資源簡(jiǎn)介

9.3.3　向量平行的坐標(biāo)表示
1.下列各組向量中，共線的是（　　）
A.a＝（－1，2），b＝（，1）
B.a＝（3，），b＝（2，）
C.a＝（2，3），b＝（2，－3）
D.a＝（－3，2），b＝（3，－2）
2.已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若（ma＋nb）∥（a－2b），則＝（　　）
A.－2 B.2
C.－ D.
3.已知向量a＝（－1，m），b＝（2，－4），c＝（m，6），若a∥b，則b＋c與a的夾角為（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·常州月考）已知＝（k，2），＝（1，2k），＝（1－k，－1），且相異三點(diǎn)A，B，C共線，則實(shí)數(shù)k＝（　　）
A.－ B.1
C.－或1 D.－1或
5.（多選）已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），則下列敘述中正確的是（　　）
A.不存在實(shí)數(shù)x，使a∥b
B.存在實(shí)數(shù)x，使（a＋b）∥a
C.存在實(shí)數(shù)x，m，使（ma＋b）∥a
D.存在實(shí)數(shù)x，m，使（ma＋b）∥b
6.（多選）已知向量a＝（1，－2），b＝（t，1），若a＋b與3a－2b共線，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A.t＝ B.＝
C.a·b＝－ D.a∥b
7.（2024·徐州月考）已知向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）方向相同，則實(shí)數(shù)m＝　　　　.8.已知a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y）.若a∥b，（a＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），則向量｜｜＝　　　　.
9.（2024·南通質(zhì)檢）已知向量＝（3，－4），＝（0，－3），＝（5－m，－3－m），若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的值為　　　　.
10.設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且A（1，3），B（2，－2），C（4，1）.
（1）若＝，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)向量a＝，b＝，若向量ka－b與a＋3b平行，求實(shí)數(shù)k的值.
11.（2024·鹽城月考）已知a＝（－2，1－cos θ），b＝，且a∥b，則銳角θ＝（　　）
A.45° B.30°
C.60° D.15°
12.（多選）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－2，－n），其中m，n均為正數(shù)，且（a－b）∥c，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A.a與b的夾角為鈍角
B.向量a在b方向上的投影向量為b
C.2m＋n＝4
D.mn的最大值為2
13.設(shè)＝（－2，4），＝（－a，2），＝（b，0），a＞0，b＞0，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是　　　　.
14.（2024·鎮(zhèn)江月考）已知向量a＝（2＋sin x，1），b＝（2，－2），c＝（sin x－3，1），d＝（1，k），x∈R，k∈R.
（1）若x∈，a∥（b＋c），求x的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
15.已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝（4，0），＝（2，2），＝（1－λ）＋λ（λ2≠λ）.
（1）求·及在上的投影向量；
（2）證明A，B，C三點(diǎn)共線，且當(dāng)＝時(shí)，求λ的值；
（3）求｜｜的最小值.
9.3.3　向量平行的坐標(biāo)表示
1.D　選項(xiàng)A中，2×－（－1）×1≠0，則a與b不共線；同理，B，C中的兩向量不共線；選項(xiàng)D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，則有a∥b.
2.C　由題意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝（4，－1），因?yàn)椋╩a＋nb）∥（a－2b），所以－（2m－n）－4（3m＋2n）＝0.所以＝－.故選C.
3.C　因?yàn)閍∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝（2，6），b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，則（b＋c）⊥a，故b＋c與a的夾角為.
4.A　＝－＝（1－k，2k－2），＝－＝（1－2k，－3），由題意可知∥，所以（－3）×（1－k）－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－（k＝1不合題意舍去）.
5.AD　由a∥b，得x2＝－9，無(wú)實(shí)數(shù)解，故A正確；a＋b＝（x－3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x）＝0，即x2＝－9，無(wú)實(shí)數(shù)解，故B錯(cuò)誤；ma＋b＝（mx－3，3m＋x），由（ma＋b）∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0，即x2＝－9，無(wú)實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤；由（ma＋b）∥b，得－3（3m＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2＋9）＝0，所以m＝0，x∈R，故D正確.故選A、D.
6.BCD　由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋1，－1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－8），因?yàn)閍＋b與3a－2b共線，所以－8×（t＋1）＋1×（3－2t）＝0，得到t＝－，則＝＝，a·b＝－－2＝－，a＝－2b，即a∥b.故選B、C、D.
7.　解析：由向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）共線，得m（2m＋1）－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝.當(dāng)m＝－2時(shí)，a＝（－2，2），b＝（3，－3）＝－a，a與b方向相反，不符合題意；當(dāng)m＝時(shí)，a＝（，2），b＝（3，4）＝2a，a與b方向相同，符合題意.故實(shí)數(shù)m的值為.
8.8　解析：因?yàn)閍∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝（6，－3），b－c＝（1，－2－y）.因?yàn)椋╝＋b）⊥（b－c），所以（a＋b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所以y＝－4.所以向量＝（y－x，x－y）＝（－8，8），＝8.
9.　解析：∵A，B，C不能構(gòu)成三角形，∴A，B，C三點(diǎn)共線，∴與共線.又＝（－3，1），＝（5－m，－m），∴（－3）·（－m）－（5－m）＝0，即m＝.
10.解：（1）設(shè)D（x，y）.因?yàn)椋剑裕?，－2）－（1，3）＝（x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝（x－4，y－1），
所以解得所以D（5，－4）.
（2）因?yàn)閍＝＝（1，－5），b＝＝（4，1）－（2，－2）＝（2，3），
所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－3），
a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）.
因?yàn)橄蛄縦a－b與a＋3b平行，
所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－.
11.A　由a∥b，得－2×－（1－cos θ）（1＋cos θ）＝0，即＝1－cos2θ＝sin2θ，得sin θ＝±，又θ為銳角，∴sin θ＝，θ＝45°，故選A.
12.CD　對(duì)于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝2－1＝1＞0，∴a與b的夾角為銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝，｜b｜＝，∴向量a在b方向上的投影向量為｜a｜··＝b，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a－b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝（m－2，－n），∴－n＝2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正確；對(duì)于D，∵2m＋n＝4，而m，n均為正數(shù)，∴mn＝（2m·n）≤＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝n，即m＝1，n＝2時(shí)等號(hào)成立，∴mn的最大值為2，故D正確.故選C、D.
13.　解析：由題意，得＝－＝（－a＋2，－2），＝－＝（b＋2，－4）.又∥，所以－4（－a＋2）＝－2（b＋2），整理得2a＋b＝2，所以＋＝（2a＋b）·＝≥·＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時(shí)等號(hào)成立，即＋的最小值為.
14.解：（1）因?yàn)閎＋c＝（sin x－1，－1），且a∥（b＋c），
所以－（2＋sin x）＝sin x－1，即sin x＝－.
又x∈，所以x＝－.
（2）a＋d＝（3＋sin x，1＋k），b＋c＝（sin x－1，－1），
若（a＋d）⊥（b＋c），則（a＋d）·（b＋c）＝0，
即（3＋sin x）（sin x－1）－（1＋k）＝0，
所以k＝sin2x＋2sin x－4＝（sin x＋1）2－5.
由sin x∈，可得k∈，
所以存在k∈，使得（a＋d）⊥（b＋c）.
15.解：（1）·＝4×2＋0×2＝8，
設(shè)與的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝，
∴在上的投影向量為｜｜·cos θ＝4××＝（1，）.
（2）∵＝－＝（－2，2），
＝－＝（1－λ）－（1－λ）
＝（λ－1），且λ2≠λ，
∴A，B，C三點(diǎn)共線.
當(dāng)＝時(shí)，λ－1＝1，∴λ＝2.
（3）｜｜2＝（1－λ）2＋2λ（1－λ）·＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝16＋12，
∴當(dāng)λ＝時(shí)，｜｜取得最小值2.
2 / 29.3.3　向量平行的坐標(biāo)表示
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件 數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件解決問(wèn)題 邏輯推理
　　在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用坐標(biāo)表示.設(shè)向量a＝（x1，y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2滿足關(guān)系x1x2＋y1y2＝0.
【問(wèn)題】　（1）怎樣用坐標(biāo)反映兩向量平行呢？
（2）當(dāng)a∥b時(shí)，a，b的坐標(biāo)成比例嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　向量平行的坐標(biāo)表示
　設(shè)向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），則a∥b 　　　　　　.
提醒　（1）a∥b（b≠0） a＝λb.這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量a與b的長(zhǎng)度及方向之間的關(guān)系；（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.這是代數(shù)運(yùn)算，由于不需引進(jìn)參數(shù)λ，從而簡(jiǎn)化了代數(shù)運(yùn)算；（3）a∥b ＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.通過(guò)這種形式較易記憶向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤.
【想一想】
兩向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共線的坐標(biāo)條件能表示成＝嗎？
1.（多選）下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，則＝
B.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，則x1y2＝x2y1
C.向量a＝（2，3）與向量b＝（－4，－6）同向
D.若a＝（－3，2），b＝（6，－4），則a∥b
2.若向量a＝（1，2），b＝（2，3），則與a＋b共線的向量可以是（　　）
A.（2，1）　　　　　　　　　 B.（－1，2）
C.（6，10） D.（－6，10）
3.（2024·無(wú)錫月考）已知A（1，1），B（2，－4），C（x，－9），且∥，則x＝　　　　.
題型一 向量共線的判定與證明
【例1】　（1）下列各組向量是平行向量的有（　　）
A.a＝，b＝（－2，－3）
B.a＝（0.5，4），b＝（－8，64）
C.a＝（2，3），b＝（3，4）
D.a＝（2，3），b＝
（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判斷與是否共線？如果共線，它們的方向是相同還是相反？
通性通法
向量共線的判定與證明的方法
（1）利用向量共線定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b；
（2）利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－1，0），B（3，－1），C（1，2），且＝，＝，求證：∥.
題型二 利用向量共線求參數(shù)
【例2】　（鏈接教科書(shū)第39頁(yè)例1）（1）已知向量a＝（1，2），b＝（λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值；
（2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a與b共線且方向相同，求x.
通性通法
利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)的思路
（1）利用共線向量定理a＝λb（b≠0）列方程（組）求參數(shù)；
（2）利用向量共線的坐標(biāo)表示直接求參數(shù).
提醒　當(dāng)兩向量中存在零向量時(shí)，無(wú)法利用坐標(biāo)表示求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），點(diǎn)P坐標(biāo)滿足＝＋t（t∈R）.
（1）t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？t為何值時(shí)，點(diǎn)P在y軸上？
（2）四邊形OABP能否構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若能，求t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
題型三 坐標(biāo)法判斷三點(diǎn)共線問(wèn)題
【例3】　如圖，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，M為CE的中點(diǎn)，用向量的方法證明：
（1）DE∥BC；
（2）D，M，B三點(diǎn)共線.
通性通法
1.三點(diǎn)共線問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是向量共線問(wèn)題，兩個(gè)向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量平行是一致的，利用向量平行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成：（1）證明向量平行；（2）證明兩個(gè)向量有公共點(diǎn).
2.若A，B，C三點(diǎn)共線，則由這三個(gè)點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量共線.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知向量＝（7，6），＝（－3，m），＝（－1，2m），若A，C，D三點(diǎn)共線，則m＝（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C.－ D.－
1.已知向量a＝（cos α，－2），b＝（sin α，1）且a∥b，則tan α＝（　　）
A.－1 B.－
C. D.1
2.設(shè)向量a＝（－3，4），向量b與向量a方向相反，且＝10，則向量b的坐標(biāo)為（　　）
A. B.（－6，8）
C. D.（6，－8）
3.（2024·常州月考）已知A（1，－3），B（8，），C（9，λ），且A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＝　　　　.
4.已知向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，求：
（1）實(shí)數(shù)x，y的值；
（2）｜a＋b｜的值.
9.3.3　向量平行的坐標(biāo)表示
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
　x1y2－x2y1＝0
想一想
　提示：不能，當(dāng)x2，y2有一者為零時(shí)，比例式?jīng)]有意義.
自我診斷
1.BD　對(duì)于A，當(dāng)y1y2＝0時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C中，向量（2，3）與向量（－4，－6）反向，故C錯(cuò)誤；B、D正確.故選B、D.
2.C　a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝（6，10）.故選C.
3.3　解析：＝（1，－5），＝（x－1，－10），根據(jù)∥，得－5（x－1）＝1×（－10），解得x＝3.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）A　A：×（－3）－×（－2）＝－＋＝0，∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行.C：2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D：2×2－3×＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行.
（2）解：＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）.
法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴與共線，通過(guò)觀察可知，和 方向相反.
法二　∵＝－2，∴與共線且方向相反.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：由題意知＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1），
∴＝＝，＝＝，
設(shè)點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）.
∴＝（x1，y1）－（－1，0）＝，＝（x2，y2）－（3，－1）＝.
∴（x1，y1）＝，（x2，y2）＝，
∴＝（x2，y2）－（x1，y1）＝.
∵4×－（－1）×＝0，∴∥.
【例2】　解：（1）a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4），
2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2），
由（a＋2b）∥（2a－2b），
可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0，
解得λ＝.
（2）∵a＝（x，1），b＝（4，x），a∥b，
∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2.
當(dāng)x＝2時(shí)，a＝（2，1），b＝（4，2），a與b共線且方向相同；
當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝（－2，1），b＝（4，－2），
a與b共線且方向相反.∴x＝2.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）＝＋t＝（1， 2）＋t（3， 3）＝（1＋3t， 2＋3t）.
如果點(diǎn)P在x軸上，有2＋3t＝0，解得t＝－；
如果點(diǎn)P在y軸上，有1＋3t＝0，解得t＝－.
（2）假設(shè)四邊形OABP為平行四邊形，則有＝.
又因?yàn)椋剑?＋3t， 2＋3t）， ＝（3， 3），
所以此方程組無(wú)解，
故四邊形OABP不能構(gòu)成平行四邊形.
【例3】　證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
令｜｜＝1，則｜｜＝1，｜｜＝2.
∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC，
∴四邊形AECD為正方形.
∴E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）.
（1）∵＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1），＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1），∴＝，∴∥，即DE∥BC.
（2）連接MB，MD.∵M(jìn)為CE的中點(diǎn)，∴M，
∴＝（－1，1）－＝，＝（1，0）－＝.
∴＝－，∴∥.
又與有公共點(diǎn)M，∴D，M，B三點(diǎn)共線.
跟蹤訓(xùn)練
　D　＝＋＝（4，m＋6），因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以與共線，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－.故選D.
隨堂檢測(cè)
1.B　因?yàn)閍∥b，所以cos α＋2sin α＝0，所以tan α＝－.故選B.
2.D　由題意不妨設(shè)b＝（－3m，4m）（m＜0），則＝＝10，解得m＝－2或m＝2（舍去），所以b＝（6，－8）.故選D.
3.1　解析：由A（1，－3），B（8，），C（9，λ），可得＝（7，），＝（8，λ＋3），由A，B，C三點(diǎn)共線，得∥，則7（λ＋3）－8×＝0，解得λ＝1.
4.解：（1）由a⊥c得2x－4＝0，則x＝2.
由b∥c得－4＝2y，則y＝－2.
（2）｜a＋b｜＝＝.
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9.3.3　
向量平行的坐標(biāo)表示
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件 數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件解
決問(wèn)題 邏輯推理
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用坐標(biāo)表示.設(shè)向量a＝（x1，
y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2滿
足關(guān)系x1x2＋y1y2＝0.
【問(wèn)題】　（1）怎樣用坐標(biāo)反映兩向量平行呢？
（2）當(dāng)a∥b時(shí)，a，b的坐標(biāo)成比例嗎？
知識(shí)點(diǎn)　向量平行的坐標(biāo)表示
　設(shè)向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），則
a∥b .
x1y2－x2y1＝0　
提醒　（1）a∥b（b≠0） a＝λb.這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量a
與b的長(zhǎng)度及方向之間的關(guān)系；（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a
＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.這是代數(shù)運(yùn)算，由于不需引進(jìn)參數(shù)
λ，從而簡(jiǎn)化了代數(shù)運(yùn)算；（3）a∥b ＝ ，其中a＝（x1，
y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即兩向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.通
過(guò)這種形式較易記憶向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤.
【想一想】
兩向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共線的坐標(biāo)條件能表示成
＝ 嗎？
提示：不能，當(dāng)x2，y2有一者為零時(shí)，比例式?jīng)]有意義.
1. （多選）下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，則 ＝
B. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，則x1y2＝x2y1
C. 向量a＝（2，3）與向量b＝（－4，－6）同向
D. 若a＝（－3，2），b＝（6，－4），則a∥b
解析： 　對(duì)于A，當(dāng)y1y2＝0時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C中，向
量（2，3）與向量（－4，－6）反向，故C錯(cuò)誤；B、D正確.故選
B、D.
√
√
2. 若向量a＝（1，2），b＝（2，3），則與a＋b共線的向量可以是
（　　）
A. （2，1） B. （－1，2）
C. （6，10） D. （－6，10）
解析： 　a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝ （6，10）.
故選C.
√
3. （2024·無(wú)錫月考）已知A（1，1），B（2，－4），C（x，－
9），且 ∥ ，則x＝ .
解析： ＝（1，－5）， ＝（x－1，－10），根據(jù)
∥ ，得－5（x－1）＝1×（－10），解得x＝3.
3　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 向量共線的判定與證明
【例1】　（1）下列各組向量是平行向量的有（　　）
A. a＝ ，b＝（－2，－3）
B. a＝（0.5，4），b＝（－8，64）
C. a＝（2，3），b＝（3，4）
D. a＝（2，3），b＝
√
解析： 　A： ×（－3）－ ×（－2）＝－ ＋ ＝0，
∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b
不平行.C：2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D：
2×2－3× ＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行.
（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），
判斷 與 是否共線？如果共線，它們的方向是相同還是
相反？
解： ＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3）， ＝
（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）.
法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴ 與 共線，通過(guò)觀察
可知， 和 方向相反.
法二　∵ ＝－2 ，∴ 與 共線且方向相反.
通性通法
向量共線的判定與證明的方法
（1）利用向量共線定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b；
（2）利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－1，0），B（3，－1），C
（1，2），且 ＝ ， ＝ ，求證： ∥ .
證明：由題意知 ＝（2，2）， ＝（－2，3）， ＝（4，－1），
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
設(shè)點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）.
∴ ＝（x1，y1）－（－1，0）＝ ， ＝（x2，y2）－（3，－1）＝ .
∴（x1，y1）＝ ，（x2，y2）＝ ，
∴ ＝（x2，y2）－（x1，y1）＝ .
∵4× －（－1）× ＝0，
∴ ∥ .
題型二 利用向量共線求參數(shù)
【例2】　（鏈接教科書(shū)第39頁(yè)例1）（1）已知向量a＝（1，2），b
＝（λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值；
解： a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4），
2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2），
由（a＋2b）∥（2a－2b），
可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0，
解得λ＝ .
（2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a與b共線且方向相同，求
x.
解： ∵a＝（x，1），b＝（4，x），a∥b，
∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2.
當(dāng)x＝2時(shí)，a＝（2，1），b＝（4，2），a與b共線且方向相
同；
當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝（－2，1），b＝（4，－2），
a與b共線且方向相反.∴x＝2.
通性通法
利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)的思路
（1）利用共線向量定理a＝λb（b≠0）列方程（組）求參數(shù)；
（2）利用向量共線的坐標(biāo)表示直接求參數(shù).
提醒　當(dāng)兩向量中存在零向量時(shí)，無(wú)法利用坐標(biāo)表示求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），點(diǎn)P坐標(biāo)滿足 ＝
＋t （t∈R）.
（1）t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？t為何值時(shí)，點(diǎn)P在y軸上？
解： ＝ ＋t ＝（1， 2）＋t（3， 3）＝（1＋
3t， 2＋3t）.
如果點(diǎn)P在x軸上，有2＋3t＝0，解得t＝－ ；
如果點(diǎn)P在y軸上，有1＋3t＝0，解得t＝－ .
（2）四邊形OABP能否構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若能，求t的值；若不
能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解： 假設(shè)四邊形OABP為平行四邊形，則有 ＝ .
又因?yàn)?＝（1＋3t， 2＋3t）， ＝（3， 3），
所以此方程組無(wú)解，
故四邊形OABP不能構(gòu)成平行四邊形.
題型三 坐標(biāo)法判斷三點(diǎn)共線問(wèn)題
【例3】　如圖，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝
2CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，M為CE的中點(diǎn)，用向量的方法證
明：
（1）DE∥BC；
（1）∵ ＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，
1）， ＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1），
∴ ＝ ，∴ ∥ ，即DE∥BC.
證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x
軸，EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
令｜ ｜＝1，則｜ ｜＝1，｜ ｜＝2.
∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC，∴四邊形AECD為正方形.
∴E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）.
（2）D，M，B三點(diǎn)共線.
證明：連接MB，MD. ∵M(jìn)為CE的中點(diǎn)，
∴M ，
∴ ＝（－1，1）－ ＝ ，
＝（1，0）－ ＝ .
∴ ＝－ ，∴ ∥ .
又 與 有公共點(diǎn)M，∴D，M，B三點(diǎn)共線.
通性通法
1. 三點(diǎn)共線問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是向量共線問(wèn)題，兩個(gè)向量共線只需滿足方向
相同或相反，兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量平行是一致的，利用向量平
行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成：（1）證明向量平行；（2）證明兩
個(gè)向量有公共點(diǎn).
2. 若A，B，C三點(diǎn)共線，則由這三個(gè)點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量共線.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知向量 ＝（7，6）， ＝（－3，m）， ＝（－1，
2m），若A，C，D三點(diǎn)共線，則m＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　 ＝ ＋ ＝（4，m＋6），因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共
線，所以 與 共線，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－ .
故選D.
√
1. 已知向量a＝（ cos α，－2），b＝（ sin α，1）且a∥b，則tan
α＝（　　）
A. －1 B. －
C. D. 1
解析： 因?yàn)閍∥b，所以 cos α＋2 sin α＝0，所以tan α＝－
.故選B.
√
2. 設(shè)向量a＝（－3，4），向量b與向量a方向相反，且 ＝10，則
向量b的坐標(biāo)為（　　）
A. B. （－6，8）
C. D. （6，－8）
解析： 　由題意不妨設(shè)b＝（－3m，4m）（m＜0），則 ＝
＝10，解得m＝－2或m＝2（舍去），所以
b＝（6，－8）.故選D.
√
3. （2024·常州月考）已知A（1，－3），B（8， ），C（9，
λ），且A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＝ .
解析：由A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），可得 ＝
（7， ）， ＝（8，λ＋3），由A，B，C三點(diǎn)共線，得
∥ ，則7（λ＋3）－8× ＝0，解得λ＝1.
1　
4. 已知向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且
a⊥c，b∥c，求：
（1）實(shí)數(shù)x，y的值；
解： 由a⊥c得2x－4＝0，則x＝2.
由b∥c得－4＝2y，則y＝－2.
（2）｜a＋b｜的值.
解： ｜a＋b｜＝ ＝ .
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
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1. 下列各組向量中，共線的是（　　）
A. a＝（－1，2），b＝（ ，1）
B. a＝（3， ），b＝（2， ）
C. a＝（2，3），b＝（2，－3）
D. a＝（－3，2），b＝（3，－2）
√
解析： 　選項(xiàng)A中，2× －（－1）×1≠0，則a與b不共線；同
理，B，C中的兩向量不共線；選項(xiàng)D中，2×3－（－3）×（－2）
＝0，則有a∥b.
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2. 已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若（ma＋nb）∥（a－
2b），則 ＝（　　）
A. －2 B. 2
C. － D.
解析： 　由題意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝
（4，－1），因?yàn)椋╩a＋nb）∥（a－2b），所以－（2m－n）
－4（3m＋2n）＝0.所以 ＝－ .故選C.
√
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3. 已知向量a＝（－1，m），b＝（2，－4），c＝（m，6），若
a∥b，則b＋c與a的夾角為（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　因?yàn)閍∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝
（2，6），b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，則
（b＋c）⊥a，故b＋c與a的夾角為 .
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4. （2024·常州月考）已知 ＝（k，2）， ＝（1，2k）， ＝
（1－k，－1），且相異三點(diǎn)A，B，C共線，則實(shí)數(shù)k＝（　　）
A. － B. 1
C. － 或1 D. －1或
解析： 　 ＝ － ＝（1－k，2k－2）， ＝ － ＝
（1－2k，－3），由題意可知 ∥ ，所以（－3）×（1－k）
－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－ （k＝1不合題意舍去）.
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5. （多選）已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），則下列敘述中
正確的是（　　）
A. 不存在實(shí)數(shù)x，使a∥b
B. 存在實(shí)數(shù)x，使（a＋b）∥a
C. 存在實(shí)數(shù)x，m，使（ma＋b）∥a
D. 存在實(shí)數(shù)x，m，使（ma＋b）∥b
√
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解析： 　由a∥b，得x2＝－9，無(wú)實(shí)數(shù)解，故A正確；a＋b＝
（x－3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x）
＝0，即x2＝－9，無(wú)實(shí)數(shù)解，故B錯(cuò)誤；ma＋b＝（mx－3，3m
＋x），由（ma＋b）∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0，
即x2＝－9，無(wú)實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤；由（ma＋b）∥b，得－3（3m
＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2＋9）＝0，所以m＝0，
x∈R，故D正確.故選A、D.
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6. （多選）已知向量a＝（1，－2），b＝（t，1），若a＋b與3a
－2b共線，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A. t＝ B. ＝
C. a·b＝－ D. a∥b
√
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解析： 　由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋
1，－1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－
8），因?yàn)閍＋b與3a－2b共線，所以－8×（t＋1）＋1×（3－
2t）＝0，得到t＝－ ，則 ＝ ＝ ，a·b＝－ －2＝－
，a＝－2b，即a∥b.故選B、C、D.
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7. （2024·徐州月考）已知向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）方
向相同，則實(shí)數(shù)m＝ .
解析：由向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）共線，得m（2m
＋1）－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝ .當(dāng)m＝－
2時(shí)，a＝（－2，2），b＝（3，－3）＝－ a，a與b方向相反，
不符合題意；當(dāng)m＝ 時(shí)，a＝（ ，2），b＝（3，4）＝2a，a
與b方向相同，符合題意.故實(shí)數(shù)m的值為 .
　
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8. 已知a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y）.若a∥b，
（a＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），則向量｜
｜＝ .
解析：因?yàn)閍∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝
（6，－3），b－c＝（1，－2－y）.因?yàn)椋╝＋b）⊥（b－
c），所以（a＋b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所
以y＝－4.所以向量 ＝（y－x，x－y）＝（－8，8），
＝8 .
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9. （2024·南通質(zhì)檢）已知向量 ＝（3，－4）， ＝（0，－
3）， ＝（5－m，－3－m），若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角
形，則實(shí)數(shù)m的值為 .
解析：∵A，B，C不能構(gòu)成三角形，∴A，B，C三點(diǎn)共線，
∴ 與 共線.又 ＝（－3，1）， ＝（5－m，－m），
∴（－3）·（－m）－（5－m）＝0，即m＝ .
　
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10. 設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且A（1，3），B（2，－
2），C（4，1）.
（1）若 ＝ ，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
解： 設(shè)D（x，y）.因?yàn)?＝ ，所以（2，－2）
－（1，3）＝（x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝
（x－4，y－1），
所以解得所以D（5，－4）.
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（2）設(shè)向量a＝ ，b＝ ，若向量ka－b與a＋3b平行，求
實(shí)數(shù)k的值.
解： 因?yàn)閍＝ ＝（1，－5），b＝ ＝（4，1）
－（2，－2）＝（2，3），
所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－
3），
a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）.
因?yàn)橄蛄縦a－b與a＋3b平行，
所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－ .
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11. （2024·鹽城月考）已知a＝（－2，1－ cos θ），b＝ ，且a∥b，則銳角θ＝（　　）
A. 45° B. 30°
C. 60° D. 15°
√
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解析： 　由a∥b，得－2× －（1－ cos θ）（1＋ cos
θ）＝0，即 ＝1－ cos 2θ＝ sin 2θ，得 sin θ＝± ，又θ為
銳角，∴ sin θ＝ ，θ＝45°，故選A.
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12. （多選）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－
2，－n），其中m，n均為正數(shù)，且（a－b）∥c，下列說(shuō)法正
確的是（　　）
A. a與b的夾角為鈍角
B. 向量a在b方向上的投影向量為 b
C. 2m＋n＝4
D. mn的最大值為2
√
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解析： 對(duì)于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝
2－1＝1＞0，∴a與b的夾角為銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵a＝
（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝ ，｜b｜＝
，∴向量a在b方向上的投影向量為｜a｜· · ＝
b，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a－
b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝（m－2，－n），∴－n＝
2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正確；對(duì)于D，∵2m＋n＝4，而m，n均為正數(shù)，∴mn＝ （2m·n）≤ ＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝n，即m＝1，n＝2時(shí)等號(hào)成立，∴mn的最大值為2，故D正確.故選C、D.
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13. 設(shè) ＝（－2，4）， ＝（－a，2）， ＝（b，0），a＞
0，b＞0，若A，B，C三點(diǎn)共線，則 ＋ 的最小值
是 .
　
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解析：由題意，得 ＝ － ＝（－a＋2，－2）， ＝
－ ＝（b＋2，－4）.又 ∥ ，所以－4（－a＋2）＝－2
（b＋2），整理得2a＋b＝2，所以 ＋ ＝ （2a＋b）·
＝ ≥ · ＝ ，當(dāng)且僅當(dāng)b＝ a
時(shí)等號(hào)成立，即 ＋ 的最小值為 .
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14. （2024·鎮(zhèn)江月考）已知向量a＝（2＋ sin x，1），b＝（2，－
2），c＝（ sin x－3，1），d＝（1，k），x∈R，k∈R.
（1）若x∈ ，a∥（b＋c），求x的值；
解： 因?yàn)閎＋c＝（ sin x－1，－1），且a∥（b＋c），
所以－（2＋ sin x）＝ sin x－1，即 sin x＝－ .
又x∈ ，所以x＝－ .
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（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求
出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解： a＋d＝（3＋ sin x，1＋k），b＋c＝（ sin x－
1，－1），
若（a＋d）⊥（b＋c），則（a＋d）·（b＋c）＝0，
即（3＋ sin x）（ sin x－1）－（1＋k）＝0，
所以k＝ sin 2x＋2 sin x－4＝（ sin x＋1）2－5.
由 sin x∈ ，可得k∈ ，
所以存在k∈ ，使得（a＋d）⊥（b＋c）.
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15. 已知在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， ＝（4，0），
＝（2，2 ）， ＝（1－λ） ＋λ （λ2≠λ）.
（1）求 · 及 在 上的投影向量；
解： · ＝4×2＋0×2 ＝8，
設(shè) 與 的夾角為θ，
則 cos θ＝ ＝ ＝ ，
∴ 在 上的投影向量為｜ ｜ cos θ ＝4×
× ＝（1， ）.
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（2）證明A，B，C三點(diǎn)共線，且當(dāng) ＝ 時(shí)，求λ的值；
解： ∵ ＝ － ＝（－2，2 ），
＝ － ＝（1－λ） －（1－λ）
＝（λ－1） ，且λ2≠λ，
∴A，B，C三點(diǎn)共線.
當(dāng) ＝ 時(shí)，λ－1＝1，∴λ＝2.
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（3）求｜ ｜的最小值.
解： ｜ ｜2＝（1－λ）2 ＋2λ（1－λ）
· ＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝16 ＋12，
∴當(dāng)λ＝ 時(shí)，｜ ｜取得最小值2 .
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