資源簡介

第2課時　正弦定理的應(yīng)用
1.在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，則△ABC的面積為（　　）
A.3 B.3
C.6 D.6
2.（2024·揚州月考）在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，A是銳角，則△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
3.一艘船向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速度是（　　）
A.5海里/時 B.5海里/時
C.10海里/時 D.10海里/時
4.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD為∠BAC的平分線，AC＝3，AB＝6，則AD＝（　　）
A.2 B.2或4
C.1或2 D.5
5.（多選）（2024·無錫江陰高中期中）在△ABC中，給出下列4個命題，其中正確的命題是（　　）
A.若A＜B，則sin A＜sin B
B.若sin A＜sin B，則A＜B
C.若A＞B，則＞
D.若A＜B，則cos2A＞cos2B
6.（多選）若a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.已知bsin A＝（3b－c）sin B，且cos A＝，則下列說法正確的是（　　）
A.a＋c＝3b
B.tan A＝2
C.△ABC的周長為4c
D.△ABC的面積為c2
7.如圖，在四邊形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于　　　　.
8.（2024·鎮(zhèn)江月考）如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的海拔高度為18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min 后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨燃s為　　　　km.（精確到0.1 km，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）
9.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)（sin B－sin C）2＝sin2A－sin Bsin C，則角A的大小為　　　　.
10.在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D.求證：＝.
11.（2024·宿遷月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，則△ABC外接圓的面積為（　　）
A.16π B.8π
C.2π D.4π
12.（多選）下列命題中，正確的是（　　）
A.在△ABC中，若A＞B，則sin A＞sin B
B.在銳角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立
C.在△ABC中，若acos A＝bcos B，則△ABC必是等腰直角三角形
D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形
13.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周長為9，△ABC的面積為3sin C，則c＝　　　　，cos C＝　　　　.
14.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
（1）求B的大小；
（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
15.（2024·蘇州月考）如圖所示，在四邊形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.
（1）求△ACD的面積；
（2）若BC＝2，求AB的長.
第2課時　正弦定理的應(yīng)用
1.B　S＝absin C＝×4×3×＝3.故選B.
2.D　由3b＝2asin B，得＝，根據(jù)正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又A是銳角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都為三角形的內(nèi)角，所以B＝C，故△ABC為等邊三角形.
3.D　如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以這艘船的速度是10海里/時.故選D.
4.A　設(shè)AD＝x，如圖，∠DAC＝∠DAB＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴×3×6×＝×3x×＋×6x×，解得x＝2.故選A.
5.ABD　由大角對大邊知，若A＜B，則a＜b，由正弦定理得2Rsin A＜2Rsin B，所以sin A＜sin B，故A正確；同理B正確；當A＝120°，B＝30°時，＜0，＞0，故C錯誤；若A＜B，則sin A＜sin B，sin2 A＜sin2 B，即1－cos2A＜1－cos2B，所以cos2A＞cos2B，故D正確.故選A、B、D.
6.ABD　對于A，由bsin A＝（3b－c）sin B角化邊可得ba＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正確；對于B，因為cos A＝，所以sin A＝＝.所以tan A＝＝2，故B正確；對于C，△ABC的周長為a＋b＋c＝4b，故C錯誤；對于D，根據(jù)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝b2＋c2－bc，將a＝3b－c代入上式可得b＝c，所以△ABC的面積為bcsin A＝c2，故D正確.故選A、B、D.
7.5　解析：連接BD（圖略）.在△BCD中，由已知條件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 .
8.6.6　解析：因為AB＝1 000×＝（km），所以BC＝·sin 30°＝（km），航線離山頂?shù)母叨萮＝×sin 75°＝×sin（45°＋30°）≈11.4（km），所以山頂?shù)暮０胃叨燃s為18－11.4＝6.6（km）.
9.60°　解析：由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因為0°＜A＜180°，所以A＝60°.
10.證明：在△ABD中利用正弦定理得＝，
在△CBD中利用正弦定理得＝.
因為BD是∠ABC的平分線，
所以∠ABD＝∠CBD，
又因為∠ADB＋∠CDB＝180°，
所以sin∠ADB＝sin∠CDB，
所以＝，
即＝成立.
11.D　因為acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos A＝，化簡得，sin（A＋B）＝，在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圓的面積為S＝πR2＝4π.故選D.
12.ABD　對于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以A＞B a＞b sin A＞sin B，故A正確；對于B，在銳角△ABC中，A，B∈，且A＋B＞，則＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正確；對于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等邊三角形，故D正確.故選A、B、D.
13.4　－　解析：△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，則a＋b＝，且△ABC的周長為9，則c＋＝9，解得c＝4.又△ABC的面積等于3sin C，則absin C＝3sin C，整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，故解得或所以cos C＝＝－.
14.解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
（2）sin A＝sin（30°＋45°）＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b·＝2×＝.
15.解：（1）因為D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.
因為D∈（0，π），
所以sin D＝＝.
因為AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面積S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
（2）在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，
所以AC＝2.
在△ABC中，因為BC＝2，＝，
所以＝＝＝，
所以AB＝4.
2 / 2第2課時　正弦定理的應(yīng)用
如圖所示，若想知道河對岸的一點A與岸邊一點B之間的距離，而且已經(jīng)測量出了BC的長度，也想辦法得到了∠ABC與∠ACB的大小.
【問題】　你能借助這三個量，求出AB的長度嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　仰角與俯角
　與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示.
知識點二　三角形面積公式
1.S△ABC＝ah，其中a為△ABC的一邊長，而h為該邊上的高的長.
2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B.
3.S△ABC＝r（a＋b＋c）＝rl，其中r，l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長.
1.（2024·南通如東期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝，則△ABC的面積為（　　）
A.3　 　B. C.　 　D.
2.已知在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若＝＝，則△ABC是（　　）
A.銳角三角形
B.鈍角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一個內(nèi)角是30°的直角三角形
3.學校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4 m，A＝30°，則其跨度AB的長為　　　　m.
題型一 正弦定理在實際問題中的應(yīng)用
【例1】　（鏈接教科書第99頁例3）要測量河岸之間的距離（河的兩岸可視為平行），由于受地理條件和測量工具的限制，可采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選取A，B兩點，觀察對岸的點C，測得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河寬約為（參考數(shù)據(jù)：≈2.45，sin 75°≈0.97）（　　）
A.170 m B.98 m
C.95 m D.86 m
通性通法
　　在運用正弦定理解決實際問題時，通常根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出實際問題的解.和高度有關(guān)的問題往往涉及直角三角形的求解.
【跟蹤訓練】
　一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°相距20 n mile處，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行，半小時后，又測得燈塔S在貨輪的北偏東45°方向上，求貨輪的航行速度.
題型二 判斷三角形形狀
【例2】　（鏈接教科書第101頁練習5題）在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin B·sin C，則△ABC的形狀為　　　　三角形.
通性通法
利用正弦定理判斷三角形形狀的常用方法
（1）化邊為角：將題目中的條件，利用正弦定理化邊為角（若sin 2A＝sin 2B，則A＝B或A＋B＝），再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進而確定三角形的形狀；
（2）化角為邊：將題目中的條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系（如a＝b，a2＋b2＝c2等），進而確定三角形的形狀.
【跟蹤訓練】
1.（2024·南京月考）在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，則此三角形為（　　）
A.等邊三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀.
題型三 三角形面積公式及其應(yīng)用
【例3】　（1）（多選）在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，則△ABC的面積可能為（　　）
A. B.2
C.2 D.4
（2）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則sin B∶sin C＝　　　　.
通性通法
　　對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，總的概括為兩邊與夾角正弦乘積的一半.求三角形面積時，一般已知哪個角就使用哪個公式.反之，給出了三角形的面積，也可求相應(yīng)邊或角.
【跟蹤訓練】
1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＝2，B＝，C＝，則c＝　　　　，△ABC的面積為　　　　.
2.（2024·常州月考）在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，則b＝　　　　.
題型四 求解平面幾何問題
【例4】　（鏈接教科書第100頁例5）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形.求證：AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
通性通法
　　正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具，因此在面對幾何圖形時，關(guān)鍵是尋找相應(yīng)的三角形，并在三角形中運用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時，要利用公共邊來進行過渡，即利用公共邊創(chuàng)造互補或互余關(guān)系列式，其本質(zhì)是構(gòu)建關(guān)于角的關(guān)系的方程.
【跟蹤訓練】
（2024·淮安月考）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD.
（1）若sin∠BAC＝，求sin∠BCA；
（2）若AD＝3AC，求AC.
1.在△ABC中，若a＝bsin A，則△ABC一定是（　　）
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，sin2A＝sin Bsin C，若A＝，則B＝（　　）
A. B.
C. D.
3.已知銳角△ABC的面積為3，AB＝2，BC＝6，則角B的大小為　　　　.
4.如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10 m，從D，C兩地測得A點的仰角分別為30°和45°，則A點離地面的高AB為　　　　m.
第2課時　正弦定理的應(yīng)用
【基礎(chǔ)知識·重落實】
自我診斷
1.B　由題意可得△ABC的面積為S＝absin C＝×2×3×＝.故選B.
2.C　已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝45°，C＝90°，則△ABC是等腰直角三角形.故選C.
3.4　解析：由題意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，＝，即AB＝＝＝4（m）.
【典型例題·精研析】
【例1】　C　在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，則∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝×120＝40（m）.設(shè)△ABC中AB邊上的高為h，則h＝BC×sin∠CBA＝40×sin 75°≈95（m），即河寬約為95 m.故選C.
跟蹤訓練
解：設(shè)貨輪的航行速度為v n mile/h，如圖，在△MNS中，MS＝20 n mile，MN＝v，
∠NMS＝30°＋15°＝45°，∠MNS＝180°－30°－45°＝105°，從而∠MSN＝30°.
由正弦定理得＝，即＝，
所以v＝20（－）（n mile/h）.
【例2】　等邊　解析：由正弦定理可知＝＝，由sin2A＝sin Bsin C，可得a2＝bc，又2a＝b＋c，將此式兩邊平方即4a2＝b2＋c2＋2bc＝b2＋c2＋2a2，即b2＋c2＝2a2＝2bc，因此b2＋c2－2bc＝（b－c）2＝0，即b＝c，又2a＝b＋c，可得a＝b＝c，故此三角形為等邊三角形.
跟蹤訓練
1.C　在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B以及正弦定理可知，sin Acos C＋sin Ccos A＝sin2B，即sin（A＋C）＝sin B＝sin2B，∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴sin B＝1，B＝，∴三角形為直角三角形.故選C.
2.解：法一　根據(jù)正弦定理＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin Bcos C＝2sin Bcos（90°－B）＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.
∵0°＜B＜90°，
∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二　根據(jù)正弦定理＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角.
∵A＝180°－（B＋C），sin A＝2sin Bcos C，
∴sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，∴sin（B－C）＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
【例3】　（1）AC　（2）1∶4　解析：（1）由正弦定理，得sin C＝＝，又AB·sin B＜AC＜AB，故該三角形有兩解，所以C＝60°或120°.當C＝60°時，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；當C＝120°時，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝.所以△ABC的面積為2或.故選A、C.
（2）因為S△ABC＝bcsin A，所以c＝＝＝4，由正弦定理＝，得sin B∶sin C＝b∶c＝1∶4.
跟蹤訓練
1.2　＋1　解析：由正弦定理得，c＝＝2.又sin A＝sin（π－B－C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，所以△ABC的面積為S＝bcsin A＝＋1.
2.2　解析：∵cos C＝，∴0°＜C＜90°，∴sin C＝＝，又S△ABC＝absin C＝×3b×＝4，∴b＝2.
【例4】　證明：在△BAD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC.
因為∠ABC＋∠BAD＝180°，
所以cos∠ABC＋cos∠BAD＝0，
所以BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，
即AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
跟蹤訓練
　解：（1）在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCA＝.
（2）設(shè)AC＝x，則AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝.
在△ABC中，由余弦定理的推論得cos∠BAC＝＝.
又∠BAC＋∠CAD＝，
所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－（舍去），即AC＝3.
隨堂檢測
1.B　由題意有＝b＝，則sin B＝1，即角B為直角，故△ABC是直角三角形.故選B.
2.C　因為sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等邊三角形，B＝.故選C.
3.45°　解析：∵S＝BC·AB·sin B＝×6×2×sin B＝3，∴sin B＝，∵△ABC為銳角三角形.∴B＝45°.
4.5（＋1）　解析：法一　∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin 30°＝＝5（＋1）m.∴AB＝ACsin 45°＝5（＋1）m.∴A點離地面的高AB為5（＋1）m.
法二　設(shè)AB＝x（m），則BC＝x（m）.∴BD＝（10＋x）m.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5（＋1）.∴A點離地面的高AB為5（＋1）m.
3 / 3(共61張PPT)
第2課時　
正弦定理的應(yīng)用
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習 必備知識梳理
如圖所示，若想知道河對岸的一點A與岸邊一點B之間的距離，而且
已經(jīng)測量出了BC的長度，也想辦法得到了∠ABC與∠ACB的大小.
【問題】　你能借助這三個量，求出AB的長度嗎？
知識點一　仰角與俯角
　與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標
視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，
如圖所示.
知識點二　三角形面積公式
1. S△ABC＝ ah，其中a為△ABC的一邊長，而h為該邊上的高的長.
2. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則△ABC
的面積S△ABC＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ca sin B.
3. S△ABC＝ r（a＋b＋c）＝ rl，其中r，l分別為△ABC的內(nèi)切圓
半徑及△ABC的周長.
1. （2024·南通如東期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別
為a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝ ，則△ABC的面積為
（　　）
解析： 　由題意可得△ABC的面積為S＝ ab sin C＝
×2×3× ＝ .故選B.
√
2. 已知在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若 ＝
＝ ，則△ABC是（　　）
A. 銳角三角形
B. 鈍角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 有一個內(nèi)角是30°的直角三角形
√
解析： 　已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A，
cos B＝ sin B，故A＝B＝45°，C＝90°，則△ABC是等腰直角
三角形.故選C.

解析：由題意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝
120°，由正弦定理得， ＝ ，即AB＝ ＝ ＝
4 （m）.
4 　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 正弦定理在實際問題中的應(yīng)用
【例1】　（鏈接教科書第99頁例3）要測量河岸之間的距離（河的兩
岸可視為平行），由于受地理條件和測量工具的限制，可采用如下辦
法：如圖所示，在河的一岸邊選取A，B兩點，觀察對岸的點C，測
得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河寬約為
（參考數(shù)據(jù)： ≈2.45， sin 75°≈0.97）（　　）
A. 170 m B. 98 m
C. 95 m D. 86 m
√
解析： 　在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝
75°，則∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝ ×120＝40
（m）.設(shè)△ABC中AB邊上的高為h，則h＝BC× sin ∠CBA＝40
× sin 75°≈95（m），即河寬約為95 m.故選C.
通性通法
　　在運用正弦定理解決實際問題時，通常根據(jù)題意，從實際問題中
抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出實際問題的
解.和高度有關(guān)的問題往往涉及直角三角形的求解.
【跟蹤訓練】
　一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°相距20 n mile
處，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行，半小時后，又測得燈塔S在
貨輪的北偏東45°方向上，求貨輪的航行速度.
解：設(shè)貨輪的航行速度為v n mile/h，如圖，在△MNS中，MS＝20 n
mile，MN＝ v，
∠NMS＝30°＋15°＝45°，∠MNS＝180°－30°－45°＝
105°，從而∠MSN＝30°.
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
所以v＝20（ － ）（n mile/h）.
題型二 判斷三角形形狀
【例2】　（鏈接教科書第101頁練習5題）在△ABC中，已知2a＝b
＋c， sin 2A＝ sin B· sin C，則△ABC的形狀為 三角形.
解析：由正弦定理可知 ＝ ＝ ，由 sin 2A＝ sin B sin C，
可得a2＝bc，又2a＝b＋c，將此式兩邊平方即4a2＝b2＋c2＋2bc＝
b2＋c2＋2a2，即b2＋c2＝2a2＝2bc，因此b2＋c2－2bc＝（b－c）2
＝0，即b＝c，又2a＝b＋c，可得a＝b＝c，故此三角形為等邊三
角形.
等邊　
通性通法
利用正弦定理判斷三角形形狀的常用方法
（1）化邊為角：將題目中的條件，利用正弦定理化邊為角（若 sin
2A＝ sin 2B，則A＝B或A＋B＝ ），再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)
知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進而確定三角形的形狀；
（2）化角為邊：將題目中的條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)
代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系（如a＝b，a2＋b2＝c2等），進而
確定三角形的形狀.
【跟蹤訓練】
1. （2024·南京月考）在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，則
此三角形為（　　）
A. 等邊三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　在△ABC中，由a cos C＋c cos A＝b sin B以及正弦定理
可知， sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin 2B，即 sin （A＋C）＝ sin B
＝ sin 2B，∵0＜B＜π，∴ sin B≠0，∴ sin B＝1，B＝ ，∴三角
形為直角三角形.故選C.
√
2. 在△ABC中， sin A＝2 sin B cos C，且 sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，試
判斷△ABC的形狀.
解：法一　根據(jù)正弦定理 ＝ ＝ ，
∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2 sin B cos C＝2 sin B cos （90°－B）＝2 sin 2B＝ sin A＝1，
∴ sin B＝ .
∵0°＜B＜90°，
∴B＝45°，C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二　根據(jù)正弦定理 ＝ ＝ ，
∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2，
∴A是直角.
∵A＝180°－（B＋C）， sin A＝2 sin B cos C，
∴ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝2 sin B cos C，∴ sin （B
－C）＝0.
又－90°＜B－C＜90°，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形.
題型三 三角形面積公式及其應(yīng)用
【例3】　（1）（多選）在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2 ，
AC＝2，則△ABC的面積可能為（　AC　）
B. 2
D. 4
AC
解析： 由正弦定理，得 sin C＝ ＝ ，又AB· sin B
＜AC＜AB，故該三角形有兩解，所以C＝60°或120°.當C
＝60°時，A＝90°，S△ABC＝ AB·AC＝2 ；當C＝120°
時，A＝30°，S△ABC＝ AB·AC· sin A＝ .所以△ABC的面
積為2 或 .故選A、C.
（2）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ ，則 sin B∶ sin C
＝ .
解析： 因為S△ABC＝ bc sin A，所以c＝ ＝ ＝
4，由正弦定理 ＝ ，得 sin B∶ sin C＝b∶c＝1∶4.
1∶4　
通性通法
　　對于面積公式S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，總的概括為兩
邊與夾角正弦乘積的一半.求三角形面積時，一般已知哪個角就使用
哪個公式.反之，給出了三角形的面積，也可求相應(yīng)邊或角.
【跟蹤訓練】
1. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＝
2，B＝ ，C＝ ，則c＝ 　2 　，△ABC的面積為 　 ＋1　.
解析：由正弦定理得，c＝ ＝2 .又 sin A＝ sin （π－B－
C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝ ，所以△ABC的面積為S＝
bc sin A＝ ＋1.
2 　
＋1　
2. （2024·常州月考）在△ABC中，若a＝3 ， cos C＝ ，S△ABC
＝4 ，則b＝ 　2 　.
解析：∵ cos C＝ ，∴0°＜C＜90°，∴ sin C＝ ＝
，又S△ABC＝ ab sin C＝ ×3 b× ＝4 ，∴b＝2 .
2 　
題型四 求解平面幾何問題
【例4】　（鏈接教科書第100頁例5）如圖，已知四邊形ABCD為平
行四邊形.求證：AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
證明：在△BAD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC.
因為∠ABC＋∠BAD＝180°，
所以 cos ∠ABC＋ cos ∠BAD＝0，
所以BD2＋AC2＝2AB2＋AD2＋BC2，
即AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2＋BA2.
通性通法
　　正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具，因此在面對幾何
圖形時，關(guān)鍵是尋找相應(yīng)的三角形，并在三角形中運用正、余弦定
理，特別是涉及公共邊時，要利用公共邊來進行過渡，即利用公共邊
創(chuàng)造互補或互余關(guān)系列式，其本質(zhì)是構(gòu)建關(guān)于角的關(guān)系的方程.
【跟蹤訓練】
　（2024·淮安月考）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝ ，
BC＝ ，AB⊥AD，AC⊥CD.
（1）若 sin ∠BAC＝ ，求 sin ∠BCA；
解： 在△ABC中，由正弦定理得
＝ ，即 ＝ ，解得 sin ∠BCA＝ .
（2）若AD＝3AC，求AC.
解： 設(shè)AC＝x，則AD＝3x，在
Rt△ACD中，CD＝ ＝2 x，
sin ∠CAD＝ ＝ .
在△ABC中，由余弦定理的推論得 cos ∠BAC
＝ ＝ .
又∠BAC＋∠CAD＝ ，
所以 cos ∠BAC＝ sin ∠CAD，即 ＝ ，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－ （舍去），即AC＝3.
1. 在△ABC中，若a＝b sin A，則△ABC一定是（　　）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 等腰三角形
解析： 　由題意有 ＝b＝ ，則 sin B＝1，即角B為直角，
故△ABC是直角三角形.故選B.
√
2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，則B＝（　　）
解析： 　因為 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可
知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，
得b＝c，所以△ABC是等邊三角形，B＝ .故選C.
√
3. 已知銳角△ABC的面積為3 ，AB＝2，BC＝6，則角B的大小
為 .
解析：∵S＝ BC·AB· sin B＝ ×6×2× sin B＝3 ，∴ sin B＝
，∵△ABC為銳角三角形.∴B＝45°.
45°　

5（ ＋1）　
解析：法一　∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝15°.由正弦定理，得
AC＝ · sin ∠ADC＝ · sin 30°＝ ＝5 （ ＋
1）m.∴AB＝AC sin 45°＝5（ ＋1）m.∴A點離地面的高AB
為5（ ＋1）m.
法二　設(shè)AB＝x（m），則BC＝x（m）.∴BD＝（10＋x）
m.∴tan∠ADB＝ ＝ ＝ .解得x＝5（ ＋1）.∴A點離地面的高AB為5（ ＋1）m.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a＝4，b
＝3，C＝60°，則△ABC的面積為（　　）
A. 3
C. 6
解析： 　S＝ ab sin C＝ ×4×3× ＝3 .故選B.
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√
2. （2024·揚州月考）在△ABC中，已知3b＝2 a sin B，且 cos B＝
cos C，A是銳角，則△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等邊三角形
解析： 由3b＝2 a sin B，得 ＝ ，根據(jù)正弦定理，得
＝ ，所以 ＝ ，即 sin A＝ .又A是銳角，所以A＝
60°.又 cos B＝ cos C，且B，C都為三角形的內(nèi)角，所以B＝C，
故△ABC為等邊三角形.
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3. 一艘船向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰
好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏
西60°方向上，另一燈塔在船的南偏西75°方向上，則這艘船的速
度是（　　）
B. 5海里/時
D. 10海里/時
解析： 　如圖，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以這艘船的速度是10海里/時.故選D.
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4. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AD為∠BAC的平分線，AC＝3，
AB＝6，則AD＝（　　）
A. 2 B. 2或4
C. 1或2 D. 5
解析： 　設(shè)AD＝x，如圖，∠DAC＝∠DAB
＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋
S△ABD，∴ ×3×6× ＝ ×3x× ＋ ×6x× ，解得x＝2.故選A.
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5. （多選）（2024·無錫江陰高中期中）在△ABC中，給出下列4個命
題，其中正確的命題是（　　）
A. 若A＜B，則 sin A＜ sin B
B. 若 sin A＜ sin B，則A＜B
D. 若A＜B，則 cos 2A＞ cos 2B
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解析： 　由大角對大邊知，若A＜B，則a＜b，由正弦定理
得2R sin A＜2R sin B，所以 sin A＜ sin B，故A正確；同理B正確；
當A＝120°，B＝30°時， ＜0， ＞0，故C錯誤；若A
＜B，則 sin A＜ sin B， sin 2 A＜ sin 2 B，即1－ cos 2A＜1－ cos
2B，所以 cos 2A＞ cos 2B，故D正確.故選A、B、D.
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6. （多選）若a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.已知b
sin A＝（3b－c） sin B，且 cos A＝ ，則下列說法正確的是
（　　）
A. a＋c＝3b
C. △ABC的周長為4c
√
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解析： 　對于A，由b sin A＝（3b－c） sin B角化邊可得ba
＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正確；對于B，因為 cos A
＝ ，所以 sin A＝ ＝ .所以tan A＝ ＝2 ，故B
正確；對于C，△ABC的周長為a＋b＋c＝4b，故C錯誤；對于
D，根據(jù)余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2＋c2－ bc，
將a＝3b－c代入上式可得b＝ c，所以△ABC的面積為 bc sin A
＝ c2，故D正確.故選A、B、D.
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7. 如圖，在四邊形ABCD中，B＝C＝120°，
AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面
積等于 .
5 　
解析：連接BD（圖略）.在△BCD中，由已知條件，知∠DBC＝
＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定
理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2
cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝ ×4×2 ＋ ×2×2× sin 120°＝5 .
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8. （2024·鎮(zhèn)江月考）如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，
若飛機的海拔高度為18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山
頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min 后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂
的海拔高度約為 km.（精確到0.1 km，參考數(shù)據(jù)：
≈1.732）
6.6　
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解析：因為AB＝1 000× ＝ （km），所以BC＝ · sin
30°＝ （km），航線離山頂?shù)母叨萮＝ × sin 75°＝ ×
sin （45°＋30°）≈11.4（km），所以山頂?shù)暮０胃叨燃s為18－
11.4＝6.6（km）.
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9. △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)（ sin B－ sin
C）2＝ sin 2A－ sin B sin C，則角A的大小為 .
解析：由已知得 sin 2B＋ sin 2C－ sin 2A＝ sin B sin C，故由正弦定
理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得 cos A＝ ＝ .因為0°
＜A＜180°，所以A＝60°.
60°　
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證明：在△ABD中利用正弦定理得 ＝ ，
在△CBD中利用正弦定理得 ＝ .
因為BD是∠ABC的平分線，
所以∠ABD＝∠CBD，
又因為∠ADB＋∠CDB＝180°，
所以 sin ∠ADB＝ sin ∠CDB，
所以 ＝ ，
即 ＝ 成立.
10. 在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D. 求證： ＝ .
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11. （2024·宿遷月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為
a，b，c，若a cos B＋b cos A＝4 sin C，則△ABC外接圓的面積
為（　　）
A. 16π B. 8π
解析： 　因為a cos B＋b cos A＝4 sin C，所以由正弦定理可得，
sin A cos B＋ sin B cos A＝ ，化簡得， sin （A＋B）＝ ，
在△ABC中， sin （A＋B）＝ sin C，解得R＝2，所以△ABC外
接圓的面積為S＝πR2＝4π.故選D.
C. 2π D. 4π
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12. （多選）下列命題中，正確的是（　　）
A. 在△ABC中，若A＞B，則 sin A＞ sin B
B. 在銳角△ABC中，不等式 sin A＞ cos B恒成立
C. 在△ABC中，若a cos A＝b cos B，則△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形
√
√
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解析： 對于A，在△ABC中，由正弦定理可得 ＝
，所以A＞B a＞b sin A＞ sin B，故A正確；對于B，在
銳角△ABC中，A，B∈ ，且A＋B＞ ，則 ＞A＞ －
B＞0，所以 sin A＞ sin ＝ cos B，故B正確；對于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得 sin 2A＝ sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝ －B，即
△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等邊三角形，故D正確.故選A、B、D.
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13. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知 sin A
＋ sin B＝ sin C，且△ABC的周長為9，△ABC的面積為3 sin
C，則c＝ ， cos C＝ .
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解析：△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知
sin A＋ sin B＝ sin C，則a＋b＝ ，且△ABC的周長為9，則c
＋ ＝9，解得c＝4.又△ABC的面積等于3 sin C，則 ab sin C＝
3 sin C，
整理得ab＝6，由于a＋b＝ ＝5，故解得
或所以 cos C＝ ＝－ .
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14. △ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a sin A＋c sin C
－ a sin C＝b sin B.
（1）求B的大小；
解： 由正弦定理，得a2＋c2－ ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
故 cos B＝ ，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
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（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解： sin A＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋
cos 30° sin 45°＝ .
故由正弦定理，得a＝b· ＝1＋ .
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b· ＝2× ＝ .
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15. （2024·蘇州月考）如圖所示，在四邊形ABCD中，D＝2B，且
AD＝1，CD＝3， cos B＝ .
（1）求△ACD的面積；
解： 因為D＝2B， cos B＝ ，
所以 cos D＝ cos 2B＝2 cos 2B－1＝－ .
因為D∈（0，π），
所以 sin D＝ ＝ .因為AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面積S＝ AD·CD· sin D＝ ×1×3× ＝ .
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（2）若BC＝2 ，求AB的長.
解： 在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC· cos D＝12，
所以AC＝2 .
在△ABC中，因為BC＝2 ， ＝ ，
所以 ＝ ＝ ＝ ，
所以AB＝4.
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