資源簡介

章末檢測（九）　平面向量
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知向量a＝（2，0），b＝（－1，－1），則下列結論正確的是（　　）
A.a·b＝3　　　　　　 B.a∥b
C.b⊥（a＋b） D.｜a｜＝｜b｜
2.已知向量a＝（1，m），b＝（m，2），若a∥b，則實數m＝（　　）
A.－ B.
C.－或 D.0
3.已知A，B，C為圓O上的三點，若＋＝，圓O的半徑為2，則·＝（　　）
A.－1 B.－2
C.1 D.2
4.兩個大小相等的共點力F1，F2，當它們夾角為90°時，合力大小為20 N，則當它們的夾角為120°時，合力大小為（　　）
A.40 N B.10 N
C.20 N D.10 N
5.如圖，AB是☉O的直徑，點C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，設＝a，＝b，則＝（　　）
A.a＋b B.a－b
C.a＋b D.a－b
6.若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且（2a＋3b）⊥（ka－4b），則k＝（　　）
A.－6 B.6
C.3 D.－3
7.已知點A（2，－1），B（4，2），點P在x軸上，當·取最小值時，點P的坐標是（　　）
A.（2，0） B.（4，0）
C. D.（3，0）
8.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分別為AB，BC的中點，以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE的中點為P（如圖所示）.若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ－μ＝（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知向量a，b，c是三個非零向量，則下列結論正確的有（　　）
A.若a∥b，則a·b＝｜a｜·｜b｜
B.若a∥b，b∥c，則a∥c
C.a∥c的充要條件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa
D.若｜a＋b｜＝｜a－b｜，則a⊥b
10.已知平面向量a＝（1，1），b＝（－3，4），則下列說法正確的是（　　）
A.cos＜a，b＞＝
B.b在a方向上的投影向量為a
C.與b垂直的單位向量的坐標為（，）
D.若向量a＋λb與向量a－λb共線，則λ＝0
11.八卦是中國道家文化的深奧概念，其平面圖形可簡記為正八邊形ABCDEFGH（如圖所示），其中OA＝1，則下列結論中正確的是（　　）
A. ∥
B.·＝－
C.＋＝－
D.｜｜＝
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝3，則a與b的夾角為　　　　.
13.設向量a，b不平行，向量a＋λb與－a＋b平行，則實數λ＝　　　　.
14.如圖，已知點O為△ABC的外心，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若3＋4＋5＝0，則cos∠BOC的值為　　　　，·＝　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n），且∥.
（1）求實數n的值；
（2）若⊥，求實數m的值.
16.（本小題滿分15分）一條寬為 km的河，水流速度為2 km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速為4 km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達彼岸B碼頭？用時多少？
17.（本小題滿分15分）已知｜a｜＝，｜b｜＝1，a與b的夾角為45°.
（1）求a在b方向上的投影向量的模；
（2）求｜a＋2b｜的值；
（3）若向量（2a－λb）與（λa－3b）的夾角是銳角，求實數λ的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）如圖所示，平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，H，M分別是AD，DC的中點，F為BC上一點，且BF＝BC.
（1）以a，b為基底表示向量與；
（2）若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a與b的夾角為120°，求·；
（3）設線段AM，FH的交點為O，在（2）的條件下，求∠MOF的余弦值.
19.（本小題滿分17分）n個有次序的實數a1，a2，…，an所組成的有序數組（a1，a2，…，an）稱為一個n維向量，其中ai（i＝1，2，…，n）稱為該向量的第i分量，特別地，對一個n維向量a＝（a1，a2，…，an），若｜ai｜＝1，i＝1，2，…，n，稱a為n維信號向量.設a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），則a和b的內積定義為a·b＝aibi，且a⊥b a·b＝0.
（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
（2）證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量；
（3）已知k個兩兩垂直的2 024維信號向量x1，x2，…，xk滿足它們的前m個分量都是相同時，求證：＜45.
章末檢測（九）　平面向量
1.C　對于A，a·b＝2×（－1）＋0×（－1）＝－2，故A錯誤；對于B，2×（－1）－（－1）×0≠0，a與b不平行，故B錯誤；對于C，b·（a＋b）＝b·a＋｜b｜2＝－2＋2＝0，所以b⊥（a＋b），故C正確；對于D，｜a｜＝2，｜b｜＝，所以｜a｜≠｜b｜，故D錯誤.故選C.
2.C　由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝或－.故選C.
3.D　如圖所示，＋＝，∴四邊形OABC是菱形，且∠AOC＝120°.又圓O的半徑為2，∴·＝2×2×cos 60°＝2.故選D.
4.B　設夾角為90°時，合力為F，｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜cos 45°＝10 N，當夾角為120°時，由平行四邊形法則知：｜F合｜＝｜F1｜＝｜F2｜＝10 N.
5.A　連接CD（圖略），因為C，D是半圓弧的三等分點，所以CD∥AB，且CD＝AB，故＝＋＝b＋a.故選A.
6.B　由題意，得（2a＋3b）·（ka－4b）＝2ka2＋（3k－8）a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又｜a｜＝｜b｜＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.故選B.
7.D　設P（a，0），則＝（2－a，－1），＝（4－a，2），所以·＝（2－a）（4－a）－2＝a2－6a＋6，由二次函數的性質得，當a＝3時，·有最小值，此時點P的坐標是（3，0）.故選D.
8.A　因為以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE的中點為P，所以＝＋.易知＝－，＝＋＝＋＝＋＝2＋－＝＋，則＝λ＋μ＝λ＋μ（－）＝＋，則解得故λ－μ＝.故選A.
9.BCD　對于A，a∥b，則a，b方向相同或者相反，故a·b＝±｜a｜·｜b｜，故A錯誤；對于B，由于b≠0，所以a∥b，b∥c，則a∥c，故B正確；對于C，由于a，c為非零向量，所以a∥c的充要條件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa，故C正確；對于D，由｜a＋b｜＝｜a－b｜可得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2 a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b a·b＝0，故a⊥b，故D正確.故選B、C、D.
10.AD　由題意知｜a｜＝＝，｜b｜＝＝5，a·b＝1×（－3）＋1×4＝1，對于A，cos＜a，b＞＝＝＝，故A正確；對于B，b在a方向上的投影向量為a＝a，故B錯誤；對于C，設與b垂直的單位向量的坐標為（x0，y0），則解得或所以與b垂直的單位向量的坐標為（，）或（－，－），故C錯誤；對于D，因為向量a＋λb與向量a－λb共線，所以存在t∈R，使得a＋λb＝t（a－λb）＝ta－λtb，則解得故D正確.故選A、D.
11.ABC　對于A，由題圖知，在正八邊形ABCDEFGH中，連接AD（圖略），則AD∥BC，所以∥，故A正確；對于B，·＝｜｜·｜｜cos＝－，故B正確；對于C，＋＝，＝－，所以＋＝－ ，故C正確；對于D，連接AF，則｜｜＝｜－｜＝＝＝＝，故D錯誤.故選A、B、C.
12.　解析：設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝，又因為θ∈[0，π]，所以θ＝.
13.－4　解析：∵a，b不平行，∴－a＋b≠0，又a＋λb與－a＋b平行，∴存在實數μ，使得a＋λb＝μ（－a＋b）.根據平面向量基本定理，得解得λ＝－4.
14.－　0　解析：設外接圓半徑為R，則｜｜＝｜｜＝｜｜＝R，由3＋4＋5＝0.得4＋5＝－3，兩邊平方得16R2＋40·＋25R2＝9R2，則·＝－R2，即R2cos∠BOC＝－R2，則cos∠BOC＝－.因為＝＝－－，所以·＝·＝－－·＝－R2－R2cos∠BOC＝－R2－R2·＝0，即·＝0.
15.解：（1）因為＝（－1，3），＝（3，m），＝（1，n），
所以＝＋＋＝（3，3＋m＋n），
因為∥，設＝λ，
即
解得n＝－3.
（2）因為＝＋＝（2，3＋m），
＝＋＝（4，m－3），
又⊥，所以·＝0，
即8＋（3＋m）（m－3）＝0，
解得m＝±1.
16.解：如圖所示，設為水流速度，為最大航行速度，以AC和AD為鄰邊作 ACED且當與方向相同時能最快到達彼岸B碼頭，根據題意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
｜｜＝｜｜＝2，｜｜＝4，∠AED＝90°，
因為sin∠EAD＝，∠EAD∈（0°，90°），
所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°.
所以｜｜＝＝2.
又AB＝，所以用時＝0.5（h）.
所以該船的航行速度為4 km/h，與水流方向成120°角時能最快到達彼岸B碼頭，用時0.5 h.
17.解：（1）a在b方向上的投影向量的模為｜a｜cos 45°＝×＝1.
（2）a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 45°＝×1×＝1，
｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10，
則｜a＋2b｜＝.
（3）向量（2a－λb）與（λa－3b）的夾角是銳角，
得（2a－λb）·（λa－3b）＞0，且（2a－λb）與（λa－3b）不共線，
即2λa2＋3λb2－（6＋λ2）a·b＞0，
即有7λ－（6＋λ2）＞0，解得1＜λ＜6，
由（2a－λb）與（λa－3b）共線，可得2·（－3）＝－λ·λ，
解得λ＝±，
則實數λ的取值范圍為（1，）∪（，6）.
18.解：（1）∵平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，
H，M分別是AD，DC的中點，BF＝BC，
∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
（2）由（1）知，＝b＋a，＝a－b，
∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a與b的夾角為120°，
∴a·b＝2×3×cos 120°＝－3，
·＝（b＋a）·（a－b）＝a2－b2＋a·b＝×4－×9＋×（－3）＝－.
（3）由（1）（2）知，＝b＋a，＝a－b，a·b＝－3，·＝－，
∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－3，
∴｜｜＝＝＝＝，
｜｜＝＝＝＝，
∵線段AM、FH的交點為O，
∴∠MOF就是向量與的夾角，
∴cos∠MOF＝cos＜，＞＝＝＝－，
故∠MOF的余弦值為－.
19.解：（1）根據題意，兩兩垂直的4維信號向量可以為：（1，1，1，1），（－1，－1，1，1），（－1，1，－1，1），（－1，1，1，－1）.
（2）證明：假設存在14個兩兩垂直的14維信號向量y1，y2，…，y14，
因為將這14個向量的某個分量同時變號或將某兩個位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內積不變，
所以不妨設y1＝（1，1，…，1），y2＝（1，1，1，1，1，1，1，－1，－1，－1，－1，－1，－1，－1），
因為y1·y3＝0，所以y3有7個分量為－1，
設y3的前7個分量中有r個－1，則后7個分量中有7－r個－1，
所以y2·y3＝r·（－1）＋（7－r）＋（7－r）＋r·（－1）＝0，可得r＝，矛盾，
所以不存在14個兩兩垂直的14維信號向量.
（3）證明：任取i，j∈{1，2，…，k}，計算內積xi·xj，將所有這些內積求和得到S，
則S＝＋＋…＋＝2 024k，
設x1，x2，…，xk的第k個分量之和為ci，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為S的貢獻為，
所以S＝＋＋…＋≥＋＋…＋＝k2m，
則2 024k≥k2m，所以km≤2 024＜2 025，所以＜45.
3 / 3(共36張PPT)
章末檢測（九）平面向量
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知向量a＝（2，0），b＝（－1，－1），則下列結論正確的是
（　　）
A. a·b＝3 B. a∥b
C. b⊥（a＋b） D. ｜a｜＝｜b｜
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√
解析： 　對于A，a·b＝2×（－1）＋0×（－1）＝－2，故A錯
誤；對于B，2×（－1）－（－1）×0≠0，a與b不平行，故B錯
誤；對于C，b·（a＋b）＝b·a＋｜b｜2＝－2＋2＝0，所以b⊥
（a＋b），故C正確；對于D，｜a｜＝2，｜b｜＝ ，所以｜
a｜≠｜b｜，故D錯誤.故選C.
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2. 已知向量a＝（1，m），b＝（m，2），若a∥b，則實數m＝
（　　）
A. － B.
C. － 或 D. 0
解析： 　由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝ 或－ .故選C.
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3. 已知A，B，C為圓O上的三點，若 ＋ ＝ ，圓O的半徑
為2，則 · ＝（　　）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
解析： 　如圖所示， ＋ ＝ ，∴四邊形
OABC是菱形，且∠AOC＝120°.又圓O的半徑為
2，∴ · ＝2×2× cos 60°＝2.故選D.
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4. 兩個大小相等的共點力F1，F2，當它們夾角為90°時，合力大小
為20 N，則當它們的夾角為120°時，合力大小為（　　）
A. 40 N B. 10 N
C. 20 N D. 10 N
解析： 　設夾角為90°時，合力為F，｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜
cos 45°＝10 N，當夾角為120°時，由平行四邊形法則知：｜
F合｜＝｜F1｜＝｜F2｜＝10 N.
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5. 如圖，AB是☉O的直徑，點C，D是半圓弧AB上的兩個三等分
點，設 ＝a， ＝b，則 ＝（　　）
A. a＋b B. a－b
C. a＋ b D. a－ b
解析： 　連接CD（圖略），因為C，D是半圓弧的三等分點，
所以CD∥AB，且CD＝ AB，故 ＝ ＋ ＝b＋ a.故選
A.
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6. 若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且（2a＋3b）⊥（ka－4b），則
k＝（　　）
A. －6 B. 6
C. 3 D. －3
解析： 　由題意，得（2a＋3b）·（ka－4b）＝2ka2＋（3k－
8）a·b－12b2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又｜a｜＝｜b｜＝
1，于是2k－12＝0，解得k＝6.故選B.
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7. 已知點A（2，－1），B（4，2），點P在x軸上，當 · 取最
小值時，點P的坐標是（　　）
A. （2，0） B. （4，0）
C. D. （3，0）
解析： 　設P（a，0），則 ＝（2－a，－1）， ＝（4－
a，2），所以 · ＝（2－a）（4－a）－2＝a2－6a＋6，由
二次函數的性質得，當a＝3時， · 有最小值，此時點P的坐
標是（3，0）.故選D.
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8. 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB
＝4，E，F分別為AB，BC的中點，以A為圓心，AD為半徑的圓
弧DE的中點為P（如圖所示）.若 ＝λ ＋μ ，其中λ，
μ∈R，則λ－μ＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　因為以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE的中點為P，所
以 ＝ ＋ .易知 ＝ － ， ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ ＝2 ＋ － ＝ ＋ ，則
＝λ ＋μ ＝λ ＋μ（ － ）＝
＋ ，則解得故
λ－μ＝ .故選A.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知向量a，b，c是三個非零向量，則下列結論正確的有
（　　）
A. 若a∥b，則a·b＝｜a｜·｜b｜
B. 若a∥b，b∥c，則a∥c
C. a∥c的充要條件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa
D. 若｜a＋b｜＝｜a－b｜，則a⊥b
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解析： 　對于A，a∥b，則a，b方向相同或者相反，故a·b
＝±｜a｜·｜b｜，故A錯誤；對于B，由于b≠0，所以a∥b，
b∥c，則a∥c，故B正確；對于C，由于a，c為非零向量，所以
a∥c的充要條件是存在唯一的λ∈R，使得c＝λa，故C正確；
對于D，由｜a＋b｜＝｜a－b｜可得｜a＋b｜2＝｜a－b｜
2 a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b a·b＝0，故a⊥b，故D正確.
故選B、C、D.
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10. 已知平面向量a＝（1，1），b＝（－3，4），則下列說法正確的
是（　　）
A. cos ＜a，b＞＝
B. b在a方向上的投影向量為 a
C. 與b垂直的單位向量的坐標為（ ， ）
D. 若向量a＋λb與向量a－λb共線，則λ＝0
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解析： 由題意知｜a｜＝ ＝ ，｜b｜＝ ＝5，a·b＝1×（－3）＋1×4＝1，對于A， cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，故A正確；對于B，b在a方向上的投影向量為 a＝ a，故B錯誤；對于C，設與b垂直的單位向量的坐標為（x0，y0），則解得或所以與b垂直的單位向量的坐標為（ ， ）或（－ ，－ ），故C錯誤；對于D，因為向量a＋λb與向量a－λb共線，所以存在t∈R，使得a＋λb＝t（a－λb）＝
ta－λtb，則解得故D正確.故選A、D.
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11. 八卦是中國道家文化的深奧概念，其平面圖形可簡記為正八邊形
ABCDEFGH（如圖所示），其中OA＝1，則下列結論中正確的是
（　　）
A. ∥
B. · ＝－
C. ＋ ＝－
D. ｜ ｜＝
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解析： 對于A，由題圖知，在正八邊形ABCDEFGH
中，連接AD（圖略），則AD∥BC，所以 ∥ ，故A正
確；對于B， · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＝－ ，故B
正確；對于C， ＋ ＝ ， ＝－ ，所以 ＋
＝－ ，故C正確；對于D，連接AF，則｜ ｜＝｜
－ ｜＝ ＝ ＝
＝ ，故D錯誤.故選A、
B、C.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝3 ，則a與b的夾角
為 .
解析：設a與b的夾角為θ，則 cos θ＝ ＝ ＝ ，又
因為θ∈[0，π]，所以θ＝ .
　
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13. 設向量a，b不平行，向量a＋ λb與－a＋b平行，則實數λ
＝ .
解析：∵a，b不平行，∴－a＋b≠0，又a＋ λb與－a＋b平
行，∴存在實數μ，使得a＋ λb＝μ（－a＋b）.根據平面向
量基本定理，得解得λ＝－4.
－4　
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14. 如圖，已知點O為△ABC的外心，角A，B，C的對邊分別為
a，b，c.若3 ＋4 ＋5 ＝0，則 cos ∠BOC的值為
， · ＝ .
－
　
0　
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解析：設外接圓半徑為R，則｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝R，
由3 ＋4 ＋5 ＝0.得4 ＋5 ＝－3 ，兩邊平方得
16R2＋40 · ＋25R2＝9R2，
則 · ＝－ R2，即R2 cos ∠BOC＝－ R2，則 cos ∠BOC＝
－ .因為 ＝ ＝－ － ，所以 · ＝
· ＝－ － · ＝－ R2－ R2 cos
∠BOC＝－ R2－ R2· ＝0，即 · ＝0.
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知 ＝（－1，3）， ＝（3，m），
＝（1，n），且 ∥ .
（1）求實數n的值；
解： 因為 ＝（－1，3）， ＝（3，m）， ＝
（1，n），
所以 ＝ ＋ ＋ ＝（3，3＋m＋n），
因為 ∥ ，設 ＝λ ，
即
解得n＝－3.
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（2）若 ⊥ ，求實數m的值.
解： 因為 ＝ ＋ ＝（2，3＋m），
＝ ＋ ＝（4，m－3），
又 ⊥ ，所以 · ＝0，
即8＋（3＋m）（m－3）＝0，
解得m＝±1.
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16. （本小題滿分15分）一條寬為 km的河，水流速度為2 km/h，在
河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速
為4 km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快
到達彼岸B碼頭？用時多少？
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解：如圖所示，設 為水流速度， 為最大航
行速度，以AC和AD為鄰邊作 ACED且當 與
方向相同時能最快到達彼岸B碼頭，根據題意
AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，｜ ｜＝｜ ｜＝2，｜ ｜＝4，∠AED＝90°，因為 sin ∠EAD＝ ，∠EAD∈（0°，90°），所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°.所以｜ ｜＝ ＝2 .又AB＝ ，所以用時 ＝0.5（h）.所以該船的航行速度為4 km/h，與水流方向成120°角
時能最快到達彼岸B碼頭，用時0.5 h.
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17. （本小題滿分15分）已知｜a｜＝ ，｜b｜＝1，a與b的夾角
為45°.
（1）求a在b方向上的投影向量的模；
解： a在b方向上的投影向量的模為｜a｜ cos 45°＝
× ＝1.
（2）求｜a＋2b｜的值；
解： a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 45°＝ ×1× ＝1，
｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10，
則｜a＋2b｜＝ .
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（3）若向量（2a－λb）與（λa－3b）的夾角是銳角，求實數
λ的取值范圍.
解： 向量（2a－λb）與（λa－3b）的夾角是銳角，
得（2a－λb）·（λa－3b）＞0，且（2a－λb）與
（λa－3b）不共線，
即2λa2＋3λb2－（6＋λ2）a·b＞0，
即有7λ－（6＋λ2）＞0，解得1＜λ＜6，
由（2a－λb）與（λa－3b）共線，可得2·（－3）＝－
λ·λ，
解得λ＝± ，
則實數λ的取值范圍為（1， ）∪（ ，6）.
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18. （本小題滿分17分）如圖所示，平行四邊形ABCD中， ＝a，
＝b，H，M分別是AD，DC的中點，F為BC上一點，且BF
＝ BC.
（1）以a，b為基底表示向量 與 ；
解： ∵平行四邊形ABCD中， ＝
a， ＝b，
H，M分別是AD，DC的中點，BF＝ BC，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝b＋ a，
＝ － ＝ ＋ － ＝a＋ b－ b＝a－ b.
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（2）若｜a｜＝2，｜b｜＝3，a與b的夾角為120°，求
· ；
解： 由（1）知， ＝b＋ a， ＝a－ b，
∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a與b的夾角為120°，
∴a·b＝2×3× cos 120°＝－3，
· ＝（b＋ a）·（a－ b）＝ a2－ b2＋ a·b＝ ×4－ ×9＋ ×（－3）＝－ .
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（3）設線段AM，FH的交點為O，在（2）的條件下，求
∠MOF的余弦值.
解： 由（1）（2）知， ＝b＋
a， ＝a－ b，a·b＝－3， · ＝
－ ，
∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·b＝－3，
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∴｜ ｜＝ ＝ ＝
＝ ，
｜ ｜＝ ＝ ＝
＝ ，
∵線段AM、FH的交點為O，
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∴∠MOF就是向量 與 的夾角，
∴ cos ∠MOF＝ cos ＜ ， ＞＝ ＝
＝－ ，
故∠MOF的余弦值為－ .
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19. （本小題滿分17分）n個有次序的實數a1，a2，…，an所組成的
有序數組（a1，a2，…，an）稱為一個n維向量，其中ai（i＝
1，2，…，n）稱為該向量的第i分量，特別地，對一個n維向量
a＝（a1，a2，…，an），若｜ai｜＝1，i＝1，2，…，n，稱a
為n維信號向量.設a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，
b2，…，bn），則a和b的內積定義為a·b＝ aibi，且
a⊥b a·b＝0.
（1）直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
解： 根據題意，兩兩垂直的4維信號向量可以為：
（1，1，1，1），（－1，－1，1，1），（－1，1，－1，
1），（－1，1，1，－1）.
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（2）證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量；
解： 證明：假設存在14個兩兩垂直的14維信號向量
y1，y2，…，y14，
因為將這14個向量的某個分量同時變號或將某兩個位置
的分量同時互換位置，任意兩個向量的內積不變，
所以不妨設y1＝（1，1，…，1），y2＝（1，1，1，1，
1，1，1，－1，－1，－1，－1，－1，－1，－1），
因為y1·y3＝0，所以y3有7個分量為－1，
設y3的前7個分量中有r個－1，則后7個分量中有7－r個－1，
所以y2·y3＝r·（－1）＋（7－r）＋（7－r）＋r·（－1）
＝0，可得r＝ ，矛盾，
所以不存在14個兩兩垂直的14維信號向量.
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（3）已知k個兩兩垂直的2 024維信號向量x1，x2，…，xk滿足它
們的前m個分量都是相同時，求證： ＜45.
解： 證明：任取i，j∈{1，2，…，k}，計算內積
xi·xj，將所有這些內積求和得到S，
則S＝ ＋ ＋…＋ ＝2 024k，
設x1，x2，…，xk的第k個分量之和為ci，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為S的貢獻為 ，
所以S＝ ＋ ＋…＋ ≥ ＋ ＋…＋ ＝k2m，
則2 024k≥k2m，所以km≤2 024＜2 025，所以 ＜45.
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