資源簡(jiǎn)介

10.1.3　兩角和與差的正切
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，－3），則tan（α－）＝（　　）
A.－ B.
C.1 D.5
2.若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，則tan α＝（　　）
A. B.－
C.1 D.－1
3.（2024·無(wú)錫月考）在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，則角C＝（　　）
A. B.
C. D.
4.已知tan（α＋β）＝，tan＝，那么tan＝（　　）
A. B.
C. D.
5.（多選）（2024·常州月考）若tan ＝2，tan β＝－，則（　　）
A.tan α＝ B.tan α＝
C.tan（α＋β）＝0 D.tan（α－β）＝
6.（多選）下列式子化簡(jiǎn)結(jié)果為的是（　　）
A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B.2（sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°）
C.
D.
7.在△ABC中，若tan Atan B＞1，那么△ABC是　　　　三角形.
8.已知tan（α－）＝，tan（β－）＝－，則tan＝　　　　.
9.（2024·徐州月考）已知＝3，tan（α－β）＝2，則tan（β－2α）＝　　　　.
10.已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈.
（1）求tan β的值；
（2）求tan（α＋β）的值，并求出α＋β的值.
11.（2024·連云港贛榆一中月考）我國(guó)古代天文學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)l與太陽(yáng)天頂距θ（0°≤θ≤180°）的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度l等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)天頂距θ正切值的乘積，即l＝htan θ.對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為α，β，且tan（α－β）＝，若第二次的“晷影長(zhǎng)”與“表高”相等，則第一次的“晷影長(zhǎng)”是“表高”的（　　）
A.1倍　 　B.2倍　　 C.3倍　　 D.4倍
12.（多選）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，則下列各式正確的是（　　）
A.A＋B＝2C B.tan（A＋B）＝－
C.tan A＝tan B D.cos B＝sin A
13.（2024·鹽城質(zhì)檢）已知α，β，γ都是銳角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，則α＋β＋γ＝　　　　.
14.在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，試判斷△ABC的形狀.
15.是否存在銳角α，β，使得（1）α＋2β＝，（2）tan·tan β＝2－同時(shí)成立？若存在，求出銳角α，β的值；若不存在，說(shuō)明理由.（tan＝2－）.
10.1.3　兩角和與差的正切
1.D　由題意得，tan α＝＝－，所以tan（α－）＝＝＝5.故選D.
2.A　tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝.故選A.
3.A　由已知，得tan A＋tan B＝（tan Atan B－1），即＝－，∴tan（A＋B）＝－，∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝，∴C＝.故選A.
4.C　因?yàn)棣粒剑é粒拢詔an＝tan＝
＝，故選C.
5.BC　tan α＝tan＝＝，故A錯(cuò)誤，B正確；tan（α＋β）＝＝＝0，故C正確；tan（α－β）＝＝＝，故D錯(cuò)誤.故選B、C.
6.ABC　對(duì)于A，利用正切的變形公式可得原式＝，故A正確；對(duì)于B，原式＝2（sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°）＝2sin（35°＋25°）＝2sin 60°＝，故B正確；對(duì)于C，原式＝＝tan（135°－75°）＝tan 60°＝，故C正確；對(duì)于D，由C知，原式＝＝，故D錯(cuò)誤.故選A、B、C.
7.銳角　解析：由△ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，若tan A·tan B＞1，可得A，B都是銳角，故tan A和tan B都是正數(shù)，∴tan（A＋B）＝＜0，故A＋B為鈍角.由三角形內(nèi)角和為180°可得，C為銳角，故△ABC是銳角三角形.
8.　解析：tan＝tan［（α－）＋（β－）］＝＝.
9.　解析：由條件知＝＝3，則tan α＝2.因?yàn)閠an（α－β）＝2，所以tan（β－α）＝－2.故tan（β－2α）＝tan[（β－α）－α]＝＝＝.
10.解：（1）因?yàn)閏os β＝，β∈，
所以sin β＝＝，所以tan β＝＝2.
（2）tan（α＋β）＝＝＝1.
又α∈，β∈，所以α＋β∈，
所以α＋β＝.
11.B　設(shè)第一次“晷影長(zhǎng)”是l1，“表高”是h1，太陽(yáng)天頂距為α，則l1＝h1tan α，設(shè)第二次“晷影長(zhǎng)”是l2，“表高”是h2，太陽(yáng)天頂距為β，則l2＝h2tan β，因?yàn)榈诙蔚摹瓣杏伴L(zhǎng)”與“表高”相等，則tan β＝1，則＝tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝2.故選B.
12.CD　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝C，∴tan（A＋B）＝，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；∵tan A＋tan B＝（1－tan A·tan B）＝，∴tan A·tan B＝　①，又tan A＋tan B＝　②，聯(lián)立①②，解得tan A＝tan B＝，∴A＝B＝30°，cos B＝sin A，故選項(xiàng)C、D正確.故選C、D.
13.　解析：∵tan（α＋β）＝＝＝，tan（α＋β＋γ）＝＝＝1，∵α，β，γ∈，∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝＞0，∴α＋β∈，∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝.
14.解：tan A＝tan[180°－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝＝＝－，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
tan C＝tan[180°－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝＝＝，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°.
∴B＝180°－120°－30°＝30°.
∴△ABC是頂角為120°的等腰三角形.
15.解：假設(shè)存在銳角α，β使得（1）α＋2β＝，（2）tan·tan β＝2－同時(shí)成立.
由（1）得＋β＝，
所以tan（＋β）＝＝.
又tantan β＝2－，
所以tan＋tan β＝3－，
因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－）x＋2－＝0的兩個(gè)根，
設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，則α＝，這與α為銳角矛盾，
所以tan ＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝，
所以滿足條件的α，β存在，且α＝，β＝.
2 / 210.1.3　兩角和與差的正切
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式 邏輯推理
2.能夠運(yùn)用兩角和與差的正切公式解決有關(guān)求值、化簡(jiǎn)等問(wèn)題 數(shù)學(xué)運(yùn)算
　　
　　如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.
【問(wèn)題】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　兩角和與差的正切公式
1.正切公式
名稱(chēng) 公式 簡(jiǎn)記符號(hào) 條件
兩角和的正切 公式 tan（α＋β）＝ 　　 　　　　 T（α＋β） α，β，α＋β≠ 　　　　　
兩角差的正切 公式 tan（α－β）＝ 　　　 　　　 T（α－β） α，β，α－β≠ 　　　　　
提醒　（1）公式T（α±β）的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan α與tan β的和或差，分母為1與tan αtan β的差或和；
（2）
符號(hào)變化規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”.
2.正切公式的變形
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
1－tan αtan β＝；
1＋tan αtan β＝.
【想一想】
你能借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出tan（α＋β）與tan（α－β）嗎？
1.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（　　）
①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立；
②對(duì)任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立；
③tan能根據(jù)公式tan（α－β）直接展開(kāi).
A.0　　　　　　　　　 B.1
C.2 D.3
2.已知tan α＝，則tan＝　　　　.
3.已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，則tan αtan β＝　　　　.
題型一 給角求值
【例1】　（鏈接教科書(shū)第65頁(yè)練習(xí)2題）求下列各式的值：（1）tan；
（2）；
（3）tan＋tan＋tantan.
通性通法
探究公式T（α±β）的逆用及變形應(yīng)用的解題策略
　　應(yīng)用兩角和與差的正切公式解題時(shí)，要注意公式的逆用和常用的公式變形.
（1）“1”的代換：在T（α±β）中，如果式子中出現(xiàn)“1”常利用1＝tan來(lái)代換，以達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的，如＝tan；＝tan；
（2）整體意識(shí)：若化簡(jiǎn)的式子中出現(xiàn)了“tan α±tan β”及“tan αtan β”兩個(gè)整體，常考慮tan（α±β）的變形公式.
【跟蹤訓(xùn)練】
　計(jì)算：（1）；
（2）tan 10°·tan 20°＋（tan 10°＋tan 20°）.
題型二 給值求值（角）
【例2】　（1）（鏈接教科書(shū)第64頁(yè)例1）若tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan（α＋β）＝（　　）
A.3　　　B.－3 C.±3　 　D.－1
（2）已知tan α＝，tan β＝且α，β∈，求2α＋β的值.
通性通法
1.關(guān)于求值問(wèn)題，利用角的代換，將所求角轉(zhuǎn)化為已知角的和或差，再根據(jù)公式求解.
2.關(guān)于求角問(wèn)題，先確定該角的某個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)角的取值范圍確定該角的大小.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均為鈍角.
求：（1）sin（α－β），tan（α－β）；（2）α＋β.
題型三 兩角和與差正切公式的綜合應(yīng)用
【例3】　（1）（鏈接教科書(shū)第66頁(yè)例4）若A＋B＝，求證：tan Atan B＋tan A＋tan B＝1；
（2）（鏈接教科書(shū)第66頁(yè)例5）如圖，在某開(kāi)發(fā)區(qū)內(nèi)新建兩棟高樓AB，CD（AC為水平地面），P是AC的中點(diǎn)，在點(diǎn)P處測(cè)得兩樓頂?shù)膹埥恰螧PD＝45°，AB＝AC＝50 m.試求樓CD的高度（測(cè)量?jī)x器的高度不計(jì)）.
通性通法
證明三角恒等式的常用方法
（1）從復(fù)雜的一邊入手，逐步化簡(jiǎn)，證得與另一邊相等.在證明的過(guò)程中，應(yīng)時(shí)刻“盯”住目標(biāo)，分析其特征，向著目標(biāo)“奔”去；
（2）從兩邊入手，證得等式兩邊都等于同一個(gè)式子；
（3）作差法，證明左邊－右邊＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知tan α＝2，證明：sin2α＋sin αcos α＝－－.
2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一點(diǎn)P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值.
1.tan 255°＝（　　）
A.－2－　　　　　 B.－2＋
C.2－ D.2＋
2.（多選）若tan β＝，則α＋β的大小可能是（　　）
A.－ B.
C. D.－π
3.（2024·淮安馬壩高中期中）若tan（α＋）＝5，則tan α＝　　　　.
4.已知A，B都是銳角，且A＋B≠，（1＋tan A）·（1＋tan B）＝2.求證：A＋B＝.
10.1.3　兩角和與差的正切
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
1.　kπ＋（k∈Z）　　kπ＋（k∈Z）
想一想
　提示：tan（α＋β）＝＝＝＝.
類(lèi)似地可以推導(dǎo)tan（α－β），也可用－β代替tan（α＋β）中的β，tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝＝.
自我診斷
1.B　①若α＝，β＝0，則等式成立，所以①正確；②只有當(dāng)α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z時(shí)，公式才成立，所以②錯(cuò)誤；③由于按公式展開(kāi)后出現(xiàn)tan 無(wú)意義，故不能按公式tan（α－β）直接展開(kāi)，所以③錯(cuò)誤，故選B.
2.7　解析：∵tan α＝，∴tan＝＝＝7.
3.　解析：∵tan（α＋β）＝，∴4＝，即1－tan αtan β＝，∴tan αtan β＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）tan＝tan（π－）
＝－tan＝－tan（－）
＝－＝－（2－）＝－2.
（2）法一　因?yàn)閠an 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋.
所以＝＝－.
法二　＝＝tan（45°＋75°）＝tan 120°＝－.
（3）tan＋tan＋ tan tan
＝tan＋tantan＝（1－tantan）＋tantan＝.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）原式＝＝＝＝－1.
（2）原式＝tan 10°·tan 20°＋[tan （10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
【例2】　（1）B　由題意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan（α＋β）＝＝＝－3.故選B.
（2）解：∵tan α＝，tan β＝且α，β∈，
∴tan（α＋β）＝＝＝＞0，
∴α＋β∈，2α＋β∈（0，π），
∴tan（2α＋β）＝tan[（α＋β）＋α]＝＝＝1，∴2α＋β＝.
跟蹤訓(xùn)練
　解：∵α和β均為鈍角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.
tan α＝＝－，tan β＝＝－.
（1）sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×（－）－（－）×＝－.
tan（α－β）＝＝＝－.
（2）法一　cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－×（－）－×＝.
由α和β均為鈍角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝.
法二　tan（α＋β）＝＝＝－1，由α和β均為鈍角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝.
【例3】　解：（1）證明：左邊＝tan Atan B＋tan（A＋B）（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋tan·（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右邊.
故當(dāng)A＋B＝時(shí)，tan Atan B＋tan A＋tan B＝1.
（2）如圖，設(shè)∠APB＝α，∠CPD＝β，
則α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α.
依題意，得tan α＝＝＝2，
∴tan β＝tan（135°－α）＝＝＝3，
∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75，
即樓CD的高度為75 m.
跟蹤訓(xùn)練
1.證明：因?yàn)閠an α＝2，
所以左邊＝＝＝＝.
右邊＝－－
＝－－
＝－－tan（＋）
＝－－tan＝，
所以左邊＝右邊，
所以原等式成立.
2.解：由AB＋BP＝PD，
得a＋BP＝，
解得BP＝a，PC＝a，
設(shè)∠APB＝α，∠DPC＝β，
則tan α＝＝，tan β＝＝，
∴tan（α＋β）＝＝－18，
又∠APD＋α＋β＝π，
∴tan∠APD＝tan[π－（α＋β）]＝－tan（α＋β）＝18.
隨堂檢測(cè)
1.D　tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋.故選D.
2.BD　由題意知tan β＝，所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即tan（α＋β）＝1，故α＋β＝＋kπ， k∈Z.當(dāng)k＝0時(shí)，α＋β＝；當(dāng)k＝－1時(shí)，α＋β＝－π.故選B、D.
3.　解析：tan（α＋）＝＝，故＝5，解得tan α＝.
4.證明：∵（1＋tan A）（1＋tan B）＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝2，∴1－tan Atan B＝tan A＋tan B，
又∵A＋B≠，∴1－tan Atan B≠0，
∴＝1，∴tan（A＋B）＝1，
又∵A，B是銳角，∴A＋B＝.
3 / 3(共58張PPT)
10.1.3　
兩角和與差的正切
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出
兩角和與差的正切公式 邏輯推理
2.能夠運(yùn)用兩角和與差的正切公式解決有關(guān)求
值、化簡(jiǎn)等問(wèn)題 數(shù)學(xué)運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，tan α＝ ，tan β＝ ，
∠COD＝α－β.
【問(wèn)題】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
知識(shí)點(diǎn)　兩角和與差的正切公式
1. 正切公式
名稱(chēng) 公式 簡(jiǎn)記符號(hào) 條件
兩角和 的正切 公式 tan（α＋β）＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠

兩角差 的正切 公式 tan（α－β）＝ T（α－β） α，β，α－β≠

kπ＋ （k∈Z）
kπ＋ （k∈Z）
提醒　（1）公式T（α±β）的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan α與
tan β的和或差，分母為1與tan αtan β的差或和；
（2）
符號(hào)變化規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”.
2. 正切公式的變形
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
1－tan αtan β＝ ；
1＋tan αtan β＝ .
【想一想】
你能借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出tan（α＋β）與tan（α
－β）嗎？
提示：tan（α＋β）＝ ＝ ＝
＝ .
類(lèi)似地可以推導(dǎo)tan（α－β），也可用－β代替tan（α＋β）中的
β，tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝ ＝
.
1. 下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（　　）
①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立；
②對(duì)任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立；
③tan 能根據(jù)公式tan（α－β）直接展開(kāi).
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　①若α＝ ，β＝0，則等式成立，所以①正確；②只有
當(dāng)α，β，α＋β≠ ＋kπ，k∈Z時(shí)，公式才成立，所以②錯(cuò)
誤；③由于按公式展開(kāi)后出現(xiàn)tan 無(wú)意義，故不能按公式tan（α
－β）直接展開(kāi)，所以③錯(cuò)誤，故選B.
2. 已知tan α＝ ，則tan ＝ .
解析：∵tan α＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝7.
3. 已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，則tan αtan β
＝ .
解析：∵tan（α＋β）＝ ，∴4＝ ，即1－tan
αtan β＝ ，∴tan αtan β＝ .
7　
　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 給角求值
【例1】　（鏈接教科書(shū)第65頁(yè)練習(xí)2題）求下列各式的值：
（1）tan ；
解： tan ＝tan（π－ ）
＝－tan ＝－tan（ － ）
＝－ ＝－（2－ ）＝ －2.
解：法一　因?yàn)閠an 75°＝tan（45°＋30°）＝
＝ ＝2＋ .
所以 ＝ ＝－ .
（2） ；
法二　 ＝ ＝tan（45°＋75°）＝tan 120°
＝－ .
解： tan ＋tan ＋ tan tan
＝tan ＋ tan tan
＝ ＋ tan tan ＝ .
（3）tan ＋tan ＋ tan tan .
通性通法
探究公式T（α±β）的逆用及變形應(yīng)用的解題策略
　　應(yīng)用兩角和與差的正切公式解題時(shí)，要注意公式的逆用和常用的
公式變形.
（1）“1”的代換：在T（α±β）中，如果式子中出現(xiàn)“1”常利用1＝
tan 來(lái)代換，以達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的，如 ＝tan ；
＝ tan ；
（2）整體意識(shí)：若化簡(jiǎn)的式子中出現(xiàn)了“tan α±tan β”及“tan
αtan β”兩個(gè)整體，常考慮tan（α±β）的變形公式.
【跟蹤訓(xùn)練】
　計(jì)算：（1） ；
解： 原式＝ ＝ ＝
＝－1.
（2）tan 10°·tan 20°＋ （tan 10°＋tan 20°）.
解： 原式＝tan 10°·tan 20°＋ [tan （10°＋
20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan
10°tan 20°＝1.
題型二 給值求值（角）
【例2】　（1）（鏈接教科書(shū)第64頁(yè)例1）若tan α，tan β是方程x2
－3x＋2＝0的兩根，則tan（α＋β）＝（　　）
A. 3 B. －3
C. ±3 D. －1
解析： 　由題意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan
（α＋β）＝ ＝ ＝－3.故選B.
√
解：∵tan α＝ ，tan β＝ 且α，β∈ ，
∴tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ＞0，
∴α＋β∈ ，2α＋β∈（0，π），
∴tan（2α＋β）＝tan[（α＋β）＋α]＝
＝ ＝1，∴2α＋β＝ .
（2）已知tan α＝ ，tan β＝ 且α，β∈ ，求2α＋β的值.
通性通法
1. 關(guān)于求值問(wèn)題，利用角的代換，將所求角轉(zhuǎn)化為已知角的和或差，
再根據(jù)公式求解.
2. 關(guān)于求角問(wèn)題，先確定該角的某個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)角的取值范
圍確定該角的大小.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知 sin α＝ ， sin β＝ ，且α和β均為鈍角.
求：（1） sin （α－β），tan（α－β）；
解：∵α和β均為鈍角，∴ cos α＝－ ＝－ ， cos β＝
－ ＝－ .
tan α＝ ＝－ ，tan β＝ ＝－ .
（1） sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－
）－（－ ）× ＝－ .
tan（α－β）＝ ＝ ＝－ .
法二　tan（α＋β）＝ ＝ ＝－1，由α和
β均為鈍角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝ .
解：法一　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ ×
（－ ）－ × ＝ .
由α和β均為鈍角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝ .
（2）α＋β.
題型三 兩角和與差正切公式的綜合應(yīng)用
【例3】　（1）（鏈接教科書(shū)第66頁(yè)例4）若A＋B＝ ，求證：tan
Atan B＋tan A＋tan B＝1；
解： 證明：左邊＝tan Atan B＋tan（A＋B）（1
－tan Atan B）＝tan Atan B＋tan ·（1－tan Atan B）
＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右邊.
故當(dāng)A＋B＝ 時(shí)，tan Atan B＋tan A＋tan B＝1.
（2）（鏈接教科書(shū)第66頁(yè)例5）如圖，在某開(kāi)發(fā)區(qū)內(nèi)新建兩棟高樓
AB，CD（AC為水平地面），P是AC的中點(diǎn)，在點(diǎn)P處測(cè)得兩
樓頂?shù)膹埥恰螧PD＝45°，AB＝AC＝50 m.試求樓CD的高度
（測(cè)量?jī)x器的高度不計(jì)）.
解： 如圖，設(shè)∠APB＝α，∠CPD＝β，
則α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α.
依題意，得tan α＝ ＝ ＝2，
∴tan β＝tan（135°－α）＝ ＝
＝3，
∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75，
即樓CD的高度為75 m.
通性通法
證明三角恒等式的常用方法
（1）從復(fù)雜的一邊入手，逐步化簡(jiǎn)，證得與另一邊相等.在證明
的過(guò)程中，應(yīng)時(shí)刻“盯”住目標(biāo)，分析其特征，向著目標(biāo)
“奔”去；
（2）從兩邊入手，證得等式兩邊都等于同一個(gè)式子；
（3）作差法，證明左邊－右邊＝0.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 已知tan α＝2，證明： sin 2α＋ sin α cos α＝ － － .
證明：因?yàn)閠an α＝2，
所以左邊＝ ＝ ＝ ＝ .
右邊＝ － －
＝ － －
＝ － －tan（ ＋ ）
＝ － －tan ＝ ，
所以左邊＝右邊，
所以原等式成立.
2. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一點(diǎn)P，
使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值.
解：由AB＋BP＝PD，
得a＋BP＝ ，
解得BP＝ a，PC＝ a，
設(shè)∠APB＝α，∠DPC＝β，
則tan α＝ ＝ ，tan β＝ ＝ ，
∴tan（α＋β）＝ ＝－18，
又∠APD＋α＋β＝π，
∴tan∠APD＝tan[π－（α＋β）]＝－tan（α＋β）＝18.
1. tan 255°＝（　　）
解析： 　tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝tan（45°
＋30°）＝ ＝ ＝2＋ .故選D.
√
2. （多選）若tan β＝ ，則α＋β的大小可能是（　　）
解析： 　由題意知tan β＝ ，所以tan α＋tan β＝1－tan
αtan β，即tan（α＋β）＝1，故α＋β＝ ＋kπ， k∈Z. 當(dāng)k＝
0時(shí)，α＋β＝ ；當(dāng)k＝－1時(shí)，α＋β＝－ π.故選B、D.
√
√
3. （2024·淮安馬壩高中期中）若tan（α＋ ）＝5，則tan α
＝ .
解析：tan（α＋ ）＝ ＝ ，故 ＝5，解得tan
α＝ .
　

4. 已知A，B都是銳角，且A＋B≠ ，（1＋tan A）·（1＋tan B）＝
2.求證：A＋B＝ .
證明：∵（1＋tan A）（1＋tan B）＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝
2，∴1－tan Atan B＝tan A＋tan B，
又∵A＋B≠ ，∴1－tan Atan B≠0，
∴ ＝1，∴tan（A＋B）＝1，
又∵A，B是銳角，∴A＋B＝ .
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
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1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)
半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，－3），則tan（α－ ）＝（　　）
C. 1 D. 5
解析： 　由題意得，tan α＝ ＝－ ，所以tan（α－ ）＝
＝ ＝5.故選D.
√
2. 若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，則tan α＝（　　）
C. 1 D. －1
解析： 　tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝
＝ .故選A.
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3. （2024·無(wú)錫月考）在△ABC中，tan A＋tan B＋ ＝ tan Atan
B，則角C＝（　　）
解析： 　由已知，得tan A＋tan B＝ （tan Atan B－1），即
＝－ ，∴tan（A＋B）＝－ ，∴tan C＝tan[π－
（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝ ，∴C＝ .故選A.
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4. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，那么tan ＝
（　　）
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解析： 　因?yàn)棣粒?＝（α＋β）－ ，所以tan ＝
tan ＝
＝ ，故選C.
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5. （多選）（2024·常州月考）若tan ＝2 ，tan β＝－ ，
則（　　）
C. tan（α＋β）＝0
√
√
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解析： 　tan α＝tan ＝ ＝ ，故A錯(cuò)
誤，B正確；tan（α＋β）＝ ＝ ＝0，故C
正確；tan（α－β）＝ ＝ ＝ ，故D錯(cuò)
誤.故選B、C.
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6. （多選）下列式子化簡(jiǎn)結(jié)果為 的是（　　）
B. 2（ sin 35° cos 25°＋ cos 35° cos 65°）
√
√
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解析： 　對(duì)于A，利用正切的變形公式可得原式＝ ，故A正
確；對(duì)于B，原式＝2（ sin 35° cos 25°＋ cos 35° sin 25°）＝2
sin （35°＋25°）＝2 sin 60°＝ ，故B正確；對(duì)于C，原式＝
＝tan（135°－75°）＝tan 60°＝ ，故C正
確；對(duì)于D，由C知，原式＝ ＝ ，故D錯(cuò)誤.故選A、B、C.
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7. 在△ABC中，若tan Atan B＞1，那么△ABC是 三角形.
解析：由△ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，若tan A·tan B＞1，可
得A，B都是銳角，故tan A和tan B都是正數(shù)，∴tan（A＋B）＝
＜0，故A＋B為鈍角.由三角形內(nèi)角和為180°可得，C
為銳角，故△ABC是銳角三角形.
銳角　
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8. 已知tan（α－ ）＝ ，tan（β－ ）＝－ ，則tan ＝ 　 　.
解析：tan ＝tan［（α－ ）＋（β－ ）］＝ ＝
.
　
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9. （2024·徐州月考）已知 ＝3，tan（α－β）＝2，則tan
（β－2α）＝ .
解析：由條件知 ＝ ＝3，則tan α＝2.因?yàn)閠an（α
－β）＝2，所以tan（β－α）＝－2.故tan（β－2α）＝
tan[（β－α）－α]＝ ＝ ＝ .
　
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10. 已知tan α＝－ ， cos β＝ ，α∈ ，β∈ .
（1）求tan β的值；
解： 因?yàn)?cos β＝ ，β∈ ，
所以 sin β＝ ＝ ，所以tan β＝ ＝2.
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（2）求tan（α＋β）的值，并求出α＋β的值.
解： tan（α＋β）＝ ＝ ＝1.
又α∈ ，β∈ ，所以α＋β∈ ，
所以α＋β＝ .
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11. （2024·連云港贛榆一中月考）我國(guó)古代天文學(xué)家僧一行應(yīng)用“九
服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)l與太陽(yáng)天頂距θ
（0°≤θ≤180°）的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張
正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度l等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)
天頂距θ正切值的乘積，即l＝htan θ.對(duì)同一“表高”兩次測(cè)
量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為α，β，且tan（α－β）
＝ ，若第二次的“晷影長(zhǎng)”與“表高”相等，則第一次的“晷
影長(zhǎng)”是“表高”的（　　）
A. 1倍 B. 2倍
C. 3倍 D. 4倍
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解析： 　設(shè)第一次“晷影長(zhǎng)”是l1，“表高”是h1，太陽(yáng)天頂距
為α，則l1＝h1tan α，設(shè)第二次“晷影長(zhǎng)”是l2，“表高”是
h2，太陽(yáng)天頂距為β，則l2＝h2tan β，因?yàn)榈诙蔚摹瓣杏伴L(zhǎng)”
與“表高”相等，則tan β＝1，則 ＝tan α＝tan[（α－β）＋
β]＝ ＝ ＝2.故選B.
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12. （多選）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝ ，則下列各
式正確的是（　　）
A. A＋B＝2C
C. tan A＝tan B
√
√
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解析： 　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝
C，∴tan（A＋B）＝ ，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；∵tan A＋tan B＝
（1－tan A·tan B）＝ ，∴tan A·tan B＝ 　①，又tan A＋tan
B＝ 　②，聯(lián)立①②，解得tan A＝tan B＝ ，∴A＝B＝
30°， cos B＝ sin A，故選項(xiàng)C、D正確.故選C、D.
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13. （2024·鹽城質(zhì)檢）已知α，β，γ都是銳角，且tan α＝ ，tan
β＝ ，tan γ＝ ，則α＋β＋γ＝ 　 　.
解析：∵tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ，tan（α＋β＋
γ）＝ ＝ ＝1，∵α，β，γ∈ ，
∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝ ＞0，∴α＋
β∈ ，∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝ .
　
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14. 在△ABC中，tan B＋tan C＋ tan Btan C＝ ，且 tan A＋
tan B＋1＝tan Atan B，試判斷△ABC的形狀.
解：tan A＝tan[180°－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝
＝ ＝－ ，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
tan C＝tan[180°－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝ ＝
＝ ，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°.
∴B＝180°－120°－30°＝30°.
∴△ABC是頂角為120°的等腰三角形.
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15. 是否存在銳角α，β，使得（1）α＋2β＝ ，（2）tan ·tan β
＝2－ 同時(shí)成立？若存在，求出銳角α，β的值；若不存在，
說(shuō)明理由.（tan ＝2－ ）.
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解：假設(shè)存在銳角α，β使得（1）α＋2β＝ ，（2）tan ·tan
β＝2－ 同時(shí)成立.
由（1）得 ＋β＝ ，
所以tan（ ＋β）＝ ＝ .
又tan tan β＝2－ ，
所以tan ＋tan β＝3－ ，
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因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－ ）x＋2－ ＝0的兩
個(gè)根，
設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－ .
若tan ＝1，則α＝ ，這與α為銳角矛盾，
所以tan ＝2－ ，tan β＝1，
所以α＝ ，β＝ ，
所以滿足條件的α，β存在，且α＝ ，β＝ .
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