資源簡(jiǎn)介

章末檢測(cè)（十）　三角恒等變換
（時(shí)間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.cos（45°－α）cos（α－15°）－sin（45°－α）sin（α－15°）＝（　?。?br/>A.　　　B.－　　　C.　　　D.－
2.下列各式中，值為的是（　　）
A.cos2－sin2 B.
C.sin 15°cos 15° D.
3.已知tan（α－β）＝3，tan β＝2，則tan α＝（　?。?br/>A.－1 B.1 C.－ D.
4.cos 20°·cos 40°·cos 60°·cos 80°＝（　　）
A. B. C. D.
5.已知cos α＝，α∈，則sin＝（　?。?br/>A. B.－
C. D.
6.若2α∈（－，），tan α＝，則sin（2α－）＝（　?。?br/>A.－ B.
C.－ D.
7.已知sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－且α－β∈，α＋β∈，則cos 2β＝（　　）
A.1 B.－1
C. D.－
8.在△ABC中，若tan B＝，則這個(gè)三角形是（　　）
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.已知0＜θ＜，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，則下列選項(xiàng)中與tan的值恒相等的有（　?。?br/>A. B. C. D.
10.已知α，β是銳角，cos α＝，cos（α－β）＝，則cos β＝（　　）
A. B. C. D.－
11.下列各式與tan α相等的是（　　）
A.
B.
C.·（α∈（0，π））
D.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.已知sin（α＋30°）＝，則sin（2α＋150°）＝　　　　.
13.△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，當(dāng)A＝　　　　時(shí)，cos A＋2cos取得最大值，這個(gè)最大值為　　　　.
14.計(jì)算：cos 40°（1＋）＝　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為，.
（1）求tan（α－β）的值；
（2）求α＋β的值.
16.（本小題滿分15分）已知cos＝，＜x＜，求的值.
17.（本小題滿分15分）某學(xué)習(xí)小組在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）；
cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）.
（1）求出這個(gè)常數(shù)；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，將該小組的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等式，并證明你的結(jié)論.
18.（本小題滿分17分）如圖，某公司有一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形空地ABCD，現(xiàn)要在正方形空地中規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域PAQ種植花草，其中P，Q分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠PAQ＝，其他區(qū)域安裝健身器材，設(shè)∠BAP為θ弧度.
（1）求△PAQ的面積S關(guān)于θ的函數(shù)解析式S（θ）；
（2）求面積S的最小值.
19.（本小題滿分17分）已知函數(shù)f（x）＝sin ωx－cos ωx＋1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為6π.
（1）求ω的值；
（2）設(shè)α，β∈，f＝，f（3β＋π）＝，求cos（α＋β）的值.
章末檢測(cè)（十）　三角恒等變換
1.C　原式＝cos[（45°－α）＋（α－15°）]＝cos 30°＝.故選C.
2.B　對(duì)于A，cos2－sin2＝cos（2×）＝cos＝，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，＝·＝tan 45°＝，故B正確；對(duì)于C ，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，＝＝，故D錯(cuò)誤.故選B.
3.A　因?yàn)閠an α＝tan[（α－β）＋β]＝，又tan（α－β）＝3，tan β＝2，故tan α＝＝－1.故選A.
4.C　由20°，40°，80°成倍角關(guān)系，且sin 2α＝2sin αcos α，則cos α＝，則cos 20°cos 40°·cos 60°cos 80°＝×××＝.故選C.
5.A　∵α∈，∴∈，∴sin＝＝＝＝.故選A.
6.D　因?yàn)閠an α＝，所以＝.整理得3sin α＝sin2α＋cos2α＝1，則sin α＝，又2α∈（－，），則2α∈（0，），所以cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝1－2sin2α＝，所以sin（2α－）＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝.故選D.
7.C　∵α－β∈，sin（α－β）＝，∴cos（α－β）＝－.∵α＋β∈，cos（α＋β）＝－，∴sin（α＋β）＝.∴cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝.故選C.
8.B　∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝＝
＝，
即＝，∴cos（B＋C）＝0，∴cos（π－A）＝0，∴cos A＝0，∵0＜A＜π，∴A＝，∴這個(gè)三角形為直角三角形.故選B.
9.AD　∵sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴＝，∴tan＝＝＝＝＝＝.故選A、D.
10.AC　由α是銳角，cos α＝，則sin α＝＝，又α，β是銳角，則－β∈，得α－β∈，又cos（α－β）＝，則sin（α－β）＝±，則cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×±×＝，得cos β＝或cos β＝.故選A、C.
11.CD　A項(xiàng)，＝＝＝｜tan α｜≠tan α；B項(xiàng)，＝＝tan≠tan α；C項(xiàng)，因?yàn)棣痢剩?，π），所以原式＝·＝＝tan α，符合；D項(xiàng)，＝＝tan α，符合.故選C、D.
12.　解析：sin（2α＋150°）＝sin[2（α＋30°）＋90°]＝cos [2（α＋30°）]＝1－2sin2（α＋30°）＝1－2×（）2＝.
13.60°　　解析：cos A＋2cos＝cos A＋2sin＝1－2sin2＋2sin＝－2sin2＋2sin＋1＝－2·＋，當(dāng)sin＝，即A＝60°時(shí)，＝.
14.1　解析：原式＝cos 40°（1＋）＝cos 40°·＝cos 40°＝
　cos 40°＝cos 40°＝cos 40°＝＝1.
15.解：（1）由題可知，cos α＝，cos β＝.
由于α，β為銳角，則sin α＝，sin β＝，
故tan α＝，tan β＝，
則tan（α－β）＝＝＝－.
（2）因?yàn)閠an（α＋β）＝＝1，
sin α＝＜，sin β＝＜，即0＜α＋β＜，故α＋β＝.
16.解：＝
＝
＝
＝sin 2x·tan.
∵＜x＜，∴＜x＋＜2π，
又∵cos＝，
∴sin＝－.
∴tan＝－.
sin 2x＝sin
＝－cos［2（＋x）］＝1－2cos2
＝1－2×＝.
∴＝sin 2x·tan＝×＝－.
17.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°
＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos 30°－（1－cos 30°）
＝1＋－×＝.
（2）推廣：當(dāng)α＋β＝30°時(shí)，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝.
證明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
cos2α＋cos2β－sin αsin β
＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α）
＝cos2α＋－sin α·（cos α－sin α）
＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝.
18.解：（1）因?yàn)椤螧AP＝θ，正方形邊長(zhǎng)為1百米，
所以AP＝，AQ＝.
如圖，過(guò)點(diǎn)P作AQ的垂線，垂足為E，則PE＝·，
所以S（θ）＝··＝，θ∈.
（2）因?yàn)镾（θ）＝，
所以當(dāng)sin＝1，
即θ＝時(shí)，
S（θ）取最小值為－1，
故當(dāng)θ＝時(shí)，面積S的最小值為－1.
19.解：（1）∵f（x）＝2＋1
＝2＋1
＝2sin＋1，
∵T＝＝6π，∴ω＝.
（2）由（1）得f（x）＝2sin＋1，
∵f＝2sin＋1＝2sin＋1＝－2cos α＋1＝，
∴cos α＝.
又f（3β＋π）＝2sin＋1
＝2sin β＋1＝，
∴sin β＝.
∵α，β∈，
∴sin α＝＝，cos β＝＝.
∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－.
3 / 3(共38張PPT)
章末檢測(cè)（十）　三角恒等變換
（時(shí)間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. cos （45°－α） cos （α－15°）－ sin （45°－α） sin （α－
15°）＝（　　）
解析： 　原式＝ cos [（45°－α）＋（α－15°）]＝ cos 30°
＝ .故選C.
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2. 下列各式中，值為 的是（　　）
C. sin 15° cos 15°
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解析： 　對(duì)于A， cos 2 － sin 2 ＝ cos （2× ）＝ cos ＝
，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B， ＝ · ＝ tan 45°
＝ ，故B正確；對(duì)于C ， sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ，故C
錯(cuò)誤；對(duì)于D， ＝ ＝ ，故D錯(cuò)誤.故選B.
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3. 已知tan（α－β）＝3，tan β＝2，則tan α＝（　?。?br/>A. －1 B. 1
解析： 　因?yàn)閠an α＝tan[（α－β）＋β]＝ ，
又tan（α－β）＝3，tan β＝2，故tan α＝ ＝－1.故選A.
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4. cos 20°· cos 40°· cos 60°· cos 80°＝（　?。?br/>解析： 由20°，40°，80°成倍角關(guān)系，且 sin 2α＝2 sin α
cos α，則 cos α＝ ，則 cos 20° cos 40°· cos 60° cos 80°
＝ × × × ＝ .故選C.
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5. 已知 cos α＝ ，α∈ ，則 sin ＝（　?。?br/>解析： 　∵α∈ ，∴ ∈ ，∴ sin ＝
＝ ＝ ＝ .故選A.
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6. 若2α∈（－ ， ），tan α＝ ，則 sin （2α－ ）＝
（　?。?br/>√
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解析： 　因?yàn)閠an α＝ ，所以 ＝ .整理得3 sin α
＝ sin 2α＋ cos 2α＝1，則 sin α＝ ，又2α∈（－ ， ），則
2α∈（0， ），所以 cos α＝ ＝ ，所以 sin 2α＝2
sin α cos α＝2× × ＝ ， cos 2α＝1－2 sin 2α＝ ，所以
sin （2α－ ）＝ sin 2α cos － cos 2α sin ＝ × － × ＝
.故選D.
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7. 已知 sin （α－β）＝ ， cos （α＋β）＝－ 且α－
β∈ ，α＋β∈ ，則 cos 2β＝（　　）
A. 1 B. －1
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解析： 　∵α－β∈ ， sin （α－β）＝ ，∴ cos （α
－β）＝－ .∵α＋β∈ ， cos （α＋β）＝－ ，∴ sin
（α＋β）＝ .∴ cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝ cos
（α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝
× ＋ × ＝ .故選C.
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8. 在△ABC中，若tan B＝ ，則這個(gè)三角形是
（　?。?br/>A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
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解析： 　∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴tan B＝
＝
＝ ，即 ＝ ，∴ cos （B＋
C）＝0，∴ cos （π－A）＝0，∴ cos A＝0，∵0＜A＜π，∴A＝
，∴這個(gè)三角形為直角三角形.故選B.
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二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選
對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知0＜θ＜ ，若 sin 2θ＝m， cos 2θ＝n且m≠n，則下列選
項(xiàng)中與tan 的值恒相等的有（　　）
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解析： 　∵ sin 2θ＝m， cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴
＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ .故選A、D.
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10. 已知α，β是銳角， cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，則 cos
β＝（　?。?br/>√
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解析： 　由α是銳角， cos α＝ ，則 sin α＝ ＝
，又α，β是銳角，則－β∈ ，得α－β∈
，又 cos （α－β）＝ ，則 sin （α－β）＝± ，則
cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α
sin （α－β）＝ × ± × ＝ ，得 cos β＝
或 cos β＝ .故選A、C.
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11. 下列各式與tan α相等的是（　?。?br/>√
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解析： 　A項(xiàng)， ＝ ＝ ＝｜tan α｜
≠tan α；B項(xiàng)， ＝ ＝tan ≠tan α；C項(xiàng)，因?yàn)?br/>α∈（0，π），所以原式＝ · ＝ ＝tan α，符
合；D項(xiàng)， ＝ ＝tan α，符合.故選C、D.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 已知 sin （α＋30°）＝ ，則 sin （2α＋150°）＝ 　 　.
解析： sin （2α＋150°）＝ sin [2（α＋30°）＋90°]＝ cos
[2（α＋30°）]＝1－2 sin 2（α＋30°）＝1－2×（ ）2＝ .
　
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13. △ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，當(dāng)A＝ 時(shí)， cos A
＋2 cos 取得最大值，這個(gè)最大值為 　 　.
解析： cos A＋2 cos ＝ cos A＋2 sin ＝1－2 sin 2 ＋2 sin ＝
－2 sin 2 ＋2 sin ＋1＝－2· ＋ ，當(dāng) sin ＝ ，即A
＝60°時(shí)， ＝ .
60°　
　
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14. 計(jì)算： cos 40°（1＋ ）＝ .
解析：原式＝ cos 40°（1＋ ）＝ cos
40°· ＝ cos 40° ＝ cos
40° ＝ cos 40° ＝ cos 40° ＝
＝1.
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)
明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為
始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B
兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為 ， .
（1）求tan（α－β）的值；
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解： 由題可知， cos α＝ ， cos
β＝ .
由于α，β為銳角，則 sin α＝ ， sin
β＝ ，
故tan α＝ ，tan β＝ ，
則tan（α－β）＝ ＝ ＝－ .
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（2）求α＋β的值.
解： 因?yàn)閠an（α＋β）＝ ＝1，
sin α＝ ＜ ， sin β＝ ＜ ，即0
＜α＋β＜ ，故α＋β＝ .
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16. （本小題滿分15分）已知 cos ＝ ， ＜x＜ ，求
的值.
解： ＝
＝
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＝ sin 2x·tan .
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∵ ＜x＜ ，∴ ＜x＋ ＜2π，
又∵ cos ＝ ，
∴ sin ＝－ .
∴tan ＝－ .
sin 2x＝ sin ＝－ cos ［2（ ＋x）］＝1－2 cos
2 ＝1－2× ＝ .
∴ ＝ sin 2x·tan ＝ × ＝－ .
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17. （本小題滿分15分）某學(xué)習(xí)小組在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下
三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).
cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°；
cos 280°＋ cos 2（－50°）－ sin 80° sin （－50°）；
cos 2170°＋ cos 2（－140°）－ sin 170° sin （－140°）.
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（1）求出這個(gè)常數(shù)；
解： cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°
＝2 cos 215°－ sin 215°
＝1＋ cos 30°－ （1－ cos 30°）
＝1＋ － × ＝ .
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（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，將該小組的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等
式，并證明你的結(jié)論.
解： 推廣：當(dāng)α＋β＝30°時(shí)， cos 2α＋ cos 2β－
sin α sin β＝ .
證明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β
＝ cos 2α＋ cos 2（30°－α）－ sin α sin （30°－α）
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＝ cos 2α＋ － sin α·（ cos α－
sin α）
＝ cos 2α＋ cos 2α＋ cos α sin α＋ sin 2α－ cos α
sin α＋ sin 2α＝ cos 2α＋ sin 2α＝ .
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18. （本小題滿分17分）如圖，某公司有一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形空
地ABCD，現(xiàn)要在正方形空地中規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域PAQ種植花
草，其中P，Q分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠PAQ＝ ，其他
區(qū)域安裝健身器材，設(shè)∠BAP為θ弧度.
（1）求△PAQ的面積S關(guān)于θ的函數(shù)解析式S（θ）；
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解： 因?yàn)椤螧AP＝θ，正方形邊長(zhǎng)為
1百米，
所以AP＝ ，AQ＝ .
如圖，過(guò)點(diǎn)P作AQ的垂線，垂足為E，則PE＝ · ，
所以S（θ）＝ · · ＝
，θ∈ .
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（2）求面積S的最小值.
解： 因?yàn)镾（θ）＝ ，
所以當(dāng) sin ＝1，即θ＝ 時(shí)，S（θ）取最小值為 －1，
故當(dāng)θ＝ 時(shí)，面積S的最小值為 －1.
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19. （本小題滿分17分）已知函數(shù)f（x）＝ sin ωx－ cos ωx＋1
（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期為6π.
（1）求ω的值；
解： ∵f（x）＝2 ＋1
＝2 ＋1
＝2 sin ＋1，
∵T＝ ＝6π，∴ω＝ .
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（2）設(shè)α，β∈ ，f ＝ ，f（3β＋π）＝ ，
求 cos （α＋β）的值.
解： 由（1）得f（x）＝2 sin ＋1，
∵f ＝2 sin ＋1＝2 sin ＋1＝
－2 cos α＋1＝ ，
∴ cos α＝ .
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又f（3β＋π）＝2 sin ＋1＝2 sin β＋1＝
，∴ sin β＝ .
∵α，β∈ ，
∴ sin α＝ ＝ ， cos β＝ ＝ .
∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ .
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