資源簡介

10.3　幾個三角恒等式
1.設5π＜θ＜6π，cos＝a，則sin＝（　?。?br/>A.　　　　　　　 B.
C.－ D.－
2.cos 72°－cos 36°＝（　?。?br/>A.3－2 B.
C.－ D.3＋2
3.化簡＝（　?。?br/>A.tan α B.tan 2α
C. D.
4.下列四個關系式中正確的是（　?。?br/>A.sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B.cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C.sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D.sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
5.（2024·徐州月考）若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，則sin（x＋y）＝（　?。?br/>A. B.－
C. D.－
6.（多選）tan 75°＝（　?。?br/>A.2＋ B.
C. D.tan 25°tan 35°tan 85°
7.（2024·無錫月考）已知sin α＝，且α為鈍角，則cos＝　　　　.
8.＋＝　　　　.
9.已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤π，則cos θ＝　　　　，sin＝　　　　.
10.（1）設cos（x＋y）sin x－sin（x＋y）cos x＝，且y是第四象限角，求tan的值；
（2）已知θ∈，且sin θ＝，求sin，cos，tan的值.
11.（2024·南通月考）已知cos α＝－且α為第三象限角，則＝（　?。?br/>A.－ B.
C.2 D.－2
12.若sin α＋sin β＝（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），則α－β＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
13.（2024·鎮(zhèn)江月考）函數(shù)y＝sin（x＋10°）＋cos（x＋40°）（x∈R）的最大值是　　　　.
14.（1）（2024·淮安質(zhì)檢）已知＜α＜3π，試化簡：；
（2）已知在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求證：△ABC是直角三角形.
15.已知函數(shù)f（x）＝sincos.
（1）求f（x）的值域；
（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零點.
10.3　幾個三角恒等式
1.D　∵∈，∴sin＝－＝－.故選D.
2.C　原式＝－2sinsin＝－2sin 54°sin 18°＝－2cos 36°cos 72°＝＝－.故選C.
3.B　原式＝＝＝tan 2α.故選B.
4.A　A正確，利用和差化積公式得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ；B錯誤，右邊應是2sin 4θsin θ；C錯誤，右邊應是－2cos 4θsin θ；D錯誤，由sin 5θ與cos 3θ兩式相加不能得出右邊結(jié)論，如果從和差化積角度考慮，左邊為異名三角函數(shù)，要化積應先用誘導公式化為同名三角函數(shù)后再化積，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin（－3θ）＝2sin（θ＋）cos（4θ－）.故選A.
5.A　因為cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos（x－y）＝，因為sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin（x＋y）cos（x－y）＝，所以2sin（x＋y）·＝，所以sin（x＋y）＝.故選A.
6.ACD　tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋，故A正確；由正切的半角公式知tan 75°＝，故B錯誤；tan 75°＝＝＝，故C正確；∵tan（60°－α）tan（60°＋α）·tan α＝tan 3α，令α＝25°，則tan 75°＝tan 25°tan 35°tan 85°，故D正確.故選A、C、D.
7.　解析：由α是鈍角，即90°＜α＜180°，得45°＜＜90°，∴cos α＜0，cos＞0，∴cos α＝－＝－，∴cos＝＝＝.
8.　解析：＋＝＋＝
＝
＝＝
＝2cos 30°＝.
9.－　　解析：∵≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且≤≤.又sin θ＋cos θ＝　①，∴（sin θ＋cos θ）2＝，∴2sin θcos θ＝－，∴（cos θ－sin θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∴cos θ－sin θ＝－?、冢?lián)立①②，得∴sin＝sin＝＝＝.
10.解：（1）∵cos（x＋y）sin x－sin（x＋y）·cos x＝，∴sin y＝sin[（x＋y）－x]＝sin（x＋y）cos x－cos（x＋y）sin x＝－，
∵y是第四象限角，
∴cos y＝＝＝，
由半角公式得tan＝＝＝－×＝－.
（2）∵θ∈，且sin θ＝，
∴cos θ＝－＝－，
又∵∈，
∴sin＝－＝－＝－，cos＝－＝－＝－，
tan＝＝＝2.
11.A　∵cos α＝－，α為第三象限角，∴sin α＝－，∴tan＝＝＝－3，∴＝＝－.故選A.
12.D　∵α，β∈（0，π），∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又y＝cos x在（0，π）上單調(diào)遞減，∴β＜α，0＜α－β＜π.由已知可得：2sincos＝（－2sin·sin），∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.故選D.
13.1　解析：令x＋10°＝α，則x＋40°＝α＋30°.∴y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°）.∴ymax＝1.
14.解：（1）∵＜α＜3π，∴＜＜，
∴cos α＜0，sin ＜0.
故原式＝＝＝＝－sin .
（2）證明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B.
又∵cos A＋cos B＝2cos cos ，
∴2sin cos ＝2cos ·cos ，
顯然cos ≠0，故sin ＝cos ，
兩邊平方，得sin2 ＝cos2，
即＝，
∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0，
∴2cos Acos B＝0，即cos A＝0或cos B＝0.
∵A，B是三角形的內(nèi)角，故必有一個為直角，
∴△ABC是直角三角形.
15.解：（1）由積化和差公式可知f（x）＝［sin＋sin（x－－x－）］
＝
＝sin－，
∵sin∈[－1，1]，∴f（x）的值域為[－1，0].
（2）令f（x）＝0，∴sin＝1，
∴2x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]，
∴x＝或x＝，∴f（x）的零點為，.
2 / 210.3　幾個三角恒等式
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.了解積化和差公式、和差化積公式及其推導過程 邏輯推理
2.了解半角公式及其推導過程 邏輯推理
3.能運用積化和差公式、和差化積公式及半角公式進行相關計算、化簡和證明 數(shù)學運算
　　
　　觀察下列學過的兩組公式：
　?。?）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β， ①
　　sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β； ②
　?。?）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， ③
　　cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β. ④
　　嘗試一下，對①②③④做一些“運算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？
【問題】　（1）如何用sin（α＋β），sin（α－β）表示sin αcos β及cos αsin β的值？
（2）如何用cos（α＋β），cos（α－β）表示cos αcos β及sin αsin β的值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　積化和差公式、和差化積公式
　積化和差
和差化積
【想一想】
1.積化和差公式與和差化積公式之間有什么聯(lián)系？
2.積化和差公式與和差化積公式在三角恒等變換中有什么作用？
知識點二　半角公式
【想一想】
半角公式中的符號是如何確定的？
1.（多選）下列說法中正確的是（　?。?br/>A.cos α－cos β＝－2sinsin
B.cos＝
C.tan＝
D.tan＝，只需滿足α≠2kπ＋π（k∈Z）
2.（2024·南京月考）若cos 2α＝－，且α∈，則sin α＝（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.－
3.sincos＝　　　　.
題型一 積化和差公式的應用
【例1】　（鏈接教科書第76頁例1）求下列各式的值：
（1）sin 37.5°cos 7.5°；
（2）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
通性通法
　　在運用積化和差公式時，如果形式為異名函數(shù)積時，化得的結(jié)果應為sin（α＋β）與sin（α－β）的和或差；如果形式為同名函數(shù)積時，化得的結(jié)果應為cos（α＋β）與cos（α－β）的和或差.
【跟蹤訓練】
　求下列各式的值：
（1）2cos 50°cos 70°－cos 20°；
（2）sin 80°cos 40°－sin 40°；
（3）sin 37.5°sin 22.5°－cos 15°.
題型二 和差化積公式的應用
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?7頁例2）把下列各式化為積的形式：
（1）sin x＋sin 3x；
（2）cos（15°＋α）－cos（15°－α）.
通性通法
　　套用和差化積公式的關鍵是記準、記牢公式，為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式，有時需要把常數(shù)首先化為某個角的三角函數(shù)，然后再化積，有時函數(shù)不同名，要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來.
【跟蹤訓練】
1.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝（　?。?br/>A.　　　　　　　 B.
C. D.1
2.計算：＝（　?。?br/>A. B.－
C. D.－
題型三 應用半角公式求值
【例3】　（鏈接教科書第78頁例3）已知sin α＝－，＜α＜2π，求sin，cos，tan的值.
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時常常借助半角公式求解；
（2）明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必依據(jù)角的范圍，求出相應半角的范圍.
提醒　已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，求值時要注意確定其符號.
【跟蹤訓練】
1.（2024·常州第一中學月考）sin的值是（　?。?br/>A. B.
C. D.
2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值.
題型四 三角函數(shù)式的化簡與證明
【例4】　化簡：
（π＜α＜2π）.
通性通法
化簡問題中的“三變”
（1）變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式；
（2）變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切；
（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當?shù)淖冃瓮緩?如升冪、降冪、配方、開方、和積互化等.
【跟蹤訓練】
1.化簡：（1）cos－tan（1＋cos α）；
（2）.
2.求證：tan－tan＝.
1.利用積化和差公式化簡sin αsin＝（　　）
A.－[cos（α＋β）－cos（α－β）]
B.[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
C.[sin（α＋β）－sin（α－β）]
D.[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
2.sin 75°－sin 15°＝（　?。?br/>A.　　　B. C.　　　D.－
3.（2024·揚州月考）若cos α＝－，α是第三象限角，則tan＝　　　　.
4.把下列各式化為積的形式：
（1）sin 122°＋sin 36°；
（2）cos 75°－cos 23°.
10.3　幾個三角恒等式
【基礎知識·重落實】
知識點一
　[sin（α＋β）＋sin（α－β）]　[sin（α＋β）－sin（α－β）]　[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　－[cos（α＋β）－cos（α－β）]　2sincos　2cossin　2coscos　－2sin·sin
想一想
1.提示：在積化和差公式中，令α＋β＝x，α－β＝y(tǒng)，則α＝，β＝，則積化和差公式相應變?yōu)楹筒罨e公式.
2.提示：和積互化是三角恒等變換中的一種重要的變形手段，是化非特殊角為特殊角的有效方法，也是在三角函數(shù)式的化簡、求值和證明中，相約或相消的常用方法.
知識點二
　1－2sin2α　2cos2α－1　±
±　　
±
想一想
　提示：（1）當給出角α的具體范圍時，先求的范圍，然后根據(jù)的范圍確定符號；
（2）如果沒有給出確定符號的條件，那么在根號前要保留正負號.
自我診斷
1.AD　對于A，cos α－cos β＝－2sin·sin，故A正確；對于B，cos＝±，故B錯誤；對于C、D，當α≠2kπ＋π時，tan＝＝，故C錯誤，D正確.故選A、D.
2.A　因為α∈，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ ＝.故選A.
3.＋　解析：sincos＝sin·cos（π＋）＝sincos＝＝×（1＋）＝＋.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）原式＝[sin（37.5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°）]
＝（sin 45°＋sin 30°）＝×（＋）＝.
（2）原式＝（sin 90°－sin 50°）－（cos 60°－cos 40°）
＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.
跟蹤訓練
　解：（1）原式＝cos（50°＋70°）＋cos（50°－70°）－cos 20°
＝cos 120°＋cos 20°－cos 20°＝cos 120°＝－.
（2）原式＝[sin（80°＋40°）＋sin（80°－40°）]－sin 40°
＝（sin 120°＋sin 40°）－sin 40°＝.
（3）原式＝－[cos（37.5°＋22.5°）－cos（37.5°－22.5°）]－cos 15°
＝－（cos 60°－cos 15°）－cos 15°＝－cos 60°＝－.
【例2】　解：（1）原式＝2sin·cos＝2sin 2x·cos x.
（2）原式＝－2sin·sin
＝－2sin 15°sin α.
跟蹤訓練
1.C　sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80°＝2××sin 80°＋－sin 80°＝.故選C.
2.B　原式＝＝－＝－＝－.故選B.
【例3】　解：∵＜α＜2π，sin α＝－，
∴cos α＝且＜＜π，
∴sin＝ ＝，
cos＝－ ＝－，
tan＝＝－.
跟蹤訓練
1.B　sin＝＝＝＝＝.故選B.
2.解：因為cos 2θ＝－，＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
所以tan＝＝＝.
【例4】　解：原式＝
＝
＝.又∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，∴原式＝＝cos α.
跟蹤訓練
1.解：（1）原式＝－sin α－·（1＋cos α）＝－2sin α.
（2）原式＝＝＝＝tan 2α.
2.證明：左邊＝－
＝
＝
＝
＝＝右邊.
所以原等式成立.
隨堂檢測
1.D　sin αsin＝sin αcos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）].故選D.
2.B　sin 75°－sin 15°＝2cos·sin＝2cos 45°·sin 30°＝.故選B.
3.－3　解析：∵cos α＝－，α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，∴tan＝＝－3.
4.解：（1）原式＝2sin·cos＝2sin 79°·cos 43°.
（2）原式＝－2sinsin＝－2sin 49°·sin 26°.
4 / 4(共65張PPT)
10.3　
幾個三角恒等式
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.了解積化和差公式、和差化積公式及其
推導過程 邏輯推理
2.了解半角公式及其推導過程 邏輯推理
3.能運用積化和差公式、和差化積公式及
半角公式進行相關計算、化簡和證明 數(shù)學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　觀察下列學過的兩組公式：
（1） sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， ①
sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β； ②
（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β， ③
cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β. ④
　　嘗試一下，對①②③④做一些“運算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？
【問題】　（1）如何用 sin （α＋β）， sin （α－β）表示 sin α cos β及 cos α sin β的值？
（2）如何用 cos （α＋β）， cos （α－β）表示 cos α cos β及 sin α sin β的值？
　 積化和差
知識點一　積化和差公式、和差化積公式
和差化積
【想一想】
1. 積化和差公式與和差化積公式之間有什么聯(lián)系？
提示：在積化和差公式中，令α＋β＝x，α－β＝y(tǒng)，則α＝
，β＝ ，則積化和差公式相應變?yōu)楹筒罨e公式.
2. 積化和差公式與和差化積公式在三角恒等變換中有什么作用？
提示：和積互化是三角恒等變換中的一種重要的變形手段，是化非
特殊角為特殊角的有效方法，也是在三角函數(shù)式的化簡、求值和證
明中，相約或相消的常用方法.
知識點二　半角公式
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【想一想】
半角公式中的符號是如何確定的？
提示：（1）當給出角α的具體范圍時，先求 的范圍，然后根據(jù) 的
范圍確定符號；
（2）如果沒有給出確定符號的條件，那么在根號前要保留正負號.
1. （多選）下列說法中正確的是（　?。?br/>√
√
解析： 　對于A， cos α－ cos β＝－2 sin · sin ，故A
正確；對于B， cos ＝± ，故B錯誤；對于C、D，當
α≠2kπ＋π時，tan ＝ ＝ ，故C錯誤，D正確.故選
A、D.
2. （2024·南京月考）若 cos 2α＝－ ，且α∈ ，則 sin α＝
（　?。?br/>解析： 　因為α∈ ，所以 sin α≥0，由半角公式可得 sin
α＝ ＝ .故選A.
√
3. sin cos ＝ 　 ＋ 　.
解析： sin cos ＝ sin · cos （π＋ ）＝ sin cos
＝ ＝ ×（1＋ ）＝ ＋ .
＋ 　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 積化和差公式的應用
【例1】　（鏈接教科書第76頁例1）求下列各式的值：
（1） sin 37.5° cos 7.5°；
解： 原式＝ [ sin （37.5°＋7.5°）＋ sin （37.5°－
7.5°）]
＝ （ sin 45°＋ sin 30°）＝ ×（ ＋ ）＝ .
（2） sin 20° cos 70°＋ sin 10° sin 50°.
解： 原式＝ （ sin 90°－ sin 50°）－ （ cos 60°－
cos 40°）
＝ － sin 50°＋ cos 40°＝ － sin 50°＋ sin 50°＝ .
通性通法
　　在運用積化和差公式時，如果形式為異名函數(shù)積時，化得的結(jié)果
應為 sin （α＋β）與 sin （α－β）的和或差；如果形式為同名函
數(shù)積時，化得的結(jié)果應為 cos （α＋β）與 cos （α－β）的和或差.
【跟蹤訓練】
　求下列各式的值：
（1）2 cos 50° cos 70°－ cos 20°；
解： 原式＝ cos （50°＋70°）＋ cos （50°－70°）－
cos 20°
＝ cos 120°＋ cos 20°－ cos 20°＝ cos 120°＝－ .
（2） sin 80° cos 40°－ sin 40°；
解： 原式＝ [ sin （80°＋40°）＋ sin （80°－40°）]
－ sin 40°
＝ （ sin 120°＋ sin 40°）－ sin 40°＝ .
（3） sin 37.5° sin 22.5°－ cos 15°.
解： 原式＝－ [ cos （37.5°＋22.5°）－ cos （37.5°
－22.5°）]－ cos 15°
＝－ （ cos 60°－ cos 15°）－ cos 15°＝－ cos 60°＝－
.
題型二 和差化積公式的應用
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?7頁例2）把下列各式化為積的形式：
（1） sin x＋ sin 3x；
解： 原式＝2 sin cos ＝2 sin 2x· cos x.
（2） cos （15°＋α）－ cos （15°－α）.
解： 原式＝－2 sin · sin
＝－2 sin 15° sin α.
通性通法
　　套用和差化積公式的關鍵是記準、記牢公式，為了能夠把三角函
數(shù)式化為積的形式，有時需要把常數(shù)首先化為某個角的三角函數(shù)，然
后再化積，有時函數(shù)不同名，要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求
值則盡量求出值來.
【跟蹤訓練】
1. 求值： sin 20°＋ sin 40°＋ sin 60°－ sin 80°＝（　?。?br/>D. 1
解析： 　 sin 20°＋ sin 40°＋ sin 60°－ sin 80°＝2 sin 30°
cos 10°＋ sin 60°－ sin 80°＝2× × sin 80°＋ － sin 80°＝
.故選C.
√
2. 計算： ＝（　?。?br/>解析： 　原式＝ ＝－ ＝－ ＝－ .
故選B.
√
題型三 應用半角公式求值
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?8頁例3）已知 sin α＝－ ， ＜α＜
2π，求 sin ， cos ，tan 的值.
解：∵ ＜α＜2π， sin α＝－ ，
∴ cos α＝ 且 ＜ ＜π，
∴ sin ＝ ＝ ，
cos ＝－ ＝－ ，
tan ＝ ＝－ .
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩
倍，則求解時常常借助半角公式求解；
（2）明范圍：由于半角公式求值常涉及符號問題，因此求解時務必
依據(jù)角的范圍，求出相應半角的范圍.
提醒　已知 cos α的值可求 的正弦、余弦、正切值，求值時要
注意確定其符號.
【跟蹤訓練】
1. （2024·常州第一中學月考） sin 的值是（　?。?br/>解析： 　 sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
故選B.
√
2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值.
解：因為 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝ ＝ ＝ ，
cos θ＝－ ＝－ ＝－ ，
所以tan ＝ ＝ ＝ .
題型四 三角函數(shù)式的化簡與證明
【例4】　化簡：
（π＜α＜2π）.
解：原式＝
＝
＝ .又∵π＜α＜2π，∴ ＜ ＜π，∴ cos ＜0，∴原式
＝ ＝ cos α.
通性通法
化簡問題中的“三變”
（1）變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過
拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式；
（2）變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)
一為弦或統(tǒng)一為切；
（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當?shù)淖冃瓮緩?如升
冪、降冪、配方、開方、和積互化等.
【跟蹤訓練】
1. 化簡：（1） cos －tan （1＋ cos α）；
解： 原式＝－ sin α－ ·（1＋ cos α）＝－2
sin α.
（2） .
解： 原式＝ ＝ ＝
＝tan 2α.
2. 求證：tan －tan ＝ .
證明：左邊＝ －
＝
＝
＝
＝ ＝右邊.
所以原等式成立.
1. 利用積化和差公式化簡 sin α sin ＝（　?。?br/>解析： 　 sin α sin ＝ sin α cos β＝ [ sin （α＋β）＋
sin （α－β）].故選D.
√
2. sin 75°－ sin 15°＝（　?。?br/>解析： 　 sin 75°－ sin 15°＝2 cos sin ＝2
cos 45°· sin 30°＝ .故選B.
√
3. （2024·揚州月考）若 cos α＝－ ，α是第三象限角，則tan
＝ .
解析：∵ cos α＝－ ，α是第三象限角，∴ sin α＝－
＝－ ，∴tan ＝ ＝－3.
－3　
4. 把下列各式化為積的形式：
（1） sin 122°＋ sin 36°；
解： 原式＝2 sin cos ＝2 sin
79°· cos 43°.
（2） cos 75°－ cos 23°.
解： 原式＝－2 sin sin ＝－2 sin
49°· sin 26°.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
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1. 設5π＜θ＜6π， cos ＝a，則 sin ＝（　　）
解析： 　∵ ∈ ，∴ sin ＝－ ＝－ .故
選D.
√
2. cos 72°－ cos 36°＝（　?。?br/>解析： 　原式＝－2 sin sin ＝－2 sin 54° sin
18°＝－2 cos 36° cos 72°＝ ＝－ .
故選C.
√
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3. 化簡 ＝（　　）
A. tan α B. tan 2α
解析： 　原式＝ ＝ ＝tan 2α.故選B.
√
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4. 下列四個關系式中正確的是（　　）
A. sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin 4θ cos θ
B. cos 3θ－ cos 5θ＝－2 sin 4θ sin θ
D. sin 5θ＋ cos 3θ＝2 sin 4θ cos θ
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解析： 　A正確，利用和差化積公式得 sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin
4θ cos θ；B錯誤，右邊應是2 sin 4θ sin θ；C錯誤，右邊應是－
2 cos 4θ sin θ；D錯誤，由 sin 5θ與 cos 3θ兩式相加不能得出右
邊結(jié)論，如果從和差化積角度考慮，左邊為異名三角函數(shù)，要化積
應先用誘導公式化為同名三角函數(shù)后再化積，即 sin 5θ＋ cos 3θ
＝ sin 5θ＋ sin （ －3θ）＝2 sin （θ＋ ） cos （4θ－ ）.故
選A.
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5. （2024·徐州月考）若 cos x cos y＋ sin x sin y＝ ， sin 2x＋ sin 2y
＝ ，則 sin （x＋y）＝（　?。?br/>√
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解析： 　因為 cos x cos y＋ sin x sin y＝ ，所以 cos （x－y）＝
，因為 sin 2x＋ sin 2y＝ ，所以2 sin （x＋y） cos （x－y）＝
，所以2 sin （x＋y）· ＝ ，所以 sin （x＋y）＝ .故選A.
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6. （多選）tan 75°＝（　?。?br/>D. tan 25°tan 35°tan 85°
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√
√
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解析： 　tan 75°＝tan（45°＋30°）＝ ＝
＝2＋ ，故A正確；由正切的半角公式知tan 75°＝
，故B錯誤；tan 75°＝ ＝ ＝
，故C正確；∵tan（60°－α）tan（60°＋α）tan α
＝tan 3α，令α＝25°，則tan 75°＝tan 25°tan 35°tan 85°，故
D正確.故選A、C、D.
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7. （2024·無錫月考）已知 sin α＝ ，且α為鈍角，則 cos
＝ .
解析：由α是鈍角，即90°＜α＜180°，得45°＜ ＜90°，
∴ cos α＜0， cos ＞0，∴ cos α＝－ ＝－ ，∴ cos
＝ ＝ ＝ .
　
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8. ＋ ＝ 　 　.
解析： ＋ ＝ ＋ ＝
＝ ＝ ＝ ＝2
cos 30°＝ .
　
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解析：∵ ≤θ≤π，∴ sin θ≥0， cos θ≤0，且 ≤ ≤ .又 sinθ＋ cos θ＝ ?、伲啵?sin θ＋ cos θ）2＝ ，∴2 sin θ cos θ＝－ ，∴（ cos θ－ sin θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝ ，∴ cos θ－ sin θ＝－ ?、?，聯(lián)立①②，得∴ sin ＝ sin ＝ ＝ ＝ .
9. 已知 sin θ＋ cos θ＝ ，且 ≤θ≤π，則 cos θ＝ 　－ 　， sin
＝ 　 　.
－ 　
　
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10. （1）設 cos （x＋y） sin x－ sin （x＋y） cos x＝ ，且y是第
四象限角，求tan 的值；
解： ∵ cos （x＋y） sin x－ sin （x＋y） cos x＝
，∴ sin y＝ sin [（x＋y）－x]＝ sin （x＋y） cos x－
cos （x＋y） sin x＝－ ，
∵y是第四象限角，
∴ cos y＝ ＝ ＝ ，
由半角公式得tan ＝ ＝ ＝－ × ＝－ .
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（2）已知θ∈ ，且 sin θ＝ ，求 sin ， cos ，tan
的值.
解： ∵θ∈ ，且 sin θ＝ ，
∴ cos θ＝－ ＝－ ，又∵ ∈ ，
∴ sin ＝－ ＝－ ＝－ ，
cos ＝－ ＝－ ＝－ ，
tan ＝ ＝ ＝2.
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11. （2024·南通月考）已知 cos α＝－ 且α為第三象限角，則
＝（　　）
C. 2 D. －2
解析： 　∵ cos α＝－ ，α為第三象限角，∴ sin α＝－ ，
∴tan ＝ ＝ ＝－3，∴ ＝ ＝－ .故選A.
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12. 若 sin α＋ sin β＝ （ cos β－ cos α），且α∈（0，π），
β∈（0，π），則α－β＝（　　）
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解析： 　∵α，β∈（0，π），∴ sin α＋ sin β＞0，∴ cos β
－ cos α＞0，∴ cos β＞ cos α，又y＝ cos x在（0，π）上單調(diào)
遞減，∴β＜α，0＜α－β＜π.由已知可得：2 sin cos
＝ （－2 sin · sin ），∴tan ＝ ，∴ ＝ ，
∴α－β＝ .故選D.
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13. （2024·鎮(zhèn)江月考）函數(shù)y＝ sin （x＋10°）＋ cos （x＋40°）
（x∈R）的最大值是 .
解析：令x＋10°＝α，則x＋40°＝α＋30°.∴y＝ sin α＋
cos （α＋30°）＝ sin α＋ cos α cos 30°－ sin α sin 30°＝
sin α＋ cos α＝ sin （α＋60°）.∴ymax＝1.
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解： ∵ ＜α＜3π，∴ ＜ ＜ ，
∴ cos α＜0， sin ＜0.
故原式＝ ＝ ＝ ＝－ sin .
14. （1）（2024·淮安質(zhì)檢）已知 ＜α＜3π，試化簡：
；
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（2）已知在△ABC中， cos A＋ cos B＝ sin C，求證：△ABC是
直角三角形.
解： 證明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ cos A＋ cos B.
又∵ cos A＋ cos B＝2 cos cos ，
∴2 sin cos ＝2 cos cos ，
顯然 cos ≠0，故 sin ＝ cos ，
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兩邊平方，得 sin 2 ＝ cos 2 ，
即 ＝ ，
∴ cos （A＋B）＋ cos （A－B）＝0，
∴2 cos A cos B＝0，即 cos A＝0或 cos B＝0.
∵A，B是三角形的內(nèi)角，故必有一個為直角，
∴△ABC是直角三角形.
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15. 已知函數(shù)f（x）＝ sin cos .
（1）求f（x）的值域；
解： 由積化和差公式可知f（x）＝
＝
＝ sin － ，
∵ sin ∈[－1，1]，∴f（x）的值域為[－1，0].
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（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零點.
解： 令f（x）＝0，∴ sin ＝1，
∴2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z，
∴x＝ ＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]，
∴x＝ 或x＝ ，∴f（x）的零點為 ， .
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