資源簡介

第1課時　向量線性運算的坐標表示
1.已知M（2，3），N（3，1）.則的坐標是（　　）
A.（2，－1） B.（－1，2）
C.（－2，1） D.（1，－2）
2.已知向量a＝（－2，4），b＝（1，－2），則a與b的關系是（　　）
A.不共線 B.相等
C.方向相同 D.方向相反
3.已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c滿足3a－2b＋c＝0，則c＝（　　）
A.（－23，－12） B.（23，12）
C.（7，0） D.（－7，0）
4.（2024·南通月考）在平行四邊形ABCD中，A（1，2），B（3，5），＝（－1，2），則＋＝（　　）
A.（－2，4） B.（4，6）
C.（－6，－2） D.（－1，9）
5.已知向量i＝（1，0），j＝（0，1），對平面內的任一向量a，下列結論中正確的是（　　）
A.存在唯一的一對實數x，y，使得a＝（x，y）
B.若x1，x2，y1，y2∈R，a＝（x1，y1）≠（x2，y2），則x1≠x2，且y1≠y2
C.若x，y∈R，a＝（x，y），且a≠0，則a的起點是原點O
D.若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是（x，y），則a＝（x，y）
6.（多選）已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），則以A，B，C為頂點的平行四邊形的另一個頂點D的坐標為（　　）
A.（4，5） B.（8，9）
C.（2，－1） D.（3，－1）
7.若a＝（2，1），b＝（－3，4），則a＋b＝　　　　，a－b＝　　　　，3a＋4b＝　　　　.
8.如圖所示，若向量e1，e2分別是x軸，y軸方向上的單位向量，則向量2a＋b在平面直角坐標系中的坐標為　　　　.
9.（2024·鹽城月考）在平面直角坐標系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），點C在第一象限內，∠AOC＝，且OC＝2，若＝λ＋μ，則λ＝　　　　，μ＝　　　　.
10.已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），以，為一組基底來表示＋＋.
11.如果將＝（ ，）繞原點O逆時針方向旋轉120°得到，則的坐標是（　　）
A.（ －，） B.（ ，－）
C.（－1，） D.（ －，）
12.（多選）（2024·鎮江月考）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若A，B，C為三角形的頂點，則實數m可以是（　　）
A.－2 B.
C.1 D.－1
13.如圖，在6×6的方格紙中，若起點和終點均在格點的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb（x，y∈R），則x＋y＝　　　　.
14.已知點A（2，3），B（5，4），＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若＝＋，試求λ為何值時：
（1）點P在第一、三象限的角平分線上；
（2）點P在第三象限內.
15.（2024·南京質檢）已知向量u＝（x，y）與向量v＝（y，2y－x）的對應關系用v＝f（u）表示.
（1）設a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）與f（b）的坐標；
（2）求使f（c）＝（p，q）（p，q為常數）的向量c的坐標；
（3）證明：對任意的向量a，b及常數m，n恒有f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
第1課時　向量線性運算的坐標表示
1.D　＝（3－2，1－3）＝（1，－2）.故選D.
2.D　∵a＝－2b，∴a與b方向相反.故選D.
3.A　由題意可得c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.故選A.
4.A　在平行四邊形ABCD中，因為A（1，2），B（3，5），所以＝（2，3）.又＝（－1，2），所以＝＋＝（1，5），＝－＝（－3，－1），所以＋＝（－2，4）.故選A.
5.A　對于A：平面向量的橫縱坐標是確定的，故A正確；對于B：如果兩個向量不相等，則其橫縱坐標不完全相等，即（x1，y1）≠（x2，y2），則x1≠x2或y1≠y2，故B錯誤；對于C：平面向量是可以平移的，所以起點不一定是坐標原點，故C錯誤；對于D：平面向量是由起點和終點坐標決定的，應該等于終點坐標減起點坐標，故D錯誤.故選A.
6.ABC　設點D的坐標為（x，y）.若是平行四邊形ABCD，則有＝，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所求頂點D的坐標為（4，5），所以A正確；若是平行四邊形ABDC，則有＝，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求頂點D的坐標為（8，9），所以B正確；若是平行四邊形ACBD，則有＝，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求頂點D的坐標為（2，－1），所以C正確.綜上，頂點D的坐標為（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故選A、B、C.
7.（－1，5）　（5，－3）　（－6，19）
解析：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），a－b＝（2，1）－（－3，4）＝（5，－3），3a＋4b＝3（2，1）＋4（－3，4）＝（6，3）＋（－12，16）＝（－6，19）.
8.（3，4）　解析：由題圖可知a＝e1＋，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝2＋（e1＋3e2）＝3e1＋4e2.所以向量2a＋b在平面直角坐標系中的坐標為（3，4）.
9.　1　解析：由題意，知＝（1，0），＝（0，1）.設C（x，y），則＝（x，y）.∵＝λ＋μ，∴（x，y）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ）.∴又∵∠AOC＝，OC＝2，∴λ＝x＝2cos ＝，μ＝y＝2sin ＝1.
10.解：∵＝（1，3），＝（2，4），＝（－3，5），＝（－4，2），＝（－5，1），
∴＋＋＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝（－12，8）.
根據平面向量基本定理，一定存在實數m，n，使得
＋＋＝m＋n，
∴（－12，8）＝m（1，3）＋n（2，4），
即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n），
∴解得
∴＋＋＝32－22.
11.D　因為＝所在直線的傾斜角為30°，繞原點O逆時針方向旋轉120°得到所在直線的傾斜角為150°，所以A，B兩點關于y軸對稱，由此可知B點坐標為，故的坐標是.故選D.
12.ABD　若A，B，C三點不共線即可作為三角形的頂點.因為＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假設A，B，C三點共線，則＝λ，即（m，m＋1）＝λ（1，2），即λ＝m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點即可作為三角形的頂點.故選A、B、D.
13.　解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，設小方格的邊長為1，則可得a＝（1，2），b＝（2，－3），c＝（3，4）.∵c＝xa＋yb，∴解得∴x＋y＝.
14.解：設點P的坐標為（x，y），
則＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
＋＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）
＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵＝＋，且與不共線，
∴則
（1）若點P在第一、三象限的角平分線上，
則5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
（2）若點P在第三象限內，則∴λ＜－1.
15.解：（1）∵a＝（1，1），b＝（1，0），
∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
（2）設c＝（a，b），則f（c）＝（b，2b－a）＝（p，q），
∴∴∴c＝（2p－q，p）.
（3）證明：設a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
則ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），
∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2－b1），
∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∴f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
2 / 2第1課時　向量線性運算的坐標表示
新課程標準解讀 核心素養
1.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示 數學抽象
2.會用坐標表示平面向量的加、減運算及數乘運算 數學運算
“三坐標雷達”亦稱一維電掃描雷達，可獲得目標的距離、方向和高度信息，比其他二坐標雷達（僅提供方位和距離信息的雷達）多提供了一維高度信息.此類雷達主要用于引導飛機進行截擊作戰和給武器系統提供目標指示數據.向量也可以利用平面或空間中的坐標來表示，平面向量的坐標有何運算規律呢？
【問題】　
如圖，向量i，j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且｜a｜＝4，以i，j為基底，如何表示向量a？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　向量的坐標表示
　在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個　　　　　　i，j作為基底，對于平面內的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對有序實數（x，y），使得a＝xi＋yj.我們把有序實數對（x，y）稱為向量a的（直角）坐標，記作a＝　　　　.
提醒　（1）表示點的坐標與表示向量的坐標不同，A（x，y），a＝（x，y）；（2）當向量的起點在原點時，向量的坐標與向量終點的坐標相同；（3）向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關.
【想一想】
對任一平面向量a，是否都有坐標與之對應？向量平移前后其坐標變化嗎？
知識點二　向量線性運算的坐標表示
1.已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和實數λ，那么：
（1）a＋b＝　　　　　　　　；
（2）a－b＝　　　　　　　　；
（3）λa＝　　　　　　.
2.若A（x1，y1），B（x2，y2），則＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝　　　　　　　　.即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去起點的坐標.
1.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.兩個向量的終點不同，則其坐標一定不同
B.若a＝b，則a，b坐標也相同
C.求向量的坐標需知道起點、終點的坐標
D.向量a＝（2，3）比向量b＝（－1，－2）大
2.已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），則向量2a－b的坐標為（　　）
A.（1，5）　　　　　　　 B.（3，3）
C.（0，3） D.（2，1）
3.已知向量＝（1，－4），＝（2，1），＝（m，n），則m＋n＝　　　　.
題型一 向量的坐標表示
【例1】　（鏈接教科書第30頁例1）如圖，已知O是坐標原點，點A在第一象限，｜｜＝4， ∠xOA＝60°，｜｜＝4，∠OAB＝120°，四邊形OABC為平行四邊形.
（1）求向量，的坐標；
（2）求向量的坐標；
（3）求點B的坐標.
通性通法
求點和向量坐標的常用方法
（1）求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標；
（2）在求向量坐標時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標.
【跟蹤訓練】
　如圖，在平面直角坐標系xOy中，｜｜＝2｜｜＝2，∠OAB＝，＝（－1，）.
（1）求點B，點C的坐標；
（2）求向量，的坐標.
題型二 向量線性運算的坐標表示
【例2】　（鏈接教科書第31頁例2）已知O為坐標原點，點A（－1，3），B（1，－3），C（4，1），D（3，4），a＝，b＝.
（1）求向量a，b，，的坐標；
（2）求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐標.
通性通法
平面向量坐標運算的技巧
（1）若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的運算法則進行；
（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算；
（3）向量的線性坐標運算可類比數的運算進行.
【跟蹤訓練】
已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：
（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3）a－b.
題型三 向量坐標運算的應用
【例3】　（鏈接教科書第32頁例4）已知P1（x1， y1）， P2（x2， y2）， P是直線P1P2上一點.
（1）當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
（2）當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.
通性通法
應用向量的坐標運算求解平面幾何問題的步驟
【跟蹤訓練】
如圖，已知 ABCD的三個頂點A，B，C的坐標分別是（－2，1），（－1，3），（3，4），求頂點D的坐標.
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.相等向量的坐標相同
B.平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標
C.一個坐標對應唯一的一個向量
D.平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應
2.（2024·連云港惠澤高中月考）已知向量a＝（2，4），a＋b＝（3，2），則b＝（　　）
A.（1，－2）　B.（1，2）　C.（5，6）　D.（2，0）
3. （2024·泉州月考）在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），點G（2，－1）在中線AD上，且＝2，則點C的坐標是　　　　.
4.已知點A（－1，2），B（2，8）及＝，＝－.求點C，D和的坐標.
第1課時　向量線性運算的坐標表示
【基礎知識·重落實】
知識點一
　單位向量　（x，y）
想一想
　提示：都有坐標與之對應，當向量確定以后，向量的坐標唯一確定，因此向量平移前后，其坐標不變.
知識點二
1.（1）（x1＋x2，y1＋y2）　（2）（x1－x2，y1－y2）　（3）（λx1，λy1）　2.（x2－x1，y2－y1）
自我診斷
1.BC
2.B　∵a＝（1，2），b＝（－1，1），∴2a－b＝2（1，2）－（－1，1）＝（2，4）－（－1，1）＝（3，3）.故選B.
3.0　解析：因為＝＋＝（1，－4）＋（2，1）＝（3，－3）＝（m，n），所以m＝3，n＝－3，則m＋n＝0.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）設點A（x， y），則x＝OA·cos 60°＝4×＝2，
y＝OA·sin 60°＝4×＝6.
即A（2，6），∴＝（2，6）.
∵∠AOC＝180°－120°＝60°，∠AOy＝30°，∴∠COy＝30°.
又∵OC＝｜｜＝4，∴C（－2，2），
∴＝＝.
（2）＝－＝.
（3）＝＋＝（2，6）＋＝（2－2，6＋2）.
∴點B的坐標為（2－2，6＋2）.
跟蹤訓練
　解：（1）在平面直角坐標系xOy中，設B（xB，yB），因為｜｜＝2｜｜＝2，所以A（2，0）.
又∠OAB＝，所以xB＝2＋cos（ π－）＝，yB＝0＋sin（π－）＝，
所以點B.
又＝（－1，），所以＝＋＝＝，
所以點C.
（2）由（1）可得，＝，
＝.
【例2】　解：（1）a＝＝（－1，3），b＝＝（1，－3），
＝－＝（1，－3），＝（3，4）－（4，1）＝（－1，3）.
（2）a＋b＝（－1，3）＋（1，－3）＝（0，0），
a－b＝（－1，3）－（1，－3）＝（－2，6），
3a＝3（－1，3）＝（－3，9），
2a＋3b＝2（－1，3）＋3（1，－3）＝（－2，6）＋（3，－9）＝（1，－3）.
跟蹤訓練
　解：（1）2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）
＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）.
（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）
＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）.
（3）a－b＝（－1，2）－（2，1）
＝－＝.
【例3】　解：（1）如圖①，由向量的線性運算可知＝（＋）＝（，）.
所以點P的坐標是（，）.
（2）當點P是線段P1P2的一個三等分點時，有兩種情況，即＝或＝2.
如果＝（圖②），那么
＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝（，），
即點P的坐標是（，）；
同理，如果＝2（圖③），那么點P的坐標是（，）.
跟蹤訓練
　解：法一　設頂點D的坐標為（x，y）.
因為＝（－1－（－2），3－1）＝（1，2），
＝（3－x，4－y），
又＝，
所以（1，2）＝（3－x，4－y），
即解得
所以頂點D的坐標為（2，2）.
法二　如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知＝＋＝（－2－（－1），1－3）＋（3－（－1），4－3）＝（3，－1），
而＝＋＝（－1，3）＋（3，－1）＝（2，2），
所以頂點D的坐標為（2，2）.
隨堂檢測
1.ABD　由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應無數個相等的向量，故C錯誤；A、B、D正確.故選A、B、D.
2.A　b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.故選A.
3.（－4，－2）　解析：設點C的坐標為（x，y），則點D的坐標為（，）.由＝2可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故點C的坐標為（－4，－2）.
4.解：∵A（－1，2），B（2，8），∴＝（2，8）－（－1，2）＝（3，6），＝＝（1，2），＝－＝＝（1，2）.
設O為坐標原點，
則＝＋＝（－1，2）＋（1，2）＝（0，4），
＝＋＝－＝（－1，2）－（1，2）＝（－2，0）.
∴C，D的坐標分別為（0，4），（－2，0）.
因此＝－＝（－2，0）－（0，4）＝（－2，－4）.
4 / 4(共62張PPT)
第1課時　
向量線性運算的坐標表示
新課程標準解讀 核心素養
1.借助平面直角坐標系，掌握平面向量
的正交分解及坐標表示 數學抽象
2.會用坐標表示平面向量的加、減運算
及數乘運算 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
“三坐標雷達”亦稱一維電掃描雷達，可獲得目標的距離、方向和高
度信息，比其他二坐標雷達（僅提供方位和距離信息的雷達）多提供
了一維高度信息.此類雷達主要用于引導飛機進行截擊作戰和給武器
系統提供目標指示數據.向量也可以利用平面或空間中的坐標來表
示，平面向量的坐標有何運算規律呢？
【問題】　如圖，向量i，j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i
的夾角是30°，且｜a｜＝4，以i，j為基底，如何表示向量a？
知識點一　向量的坐標表示
　在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個
i，j作為基底，對于平面內的向量a，由平面向量基本定理
可知，有且只有一對有序實數（x，y），使得a＝xi＋yj.我們把有
序實數對（x，y）稱為向量a的（直角）坐標，記作a＝
.
單
位向量　
（x，
y）　
提醒　（1）表示點的坐標與表示向量的坐標不同，A（x，y），a
＝（x，y）；（2）當向量的起點在原點時，向量的坐標與向量終點
的坐標相同；（3）向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關.
【想一想】
對任一平面向量a，是否都有坐標與之對應？向量平移前后其坐標變
化嗎？
提示：都有坐標與之對應，當向量確定以后，向量的坐標唯一確定，
因此向量平移前后，其坐標不變.
知識點二　向量線性運算的坐標表示
1. 已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和實數λ，那么：
（1）a＋b＝ ；
（2）a－b＝ ；
（3）λa＝ .
2. 若A（x1，y1），B（x2，y2），則 ＝ － ＝（x2，y2）－
（x1，y1）＝ .即一個向量的坐標等于該向
量終點的坐標減去起點的坐標.
（x1＋x2，y1＋y2）　
（x1－x2，y1－y2）　
（λx1，λy1）　
（x2－x1，y2－y1）　
1. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 兩個向量的終點不同，則其坐標一定不同
B. 若a＝b，則a，b坐標也相同
C. 求向量的坐標需知道起點、終點的坐標
D. 向量a＝（2，3）比向量b＝（－1，－2）大
√
√
2. 已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），則向量2a－b的坐標為
（　　）
A. （1，5） B. （3，3）
C. （0，3） D. （2，1）
解析： 　∵a＝（1，2），b＝（－1，1），∴2a－b＝2（1，
2）－（－1，1）＝（2，4）－（－1，1）＝（3，3）.故選B.
√
3. 已知向量 ＝（1，－4）， ＝（2，1）， ＝（m，n），
則m＋n＝ .
解析：因為 ＝ ＋ ＝（1，－4）＋（2，1）＝（3，－3）
＝（m，n），所以m＝3，n＝－3，則m＋n＝0.
0　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 向量的坐標表示
【例1】　（鏈接教科書第30頁例1）如圖，已知O是坐標原點，點A
在第一象限，｜ ｜＝4 ， ∠xOA＝60°，｜ ｜＝4，∠OAB
＝120°，四邊形OABC為平行四邊形.
（1）求向量 ， 的坐標；
解： 設點A（x， y），則x＝OA· cos 60°
＝4 × ＝2 ，
y＝OA· sin 60°＝4 × ＝6.
即A（2 ，6），∴ ＝（2 ，6）.
∵∠AOC＝180°－120°＝60°，∠AOy＝
30°，∴∠COy＝30°.
又∵OC＝｜ ｜＝4，∴C（－2，2 ），
∴ ＝ ＝ .
（2）求向量 的坐標；
解： ＝－ ＝ .
（3）求點B的坐標.
解： ＝ ＋ ＝（2 ，6）＋
＝（2 －2，6＋2 ）.
∴點B的坐標為（2 －2，6＋2 ）.
通性通法
求點和向量坐標的常用方法
（1）求一個點的坐標，可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置向
量的坐標；
（2）在求向量坐標時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐
標，再用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標.
【跟蹤訓練】
　如圖，在平面直角坐標系xOy中，｜ ｜＝2｜ ｜＝2，∠OAB＝ ， ＝（－1， ）.
（1）求點B，點C的坐標；
解： 在平面直角坐標系xOy中，設B（xB，yB），因為｜ ｜＝2｜ ｜＝2，所以A（2，0）.
又∠OAB＝ ，所以xB＝2＋ cos ＝ ，yB＝0＋ sin ＝ ，所以點B .
又 ＝（－1， ），所以 ＝ ＋ ＝
＝ ，
所以點C .
（2）求向量 ， 的坐標.
解： 由（1）可得， ＝ ，
＝ .
題型二 向量線性運算的坐標表示
【例2】　（鏈接教科書第31頁例2）已知O為坐標原點，點A（－
1，3），B（1，－3），C（4，1），D（3，4），a＝ ，b＝
.
（1）求向量a，b， ， 的坐標；
解： a＝ ＝（－1，3），b＝ ＝（1，－3），
＝－ ＝（1，－3）， ＝（3，4）－（4，1）＝（－
1，3）.
（2）求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐標.
解： a＋b＝（－1，3）＋（1，－3）＝（0，0），
a－b＝（－1，3）－（1，－3）＝（－2，6），
3a＝3（－1，3）＝（－3，9），
2a＋3b＝2（－1，3）＋3（1，－3）＝（－2，6）＋（3，－
9）＝（1，－3）.
通性通法
平面向量坐標運算的技巧
（1）若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的
運算法則進行；
（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后
再進行向量的坐標運算；
（3）向量的線性坐標運算可類比數的運算進行.
【跟蹤訓練】
已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：
（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3） a－ b.
解： 2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）
＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）.
（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）
＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）.
（3） a－ b＝ （－1，2）－ （2，1）
＝ － ＝ .
題型三 向量坐標運算的應用
【例3】　（鏈接教科書第32頁例4）已知P1（x1， y1）， P2（x2，
y2）， P是直線P1P2上一點.
（1）當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；
解： 如圖①，由向量的線性運算可知
＝ （ ＋ ）＝（ ， ）.
所以點P的坐標是（ ， ）.
（2）當P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.
解： 當點P是線
段P1P2的一個三等分點
時，有兩種情況，即
＝ 或 ＝
2 .
如果 ＝ （圖②），那么 ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝（ ， ），即點P的坐標是（ ， ）；
同理，如果 ＝2 （圖③），那么點P的坐標是（ ， ）.
通性通法
應用向量的坐標運算求解平面幾何問題的步驟
【跟蹤訓練】
　如圖，已知 ABCD的三個頂點A，B，C的坐標分別是（－2，
1），（－1，3），（3，4），求頂點D的坐標.
解：法一　設頂點D的坐標為（x，y）.
因為 ＝（－1－（－2），3－1）＝（1，2），
＝（3－x，4－y），
又 ＝ ，
所以（1，2）＝（3－x，4－y），
即解得
所以頂點D的坐標為（2，2）.
法二　如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知
＝ ＋ ＝（－2－（－1），1－3）＋（3
－（－1），4－3）＝（3，－1），
而 ＝ ＋ ＝（－1，3）＋（3，－1）＝（2，2），
所以頂點D的坐標為（2，2）.
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 相等向量的坐標相同
B. 平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標
C. 一個坐標對應唯一的一個向量
D. 平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應
解析： 　由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應無數個
相等的向量，故C錯誤；A、B、D正確.故選A、B、D.
√
√
√
2. （2024·連云港惠澤高中月考）已知向量a＝（2，4），a＋b＝
（3，2），則b＝（　　）
A. （1，－2） B. （1，2）
C. （5，6） D. （2，0）
解析： 　b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.故
選A.
√
3. （2024·泉州月考）在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），點
G（2，－1）在中線AD上，且 ＝2 ，則點C的坐標是
.
解析：設點C的坐標為（x，y），則點D的坐標為（ ，
）.由 ＝2 可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，
y＝－2，故點C的坐標為（－4，－2）.
（－
4，－2）　
解：∵A（－1，2），B（2，8），
∴ ＝（2，8）－（－1，2）＝（3，6）， ＝ ＝（1，
2）， ＝－ ＝ ＝（1，2）.
設O為坐標原點，
則 ＝ ＋ ＝（－1，2）＋（1，2）＝（0，4），
＝ ＋ ＝ － ＝（－1，2）－（1，2）＝（－2，
0）.
∴C，D的坐標分別為（0，4），（－2，0）.
因此 ＝ － ＝（－2，0）－（0，4）＝（－2，－4）.
4. 已知點A（－1，2），B（2，8）及 ＝ ， ＝－ .求
點C，D和 的坐標.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知M（2，3），N（3，1）.則 的坐標是（　　）
A. （2，－1） B. （－1，2）
C. （－2，1） D. （1，－2）
解析： 　 ＝（3－2，1－3）＝（1，－2）.故選D.
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2. 已知向量a＝（－2，4），b＝（1，－2），則a與b的關系是
（　　）
A. 不共線 B. 相等
C. 方向相同 D. 方向相反
解析： 　∵a＝－2b，∴a與b方向相反.故選D.
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3. 已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c滿足3a－2b＋c
＝0，則c＝（　　）
A. （－23，－12） B. （23，12）
C. （7，0） D. （－7，0）
解析： 　由題意可得c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝
（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.故選A.
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4. （2024·南通月考）在平行四邊形ABCD中，A（1，2），B（3，
5）， ＝（－1，2），則 ＋ ＝（　　）
A. （－2，4） B. （4，6）
C. （－6，－2） D. （－1，9）
解析： 　在平行四邊形ABCD中，因為A（1，2），B（3，
5），所以 ＝（2，3）.又 ＝（－1，2），所以 ＝ ＋
＝（1，5）， ＝ － ＝（－3，－1），所以 ＋
＝（－2，4）.故選A.
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5. 已知向量i＝（1，0），j＝（0，1），對平面內的任一向量a，下
列結論中正確的是（　　）
A. 存在唯一的一對實數x，y，使得a＝（x，y）
B. 若x1，x2，y1，y2∈R，a＝（x1，y1）≠（x2，y2），則x1≠x2，
且y1≠y2
C. 若x，y∈R，a＝（x，y），且a≠0，則a的起點是原點O
D. 若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是（x，y），則a＝（x，
y）
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解析： 　對于A：平面向量的橫縱坐標是確定的，故A正確；對
于B：如果兩個向量不相等，則其橫縱坐標不完全相等，即（x1，
y1）≠（x2，y2），則x1≠x2或y1≠y2，故B錯誤；對于C：平面向
量是可以平移的，所以起點不一定是坐標原點，故C錯誤；對于
D：平面向量是由起點和終點坐標決定的，應該等于終點坐標減起
點坐標，故D錯誤.故選A.
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6. （多選）已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），則以A，
B，C為頂點的平行四邊形的另一個頂點D的坐標為（　　）
A. （4，5） B. （8，9）
C. （2，－1） D. （3，－1）
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解析： 　設點D的坐標為（x，y）.若是平行四邊形ABCD，
則有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝
4，y＝5，所以所求頂點D的坐標為（4，5），所以A正確；若是
平行四邊形ABDC，則有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（x－
6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求頂點D的坐標為（8，
9），所以B正確；若是平行四邊形ACBD，則有 ＝ ，即（6
－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求
頂點D的坐標為（2，－1），所以C正確.綜上，頂點D的坐標為
（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故選A、B、C.
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7. 若a＝（2，1），b＝（－3，4），則a＋b＝ ，a
－b＝ ，3a＋4b＝ .
解析：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），a－b＝
（2，1）－（－3，4）＝（5，－3），3a＋4b＝3（2，1）＋4
（－3，4）＝（6，3）＋（－12，16）＝（－6，19）.
（－1，5）　
（5，－3）　
（－6，19）　
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8. 如圖所示，若向量e1，e2分別是x軸，y軸方向上的單位向量，則
向量2a＋b在平面直角坐標系中的坐標為 .
（3，4）　
解析：由題圖可知a＝e1＋ ，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝2
＋（e1＋3e2）＝3e1＋4e2.所以向量2a＋b在平面直角坐標系中
的坐標為（3，4）.
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9. （2024·鹽城月考）在平面直角坐標系xOy中，已知A（1，0），B
（0，1），點C在第一象限內，∠AOC＝ ，且OC＝2，若 ＝
λ ＋μ ，則λ＝ ，μ＝ .
解析：由題意，知 ＝（1，0）， ＝（0，1）.設C（x，
y），則 ＝（x，y）.∵ ＝λ ＋μ ，∴（x，y）＝
λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ）.∴又∵∠AOC＝
，OC＝2，∴λ＝x＝2 cos ＝ ，μ＝y＝2 sin ＝1.
　
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10. 已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），
以 ， 為一組基底來表示 ＋ ＋ .
解：∵ ＝（1，3）， ＝（2，4）， ＝（－3，5），
＝（－4，2）， ＝（－5，1），
∴ ＋ ＋ ＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝
（－12，8）.
根據平面向量基本定理，一定存在實數m，n，使得
＋ ＋ ＝m ＋n ，
∴（－12，8）＝m（1，3）＋n（2，4），即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n），∴解得
∴ ＋ ＋ ＝32 －22 .
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11. 如果將 ＝（ ， ）繞原點O逆時針方向旋轉120°得到 ，
則 的坐標是（　　）
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解析： 　因為 ＝ 所在直線的傾斜角為30°，繞原點
O逆時針方向旋轉120°得到 所在直線的傾斜角為150°，所
以A，B兩點關于y軸對稱，由此可知B點坐標為 ，故
的坐標是 .故選D.
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12. （多選）（2024·鎮江月考）已知向量 ＝（1，－3）， ＝
（2，－1）， ＝（m＋1，m－2），若A，B，C為三角形的
頂點，則實數m可以是（　　）
A. －2
C. 1 D. －1
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解析： 　若A，B，C三點不共線即可作為三角形的頂點.因
為 ＝ － ＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2）， ＝
－ ＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假
設A，B，C三點共線，則 ＝λ ，即（m，m＋1）＝λ
（1，2），即λ＝m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點即可作
為三角形的頂點.故選A、B、D.
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解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，設小方格的邊長為1，則
可得a＝（1，2），b＝（2，－3），c＝（3，4）.∵c＝xa＋
yb，∴解得∴x＋y＝ .
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14. 已知點A（2，3），B（5，4）， ＝（5λ，7λ）（λ∈R）.
若 ＝ ＋ ，試求λ為何值時：
（1）點P在第一、三象限的角平分線上；
（1）若點P在第一、三象限的角平分線上，
則5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝ .
解：設點P的坐標為（x，y），
則 ＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
＋ ＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）
＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵ ＝ ＋ ，且 與 不共線，
∴則
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（2）點P在第三象限內.
解：若點P在第三象限內，則∴λ＜－1.
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15. （2024·南京質檢）已知向量u＝（x，y）與向量v＝（y，2y－
x）的對應關系用v＝f（u）表示.
（1）設a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）與f（b）
的坐標；
解： ∵a＝（1，1），b＝（1，0），
∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，
2×0－1）＝（0，－1）.
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（2）求使f（c）＝（p，q）（p，q為常數）的向量c的坐標；
解： 設c＝（a，b），則f（c）＝（b，2b－a）＝
（p，q），
∴∴∴c＝（2p－q，p）.
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（3）證明：對任意的向量a，b及常數m，n恒有f（ma＋nb）
＝mf（a）＋nf（b）成立.
解： 證明：設a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），
則ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），
∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2
－b1），
∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2
－b1）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）.
∴f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立.
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