資源簡(jiǎn)介

　　
一、三角函數(shù)式求值
　　掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、和差化積與積化和差公式的正用、逆用以及推論的應(yīng)用.
【例1】　（1）＝（　　）
A.－2　　　　　　　 B.－1
C.1 D.2
（2）已知0＜α＜，0＜β＜，且3sin β＝sin（2α＋β），4tan＝1－tan2，則α＋β＝　　　　.
反思感悟
　　三角函數(shù)式求值的主要類(lèi)型
（1）“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，觀察發(fā)現(xiàn)題中的角與特殊角都有一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，必要時(shí)運(yùn)用誘導(dǎo)公式；
（2）“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)式的值，這類(lèi)求值問(wèn)題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角，要注意角的范圍；
（3）“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過(guò)往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時(shí)還要討論角的范圍.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜.
（1）求tan 2α的值；
（2）求β的值.
二、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明
　　掌握兩角和與差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的應(yīng)用，能利用上述公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明.
【例2】　化簡(jiǎn)：.
反思感悟
三角函數(shù)式化簡(jiǎn)與證明的思路
（1）觀察三角函數(shù)式的特點(diǎn)，已知和所求中包含什么三角函數(shù)式，它們可以怎樣聯(lián)系；
（2）觀察角的特點(diǎn)，它們之間可通過(guò)何種形式聯(lián)系起來(lái)；
（3）觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，它們之間經(jīng)過(guò)怎樣的變形可以達(dá)到統(tǒng)一.
【跟蹤訓(xùn)練】
　求證：＝.
三、三角恒等變換的綜合應(yīng)用
1.解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用基本的三角恒等變換思想方法，對(duì)其解析式變形、化簡(jiǎn)，盡量使其化為只有一個(gè)角為自變量的三角函數(shù).在進(jìn)行恒等變換時(shí)，既要注意三角恒等思想（切化弦、常值代換、降冪與升冪、收縮代換、和差與積的互化、角的代換）的運(yùn)用，還要注意一般的數(shù)學(xué)思想方法（如換元法等）的運(yùn)用.
2.對(duì)于三角恒等變換的實(shí)際應(yīng)用，通常需要建立關(guān)于三角函數(shù)的數(shù)學(xué)模型、利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.
【例3】　已知函數(shù)f（x）＝sin＋2cos2x－1.
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及其相應(yīng)的x的取值集合；
（2）若＜α＜且f（α）＝，求cos 2α的值.
反思感悟
應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問(wèn)題的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形，應(yīng)怎樣截取才能使△OAB的周長(zhǎng)最長(zhǎng)？
章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
【例1】　（1）D　（2）　解析：（1）原式＝
＝
＝
＝＝2.
（2）因?yàn)?sin β＝sin（2α＋β），即3sin（α＋β－α）＝sin（α＋β＋α），整理得2sin（α＋β）cos α＝4cos（α＋β）sin α.即tan（α＋β）＝2tan α.又4tan＝1－tan2，所以tan α＝＝，tan（α＋β）＝2tan α＝2×＝1.又0＜α＜，0＜β＜，所以α＋β∈，所以α＋β＝.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）由cos α＝，0＜α＜得，sin α＝＝＝.
∴tan α＝＝4，∴tan 2α＝＝＝－.
（2）由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又cos（α－β）＝，
∴sin（α－β）＝＝＝.
由β＝α－（α－β），得cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）
＝×＋×＝，∴β＝.
【例2】　解：原式＝
＝
＝＝cos 2x.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：左邊＝
＝
＝＝＝
＝＝右邊.
所以原等式成立.
【例3】　解：（1）因?yàn)閒（x）＝sin＋2cos2x－1＝sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以當(dāng)2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z時(shí)，f（x）max＝1.其相應(yīng)的x的取值集合為xx＝kπ＋，k∈Z.
（2）由題意得f（α）＝sin（2α＋）＝.
由＜α＜，得＜2α＋＜，
所以cos＝－.
因此cos 2α＝cos＝coscos＋sin（2α＋）sin＝×＋×＝.
跟蹤訓(xùn)練
　解：如圖所示，設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長(zhǎng)為l，
則AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R（sin α＋cos α）＋R＝Rsin（α＋）＋R.
∵0＜α＜，
∴＜α＋＜，
∴l(xiāng)的最大值為R＋R＝（＋1）R，
此時(shí)，α＋＝，即α＝.
故當(dāng)α＝時(shí)，△OAB的周長(zhǎng)最長(zhǎng).
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章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
一、三角函數(shù)式求值
　　掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、和差化積
與積化和差公式的正用、逆用以及推論的應(yīng)用.
【例1】　（1） ＝（　D　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
D
解析： 原式
＝
＝
＝
＝ ＝2.
（2）已知0＜α＜ ，0＜β＜ ，且3 sin β＝ sin （2α＋β），
4tan ＝1－tan2 ，則α＋β＝ 　 　.
解析： 因?yàn)? sin β＝ sin （2α＋β），即3 sin （α＋β
－α）＝ sin （α＋β＋α），整理得2 sin （α＋β） cos α＝
4 cos （α＋β） sin α.即tan（α＋β）＝2tan α.又4tan ＝1
－tan2 ，所以tan α＝ ＝ ，tan（α＋β）＝2tan α＝
2× ＝1.又0＜α＜ ，0＜β＜ ，所以α＋β∈ ，所
以α＋β＝ .
　
反思感悟
　　三角函數(shù)式求值的主要類(lèi)型
（1）“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，觀察發(fā)現(xiàn)題中的
角與特殊角都有一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，必要時(shí)運(yùn)用
誘導(dǎo)公式；
（2）“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些
三角函數(shù)式的值，這類(lèi)求值問(wèn)題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的
角，合理拆、配角，要注意角的范圍；
（3）“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過(guò)往往求出的
是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，
必要時(shí)還要討論角的范圍.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ .
（1）求tan 2α的值；
解： 由 cos α＝ ，0＜α＜ 得， sin α＝ ＝
＝ .
∴tan α＝ ＝4 ，∴tan 2α＝ ＝ ＝－
.
（2）求β的值.
解： 由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又 cos （α－β）＝ ，
∴ sin （α－β）＝ ＝ ＝ .
由β＝α－（α－β），得 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝
cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）
＝ × ＋ × ＝ ，∴β＝ .
二、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明
　　掌握兩角和與差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的應(yīng)用，
能利用上述公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明.
【例2】　化簡(jiǎn)： .
解：原式＝
＝
＝ ＝ cos 2x.
反思感悟
三角函數(shù)式化簡(jiǎn)與證明的思路
（1）觀察三角函數(shù)式的特點(diǎn)，已知和所求中包含什么三角函數(shù)式，
它們可以怎樣聯(lián)系；
（2）觀察角的特點(diǎn)，它們之間可通過(guò)何種形式聯(lián)系起來(lái)；
（3）觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，它們之間經(jīng)過(guò)怎樣的變形可以達(dá)到統(tǒng)一.
【跟蹤訓(xùn)練】
　求證： ＝ .
證明：左邊＝
＝
＝ ＝ ＝
＝ ＝右邊.
所以原等式成立.
三、三角恒等變換的綜合應(yīng)用
1. 解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用基本
的三角恒等變換思想方法，對(duì)其解析式變形、化簡(jiǎn)，盡量使其化為
只有一個(gè)角為自變量的三角函數(shù).在進(jìn)行恒等變換時(shí)，既要注意三
角恒等思想（切化弦、常值代換、降冪與升冪、收縮代換、和差與
積的互化、角的代換）的運(yùn)用，還要注意一般的數(shù)學(xué)思想方法（如
換元法等）的運(yùn)用.
2. 對(duì)于三角恒等變換的實(shí)際應(yīng)用，通常需要建立關(guān)于三角函數(shù)的數(shù)學(xué)
模型、利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.
【例3】　已知函數(shù)f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1.
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及其相應(yīng)的x的取值集合；
解： 因?yàn)閒（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1＝ sin
2x· cos － cos 2x· sin ＋ cos 2x＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin
，
所以當(dāng)2x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，即x＝kπ＋ ，k∈Z時(shí)，f
（x）max＝1.
其相應(yīng)的x的取值集合為 x x＝kπ＋ ，k∈Z .
（2）若 ＜α＜ 且f（α）＝ ，求 cos 2α的值.
解： 由題意得f（α）＝ sin ＝ .
由 ＜α＜ ，得 ＜2α＋ ＜ ，
所以 cos ＝－ .
因此 cos 2α＝ cos
＝ cos cos ＋ sin sin
＝ × ＋ × ＝ .
反思感悟
應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問(wèn)題的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形，應(yīng)怎樣截取才能
使△OAB的周長(zhǎng)最長(zhǎng)？
解：如圖所示，設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長(zhǎng)為l，
則AB＝R sin α，OB＝R cos α，
∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cos α＝R
（ sin α＋ cos α）＋R＝ R sin （α＋ ）＋R.
∵0＜α＜ ，∴ ＜α＋ ＜ ，
∴l(xiāng)的最大值為 R＋R＝（ ＋1）R，
此時(shí)，α＋ ＝ ，即α＝ .
故當(dāng)α＝ 時(shí)，△OAB的周長(zhǎng)最長(zhǎng).
謝 謝 觀 看！

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