資源簡介

　　
一、向量的線性運(yùn)算
1.向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個向量，因此，對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意向量的大小和方向兩個方面.向量是一個有“形”的幾何量，因此在進(jìn)行向量線性運(yùn)算時，一定要結(jié)合圖形，這是研究平面向量的重要方法與技巧.
2.向量的線性運(yùn)算有平面向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，以及平面向量的基本定理、共線定理，主要考查向量的線性運(yùn)算和根據(jù)線性運(yùn)算求參數(shù)問題.
【例1】　（1）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，4），則2a－b＝（　　）
A.（7，－2） B.（1，－2）
C.（1，－3） D.（7，2）
（2）如圖所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為　　　　.
反思感悟
　　向量共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核心，是向量線性運(yùn)算的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線、共點(diǎn)問題.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝（　　）
A. B.
C. D.2
2.在△OAB中，點(diǎn)P在AB上，且＝2，若＝r＋s，則r＋s＝　　　　.
二、向量的數(shù)量積
　　向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，重點(diǎn)是數(shù)量積的運(yùn)算，利用向量的數(shù)量積判斷兩向量平行、垂直，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的長度等.
【例2】　（1）（2023·全國乙卷6題）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點(diǎn)，則·＝（　　）
A.　　　B.3　　　C.2　 　D.5
（2）（2023·新高考Ⅱ卷13題）已知向量a，b滿足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，則｜b｜＝　　　　.
反思感悟
1.向量數(shù)量積的兩種計(jì)算方法
（1）當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os θ；
（2）當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a·b＝x1x2＋y1y2.
2.利用向量數(shù)量積可以解決以下問題
（1）設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均為非零向量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夾角和模的問題：
設(shè)a＝（x1，y1），則｜a｜＝；
兩向量夾角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b為非零向量）cos θ＝＝.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2023·全國甲卷3題）已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），則cos＜a＋b，a－b＞＝（　　）
A. B. C. D.
2.（2021·新高考Ⅱ卷15題）已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝2，a·b＋b·c＋c·a＝　　　　.
三、平面向量在幾何中的應(yīng)用
1.向量在平面幾何中的應(yīng)用是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、長度、夾角等問題.
2.對于有些平面圖形的問題，常建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算解決.
【例3】　（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且＝，＝，則·的值為　　　　；
（2）（2024·鎮(zhèn)江月考）如圖，半徑為的扇形AOB的圓心角為120°，點(diǎn)C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝　　　　.
反思感悟
　　把幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而解決問題.這樣的解題方法具有普遍性.
【跟蹤訓(xùn)練】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝DC.
求：（1）AD的長；
（2）∠DAC的大小.
章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
【例1】　（1）A　（2）　解析：（1）∵a＝（2，1），b＝（－3，4），∴2a－b＝2（2，1）－（－3，4）＝（4，2）－（－3，4）＝（4＋3，2－4）＝（7，－2）.故選A.
（2）設(shè)＝λ，∵＝＋＝－＋m＋＝（m－1）＋.＝＋＝－＋.∴（m－1）＋＝－λ＋λ，∴∴m＝.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　因?yàn)椋溅耍蹋溅耍ǎ蹋ǎ溅耍ǎ蹋ǎ剑é耍蹋ǎ蹋遥剑越獾盟驭耍蹋?
2.0　解析：因?yàn)椋?＝2（－）＝2－2（＋），所以＝－＝r＋s，又因?yàn)椋还簿€，所以所以r＋s＝0.
【例2】　（1）B　（2）　解析：（1）法一　由題意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝（＋）·（－＋）＝－｜｜2，由題意知｜｜＝｜｜＝2，所以·＝4－1＝3，故選B.
法二　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則E（1，0），C（2，2），D（0，2），則＝（1，2），＝（－1，2），·＝－1＋4＝3，故選B.
（2）因?yàn)椋黙＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，則a2＝2a·b.因?yàn)椋黙－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　由題意知，a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），所以cos＜a＋b，a－b＞＝＝＝＝，故選B.
2.－　解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－.
【例3】　（1）　（2）
解析：（1）作CO⊥AB于點(diǎn)O，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A，B，C，D，所以E，F(xiàn)，所以＝，＝，所以·＝·＝＋＝.
（2）由題意，得∠AOC＝90°，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則O（0，0），A（0，），C（，0），B（×cos 30°，－×sin 30°），即B.因?yàn)椋溅耍蹋裕ǎ?）＝λ（0，）＋μ＝（μ，λ－μ），即解得所以λ＋μ＝.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）設(shè)＝a，＝b，
則＝＋
＝＋＝＋（－）
＝＋＝a＋b.
∴｜｜2＝＝（a＋b）2
＝a2＋2×a·b＋b2
＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
∴AD＝.
（2）設(shè)∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°），
則θ為與的夾角.
∴cos θ＝
＝
＝
＝＝0.
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
3 / 3(共25張PPT)
章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
一、向量的線性運(yùn)算
1. 向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)
算的結(jié)果仍是一個向量，因此，對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解
和運(yùn)用要注意向量的大小和方向兩個方面.向量是一個有“形”的
幾何量，因此在進(jìn)行向量線性運(yùn)算時，一定要結(jié)合圖形，這是研究
平面向量的重要方法與技巧.
2. 向量的線性運(yùn)算有平面向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)
算，以及平面向量的基本定理、共線定理，主要考查向量的線性運(yùn)
算和根據(jù)線性運(yùn)算求參數(shù)問題.
【例1】　（1）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，4），則2a－
b＝（　A　）
A. （7，－2） B. （1，－2）
C. （1，－3） D. （7，2）
解析： ∵a＝（2，1），b＝（－3，
4），∴2a－b＝2（2，1）－（－3，4）＝
（4，2）－（－3，4）＝（4＋3，2－4）＝
（7，－2）.故選A.
A
（2）如圖所示，在△ABC中， ＝ ，P是BN上的一點(diǎn)，若
＝m ＋ ，則實(shí)數(shù)m的值為 　 　.
解析： 設(shè) ＝λ ，∵ ＝ ＋
＝－ ＋m ＋ ＝（m－1） ＋
. ＝ ＋ ＝－ ＋ .∴（m－1） ＋ ＝－λ ＋ λ ，∴∴m＝ .
　
反思感悟
　　向量共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核
心，是向量線性運(yùn)算的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共
線、共點(diǎn)問題.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，若 ＝λ ＋
μ ，則λ＋μ＝（　　）
D. 2
√
解析： 　因?yàn)?＝λ ＋μ ＝λ（ ＋ ）＋μ（
＋ ）＝λ（ ＋ ）＋μ（－ ＋ ）＝（λ－μ）
＋（ ＋μ） ，且 ＝ ＋ ，所以解得
所以λ＋μ＝ .
2. 在△OAB中，點(diǎn)P在AB上，且 ＝2 ，若 ＝r ＋s ，
則r＋s＝ .
解析：因?yàn)?＝2 ＝2（ － ）＝2 －2（ ＋ ），
所以 ＝ － ＝r ＋s ，又因?yàn)?， 不共線，
所以所以r＋s＝0.
0　
二、向量的數(shù)量積
　　向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，重點(diǎn)是數(shù)量積的運(yùn)算，利用向
量的數(shù)量積判斷兩向量平行、垂直，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的長
度等.
【例2】　（1）（2023·全國乙卷6題）正方形ABCD的邊長是2，E是
AB的中點(diǎn)，則 · ＝（　B　）
B. 3
D. 5
B
解析： 法一　由題意知， ＝ ＋ ＝ ＋ ，
＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以 · ＝（ ＋
）·（－ ＋ ）＝ － ｜ ｜2，由題意知｜
｜＝｜ ｜＝2，所以 · ＝4－1＝3，故選B.
法二　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， 的方向分別為x，y軸的正方向
建立平面直角坐標(biāo)系，則E（1，0），C（2，2），D（0，2），則
＝（1，2）， ＝（－1，2）， · ＝－1＋4＝3，故選B.
（2）（2023·新高考Ⅱ卷13題）已知向量a，b滿足｜a－b｜＝
，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，則｜b｜＝ 　 　.
　
解析：因?yàn)椋黙＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，則a2＝2a·b.因?yàn)椋黙－b｜＝ ，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝ .
反思感悟
1. 向量數(shù)量積的兩種計(jì)算方法
（1）當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b
＝｜a｜｜b｜ cos θ；
（2）當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝（x1，
y1），b＝（x2，y2），則a·b＝x1x2＋y1y2.
2. 利用向量數(shù)量積可以解決以下問題
（1）設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均為非零向
量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夾角和模的問題：
設(shè)a＝（x1，y1），則｜a｜＝ ；
兩向量夾角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b為非零向量） cos
θ＝ ＝ .
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2023·全國甲卷3題）已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），則
cos ＜a＋b，a－b＞＝（　　）
解析： 　由題意知，a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），所
以 cos ＜a＋b，a－b＞＝ ＝ ＝
＝ ，故選B.
√

解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝
0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－ .
－ 　
三、平面向量在幾何中的應(yīng)用
1. 向量在平面幾何中的應(yīng)用是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾
何中的平行、垂直、長度、夾角等問題.
2. 對于有些平面圖形的問題，常建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)
算解決.
【例3】　（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，
BC＝1，∠ABC＝60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且
＝ ， ＝ ，則 · 的值為 　 　；
　
解析： 作CO⊥AB于點(diǎn)O，建立如圖所
示的平面直角坐標(biāo)系，則A ，
B ，C ，D ，所以
E ，F(xiàn) ，所以 ＝ ， ＝ ，所以 · ＝ · ＝ ＋ ＝ .
（2）（2024·鎮(zhèn)江月考）如圖，半徑為 的扇形AOB的圓心角為
120°，點(diǎn)C在 上，且∠COB＝30°，若 ＝λ ＋
μ ，則λ＋μ＝ .
　
解析： 由題意，得∠AOC＝90°，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則
O（0，0），A（0， ），C（ ，0），
B（ × cos 30°，－ × sin 30°），即B .因?yàn)?＝λ ＋μ ，所以（ ，0）＝λ（0， ）＋μ ＝ ，即
解得所以λ＋μ＝ .
反思感悟
　　把幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的
坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而解決問題.這
樣的解題方法具有普遍性.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點(diǎn)D在線段BC
上，且BD＝ DC.
求：（1）AD的長；
解： 設(shè) ＝a， ＝b，則 ＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）
＝ ＋ ＝ a＋ b.
∴｜ ｜2＝ ＝（ a＋ b）2
＝ a2＋2× a·b＋ b2
＝ ×9＋2× ×3×3× cos 120°＋ ×9＝3.
∴AD＝ .
（2）∠DAC的大小.
解： 設(shè)∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°），
則θ為 與 的夾角.
∴ cos θ＝ ＝
＝ ＝ ＝0.
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑