資源簡(jiǎn)介

9.4　向量應(yīng)用
1.已知兩個(gè)力F1＝（1，2），F(xiàn)2＝（－2，3）作用于平面內(nèi)某靜止物體的同一點(diǎn)上，為使該物體仍保持靜止，還需給該物體同一點(diǎn)上再加上一個(gè)力F3，則F3＝（　　）
A.（1，－5）　　　 　　　B.（－1，5）
C.（5，－1） D.（－5，1）
2.在四邊形ABCD中，若＋＝0，·＝0，則四邊形ABCD為（　　）
A.平行四邊形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
3.（2024·徐州月考）一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽(yáng)光從頭上直照下來(lái)，鷹在地面上的影子沖向獵物的速度大小是40 m/s，則鷹的飛行速度的大小為（　　）
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
4.（2024·淮安月考）正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，則cos∠DOE＝（　　）
A. B.
C. D.
5.（多選）在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，如圖，則下列等式成立的是（　　）
A.｜｜2＝·
B.｜｜2＝·
C.｜｜2＝·
D.｜｜2＝
6.（多選）在△ABC中，＝c，＝a，＝b，則下列命題中是真命題的有（　　）
A.若a·b＜0且b·c＜0，則△ABC為銳角三角形
B.若a·b＞0，則△ABC為鈍角三角形
C.若a·b＝c·b，則△ABC為等邊三角形
D.若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，則△ABC為直角三角形
7.如圖所示，在傾斜角為37°，高為2 m的斜面上，質(zhì)量為5 kg的物體m沿斜面下滑，物體m受到的摩擦力是它對(duì)斜面壓力的0.5倍，則斜面對(duì)物體m的支持力所做的功為　　　　J，重力對(duì)物體m所做的功為　　　　J（g＝9.8 m/s2，sin 37°＝0.6）.
8.（2024·蘇州月考）已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則△OAB的面積為　　　　.
9.在△ABC中，O為中線(xiàn)AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，則·（＋）的最小值為　　　　.
10.如圖，在平行四邊形ABCD中，M為線(xiàn)段DC的中點(diǎn)，N為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)T在線(xiàn)段AM上，且AT＝3TM.求證：NT∥BM.
11.某江南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小｜v1｜＝8 km/h，水流的速度的大小｜v2｜＝4 km/h，設(shè)v1和v2的夾角為θ（0°＜θ＜180°），北岸的點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好抵達(dá)B處時(shí)，cos θ＝（　　）
A.　　　B.－　　　C.　　　D.－
12.（多選）一物體受到3個(gè)力的作用，其中重力G的大小為4 N，水平拉力F1的大小為3 N，另一力F2未知，則（　　）
A.當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，｜F2｜＝5 N
B.當(dāng)F2與F1方向相反，且｜F2｜＝5 N時(shí)，物體所受合力大小為0
C.當(dāng)物體所受合力為F1時(shí)，｜F2｜＝4 N
D.當(dāng)｜F2｜＝2 N時(shí)，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N
13.如圖，平面內(nèi)點(diǎn)P在兩條平行直線(xiàn)m，n之間，且到m，n的距離分別為1，2，點(diǎn)A，B分別在直線(xiàn)m，n上，且｜＋｜＝5，則·的最大值為　　　　.
14.在某海濱城市O附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖所示）的東偏南θ（θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng).臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大.問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？（注：cos（θ－45°）＝）
15.（2024·常州月考）我們把與直線(xiàn)l垂直的向量稱(chēng)為直線(xiàn)l的法向量.設(shè)e＝（A，B）是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量，那么n＝（－B，A）就是直線(xiàn)l的一個(gè)法向量（如圖①）.借助直線(xiàn)的法向量，我們可以方便地計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.
已知P是直線(xiàn)l外一點(diǎn)，n是直線(xiàn)l的一個(gè)法向量，在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)Q，那么在法向量n上的投影向量為（｜｜c(diǎn)os θ）（θ為向量n與 的夾角），其模就是點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d，即d＝（如圖②）.據(jù)此，請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：已知點(diǎn)A（－4，0），B（2，－1），C（－1，3），求點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離.
9.4　向量應(yīng)用
1.A　根據(jù)力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝（－1，5），因?yàn)槲矬w保持靜止，所以作用于物體的合力為0，則F1＋F2＋F3＝0，則F3＝（1，－5）.故選A.
2.D　由＋＝0，得＝－＝，∴四邊形ABCD為平行四邊形.由·＝0知，平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)互相垂直，故四邊形ABCD為菱形.
3.C　如圖，設(shè)鷹在地面上的影子沖向獵物的速度＝v1，鷹的飛行速度＝v2，由題可知｜｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，則｜｜＝｜v2｜＝＝.故選C.
4.D　以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OC所在直線(xiàn)為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.由題意知，＝（1，），＝（，1），故cos∠DOE＝＝＝.
5.ABD　由·＝｜｜｜｜c(diǎn)os A＝｜｜·｜｜，由射影定理可知A正確；由·＝｜｜｜｜·cos B＝｜｜｜｜，由射影定理可知B正確；由·＝｜｜｜｜c(diǎn)os（π－∠ACD）＜0，又｜｜2＞0，即C錯(cuò)誤；由題意可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，所以｜｜｜｜＝｜｜·｜｜，又由A、B可得｜｜2＝，即D正確.故選A、B、D.
6.BD　對(duì)于A，a·b＝·＝－｜｜·｜｜c(diǎn)os C＜0，則cos C＞0，則角C為銳角，同理，由b·c＜0可知角A為銳角，但角B不一定是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a·b＝·＝－｜｜·｜｜c(diǎn)os C＞0，則cos C＜0，則角C為鈍角，故B正確；對(duì)于C，由a·b＝c·b，得（a－c）·b＝0，即（－）·＝（＋）·＝0，即（＋）·（－）＝－＝0，故｜｜＝｜｜，故△ABC為等腰三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2＝（b－c）2，即｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，化簡(jiǎn)得·＝0，故A＝，即△ABC為直角三角形，故D正確.故選B、D.
7.0　98　解析：物體m的位移大小為｜s｜＝＝（m），則支持力對(duì)物體m所做的功為W1＝F·s＝｜F｜｜s｜c(diǎn)os 90°＝0（J）；重力對(duì)物體m所做的功為W2＝G·s＝｜G｜｜s｜c(diǎn)os 53°＝5×9.8××0.6＝98（J）.
8.1　解析：由題意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以⊥，｜｜＝｜｜.由⊥得（a－b）·（a＋b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，由｜｜＝｜｜得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜｜＝｜｜＝，所以S△OAB＝××＝1.
9.－2　解析：因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以＋＝2，則·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos 180°＝－2｜｜｜｜.設(shè)OA＝x（0≤x≤2），則OM＝2－x.令y＝x（2－x）（0≤x≤2），則ymax＝1，所以·（＋）的最小值為－2.
10.證明：記＝a，＝b，
則＝＋＝－a＋b，
＝＋＝－＋.而＝a＋b，＝＋＝a＋b，
所以＝－（a＋b）＋（a＋b）＝－a＋b，
所以＝4，所以NT∥BM.
11.D　如圖，設(shè)船的實(shí)際速度為v.由題知北岸的點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好到達(dá)B處，則v⊥v2，∴cos θ＝－cos（π－θ）＝－＝－＝－.故選D.
12.ACD　對(duì)于A，當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)F2與F1方向相反，且｜F2｜＝5 N時(shí)，物體所受合力大小為＝2（N），選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)物體所受合力為F1時(shí)，G與F2的合力為0，所以｜F2｜＝4N，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)｜F2｜＝2 N時(shí)，因?yàn)镕1與G的合力大小為｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，選項(xiàng)D正確.
13.4　解析：由題意，平面內(nèi)點(diǎn)P在兩條平行直線(xiàn)m，n之間，且到m，n的距離分別為1，2，可得平行線(xiàn)m，n間的距離為3，以直線(xiàn)m為x軸，以過(guò)點(diǎn)P且與直線(xiàn)m垂直的直線(xiàn)為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示，則由題意可得點(diǎn)P（0，1），直線(xiàn)n的方程為y＝3.設(shè)點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（b，3），則＝（a，－1），＝（b，2），所以＋＝（a＋b，1）.因?yàn)椋?，所以（a＋b）2＋1＝25，所以a＋b＝2或a＋b＝－2（舍去）.當(dāng)a＋b＝2時(shí)，·＝ab－2＝a（2－a）－2＝－a2＋2a－2＝－（a－）2＋4.所以當(dāng)a＝時(shí)，·取得最大值，最大值為4.
14.解：設(shè)t h后，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到Q處，此時(shí)城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，
∴＝（＋）2＝＋＋2·.
∴＝＋－2｜｜｜｜c(diǎn)os（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）.
依題意得≤（60＋10t）2，
解得12≤t≤24.
從而12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.
15.解：由題意，得直線(xiàn)BC的一個(gè)方向向量e＝＝（－3，4），
則n＝（－4，－3）為BC的一個(gè)法向量，
又＝（6，－1），
∴點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離d＝＝＝.
3 / 39.4　向量應(yīng)用
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題 邏輯推理、直觀想象
2.體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用 數(shù)學(xué)建模
　　在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一桶水，兩人手臂夾角越小越省力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力.
【問(wèn)題】　你能從數(shù)學(xué)的角度解釋上述現(xiàn)象嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　向量的應(yīng)用
1.用向量運(yùn)算解決平面幾何問(wèn)題的“三步法”
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將　　　　　　　轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
（2）通過(guò)　　　　　　，研究幾何元素之間的關(guān)系；
（3）把　　　　　　“翻譯”成幾何關(guān)系.
2.平面向量在物理中的應(yīng)用
（1）物理問(wèn)題中常見(jiàn)的向量有力、速度、加速度、位移等；
（2）向量的加減運(yùn)算體現(xiàn)在力、速度、加速度、位移的合成與分解中；
（3）動(dòng)量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算；
（4）功是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.
1.（多選）下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A.若點(diǎn)B是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，則有＋＝2
B.若∥，則直線(xiàn)AB與CD平行
C.若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)
D.物理學(xué)中的功是一個(gè)向量
2.人騎自行車(chē)的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為（　　）
A.v1－v2 B.v1＋v2
C.｜v1｜－｜v2｜ D.｜｜
3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），則BC邊的中線(xiàn)AD的長(zhǎng)為　　　　.
題型一 向量在物理中的應(yīng)用
【例1】　（鏈接教科書(shū)第41頁(yè)例1）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某體重為m（單位：kg）的學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400 N，求該學(xué)生的體重.（參考數(shù)據(jù)：重力加速度g＝10 m/s2，≈1.732.結(jié)果保留一位小數(shù)）
通性通法
用向量方法解決物理問(wèn)題的四個(gè)步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
　一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動(dòng)了8 m，其中｜F1｜＝2 N，方向?yàn)楸逼珫|30°；｜F2｜＝4 N，方向?yàn)楸逼珫|60°；｜F3｜＝6 N，方向?yàn)楸逼?0°.求這三個(gè)力的合力F所做的功.
題型二 向量在平面幾何問(wèn)題中的應(yīng)用
角度1　利用向量證明平面幾何問(wèn)題
【例2】　（鏈接教科書(shū)第41頁(yè)例2）如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.
通性通法
用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路
（1）利用向量基底法求解：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.
（2）利用向量坐標(biāo)法求解：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題.
角度2　利用向量求線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題
【例3】　在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對(duì)角線(xiàn)BD＝2，求對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng).
通性通法
利用向量法求長(zhǎng)度的策略
（1）根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式｜a｜2＝a2求解；
（2）建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式，若a＝（x，y），則｜a｜＝.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2024·宿遷質(zhì)檢）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且⊥，則｜｜＝（　　）
A.　 　B.2　 　C.3　 　D.2
2.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE.
1.當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力大小都為｜F｜，若｜F｜＝｜G｜，則θ＝（　　）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
2.河水的流速為2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船在靜水中的速度大小為　　　　m/s.
3.（2024·南通月考）在Rt△ABC中，斜邊BC的長(zhǎng)為2，O是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋（＋），則｜｜＝　　　　.
4.已知長(zhǎng)方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E為OC中點(diǎn)，P為AO上一點(diǎn)，利用向量知識(shí)判斷當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，∠PED＝45°.
9.4　向量應(yīng)用
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
1.（1）平面幾何問(wèn)題　（2）向量運(yùn)算　（3）運(yùn)算結(jié)果
自我診斷
1.AC
2.B　由向量的加法法則可知逆風(fēng)行駛的速度為v1＋v2.故選B.
3.　解析：BC的中點(diǎn)為D（，6），＝（－，5），∴｜｜＝＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：如圖所示，該學(xué)生所受到的重力為G＝mg.
由題意得，｜G｜＝｜F'｜，F(xiàn)'＝F1＋F2.
所以｜F'｜2＝｜F1＋F2｜2＝＋＋2F1·F2＝4002＋4002＋2×400×400×cos 60°＝3×4002，
所以｜F'｜＝400.所以｜G｜＝400，
即該學(xué)生的體重為m＝≈69.3（kg）.
故該學(xué)生的體重約為69.3 kg.
跟蹤訓(xùn)練
　解：如圖，以物體的重心O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則F1＝（1，），F(xiàn)2＝（2，2），F(xiàn)3＝（－3，3），
∴F＝F1＋F2＋F3＝（2－2，2＋4）.
又位移s＝（4，4），
∴合力F所做的功W＝F·s＝（2－2）×4＋（2＋4）×4＝4×6＝24（J）.
∴合力F所做的功為24 J.
【例2】　證明：法一　設(shè)＝a，＝b，則｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·（ －a＋）＝－a2－a·b＋＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0），D（0，2），E（1，0），F(xiàn)（2，1），＝（2，1），＝（1，－2）.
因?yàn)椤ぃ剑?，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
【例3】　解：設(shè)＝a，＝b，則＝a－b，＝a＋b，
而｜｜＝｜a－b｜＝＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，
又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴｜｜＝，即AC＝.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，AD所在直線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)｜｜＝a（a＞0），則A（0，0），C（4，a），D（0，a），E（2，0），所以＝（2，－a），＝（4，a）.因?yàn)椤停浴ぃ?，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8.所以a＝2，所以＝（2，－2），所以｜｜＝ ＝2.
2.證明：以直角頂點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線(xiàn)為x軸，CB所在直線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)CA＝1，則C（0，0），A（1，0），B（0，1），D.
∴＝.
又AE＝2EB，∴E，∴＝，
∴·＝（－1）×＋×＝0，
∴⊥，∴AD⊥CE.
隨堂檢測(cè)
1.D　作＝F1，＝F2，＝－G（圖略），則＝＋，當(dāng)｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜時(shí)，△OAC，△OBC均為正三角形，所以∠AOC＝∠BOC＝60°. 從而∠AOB＝120°.故選D.
2.2　解析：由題意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，作出示意圖如圖.∴｜v｜＝＝＝2（m/s）.
3.1　解析：∵＝＋（＋），∴－＝（＋），＝（＋），∴AP為Rt△ABC斜邊BC的中線(xiàn).∴｜｜＝1.
4.解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則E（1，0），D（2，3），
設(shè)P（0，b）（0≤b≤3），
則＝（1，3），＝（－1，b），
∴cos∠PED＝
＝＝.
整理得2b2－3b－2＝0，
解得b＝2，b＝－（舍去），
∴當(dāng)點(diǎn)P為OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)時(shí)，∠PED＝45°.
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9.4　向量應(yīng)用
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)
題以及其他實(shí)際問(wèn)題 邏輯推理、直觀
想象
2.體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用 數(shù)學(xué)建模
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一桶水，兩人手臂
夾角越小越省力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力.
【問(wèn)題】　你能從數(shù)學(xué)的角度解釋上述現(xiàn)象嗎？
知識(shí)點(diǎn)　向量的應(yīng)用
1. 用向量運(yùn)算解決平面幾何問(wèn)題的“三步法”
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何
元素，將 轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
（2）通過(guò) ，研究幾何元素之間的關(guān)系；
（3）把 “翻譯”成幾何關(guān)系.
平面幾何問(wèn)題　
向量運(yùn)算　
運(yùn)算結(jié)果　
2. 平面向量在物理中的應(yīng)用
（1）物理問(wèn)題中常見(jiàn)的向量有力、速度、加速度、位移等；
（2）向量的加減運(yùn)算體現(xiàn)在力、速度、加速度、位移的合成與分
解中；
（3）動(dòng)量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算；
（4）功是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.
1. （多選）下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
D. 物理學(xué)中的功是一個(gè)向量
√
√
2. 人騎自行車(chē)的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為（　　）
A. v1－v2 B. v1＋v2
C. ｜v1｜－｜v2｜
解析： 　由向量的加法法則可知逆風(fēng)行駛的速度為v1＋v2.故
選B.
√

解析：BC的中點(diǎn)為D（ ，6）， ＝（－ ，5），∴｜ ｜
＝ ＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 向量在物理中的應(yīng)用
【例1】　（鏈接教科書(shū)第41頁(yè)例1）加強(qiáng)體育鍛煉是
青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某體重為m
（單位：kg）的學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示
的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊
的拉力大小均為400 N，求該學(xué)生的體重.（參考數(shù)據(jù)：
重力加速度g＝10 m/s2， ≈1.732.結(jié)果保留一位小數(shù)）
解：如圖所示，該學(xué)生所受到的重力為G＝mg.
由題意得，｜G｜＝｜F'｜，F(xiàn)'＝F1＋F2.
所以｜F'｜2＝｜F1＋F2｜2＝ ＋ ＋2F1·F2＝4002＋
4002＋2×400×400× cos 60°＝3×4002，
所以｜F'｜＝400 .所以｜G｜＝400 ，
即該學(xué)生的體重為m＝ ≈69.3（kg）.
故該學(xué)生的體重約為69.3 kg.
通性通法
用向量方法解決物理問(wèn)題的四個(gè)步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
　一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東
45°的方向移動(dòng)了8 m，其中｜F1｜＝2 N，方向?yàn)楸逼珫|30°；｜
F2｜＝4 N，方向?yàn)楸逼珫|60°；｜F3｜＝6 N，方向?yàn)楸逼?0°.
求這三個(gè)力的合力F所做的功.
解：如圖，以物體的重心O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的
正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則F1＝（1， ），F(xiàn)2
＝（2 ，2），F(xiàn)3＝（－3，3 ），
∴F＝F1＋F2＋F3＝（2 －2，2＋4 ）.
又位移s＝（4 ，4 ），
∴合力F所做的功W＝F·s＝（2 －2）×4 ＋（2
＋4 ）×4 ＝4 ×6 ＝24 （J）.
∴合力F所做的功為24 J.
題型二 向量在平面幾何問(wèn)題中的應(yīng)用
角度1　利用向量證明平面幾何問(wèn)題
【例2】　（鏈接教科書(shū)第41頁(yè)例2）如圖所示，在正方形ABCD中，
E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.
證明：法一　設(shè) ＝a， ＝b，則｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ，
所以 · ＝ · ＝－ a2－ a·b＋ ＝－ ｜a｜2＋
｜b｜2＝0.
故 ⊥ ，即AF⊥DE.
法二　建立如圖
所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0），D
（0，2），E（1，0），F(xiàn)（2，1）， ＝（2，1）， ＝（1，
－2）.
因?yàn)?· ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以 ⊥ ，即
AF⊥DE.
通性通法
用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路
（1）利用向量基底法求解：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；
③利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計(jì)算所得
結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.
（2）利用向量坐標(biāo)法求解：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相
關(guān)向量坐標(biāo)化；③利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用
向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題.
角度2　利用向量求線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題
【例3】　在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對(duì)角線(xiàn)BD＝
2，求對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng).
解：設(shè) ＝a， ＝b，則 ＝a－b， ＝a＋b，
而｜ ｜＝｜a－b｜＝ ＝ ＝
＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ ，
又｜ ｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴｜ ｜＝ ，即AC＝ .
通性通法
利用向量法求長(zhǎng)度的策略
（1）根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式｜a｜
2＝a2求解；
（2）建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式，若a＝（x，
y），則｜a｜＝ .
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2024·宿遷質(zhì)檢）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E為
AB的中點(diǎn)，且 ⊥ ，則｜ ｜＝（　　）
C. 3
√
解析： 　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x
軸，AD所在直線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的直角
坐標(biāo)系.設(shè)｜ ｜＝a（a＞0），則A（0，
0），C（4，a），D（0，a），E（2，
0），所以 ＝（2，－a）， ＝（4，a）.因?yàn)?⊥ ，所以 · ＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8.所以a＝2 ，所以 ＝（2，－2 ），所以｜ ｜＝ ＝2 .
2. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D為BC的中點(diǎn)，
E是AB上一點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE.
證明：以直角頂點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線(xiàn)為x軸，CB所在直
線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)CA＝1，則C（0，0），A（1，0），B（0，1），D .
∴ ＝ .
又AE＝2EB，∴E ，
∴ ＝ ，
∴ · ＝（－1）× ＋ × ＝0，
∴ ⊥ ，∴AD⊥CE.
1. 當(dāng)兩人提起重量為G的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力大小都
為｜F｜，若｜F｜＝｜G｜，則θ＝（　　）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
解析： 　作 ＝F1， ＝F2， ＝－G（圖略），則 ＝
＋ ，當(dāng)｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜時(shí)，△OAC，△OBC均為
正三角形，所以∠AOC＝∠BOC＝60°. 從而∠AOB＝120°.故
選D.
√

解析：由題意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，
作出示意圖如圖.∴｜v｜＝ ＝ ＝
2 （m/s）.
2 　
3. （2024·南通月考）在Rt△ABC中，斜邊BC的長(zhǎng)為2，O是平面
ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足 ＝ ＋ （ ＋ ），則｜ ｜
＝ .
解析：∵ ＝ ＋ （ ＋ ），∴ － ＝ （ ＋
）， ＝ （ ＋ ），∴AP為Rt△ABC斜邊BC的中
線(xiàn).∴｜ ｜＝1.
1　
4. 已知長(zhǎng)方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E為OC中點(diǎn)，P為AO
上一點(diǎn)，利用向量知識(shí)判斷當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，∠PED＝45°.
解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則E（1，
0），D（2，3），
設(shè)P（0，b）（0≤b≤3），
則 ＝（1，3）， ＝（－1，b），
∴ cos ∠PED＝
＝ ＝ .
整理得2b2－3b－2＝0，
解得b＝2，b＝－ （舍去），
∴當(dāng)點(diǎn)P為OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)時(shí)，∠PED＝45°.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
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1. 已知兩個(gè)力F1＝（1，2），F(xiàn)2＝（－2，3）作用于平面內(nèi)某靜止
物體的同一點(diǎn)上，為使該物體仍保持靜止，還需給該物體同一點(diǎn)上
再加上一個(gè)力F3，則F3＝（　　）
A. （1，－5） B. （－1，5）
C. （5，－1） D. （－5，1）
解析： 　根據(jù)力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝
（－1，5），因?yàn)槲矬w保持靜止，所以作用于物體的合力為0，則
F1＋F2＋F3＝0，則F3＝（1，－5）.故選A.
√
2. 在四邊形ABCD中，若 ＋ ＝0， · ＝0，則四邊形
ABCD為（　　）
A. 平行四邊形 B. 矩形
C. 等腰梯形 D. 菱形
解析： 　由 ＋ ＝0，得 ＝－ ＝ ，∴四邊形ABCD
為平行四邊形.由 · ＝0知，平行四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)互相垂
直，故四邊形ABCD為菱形.
√
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3. （2024·徐州月考）一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛
行，直撲獵物，太陽(yáng)光從頭上直照下來(lái)，鷹在地面上的影子沖向獵
物的速度大小是40 m/s，則鷹的飛行速度的大小為（　　）
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解析： 　如圖，設(shè)鷹在地面上的影子沖向獵物的
速度 ＝v1，鷹的飛行速度 ＝v2，由題可
知｜ ｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，則｜ ｜＝｜v2｜＝ ＝ .故選C.
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4. （2024·淮安月考）正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D，E分別為
AB，BC的中點(diǎn)，則 cos ∠DOE＝（　　）
解析： 　以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OC所在直線(xiàn)為x
軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.由題意
知， ＝（1， ）， ＝（ ，1），故 cos
∠DOE＝ ＝ ＝ .
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5. （多選）在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，如圖，則下列等
式成立的是（　　）
√
√
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解析： 　由 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos A＝｜ ｜·｜
｜，由射影定理可知A正確；由 · ＝｜ ｜｜ ｜· cos
B＝｜ ｜｜ ｜，由射影定理可知B正確；由 · ＝｜
｜｜ ｜ cos （π－∠ACD）＜0，又｜ ｜2＞0，即C錯(cuò)
誤；由題意可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，所以｜ ｜｜ ｜＝｜
｜·｜ ｜，又由A、B可得｜ ｜2＝ ，
即D正確.故選A、B、D.
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6. （多選）在△ABC中， ＝c， ＝a， ＝b，則下列命題中
是真命題的有（　　）
A. 若a·b＜0且b·c＜0，則△ABC為銳角三角形
B. 若a·b＞0，則△ABC為鈍角三角形
C. 若a·b＝c·b，則△ABC為等邊三角形
D. 若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，則△ABC為直角三角形
√
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解析： 　對(duì)于A，a·b＝ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos C＜
0，則 cos C＞0，則角C為銳角，同理，由b·c＜0可知角A為銳
角，但角B不一定是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a·b＝ · ＝
－｜ ｜·｜ ｜ cos C＞0，則 cos C＜0，則角C為鈍角，故B正
確；對(duì)于C，由a·b＝c·b，得（a－c）·b＝0，即（ －
）· ＝（ ＋ ）· ＝0，即（ ＋ ）·（ －
）＝ － ＝0，故｜ ｜＝｜ ｜，故△ABC為等
腰三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2＝（b－c）2，即｜ ｜2＝（ ＋ ）2，即（ － ）2＝（ ＋ ）2，化簡(jiǎn)得 · ＝0，故A＝ ，即△ABC為直角三角形，故D正確.故選B、D.
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7. 如圖所示，在傾斜角為37°，高為2 m的斜面上，質(zhì)量為5 kg的物
體m沿斜面下滑，物體m受到的摩擦力是它對(duì)斜面壓力的0.5倍，
則斜面對(duì)物體m的支持力所做的功為 J，重力對(duì)物體m所做的
功為 J（g＝9.8 m/s2， sin 37°＝0.6）.
0　
98　
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解析：物體m的位移大小為｜s｜＝ ＝ （m），則支持力
對(duì)物體m所做的功為W1＝F·s＝｜F｜｜s｜ cos 90°＝0（J）；
重力對(duì)物體m所做的功為W2＝G·s＝｜G｜｜s｜ cos 53°＝
5×9.8× ×0.6＝98（J）.
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8. （2024·蘇州月考）已知向量a＝ ， ＝a－b， ＝
a＋b，若△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則△OAB
的面積為 .
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解析：由題意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰
直角三角形，所以 ⊥ ，｜ ｜＝｜ ｜.由 ⊥ 得
（a－b）·（a＋b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜
b｜，由｜ ｜＝｜ ｜得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝
0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜
｜＝｜ ｜＝ ，所以S△OAB＝ × × ＝1.
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9. 在△ABC中，O為中線(xiàn)AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，則
·（ ＋ ）的最小值為 .
解析：因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以 ＋ ＝2 ，則 ·（
＋ ）＝2 · ＝2｜ ｜·｜ ｜· cos 180°＝－2｜
｜｜ ｜.設(shè)OA＝x（0≤x≤2），則OM＝2－x.令y＝x
（2－x）（0≤x≤2），則ymax＝1，所以 ·（ ＋ ）的最
小值為－2.
－2　
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10. 如圖，在平行四邊形ABCD中，M為線(xiàn)段DC的中點(diǎn)，N為線(xiàn)段
AC的中點(diǎn)，點(diǎn)T在線(xiàn)段AM上，且AT＝3TM. 求證：NT∥BM.
證明：記 ＝a， ＝b，
則 ＝ ＋ ＝－ a＋b，
＝ ＋ ＝－ ＋ .
而 ＝a＋b， ＝ ＋ ＝ a＋b，
所以 ＝－ （a＋b）＋ （ a＋b）＝－ a＋ b，
所以 ＝4 ，所以NT∥BM.
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11. 某江南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假
設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小｜v1｜＝8 km/h，水流的速度
的大小｜v2｜＝4 km/h，設(shè)v1和v2的夾角為θ（0°＜θ＜
180°），北岸的點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好抵達(dá)B處時(shí)，
cos θ＝（　　）
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解析： 　如圖，設(shè)船的實(shí)際速度為v.由題知北岸的
點(diǎn)B在A的正北方向，游船正好到達(dá)B處，則v⊥v2，
∴ cos θ＝－ cos （π－θ）＝－ ＝－ ＝－ .
故選D.
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12. （多選）一物體受到3個(gè)力的作用，其中重力G的大小為4 N，水
平拉力F1的大小為3 N，另一力F2未知，則（　　）
A. 當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，｜F2｜＝5 N
B. 當(dāng)F2與F1方向相反，且｜F2｜＝5 N時(shí)，物體所受合力大小為0
C. 當(dāng)物體所受合力為F1時(shí)，｜F2｜＝4 N
D. 當(dāng)｜F2｜＝2 N時(shí)，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N
√
√
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解析： 　對(duì)于A，當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，｜F2｜＝｜F1
＋G｜＝ ＝5（N），選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)F2與F1方
向相反，且｜F2｜＝5 N時(shí)，物體所受合力大小為
＝2 （N），選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)物體所
受合力為F1時(shí)，G與F2的合力為0，所以｜F2｜＝4N，選項(xiàng)C正
確；對(duì)于D，當(dāng)｜F2｜＝2 N時(shí)，因?yàn)镕1與G的合力大小為｜F1
＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，選項(xiàng)D正確.
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13. 如圖，平面內(nèi)點(diǎn)P在兩條平行直線(xiàn)m，n之間，且到m，n的距離
分別為1，2，點(diǎn)A，B分別在直線(xiàn)m，n上，且｜ ＋ ｜＝
5，則 · 的最大值為 .
4　
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解析：由題意，平面內(nèi)點(diǎn)P在兩條平行直線(xiàn)m，n之
間，且到m，n的距離分別為1，2，可得平行線(xiàn)
m，n間的距離為3，以直線(xiàn)m為x軸，以過(guò)點(diǎn)P且與
直線(xiàn)m垂直的直線(xiàn)為y軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示，則由題意可得點(diǎn)P（0，1），直線(xiàn)n的方程為y＝3.設(shè)點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（b，3），則 ＝（a，－1）， ＝（b，2），所以 ＋ ＝（a＋b，1）.因?yàn)椋?＋ ｜＝5，所以（a＋b）2＋1＝25，所以a＋b＝2 或a＋b＝－2 （舍去）.當(dāng)a＋b＝2 時(shí)， · ＝ab－2＝a（2 －a）－2＝－a2＋2 a－2＝－（a－ ）2＋4.所以當(dāng)a＝ 時(shí)， · 取得最大值，最大值為4.
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14. 在某海濱城市O附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖所示）的東偏南θ（θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng).臺(tái)風(fēng)
侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大.問(wèn)幾小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？（注： cos （θ－45°）＝ ）
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解：設(shè)t h后，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到Q處，
此時(shí)城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，
∠OPQ＝θ－45°.
∵ ＝ ＋ ，
∴ ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2 · .
∴ ＝ ＋ －2｜ ｜｜ ｜ cos （θ－45°）＝3002
＋（20t）2－2×300×20t× ＝100（4t2－96t＋900）.
依題意得 ≤（60＋10t）2，
解得12≤t≤24.
從而12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.
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15. （2024·常州月考）我們把與直線(xiàn)l垂直的向量稱(chēng)為直線(xiàn)l的法向
量.設(shè)e＝（A，B）是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量，那么n＝（－B，
A）就是直線(xiàn)l的一個(gè)法向量（如圖①）.借助直線(xiàn)的法向量，我
們可以方便地計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.
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已知P是直線(xiàn)l外一點(diǎn)，n是直線(xiàn)l的一個(gè)法向量，在直線(xiàn)l上任取
一點(diǎn)Q，那么 在法向量n上的投影向量為（｜ ｜ cos θ）
（θ為向量n與 的夾角），其模就是點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離
d，即d＝ （如圖②）.據(jù)此，請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：已知
點(diǎn)A（－4，0），B（2，－1），C（－1，3），求點(diǎn)A到直線(xiàn)
BC的距離.
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解：由題意，得直線(xiàn)BC的一個(gè)方向向量e＝ ＝（－3，4），
則n＝（－4，－3）為BC的一個(gè)法向量，
又 ＝（6，－1），
∴點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離d＝ ＝ ＝ .
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