資源簡介

2.7探索勾股定理
（第2課時）
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年級上冊
章節導讀
學 習 目 標
知識理解目標
能準確復述勾股定理逆定理的內容："若三角形三邊滿足a2+b2=c2,則該三角形為直角三角形，且 c為直角。
應用技能目標
能根據給定三邊長度，通過計算驗證是否滿足逆定理條件，并判斷三角形是否為直角三角形（如判斷邊長為5、12、13的三角形是否為直角三角形）。
邏輯推理目標
能通過構造法或反證法初步理解逆定理的證明思路，體會幾何命題的互逆性。
能結合全等三角形等知識，解釋逆定理與勾股定理的邏輯閉環關系
課堂導入
古埃及人在沒有特殊工具的時候用以下的方法來得到直角：將一根繩子12等分，在3個單位長和7個單位長的地方做好標記，然后將繩子連成環形并在接口處做好標記，最后分別在三個做好標記的地方將繩子拉直，就得到了一個直角
古埃及人是怎么確定得到的是直角三角形的呢
新知探究
提供不同長度的小棒（如3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm；6cm、8cm、10cm；7cm、8cm、9cm等）。
分別拼成三角形，并用量角器測量最大的角
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}邊長組合
是否滿足a2+b2=c2
最大角度數
是否為直角三角形
3,4,5
是（25=16+9）
90°
是
5,12,13
是（169=25+144）
90°
是
7,8,9
否（81≠49+64）
約80°
否
6,8,10
是（100=36+64）
90°
是
勾股定理的逆定理：如果三角形中兩邊長的平方和等于第三邊長的平方，那么這個三
角形是直角三角形。
例1.已知，△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（???? ?）
典例分析
A . ?????????????????=???????? B . ????=????，????=????，????=????
C . ∠????+∠????=∠???? D . ∠????:∠????：∠????=????:????:????
?
由?????????????????=???????? ，變形得????????=????????+????????，符合勾股定理逆定理，說明∠B=90°，能判斷為直角三角形
?
三邊????=????，????=????，????=????，滿足32+42=52，符合勾股定理逆定理，能判斷為直角三角形
?
由∠????+∠????=∠????以及三角形內角和180°，可得2∠C=180°，即∠C=90°，能判斷為直角三角形
?
設∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，則3x+4x+5x=180°，解得x=15°，三個角分別為45°、60°、75°、均為銳角，無法構成直角三角形
D
變式訓練
在下列由線段a、b、c組成的三角形中，是直角三角形的是（??? ??）
最長邊為8，驗證：62+62=36+36=72，82=64，所以62+62≠82，不是直角三角形
最長邊為4，驗證：22+32=4+9=13，42=16，所以22+32≠42，不是直角三角形
A . a=2，b=3，c=4 B . a=6，b=6，c=8
C . a=5，b=12，c=13 D . a=5，b=8，c=10
最長邊為13，驗證：52+122=25+144=169，132=169，所以52+122≠132，是直角三角形
最長邊為10，驗證：52+82=25+64=89，102=100，所以52+82≠102，不是直角三角形
C
例2 如圖，小微同學想測量一條河的寬度MP，出于安全考慮，河岸邊不宜到達，她在地面上取一個參考點H，發現MP延長線上的點N處有一棵大樹，用測距儀測得MH=34米，NH=30米，HP=31米，已知MN=16米，請你計算這條河的寬度MP．（結果保留根號）
典例分析
根據勾股定理的逆定理，確定∠N=90°，再利用勾股定理解答即可
解：∵MN=16米，NH=30米，MH=34米
∴MN2+NH2=MH2,
∴△MNH是直角三角形，且∠N=90°
在Rt△NPH中，HP=31米，NH=30米
∴NP=?????????????????????????=????????米
∴MP=MN-NP=(16-????????)米
即這條河的寬度MP為(16-????????)米
?
變式訓練
不少家長在選擇嬰兒車時，不僅關注其舒適性、便捷性，更關注嬰兒車的安全性．如圖1是某平臺出售的一種品牌嬰兒車，圖2為其結構示意圖，經過測量得到AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB與BD之間由一個固定為90°的零件連接（即∠ABD=90°）．根據安全標準需滿足BC⊥CD，請判斷該嬰兒車是否符合安全標準，并說明理由．
解：符號安全標準
理由：∵在△ABD中，∠ABD=90°，AB=6dm，AD=9dm
∴BD2=AD2-AB2=92-62=45
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°
∴BC⊥CD，∴該嬰兒車符合安全標準
例3 如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=3，點D是Rt△ABC外一點，連接CD、AD，且CD=12，AD=13．求四邊形ABCD的面積．
典例分析
解：∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC=????????????+????????????=????????+????????=????
∴CD=12，AD=13
∴AC2+CD2=52+122=25+144=169,AD2=132=169
∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°
∴????四邊形????????????????=?????????????????+?????????????????=????????×????×????+????????×????×????????=????????
?
由勾股定理可得AC=5，證明AC2+CD2=AD2,則由勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°，再根據????四邊形????????????????=?????????????????+?????????????????列式求解即可
?
變式訓練
如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．求四邊形ABCD的面積．
解：如圖所示，連接AC
∵∠B=90°，AB=4，BC=3
根據勾股定理得：AC=????????????+????????????=????
又∵CD=12，AD=13,
∴CD2+AC2=169，AD2=169,∴CD2+AC2=AD2
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°
∴????四邊形????????????????=???????????????????????????????????=????????×????×?????????????????×????×????=????????
?
連接AC，由勾股定理求解AC的值，再證明△ACD為直角三角形，得到∠ACD=90°，最后根據????四邊形????????????????=???????????????????????????????????代入即可求解
?
課堂練習
1．若△ABC的三邊a， b，c滿足a:b:c=1:????:2， 則△ABC的形狀是（??????????）
?
D
設三邊分別為：k、????????、2k(k＞0)，其中最長邊為2k；再利用勾股定理的逆定理判斷三角形形狀即可
?
解：∵a：b：c=1:????：2
設三邊分別為：k、????????、2k(k＞0)，其中最長邊為2k
∵（2k）2=4k2，k2+（????k）2=k2+3k2=4k2
∴△ABC為直角三角形。
?
A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形
課堂練習
2.如圖，在4×4方格中作以為一邊的，要求點C也在格點上，這樣的能作出（???????）? ??
A .2個 B . 4個 C . 6個 D . 7個
C
H
E
D
F
G
C
課堂練習
3．已知A，B，C三地的位置及兩兩之間的距離如圖所示．若D地位于A，C兩地的中點處，則B，D兩地之間的距離是（?? ???）
根據勾股定理得出△ABC是直角三角形，再利用用直角三角形的性質即可
解：∵BC2+AB2=144+25=169,AC2=169
∴BC2+AB2=AC2
∴△ABC是直角三角形
∵D地位于A、C兩地的中點
∴BD=????????????=????.????????????
?
A .2.5km B . 6km C . 6.5km D . 7.5km
C
課堂練習
4 .如圖，以的三邊向外作正方形，其面積依次為4，9，13，則這個三角形的面積______．
根據正方形面積為4、9、13，可得這個三角形邊長之間的關系，依據勾股定理逆定理可得這個三角形的性質，進而得出其面積
解：由題可得，4+9=13，
∴22+32=????????????
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°
又∵AB=????=???? ，BC=????=3
∴△ABC的面積=????????AB×BC=????????×????×????=3
?
3
課堂練習
5.如圖，在△ABC中，AC和BC的垂直平分線I1和I2分別交AB于點D、E，若AD=3，DE=4，EB=5，則△ABC的面積等于_______．
連接CD、CE，根據線段垂直平分線的性質得到CD=AD，EC=EB，根據勾股定理的逆定理得到△CDE是直角三角形，根據三角形的面積公式計算即可
解：∵連接CD、CE
∵I1是線段AC的垂直平分線，∴CD=AD=3
∵I2是線段BC的垂直平分線，∴EC=EB=5
∵CD2+DE2=32+42=25=CE2
∴∠CDE=90°，∴CD⊥AB
∴?????????????????=?????????????????????????=????????×????+????+????×????=????????
?
????????
?
課堂練習
6．為方便游客登山，某景區分別在山峰的東麓和西麓（東邊山腳和西邊山腳）各修建一條登山纜車索道，其示意圖如圖所示，從《游客須知》手冊上得到信息：西索道AB單程需要10min，纜車平均速度為1m/s；東索道AC單程需要6min40s，纜車平均速度為2m/s．已知山腳兩索道出發點間的直線距離BC為1km，且B，C兩地的海拔高度均為1500m，求該山峰山頂A的海拔高度．
解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則該山峰頂A的海波高度（AD+1500）m
根據題意：AB=10×60=600（m），AC=（6×60+40）×2=800（m），BC=1000（m）,∴AB2+AC2=BC2
∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°
∴?????????????????????????=?????????????????????????,∴AD=?????????????????????????=????????????×??????????????????????????=????????????(????)
∴AD+1500=1980(m)
?
D
課堂練習
7．如圖，長方體的長和寬分別為8cm和4cm，高為10cm．若一只螞蟻從點P開始經過4個側面爬行一圈到達點Q，求螞蟻爬行的最短路徑的長度．
解：長方體的側面展開圖如圖所示，連接PQ，則PQ為螞蟻爬行的最短路徑的長度
∵長方體的長為8cm，寬為4cm，高為10cm
∴PP'=4+8+4=24(cm),P'Q=10cm
由題意可知：∠PP'Q=90°
∴在Rt△PP'Q中，PQ=??????′????+????′????????=????????????????
∴螞蟻爬行的最短路線的長度為26cm
?
課堂小結
實際問題驗證：建筑中檢查墻角是否垂直（如用卷尺測量邊長后計算驗證）。
綜合題型：與勾股定理結合，先通過邊長判定形狀，再求面積或高。
逆定理的實際應用
若一個三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2（其中c為最長邊)，則這個三角形是直角三角形，且直角對著最長邊c
①勾股定理（正向）是“由直角推邊長關系”，逆定理是“由邊長關系推直角”。
②必須驗證最長邊的平方是否等于另兩邊的平方和。
勾股定理的逆定理的內容
01
03
04
02
感謝聆聽!

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