資源簡介

第2課時　向量數量積的運算律及性質
1.（2024·江蘇泰州中學期中）已知單位向量e1，e2的夾角為120°，則（2e1－e2）·e2＝（　　）
A.－2 B.0
C.1 D.2
2.若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a與a－b的夾角為60°，則｜a＋b｜＝（　　）
A. B.
C.7 D.3
3.已知非零向量a，b滿足（a＋b）⊥（a－b），則（　　）
A.a＝b B.｜a｜＝｜b｜
C.a⊥b D.a∥b
4.設向量a，b滿足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，則a·b＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.5
5.若O為△ABC所在平面內任一點，且滿足（－）·（＋－2）＝0，則△ABC的形狀為（　　）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.正三角形
D.等腰直角三角形
6.（多選）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，下列結論正確的是（　　）
A.a是單位向量 B.∥b
C.a·b＝1 D.⊥（4a＋b）
7.設單位向量a，b的夾角的余弦值為－，則（2a－b）·（a＋b）＝　　　　.
8.設非零向量a，b，c滿足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，則a與b的夾角θ＝　　　　.
9.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a與b的夾角為，若向量2a＋kb與a＋b垂直，則實數k的值為　　　　.
10.（2024·南京六校聯合體期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝2，a與b的夾角是60°.
（1）計算a·b，｜a＋b｜；
（2）求a＋b和a的夾角的余弦值.
11.已知向量a，b滿足｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，則｜a｜｜b｜的最大值是（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
12.（多選）（2024·揚州紅橋高中期中）已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，它們的夾角為60°，則（　　）
A.a·b＝1 B.｜2a＋b｜＝2
C.｜2a－b｜＝2 D.向量a與向量a－b的夾角為90°
13.如圖，圓M為△ABC的外接圓，AB＝4，AC＝6，N為邊BC的中點，則·＝　　　　.
14.（2024·徐州豐縣中學月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝4，且｜a＋b｜＝2.
（1）求a與b的夾角；
（2）求｜a－2b｜的值；
（3）若（2a－b）⊥（a＋kb），求實數k的值.
15.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F在CD邊上運動（含C，D點）.
（1）若點F是CD上靠近點C的三等分點，設＝λ＋μ，求λ＋μ的值；
（2）若AB＝2，當·＝1時，求cos∠EAF的值.
第2課時　向量數量積的運算律及性質
1.A　（2e1－e2）·e2＝2e1·e2－＝2｜e1｜·｜e2｜cos 120°－｜e2｜2＝2×1×1×（－）－12＝－2.故選A.
2.B　∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a與a－b的夾角為60°，∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）＝｜a｜2－a·b＝1×1×＝，即a·b＝，可得｜b｜＝1，∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2×＋1＝3，即｜a＋b｜＝.故選B.
3.B　∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜ .故選B.
4.A　｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故選A.
5.A　因為（－）·（＋－2）＝0，即·（＋）＝0，又因為－＝，所以（－）·（＋）＝0，即｜｜＝｜｜，所以△ABC是等腰三角形.
6.ABD　對于A，因為｜｜＝2，＝2a，所以｜a｜＝＝1，即a是單位向量，故A正確；對于B，因為＝－＝2a＋b－2a＝b，所以∥b，故B正確；對于C，由＝2a＋b，得＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b＝－＝－1≠1，故C錯誤；對于D，因為＝b，·（4a＋b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以⊥（4a＋b）， 故D正確.故選A、B、D.
7.　解析：因為cos＜a，b＞＝－，所以a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞＝－，則（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－－1＝.
8.120°　解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜b｜，兩邊平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，則2｜a｜｜b｜cos θ＝－｜a｜2，∴cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
9.－5　解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos ＝2×1×＝1.因為2a＋kb與a＋b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
10.解：（1）由題可得a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝2×2×＝2，
｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，∴｜a＋b｜＝2.
（2）∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝4＋2＝6，
設a＋b和a的夾角為θ，
∴cos θ＝＝＝.
11.C　∵｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，∴｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2＝20.∴｜a｜2＋｜b｜2＝10.∵（a－b）2≥0，∴｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜.∴｜a｜｜b｜≤5.∴｜a｜｜b｜的最大值為5.故選C.
12.ABD　對于A，a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝1×2×＝1，故A正確；對于B，｜2a＋b｜＝＝＝2，故B正確；對于C，｜2a－b｜＝＝＝2，故C錯誤；對于D，a·（a－b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正確.故選A、B、D.
13.13　解析：∵N是BC邊的中點，可得＝（＋），∵M是△ABC的外接圓的圓心，∴·＝｜｜·｜｜cos∠BAM＝｜｜2＝×42＝8，同理可得·＝｜｜2＝18，∴·＝（＋）·＝·＋·＝×8＋×18＝13.
14.解：（1）由題意知，｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝12，又｜a｜＝2，｜b｜＝4，所以a·b＝－4，
所以cos＜a，b＞＝＝＝－，
又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，即a與b的夾角為.
（2）由（1）知a·b＝－4，所以｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝84，故｜a－2b｜＝2.
（3）由（2a－b）⊥（a＋kb），得（2a－b）·（a＋kb）＝0，即2a2＋2ka·b－a·b－kb2＝0，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，所以8－8k＋4－16k＝0，解得k＝.
15.解：（1）∵E是BC的中點，點F是CD上靠近點C的三等分點，
∴＝＝，＝－＝－，
∴＝＋＝－＋，
又＝λ＋μ，
∴λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝.
（2）設＝m（0≤m≤1），
則＝＋＝－m，
又＝＋＝＋，·＝0，
∴·＝（＋）·（－m）＝－m＋＝－4m＋2＝1，
故m＝.
∴·＝（＋）·（＋）＝＋＝3＋2＝5，
易得｜｜＝，｜｜＝，
∴cos∠EAF＝＝＝.
2 / 2第2課時　向量數量積的運算律及性質
　　我們已經知道，很多運算都滿足一定的運算律.例如，向量的加法滿足交換律，數乘向量對加法滿足分配律，即對任意向量a，b以及實數λ，有a＋b＝b＋a，λ（a＋b）＝λa＋λb.
【問題】　根據向量數量積的定義，向量數量積的運算滿足哪些運算律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　向量數量積的運算律
1.向量數量積的運算律
對于向量a，b，c和實數λ，有
（1）交換律：a·b＝　　　　；
（2）數乘結合律：（λa）·b＝a·（λb）＝　　　　＝λa·b；
（3）分配律：（a＋b）·c＝　　　　　　.
提醒　（1）向量的數量積不滿足消除律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；
（2）（a·b）·c≠a·（b·c），因為a·b，b·c是數量積，是實數，不是向量，所以（a·b）·c與向量c共線，a·（b·c）與向量a共線，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情況下不成立.
2.平面向量數量積的運算性質
類比多項式的乘法公式，寫出下表中的平面向量數量積的運算性質.
多項式乘法 向量數量積
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝　　　　　
（a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2a·b＋b2
（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝　　 　
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
1.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，則（2a－3b）·（2a＋3b）＝　　　　.
2.已知｜a｜＝1，｜b｜＝，且（a＋b）與a 垂直，則a與b的夾角是　　　　.
3.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a與b夾角為60°，則｜a－4b｜＝　　　　.
題型一 向量的數量積的運算律及性質
【例1】　（1）（多選）設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結論，正確的是（　　）
A.a·c－b·c＝（a－b）·c
B.（b·c）·a－（c·a）·b不與c垂直
C.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
（2）（2024·揚州月考）如圖，在 ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝3，∠DAB＝60°，則·＝　　　　.
通性通法
求含向量線性運算的數量積的一般方法
　　運用向量數量積的運算律及多項式乘法展開化簡，使其轉化為兩個單一向量的數量積求解.對幾何圖形中向量的數量積的運算應先利用向量的線性運算及運算律將其轉化為兩向量數量積的和、差形式，再進行實數運算.
【跟蹤訓練】
1.（2024·江蘇海門中學月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝，a與b的夾角為，則（a＋b）·（2a－b）＝（　　）
A.2　　　B.8　　　C.　 　D.5＋
2.（2024·蘇州盛澤中學月考）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，點E在線段CB的延長線上，且AE＝BE，則·＝　　　　.
題型二 向量的夾角與模
【例2】　已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61.
（1）求a與b的夾角θ；
（2）求｜a＋b｜.
通性通法
1.求向量模的一般思路及常用公式
2.求向量a，b的夾角θ的思路
（1）求向量的夾角的關鍵是計算a·b及｜a｜｜b｜，在此基礎上結合數量積的定義或性質計算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值；
（2）在個別含有｜a｜，｜b｜與a·b的等量關系式中，常利用消元思想計算cos θ的值.
【跟蹤訓練】
1.（2024·江蘇啟動中學月考）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝2，若a與b的夾角為，則｜a＋b｜＝（　　）
A.1　 　B.　 　C.　 　D.
2.已知a，b是非零向量，且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是（　　）
A. B.
C. D.
題型三 與垂直有關的問題
【例3】　已知非零向量m，n滿足4｜m｜＝3｜n｜，m與n夾角的余弦值為，若n⊥（tm＋n），則實數t的值為（　　）
A.4 B.－4
C. D.－
通性通法
求解向量垂直問題的一般思路
　　對于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性質，其作用主要有：（1）證明兩向量垂直；（2）利用a·b＝0列方程求未知數的值；（3）解決平面幾何圖形中有關垂直的問題.
【跟蹤訓練】
1.（2024·連云港贛榆期中）在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且（a－b）⊥c，則△ABC的形狀是（　　）
A.等邊三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
2.已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－b），則向量a與b夾角的大小為　　　　.
1.已知向量a，b滿足｜a｜＝1，a·b＝－1，則a·（2a－b）＝（　　）
A.4 B.3 C.2 D.0
2.（2024·揚州邗江一中月考）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝，且｜a－b｜＝2，則a·b＝（　　）
A.－1 B.0 C.1 D.2
3.（2024·連云港惠澤高中月考）已知向量a，b的夾角為60°，且｜a｜＝3，｜a＋b｜＝，則｜b｜＝　　　　.
4.已知a，b均為單位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－，則a與b夾角的大小為　　　　.
第2課時　向量數量積的運算律及性質
【基礎知識·重落實】
知識點
1.（1）b·a　（2）λ（a·b）　（3）a·c＋b·c　2.a2＋2a·b＋b2　a2－b2
自我診斷
1.－65　解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65.
2.　解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.設a與b的夾角為θ，∴cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
3.2　解析：｜a－4b｜＝＝＝＝2.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）ACD　（2）－7
解析：（1）對于A，根據數量積的分配律知A正確；對于B，∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，∴（b·c）·a－（c·a）·b與c垂直，故B錯誤；對于C，∵a，b不共線，∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜組成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，故C正確；D正確.故選A、C、D.
（2）因為＝＋，＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－＝9－16＝－7.
跟蹤訓練
1.B　因為a·b＝2×cos＝3，所以（a＋b）·（2a－b）＝2｜a｜2＋a·b－｜b｜2＝8＋3－3＝8.故選B.
2.－1　解析：如圖，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝∠EAB＝30°.又AB＝2，所以AE＝BE＝2.因為＝－，所以·＝·（－）＝·－·＝2×5×cos 60°－2×2×cos 30°＝－1.
【例2】　解：（1）由（2a－3b）·（2a＋b）＝61，得4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61.
將｜a｜＝4，｜b｜＝3代入上式，得a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
（2）因為｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2
＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝13，
所以｜a＋b｜＝.
跟蹤訓練
1.D　因為｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，所以｜a＋b｜＝.故選D.
2.B　由題可得（a－2b）·a＝0，即a2＝2a·b，（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，所以a2＝b2，｜a｜＝｜b｜. 設a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝. 因為θ∈[0，π]，所以a與b的夾角為.
【例3】　B　由題意知，＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因為n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.
跟蹤訓練
1.C　c＝＝－＝－a－b，由（a－b）⊥c得，（a－b）·c＝0，即（a－b）·（－a－b）＝0，化簡得，｜a｜2－｜b｜2＝0，即｜a｜＝｜b｜，△ABC是等腰三角形.故選C.
2.60°　解析：設a與b的夾角為θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a與b的夾角為60°.
隨堂檢測
1.B　a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3.
2.C　｜a－b｜＝2得（a－b）2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，所以1－2a·b＋5＝4，所以a·b＝1.故選C.
3.1　解析：∵a，b的夾角為60°，｜a｜＝3，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝｜b｜，又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝9＋2×（｜b｜）＋｜b｜2＝13，即｜b｜2＋3｜b｜－4＝0，解得｜b｜＝1或｜b｜＝－4（舍去）.
4.30°　解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
3 / 3(共59張PPT)
第2課時　
向量數量積的運算律及性質
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　我們已經知道，很多運算都滿足一定的運算律.例如，向量的加
法滿足交換律，數乘向量對加法滿足分配律，即對任意向量a，b以
及實數λ，有a＋b＝b＋a，λ（a＋b）＝λa＋λb.
【問題】　根據向量數量積的定義，向量數量積的運算滿足哪些
運算律？
知識點　向量數量積的運算律
1. 向量數量積的運算律
對于向量a，b，c和實數λ，有
（1）交換律：a·b＝ ；
（2）數乘結合律：（λa）·b＝a·（λb）＝ ＝
λa·b；
b·a　
λ（a·b）　
（3）分配律：（a＋b）·c＝ .
a·c＋b·c　
提醒　（1）向量的數量積不滿足消除律：若a，b，c均為
非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）
（a·b）·c≠a·（b·c），因為a·b，b·c是數量積，是實
數，不是向量，所以（a·b）·c與向量c共線，a·（b·c）與
向量a共線，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情況下不
成立.
2. 平面向量數量積的運算性質
類比多項式的乘法公式，寫出下表中的平面向量數量積的運算
性質.
多項式乘法 向量數量積
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝
（a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2a·b＋b2
（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝

（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋
2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋
2a·b＋2b·c＋2c·a
a2＋2a·b＋b2　
a2－
b2　
1. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，則（2a－3b）·（2a＋3b）＝
.
解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65.
－
65　
2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且（a＋b）與a 垂直，則a與b的
夾角是 .
解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.設a與b
的夾角為θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，
∴θ＝ .
　

解析：｜a－4b｜＝ ＝ ＝
＝2 .
2 　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 向量的數量積的運算律及性質
【例1】　（1）（多選）設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互
不共線，給出下列結論，正確的是（　ACD　）
A. a·c－b·c＝（a－b）·c
B. （b·c）·a－（c·a）·b不與c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
ACD
解析： 對于A，根據數量積的分配律知A正確；對于B，∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，∴（b·c）·a－（c·a）·b與c垂直，故B錯誤；對于C，∵a，b不共線，∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜組成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，故C正確；D正確.故選A、C、D.
（2）（2024·揚州月考）如圖，在 ABCD中，｜ ｜＝4，｜
｜＝3，∠DAB＝60°，則 · ＝ .
解析： 因為 ＝ ＋ ， ＝ －
，所以 · ＝（ ＋ ）·（ －
）＝ － ＝9－16＝－7.
－7　
通性通法
求含向量線性運算的數量積的一般方法
　　運用向量數量積的運算律及多項式乘法展開化簡，使其轉化為兩
個單一向量的數量積求解.對幾何圖形中向量的數量積的運算應先利
用向量的線性運算及運算律將其轉化為兩向量數量積的和、差形式，
再進行實數運算.
【跟蹤訓練】
1. （2024·江蘇海門中學月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝ ，a與b
的夾角為 ，則（a＋b）·（2a－b）＝（　　）
A. 2 B. 8
解析： 　因為a·b＝2× cos ＝3，所以（a＋b）·（2a－b）
＝2｜a｜2＋a·b－｜b｜2＝8＋3－3＝8.故選B.
√
2. （2024·蘇州盛澤中學月考）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝
2 ，AD＝5，∠BAD＝30°，點E在線段CB的延長線上，且
AE＝BE，則 · ＝ .
解析：如圖，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝
∠ABE＝∠EAB＝30°.又AB＝2 ，所以AE＝
BE＝2.因為 ＝ － ，所以 · ＝
·（ － ）＝ · － · ＝2×5× cos
60°－2×2 × cos 30°＝－1.
－1　
題型二 向量的夾角與模
【例2】　已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝
61.
（1）求a與b的夾角θ；
解： 由（2a－3b）·（2a＋b）＝61，得4｜a｜2－4a·b
－3｜b｜2＝61.
將｜a｜＝4，｜b｜＝3代入上式，得a·b＝－6，
所以 cos θ＝ ＝ ＝－ .
又0≤θ≤π，所以θ＝ .
（2）求｜a＋b｜.
解： 因為｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2
＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝13，
所以｜a＋b｜＝ .
通性通法
1. 求向量模的一般思路及常用公式
2. 求向量a，b的夾角θ的思路
（1）求向量的夾角的關鍵是計算a·b及｜a｜｜b｜，在此基礎上
結合數量積的定義或性質計算 cos θ＝ ，最后借助
θ∈[0，π]，求出θ值；
（2）在個別含有｜a｜，｜b｜與a·b的等量關系式中，常利用消
元思想計算 cos θ的值.
【跟蹤訓練】
1. （2024·江蘇啟動中學月考）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜
＝2，若a與b的夾角為 ，則｜a＋b｜＝（　　）
A. 1
解析： 　因為｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2× ＝
7，所以｜a＋b｜＝ .故選D.
√
2. 已知a，b是非零向量，且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，
則a與b的夾角是（　　）
√
解析： 由題可得（a－2b）·a＝0，即a2＝2a·b，
（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，所以a2＝b2，｜a｜＝｜b｜.
設a，b的夾角為θ，則 cos θ＝ ＝ ＝ . 因為
θ∈[0，π]，所以a與b的夾角為 .
題型三 與垂直有關的問題
【例3】　已知非零向量m，n滿足4｜m｜＝3｜n｜，m與n夾角的
余弦值為 ，若n⊥（tm＋n），則實數t的值為（　　）
A. 4 B. －4
√
解析： 由題意知， ＝ ＝ ，所以m·n＝ ｜n｜2
＝ n2，因為n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即 tn2＋n2＝
0，所以t＝－4.
通性通法
求解向量垂直問題的一般思路
　　對于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性
質，其作用主要有：（1）證明兩向量垂直；（2）利用a·b＝0列方
程求未知數的值；（3）解決平面幾何圖形中有關垂直的問題.
【跟蹤訓練】
1. （2024·連云港贛榆期中）在△ABC中，若 ＝a， ＝b，
＝c，且（a－b）⊥c，則△ABC的形狀是（　　）
A. 等邊三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　c＝ ＝ － ＝－a－b，由（a－b）⊥c得，
（a－b）·c＝0，即（a－b）·（－a－b）＝0，化簡得，｜a｜2
－｜b｜2＝0，即｜a｜＝｜b｜，△ABC是等腰三角形.故選C.
√
2. 已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－
b），則向量a與b夾角的大小為 .
解析：設a與b的夾角為θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝
3a2＋5a·b－2b2＝3＋10 cos θ－8＝0，所以 cos θ＝ ，又
0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a與b的夾角為60°.
60°　
1. 已知向量a，b滿足｜a｜＝1，a·b＝－1，則a·（2a－b）＝
（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 0
解析： 　a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3.
√
2. （2024·揚州邗江一中月考）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜
＝ ，且｜a－b｜＝2，則a·b＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 　｜a－b｜＝2得（a－b）2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，
所以1－2a·b＋5＝4，所以a·b＝1.故選C.
√
3. （2024·連云港惠澤高中月考）已知向量a，b的夾角為60°，且｜
a｜＝3，｜a＋b｜＝ ，則｜b｜＝ .
解析：∵a，b的夾角為60°，｜a｜＝3，∴a·b＝｜a｜｜b｜
cos 60°＝ ｜b｜，又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝9＋
2×（ ｜b｜）＋｜b｜2＝13，即｜b｜2＋3｜b｜－4＝0，解
得｜b｜＝1或｜b｜＝－4（舍去）.
1　
4. 已知a，b均為單位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－ ，則a
與b夾角的大小為 .
解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－
3a·b＝－ ，∴a·b＝ .設a與b的夾角為θ，則 cos θ＝
＝ .又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
30°　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. （2024·江蘇泰州中學期中）已知單位向量e1，e2的夾角為120°，
則（2e1－e2）·e2＝（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 　（2e1－e2）·e2＝2e1·e2－ ＝2｜e1｜·｜e2｜ cos
120°－｜e2｜2＝2×1×1×（－ ）－12＝－2.故選A.
√
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2. 若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a與a－b的夾角為60°，則｜a＋
b｜＝（　　）
C. 7 D. 3
√
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解析： 　∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a與a－b的夾角為60°，
∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）
＝｜a｜2－a·b＝1×1× ＝ ，即a·b＝ ，可得｜b｜＝1，
∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2× ＋1＝3，即｜a
＋b｜＝ .故選B.
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3. 已知非零向量a，b滿足（a＋b）⊥（a－b），則（　　）
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a⊥b D. a∥b
解析： 　∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝
0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜.故選B.
√
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4. 設向量a，b滿足｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ ，則a·b＝
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
解析： 　｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－
2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故選A.
√
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5. 若O為△ABC所在平面內任一點，且滿足（ － ）·（ ＋
－2 ）＝0，則△ABC的形狀為（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　因為（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，即
·（ ＋ ）＝0，又因為 － ＝ ，所以（ －
）·（ ＋ ）＝0，即｜ ｜＝｜ ｜，所以△ABC是等
腰三角形.
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6. （多選）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，向量a，b滿足
＝2a， ＝2a＋b，下列結論正確的是（　　）
A. a是單位向量
C. a·b＝1
√
√
√
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解析： 　對于A，因為｜ ｜＝2， ＝2a，所以｜a｜＝
＝1，即a是單位向量，故A正確；對于B，因為 ＝ －
＝2a＋b－2a＝b，所以 ∥b，故B正確；對于C，由 ＝
2a＋b，得 ＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b
＝－ ＝－1≠1，故C錯誤；對于D，因為 ＝b， ·（4a＋
b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以 ⊥（4a＋b）， 故D
正確.故選A、B、D.
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7. 設單位向量a，b的夾角的余弦值為－ ，則（2a－b）·（a＋b）
＝ .
解析：因為 cos ＜a，b＞＝－ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜
a，b＞＝－ ，則（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－
－1＝ .
　
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8. 設非零向量a，b，c滿足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，則
a與b的夾角θ＝ .
解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜
b｜，兩邊平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝
－｜a｜2，則2｜a｜｜b｜ cos θ＝－｜a｜2，∴ cos θ＝－ .又
0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
120°　
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9. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a與b的夾角為 ，若向量2a＋kb與a
＋b垂直，則實數k的值為 .
解析：a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝2×1× ＝1.因為2a＋kb與a＋
b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b
＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
－5　
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10. （2024·南京六校聯合體期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝2，a與b
的夾角是60°.
（1）計算a·b，｜a＋b｜；
解： 由題可得a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝2×2× ＝2，
｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，∴｜a＋
b｜＝2 .
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（2）求a＋b和a的夾角的余弦值.
解： ∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝4＋2＝6，
設a＋b和a的夾角為θ，
∴ cos θ＝ ＝ ＝ .
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11. 已知向量a，b滿足｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，則｜a｜｜
b｜的最大值是（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 　∵｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，∴｜a＋b｜2＋｜a
－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2＝20.∴｜a｜2＋｜b｜2＝10.∵（a
－b）2≥0，∴｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜.∴｜a｜｜b｜
≤5.∴｜a｜｜b｜的最大值為5.故選C.
√
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12. （多選）（2024·揚州紅橋高中期中）已知向量｜a｜＝1，｜b｜
＝2，它們的夾角為60°，則（　　）
A. a·b＝1
D. 向量a與向量a－b的夾角為90°
√
√
√
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解析： 對于A，a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝1×2× ＝
1，故A正確；對于B，｜2a＋b｜＝ ＝
＝2 ，故B正確；對于C，｜2a－b｜＝
＝ ＝2，故C錯誤；對于D，a·（a－
b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正確.故選
A、B、D.
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13. 如圖，圓M為△ABC的外接圓，AB＝4，AC＝6，N為邊BC的
中點，則 · ＝ .
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解析：∵N是BC邊的中點，可得 ＝ （ ＋ ），∵M是
△ABC的外接圓的圓心，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos
∠BAM＝ ｜ ｜2＝ ×42＝8，同理可得 · ＝ ｜ ｜2
＝18，∴ · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＋ ·
＝ ×8＋ ×18＝13.
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14. （2024·徐州豐縣中學月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝4，且｜a
＋b｜＝2 .
（1）求a與b的夾角；
解： 由題意知，｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝12，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，所以a·b＝－4，
所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，
又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，即a與b的夾
角為 .
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（2）求｜a－2b｜的值；
解： 由（1）知a·b＝－4，所以｜a－2b｜2＝a2－
4a·b＋4b2＝84，故｜a－2b｜＝2 .
（3）若（2a－b）⊥（a＋kb），求實數k的值.
解： 由（2a－b）⊥（a＋kb），得（2a－b）·（a
＋kb）＝0，即2a2＋2ka·b－a·b－kb2＝0，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，所以8－8k＋4－16k
＝0，解得k＝ .
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15. 如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F在CD邊上運動（含C，D點）.
（1）若點F是CD上靠近點C的三等分點，設 ＝λ ＋μ ，求λ＋μ的值；
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解： ∵E是BC的中點，點F是CD上靠近點C的三等分點，
∴ ＝ ＝ ， ＝－ ＝－ ，
∴ ＝ ＋ ＝－ ＋ ，
又 ＝λ ＋μ ，
∴λ＝－ ，μ＝ ，故λ＋μ＝－ ＋ ＝ .
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（2）若AB＝2，當 · ＝1時，求 cos ∠EAF的值.
解： 設 ＝m （0≤m≤1），
則 ＝ ＋ ＝ －m ，
又 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ·
＝0，
∴ · ＝（ ＋ ）·（ －
m ）＝－m ＋ ＝－4m＋2＝1，
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故m＝ .
∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋
＝3＋2＝5，
易得｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
∴ cos ∠EAF＝ ＝ ＝ .
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謝 謝 觀 看！

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