資源簡介

第1課時　兩角和與差的正弦公式
1.化簡sin＋sin＝（　　）
A.－sin x　　　　　　　B.sin x
C.－cos x D.cos x
2.（2024·南通月考）在△ABC中，已知sin C＝2sin（B＋C）cos B，則△ABC一定是（　　）
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等邊三角形
3.已知cos（α－β）＝，sin β＝－，且α∈，β∈，則sin α＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
4.已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，則β＝（　　）
A. B.
C. D.
5.（多選）已知θ是銳角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ不能取得的值是（　　）
A. B.　
C. D.
6.（多選）下列計算正確的是（　　）
A.sin 15°－cos 15°＝
B.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
C.sin－cos＝
D.sin 105°＝
7.（2024·宿遷如東中學期中）＝　　　　.
8.（2024·泗陽實驗高中月考）化簡3sin x－3cos x＝　　　　.
9.已知sin α＝－，α∈，cos β＝－，β∈，則cos（α＋β）＝　　　　，sin（α＋β）＝　　　　.
10.化簡下列各式：
（1）sin（α－30°）＋sin（α＋30°）；
（2）sin＋2sin－cos.
11.（2024·淮安月考）已知sin θ＋sin＝1，則sin＝（　　）
A. B.
C. D.
12.（多選）已知α，β均為銳角，則下列不等式一定成立的是（　　）
A.sin（α＋β）＞sin α＋sin β
B.sin（α＋β）＜sin α＋sin β
C.cos（α＋β）＞cos α＋cos β
D.cos（α＋β）＜cos α＋cos β
13.如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE＝1，連接EC，ED，則sin∠CED＝　　　　.
14.已知α，β∈（0，），cos α＝，cos（α＋β）＝.
（1）求sin β的值；
（2）求2α＋β的值.
15.（2024·揚州月考）已知函數f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋.
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的對稱軸和對稱中心.
第1課時　兩角和與差的正弦公式
1.B　sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.
2.B　由sin C＝2sin（B＋C）cos B得sin（A＋B）＝2sin Acos B，所以sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin（A－B）＝0，即A＝B，所以△ABC為等腰三角形.故選B.
3.A　∵α∈，β∈，∴cos β＝，∴0＜α－β＜π，∴sin（α－β）＝，∴sin α＝sin[（α－β）＋β]＝×＋×＝＝.故選A.
4.C　∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，由cos α＝得sin α＝，由cos（α－β）＝得sin（α－β）＝，∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×＝＝，∴β＝.故選C.
5.BCD　sin θ＋cos θ＝（sin θ＋cos θ）＝sin.∵0＜θ＜，∴＜θ＋＜，∴＜sin≤1，∴1＜sin≤.故選B、C、D.
6.BD　對于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin（15°－60°）＝sin（－45°）＝－，故A錯誤；對于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin（20°＋10°）＝sin 30°＝，故B正確；對于C，sin－cos＝2（sincos－sincos）＝2sin＝2sin＝－，故C錯誤；對于D，sin 105°＝sin（60°＋45°）＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，故D正確.故選B、D.
7.　解析：
＝
＝
＝＝.
8.6sin（x－）　解析：3sin x－3cos x＝6·（sin x－cos x）＝6sin（x－）.
9.　　解析：∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝－＝－，∵cos β＝－，β∈，∴sin β＝，∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝＋＝，sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＝.
10.解：（1）sin（α－30°）＋sin（α＋30°）＝sin αcos 30°－cos αsin 30°＋sin αcos 30°＋cos αsin 30°＝2sin αcos 30°＝sin α.
（2）法一　原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x＝sin x＋（sin－2sin－cos）·cos x＝（＋1－×）sin x＋［－2×－×］cos x＝0.
法二　原式＝sin＋cos（x＋）＋2sin＝2［sin（x＋）·＋cos（x＋）·］＋2sin＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin＝0.
11.B　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin（θ＋）＝，故選B.
12.BD　對于A，當α＝β＝時，sin（α＋β）＜sin α＋sin β，故A錯誤；對于B，由于α，β均為銳角，所以sin α，cos α，sin β，cos β的范圍均為（0，1），所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋sin βcos α＜sin α＋sin β，故B正確；對于C，當α＝β＝時，cos（α＋β）＜cos α＋cos β，故C錯誤；對于D，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＜cos αcos β＜cos α＜cos α＋cos β，故D正確.故選B、D.
13.　解析：由題意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sin·cos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.
14.解：（1）∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π），
又cos α＝，cos（α＋β）＝，
則sin α＝＝，
sin（α＋β）＝＝，
∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）·cos α－cos（α＋β）sin α＝×－×＝.
（2）cos（2α＋β）＝cos[（α＋β）＋α]＝cos（α＋β）cos α－sin αsin（α＋β）＝×－×＝0.
由α，β∈（0，），得2α＋β∈（0，），
∴2α＋β＝.
15.解：（1）函數f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋＝2（sin 2x·＋cos 2x·）＋＝2sin（2x＋）＋，
故它的最小正周期為＝π.
（2）令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
故函數f（x）的對稱軸為x＝＋，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
故函數f（x）的對稱中心為，k∈Z.
2 / 210.1.2　兩角和與差的正弦
新課程標準解讀 核心素養
1.了解兩角和與差的正弦和兩角和與差的余弦間的關系 邏輯推理
2.會推導兩角和與差的正弦公式，掌握公式的特征 邏輯推理
3.能夠運用兩角和與差的正弦公式解決有關求值、化簡等問題 數學運算
第1課時　兩角和與差的正弦公式
　　觀察下面兩組公式：
　　（1）cos（－α＋）＝sin α，sin （－α＋）＝cos α；
　　（2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C（α＋β）），cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β））.
　　前面一節課我們學習了兩角和與差的余弦公式，我們知道，用誘導公式可以實現正弦與余弦的互化.
【問題】　你能根據兩角和與差的余弦公式及誘導公式，推導出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin（α＋β），sin（α－β）的公式嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　兩角和與差的正弦公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角和的正弦公式 sin（α＋β）＝　　　　 S（α＋β） α，β∈R
兩角差的正弦公式 sin（α－β）＝　　　　 S（α－β）
提醒　兩角和與差的正、余弦公式的聯系：
知識點二　輔助角公式
1.構造含特殊角的三角函數式
sin x±cos x＝　　sin（x±　　）；
sin x± cos x＝　　sin（x±　　）；
sin x±cos x＝　　sin（x±　　）.
2.構造含輔助角的三角函數式
f（x）＝asin x＋bcos x＝sin（x＋φ）（其中tan φ＝　　）＝cos（x－φ）（其中tan φ＝　　）.
提醒　通過特殊角或輔助角三角函數構造和差角正弦、余弦公式形式，把三角函數的和差化成和差角的一個三角函數，有利于研究三角函數的圖象和性質.
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的
B. α，β∈R，使得sin（α－β）＝sin α－sin β成立
C.sin（α－β）＝sin βcos α－sin αcos β
D.sin（α＋β）＝sin α＋sin β 一定不成立
2.sin 15°＝（　　）
A.B.C.D.
3.在△ABC中，A＝，cos B＝，則sin C＝　　　　.
題型一 給角求值
【例1】　（1）（鏈接教科書第59頁練習2題）sin 18°cos 12°＋cos 18°sin 12°＝（　　）
A.－　 B.－ 　C.　 　D.
（2）－＝（　　）
A.2 B.4
C.6 D.8
通性通法
解決給角化簡與求值問題的策略
（1）化簡：三角函數式化簡的主要思路有：①觀察角的特點，充分利用角之間的關系，盡量向同角轉化，利用已知角構建待求角；②觀察函數特點，向同名轉化，弦切互化，通常是切化弦；
（2）求值：運用兩角和與差的正弦公式求三角函數值主要有以下幾種形式：①將非特殊角轉化為特殊角的三角函數，如sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin（60°－45°）；②逆用公式湊成特殊角求值，如sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin（13°＋17°）＝sin 30°；③進行拆角、拼角，整體代換求值，這一點與兩角和與差的余弦公式的應用基本一致，如α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β.
【跟蹤訓練】
1.（2024·泗陽實驗高中月考）計算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
2.化簡：－2cos（α＋β）.
題型二 給值求值
【例2】　（鏈接教科書第57頁例1）（1）已知sin α＝，α∈（，π），cos β＝－，β∈（π，），求sin（α－β）的值；
（2）（2024·鎮江中學月考）若cos（α＋）＝－，α∈（0，），求sin α的值.
通性通法
解給值求值問題的思路及常用變換
（1）解決給值求值型問題的一般思路：觀察公式中的量，確定哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知條件結合同角三角函數的基本關系求出待求值，注意根據角的終邊所在的象限確定符號；
（2）解決給值求值型問題的關鍵是找已知式與待求式之間角、運算及函數名的差異，常見角的變換有：
①2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α；
②＝－，＝（ α＋）－；
③＋＝＋（α＋β），＋＝＋（α－β）.
另外，還要特別注意題干中的隱含條件.
【跟蹤訓練】
　已知α，β都是銳角，且sin α＝，sin（α－β）＝，求sin β的值.
題型三 給值求角
【例3】　已知sin（α＋β）＝，cos α＝，α，β均為銳角，求角β的值.
通性通法
解決給值求角問題的方法
　　解決此類題目的關鍵是求出所求角的某一三角函數值，而三角函數的選取一般要根據所求角的范圍來確定，當所求角的范圍是（0，π）或（π，2π）時，選取求余弦值，當所求角范圍是或（－，）時，選取求正弦值.
【跟蹤訓練】
　已知α，β均為銳角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值.
題型四 輔助角公式及應用
【例4】　（鏈接教科書第58頁例3）已知f（x）＝sin x－cos x.
（1）將f（x）化成y＝Asin（x＋φ）的形式；
（2）求f（x）的最小正周期及最大值.
【母題探究】
　（變條件）若本例條件改為：已知f（x）＝sin x－cos x，如何求解？
通性通法
將asin x＋bcos x化為Asin（ωx＋φ）的方法技巧
（1）對形如sin x±cos x，sin x±cos x的三角函數式均可利用特殊角的關系，運用和、差角的正弦、余弦公式化簡為含一個三角函數式的形式，即y＝Asin（x＋φ）的形式；
（2）對于不能構造含特殊角的三角函數式也可通過輔助角公式進行化簡.
【跟蹤訓練】
　求函數y＝cos x＋cos（x＋）的最大值.
1.（2024·徐州月考）sin 7°cos 37°－sin 83°·sin 37°＝（　　）
A.－　　　　　　　　 B.－
C. D.
2.設α∈，若sin α＝，則2sin（α＋）＝　　　　.
3.（2024·常州月考）函數f（x）＝sin x－cos（x＋）的值域為　　　　.
第1課時　兩角和與差的正弦公式
【基礎知識·重落實】
知識點一
　sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β
知識點二
1.　　2　　2　　2.　
自我診斷
1.AB　對于A，兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的，故A正確；對于B，當α＝β＝0時，sin（α－β）＝sin α－sin β成立，故B正確；對于C，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，故C錯誤；對于D，當α＝β＝0時，sin（α＋β）＝sin α＋sin β成立，故D錯誤.故選A、B.
2.B　sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝.故選B.
3.　解析：sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A，由A＝，得sin A＝，cos A＝，由B為△ABC內角，cos B＝，則sin B＝.則sin C＝ ×＋×＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）D　（2）B　解析：（1）sin 18°cos 12°＋cos 18°sin 12°＝sin（18°＋12°）＝sin 30°＝.
（2）－＝－＝＝＝＝＝4.
跟蹤訓練
1.B　sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin（50°＋10°）＝sin 60°＝.故選B.
2.解：原式＝
＝
＝＝.
【例2】　解：（1）由sin α＝，α∈（，π），得cos α＝－＝－＝－.
又由cos β＝－，β∈（π，），得sin β＝－＝－＝－.
∴sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×（－）－（－）×（－）＝－.
（2）∵α∈（0，），∴＜α＋＜，sin（α＋）＝＝＝，則sin α＝sin（α＋－）＝sin（α＋）cos－cos（α＋）sin＝×－（－）×＝.
跟蹤訓練
　解：∵α為銳角，且sin α＝，∴cos α＝＝，
∵α，β都是銳角，∴－＜α－β＜，
又sin（α－β）＝，∴cos（α－β）＝＝，
∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×＝.
【例3】　解：因為α為銳角，則0＜α＜，又cos α＝，所以sin α＝.
又因為β為銳角，則0＜β＜，所以0＜α＋β＜π.
因為sin（α＋β）＝＜sin α，所以cos（α＋β）＝－，
所以sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝×－（－）×＝.
又因為0＜β＜，所以β＝.
跟蹤訓練
　解：因為α，β均為銳角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝，sin β＝.
所以sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.
又因為α，β均為銳角，所以－＜α－β＜.
故α－β＝－.
【例4】　解：（1）f（x）＝sin xcos－cos xsin＝sin（x－）.
（2）由（1）知T＝＝＝2π，
當x－＝＋2kπ（k∈Z），即x＝＋2kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值1.
母題探究
　解：（1）f（x）＝（sin x－cos x）＝（cossin x－sincos x）＝sin（x－）.
（2）由（1）知T＝＝＝2π，
當x－＝＋2kπ（k∈Z），即x＝＋2kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值.
跟蹤訓練
　解：y＝cos x＋cos x－sin x
＝cos x－sin x
＝（cos x－sin x）
＝（sincos x－cossin x）
＝sin（－x）＝－sin（x－），
故當x－＝－＋2kπ（k∈Z），即x＝－＋2kπ（k∈Z）時，函數y取得最大值.
隨堂檢測
1.B　原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin（7°－37°）＝sin（－30°）＝－.故選B.
2.　解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝，∴原式＝2（sin αcos＋cos αsin）＝2×（×＋×）＝.
3.[－，]　解析：f（x）＝sin x－cos x＋sin x＝·sin x－cos x＝（sin x－cos x）＝sin（x－），所以f（x）的值域為[－，].
4 / 4(共63張PPT)
10.1.2　
兩角和與差的正弦
新課程標準解讀 核心素養
1.了解兩角和與差的正弦和兩角和與差的余
弦間的關系 邏輯推理
2.會推導兩角和與差的正弦公式，掌握公式
的特征 邏輯推理
3.能夠運用兩角和與差的正弦公式解決有關
求值、化簡等問題 數學運算
第1課時　
兩角和與差的正弦公式
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　觀察下面兩組公式：
　　（1） cos （－α＋ ）＝ sin α， sin （－α＋ ）＝ cos α；
　　（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β（C（α＋
β））， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β（C（α－β））.
　　前面一節課我們學習了兩角和與差的余弦公式，我們知道，用誘
導公式可以實現正弦與余弦的互化.
【問題】　你能根據兩角和與差的余弦公式及誘導公式，推導出用任
意角α，β的正弦、余弦表示 sin （α＋β）， sin （α－β）的公
式嗎？
知識點一　兩角和與差的正弦公式
名稱 公式 簡記符號 條件
兩角和的 正弦公式 sin （α＋β）＝
S（α＋β） α，
β∈R
兩角差的 正弦公式 sin （α－β）＝
S（α－β） sin α cos
β＋ cos α sin β　
sin α cos
β－ cos α sin β　
提醒　兩角和與差的正、余弦公式的聯系：
知識點二　輔助角公式
1. 構造含特殊角的三角函數式
sin x± cos x＝ 　 　 sin （x± 　 　）；
sin x± cos x＝ sin （x± 　 　）；
sin x± cos x＝ sin （x± 　 　）.
　
　
2　
　
2　
　
2. 構造含輔助角的三角函數式
f（x）＝a sin x＋b cos x＝ sin （x＋φ）（其中tan φ
＝ 　 　）＝ cos （x－φ）（其中tan φ＝ 　 　）.
提醒　通過特殊角或輔助角三角函數構造和差角正弦、余弦公式形
式，把三角函數的和差化成和差角的一個三角函數，有利于研究三
角函數的圖象和性質.
　
　
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的
B. α，β∈R，使得 sin （α－β）＝ sin α－ sin β成立
C. sin （α－β）＝ sin β cos α－ sin α cos β
D. sin （α＋β）＝ sin α＋ sin β 一定不成立
√
√
解析： 　對于A，兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β
是任意的，故A正確；對于B，當α＝β＝0時， sin （α－β）＝
sin α－ sin β成立，故B正確；對于C， sin （α－β）＝ sin α
cos β－ cos α sin β，故C錯誤；對于D，當α＝β＝0時， sin
（α＋β）＝ sin α＋ sin β成立，故D錯誤.故選A、B.
2. sin 15°＝（　　）
解析： 　 sin 15°＝ sin （45°－30°）＝ sin 45° cos 30°－
cos 45° sin 30°＝ × － × ＝ .故選B.
√
3. 在△ABC中，A＝ ， cos B＝ ，則 sin C＝ 　 　.
解析： sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A，由A＝
，得 sin A＝ ， cos A＝ ，由B為△ABC內角， cos B＝ ，
則 sin B＝ .則 sin C＝ × ＋ × ＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 給角求值
【例1】　（1）（鏈接教科書第59頁練習2題） sin 18° cos 12°＋
cos 18° sin 12°＝（　D　）
D
解析： sin 18° cos 12°＋ cos 18° sin 12°＝ sin （18°
＋12°）＝ sin 30°＝ .
（2） － ＝（　B　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
解析： － ＝ － ＝
＝ ＝ ＝
＝4.
通性通法
解決給角化簡與求值問題的策略
（1）化簡：三角函數式化簡的主要思路有：①觀察角的特點，充
分利用角之間的關系，盡量向同角轉化，利用已知角構建待
求角；②觀察函數特點，向同名轉化，弦切互化，通常是切
化弦；
（2）求值：運用兩角和與差的正弦公式求三角函數值主要有以下幾
種形式：①將非特殊角轉化為特殊角的三角函數，如 sin 15°＝
sin （45°－30°）＝ sin （60°－45°）；②逆用公式湊成特
殊角求值，如 sin 13° cos 17°＋ cos 13° sin 17°＝ sin （13°
＋17°）＝ sin 30°；③進行拆角、拼角，整體代換求值，這一
點與兩角和與差的余弦公式的應用基本一致，如α＝（α＋
β）－β＝（α－β）＋β.
【跟蹤訓練】
1. （2024·泗陽實驗高中月考）計算 sin 50° cos 10°＋ sin 40° sin
10°＝（　　）
解析： 　 sin 50° cos 10°＋ sin 40° sin 10°＝ sin 50° cos 10°
＋ cos 50° sin 10°＝ sin （50°＋10°）＝ sin 60°＝ .故選B.
√
2. 化簡： －2 cos （α＋β）.
解：原式＝
＝
＝ ＝ .
題型二 給值求值
【例2】　（鏈接教科書第57頁例1）（1）已知 sin α＝ ，α∈
（ ，π）， cos β＝－ ，β∈（π， ），求 sin （α－β）的
值；
解： 由 sin α＝ ，α∈（ ，π），得 cos α＝－
＝－ ＝－ .
又由 cos β＝－ ，β∈（π， ），得 sin β＝－
＝－ ＝－ .
∴ sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－ ）
－（－ ）×（－ ）＝－ .
（2）（2024·鎮江中學月考）若 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0，
），求 sin α的值.
解： ∵α∈（0， ），∴ ＜α＋ ＜ ， sin （α＋ ）
＝ ＝ ＝ ，則 sin α＝
sin （α＋ － ）＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin
＝ × －（－ ）× ＝ .
通性通法
解給值求值問題的思路及常用變換
（1）解決給值求值型問題的一般思路：觀察公式中的量，確定哪
些是已知的，哪些是待求的，再利用已知條件結合同角三角
函數的基本關系求出待求值，注意根據角的終邊所在的象限
確定符號；
② ＝ － ， ＝（ α＋ ）－ ；
③ ＋ ＝ ＋（α＋β）， ＋ ＝
＋（α－β）.
另外，還要特別注意題干中的隱含條件.
（2）解決給值求值型問題的關鍵是找已知式與待求式之間角、運算
及函數名的差異，常見角的變換有：
①2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α；
【跟蹤訓練】
　已知α，β都是銳角，且 sin α＝ ， sin （α－β）＝ ，求
sin β的值.
解：∵α為銳角，且 sin α＝ ，∴ cos α＝ ＝ ，
∵α，β都是銳角，∴－ ＜α－β＜ ，
又 sin （α－β）＝ ，∴ cos （α－β）＝ ＝
，
∴ sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin
（α－β）＝ × － × ＝ .
題型三 給值求角
【例3】　已知 sin （α＋β）＝ ， cos α＝ ，α，β均為銳角，
求角β的值.
解：因為α為銳角，則0＜α＜ ，又 cos α＝ ，所以 sin α＝ .
又因為β為銳角，則0＜β＜ ，所以0＜α＋β＜π.
因為 sin （α＋β）＝ ＜ sin α，所以 cos （α＋β）＝－ ，
所以 sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos
（α＋β） sin α＝ × －（－ ）× ＝ .
又因為0＜β＜ ，所以β＝ .
通性通法
解決給值求角問題的方法
　　解決此類題目的關鍵是求出所求角的某一三角函數值，而三角函
數的選取一般要根據所求角的范圍來確定，當所求角的范圍是（0，
π）或（π，2π）時，選取求余弦值，當所求角范圍是 或
時，選取求正弦值.
【跟蹤訓練】
　已知α，β均為銳角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，求α－β
的值.
解：因為α，β均為銳角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，
所以 cos α＝ ， sin β＝ .
所以 sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × －
× ＝－ .
又因為α，β均為銳角，所以－ ＜α－β＜ .
故α－β＝－ .
題型四 輔助角公式及應用
【例4】　（鏈接教科書第58頁例3）已知f（x）＝ sin x－ cos x.
（1）將f（x）化成y＝A sin （x＋φ）的形式；
解： f（x）＝ sin x cos － cos x sin ＝ sin （x－ ）.
（2）求f（x）的最小正周期及最大值.
解： 由（1）知T＝ ＝ ＝2π，
當x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）時，f
（x）取得最大值1.
【母題探究】
　（變條件）若本例條件改為：已知f（x）＝ sin x－ cos x，如何
求解？
解：（1）f（x）＝ （ sin x－ cos x）＝ （ cos sin x－ sin
cos x）＝ sin （x－ ）.
（2）由（1）知T＝ ＝ ＝2π，
當x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）時，f（x）
取得最大值 .
通性通法
將a sin x＋b cos x化為A sin （ωx＋φ）的方法技巧
（1）對形如 sin x± cos x， sin x± cos x的三角函數式均可利用特
殊角的關系，運用和、差角的正弦、余弦公式化簡為含一個三
角函數式的形式，即y＝A sin （x＋φ）的形式；
（2）對于不能構造含特殊角的三角函數式也可通過輔助角公式進行
化簡.
【跟蹤訓練】
　求函數y＝ cos x＋ cos （x＋ ）的最大值.
解：y＝ cos x＋ cos x－ sin x
＝ cos x－ sin x
＝ （ cos x－ sin x）
＝ （ sin cos x－ cos sin x）
＝ sin （ －x）＝－ sin （x－ ），
故當x－ ＝－ ＋2kπ（k∈Z），即x＝－ ＋2kπ（k∈Z）時，函
數y取得最大值 .
1. （2024·徐州月考） sin 7° cos 37°－ sin 83° sin 37°＝（　　）
解析： 　原式＝ sin 7° cos 37°－ cos 7° sin 37°＝ sin （7°－
37°）＝ sin （－30°）＝－ .故選B.
√
2. 設α∈ ，若 sin α＝ ，則2 sin （α＋ ）＝ 　 　.
解析：∵ sin α＝ ，α∈ ，∴ cos α＝ ，∴原式＝
2 ＝2×（ × ＋ × ）＝ .
　
3. （2024·常州月考）函數f（x）＝ sin x－ cos （x＋ ）的值域
為 .
解析：f（x）＝ sin x－ cos x＋ sin x＝ · sin x－ cos x＝
（ sin x－ cos x）＝ sin （x－ ），所以f（x）的值域為[－
， ].
[－ ， ]　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 化簡 sin ＋ sin ＝（　　）
A. － sin x B. sin x
C. － cos x D. cos x
解析： 　 sin ＋ sin ＝ sin x＋ cos x＋ sin x－
cos x＝ sin x.
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√
2. （2024·南通月考）在△ABC中，已知 sin C＝2 sin （B＋C） cos
B，則△ABC一定是（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等邊三角形
解析： 　由 sin C＝2 sin （B＋C） cos B得 sin （A＋B）＝2 sin
A cos B，所以 sin A cos B－ cos A sin B＝0，所以 sin （A－B）＝
0，即A＝B，所以△ABC為等腰三角形.故選B.
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3. 已知 cos （α－β）＝ ， sin β＝－ ，且α∈ ，
β∈ ，則 sin α＝（　　）
√
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解析： 　∵α∈ ，β∈ ，∴ cos β＝ ，∴0＜
α－β＜π，∴ sin （α－β）＝ ，∴ sin α＝ sin [（α－β）＋
β]＝ × ＋ × ＝ ＝ .故選A.
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4. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，則β
＝（　　）
√
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解析： ∵0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，由 cos α＝ 得
sin α＝ ，由 cos （α－β）＝ 得 sin （α－β）＝ ，∴ sin
β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin
（α－β）＝ × － × ＝ ＝ ，∴β＝ .故選C.
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5. （多選）已知θ是銳角，那么下列各值中， sin θ＋ cos θ不能取
得的值是（　　）
解析： sin θ＋ cos θ＝ （ sin θ＋ cos θ）＝ sin
.∵0＜θ＜ ，∴ ＜θ＋ ＜ ，∴ ＜ sin
≤1，∴1＜ sin ≤ .故選B、C、D.
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√
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6. （多選）下列計算正確的是（　　）
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解析： 　對于A， sin 15°－ cos 15°＝ sin 15° cos 60°－
sin 60° cos 15°＝ sin （15°－60°）＝ sin （－45°）＝－ ，
故A錯誤；對于B， sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ sin
20° cos 10°＋ cos 20° sin 10°＝ sin （20°＋10°）＝ sin 30°
＝ ，故B正確；對于C， sin － cos ＝2（ sin cos － sin
cos ）＝2 sin ＝2 sin ＝－ ，故C錯誤；
對于D， sin 105°＝ sin （60°＋45°）＝ sin 60° cos 45°＋ cos
60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，故D正確.故選B、D.
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7. （2024·宿遷如東中學期中） ＝ 　 　.
解析： ＝ ＝
＝
＝ .
　
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8. （2024·泗陽實驗高中月考）化簡3 sin x－3 cos x＝ 　6 sin
.
解析：3 sin x－3 cos x＝6 ·（ sin x－ cos x）＝6 sin
（x－ ）.
6 sin
（x－ ）　
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解析：∵ sin α＝－ ，α∈ ，∴ cos α＝－
＝－ ，∵ cos β＝－ ，β∈ ，∴ sin β＝ ，∴ cos
（α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ × －
× ＝ ＋ ＝ ， sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos
α sin β＝ × ＋ × ＝ － ＝ .
9. 已知 sin α＝－ ，α∈ ， cos β＝－ ，β∈ ，
則 cos （α＋β）＝ 　 　， sin （α＋β）＝ 　 　.
　
　
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10. 化簡下列各式：
（1） sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）；
解： sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）＝ sin α
cos 30°－ cos α sin 30°＋ sin α cos 30°＋ cos α sin
30°＝2 sin α cos 30°＝ sin α.
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（2） sin ＋2 sin － cos .
解： 法一　原式＝ sin x cos ＋ cos x sin ＋2 sin x cos
－2 cos x sin － cos cos x－ sin sin x＝
sin x＋（ sin －2 sin － cos ）· cos
x＝（ ＋1－ × ） sin x＋［ －2× －
× ］ cos x＝0.
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法二　原式＝ sin ＋ cos ＋2 sin ＝2［ sin
· ＋ cos （x＋ ）· ］＋2 sin ＝2 sin ＋2
sin （x－ ）＝2 sin ＋2 sin （x－ ）＝2 sin ＋2
sin ＝0.
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11. （2024·淮安月考）已知 sin θ＋ sin ＝1，則 sin ＝
（　　）
解析： 　∵ sin θ＋ sin ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin
＝1，∴ sin ＝ ，故選B.
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12. （多選）已知α，β均為銳角，則下列不等式一定成立的是
（　　）
A. sin （α＋β）＞ sin α＋ sin β
B. sin （α＋β）＜ sin α＋ sin β
C. cos （α＋β）＞ cos α＋ cos β
D. cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β
√
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解析： 　對于A，當α＝β＝ 時， sin （α＋β）＜ sin α＋
sin β，故A錯誤；對于B，由于α，β均為銳角，所以 sin α，
cos α， sin β， cos β的范圍均為（0，1），所以 sin （α＋
β）＝ sin α cos β＋ sin β cos α＜ sin α＋ sin β，故B正確；
對于C，當α＝β＝ 時， cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β，故
C錯誤；對于D， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＜
cos α cos β＜ cos α＜ cos α＋ cos β，故D正確.故選B、D.
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解析：由題意知 sin ∠BEC＝ ， cos ∠BEC＝ ，又∠CED＝
－∠BEC，所以 sin ∠CED＝ sin · cos ∠BEC－ cos sin
∠BEC＝ × － × ＝ .
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14. 已知α，β∈（0， ）， cos α＝ ， cos （α＋β）＝ .
（1）求 sin β的值；
解： ∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π），
又 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，
則 sin α＝ ＝ ，
sin （α＋β）＝ ＝ ，
∴ sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－
cos （α＋β） sin α＝ × － × ＝ .
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（2）求2α＋β的值.
解： cos （2α＋β）＝ cos [（α＋β）＋α]＝
cos （α＋β） cos α－ sin α sin （α＋β）＝ × －
× ＝0.
由α，β∈（0， ），得2α＋β∈（0， ），
∴2α＋β＝ .
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15. （2024·揚州月考）已知函數f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ .
（1）求函數f（x）的最小正周期；
解： 函數f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ ＝
2 ＋ ＝2 sin （2x＋ ）＋ ，
故它的最小正周期為 ＝π.
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（2）求函數f（x）的對稱軸和對稱中心.
解： 令2x＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，
k∈Z，
故函數f（x）的對稱軸為x＝ ＋ ，k∈Z.
令2x＋ ＝kπ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，
故函數f（x）的對稱中心為 ，k∈Z.
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