對于任意向量a，b，c，下列命題中正確的是（　　）
A.若a·b＝0，則a與b中至少有一個為0
B.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C.若a⊥b，則a·b＝0
D.｜a｜＝
3.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，則·＝　　　　　.
4.已知｜a｜＝6，e為單位向量，當向量a，e的夾角θ分別等于45°，90°，135°時，求向量a在向量e上的投影向量.
第1課時　向量數量積的概念、運算及投影向量
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.｜a｜｜b｜cos θ　a·b　｜a｜｜b｜cos θ　0　2.
想一想
　提示：不對.若θ＝π時，a·b＜0.
知識點二
1.變換　　2.（｜a｜cos θ）　
3.投影向量
自我診斷
1.AC
2.B　根據向量數量積的定義得a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝4×2×cos ＝4.
3.－a　解析：b在a方向上的投影向量為｜b｜cos＜a，b＞·＝×（－）a＝－a.
【典型例題·精研析】
【例1】　BD　A中，a·0＝0，故A錯誤；B中，a·0＝0，故B正確；C中，設a與b的夾角為θ，a與b均為非零向量，當cos θ＝0時，a·b＝0，故C錯誤，D正確.故選B、D.
跟蹤訓練
　ABD　a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜b｜且a，b為非零向量可得cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以a∥b，反之也成立，故A正確；若a，b同向，則a，b的夾角為0，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正確；當｜a｜＝｜b｜，但a與c的夾角和b與c的夾角不相等時，就有｜a·c｜≠｜b·c｜，反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝｜b｜，故C錯誤；若a·b＝0且a，b為非零向量，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0，即cos＜a，b＞＝0，又因為＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，故D正確.
【例2】　解：（1）①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝12.
（2）①∵與的夾角為60°，∴·＝｜｜｜｜ cos 60°＝1×1×＝.
②∵與的夾角為120°，∴·＝｜｜·｜｜ cos 120°＝1×1×（－）＝－.
③∵與的夾角為60°，∴·＝｜｜｜｜·cos 60°＝1×1×＝.
跟蹤訓練
1.B　設a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
2.D　由題得｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故選D.
【例3】　解：（1）∵｜b｜＝1，∴b為單位向量.
∴a在b上的投影向量為｜a｜cos 120°·b＝3×b＝－b.
（2）由投影向量的定義知，向量b在a上的投影向量的模為｜b｜｜cos 120°｜＝.
跟蹤訓練
1.D　因為a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，所以cos θ＝＝＝－，則a在b上的投影向量是｜a｜cos θ＝2×（－）×＝－b.故選D.
2.D　由題意，a在b上的投影向量的模為｜a｜cos＝1×＝.故選D.
隨堂檢測
1.B　由平面向量數量積的定義得a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×（－）＝－3.故選B.
2.CD　對于A，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A錯誤；對于B，根據向量加法的三角形法則，知｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，只有當a，b同向或a，b中至少有一個為0時取“＝”，所以B錯誤；對于C，由數量積的性質知，C正確；對于D，因為a·a＝｜a｜｜a｜cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝，所以D正確.故選C、D.
3.2　解析：·＝｜｜｜｜·cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.
4.解：當θ＝45°時，a在e上的投影向量為｜a｜cos 45°·e＝6×e＝3e；
當θ＝90°時，a在e上的投影向量為｜a｜cos 90°·e＝6×0×e＝0；
當θ＝135°時，a在e上的投影向量為｜a｜cos 135°·e＝6×（－）e＝－3e.
1 / 3(共57張PPT)
9.2.3　向量的數量積
新課程標準解讀 核心素養
1.通過物理中功等實例，理解平面向量數
量積的概念及其物理意義，會計算平面向
量的數量積 數學抽象、數學運算
2.通過幾何直觀了解平面向量投影的概念
以及投影向量的意義 數學抽象
3.會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關
系 邏輯推理
第1課時　
向量數量積的概念、運算及投影向量
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產
生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜ cos θ，其中θ是F與
s的夾角.
功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定.這給我們一種啟
示，能否把“功”看成是兩個向量“相乘”的結果呢？受此啟發，我
們引入向量“數量積”的概念.
【問題】　兩個向量的數量積與這兩個向量的哪些量有關？
知識點一　向量的數量積
1. 定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角是θ，把數量
叫作向量a和b的數量積，記作 ，即
a·b＝ .
規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝ .
提醒　（1）數量積運算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省
略不寫；（2）向量的數量積是一個實數，不是向量，它的值可
正、可負、可為0.
｜a｜｜b｜ cos θ　
a·b　
｜a｜｜b｜ cos θ　
0　
2. 兩個非零向量a和b的夾角θ，可以由 cos θ＝ 求得.
3. 平面向量數量積的性質
　
設向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的
單位向量.則
（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；
（2）a⊥b a·b＝0；
（3）當a∥b時，a·b＝
特別地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝ ；
（4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜.
【想一想】
　已知非零向量a，b，a與b的夾角為θ，若a·b＜0，則θ是鈍角
對嗎？
提示：不對.若θ＝π時，a·b＜0.
知識點二　投影向量
1. 定義：設a，b是兩個非零向量，如圖， 表示向量a， 表示
向量b，過點A作 所在直線的垂線，垂足為點A1，我們將上述
由向量a得到向量 的 稱為向量a向向量b投影，向
量 稱為向量a在向量b上的投影向量.
變換　
　
2. 對于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量為
.
3. 向量數量積的幾何意義：向量a和b的數量積就是向量a在向量b上
的 與向量b的數量積.
提醒　（1）向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量；
（2）如果向量a與向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于
a或－a，當a與b垂直時，a在b上的投影向量為0；（3）向量a
在向量b上的投影向量與向量b在向量a上的投影向量不是同一個
向量.
（｜a｜ cos
θ） 　
投影向量　
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 對任意向量a，都有a2＝｜a｜2
B. 若a≠0，且a·b＝a·c，則b＝c
C. 若a·b＝｜a｜｜b｜，則a∥b
D. 若a∥b，則a·b＝｜a｜｜b｜
√
√
2. 已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，當它們之間的夾角為 時，a·b＝
（　　）
A. 4 B. 4
C. 8 D. 8
解析： 　根據向量數量積的定義得a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，
b＞＝4×2× cos ＝4.
√
3. （2024·揚州紅橋高中期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a與b的
夾角為135°，則b在a方向上的投影向量為 .
解析：b在a方向上的投影向量為｜b｜ cos ＜a，b＞· ＝
×（－ ）a＝－ a.
－ a　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 平面向量數量積的有關概念
【例1】　（多選）下列敘述正確的是（　　）
A. a·0＝0
B. a·0＝0
C. 若a≠0，則對任一非零向量b，有a·b≠0
D. 若a與b是兩個單位向量，則a2＝b2
√
√
解析： 　A中，a·0＝0，故A錯誤；B中，a·0＝0，故B正確；C
中，設a與b的夾角為θ，a與b均為非零向量，當 cos θ＝0時，a·b
＝0，故C錯誤，D正確.故選B、D.
通性通法
　　兩個平面向量的數量積是一個全新的運算，最后的結果是一個實
數，它是由兩個向量的模與兩個向量夾角的余弦值相乘所得的結果，
所以最后的值由｜a｜，｜b｜及 cos ＜a，b＞所決定.即有以下結
論：設兩個非零向量a與b的夾角為θ，則
（1）當θ＝0時， cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜；
（2）當θ為銳角時， cos θ＞0，a·b＞0；
（3）當θ為直角時， cos θ＝0，a·b＝0；
（4）當θ為鈍角時， cos θ＜0，a·b＜0；
（5）當θ＝π時， cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜.
【跟蹤訓練】
　（多選）已知a，b，c是三個非零向量，則下列選項中正確的是
（　　）
A. a·b＝±｜a｜｜b｜ a∥b
B. a與b同向 a·b＝｜a｜｜b｜
C. ｜a｜＝｜b｜ ｜a·c｜＝｜b·c｜
D. 若a·b＝0，則＜a，b＞＝
√
√
√
解析： 　a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜
b｜且a，b為非零向量可得 cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以
a∥b，反之也成立，故A正確；若a，b同向，則a，b的夾角為0，
所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正
確；當｜a｜＝｜b｜，但a與c的夾角和b與c的夾角不相等時，就
有｜a·c｜≠｜b·c｜，反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜
＝｜b｜，故C錯誤；若a·b＝0且a，b為非零向量，所以a·b＝｜
a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0，即 cos ＜a，b＞＝0，又因為＜a，b
＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，故D正確.
題型二 向量數量積的運算
【例2】　（鏈接教科書第22頁例1）（1）已知向量a與b的夾角為
120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－
2b·b；
解： ①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝4×2× cos
120°＝－4.
②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）
－2×4＝12.
（2）已知正三角形ABC的邊長為1，求：① · ；② · ；③
· .
解： ①∵ 與 的夾角為60°，∴ · ＝｜ ｜｜
｜ cos 60°＝1×1× ＝ .
②∵ 與 的夾角為120°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜
cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ .
③∵ 與 的夾角為60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos
60°＝1×1× ＝ .
通性通法
定義法求平面向量的數量積
　　若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ.運用此法計算數量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，
條件是兩向量的起點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合
以上條件.
【跟蹤訓練】
　
1. 設｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，則a與b的夾角為（　　）
A. B.
C. D. π
解析： 　設a，b的夾角為θ，則 cos θ＝ ＝ ，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝ .
√
2. （2024·南通月考）已知平面上三點A，B，C滿足｜ ｜＝
3，｜ ｜＝4，｜ ｜＝5，則 · ＋ · ＋ · ＝
（　　）
A. －7 B. 7 C. 25 D. －25
解析： 　由題得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝
90°，所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180°
－A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－
25.故選D.
√
題型三 投影向量
【例3】　（鏈接教科書第24頁練習5題）已知｜a｜＝3，｜b｜＝
1，向量a與向量b的夾角為120°，求：
（1）a在b上的投影向量；
解： ∵｜b｜＝1，∴b為單位向量.
∴a在b上的投影向量為｜a｜ cos 120°·b＝3× b＝－b.
（2）b在a上的投影向量的模.
解： 由投影向量的定義知，向量b在a上的投影向量的模
為｜b｜｜ cos 120°｜＝ .
通性通法
投影向量的求解方法
　　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos
θ e（θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量），其中｜
a｜｜ cos θ｜為a在b上投影向量的模.
【跟蹤訓練】
1. （2024·揚州月考）若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，則向量a
在向量b上的投影向量為（　　）
A. － b B. － b
C. b D. － b
解析： 　因為a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以 cos θ＝
＝ ＝－ ，則a在b上的投影向量是｜a｜ cos θ ＝2×
（－ ）× ＝－ b.故選D.
√
2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，其中a，b的夾角為 ，則a在b上的
投影向量的模為（　　）
A. 1 B. C. D.
解析： 　由題意，a在b上的投影向量的模為｜a｜ cos ＝1×
＝ .故選D.
√
1. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a與b的夾角是120°，則a·b＝
（　　）
A. 3 B. －3
C. －3 D. 3
解析： 　由平面向量數量積的定義得a·b＝｜a｜｜b｜ cos
120°＝ ×2 ×（－ ）＝－3.故選B.
√
2. （多選）對于任意向量a，b，c，下列命題中正確的是（　　）
A. 若a·b＝0，則a與b中至少有一個為0
B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C. 若a⊥b，則a·b＝0
D. ｜a｜＝
√
√
解析： 　對于A，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A錯誤；
對于B，根據向量加法的三角形法則，知｜a＋b｜≤｜a｜＋｜
b｜，只有當a，b同向或a，b中至少有一個為0時取“＝”，所
以B錯誤；對于C，由數量積的性質知，C正確；對于D，因為a·a
＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝ ，所以D正確.故
選C、D.
3. 在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝ ，則 ·
＝ .
解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ABC＝2× × cos 45°
＝2.
2　
4. 已知｜a｜＝6，e為單位向量，當向量a，e的夾角θ分別等于
45°，90°，135°時，求向量a在向量e上的投影向量.
解：當θ＝45°時，a在e上的投影向量為｜a｜ cos 45°·e＝
6× e＝3 e；
當θ＝90°時，a在e上的投影向量為｜a｜ cos 90°·e＝6×0×e
＝0；
當θ＝135°時，a在e上的投影向量為｜a｜ cos 135°·e＝6×
（－ ）e＝－3 e.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10 N，方向與水
平面成60°角.則當小車向前運動10 m時，力F做的功為（　　）
A. 100 J B. 50 J
C. 50 J D. 200 J
解析： 　由題意，根據向量的數量積的定義，可得力F做的功W
＝F·s＝10×10× cos 60°＝50（J）.
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2. 已知m，n為非零向量，則“m·n＞0”是“＜m，n＞為銳角”
的（　　）
A. 充要條件
B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件
D. 既不充分也不必要條件
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解析： 　易知，若m·n＞0，則｜m｜｜n｜ cos ＜m，n＞＞
0，故 cos ＜m，n＞＞0，結合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n
＞＝0或＜m，n＞∈（0， ），反之，若＜m，n＞∈（0，
），則必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞為銳角”的
必要不充分條件，故選B.
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3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，則向量a在b方向上的投影
向量的模為（　　）
A. B. 3
C. 4 D. 5
解析： 　設向量a，b的夾角為θ，則向量a在b方向上投影向量
的模為｜a｜ cos θ＝ ＝ .故選A.
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4. （2024·徐州月考）在邊長為1的等邊△ABC中，設 ＝a， ＝
b， ＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝（　　）
A. － B.
C. － D.
解析： 　a·b＝ · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos
60°＝－ .同理b·c＝－ ，c·a＝－ ，∴a·b＋b·c＋c·a＝－
.
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5. 如圖所示的是一個圓形，圓心為O，A，B是圓O上的兩點，若｜
｜＝4，則 · ＝（　　）
A. 4 B. 8
C. 8 D. 16
解析： 　法一　依題意，｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ｜
｜，則 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝｜ ｜
× ｜ ｜＝4×2＝8.
√
法二　結合圓的性質易得 在 上的投影向量為 ，所以
· ＝ ＝ ×42＝8.
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6. （多選）若｜a｜＝1，｜b｜＝2，則｜a·b｜的值可能是
（　　）
A. 0 B.
C. 2 D. 3
解析： 　由向量的數量積性質｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知
A、B、C正確.故選A、B、C.
√
√
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7. 在四邊形ABCD中， · ＝0， ＝ ，則四邊形ABCD的形
狀是 （填“平行四邊形”“矩形”“菱形”或“正方
形”）.
解析：由 · ＝0，知AB⊥BC. 由 ＝ ，知BC AD，
所以四邊形ABCD是矩形.
矩形　
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8. （2024·蘇州月考）已知｜b｜＝3，a在b上的投影向量為 b，則
a·b的值為 .
解析：設a與b的夾角為θ，∵｜a｜· cos θ ＝ b，∴｜
a｜· cos θ ＝ ，∴｜a｜· cos θ＝ ，∴a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ＝3× ＝ .
　
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9. 如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，則 · ＝ .
解析：法一　 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos （180°－∠B）＝
－｜ ｜｜ ｜· cos B＝－｜ ｜｜ ｜· ＝－｜
｜2＝－1.
－1　
法二　｜ ｜＝1，即 為單位向量， · ＝－ · ＝－｜
｜·｜ ｜ cos B，而｜ ｜· cos B＝｜ ｜，所以 · ＝
－｜ ｜2＝－1.
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10. 在△ABC中，AC＝3，向量 在 上的投影向量為－2 ，S△ABC＝3，求BC的長度.
解：因為向量 在 上的投影向量為－
2 ，故∠BAC為鈍角，
如圖，過B作AC的垂線，垂足為E，則E在CA的延長線上，
而向量 在 上的投影向量為 ＝｜ ｜× cos BAC× ＝－｜ ｜× ，故｜ ｜＝2.
又S△ABC＝3，所以 ×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝ ＝ ＝ .
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11. （2024·泰州月考）定義：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中
θ為向量a與b的夾角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，
則｜a×b｜＝（　　）
A. 8 B. －8
C. 8或－8 D. 6
解析： 　 cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin
θ＝ .∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.故選A.
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12. （多選）已知兩個單位向量e1，e2的夾角為θ，則下列說法正確
的是（　　）
A. cos θ＞0 e1·e2＞0
B. 若e1∥e2，則e1·e2＝1
C. 若e1∥e2，則e1·e2＝－1
D. ｜e1·e2｜≤1
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解析： 　∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos θ＝ cos θ，∴若 cos θ
＞0，則e1·e2＞0；若e1·e2＞0，則必有 cos θ＞0，故A正確；
e1∥e2，需分兩種情況，當e1，e2同向時，e1·e2＝1；當e1，e2反
向時，e1·e2＝－1，故B、C錯誤；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，
故D正確.故選A、D.
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13. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP
＝3，則 · ＝ .
解析：設AC與BD相交于點O，則O為AC的中點， · ＝
· ＝2 · ，因為 在 上的投影向量為 ，則
· ＝ · .所以 · ＝2 · ＝2｜ ｜2＝2×32＝
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14. （2024·無錫月考）如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點，且
＝x ＋y .
（1）若 ＝ ，求x，y的值；
解： 若 ＝ ，則 ＝ ＋ ，
故x＝y＝ .
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（2）若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 與 的夾
角為60°，求 · 的值.
解：因為｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜ ｜＝2 .
又因為 ＝3 ，所以｜ ｜＝ .
所以｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ .
設 與 的夾角為θ，所以 與 的夾角θ的余弦值
為－ .
所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ＝－3.
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15. 如圖，扇形AOB的弧的中點為M，動點C，D分別在OA，OB
上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若點D是線段OB上靠近點O的四等分點，用 ， 表示
向量 ；
解： 由已知可得 ＝ ， ＝ － ，易得OAMB是菱形（圖略），則 ＝ ＋ ，
所以 ＝ － ＝ －（ ＋
）＝－ － .
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（2）求 · 的取值范圍.
解： 易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜，
那么只需求MC的最大值與最小值即可.
當MC⊥OA時，MC最小，此時MC＝ ，
則 · ＝ × × cos 60°＝ ；
當MC與MO重合時，MC最大，
此時MC＝1，則 · ＝ cos 60°＝ ，
所以 · 的取值范圍為 .
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