資源簡介

第2課時　向量數量積的坐標表示
1.若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，則x＝（　　）
A.3 B.
C.－ D.－3
2.（2024·宿遷月考）已知點P（2，4），Q（1，6），向量＝（2，λ），若·＝0，則實數λ＝（　　）
A. B.－
C.2 D.1
3.已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），則△ABC的形狀是（　　）
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等邊三角形
4.（2024·鎮江月考）已知＝（－3，－2），＝（m，1），＝3，則·＝（　　）
A.7 B.－7
C.15 D.－15
5.（多選）已知a＝（1，2），b＝（m，－1），則下列結論正確的是（　　）
A.若｜b｜＝2，則m＝
B.若a⊥b，則m＝2
C.若｜a｜＝｜b｜，則m＝2
D.若m＝－3，則a，b的夾角為
6.（多選）角α頂點在坐標原點O，始邊與x軸的正半軸重合，點P在α的終邊上，點Q（－3，－4），且tan α＝－2，則與夾角的余弦值可能為（　　）
A.－ B.
C. D.
7.設向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），則m＝　　　　.
8.已知向量m＝（1，1），向量n與向量m的夾角為，且m·n＝－1，則｜n｜＝　　　　.
9.（2024·揚州質檢）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），若a與b的夾角α為鈍角，則實數λ的取值范圍是　　　　.
10.在平面直角坐標系xOy中，點A（－1，－2），B（2，3），C（－2，－1）.
（1）求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
（2）設實數t滿足（－t）·＝0，求t的值.
11.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，則n·＝（　　）
A.－2 B.2
C.－2或2 D.0
12.（2024·淮安月考）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E在邊CD上，且＝2，則·＝（　　）
A. B.
C. D.
13.已知O為坐標原點，向量＝（2，2），＝（4，1），在x軸上有一點P使得·有最小值，則點P的坐標為　　　　.
14.已知a，b，c是同一平面內的三個向量，其中a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2，且c與a 方向相反，求c的坐標；
（2）若｜b｜＝，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.
15.（2024·南京質檢）已知a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），且｜ka＋b｜＝｜a－kb｜（k＞0）.
（1）用k表示數量積a·b；
（2）求a·b的最小值，并求出此時a與b的夾角.
第2課時　向量數量積的坐標表示
1.C　由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝－.
2.D　由P（2，4），Q（1，6）可得＝（－1，2），又＝（2，λ），所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故選D.
3.A　∵＝（8，－4），＝（2，4），∴·＝8×2＋（－4）×4＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形.故選A.
4.B　依題意可得＝（3，2），＝＋＝（3，2）＋（m，1）＝（3＋m，3），＝＝3，解得m＝－3，所以＝（－3，1），·＝（3，2）·（－3，1）＝－9＋2＝－7，故選B.
5.BD　若｜b｜＝2，則＝4，解得m＝±，所以A錯誤；若a⊥b，則m－2＝0，解得m＝2，所以B正確；若｜a｜＝｜b｜，則＝，解得m＝2或m＝－2，所以C錯誤；若m＝－3，則b＝（－3，－1），設向量a與b的夾角為θ，可得cos θ＝＝＝－，因為θ∈[0，π]，所以θ＝，所以D正確.故選B、D.
6.AC　∵tan α＝－2，∴可設P（x，－2x），與的夾角為θ，則cos θ＝＝，當x＞0時，cos θ＝，當x＜0時，cos θ＝－.故選A、C.
7.－1　解析：由題意得ma－b＝（m＋1，－m），根據向量垂直的充要條件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
8.1　解析：cos＝＝＝－，｜n｜＝1.
9.（－∞，－1）∪（－1，1）　解析：｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝λ－1.又∵a，b的夾角α為鈍角，∴即∴λ＜1且λ≠－1.∴λ的取值范圍是（－∞，－1）∪（－1，1）.
10.解：（1）由題設知＝（3，5），＝（－1，1），
則＋＝（2，6），－＝（4，4）.
所以｜＋｜＝2 ，｜－｜＝4.
故所求的兩條對角線的長分別為2，4.
（2）由題設知，＝（－2，－1），－t＝（3＋2t，5＋t），
由（－t）·＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－1）＝0，
從而5t＝－11，所以t＝－.
11.B　∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
12.C　以A為原點，AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.∵AB＝，BC＝2，∴A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），∵點E在邊CD上，且＝2，∴E（，2）.∴＝（，2），＝（－，2），∴·＝－＋4＝.
13.（3，0）　解析：設點P的坐標為（x，0），則＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以當x＝3時，·有最小值1.此時點P的坐標為（3，0）.
14.解：（1）設c＝（x，y），由c與a方向相反及｜c｜＝2，可沒c＝λa（λ＜0）.
得
所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2，
所以
所以c＝（－2，－4）.
（2）因為（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，
所以cos θ＝＝－1.
又因為 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
15.解：（1）由｜ka＋b｜＝｜a－kb｜，得（ka＋b）2＝3（a－kb）2，
即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.
又a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），所以｜a｜＝｜b｜＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝＝.
（2）由（1）得a·b＝＝（k＋）.
令f（k）＝（k＋），
由函數的單調性，得f（k）＝（k＋）在（0，1]上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，
所以當k＝1時，f（k）min＝f（1）＝×（1＋1）＝.
設此時a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝，所以θ＝60°.
2 / 2第2課時　向量數量積的坐標表示
新課程標準解讀 核心素養
1.能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角 數學抽象
2.能用坐標表示平面向量垂直的條件 數學運算
　　已知兩個向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.
【問題】　（1）如何用a，b的坐標來表示它們的數量積a·b？
（2）a⊥b如何用坐標來表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　向量數量積的坐標表示
1.向量數量積的坐標計算公式
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a·b＝　　　　　　.
2.向量長度（模）的坐標計算公式
（1）設a＝（x，y），則a2＝　　　　，即｜a｜＝　　　　；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則｜｜＝　　　　　　.
3.向量夾角的坐標計算公式
設兩個非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它們的夾角為θ，則cos θ＝＝　　　　　　　　.
4.向量垂直的充要條件
若a⊥b，則x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，則a⊥b.即a⊥b 　　　　　　　　.
1.（多選）下列結果中正確的是（　　）
A.若a＝（1，0），b＝（0，2），則a⊥b
B.若a＝（1，2），b＝（－1，－2），則a＝b
C.若a＝（1，2），b＝（－1，－2），則｜a｜＝｜b｜
D.若a＝（1，2），b＝（0，1），則｜a＋2b｜＝4
2.已知a＝（－2，4），b＝（1，2），則a·b＝（　　）
A.0　　　B.10　 　C.6　　　D.－10
3.（2024·宿遷宿豫中學月考）已知向量a＝（－3，1），b＝（1，－2），則向量a與b夾角的大小為　　　　.
題型一 向量數量積的坐標運算
【例1】　（鏈接教科書第35頁例1）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
通性通法
向量數量積坐標運算的方法
　　進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質.解題時通常有三種途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算；三是若題中涉及圖形，則要充分利用向量終點坐標與起點坐標之差求出向量的坐標，再由向量坐標求得數量積.
【跟蹤訓練】
1.（2024·無錫月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，則x＝（　　）
A.6　　　　　　　　 B.5
C.4 D.3
2.已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，點F在AD上，＝2，則·＝　　　　.
題型二 向量的模、夾角、垂直問題
【例2】　（鏈接教科書第35頁例2）已知點A（1， 0）， B（3，1），C（4， －1），若a＝，b＝.求：
（1）｜a－2b｜；
（2）∠BAC的大小；
（3）B到直線AC的距離；
（4）若（λa－b）⊥（a－2b），求λ的值.
【母題探究】
1.（變設問）若本例條件不變，試求a＋b與a－b的夾角θ的余弦值.
2.（變條件，變設問）若本例中的條件改為“已知點A（5， －1）， B（1，1），C（2， k），設k為實數，△ABC為直角三角形”，試求k的值.
通性通法
1.求向量的模的兩種基本策略
（1）字母表示下的運算：利用｜a｜2＝a2，將向量模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題；
（2）坐標表示下的運算：若a＝（x，y），則a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ .
2.解決向量夾角問題的方法及注意事項
（1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ；
（2）注意事項：利用三角函數值cos θ求θ的值時，應注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判斷θ的值時，要注意cos θ＜0時，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cos θ＞0時，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.
【跟蹤訓練】
1.已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5，則｜b｜＝（　　）
A. B.
C.5 D.25
2.（2024·揚州邗江一中月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（x，2），且a與b夾角的余弦值為，則x＝　　　　.
題型三 向量坐標運算的綜合應用
【例3】　已知三點A（2，1），B（3，2），D（－1，4）.
（1）求證：AB⊥AD；
（2）要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標并求矩形ABCD的對角線的長度.
通性通法
利用向量解決平面幾何問題的基本思路
　　利用向量可以解決與長度、角度、垂直等有關的幾何問題，其解題的關鍵在于把其他語言轉化為向量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.常用方法是建立平面直角坐標系，借助向量的坐標運算轉化為代數問題來解決.
【跟蹤訓練】
如圖所示，已知正方形ABCD中，P為對角線AC不在端點上的任意一點，PE⊥AB，PF⊥BC，連接DP，EF.
求證：（1）DP⊥EF；
（2）DP＝EF.
1.（2024·蘇州盛澤中學月考）已知a＝（2，－1），b＝（1，－1），則（a＋2b）·（a－3b）＝（　　）
A.10 B.－10
C.3 D.－3
2.（多選）設向量a＝（2，0），b＝（1，1），則下列結論中正確的是（　　）
A.｜a｜＝b2 B.a·b＝0
C.｜a｜＝｜b｜ D.（a－b）⊥b
3.設向量a＝（1，2m），b＝（m＋1，1），c＝（2，m）.若（a＋c）⊥b，則｜a｜＝　　　　.
4.已知a＝（1，2），b＝（1，－1）.
（1）若θ為2a＋b與a－b的夾角，求θ的值；
（2）若2a＋b與ka－b垂直，求k的值.
第2課時　向量數量積的坐標表示
【基礎知識·重落實】
知識點
1.x1x2＋y1y2　2.（1）x2＋y2　　（2）
3.　4.x1x2＋y1y2＝0
自我診斷
1.AC　對于A，a·b＝0，則a⊥b，故A正確；對于B，a＝－b，故B錯誤；對于C，｜a｜＝，｜b｜＝，故C正確；對于D，a＋2b＝（1，4），｜a＋2b｜＝，故D錯誤.故選A、C.
2.C　由題意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故選C.
3.　解析：由題意得，cos＜a，b＞＝＝＝－，又因為0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b＞＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）法一　因為a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0＝4.
法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4.
（2）因為a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），
2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2.
跟蹤訓練
1.C　由題意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
2.　解析：建立平面直角坐標系如圖所示，則A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因為＝2，所以F（，2）.所以＝（2，1），＝（，2）－（2，0）＝（－，2），所以·＝（2，1）·（－，2）＝2×（－）＋1×2＝.
【例2】　解：（1）由題意，得a＝＝（2， 1），b＝＝（3， －1），
因為a－2b＝（2， 1）－2（3， －1）＝（－4， 3），
所以｜a－2b｜＝＝5.
（2）a與b的夾角為∠BAC，
因為a·b＝2×3＋1×（－1）＝5， ｜a｜＝， ｜b｜＝，
所以cos∠BAC＝＝＝.
又∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝.
（3）B到AC距離為｜｜sin∠BAC＝ ｜｜sin＝·＝.
（4）λa－b＝（2λ－3， λ＋1），a－2b＝（－4， 3），
因為（λa－b）⊥（a－2b），
所以（λa－b）·（a－2b）＝0.
即－4（2λ－3）＋3（λ＋1）＝0，
解得λ＝3.
母題探究
1.解：因為a＋b＝＋＝（5，0），a－b＝－＝（－1，2），
所以（a＋b）·（a－b）＝5×（－1）＋0×2＝－5，又｜a＋b｜＝5，｜a－b｜＝，
故cos θ＝＝＝－.
2.解：＝（－4，2），＝（－3，k＋1），＝（1，k－1），
若∠A＝90°，則⊥，則·＝（－4）×（－3）＋2×（k＋1）＝0，解得k＝－7；
若∠B＝90°，則⊥，則·＝（－4）×1＋2×（k－1）＝0，解得k＝3；
若∠C＝90°，則⊥，則·＝（－3）×1＋（k＋1）×（k－1）＝0，解得k＝±2.
所以k的值為－7或3或±2.
跟蹤訓練
1.C　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5，∴（a＋b）2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故選C.
2.1或－11　解析：∵a·b＝－x＋4，｜a｜＝＝，｜b｜＝＝，∴cos＜a，b＞＝＝＝，顯然x＜4，則x2＋10x－11＝0，解得x＝1或x＝－11.
【例3】　解：（1）證明：∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
∴＝（1，1），＝（－3，3），
則·＝1×（－3）＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
（2）∵⊥，四邊形ABCD為矩形，∴＝.
設點C的坐標為（x，y），
則＝（x＋1，y－4），
從而有即
∴點C的坐標為（0，5）.
＝（－2，4），＝＝2，
故點C的坐標為（0，5），矩形ABCD的對角線的長度為2.
跟蹤訓練
　證明：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則A（0，0），B（1，0），D（0，1），從而＝（1，0），＝（0，1）.
由已知，可設P（a，a），其中0＜a＜1，則E（a，0），F（1，a），因此＝（a，a－1），＝（1－a，a）.
（1）因為·＝a（1－a）＋（a－1）a＝0，
所以⊥，因此DP⊥EF.
（2）因為｜｜＝＝，｜｜＝＝，所以｜｜＝｜｜，因此DP＝EF.
隨堂檢測
1.B　由題意，得a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－10.故選B.
2.AD　因為｜a｜＝2，b2＝｜b｜2＝2，所以｜a｜＝b2，故A正確；a·b＝2×1＋0×1＝2≠0，故B錯誤；｜a｜＝2，｜b｜＝，故｜a｜≠｜b｜，故C錯誤；（a－b）·b＝a·b－b2＝2－2＝0，故D正確.故選A、D.
3.　解析：a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·b＝0，即3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－，則a＝（1，－1），故｜a｜＝.
4.解：（1）因為a＝（1，2），b＝（1，－1），
所以2a＋b＝（3，3），a－b＝（0，3）.
所以cos θ＝＝＝.
因為θ∈[0，π]，所以θ＝.
（2）ka－b＝（k－1，2k＋1），依題意得（3，3）·（k－1，2k＋1）＝0，
所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.
3 / 3(共59張PPT)
第2課時　
向量數量積的坐標表示
新課程標準解讀 核心素養
1.能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個
平面向量的夾角 數學抽象
2.能用坐標表示平面向量垂直的條件 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　已知兩個向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.
【問題】　（1）如何用a，b的坐標來表示它們的數量積a·b？
（2）a⊥b如何用坐標來表示？
知識點　向量數量積的坐標表示
1. 向量數量積的坐標計算公式
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a·b＝ .
2. 向量長度（模）的坐標計算公式

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則｜ ｜
＝ .
x1x2＋y1y2　
x2＋y2　
　
　
3. 向量夾角的坐標計算公式
設兩個非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），它們的夾角為
θ，則 cos θ＝ ＝ 　 　.
4. 向量垂直的充要條件
若a⊥b，則x1x2＋y1y2＝0；若x1x2＋y1y2＝0，則a⊥b.即
a⊥b .
　
x1x2＋y1y2＝0　
1. （多選）下列結果中正確的是（　　）
A. 若a＝（1，0），b＝（0，2），則a⊥b
B. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），則a＝b
C. 若a＝（1，2），b＝（－1，－2），則｜a｜＝｜b｜
D. 若a＝（1，2），b＝（0，1），則｜a＋2b｜＝4
解析： 　對于A，a·b＝0，則a⊥b，故A正確；對于B，a＝
－b，故B錯誤；對于C，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，故C正確；
對于D，a＋2b＝（1，4），｜a＋2b｜＝ ，故D錯誤.故選
A、C.
√
√
2. 已知a＝（－2，4），b＝（1，2），則a·b＝（　　）
A. 0 B. 10
C. 6 D. －10
解析： 　由題意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.故選C.
√

解析：由題意得， cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－
，又因為0≤＜a，b＞≤π，所以＜a，b＞＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 向量數量積的坐標運算
【例1】　（鏈接教科書第35頁例1）已知向量a＝（－1，2），b＝
（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
解： 法一　因為a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－
4）＋2×0＝4.
法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]
＝4.
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
解：因為a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），
2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，
2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋
4×2＝－2.
通性通法
向量數量積坐標運算的方法
　　進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性
質.解題時通常有三種途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行
數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計
算；三是若題中涉及圖形，則要充分利用向量終點坐標與起點坐標之
差求出向量的坐標，再由向量坐標求得數量積.
【跟蹤訓練】
1. （2024·無錫月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，
x），若（8a－b）·c＝30，則x＝（　　）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析： 　由題意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝
30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
√
2. 已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，點F在AD上，
＝2 ，則 · ＝ .
解析：建立平面直角坐標系如圖所示，則A
（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，
0），C（2，0），因為 ＝2 ，所以F
（ ，2）.所以 ＝（2，1）， ＝（ ，2）
－（2，0）＝（－ ，2），所以 · ＝（2，
1）·（－ ，2）＝2×（－ ）＋1×2＝ .
　
題型二 向量的模、夾角、垂直問題
【例2】　（鏈接教科書第35頁例2）已知點A（1， 0）， B（3，
1），C（4， －1），若a＝ ，b＝ .求：
（1）｜a－2b｜；
解： 由題意，得a＝ ＝（2， 1），b＝ ＝（3， －1），
因為a－2b＝（2， 1）－2（3， －1）＝（－4， 3），
所以｜a－2b｜＝ ＝5.
（2）∠BAC的大小；
解： a與b的夾角為∠BAC，
因為a·b＝2×3＋1×（－1）＝5， ｜a｜＝ ， ｜b｜＝
，
所以 cos ∠BAC＝ ＝ ＝ .
又∠BAC∈[0，π]，所以∠BAC＝ .
（3）B到直線AC的距離；
解： B到AC距離為｜ ｜ sin ∠BAC＝ ｜ ｜ sin ＝
· ＝ .
（4）若（λa－b）⊥（a－2b），求λ的值.
解： λa－b＝（2λ－3， λ＋1），a－2b＝（－4，3），
因為（λa－b）⊥（a－2b），
所以（λa－b）·（a－2b）＝0.
即－4（2λ－3）＋3（λ＋1）＝0，
解得λ＝3.
【母題探究】
1. （變設問）若本例條件不變，試求a＋b與a－b的夾角θ的余弦
值.
解：因為a＋b＝ ＋ ＝（5，0），a－b＝ － ＝（－
1，2），
所以（a＋b）·（a－b）＝5×（－1）＋0×2＝－5，又｜a＋
b｜＝5，｜a－b｜＝ ，
故 cos θ＝ ＝ ＝－ .
解： ＝（－4，2）， ＝（－3，k＋1）， ＝（1，k－
1），
若∠A＝90°，則 ⊥ ，則 · ＝（－4）×（－3）＋2×
（k＋1）＝0，解得k＝－7；
若∠B＝90°，則 ⊥ ，則 · ＝（－4）×1＋2×（k－
1）＝0，解得k＝3；
若∠C＝90°，則 ⊥ ，則 · ＝（－3）×1＋（k＋1）
×（k－1）＝0，解得k＝±2.
所以k的值為－7或3或±2.
2. （變條件，變設問）若本例中的條件改為“已知點A（5， －
1）， B（1，1），C（2， k），設k為實數，△ABC為直角三角
形”，試求k的值.
通性通法
1. 求向量的模的兩種基本策略
（1）字母表示下的運算：利用｜a｜2＝a2，將向量模的運算轉化
為向量與向量的數量積的問題；
（2）坐標表示下的運算：若a＝（x，y），則a·a＝a2＝｜a｜2
＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ .
2. 解決向量夾角問題的方法及注意事項
（1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出
cos θ；
（2）注意事項：利用三角函數值 cos θ求θ的值時，應注意角θ
的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判斷θ
的值時，要注意 cos θ＜0時，有兩種情況：一是θ是鈍角，
二是θ為180°； cos θ＞0時，也有兩種情況：一是θ是銳
角，二是θ為0°.
【跟蹤訓練】
1. 已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5 ，則｜b｜＝
（　　）
C. 5 D. 25
解析： 　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5 ，
∴（a＋b）2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，
∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故選C.
√
2. （2024·揚州邗江一中月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（x，
2），且a與b夾角的余弦值為 ，則x＝ .
解析：∵a·b＝－x＋4，｜a｜＝ ＝ ，｜b｜＝
＝ ，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝
＝ ，顯然x＜4，則x2＋10x－11＝0，解得x＝1或x＝－11.
1或－11
題型三 向量坐標運算的綜合應用
【例3】　已知三點A（2，1），B（3，2），D（－1，4）.
（1）求證：AB⊥AD；
解： 證明：∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
∴ ＝（1，1）， ＝（－3，3），
則 · ＝1×（－3）＋1×3＝0，
∴ ⊥ ，即AB⊥AD.
（2）要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標并求矩形ABCD的對角
線的長度.
解： ∵ ⊥ ，四邊形ABCD為矩形，∴ ＝ .
設點C的坐標為（x，y），
則 ＝（x＋1，y－4），
從而有即
∴點C的坐標為（0，5）.
＝（－2，4）， ＝ ＝2 ，
故點C的坐標為（0，5），矩形ABCD的對角線的長度為2 .
通性通法
利用向量解決平面幾何問題的基本思路
　　利用向量可以解決與長度、角度、垂直等有關的幾何問題，其解
題的關鍵在于把其他語言轉化為向量語言，用向量表示問題中涉及的
幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題.常用方法是建立平面直
角坐標系，借助向量的坐標運算轉化為代數問題來解決.
【跟蹤訓練】
如圖所示，已知正方形ABCD中，P為對角線AC不在端點上的任意一點，PE⊥AB，PF⊥BC，連接DP，EF.
求證：（1）DP⊥EF；
證明：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如
圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則A（0，0），B（1，0），D（0，1），從而 ＝（1，0）， ＝（0，1）.
由已知，可設P（a，a），其中0＜a＜1，則E（a，0），F（1，a），因此 ＝（a，a－1）， ＝（1－a，a）.
（1）因為 · ＝a（1－a）＋（a－1）a＝0，
所以 ⊥ ，因此DP⊥EF.
（2）DP＝EF.
證明：因為｜ ｜＝ ＝
，｜ ｜＝ ＝
，所以｜ ｜＝｜ ｜，因此DP
＝EF.
1. （2024·蘇州盛澤中學月考）已知a＝（2，－1），b＝（1，－
1），則（a＋2b）·（a－3b）＝（　　）
A. 10 B. －10
C. 3 D. －3
解析： 　由題意，得a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，
2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－
10.故選B.
√
2. （多選）設向量a＝（2，0），b＝（1，1），則下列結論中正確
的是（　　）
A. ｜a｜＝b2 B. a·b＝0
C. ｜a｜＝｜b｜ D. （a－b）⊥b
解析： 　因為｜a｜＝2，b2＝｜b｜2＝2，所以｜a｜＝b2，故
A正確；a·b＝2×1＋0×1＝2≠0，故B錯誤；｜a｜＝2，｜b｜
＝ ，故｜a｜≠｜b｜，故C錯誤；（a－b）·b＝a·b－b2＝2
－2＝0，故D正確.故選A、D.
√
√

解析：a＋c＝（3，3m），由（a＋c）⊥b，可得（a＋c）·b
＝0，即3（m＋1）＋3m＝0，解得m＝－ ，則a＝（1，－1），
故｜a｜＝ .
　
4. 已知a＝（1，2），b＝（1，－1）.
（1）若θ為2a＋b與a－b的夾角，求θ的值；
解： 因為a＝（1，2），b＝（1，－1），
所以2a＋b＝（3，3），a－b＝（0，3）.
所以 cos θ＝ ＝ ＝ .
因為θ∈[0，π]，所以θ＝ .
（2）若2a＋b與ka－b垂直，求k的值.
解： ka－b＝（k－1，2k＋1），依題意得（3，3）·（k－1，2k＋1）＝0，
所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，則x＝（　　）
A. 3 D. －3
解析： 由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，
∴x＝－ .
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2. （2024·宿遷月考）已知點P（2，4），Q（1，6），向量 ＝
（2，λ），若 · ＝0，則實數λ＝（　　）
C. 2 D. 1
解析： 　由P（2，4），Q（1，6）可得 ＝（－1，2），
又 ＝（2，λ），所以 · ＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.
故選D.
√
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3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），則△ABC的形狀
是（　　）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
解析： 　∵ ＝（8，－4）， ＝（2，4），∴ · ＝
8×2＋（－4）×4＝0，∴ ⊥ ，∴△ABC是直角三角形.故
選A.
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4. （2024·鎮江月考）已知 ＝（－3，－2）， ＝（m，1），
＝3，則 · ＝（　　）
A. 7 B. －7
C. 15 D. －15
解析： 　依題意可得 ＝（3，2）， ＝ ＋ ＝（3，2）
＋（m，1）＝（3＋m，3）， ＝ ＝3，解得
m＝－3，所以 ＝（－3，1）， · ＝（3，2）·（－3，1）
＝－9＋2＝－7，故選B.
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5. （多選）已知a＝（1，2），b＝（m，－1），則下列結論正確的
是（　　）
B. 若a⊥b，則m＝2
C. 若｜a｜＝｜b｜，則m＝2
√
√
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解析： 　若｜b｜＝2，則 ＝4，解得m＝± ，所以
A錯誤；若a⊥b，則m－2＝0，解得m＝2，所以B正確；若｜
a｜＝｜b｜，則 ＝ ，解得m＝2或m＝－2，所以C錯
誤；若m＝－3，則b＝（－3，－1），設向量a與b的夾角為θ，
可得 cos θ＝ ＝ ＝－ ，因為θ∈[0，π]，所以
θ＝ ，所以D正確.故選B、D.
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6. （多選）角α頂點在坐標原點O，始邊與x軸的正半軸重合，點P
在α的終邊上，點Q（－3，－4），且tan α＝－2，則 與
夾角的余弦值可能為（　　）
√
√
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解析： 　∵tan α＝－2，∴可設P（x，－2x）， 與 的
夾角為θ，則 cos θ＝ ＝ ，當x＞0時，
cos θ＝ ，當x＜0時， cos θ＝－ .故選A、C.
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7. 設向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），則m
＝ .
解析：由題意得ma－b＝（m＋1，－m），根據向量垂直的充要
條件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
－1　
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8. 已知向量m＝（1，1），向量n與向量m的夾角為 ，且m·n＝
－1，則｜n｜＝ .
解析： cos ＝ ＝ ＝－ ，｜n｜＝1.
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9. （2024·揚州質檢）已知a＝（1，－1），b＝（λ，1），若a與b
的夾角α為鈍角，則實數λ的取值范圍是
.
解析：｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，a·b＝λ－1.又∵a，b的
夾角α為鈍角，∴即∴λ
＜1且λ≠－1.∴λ的取值范圍是（－∞，－1）∪（－1，1）.
（－∞，－1）∪（－
1，1）　
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10. 在平面直角坐標系xOy中，點A（－1，－2），B（2，3），C
（－2，－1）.
（1）求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
解： 由題設知 ＝（3，5）， ＝（－1，1），
則 ＋ ＝（2，6）， － ＝（4，4）.
所以｜ ＋ ｜＝2 ，｜ － ｜＝4 .
故所求的兩條對角線的長分別為2 ，4 .
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（2）設實數t滿足（ －t ）· ＝0，求t的值.
解： 由題設知， ＝（－2，－1）， －t ＝
（3＋2t，5＋t），
由（ －t ）· ＝0，得（3＋2t，5＋t）·（－2，－
1）＝0，
從而5t＝－11，所以t＝－ .
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11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，則n·
＝（　　）
A. －2 B. 2
C. －2或2 D. 0
解析： 　∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即
n· ＋n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2.
√
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12. （2024·淮安月考）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC
＝2，點E在邊CD上，且 ＝2 ，則 · ＝（　　）
√
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解析： 以A為原點，AB所在直線為x軸、AD所
在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.∵AB
＝ ，BC＝2，∴A（0，0），B（ ，0），C
（ ，2），D（0，2），∵點E在邊CD上，且
＝2 ，∴E（ ，2）.∴ ＝（ ，2）， ＝（－ ，2），∴ · ＝－ ＋4＝ .
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13. 已知O為坐標原點，向量 ＝（2，2）， ＝（4，1），在x
軸上有一點P使得 · 有最小值，則點P的坐標為
.
解析：設點P的坐標為（x，0），則 ＝（x－2，－2），
＝（x－4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）×
（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以當x＝3時， ·
有最小值1.此時點P的坐標為（3，0）.
（3，
0）　
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14. 已知a，b，c是同一平面內的三個向量，其中a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2 ，且c與a 方向相反，求c的坐標；
解： 設c＝（x，y），由c與a方向相反及｜c｜＝
2 ，可沒c＝λa（λ＜0）.得
所以λ2＋（2λ）2＝20，解得λ＝－2，
所以所以c＝（－2，－4）.
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（2）若｜b｜＝ ，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.
解： 因為（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2× ＝0，
所以a·b＝－ ，
所以 cos θ＝ ＝－1.
又因為 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
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15. （2024·南京質檢）已知a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β，
sin β），且｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜（k＞0）.
（1）用k表示數量積a·b；
解： 由｜ka＋b｜＝ ｜a－kb｜，得（ka＋b）2
＝3（a－kb）2，
即k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
所以（k2－3）a2＋8ka·b＋（1－3k2）b2＝0.
又a＝（ cos α， sin α），b＝（ cos β， sin β），所
以｜a｜＝｜b｜＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝ ＝ .
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（2）求a·b的最小值，并求出此時a與b的夾角.
解： 由（1）得a·b＝ ＝ （k＋ ）.
令f（k）＝ （k＋ ），
由函數的單調性，得f（k）＝ （k＋ ）在（0，1]上單調
遞減，在（1，＋∞）上單調遞增，
所以當k＝1時，f（k）min＝f（1）＝ ×（1＋1）＝ .
設此時a與b的夾角為θ，則 cos θ＝ ＝ ，所以θ
＝60°.
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