資源簡介

10.2　二倍角的三角函數(shù)
1.已知cos x＝，則cos 2x＝（　　）
A.－ B.
C.－ D.
2.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°＝（　　）
A. B.
C. D.1＋
3.－＝（　　）
A.－2cos 5° B.2cos 5°
C.－2sin 5° D.2sin 5°
4.已知tan x＝2，則tan＝（　　）
A. B.－
C. D.－
5.（2024·南京河西外國語期中）已知sin（α＋）＝，則cos（2α－）＝（　　）
A. B.－
C. D.－
6.（多選）下列各式中，一定成立的是（　　）
A.sin 8α＝2sin 4αcos 4α
B.1－sin2α＝（sin α－cos α）2
C.sin2α＝
D.tan 2α＝
7.計(jì)算（cos215°－cos275°）＋sin 15°cos 15°＝　　　　.
8.（2024·淮安月考）已知角α，β為銳角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan（β－α）＝，則tan α＝　　　　，β＝　　　　.
9.已知α∈，且cos α＝－，則tan 2α＝　　　　，＝　　　　.
10.已知函數(shù)f（x）＝cos，x∈R.
（1）求f的值；
（2）若cos θ＝，θ∈，求f.
11.（2024·無錫月考）在銳角△ABC中，若B＝2A，則的取值范圍是（　　）
A.（，） B.［－，］
C.（，） D.（－，）
12.（多選）已知函數(shù)f（x）＝1－2sin2（x＋），則下列結(jié)論正確的是（　　）
A.函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
B.函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
C.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝－對稱
D.f（1）＞f（2）
13.（2024·江蘇泰州中學(xué)期中）已知α是銳角，cos α＝，則cos（＋）＝　　　　.
14.已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝.
（1）求的值；
（2）求的值.
15.如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
（1）將十字形的面積表示成θ的函數(shù)；
（2）求十字形的最大面積.
10.2　二倍角的三角函數(shù)
1.D　cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝.
2.C　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.故選C.
3.C　原式＝－＝cos 50°－sin 50°＝2（cos 50°－sin 50°）＝2（sin 45°cos 50°－cos 45°·sin 50°）＝2sin（－5°）＝－2sin 5°.故選C.
4.C　法一　tan＝tan（2x－）＝＝＝－＝－＝＝.
法二　tan（x－）＝＝＝，∴tan［2（x－）］＝＝＝.故選C.
5.D　由二倍角公式得：cos［2（α＋）］＝1－2sin2（α＋）＝1－2×＝，又cos（2α－）＝cos［（2α＋）－π］＝－cos（2α＋）＝－.故選D.
6.AC　對于B，（sin α－cos α）2＝1－sin 2α≠1－sin2α，故B錯(cuò)誤；對于D，tan 2α＝，故D錯(cuò)誤；A、C正確.故選A、C.
7.1　解析：（cos215°－cos275°）＋sin 15°cos 15°＝cos 30°＋sin 30°＝sin 90°＝1.
8.　　解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得2sin2α＝sin αcos α.∵α為銳角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一　由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.∵β為銳角，∴β＝.
法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.∵β為銳角，∴β＝.
9.　－7　解析：因?yàn)棣痢剩琧os α＝－，所以sin α＝＝＝，所以tan α＝＝－，所以tan 2α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－，所以＝＝－7.
10.解：（1）因?yàn)閒（x）＝cos，
所以f＝cos＝cos＝cos＝1.
（2）因?yàn)閏os θ＝，θ∈，所以sin θ＝－.
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝－.
f＝cos＝（cos 2θcos－sin 2θ sin）＝×［（－）×－×］＝.
11.A　在銳角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，所以＜cos A＜，則＝＝2cos A∈（，）.故選A.
12.AC　f（x）＝1－2sin2（x＋）＝cos ［2（x＋）］＝－sin 2x，對于A，f（－x）＝－sin（－2x）＝sin 2x＝－f（x），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故A正確；對于B，函數(shù)f（x）的最小正周期為＝π，故B錯(cuò)誤；對于C，f（－）＝－sin（－）＝1為函數(shù)的最大值，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝－對稱，故C正確；對于D，f（1）＝－sin 2＜0，f（2）＝－sin 4＞0，所以f（1）＜f（2），故D錯(cuò)誤.故選A、C.
13.－　解析：因?yàn)閏os α＝，所以cos α＝2cos2－1＝，解得cos＝±，又α是銳角，則0＜＜，所以cos＝，則sin＝＝，所以cos（＋）＝coscos－sinsin＝×－×＝－.
14.解：由sin θ＋cos θ＝， ①
兩邊平方并化簡得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝＝＝，②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
（1）
＝
＝＝.
（2）＝
＝
＝2sin θcos θ＝－.
15.解：（1）由題圖可知，x＝cos θ，y＝sin θ.
由y＞x＞0，得＜θ＜.
設(shè)S為十字形的面積，
則S＝xy＋x·×2＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos2θ（＜θ＜）.
（2）S＝sin 2θ－cos2θ
＝sin 2θ－cos 2θ－
＝（sin 2θ－cos 2θ）－
＝sin（2θ－φ）－（設(shè)φ為銳角且tan φ＝），
當(dāng)sin（2θ－φ）＝1，即2θ－φ＝時(shí)，S最大.
此時(shí)θ＝＋，十字形取得最大面積.
2 / 210.2　二倍角的三角函數(shù)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 邏輯推理
2.能夠運(yùn)用二倍角公式解決有關(guān)求值、化簡等問題 數(shù)學(xué)運(yùn)算
　　
　　前面我們已學(xué)習(xí)了兩角和的正弦、余弦、正切公式，大家回憶一下：
　　cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，
　　sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
　　tan（α＋β）＝.
【問題】　當(dāng)α＝β時(shí)，我們能否由此得到sin 2α， cos 2α， tan 2α的表達(dá)式呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角公式
函數(shù) 公式 β＝α 簡記符號
正弦 sin 2α＝　　　　　 S（α＋β） S2α
余弦 cos 2α＝　　 　　　 　 　＝　　　　 　 　 　＝　　　 　　 C（α＋β） C2α
正切 tan 2α＝　　　 T（α＋β） T2α
提醒　倍角公式中的“倍角”是相對的，對于兩個(gè)角的比值等于2的情況都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，也就是說，“倍”是相對而言的，是描述兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系的.
2.倍角公式常見變形
sin2α＝　　　　，cos2α＝　　　　，tan2α＝　　　　，（sin α±cos α）2＝　　　　.
1.（多選）下列結(jié)論中正確的是（　　）
A.sin α＝2sin cos
B.cos 4α＝cos22α－sin22α
C.對任意角α，tan 2α＝
D.cos2α＝
2.已知sin α＝，cos α＝，則sin 2α＝（　　）
A.　　　B. C.　 　D.
3.cos215°－sin215°＝　　　　.
題型一 給角求值
【例1】　（鏈接教科書第70頁練習(xí)1題）求下列各式的值：
（1）sin cos＝　　　　；
（2）1－2sin2750°＝　　　　；
（3）＝　　　　；
（4）－＝　　　　.
通性通法
利用二倍角公式解決給角求值問題的兩種策略
（1）直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角；
（2）若形式為幾個(gè)非特殊角的正、余弦三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解正余弦過程中，需配湊出滿足二倍角公式的條件.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.cos4－sin4＝（　　）
A.－　　　　　　　 B.－
C. D.
2.求值＝　　　　.
題型二 給值求值（角）
【例2】　（鏈接教科書第69頁例1）（1）已知cos α＝－，α∈，則sin 2α＝　　　　，cos 2α＝　　　　，tan 2α＝　　　　；
（2）若sin α－cos α＝，則sin 2α＝　　　　.
【母題探究】
　（變條件）本例（2）中，條件改為：已知sin α＋cos α＝，則sin 2α＝　　　　.
通性通法
解決給值求值問題的方法
　　給值求值問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個(gè)觀察方向：
（1）有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化；
（2）尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系；
（3）注意幾種公式的靈活應(yīng)用，如：
①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2（－x）－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin＝2sin（－x）cos.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知α為銳角，且滿足cos 2α＝sin α，則α＝（　　）
A.75° B.45°
C.60° D.30°
2.（2024·鎮(zhèn)江中學(xué)月考）若sin（θ－）＝，則sin（2θ＋）＝　　　　.
題型三 利用二倍角公式證明與化簡
【例3】　（1）（鏈接教科書第70頁例2）證明：＝；
（2）（鏈接教科書第70頁例3）化簡：
①cos2（θ＋π）＋cos2（θ－π）＋cos2θ；
②sin 10°（1＋）.
通性通法
三角函數(shù)式證明與化簡的方法
（1）證明三角恒等式的方法：①從復(fù)雜的一邊入手，證明一邊等于另一邊；②比較法，左邊－右邊＝0，＝1；③分析法，從要證明的等式出發(fā)，一步步尋找等式成立的條件.
（2）化簡的方法：①弦切互化，異名化同名，異角化同角；②降冪或升冪.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2024·連云港月考）α為第三象限角，則－＝　　　　.
2.化簡：.
題型四 二倍角公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
【例4】　（鏈接教科書第71頁例5）如圖，有一塊以點(diǎn)O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn)B，C落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑長為20 m.
（1）如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對稱的點(diǎn)A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大，最大值是多少？
（2）沿著AB，BC，CD修一條步行小路從A到D，如何選擇A，D位置，使步行小路的距離最遠(yuǎn)？
通性通法
倍角公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用技巧
（1）建模：將實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型；
（2）解模：利用二倍角公式及兩角和與差的正、余弦公式將建立的三角函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再求出相應(yīng)的最值；
（3）結(jié)論：將三角函數(shù)模型的結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.
【跟蹤訓(xùn)練】
某工人要從一塊圓心角為的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1 m，求割出的長方形桌面的最大面積（如圖）.
1.若sin＝，則cos α＝（　　）
A.－　 B.－　　C.　 　D.
2.（多選）下列各式的值為1的是（　　）
A.4sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C.＋2sin215° D.sin22 025＋cos22 025
3.（2024·江蘇泰州中學(xué)期中）已知＝－，則tan α＝　　　　.
4.求證：＝sin 4α.
10.2　二倍角的三角函數(shù)
【基礎(chǔ)知識·重落實(shí)】
知識點(diǎn)
1.2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　　2.　　　1±sin 2α
自我診斷
1.ABD　對于C，當(dāng)α＝時(shí)，tan無意義，故C錯(cuò)誤；A、B、D正確.故選A、B、D.
2.D　sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.故選D.
3.　解析：cos215°－sin215°＝cos（2×15°）＝cos 30°＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）　（2）　（3）－　（4）4　解析：（1）原式＝＝＝.
（2）原式＝cos（2×750°）＝cos 1 500°＝cos（4×360°＋60°）＝cos 60°＝.
（3）原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°－60°）＝－tan 60°＝－.
（4）原式＝
＝
＝＝＝4.
跟蹤訓(xùn)練
1.D　原式＝（cos2－sin2）（cos2＋sin2）＝cos＝.
2.　解析：＝＝tan 60°＝.
【例2】　（1）　　　 （2）
解析：（1）∵cos α＝－，α∈，∴sin α＝－＝－＝－.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，于是，tan 2α＝＝.
（2）（sin α－cos α）2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝（）2，即sin 2α＝1－（）2＝.
母題探究
　－　解析：由題意，得（sin α＋cos α）2＝，∴1＋2sin αcos α＝，即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.
跟蹤訓(xùn)練
1.D　因?yàn)閏os 2α＝1－2sin2α，故由題意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即（sin α＋1）（2sin α－1）＝0.因?yàn)棣翞殇J角，所以sin α＝，所以α＝30°.故選D.
2.　解析：因?yàn)閟in（θ－）＝，所以sin（2θ＋）＝sin［2（θ－）＋］＝cos ［2（θ－）］＝1－2sin2（θ－）＝.
【例3】　解：（1）證明：左邊＝
＝
＝＝tan 2θ＝＝右邊，
所以等式成立.
（2）①法一　由倍角公式cos 2θ＝2cos2θ－1，得cos2θ＝.
原式＝＋
＋
＝＋＋＋＝.
法二　原式＝（－cos θ－sin θ）2＋（－cos θ＋sin θ）2＋cos2θ
＝cos2θ＋sin θ cos θ＋sin2θ＋cos2θ－sin θ cos θ＋sin2θ＋cos2θ＝.
②原式＝sin 10°（1＋）＝sin 10°·＝sin 10°·＝＝1.
跟蹤訓(xùn)練
1.0　解析：因?yàn)棣翞榈谌笙藿牵詂os α＜0，sin α＜0，所以－＝－＝－＝0.
2.解：原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
【例4】　解：（1）連接OB，如圖所示，設(shè)∠AOB＝θ，
則AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因?yàn)锳，D關(guān)于點(diǎn)O對稱，所以AD＝2OA＝40cos θ.
設(shè)矩形ABCD的面積為S，
則S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因?yàn)棣取剩援?dāng)sin 2θ＝1，即θ＝時(shí)，Smax＝400 m2.
此時(shí)AO＝DO＝10 m.
故當(dāng)A，D距離圓心O為10 m時(shí)，矩形ABCD的面積最大，其最大面積是400 m2.
（2）由（1）知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40
＝40sin（θ＋），
又θ∈，所以θ＋∈，
當(dāng)θ＋＝，即θ＝時(shí)，（AB＋BC＋CD）max＝40 m，
此時(shí)AO＝DO＝10 m，
即當(dāng)A，D距離圓心O為10 m時(shí)，步行小路的距離最遠(yuǎn).
跟蹤訓(xùn)練
　解：如圖，連接OC，設(shè)∠COB＝θ，
則0＜θ＜，OC＝1.
因?yàn)锳B＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝（cos θ－sin θ）·sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－（1－cos 2θ）＋sin 2θ
＝（sin 2θ＋cos 2θ）－＝cos－.
當(dāng)2θ－＝0，即θ＝時(shí)，（S矩形ABCD）max＝ m2.
所以割出的長方形桌面的最大面積為 m2.
隨堂檢測
1.C　因?yàn)閟in＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.故選C.
2.ACD　4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝1，A正確；cos215°－sin215°＝cos 30°＝，B錯(cuò)誤；＋2sin215°＝＋1－cos 30°＝＋1－＝1，C正確；sin22 025＋cos22 025＝1，D正確.故選A、C、D.
3.－3　解析：＝＝＝＝－，故tan α＝－3.
4.證明：左邊＝
＝2cos2α·（－cos 2α）·
＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α
＝sin 2αcos 2α
＝sin 4α＝右邊，所以等式成立.
4 / 4(共68張PPT)
10.2　
二倍角的三角函數(shù)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 邏輯推理
2.能夠運(yùn)用二倍角公式解決有關(guān)求值、化簡等
問題 數(shù)學(xué)運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　前面我們已學(xué)習(xí)了兩角和的正弦、余弦、正切公式，大家回
憶一下：
　　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β，
　　 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β，
　　tan（α＋β）＝ .
【問題】　當(dāng)α＝β時(shí)，我們能否由此得到 sin 2α， cos 2α， tan
2α的表達(dá)式呢？
知識點(diǎn)　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. 二倍角公式
函數(shù) 公式 β＝α 簡記符號
正弦 sin 2α＝ S（α＋β） S2α
余弦 cos 2α＝ ＝ ＝ C（α＋β） C2α
正切 tan 2α＝ T（α＋β） T2α
2 sin α cos α　
cos 2α－ sin 2α　
2 cos 2α－1　
1－2 sin 2α　
　
提醒　倍角公式中的“倍角”是相對的，對于兩個(gè)角的比值等于2
的情況都成立，如6α是3α的2倍，3α是 的2倍，也就是說，
“倍”是相對而言的，是描述兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系的.
2. 倍角公式常見變形
sin 2α＝ 　 　， cos 2α＝ 　 　，tan2α
＝ ，（ sin α± cos α）2＝ .
　
　
　
1± sin 2α　
1. （多選）下列結(jié)論中正確的是（　　）
B. cos 4α＝ cos 22α－ sin 22α
解析： 　對于C，當(dāng)α＝ 時(shí)，tan 無意義，故C錯(cuò)誤；A、
B、D正確.故選A、B、D.
√
√
√
2. 已知 sin α＝ ， cos α＝ ，則 sin 2α＝（　　）
解析： 　 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ .故選D.
√

解析： cos 215°－ sin 215°＝ cos （2×15°）＝ cos 30°＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 給角求值
【例1】　（鏈接教科書第70頁練習(xí)1題）求下列各式的值：
（1） sin cos ＝ 　 　；
解析： 原式＝ ＝ ＝ .
　

解析： 原式＝ cos （2×750°）＝ cos 1 500°＝ cos
（4×360°＋60°）＝ cos 60°＝ .
（3） ＝ 　－ 　；
解析： 原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°－
60°）＝－tan 60°＝－ .
　
－ 　
（4） － ＝ .
解析： 原式＝
＝
＝ ＝ ＝4.
4　
通性通法
利用二倍角公式解決給角求值問題的兩種策略
（1）直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的
基本關(guān)系對已知式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角；
（2）若形式為幾個(gè)非特殊角的正、余弦三角函數(shù)式相乘，則一般逆
用二倍角的正弦公式，在求解正余弦過程中，需配湊出滿足二
倍角公式的條件.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. cos 4 － sin 4 ＝（　　）
解析： 　原式＝（ cos 2 － sin 2 ）（ cos 2 ＋ sin 2 ）＝ cos
＝ .
√
2. 求值 ＝ 　 　.
解析： ＝ ＝ tan 60°＝ .
　
題型二 給值求值（角）
【例2】　（鏈接教科書第69頁例1）（1）已知 cos α＝－ ，
α∈ ，則 sin 2α＝ 　 　， cos 2α＝ 　 　，tan 2α
＝ ；
　
　
　
解析： ∵ cos α＝－ ，α∈ ，∴ sin α＝－
＝－ ＝－ .∴ sin 2α＝2 sin α cos α
＝2× × ＝ ， cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝
－ ＝ ，于是，tan 2α＝ ＝ .
（2）若 sin α－ cos α＝ ，則 sin 2α＝ 　 　.
解析： （ sin α－ cos α）2＝ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α
cos α＝1－ sin 2α＝（ ）2，即 sin 2α＝1－（ ）2＝ .
　
【母題探究】
　（變條件）本例（2）中，條件改為：已知 sin α＋ cos α＝ ，則
sin 2α＝ .
解析：由題意，得（ sin α＋ cos α）2＝ ，∴1＋2 sin α cos α＝
，即1＋ sin 2α＝ ，∴ sin 2α＝－ .
－ 　
通性通法
解決給值求值問題的方法
　　給值求值問題，注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系，有兩個(gè)觀
察方向：
（1）有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化；
（2）尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角
的變換和角之間的二倍關(guān)系；
① sin 2x＝ cos ＝ cos ＝2 cos 2（ －x）－1
＝1－2 sin 2 ；
② cos 2x＝ sin ＝ sin ＝2 sin （ －x） cos
.
（3）注意幾種公式的靈活應(yīng)用，如：
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 已知α為銳角，且滿足 cos 2α＝ sin α，則α＝（　　）
A. 75° B. 45°
C. 60° D. 30°
解析： 　因?yàn)?cos 2α＝1－2 sin 2α，故由題意，知2 sin 2α＋ sin
α－1＝0，即（ sin α＋1）（2 sin α－1）＝0.因?yàn)棣翞殇J角，所
以 sin α＝ ，所以α＝30°.故選D.
√
2. （2024·鎮(zhèn)江中學(xué)月考）若 sin （θ－ ）＝ ，則 sin （2θ＋ ）
＝ .
解析：因?yàn)?sin （θ－ ）＝ ，所以 sin （2θ＋ ）＝ sin ［2
（θ－ ）＋ ］＝ cos ［2（θ－ ）］＝1－2 sin 2（θ－ ）＝
.
　
題型三 利用二倍角公式證明與化簡
【例3】　（1）（鏈接教科書第70頁例2）證明： ＝
；
解： 證明：左邊＝
＝
＝ ＝tan 2θ＝ ＝右邊，
所以等式成立.
① cos 2（θ＋ π）＋ cos 2（θ－ π）＋ cos 2θ；
② sin 10°（1＋ ）.
解： ①法一　由倍角公式 cos 2θ＝2 cos 2θ－1，得 cos
2θ＝ .
原式＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .
（2）（鏈接教科書第70頁例3）化簡：
法二　原式＝（－ cos θ－ sin θ）2＋（－ cos θ＋ sin θ）2
＋ cos 2θ
＝ cos 2θ＋ sin θ cos θ＋ sin 2θ＋ cos 2θ－ sin θ cos θ＋
sin 2θ＋ cos 2θ＝ .
②原式＝ sin 10°（1＋ ）＝ sin 10°· ＝
sin 10°· ＝ ＝1.
通性通法
三角函數(shù)式證明與化簡的方法
（1）證明三角恒等式的方法：①從復(fù)雜的一邊入手，證明一邊等于
另一邊；②比較法，左邊－右邊＝0， ＝1；③分析法，從
要證明的等式出發(fā)，一步步尋找等式成立的條件.
（2）化簡的方法：①弦切互化，異名化同名，異角化同角；②降冪
或升冪.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2024·連云港月考）α為第三象限角，則 －
＝ .
解析：因?yàn)棣翞榈谌笙藿牵?cos α＜0， sin α＜0，所以
－ ＝ － ＝ － ＝0.
0　
2. 化簡： .
解：原式＝
＝
＝
＝ ＝ ＝1.
題型四 二倍角公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
【例4】　（鏈接教科書第71頁例5）如圖，有一塊以點(diǎn)O為圓心的半
圓形空地，要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地，使
其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn)B，C落在半圓的圓周上.已知
半圓的半徑長為20 m.
（1）如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對稱的點(diǎn)A，D的位置，可以使矩形ABCD的
面積最大，最大值是多少？
解： 連接OB，如圖所示，設(shè)∠AOB＝
θ，
則AB＝OB sin θ＝20 sin θ，OA＝OB cos θ＝
20 cos θ，且θ∈ .
因?yàn)锳，D關(guān)于點(diǎn)O對稱，所以AD＝2OA＝40
cos θ.
設(shè)矩形ABCD的面積為S，
則S＝AD·AB＝40 cos θ·20 sin θ＝400 sin
2θ.
因?yàn)棣取?，所以當(dāng) sin 2θ＝1，即θ＝
時(shí)，Smax＝400 m2.
此時(shí)AO＝DO＝10 m.
故當(dāng)A，D距離圓心O為10 m時(shí)，矩形ABCD
的面積最大，其最大面積是400 m2.
（2）沿著AB，BC，CD修一條步行小路從A到D，如何選擇A，D
位置，使步行小路的距離最遠(yuǎn)？
解： 由（1）知AB＝20 sin θ，AD＝40
cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40 sin θ＋40 cos θ＝
40 ＝40 sin ，
又θ∈ ，所以θ＋ ∈ ，
當(dāng)θ＋ ＝ ，即θ＝ 時(shí)，（AB＋BC＋CD）max＝40 m，
此時(shí)AO＝DO＝10 m，
即當(dāng)A，D距離圓心O為10 m時(shí)，步行小路的距離最遠(yuǎn).
通性通法
倍角公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用技巧
（1）建模：將實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型；
（2）解模：利用二倍角公式及兩角和與差的正、余弦公式將建立的
三角函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為y＝A sin （ωx＋φ）的形式，再求出相應(yīng)
的最值；
（3）結(jié)論：將三角函數(shù)模型的結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.
【跟蹤訓(xùn)練】
　某工人要從一塊圓心角為 的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的
內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1 m，求割出的長方形桌面的最
大面積（如圖）.
解：如圖，連接OC，設(shè)∠COB＝θ，
則0＜θ＜ ，OC＝1.
因?yàn)锳B＝OB－OA＝ cos θ－AD＝ cos θ－ sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝（ cos θ－ sin θ）· sin θ＝－ sin 2θ＋ sin θ cos θ＝－ （1－ cos 2θ）＋ sin 2θ＝ （ sin 2θ＋ cos 2θ）－ ＝ cos － .當(dāng)2θ－ ＝0，即θ＝ 時(shí)，（S矩形ABCD）max＝ m2.所以割出的長方形桌面的最大面積為 m2.
1. 若 sin ＝ ，則 cos α＝（　　）
解析： 　因?yàn)?sin ＝ ，所以 cos α＝1－2 sin 2 ＝1－2×
＝ .故選C.
√
2. （多選）下列各式的值為1的是（　　）
A. 4 sin 15° cos 15°
B. cos 215°－ sin 215°
D. sin 22 025＋ cos 22 025
√
√
√
解析： 　4 sin 15° cos 15°＝2 sin 30°＝1，A正確； cos
215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，B錯(cuò)誤； ＋2 sin 215°＝ ＋
1－ cos 30°＝ ＋1－ ＝1，C正確； sin 22 025＋ cos 22 025＝
1，D正確.故選A、C、D.
3. （2024·江蘇泰州中學(xué)期中）已知 ＝－ ，則tan α＝
.
解析： ＝ ＝ ＝ ＝－ ，故tan α
＝－3.
－
3　
4. 求證： ＝ sin 4α.
證明：左邊＝
＝2 cos 2α·（－ cos 2α）·
＝ cos 2α cos 2αtan α＝ sin α cos α cos 2α＝ sin 2α cos 2α
＝ sin 4α＝右邊，所以等式成立.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 已知 cos x＝ ，則 cos 2x＝（　　）
解析： 　 cos 2x＝2 cos 2x－1＝2× －1＝ .
√
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2. cos 275°＋ cos 215°＋ cos 75° cos 15°＝（　　）
解析： 　原式＝ sin 215°＋ cos 215°＋ sin 15° cos 15°＝1＋
sin 30°＝1＋ ＝ .故選C.
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3. － ＝（　　）
A. －2 cos 5° B. 2 cos 5°
C. －2 sin 5° D. 2 sin 5°
解析： 　原式＝ － ＝ cos 50°－ sin
50°＝2 ＝2（ sin 45° cos 50°－ cos
45° sin 50°）＝2 sin （－5°）＝－2 sin 5°.故選C.
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4. 已知tan x＝2，則tan ＝（　　）
解析： 　法一　tan ＝tan（2x－ ）＝ ＝
＝－ ＝－ ＝ ＝ .
√
法二　tan（x－ ）＝ ＝ ＝ ，∴tan［2（x－ ）］＝
＝ ＝ .故選C.
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5. （2024·南京河西外國語期中）已知 sin （α＋ ）＝ ，則 cos
（2α－ ）＝（　　）
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解析： 　由二倍角公式得： cos ［2（α＋ ）］＝1－2 sin 2（α
＋ ）＝1－2× ＝ ，又 cos （2α－ ）＝ cos ［（2α＋ ）－
π］＝－ cos （2α＋ ）＝－ .故選D.
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6. （多選）下列各式中，一定成立的是（　　）
A. sin 8α＝2 sin 4α cos 4α
B. 1－ sin 2α＝（ sin α－ cos α）2
解析： 　對于B，（ sin α－ cos α）2＝1－ sin 2α≠1－ sin
2α，故B錯(cuò)誤；對于D，tan 2α＝ ，故D錯(cuò)誤；A、C正確.
故選A、C.
√
√
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7. 計(jì)算 （ cos 215°－ cos 275°）＋ sin 15° cos 15°＝ .
解析： （ cos 215°－ cos 275°）＋ sin 15° cos 15°＝ cos
30°＋ sin 30°＝ sin 90°＝1.
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8. （2024·淮安月考）已知角α，β為銳角，且1－ cos 2α＝ sin α
cos α，tan（β－α）＝ ，則tan α＝ 　 　，β＝ 　 　.
解析：由1－ cos 2α＝ sin α cos α，得2 sin 2α＝ sin α cos
α.∵α為銳角，∴ sin α≠0，∴2 sin α＝ cos α，即tan α＝ .
　
　
法一　由tan（β－α）＝ ＝ ＝ ，得tan β＝1.∵β
為銳角，∴β＝ .
法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝ ＝ ＝
1.∵β為銳角，∴β＝ .
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9. 已知α∈ ，且 cos α＝－ ，則tan 2α＝ 　 　，
＝ .
　
－7　
解析：因?yàn)棣痢?， cos α＝－ ，所以 sin α＝
＝ ＝ ，所以tan α＝ ＝－ ，所以tan 2α＝
＝ ，所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝－
， cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝－ ，所以 ＝
＝－7.
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10. 已知函數(shù)f（x）＝ cos ，x∈R.
（1）求f 的值；
解： 因?yàn)閒（x）＝ cos ，
所以f ＝ cos ＝ cos ＝ cos
＝1.
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（2）若 cos θ＝ ，θ∈ ，求f .
解： 因?yàn)?cos θ＝ ，θ∈ ，所以 sin θ＝－ .
所以 cos 2θ＝2 cos 2θ－1＝2× －1＝－ ，
sin 2θ＝2 sin θ cos θ＝2× × ＝－ .
f ＝ cos ＝ （ cos 2θ cos － sin 2θ
sin ）＝ ×［（－ ）× － × ］＝ .
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11. （2024·無錫月考）在銳角△ABC中，若B＝2A，則 的取值范
圍是（　　）
解析： 　在銳角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是
解得 ＜A＜ ，所以 ＜ cos A＜ ，則
＝ ＝2 cos A∈（ ， ）.故選A.
√
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12. （多選）已知函數(shù)f（x）＝1－2 sin 2（x＋ ），則下列結(jié)論正
確的是（　　）
A. 函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
B. 函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
D. f（1）＞f（2）
√
√
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解析： 　f（x）＝1－2 sin 2（x＋ ）＝ cos ［2（x＋ ）］
＝－ sin 2x，對于A，f（－x）＝－ sin （－2x）＝ sin 2x＝－f
（x），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故A正確；對于B，函數(shù)f
（x）的最小正周期為 ＝π，故B錯(cuò)誤；對于C，f（－ ）＝－
sin （－ ）＝1為函數(shù)的最大值，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x
＝－ 對稱，故C正確；對于D，f（1）＝－ sin 2＜0，f（2）＝
－ sin 4＞0，所以f（1）＜f（2），故D錯(cuò)誤.故選A、C.
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13. （2024·江蘇泰州中學(xué)期中）已知α是銳角， cos α＝ ，則 cos
（ ＋ ）＝ 　 － 　.
解析：因?yàn)?cos α＝ ，所以 cos α＝2 cos 2 －1＝ ，解得 cos
＝± ，又α是銳角，則0＜ ＜ ，所以 cos ＝ ，則 sin ＝
＝ ，所以 cos （ ＋ ）＝ cos cos － sin sin ＝
× － × ＝ － .
－ 　
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14. 已知θ∈（0，π），且 sin θ＋ cos θ＝ .
（1）求 的值；
解：由 sin θ＋ cos θ＝ ， ①
兩邊平方并化簡得2 sin θ cos θ＝－ ＜0，
∵θ∈（0，π），∴ sin θ＞0， cos θ＜0，
sin θ－ cos θ＝ ＝ ＝ ，②
由①②得 sin θ＝ ， cos θ＝－ .
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（1）
＝
＝ ＝ .
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（2）求 的值.
解： ＝
＝
＝2 sin θ cos θ＝－ .
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15. 如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的
十字形，其中y＞x＞0.
（1）將十字形的面積表示成θ的函數(shù)；
解： 由題圖可知，x＝ cos θ，y
＝ sin θ.
由y＞x＞0，得 ＜θ＜ .
設(shè)S為十字形的面積，
則S＝xy＋x· ×2＝2xy－x2＝2 sin
θ cos θ－ cos 2θ＝ sin 2θ－ cos 2θ
（ ＜θ＜ ）.
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（2）求十字形的最大面積.
解： S＝ sin 2θ－ cos 2θ
＝ sin 2θ－ cos 2θ－
＝ （ sin 2θ－ cos 2θ）－
＝ sin （2θ－φ）－ （設(shè)φ為銳角且
tan φ＝ ），
當(dāng) sin （2θ－φ）＝1，即2θ－φ＝ 時(shí)，S最大.
此時(shí)θ＝ ＋ ，十字形取得最大面積 .
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