資源簡介

11.1　余弦定理
1.在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，則邊長b＝（　　）
A.5　 　　　　　　　　　B.8
C.5或－8 D.－5或8
2.在△ABC中，cos B＝（a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則△ABC的形狀為（　　）
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，則cos B＝（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·宿遷月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，則·＝（　　）
A.79 B.69
C.5 D.－5
5.（多選）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，則（　　）
A.b＝2 B.b＝2
C.B＝60° D.B＝30°
6.（多選）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若c2＜a2＋b2＋2abcos 2C，則C的取值可能為（　　）
A. B.
C. D.
7.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，則AB＝　　　　.
8.（2024·無錫第一中學期中）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為邊AC的中點，c＝1，BD＝，∠ABD＝，則a＝　　　　.
9.在△ABC中，若（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），則A＝　　　　.
10.設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c.
11.（2024·梅村高中月考）黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的等腰三角形，另一種是頂角為108°的等腰三角形.其中頂角為36°的等腰三角形的底與腰之比為，這種黃金三角形被認為是最美的三角形.根據(jù)這些信息，則cos 36°＝（　　）
A. B.
C. D.
12.（多選）在△ABC中，下列結論一定成立的是（　　）
A.c＝acos B＋bcos A
B.sin（A＋B）＝sin C
C.cos（A＋B）＝cos C
D.b2＝（a－c）2＋2ac（1－cos B）
13.在非等邊三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a為最大邊，若a2＜b2＋c2，則角A的取值范圍為　　　　.
14.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩個根，且2cos（A＋B）＝1.
（1）求角C的度數(shù)；
（2）求AB的長度.
15.（2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋（cos A－sin A）cos B＝0.
（1）求B的大小；
（2）若a＋c＝1，求b的取值范圍.
11.1　余弦定理
1.B　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即49＝9＋b2－3b，所以（b－8）（b＋5）＝0.因為b＞0，所以b＝8.
2.A　cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C為直角，則△ABC為直角三角形.
3.A　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故選A.
4.D　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得cos B＝＝，∴·＝｜｜｜｜cos（π－B）＝5×7×（－）＝－5.故選D.
5.AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 （b－2）·（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°.故選A、D.
6.AB　由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＜a2＋b2＋2abcos 2C，整理得cos 2C＋cos C＞0，即2cos2C＋cos C－1＞0，所以（2cos C－1）（cos C＋1）＞0，解得cos C＞或cos C＜－1（舍去），因此cos C＞.又因為C為△ABC的內(nèi)角，所以C∈.故選A、B.
7.1　解析：在△ABC中，因為A＝60°，AC＝2，BC＝，設AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，化簡得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
8.　解析：由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝1＋2－2×1××＝1，所以AD＝1，AC＝2AD＝2，此時AB2＋AD2＝BD2，即AB⊥AD，所以a＝BC＝＝.
9.120°　解析：∵（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cos A＝＝＝－.∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.
10.解：因為sin C＝，且0＜C＜π，所以C＝或C＝.
當C＝時，cos C＝，此時c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，所以c＝2；
當C＝時，cos C＝－，此時c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，所以c＝2.
綜上所述，c的值為2或2.
11.B　在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，＝.設AB＝2x，BC＝（－1）x，則cos 36°＝＝＝.故選B.
12.ABD　對于A，acos B＋bcos A＝a·＋b·＝＝＝c，故A正確；對于B，由誘導公式得B正確；對于C，cos（A＋B）＝－cos C，故C錯誤；對于D，（a－c）2＋2ac（1－cos B）＝a2＋c2－2ac＋2ac－2accos B＝a2＋c2－2accos B＝b2，故D正確.故選A、B、D.
13.（60°，90°）　解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，則cos A＝＞0.∴A＜90°.又∵a為最大邊，∴A＞60°.故A的取值范圍是（60°，90°）.
14.解：（1）cos C＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－，又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
（2）因為a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩個根，
所以
所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝（2）2－2＝10.
所以AB＝.
15.解：（1）由已知得，－cos（A＋B）＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，
即sin Asin B－sin Acos B＝0.
因為sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.
又cos B≠0，所以tan B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
（2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
因為a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3（a－）2＋.
又0＜a＜1，所以≤b2＜1，即≤b＜1，
即b的取值范圍為［，1）.
2 / 211.1　余弦定理
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
理解余弦定理的證明，并會運用余弦定理解決相關問題 邏輯推理、數(shù)學運算
如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度.工程技術人員先在地面上選一適當?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝km，AC＝1 km，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC（即線段BC）的張角∠BAC＝150°.
【問題】　（1）我們知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知兩條直角邊a，b和C＝90°，則c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的結論？
（2）你能通過上面的結論求出山腳的長度BC嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　余弦定理
1.余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有
余弦 定理 語言敘述 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
續(xù)表
余 弦 定 理 公式表達 a2＝　　　　　　　　， b2＝　　　　　　　　， c2＝　　　　　　　
推論 cos A＝　　　　　　， cos B＝　　　　　　， cos C＝　　　　　
2.解三角形
我們把三角形的　　　　　和　　　　　叫作三角形的元素.已知三角形的幾個元素求　　　　　　的過程叫作解三角形.
1.在△ABC中，符合余弦定理的是（　　）
A.c2＝a2＋b2－2abcos C
B.c2＝a2－b2－2bccos A
C.b2＝a2－c2－2bccos A
D.cos C＝
2.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.余弦定理適用于任何三角形
B.在△ABC中，已知兩邊及夾角時，△ABC不一定唯一
C.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，則角C為直角
D.在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，則角C為鈍角
3.在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，則c＝　　　　.
題型一 已知兩邊及一角解三角形
【例1】　（鏈接教科書第92頁例1（1））根據(jù)下列條件解三角形：
（1）在△ABC中，已知b＝8，c＝3， A＝60°，求a的值；
（2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解這個三角形.
通性通法
已知兩邊及一角解三角形的兩種情況
（1）若已知角是兩邊的夾角，則直接運用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角；
（2）若已知角是其中一邊的對角，可用余弦定理列出關于第三邊的一元二次方程求解.
【跟蹤訓練】
1.（2024·無錫月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos（A＋B）＝，則c＝（　　）
A.4　　　　　　　　 B.
C.3 D.
2.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，則AC＝　　　　.
題型二 已知三邊解三角形
【例2】　（鏈接教科書第92頁例1（2））在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
通性通法
已知三角形三邊解三角形的方法
　　先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理的推論求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角.
【跟蹤訓練】
1.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a2－b2＝c2－bc，則A＝（　　）
A.135° B.60°或120°
C.45° D.135°或45°
2.（2024·鹽城聯(lián)盟校期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足a∶b∶c＝3∶4∶6，則cos A＝（　　）
A. B.－
C. D.－
題型三 判斷三角形的形狀
【例3】　（鏈接教科書第94頁例5）（1）在△ABC中，（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab且2cos A·sin B＝sin C，試判斷△ABC的形狀；
（2）在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，試判斷△ABC的形狀.
通性通法
判斷三角形形狀的方法
（1）利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉化思想解決問題，一般有兩條思考路線：①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關系；②先化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關系.
（2）判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結論：①△ABC為直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC為銳角三角形 a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2；③△ABC為鈍角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2；④若sin 2A＝sin 2B，則A＝B或A＋B＝.
【跟蹤訓練】
　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B·cos C，試判斷△ABC的形狀.
題型四 余弦定理在實際問題中的應用
【例4】　（鏈接教科書第93頁例4）一艘輪船按照北偏東40°方向，以18海里/時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東20°方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為6海里，求燈塔與輪船原來的距離.
通性通法
利用余弦定理解決實際問題的方法技巧
　　解決實際問題其實只比解三角形多一步，即把實際問題中涉及的量納入到三角形中.這一過程中要特別注意準確理解和翻譯相關術語.
【跟蹤訓練】
某觀測站C與兩燈塔A，B的距離分別為3 km和5 km，測得燈塔A在觀測站C北偏西50°，燈塔B在觀測站C北偏東70°，求兩燈塔A，B之間的距離.
1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，則AC＝（　　）
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
2.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝1，c＝2，則A＝（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
3.如圖，在高速公路建設中需要確定隧道的長度，工程技術人員已測得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離AC＝BC＝1 km，且C＝120°，則A，B兩點間的距離為　　　　km.
4.（2024·蘇州月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，則△ABC是　　　　三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.
11.1　余弦定理
【基礎知識·重落實】
知識點
1.b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C　　　　2.三個角　三條邊　其他元素
自我診斷
1.A　由余弦定理及其推論知只有A正確.故選A.
2.AC　對于A，余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系，它適用于任何三角形，故A正確；對于B，已知兩邊及夾角時，△ABC唯一，故B錯誤；對于C，a2＋b2＝c2，由勾股定理的逆定理知C＝90°，故C正確；對于D，若a2＋b2－c2＞0，cos C＝＞0，又C∈（0，π），則角C為銳角，故D錯誤.故選A、C.
3.7　解析：由余弦定理，得c＝＝＝7.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，則a2＝82＋32－2×8×3×cos 60°＝49，所以a＝7.
（2）由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
則32＝a2＋（3）2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
當a＝3時，A＝30°，C＝120°；
當a＝6時，由余弦定理得cos A＝＝0，A＝90°，C＝60°.
跟蹤訓練
1.D　cos C＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－.又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故選D.
2.1或2　解析：在△ABC中，令角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則AB＝c＝，BC＝a＝1，cos A＝，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，則AC＝1或AC＝2.
【例2】　解：根據(jù)余弦定理，得cos A＝
＝＝，
∵A∈（0，π），∴A＝.
cos C＝
＝＝，
∵C∈（0，π），∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
∴A＝，B＝，C＝.
跟蹤訓練
1.C　a2－b2＝c2－bc，由余弦定理的推論得cos A＝＝，故A＝45°.故選C.
2.C　由題意，不妨設a＝3k，b＝4k，c＝6k，k＞0，由余弦定理得，cos A＝＝＝.故選C.
【例3】　解：（1）∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin（A＋B）.
∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
∴sin（A－B）＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B.
又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝.
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，
∴△ABC為等邊三角形.
（2）由acos B＋acos C＝b＋c，結合余弦定理得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0.
∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
跟蹤訓練
　解：將已知等式變形為b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccos Bcos C.
由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2－＝2bc··，
∴b2＋c2＝＝＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形.
【例4】　解：如圖，設輪船原來在A處，航行20分鐘后到達B處，C為燈塔的位置，
根據(jù)條件可得∠BAC＝120°，AB＝18×＝6（海里），BC＝6海里，
由余弦定理可得cos 120°＝＝＝－，
解得AC＝6（AC＝－12舍去）.
因此，燈塔與輪船原來的距離為6海里.
跟蹤訓練
　解：依題意知△ABC中，AC＝3 km，BC＝5 km，∠ACB＝120°.
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49.
∴AB＝7 km.即兩燈塔A，B之間的距離為7 km.
隨堂檢測
1.A　在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，由AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，可得13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4（舍去）.故選A.
2.C　由余弦定理的推論得cos A＝＝＝，又A為△ABC的內(nèi)角，所以A＝60°.
3.　解析：在△ABC中，AC＝BC＝1 km，C＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，∴AB＝ km.
4.直角　解析：由余弦定理得c2＝bc·＋ac·＋ab·，即c2＝a2＋b2，∴△ABC為直角三角形.
4 / 4(共57張PPT)
11.1　余弦定理
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
理解余弦定理的證明，并會運用余
弦定理解決相關問題 邏輯推理、數(shù)學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度.
工程技術人員先在地面上選一適當?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的
距離，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC
（即線段BC）的張角∠BAC＝150°.
【問題】　（1）我們知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知兩條直
角邊a，b和C＝90°，則c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也
有相似的結論？
（2）你能通過上面的結論求出山腳的長度BC嗎？
知識點　余弦定理
1. 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有
余 弦 定 理 語言敘述 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減
去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
公式表達 a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝
b2＋c2－2bc cos A　
c2＋a2－2ca cos B　
a2＋b2－2ab cos C　
余 弦 定 理 推論 cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝
　
　
　
2. 解三角形
我們把三角形的 和 叫作三角形的元素.已知
三角形的幾個元素求 的過程叫作解三角形.
三個角　
三條邊　
其他元素　
1. 在△ABC中，符合余弦定理的是（　　）
A. c2＝a2＋b2－2ab cos C
B. c2＝a2－b2－2bc cos A
C. b2＝a2－c2－2bc cos A
D. cos C＝
解析： 　由余弦定理及其推論知只有A正確.故選A.
√
2. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 余弦定理適用于任何三角形
B. 在△ABC中，已知兩邊及夾角時，△ABC不一定唯一
C. 在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，則角C為直角
D. 在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，則角C為鈍角
√
√
解析： 　對于A，余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關
系，它適用于任何三角形，故A正確；對于B，已知兩邊及夾角
時，△ABC唯一，故B錯誤；對于C，a2＋b2＝c2，由勾股定理的
逆定理知C＝90°，故C正確；對于D，若a2＋b2－c2＞0， cos C
＝ ＞0，又C∈（0，π），則角C為銳角，故D錯誤.故選
A、C.
3. 在△ABC中，已知a＝9，b＝2 ，C＝150°，則c＝ 　7 　.
解析：由余弦定理，得c＝
＝ ＝7 .
7 　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 已知兩邊及一角解三角形
【例1】　（鏈接教科書第92頁例1（1））根據(jù)下列條件解三角形：
（1）在△ABC中，已知b＝8，c＝3， A＝60°，求a的值；
解： 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，則a2＝82＋
32－2×8×3× cos 60°＝49，所以a＝7.
解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
則32＝a2＋（3 ）2－2a×3 × cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
當a＝3時，A＝30°，C＝120°；
當a＝6時，由余弦定理得 cos A＝ ＝0，A＝90°，C
＝60°.
（2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解這個三角形.
通性通法
已知兩邊及一角解三角形的兩種情況
（1）若已知角是兩邊的夾角，則直接運用余弦定理求出另外一邊，
再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角；
（2）若已知角是其中一邊的對角，可用余弦定理列出關于第三邊的
一元二次方程求解.
【跟蹤訓練】
1. （2024·無錫月考）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，
b，c，若a＝3，b＝2， cos （A＋B）＝ ，則c＝（　　）
A. 4 B. C. 3 D.
解析： 　 cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A＋B）＝－ .
又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×
＝17，所以c＝ .故選D.
√
2. 已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，則AC＝ .
解析：在△ABC中，令角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則
AB＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋
c2－2bc cos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，則AC＝1或
AC＝2.
1或2　
題型二 已知三邊解三角形
【例2】　（鏈接教科書第92頁例1（2））在△ABC中，已知a＝
2 ，b＝6＋2 ，c＝4 ，求A，B，C.
解：根據(jù)余弦定理，得 cos A＝
＝ ＝ ，
∵A∈（0，π），∴A＝ .
cos C＝
＝ ＝ ，
∵C∈（0，π），∴C＝ .
∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ ，
∴A＝ ，B＝ ，C＝ .
通性通法
已知三角形三邊解三角形的方法
　　先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦，從而求出第一個角；
再利用余弦定理的推論求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理
求出第三個角.
【跟蹤訓練】
1. 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a2－b2＝c2
－ bc，則A＝（　　）
A. 135° B. 60°或120°
C. 45° D. 135°或45°
解析： 　a2－b2＝c2－ bc，由余弦定理的推論得 cos A＝
＝ ，故A＝45°.故選C.
√
2. （2024·鹽城聯(lián)盟校期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊
長分別為a，b，c，且滿足a∶b∶c＝3∶4∶6，則 cos A＝
（　　）
A. B. － C. D. －
解析： 　由題意，不妨設a＝3k，b＝4k，c＝6k，k＞0，由余
弦定理得， cos A＝ ＝ ＝ .故選C.
√
題型三 判斷三角形的形狀
【例3】　（鏈接教科書第94頁例5）（1）在△ABC中，（a＋b＋
c）（a＋b－c）＝3ab且2 cos A· sin B＝ sin C，試判斷△ABC的形
狀；
解： ∵A＋B＋C＝180°，∴ sin C＝ sin （A＋B）.
∵2 cos A sin B＝ sin C，
∴2 cos A sin B＝ sin A cos B＋ cos A sin B，
∴ sin A cos B－ cos A sin B＝0，∴ sin （A－B）＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B.
又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴ cos C＝ .
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，
∴△ABC為等邊三角形.
（2）在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，試判斷△ABC的形
狀.
解： 由a cos B＋a cos C＝b＋c，結合余弦定理得
a· ＋a· ＝b＋c，即 ＋ ＝
b＋c，整理得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0.
∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
通性通法
判斷三角形形狀的方法
（1）利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”
入手，即使用轉化思想解決問題，一般有兩條思考路線：
①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量
關系；
②先化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量
關系.
（2）判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結論：
①△ABC為直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋
c2；
②△ABC為銳角三角形 a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2
＞b2；
③△ABC為鈍角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜
b2；
④若 sin 2A＝ sin 2B，則A＝B或A＋B＝ .
【跟蹤訓練】
　在△ABC中，若b2 sin 2C＋c2 sin 2B＝2bc cos B· cos C，試判斷
△ABC的形狀.
解：將已知等式變形為b2（1－ cos 2C）＋c2（1－ cos 2B）＝2bc cos
B cos C.
由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2 － ＝
2bc· · ，
∴b2＋c2＝ ＝ ＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形.
題型四 余弦定理在實際問題中的應用
【例4】　（鏈接教科書第93頁例4）一艘輪船按照北偏東40°方向，
以18海里/時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東20°方向
上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為6 海里，求燈塔與輪
船原來的距離.
解：如圖，設輪船原來在A處，航行20分鐘后到達
B處，C為燈塔的位置，
根據(jù)條件可得∠BAC＝120°，AB＝18× ＝6
（海里），BC＝6 海里，
由余弦定理可得 cos 120°＝ ＝
＝－ ，
解得AC＝6（AC＝－12舍去）.
因此，燈塔與輪船原來的距離為6海里.
通性通法
利用余弦定理解決實際問題的方法技巧
　　解決實際問題其實只比解三角形多一步，即把實際問題中涉及的
量納入到三角形中.這一過程中要特別注意準確理解和翻譯相關術語.
【跟蹤訓練】
某觀測站C與兩燈塔A，B的距離分別為3 km和5 km，測得燈塔A在
觀測站C北偏西50°，燈塔B在觀測站C北偏東70°，求兩燈塔A，
B之間的距離.
解：依題意知△ABC中，AC＝3 km，BC＝5 km，∠ACB＝120°.
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos ∠ACB＝32＋52
－2×3×5× cos 120°＝49.
∴AB＝7 km.即兩燈塔A，B之間的距離為7 km.
1. 在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，則AC＝（　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　在△ABC中，若AB＝ ，BC＝3，C＝120°，由
AB2＝BC2＋AC2－2AC·BC cos C，可得13＝9＋AC2＋3AC，解得
AC＝1或AC＝－4（舍去）.故選A.
√
2. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝
，b＝1，c＝2，則A＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
解析： 　由余弦定理的推論得 cos A＝ ＝ ＝ ，又
A為△ABC的內(nèi)角，所以A＝60°.
√
3. 如圖，在高速公路建設中需要確定隧道的長度，工程技術人員已測
得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離AC＝BC＝1 km，且C＝
120°，則A，B兩點間的距離為 km.
解析：在△ABC中，AC＝BC＝1 km，C＝120°.由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝1＋1－2×1×1× cos 120°
＝3，∴AB＝ km.
　
4. （2024·蘇州月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為
a，b，c，若c2＝bc cos A＋ca cos B＋ab cos C，則△ABC是
三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.
解析：由余弦定理得c2＝bc· ＋ac· ＋
ab· ，即c2＝a2＋b2，∴△ABC為直角三角形.
直
角　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，則邊長b＝（　　）
A. 5 B. 8 C. 5或－8 D. －5或8
解析： 　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即49＝9＋b2－
3b，所以（b－8）（b＋5）＝0.因為b＞0，所以b＝8.
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2. 在△ABC中， cos B＝ （a，b，c分別為角A，B，C的對
邊），則△ABC的形狀為（　　）
A. 直角三角形 B. 等邊三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　 cos B＝ ，由余弦定理得 ＝ ，整理得b2＋a2
＝c2，即C為直角，則△ABC為直角三角形.
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3. 在△ABC中， cos C＝ ，AC＝4，BC＝3，則 cos B＝（　　）
A. B. C. D.
解析： 　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos C＝16
＋9－2×4×3× ＝9，AB＝3，所以 cos B＝ ＝ ，故選A.
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4. （2024·宿遷月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，則
· ＝（　　）
A. 79 B. 69 C. 5 D. －5
解析： 　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得 cos B＝ ＝
，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （π－B）＝5×7×（－ ）＝
－5.故選D.
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5. （多選）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a
＝2，c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，則（　　）
A. b＝2 B. b＝2
C. B＝60° D. B＝30°
解析： 　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b
＋8＝0 （b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2， cos
A＝ ，所以B＝A＝30°.故選A、D.
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6. （多選）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若
c2＜a2＋b2＋2ab cos 2C，則C的取值可能為（　　）
A. B. C. D.
解析： 　由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＜a2＋b2＋2ab
cos 2C，整理得 cos 2C＋ cos C＞0，即2 cos 2C＋ cos C－1＞0，
所以（2 cos C－1）（ cos C＋1）＞0，解得 cos C＞ 或 cos C＜－
1（舍去），因此 cos C＞ .又因為C為△ABC的內(nèi)角，所以
C∈ .故選A、B.
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7. 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝ ，則AB＝ .
解析：在△ABC中，因為A＝60°，AC＝2，BC＝ ，設AB＝
x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化簡得x2－
2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
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8. （2024·無錫第一中學期中）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊
分別為a，b，c，D為邊AC的中點，c＝1，BD＝ ，∠ABD
＝ ，則a＝ 　 　.
解析：由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD· cos ∠ABD＝1＋
2－2×1× × ＝1，所以AD＝1，AC＝2AD＝2，此時AB2＋
AD2＝BD2，即AB⊥AD，所以a＝BC＝ ＝ .
　
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9. 在△ABC中，若（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），則A
＝ .
解析：∵（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），∴a2－c2＝b2＋
bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴ cos A＝ ＝ ＝－ .∵0°
＜A＜180°，∴A＝120°.
120°　
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解：因為 sin C＝ ，且0＜C＜π，所以C＝ 或C＝ .
當C＝ 時， cos C＝ ，此時c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c
＝2；
當C＝ 時， cos C＝－ ，此時c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所
以c＝2 .
綜上所述，c的值為2或2 .
10. 設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知 sin C
＝ ，a＝2 ，b＝2，求c.
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11. （2024·梅村高中月考）黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的
等腰三角形，另一種是頂角為108°的等腰三角形.其中頂角為
36°的等腰三角形的底與腰之比為 ，這種黃金三角形被認為
是最美的三角形.根據(jù)這些信息，則 cos 36°＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　在△ABC中，A＝36°，AB＝AC， ＝ .設AB
＝2x，BC＝（ －1）x，則 cos 36°＝
＝ ＝ .故
選B.
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12. （多選）在△ABC中，下列結論一定成立的是（　　）
A. c＝a cos B＋b cos A
B. sin （A＋B）＝ sin C
C. cos （A＋B）＝ cos C
D. b2＝（a－c）2＋2ac（1－ cos B）
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解析： 　對于A，a cos B＋b cos A＝a· ＋
b· ＝ ＝ ＝c，故A正確；對
于B，由誘導公式得B正確；對于C， cos （A＋B）＝－ cos C，
故C錯誤；對于D，（a－c）2＋2ac（1－ cos B）＝a2＋c2－2ac
＋2ac－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos B＝b2，故D正確.故選A、
B、D.
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13. 在非等邊三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，
c，且a為最大邊，若a2＜b2＋c2，則角A的取值范圍
為 .
解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，則 cos A＝ ＞
0.∴A＜90°.又∵a為最大邊，∴A＞60°.故A的取值范圍是
（60°，90°）.
（60°，90°）　
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14. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2 x＋2＝0
的兩個根，且2 cos （A＋B）＝1.
（1）求角C的度數(shù)；
解： cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A＋B）
＝－ ，又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
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（2）求AB的長度.
解： 因為a，b是方程x2－2 x＋2＝0的兩個根，
所以
所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝b2
＋a2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝
（2 ）2－2＝10.
所以AB＝ .
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15. （2024·南通月考）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為
a，b，c，已知 cos C＋（ cos A－ sin A） cos B＝0.
（1）求B的大小；
解： 由已知得，－ cos （A＋B）＋ cos A cos B－
sin A· cos B＝0，
即 sin A sin B－ sin A cos B＝0.
因為 sin A≠0，所以 sin B－ cos B＝0.
又 cos B≠0，所以tan B＝ .
又0＜B＜π，所以B＝ .
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（2）若a＋c＝1，求b的取值范圍.
解： 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
因為a＋c＝1， cos B＝ ，所以b2＝3（a－ ）2＋ .
又0＜a＜1，所以 ≤b2＜1，即 ≤b＜1，
即b的取值范圍為［ ，1）.
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