資源簡介

9.3.1　平面向量基本定理
1.如圖，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　）
A.－2e1－4e2
B.－4e1－2e2
C.e2－3e1
D.－e2＋3e1
2.（2024·無錫月考）已知非零向量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ（λ∈R），則x，y滿足的關(guān)系式是（　　）
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
3.在△ABC中，＝，DE∥BC，且與AC相交于點(diǎn)E，△ABC的中線AM與DE相交于點(diǎn)N，設(shè)＝a，＝b，則用a，b表示＝（　　）
A.（a－b） B.（b－a）
C.（a－b） D.（b－a）
4.在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為（　　）
A.平行四邊形 B.矩形
C.梯形 D.菱形
5.（多選）如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（　　）
A.a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α內(nèi)的所有向量
B.對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對（λ，μ）有無窮多個(gè)
C.若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則＝
D.若存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0
6.（多選）點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的中點(diǎn)，且＝a，＝b，則有（　　）
A.＝－a－b B.＝a－b
C.＝a＋b D.＝－a
7.在四邊形ABCD中，與平行，P是BC的中點(diǎn)，AP∩DC＝Q，則＝　　　　（用，表示）.
8.在△ABC中，D是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若＝x＋y，則x＝　　　　.
9.（2024·淮安月考）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，｜｜＝6，｜｜＝4.若點(diǎn)M，N滿足＝3，＝2，則·＝　　　　.
10.設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
（1）證明：a，b可以作為一組基底；
（2）以a，b為基底表示向量c＝3e1－e2.
11.在△ABC中，P是BC邊的中點(diǎn)，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＋a＋b＝0，則△ABC的形狀為（　　）
A.直角三角形
B.鈍角三角形
C.等邊三角形
D.等腰三角形但不是等邊三角形
12.（多選）如圖所示，點(diǎn)A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，若＝λ，＝μ＋3μ，則（　　）
A.P為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，μ＝
B.P為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，μ＝
C.無論μ取何值，恒有λ＝
D.存在μ∈R，λ＝
13.（2024·常州月考）已知在△ABC中，點(diǎn)O滿足＋＋＝0，點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且＝m＋n，則m＋n的取值范圍是　　　　.
14.如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.
（1）求CD的長；
（2）求·的值.
15.（2024·揚(yáng)州質(zhì)檢）已知O是線段AB外一點(diǎn)，若＝a，＝b.
（1）設(shè)點(diǎn)G是△OAB的重心，證明：＝（a＋b）；
（2）設(shè)點(diǎn)A1，A2是線段AB的三等分點(diǎn)，△OAA1，△OA1A2及△OA2B的重心依次為G1，G2，G3，試用向量a，b表示＋＋；
（3）如果在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，請你寫出一個(gè)正確的結(jié)論？（不必證明）
說明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評分.
9.3.1　平面向量基本定理
1.C　如圖所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故選C.
2.A　∵＝λ，∴－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ＝＋，∴∴x＋y－2＝0.故選A.
3.D　如圖所示，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝×＝（b－a）.故選D.
4.C　因?yàn)椋剑絘＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC.故四邊形ABCD為梯形.選C.
5.BC　由平面向量的基本定理可知，A、D是正確的；對于B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底確定，那么同一平面內(nèi)任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的；對于C，當(dāng)λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0時(shí)，結(jié)論不成立.故選B、C.
6.AD　如圖，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正確；＝＋＝a＋b，故B錯(cuò)誤；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋（－b－a）＝－a＋b，故C錯(cuò)誤；＝＝－a，故D正確.故選A、D.
7.2＋　解析：＝2＝2（＋）＝2＋.
8.－　解析：因?yàn)镈是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以＝＋.又E為AD的中點(diǎn)，所以＝－＝（＋）－＝－＋.所以x＝－.
9.9　解析：考慮以，為基底來計(jì)算.∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝（＋）·（－＋）＝－＝×36－×16＝9.
10.解：（1）證明：假設(shè)a＝λb（λ∈R），
則e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共線，得方程組無解，
所以λ不存在.
故a與b不共線，可以作為一組基底.
（2）設(shè)c＝ma＋nb（m，n∈R），
則3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
11.C　因?yàn)镻是BC邊的中點(diǎn)，所以＝－＝－－.因?yàn)閏＋a＋bPB＝0，所以c（－－）＋a＋b＝0.所以（a－c）＋（b－c）＝0.因?yàn)榕c不共線，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC為等邊三角形.
12.AC　＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因?yàn)榕c共線，所以＝，解得λ＝，故C正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)P為線段OC中點(diǎn)時(shí)，則＝＝μ＋×3μ，則1－λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正確，B錯(cuò)誤.故選A、C.
13.（－2，0）　解析：依題意，設(shè)＝λ（0＜λ＜1），由＋＋＝0，知＝－（＋），所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.
14.解：（1）因?yàn)椋?，
所以＝，
所以＝－＝－，
所以｜｜＝
＝
＝＝，
即CD的長為.
（2）＝－＝－＋
＝－（－）＋
＝＋，
所以·＝·（＋）＝＋·＝＋×2×3×＝.
15.解：（1）證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為E，則＝＝×（a＋b）＝（a＋b）.
（2）點(diǎn)A1，A2是線段AB的三等分點(diǎn)，
＝（＋），＝（＋），＝（＋），
則＋＋＝（a＋b）＋（＋）＝（a＋b）＋［a＋（b－a）＋a＋（b－a）］＝a＋b.
（3）設(shè)A1是AB的二等分點(diǎn)，則＝（a＋b），＋＝（＋）＋（＋）＝（a＋b）＋＝（a＋b）＋×（a＋b）＝（a＋b），
設(shè)A1、A2、A3是線段AB的四等分點(diǎn)，則＋＋＝（a＋b），
或設(shè)A1、A2、…、An－1是線段AB的n等分點(diǎn)，則＋＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
設(shè)A1、A2、…、An－1是線段AB的n等分點(diǎn)，則＋＋…＋＝（a＋b），
設(shè)A1、A2、…、An－1是線段AB的n等分點(diǎn)，則＋＋…＋＝（a＋b）.
3 / 39.3.1　平面向量基本定理
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過具體實(shí)例抽象出平面向量基本定理 數(shù)學(xué)抽象
2.理解平面向量基本定理的含義，了解基底的含義 數(shù)學(xué)抽象
3.能應(yīng)用平面向量基本定理解決相應(yīng)問題 邏輯推理
木塊放置在斜面上，設(shè)F1是垂直于斜面向下的力，F(xiàn)2是平行于斜面向下的力，則G＝F1＋F2（如圖），即重力G分解為力F1和F2，從而G可以用力F1和F2來表示.這里F1和F2是不共線的兩個(gè)力.
【問題】　平面內(nèi)任一向量是否都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　平面向量基本定理
1.定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)　　　　　的向量，那么對于這一平面內(nèi)的　　　向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝　　　　　.
2.基底：兩個(gè)　　　　　的向量e1，e2叫作這個(gè)平面的一組　　　　.
提醒　（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為一組基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底給定時(shí)，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)值.
知識(shí)點(diǎn)二　平面向量的正交分解
　平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e1，e2表示成a＝　　 　　的形式.我們稱λ1e1＋λ2e2為向量a的分解.當(dāng)e1，e2所在直線　　　 　時(shí)，這種分解也稱為向量a的　　　　 　.
【想一想】
平面向量基本定理與前面所學(xué)的向量共線定理，在內(nèi)容和表述形式上有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？
1.下列說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可組成表示該平面所有向量的一組基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對不共線向量可組成該平面所有向量的基底；③零向量不能作為基底向量.
A.0　　　　　　　 B.1
C.2 D.3
2.（多選）若向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中不能作為一組基底的是（　　）
A.e1－e2，e2－e1 B.e1－e2，e1＋e2
C.2e2－e1，－2e2＋e1 D.2e1＋e2，4e1＋2e2
3.如圖所示，向量可用向量e1，e2表示為　　　　.
題型一 平面向量基本定理的理解
【例1】　（1）設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是　　　　（填序號(hào)）；
（2）（2024·鎮(zhèn)江月考）已知a，b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，則x－y＝　　　　.
通性通法
對基底的理解
（1）兩個(gè)向量能否作為一組基底，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線.若共線，則不能作基底，反之，則可作基底；
（2）一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來.設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（多選）設(shè)點(diǎn)O是 ABCD兩對角線的交點(diǎn)，下列的向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（　　）
A.與　　　　 B.與
C.與 D.與
2.已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為　　　　.
題型二 用基底表示向量
【例2】　（鏈接教科書第27頁例1）如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示，.
通性通法
用基底表示向量的兩種基本方法
（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到用基底表示為止；
（2）通過列向量方程（組），利用基底表示向量的唯一性求解，即若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，則來構(gòu)建方程（組），使得問題獲解.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.如圖，在正方形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則以a，b為基底時(shí)，可表示為　　　　，以a，c為基底時(shí)，可表示為　　　　.
2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點(diǎn)，試用＝e1，＝e2表示.
題型三 平面向量基本定理的應(yīng)用
【例3】　（1）（鏈接教科書第29頁練習(xí)3題）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是邊CD上靠近D的三等分點(diǎn)，連接BF交AC于點(diǎn)E，若＝m＋n（m，n∈R），則m＋n＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
（2）用向量法證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).
通性通法
平面向量基本定理的應(yīng)用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一個(gè)基底，對平面內(nèi)任一向量都可以沿這個(gè)基底的兩個(gè)不共線向量的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是選擇一個(gè)基底并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算解決問題.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2024·南京月考）已知△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝4＝r＋s，則3r＋s＝（　　）
A. B.
C. D.
2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值.
1.如圖所示，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的是（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
2.在△ABC中，＝c，＝b，若點(diǎn)D滿足＝2，以b，c作為基底，則＝（　　）
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
3.（2024·徐州月考）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為線段AM的中點(diǎn)，＝λ＋μ，求λ＋μ＝　　　　.
9.3.1　平面向量基本定理
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.不共線　任一　λ1e1＋λ2e2　2.不共線　基底　
知識(shí)點(diǎn)二
　λ1e1＋λ2e2　互相垂直　正交分解
想一想
　提示：由平面向量共線定理可知，任意一個(gè)向量可以用一個(gè)與它共線的非零向量來線性表示，而且這種表示是唯一的.因此平面向量基本定理是向量共線定理的推廣，它們都是向量分解“唯一性”定理.
自我診斷
1.C　因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)的基底不唯一，即可以有無數(shù)對不共線向量組成該平面的基底，所以說法①不正確，說法②正確；因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量都共線，所以它不能作為基底中的向量，說法③正確.故選C.
2.ACD　不共線的向量能作為基底，對于A，因?yàn)閑1－e2＝－（e2－e1），所以向量e1－e2，e2－e1共線，故A正確；對于B，e1－e2與e1＋e2不共線，能作為一組基底，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?e2－e1＝－（－2e2＋e1），所以2e2－e1，－2e2＋e1共線，故C正確；對于D，因?yàn)?e1＋e2＝（4e1＋2e2），所以2e1＋e2，4e1＋2e2共線，故D正確.故選A、C、D.
3.4e1＋3e2　解析：如圖，＝3e2，＝4e1，∴＝4e1＋3e2.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）①②④　（2）3　解析：（1）①設(shè)e1＋e2＝λe1（λ∈R），則無解，∴e1＋e2與e1不共線，即e1，e1＋e2能作為一組基底；②設(shè)e1－2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），則e1－2e2＝－2ke1＋ke2，∴無解，∴e1－2e2與e2－2e1不共線，即e1－2e2，e2－2e1能作為一組基底；③∵e1－2e2＝－（4e2－2e1），∴e1－2e2與4e2－2e1共線，即e1－2e2，4e2－2e1不能作為一組基底；④設(shè)e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），則e1＋e2＝ne1－ne2，∴無解，∴e1＋e2與e1－e2不共線，即e1＋e2，e1－e2能作為一組基底.
（2）因?yàn)閍，b是一組基底，所以a與b不共線，由平面向量基本定理得所以所以x－y＝3.
跟蹤訓(xùn)練
1.AC　尋找不共線的向量組即可，在 ABCD中，與不共線，與不共線；而∥，∥，故A、C選項(xiàng)可作為基底.
2.（－∞，4）∪（4，＋∞）　解析：若a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線，則a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（－∞，4）∪（4，＋∞）.
【例2】　解：法一　設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，
則有＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
法二　設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng).
又所以
解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
跟蹤訓(xùn)練
1.a＋b　2a＋c　解析：以a，b為基底時(shí)，＝＋＝a＋b；以a，c為基底時(shí)，將平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形法則即得＝2a＋c.
2.解：＝－＝e1－e2，
因?yàn)镈，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點(diǎn)，
所以＝＝（e1－e2），
所以＝＋＝e2＋（e1－e2）＝e1＋e2.
【例3】　（1）C　∵△ABE∽△CFE，∴＝＝，∴＝，∴＝＝（－）＝［－－（－）］＝（－＋）＝－＋.又∵＝m＋n，∴m＝－1，n＝，∴m＋n＝－.故選C.
（2）證明：如圖，設(shè)＝a，＝b，D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，則＝a－b，＝a－b，＝－a＋b.
設(shè)AD與BE相交于點(diǎn)G1，且＝λ，＝μ，
則＝λa－b，＝－a＋μb.
因?yàn)椋剑剑?－）a＋（μ－1）b，
所以解得即＝.
再設(shè)AD與CF相交于點(diǎn)G2，
同理可得＝，
故點(diǎn)G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)，
故三角形的三條中線交于一點(diǎn).
跟蹤訓(xùn)練
1.C　如圖所示，＝－，＝－，∵＝4，∴－＝4（－），∴＝＋，∴＝（＋）－＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝3×－＝.故選C.
2.解：設(shè)＝e1，＝e2，
則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
隨堂檢測
1.B　由題圖可知與，與，與共線，不能作為基底，與不共線，可作為基底.故選B.
2.A　如圖，＝＋＝c＋（b－c）＝b＋c.故選A.
3.　解析：∵M(jìn)為BC邊上任意一點(diǎn)，∴可設(shè)＝x＋y（x＋y＝1）.∵N為線段AM的中點(diǎn)，∴＝＝x＋y＝λ＋μ.∴λ＋μ＝（x＋y）＝.
4 / 4(共64張PPT)
9.3.1　
平面向量基本定理
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過具體實(shí)例抽象出平面向量基本定理 數(shù)學(xué)抽象
2.理解平面向量基本定理的含義，了解基底的
含義 數(shù)學(xué)抽象
3.能應(yīng)用平面向量基本定理解決相應(yīng)問題 邏輯推理
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
木塊放置在斜面上，設(shè)F1是垂直于斜面向下的力，F(xiàn)2是平行于斜面向
下的力，則G＝F1＋F2（如圖），即重力G分解為力F1和F2，從而
G可以用力F1和F2來表示.這里F1和F2是不共線的兩個(gè)力.
【問題】　平面內(nèi)任一向量是否都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示？
知識(shí)點(diǎn)一　平面向量基本定理
1. 定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè) 的向量，那么對于
這一平面內(nèi)的 向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a
＝ .
2. 基底：兩個(gè) 的向量e1，e2叫作這個(gè)平面的一組
.
不共線　
任一　
λ1e1＋λ2e2　
不共線　
基
底　
提醒　（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都
可以作為一組基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；
（2）基底給定時(shí)，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確
定的數(shù)值.
知識(shí)點(diǎn)二　平面向量的正交分解
　平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e1，e2表示成a＝
的形式.我們稱λ1e1＋λ2e2為向量a的分解.當(dāng)e1，e2所在直
線 時(shí)，這種分解也稱為向量a的 .
λ1e1＋
λ2e2　
互相垂直　
正交分解　
【想一想】
平面向量基本定理與前面所學(xué)的向量共線定理，在內(nèi)容和表述形式上
有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？
提示：由平面向量共線定理可知，任意一個(gè)向量可以用一個(gè)與它共線
的非零向量來線性表示，而且這種表示是唯一的.因此平面向量基本
定理是向量共線定理的推廣，它們都是向量分解“唯一性”定理.
1. 下列說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可組成表示該平面所有向量的一
組基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)對不共線向量可組成該平面所有向量
的基底；③零向量不能作為基底向量.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)的基底不唯一，即可以有無數(shù)對不共線
向量組成該平面的基底，所以說法①不正確，說法②正確；因?yàn)榱?br/>向量與任一向量都共線，所以它不能作為基底中的向量，說法③正
確.故選C.
2. （多選）若向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中不
能作為一組基底的是（　　）
A. e1－e2，e2－e1 B. e1－e2，e1＋e2
C. 2e2－e1，－2e2＋e1 D. 2e1＋e2，4e1＋2e2
√
√
√
解析： 　不共線的向量能作為基底，對于A，因?yàn)閑1－e2＝－
（e2－e1），所以向量e1－e2，e2－e1共線，故A正確；對于B，e1
－e2與e1＋e2不共線，能作為一組基底，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?br/>2e2－e1＝－（－2e2＋e1），所以2e2－e1，－2e2＋e1共線，故C正
確；對于D，因?yàn)?e1＋e2＝ （4e1＋2e2），所以2e1＋e2，4e1＋
2e2共線，故D正確.故選A、C、D.
3. 如圖所示，向量 可用向量e1，e2表示為 .
解析：如圖， ＝3e2， ＝4e1，∴ ＝4e1＋3e2.
4e1＋3e2　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 平面向量基本定理的理解
【例1】　（1）設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：
①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2
與e1－e2.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是
（填序號(hào)）；
①②④　
解析： ①設(shè)e1＋e2＝λe1（λ∈R），則無解，
∴e1＋e2與e1不共線，即e1，e1＋e2能作為一組基底；②設(shè)e1－
2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），則e1－2e2＝－2ke1＋ke2，
∴無解，∴e1－2e2與e2－2e1不共線，即e1－2e2，
e2－2e1能作為一組基底；③∵e1－2e2＝－ （4e2－2e1），
∴e1－2e2與4e2－2e1共線，即e1－2e2，4e2－2e1不能作為一組
基底；④設(shè)e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），則e1＋e2＝ne1－
ne2，∴無解，∴e1＋e2與e1－e2不共線，即e1＋e2，
e1－e2能作為一組基底.
（2）（2024·鎮(zhèn)江月考）已知a，b是一組基底，實(shí)數(shù)x，y滿足（3x
－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，則x－y＝ .
解析： 因?yàn)閍，b是一組基底，所以a與b不共線，由平面
向量基本定理得所以所以x－y＝3.
3　
通性通法
對基底的理解
（1）兩個(gè)向量能否作為一組基底，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線.若
共線，則不能作基底，反之，則可作基底；
（2）一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由
這個(gè)基底唯一線性表示出來.設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線
的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （多選）設(shè)點(diǎn)O是 ABCD兩對角線的交點(diǎn)，下列的向量組中可作
為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是
（　　）
解析： 　尋找不共線的向量組即可，在 ABCD中， 與
不共線， 與 不共線；而 ∥ ， ∥ ，故A、C選項(xiàng)
可作為基底.
√
√
2. 已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作
為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為
.
解析：若a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線，則
a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴實(shí)
數(shù)λ的取值范圍為（－∞，4）∪（4，＋∞）.
（－∞，4）∪
（4，＋∞）　
題型二 用基底表示向量
【例2】　（鏈接教科書第27頁例1）如圖，在平行四邊形ABCD中，
設(shè) ＝a， ＝b，用a，b表示 ， .
解：法一　設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，
則有 ＝ ＝ ＝ a， ＝ ＝ ＝ b.
所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b，
＝ ＋ ＝ a＋ b.
法二　設(shè) ＝x， ＝y(tǒng)，則 ＝ ＝y(tǒng).
又所以
解得x＝ a－ b，y＝ a＋ b，
即 ＝ a－ b， ＝ a＋ b.
通性通法
用基底表示向量的兩種基本方法
（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到用基底
表示為止；
（2）通過列向量方程（組），利用基底表示向量的唯一性求解，即
若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，則來構(gòu)建方
程（組），使得問題獲解.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 如圖，在正方形ABCD中，設(shè) ＝a， ＝b， ＝c，則以
a，b為基底時(shí)， 可表示為 ，以a，c為基底時(shí)，
可表示為 .
a＋b　
2a＋c　
解析：以a，b為基底時(shí)， ＝ ＋ ＝a＋b；以a，c為基
底時(shí)，將 平移，使B與A重合，再由三角形法則或平行四邊形
法則即得 ＝2a＋c.
2. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點(diǎn)，試用
＝e1， ＝e2表示 .
解： ＝ － ＝e1－e2，
因?yàn)镈，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點(diǎn)，
所以 ＝ ＝ （e1－e2），
所以 ＝ ＋ ＝e2＋ （e1－e2）＝ e1＋ e2.
題型三 平面向量基本定理的應(yīng)用
【例3】　（1）（鏈接教科書第29頁練習(xí)3題）如圖，在正方形
ABCD中，F(xiàn)是邊CD上靠近D的三等分點(diǎn)，連接BF交AC于點(diǎn)E，若
＝m ＋n （m，n∈R），則m＋n＝（　　）
√
解析： 　∵△ABE∽△CFE，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ （ － ）＝ ［－ －（ － ）］
＝ （－ ＋ ）＝－ ＋ .又∵ ＝m ＋n ，
∴m＝－1，n＝ ，∴m＋n＝－ .故選C.
（2）用向量法證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).
證明：如圖，設(shè) ＝a， ＝b，D，E，F(xiàn)
分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，則 ＝a－b，
＝a－ b， ＝－ a＋b.
設(shè)AD與BE相交于點(diǎn)G1，且 ＝λ ， ＝μ ，
則 ＝λa－ b， ＝－ a＋μb.
因?yàn)?＝ ＋ ＝（1－ ）a＋（μ－1）b，
所以解得即 ＝ .
再設(shè)AD與CF相交于點(diǎn)G2，
同理可得 ＝ ，
故點(diǎn)G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)，
故三角形的三條中線交于一點(diǎn).
通性通法
平面向量基本定理的應(yīng)用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一個(gè)基底，對平面內(nèi)任一
向量都可以沿這個(gè)基底的兩個(gè)不共線向量的方向分解成兩個(gè)向
量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是選擇一個(gè)基底并運(yùn)用該基底將
條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算解決問題.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2024·南京月考）已知△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且 ＝4
＝r ＋s ，則3r＋s＝（　　）
√
解析： 　如圖所示， ＝ － ， ＝
－ ，∵ ＝4 ，∴ － ＝4（ －
），∴ ＝ ＋ ，∴ ＝（ ＋ ）－ ＝ － .又 ＝r ＋s ，∴r＝ ，s＝－ ，∴3r＋s＝3× － ＝ .故選C.
2. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值.
解：設(shè) ＝e1， ＝e2，
則 ＝ ＋ ＝－3e2－e1， ＝ ＋ ＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得 ＝λ ＝－λe1－3λe2， ＝μ
＝2μe1＋μe2.
故 ＝ ＋ ＝ － ＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
而 ＝ ＋ ＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得
解得
∴ ＝ ， ＝ ，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝ .
1. 如圖所示，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的是
（　　）
解析： 由題圖可知 與 ， 與 ， 與 共線，不能
作為基底， 與 不共線，可作為基底.故選B.
√
2. 在△ABC中， ＝c， ＝b，若點(diǎn)D滿足 ＝2 ，以b，c
作為基底，則 ＝（　　）
解析： 　如圖， ＝ ＋ ＝c＋ （b－c）
＝ b＋ c.故選A.
√
3. （2024·徐州月考）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為線
段AM的中點(diǎn)， ＝λ ＋μ ，求λ＋μ＝ .
解析：∵M(jìn)為BC邊上任意一點(diǎn)，∴可設(shè) ＝x ＋y （x＋y
＝1）.∵N為線段AM的中點(diǎn)，∴ ＝ ＝ x ＋ y ＝
λ ＋μ .∴λ＋μ＝ （x＋y）＝ .
　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 如圖，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　）
A. －2e1－4e2
B. －4e1－2e2
C. e2－3e1
D. －e2＋3e1
解析： 　如圖所示，a－b＝ ＝ － ＝e2
－3e1.故選C.
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2. （2024·無錫月考）已知非零向量 ， 不共線，且2 ＝x
＋y ，若 ＝λ （λ∈R），則x，y滿足的關(guān)系式是
（　　）
A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0
解析： 　∵ ＝λ ，∴ － ＝λ（ － ），即
＝（1＋λ） －λ ＝ ＋ ，∴∴x＋y
－2＝0.故選A.
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3. 在△ABC中， ＝ ，DE∥BC，且與AC相交于點(diǎn)E，
△ABC的中線AM與DE相交于點(diǎn)N，設(shè) ＝a， ＝b，則用
a，b表示 ＝（　　）
解析： 　如圖所示，∵DE∥BC，∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ × ＝ （b－a）.故選D.
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4. 在四邊形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－
3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為（　　）
A. 平行四邊形 B. 矩形
C. 梯形 D. 菱形
解析： 　因?yàn)?＝ ＋ ＋ ＝a＋2b－4a－b－5a－3b
＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2 ，即 ＝2 ，所以
AD∥BC且AD≠BC. 故四邊形ABCD為梯形.選C.
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5. （多選）如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法
中不正確的是（　　）
A. a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α內(nèi)的所有向量
B. 對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對（λ，μ）
有無窮多個(gè)
D. 若存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0
√
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解析： 　由平面向量的基本定理可知，A、D是正確的；對于
B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底確定，那么同一平
面內(nèi)任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的；對于C，當(dāng)λ1＝
λ2＝0或μ1＝μ2＝0時(shí)，結(jié)論不成立.故選B、C.
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6. （多選）點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的中
點(diǎn)，且 ＝a， ＝b，則有（　　）
√
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解析： 　如圖，在△ABC中， ＝ ＋ ＝
－ ＋ ＝－b－ a，故A正確； ＝ ＋
＝a＋ b，故B錯(cuò)誤； ＝ ＋ ＝－b－a，
＝ ＋ ＝b＋ （－b－a）＝－ a＋ b，故C錯(cuò)誤； ＝ ＝－ a，故D正確.故選A、D.
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7. 在四邊形ABCD中， 與 平行，P是BC的中點(diǎn)，AP∩DC＝
Q，則 ＝ （用 ， 表示）.
解析： ＝2 ＝2（ ＋ ）＝2 ＋ .
2 ＋ 　
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8. 在△ABC中，D是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若 ＝x ＋y ，則x＝ .
－ 　
解析：因?yàn)镈是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以 ＝ ＋
.又E為AD的中點(diǎn)，所以 ＝ － ＝ （ ＋
）－ ＝－ ＋ .所以x＝－ .
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9. （2024·淮安月考）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，｜ ｜＝
6，｜ ｜＝4.若點(diǎn)M，N滿足 ＝3 ， ＝2 ，則
· ＝ .
解析：考慮以 ， 為基底來計(jì)算.∵ ＝3 ， ＝
2 ，∴ ＝ ＋ ， ＝ － ＝－ ＋ ，
∴ · ＝（ ＋ ）·（－ ＋ ）＝ －
＝ ×36－ ×16＝9.
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10. 設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
（1）證明：a，b可以作為一組基底；
解： 證明：假設(shè)a＝λb（λ∈R），
則e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共線，得方程組無解，
所以λ不存在.
故a與b不共線，可以作為一組基底.
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（2）以a，b為基底表示向量c＝3e1－e2.
解： 設(shè)c＝ma＋nb（m，n∈R），
則3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1
＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
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11. 在△ABC中，P是BC邊的中點(diǎn)，角A，B，C的對邊分別是a，
b，c，若c ＋a ＋b ＝0，則△ABC的形狀為（　　）
A. 直角三角形
B. 鈍角三角形
C. 等邊三角形
D. 等腰三角形但不是等邊三角形
√
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解析： 　因?yàn)镻是BC邊的中點(diǎn)，所以 ＝ － ＝－ －
.因?yàn)閏 ＋a ＋bPB＝0，所以c（－ － ）＋a
＋b ＝0.所以（a－c） ＋（b－c） ＝0.因?yàn)?與
不共線，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC
為等邊三角形.
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12. （多選）如圖所示，點(diǎn)A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段OC與線
段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，若 ＝λ ， ＝μ ＋3μ ，
則（　　）
√
√
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解析： 　 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ －
）＝（1－λ） ＋λ ，因?yàn)?與 共線，所以 ＝
，解得λ＝ ，故C正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)P為線段OC中點(diǎn)時(shí)，則
＝ ＝ μ ＋ ×3μ ，則1－λ＝ μ，λ＝
×3μ，解得μ＝ ，故A正確，B錯(cuò)誤.故選A、C.
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13. （2024·常州月考）已知在△ABC中，點(diǎn)O滿足 ＋ ＋ ＝
0，點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且 ＝m ＋n ，則
m＋n的取值范圍是 .
解析：依題意，設(shè) ＝λ （0＜λ＜1），由 ＋ ＋
＝0，知 ＝－（ ＋ ），所以 ＝－λ －λ ，由
平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，
0）.
（－2，0）　
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14. 如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°， ＝
2 ， ＝2 .
（1）求CD的長；
解： 因?yàn)?＝2 ，所以 ＝ ，
所以 ＝ － ＝ － ，
所以｜ ｜＝
＝
＝
＝ ，即CD的長為 .
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（2）求 · 的值.
解： ＝ － ＝－ ＋
＝－ （ － ）＋
＝ ＋ ，
所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝
＋ · ＝ ＋ ×2×3× ＝ .
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15. （2024·揚(yáng)州質(zhì)檢）已知O是線段AB外一點(diǎn)，若 ＝a，
＝b.
（1）設(shè)點(diǎn)G是△OAB的重心，證明： ＝ （a＋b）；
解： 證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為E，則 ＝ ＝ ×
（a＋b）＝ （a＋b）.
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（2）設(shè)點(diǎn)A1，A2是線段AB的三等分點(diǎn)，△OAA1，△OA1A2及
△OA2B的重心依次為G1，G2，G3，試用向量a，b表示
＋ ＋ ；
解： 點(diǎn)A1，A2是線段AB的三等分點(diǎn)，
＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），
＝ （ ＋ ），
則 ＋ ＋ ＝ （a＋b）＋ （ ＋ ）＝
（a＋b）＋ ［a＋ （b－a）＋a＋ （b－a）］＝a＋b.
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（3）如果在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，請你寫出一個(gè)正確的結(jié)
論？（不必證明）
說明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評分.
解： 設(shè)A1是AB的二等分點(diǎn)，則 ＝ （a＋b），
＋ ＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ （a＋
b）＋ ＝ （a＋b）＋ × （a＋b）＝ （a＋b），
設(shè)A1、A2、A3是線段AB的四等分點(diǎn)，則 ＋ ＋
＝ （a＋b），
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或設(shè)A1、A2、…、An－1是線段AB的n等分點(diǎn)，則 ＋
＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
設(shè)A1、A2、…、An－1是線段AB的n等分點(diǎn)，則 ＋
＋…＋ ＝ （a＋b），
設(shè)A1、A2、…、An－1是線段AB的n等分點(diǎn)，則 ＋
＋…＋ ＝ （a＋b）.
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謝 謝 觀 看！

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