資源簡介

11.3　余弦定理、正弦定理的應用
1.已知A，B兩地相距10 km，B，C兩地相距20 km，且∠ABC＝120°，則A，C兩地相距（　　）
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
2.一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這艘船的航行速度為（　　）
A. n mile/h B.34 n mile/h
C. n mile/h D.34 n mile/h
3.滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，若某人在點A測得滕王閣頂端仰角為30°，此人往滕王閣方向走了42米到達點B，測得滕王閣頂端的仰角為45°，則滕王閣的高度最接近于（忽略人的身高）（參考數據：≈1.732）（　　）
A.49米　　B.51米　　C.54米　　D.57米
4.（2024·南京月考）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的視角為15°，向山頂前進100米到達B處，又測得建筑物CD的視角為45°，若CD＝50米，山坡對于水平面的坡角為θ，則cos θ＝（　　）
A. B.2－
C.－1 D.
5.（多選）如圖所示，為了測量某湖泊兩側A，B間的距離，李寧同學首先選定了與A，B不共線的一點C，然后給出了四種測量方案（△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c），則一定能確定A，B間距離的方案為（　　）
A.測量A，B，b B.測量a，b，C
C.測量A，B，a D.測量A，B，C
6.（多選）某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°方向上，距離為12 n mile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°方向上，距離8 n mile.貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在南偏東60°方向上，則下列說法正確的是（　　）
A.A處與D處之間的距離是24 n mile
B.燈塔C與D處之間的距離是16 n mile
C.燈塔C在D處的西偏南60°
D.D在燈塔B的北偏西30°
7.上海世博園中的世博軸是一條1 000 m長的直線型通道，中國館位于世博軸的一側.現測得中國館到世博軸兩端的距離相等，并且從中國館看世博軸兩端的視角為120°.據此數據計算，中國館到世博軸其中一端的距離是　　　　m.
8.（2024·蘇州質檢）如圖，在一場足球比賽中，甲同學從點A處開始做勻速直線運動，到達點B時，發現乙同學踢著足球在點C處正以自己速度的向A做勻速直線運動，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m，AC＝7 m.若忽略甲同學轉身所需的時間，則甲同學最快攔截乙同學的點是線段AC上離A處　　　　m的點.
9.一緝私艇在A處發現在其北偏東45°方向，距離12 n mile的海面C處有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏東75°方向逃竄.緝私艇的速度為14 n mile/h.若要在最短時間內追上該走私船，緝私艇應沿北偏東（45°＋α）的方向去追，求追上走私船所需的時間和角α的正弦值.
10.如圖，在山腳A處測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a m到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h＝（　　）
A.a m B. m
C.a m D.a m
11.（多選）如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在A處的俯角為30°，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達B處，此時測得俯角為45°.已知小車的速度是20 km/h，且cos∠AOB＝－，則（　　）
A.此山的高PO＝ km
B.小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最小仰角為30°
C.PA＝2 km
D.小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最大仰角的正切值為
12.（2024·無錫月考）如圖，為了測量B，C兩點間的距離，選取同一平面上的A，D兩點，已知∠ADC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，CD＝4，則BC的長為　　　　.
13.游客從某旅游景區的景點A處至景點C處有兩條線路.線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處同時出發勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處.經測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin A＝　　　　.
14.如圖，A，B兩地之間有建筑物P和一座小山坡Q，經實地觀察發現，北面有大山，而南面在四邊形ABNM范圍內地勢平坦，但有建筑物R，試設計A，B之間距離的測量、計算方案.
11.3　余弦定理、正弦定理的應用
1.D　∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700，∴AC＝10 km.故選D.
2.A　如圖所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝ （n mile/h）.故選A.
3.D　設滕王閣的高度為h，由題設知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，則AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝＝＝，可得h＝≈57米.故選D.
4.C　在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50（－）（米）.
在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由題圖，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.故選C.
5.ABC　對于A，利用內角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；對于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；對于C，先利用內角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；對于D，不知道長度，顯然不能求c.
6.AC　由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正確；在△ACD中，由余弦定理得CD＝
＝＝8（n mile），故B錯誤；因為CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；由∠ADB＝60°，所以D在燈塔B的北偏西60°，故D錯誤.故選A、C.
7.　解析：如圖所示，設A，B為世博軸的兩端點，C為中國館，由題意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，過C作AB的垂線交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m.
8.5　解析：如圖，設甲同學最快攔截乙同學的地點是點D，CD＝x，則BD＝2x，AD＝7－x，所以在△ABD中，cos A＝＝，整理可得15x2＋52x－164＝（15x＋82）（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－（舍去）.故甲同學最快攔截乙同學的點是線段AC上離A處5 m的點.
9.解：設經過x h后緝私艇在B處追上走私船，如圖.
依題意得AB＝14x n mile，BC＝10x n mile，∠ACB＝120°，
在△ABC中，由余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－2×12×10x·cos 120°，
解得x＝2，
∴AB＝28 n mile，BC＝20 n mile.
由正弦定理得sin α＝＝.
∴所需時間為2 h，角α的正弦值為.
10.A　由題意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a（m），故選A.
11.BCD　由題意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，設OP＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，則OA＝x km，OB＝x km.因為AB＝7.5××20＝（km），所以cos∠AOB＝＝＝－，解得x＝1，從而PA＝2 km.易知sin∠AOB＝，所以由等面積法可得O到AB的距離h＝ km，則最大仰角的正切值為＝.又AO＞BO，所以最小仰角為30°.故選B、C、D.
12.4　解析：在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB＝＝＝，∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝，在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝24＋48－4×4×＝48，∴BC＝4（負值舍去）.
13.　解析：依題意，設乙的速度為x m/s，則甲的速度為x m/s，因為AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以＝，解得AC＝1 260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推論得，cos A＝＝＝，所以sin A＝＝＝.
14.解：此題答案不唯一，下面舉出三種方案.
（方案一）在以P，Q，R為頂點的三角形區域內選一點C（可同時看見A，B兩地），測出BC，AC的長及∠ACB.
由余弦定理，得AB＝
.
（方案二）解四邊形ABNM.如圖①，
測出AM，MN，NB的長，∠AMN，∠MNB的度數.在△AMN中，由余弦定理，得AN＝，
sin∠ANM＝，
在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM.由余弦定理，得AB＝.
（方案三）在線段AB上選一點C，
布設三角形網，如圖②，使建筑物R的底部在△MCN的內部，不影響視線.
在△AMC中，測出AM，CM的長及∠AMC，則AC＝
.
在△BNC中，測出BN，CN的長及∠BNC，則BC＝
.
于是AB＝AC＋BC.
3 / 311.3　余弦定理、正弦定理的應用
新課程標準解讀 核心素養
1.能運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和物理有關的實際問題 邏輯推理、數學運算
2.通過解決實際問題，掌握數學建模的基本步驟 數學建模
在測量工作中，經常會遇到不方便直接測量的情形.例如，如圖所示故宮角樓的高度，因為頂端和底部都不便到達，所以不能直接測量.
【問題】　假設給你米尺和測量角度的工具，你能在故宮角樓對面的岸邊得出角樓的高度嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　實際應用問題中的有關名詞、術語
1.方位角：從指北方向線順時針轉到目標方向線的角，如圖中B點的方位角為α.
2.方向角：從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角.如圖，北偏東30°，南偏東45°.
3.坡角與坡比：坡面與水平面所成的二面角的度數叫作坡角，如圖所示，坡角為θ；坡面的垂直高度與水平長度之比叫作坡比，i為坡比.
提醒　應用正、余弦定理解決實際問題的思路
1.若P在Q的北偏東44°50'方向上，則Q在P的（　　）
A.東偏北45°10'方向上
B.東偏北44°50'方向上
C.南偏西44°50'方向上
D.西偏南44°50'方向上
2.兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于2 km，燈塔A在C北偏東45°，B在C南偏東15°，則A，B之間的距離為（　　）
A.2 km　　　　　 B.3 km
C.4 km D.5 km
3.（2024·蘇州月考）如圖，為測塔AB的高度，某人在與塔底A同一水平線上的C點測得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（－1）米到達D點，測得∠ADB＝30°，則塔高為　　　　米.
題型一 測量距離問題
【例1】　（鏈接教科書第104頁例1）（1）如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸的標記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，則河的寬度是　　　　m；
（2）如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40 m的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B兩點的距離是　　　　.
通性通法
測量距離的基本類型及方案
類型 A，B兩點間不可達或不可視 A，B兩點間可視，但有一點不可達 A，B兩點都不可達
圖形
方法 先測角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以點A不可達為例，先測角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 測得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB
【跟蹤訓練】
在某次軍事演習中，紅方為了準確分析戰場形勢，在兩個相距為a的軍事基地C和D測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍方這兩支精銳部隊之間的距離.
題型二 測量高度問題
【例2】　如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩點C與D.現測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.
通性通法
測量高度的基本類型及方案
類型 簡圖 計算方法
底部可達 測得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C
底部不可達 點B與C， D共線 測得CD＝a及C與∠ADB的度數.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
點B與C， D不共線 測得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度數.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
【跟蹤訓練】
（2024·南通月考）珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和歐亞板塊碰撞擠壓形成的.這種擠壓一直在進行，珠穆朗瑪峰的高度也一直在變化.由于地勢險峻，氣候惡劣，通常采用人工攀登的方式為珠峰“量身高”.攀登者們肩負高精度測量儀器，采用了分段測量的方法，從山腳開始，直到到達山頂，再把所有的高度差累加，就會得到珠峰的高度.2024年5月，中國珠峰高程測量登山隊8名隊員開始新一輪的珠峰測量工作.在測量過程中，已知豎立在B點處的測量覘標高10米，攀登者們在A處測得到覘標底點B和頂點C的仰角分別為70°，80°，則A，B的高度差約為（sin 70°≈0.94）（　　）
A.10米 B.9.72米
C.9.40米 D.8.62米
題型三 測量角度問題
【例3】　（鏈接教科書第105頁例2）如圖，在海岸A處發現北偏東45°方向距A點（－1） n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，與A距離2 n mile的C處我方緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此時走私船正以10 n mile/h的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄，問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？
通性通法
測量角度問題畫示意圖的基本步驟
【跟蹤訓練】
某海上養殖基地A接到氣象部門預報，位于基地南偏東60°相距20（＋1）海里的海面上有一臺風中心，影響半徑為20海里，正以每小時10 海里的速度沿某一方向勻速直線前進，預計臺風中心將從基地東北方向刮過且＋1小時后開始持續影響基地2小時.求臺風移動的方向.
題型四 物理問題
【例4】　（鏈接教科書第105頁例3）如圖，某大橋主孔采用獨塔雙索面斜拉懸臂組合結構體系，假設斜拉橋中某對鋼索與豎直方向的夾角都是53°，每根鋼索中的拉力都是5×104 N，那么它們對塔柱形成的合力有多大？方向如何？（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）
通性通法
　　物理中很多矢量如速度、力等的計算大多可以歸為解三角形.解決此類問題的辦法是結合物理知識把涉及的量用圖形表示出來，轉化為解三角形的問題.
【跟蹤訓練】如圖所示，某同學沿平直路面由A點出發前進了100 m到達斜坡底端的B點，又沿傾斜角為60°的斜面前進了100 m達到C點，求此同學的位移和路程.
1.如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站南偏東60°方向上，則燈塔A在燈塔B的（　　）
A.北偏東10°方向上 B.北偏西10°方向上
C.南偏東80°方向上 D.南偏西80°方向上
2.（2024·淮安月考）作用在同一點的三個力F1，F2，F3平衡，已知｜F1｜＝30 N，｜F2｜＝50 N，F1與F2之間的夾角是60°，則F3與F1之間的夾角的正弦值為（　　）
A.　　B.－ C.　 D.－
3.（多選）甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則下列說法正確的有（　　）
A.甲樓的高度為20 m
B.甲樓的高度為10 m
C.乙樓的高度為 m
D.乙樓的高度為10 m
4.已知A，B，C，D四個景點，如圖所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距（ 3－）km，求A，B兩景點間的距離.
11.3　余弦定理、正弦定理的應用
【基礎知識·重落實】
自我診斷
1.C　如圖所示.
2.A　作出滿足題意的幾何圖形如圖所示，根據圖形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2（km）.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，即AB＝2（km）.所以A，B之間的距離為2 km.故選A.
3.20　解析：在Rt△ABC中，設AB＝x，則由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（－1），∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.則塔高為20米.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）60　（2）20 m　
解析：（1）tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，∴AD＝60，故CD＝60（m）.
（2）在△BCD中，∵∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝＋（40）2－2×20×40cos 60°＝2 400，∴AB＝20，故A，B兩點之間的距離為20 m.
跟蹤訓練
　解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∵∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.
∴AD＝CD＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
∵＝，∴BC＝a.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2.
∴AB＝a.
∴藍方這兩支精銳部隊之間的距離為a.
【例2】　解：在△BCD中，∠CBD＝π－（α＋β），
由正弦定理得＝，
∴BC＝＝，
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.
跟蹤訓練
　C　根據題意畫出如圖的模型，則CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.40（米）.
【例3】　解：設緝私船應沿CD方向行駛t h，才能最快截獲（在D點）走私船，則CD＝10t n mile，BD＝10t n mile.
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝（－1）2＋22－2（－1）×2cos 120°＝6，∴BC＝，
∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵＝，
∴sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
故緝私船沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船.
跟蹤訓練
　解：如圖所示，設預報時臺風中心為B，開始影響基地時臺風中心為C，基地剛好不受影響時臺風中心為D，則B，C，D在一直線上，且AD＝20，AC＝20.
由題意AB＝20（＋1），DC＝20，BC＝（＋1）×10.
在△ADC中，因為DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cos∠BAC＝＝.
所以∠BAC＝30°，
又因為B位于A南偏東60°，60°＋30°＋90°＝180°，D位于A的正北方向，∠ADC＝45°，
所以臺風移動的方向為北偏西45°.
【例4】　解：把兩根鋼索的拉力看成沿鋼索方向的兩個分力，以它們為鄰邊畫出一個平行四邊形OACB，其對角線的長度就表示它們的合力的大小.由對稱性可知，合力方向一定沿塔柱豎直向下，且這個平行四邊形是一個菱形.
法一　如圖所示，連接AB，交OC于D，則AB與OC互相垂直平分，
即AB⊥OC，且AD＝DB，OD＝OC.
在Rt△AOD中，∠AOD＝53°，而OD＝OC，
則合力｜F｜＝2｜F1｜cos 53°＝2×5×104×0.6＝6×104（N）.
即合力的大小為6×104 N，方向豎直向下.
法二　在△OAC中，cos∠OAC＝cos（180°－2×53°）＝－（2cos253°－1）＝1－2×0.62＝0.28，
由余弦定理，得OC
＝
＝×104＝6×104（N）.
即合力的大小為6×104 N，方向豎直向下.
跟蹤訓練
　解：如圖所示，畫出該同學的位移矢量圖，為該同學的位移，方向由A→C.
法一　過點C作CD⊥AB，垂足為D，
則BD＝BCcos 60°＝100×＝50（m），CD＝BCsin 60°＝100×＝50（m）.
∴AC＝＝＝100（m），
路程s＝AB＋BC＝200（m）.
∴如圖為該同學的位移，大小為100 m，方向由A→C，路程為200 m.
法二　在△ABC中，AB＝BC＝100 m，∠ABC＝120°.
由余弦定理，得AC＝＝＝100（m）.
路程s＝AB＋BC＝200（m）.
∴如圖為該同學的位移，大小為100 m，方向由A→C，路程為200 m.
隨堂檢測
1.D　由條件及題圖可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°方向上.故選D.
2.C　由題意，知F3應和F1，F2的合力F平衡.設F3與F1之間的夾角為θ，作圖（如圖），可知當三力平衡時，由余弦定理得｜F3｜＝＝70（N），再由正弦定理得＝，即sin θ＝＝.故選C.
3.AC　如圖，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝20 m，∴AD＝BDtan 60°＝20，∴甲樓的高度為20 m.在△ABC中，設AC＝BC＝x，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝ ，則乙樓的高度為 m.故選A、C.
4.解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得＝，
即BD＝＝2.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，
所以△ABD為等邊三角形，所以AB＝2.
所以A，B兩景點間的距離為2 km.
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11.3　
余弦定理、正弦定理的應用
新課程標準解讀 核心素養
1.能運用正弦定理、余弦定理等知
識和方法解決一些與測量和物理有
關的實際問題 邏輯推理、數學運算
2.通過解決實際問題，掌握數學建
模的基本步驟 數學建模
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
在測量工作中，經常會遇到不方便直接測量的情形.例如，如圖所示故宮角樓的高度，因為頂端和底部都不便到達，所以不能直接測量.
【問題】　假設給你米尺和測量角度的工具，你能在故宮角樓對面的岸邊得出角樓的高度嗎？
知識點　實際應用問題中的有關名詞、術語
1. 方位角：從指北方向線順時針轉到目標方向線的角，如圖中B點的方位角為α.
2. 方向角：從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角.如圖，北偏東30°，南偏東45°.
3. 坡角與坡比：坡面與水平面所成的二面角的度數叫作坡角，如
圖所示，坡角為θ；坡面的垂直高度與水平長度之比叫作坡
比，i為坡比.
提醒　應用正、余弦定理解決實際問題的思路
1. 若P在Q的北偏東44°50'方向上，則Q在P的（　　）
A. 東偏北45°10'方向上 B. 東偏北44°50'方向上
C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上
解析： 　如圖所示.
√
2. 兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于2 km，燈塔A在C北偏
東45°，B在C南偏東15°，則A，B之間的距離為（　　）
解析： 　作出滿足題意的幾何圖形如圖所示，根據
圖形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝
2（km）.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2 cos
120°＝12，即AB＝2 （km）.所以A，B之間的
距離為2 km.故選A.
√
3. （2024·蘇州月考）如圖，為測塔AB的高度，某人
在與塔底A同一水平線上的C點測得∠ACB＝45°，
再沿AC方向前行20（ －1）米到達D點，測得
∠ADB＝30°，則塔高為 米.
20　
解析：在Rt△ABC中，設AB＝x，則由∠ACB＝45°可知AC＝
x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，所
以 ＝tan 30°， ＝ ，解得x＝20.則塔
高為20米.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 測量距離問題
【例1】　（鏈接教科書第104頁例1）（1）如圖，為了測量河的寬
度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸的標記物C，測得∠CAB＝
30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，則河的寬度是 m；
60　
解析： tan 30°＝ ，tan 75°＝ ，又AD＋
DB＝120，∴AD·tan 30°＝（120－AD）·
tan 75°，∴AD＝60 ，故CD＝60（m）.

20 m　
解析： 在△BCD中，∵∠BDC＝60°＋30°＝90°，
∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝
CD＝40，BC＝ ＝40 .在△ACD中，∠ADC＝
30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－
（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得AC＝ ＝
20 .在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－
2AC×BC× cos ∠BCA＝ ＋（40 ）2－2×20
×40 cos 60°＝2 400，∴AB＝20 ，故A，B兩點之間的
距離為20 m.
通性通法
測量距離的基本類型及方案
類
型 A，B兩點間不可
達或不可視 A，B兩點間可
視，但有一點不
可達 A，B兩點都不可達
圖
形
方
法 先測角C，AC＝b，BC＝a，再
用余弦定理求AB 以點A不可達為
例，先測角B，
C，BC＝a，再
用正弦定理求AB 測得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB
【跟蹤訓練】
　在某次軍事演習中，紅方為了準確分析戰場形勢，在兩個相距為
a的軍事基地C和D測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且
∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如
圖所示，求藍方這兩支精銳部隊之間的距離.
解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又∵∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.
∴AD＝CD＝AC＝ a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，∵ ＝ ，∴BC＝ a.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 45°＝
a2＋ a2－2× a× a× ＝ a2.
∴AB＝ a.
∴藍方這兩支精銳部隊之間的距離為 a.
題型二 測量高度問題
【例2】　如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水
平面內的兩點C與D. 現測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，
并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.
解：在△BCD中，∠CBD＝π－（α＋β），
由正弦定理得 ＝ ，
∴BC＝ ＝ ，
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝ .
通性通法
測量高度的基本類型及方案
類型 簡圖 計算方法
底部可達 測得BC＝a，∠BCA＝
C，AB＝a·tan C
底
部
不
可
達 點B與C， D共線 測得CD＝a及C與∠ADB
的度數.先由正弦定理求出
AC或AD，再解直角三角形
得AB的值
點B與C， D不共線 測得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度數.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
【跟蹤訓練】
（2024·南通月考）珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和歐
亞板塊碰撞擠壓形成的.這種擠壓一直在進行，珠
穆朗瑪峰的高度也一直在變化.由于地勢險峻，氣
候惡劣，通常采用人工攀登的方式為珠峰“量身
高”.攀登者們肩負高精度測量儀器，采用了分段
測量的方法，從山腳開始，直到到達山頂，再把所有的高度差累加，就會得到珠峰的高度.2024年5月，中國珠峰高程測量登山隊8名隊員開始新一輪的珠峰測量工作.在測量過程中，已知豎立在B點處的測量覘標高10米，攀登者們在A處測得到覘標底點B和頂點C的仰角分別為70°，80°，則A，B的高度差約為（ sin 70°≈0.94）（　　）
A. 10米 B. 9.72米
C. 9.40米 D. 8.62米
√
解析： 根據題意畫出如圖的模型，則CB＝10，∠OAB
＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝
10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10 sin
70°≈9.40（米）.
題型三 測量角度問題
【例3】　（鏈接教科書第105頁例2）如圖，
在海岸A處發現北偏東45°方向距A點（ －
1） n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西
75°方向，與A距離2 n mile的C處我方緝私船
奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此時走私船正以10 n mile/h的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄，問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？
解：設緝私船應沿CD方向行駛t h，才能最快截獲（在D點）走私
船，則CD＝10 t n mile，BD＝10t n mile.
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠CAB＝（ －1）2＋22－2（
－1）×2 cos 120°＝6，∴BC＝ ，
∵ ＝ ，
∴ sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵ ＝ ，
∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ ，
∴∠BCD＝30°.
故緝私船沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船.
通性通法
測量角度問題畫示意圖的基本步驟
【跟蹤訓練】
某海上養殖基地A接到氣象部門預報，位于基地南偏東60°相距20
（ ＋1）海里的海面上有一臺風中心，影響半徑為20海里，正以每
小時10 海里的速度沿某一方向勻速直線前進，預計臺風中心將從
基地東北方向刮過且 ＋1小時后開始持續影響基地2小時.求臺風移
動的方向.
解：如圖所示，設預報時臺風中心為B，開始影響基
地時臺風中心為C，基地剛好不受影響時臺風中心為
D，則B，C，D在一直線上，且AD＝20，AC＝20.
由題意AB＝20（ ＋1），DC＝20 ，BC＝（
＋1）×10 .
在△ADC中，因為DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cos ∠BAC＝ ＝ .
所以∠BAC＝30°，
又因為B位于A南偏東60°，60°＋30°＋90°＝180°，D位于A的正北方向，∠ADC＝45°，所以臺風移動的方向為北偏西45°.
題型四 物理問題
【例4】　（鏈接教科書第105頁例3）如圖，某大橋主孔采用獨塔雙
索面斜拉懸臂組合結構體系，假設斜拉橋中某對鋼索與豎直方向的夾
角都是53°，每根鋼索中的拉力都是5×104 N，那么它們對塔柱形成
的合力有多大？方向如何？（ sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6）
解：把兩根鋼索的拉力看成沿鋼索方向的兩個分力，以它
們為鄰邊畫出一個平行四邊形OACB，其對角線的長度就
表示它們的合力的大小.由對稱性可知，合力方向一定沿
塔柱豎直向下，且這個平行四邊形是一個菱形.
法一　如圖所示，連接AB，交OC于D，則AB與OC互相垂直平分，
即AB⊥OC，且AD＝DB，OD＝ OC.
在Rt△AOD中，∠AOD＝53°，而OD＝ OC，
則合力｜F｜＝2｜F1｜ cos 53°＝2×5×104×0.6＝6×104（N）.
即合力的大小為6×104 N，方向豎直向下.
法二　在△OAC中， cos ∠OAC＝ cos （180°－2×53°）＝－（2
cos 253°－1）＝1－2×0.62＝0.28，
由余弦定理，得OC
＝
＝ ×104＝6×104（N）.
即合力的大小為6×104 N，方向豎直向下.
通性通法
　　物理中很多矢量如速度、力等的計算大多可以歸為解三角形.解
決此類問題的辦法是結合物理知識把涉及的量用圖形表示出來，轉化
為解三角形的問題.
【跟蹤訓練】
如圖所示，某同學沿平直路面由A點出發前進了100 m到達斜坡底端
的B點，又沿傾斜角為60°的斜面前進了100 m達到C點，求此同學
的位移和路程.
解：如圖所示，畫出該同學的位移矢量圖， 為該
同學的位移，方向由A→C.
法一　過點C作CD⊥AB，垂足為D，
則BD＝BC cos 60°＝100× ＝50（m），CD＝BC sin 60°＝
100× ＝50 （m）.
∴AC＝ ＝ ＝100 （m），
路程s＝AB＋BC＝200（m）.
∴如圖 為該同學的位移，大小為100 m，方向由A→C，路程為
200 m.
法二　在△ABC中，AB＝BC＝100 m，∠ABC＝120°.
由余弦定理，得AC＝ ＝
＝100 （m）.
路程s＝AB＋BC＝200（m）.
∴如圖 為該同學的位移，大小為100 m，方向由A→C，路程為
200 m.
1. 如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在
觀察站南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站南偏東60°方向上，則
燈塔A在燈塔B的（　　）
A. 北偏東10°方向上
B. 北偏西10°方向上
C. 南偏東80°方向上
D. 南偏西80°方向上
√
解析： 　由條件及題圖可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又
∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈
塔A在燈塔B的南偏西80°方向上.故選D.
2. （2024·淮安月考）作用在同一點的三個力F1，F2，F3平衡，已
知｜F1｜＝30 N，｜F2｜＝50 N，F1與F2之間的夾角是60°，則
F3與F1之間的夾角的正弦值為（　　）
√
解析： 　由題意，知F3應和F1，F2的合力F平
衡.設F3與F1之間的夾角為θ，作圖（如圖），
可知當三力平衡時，由余弦定理得｜F3｜＝
＝70（N），再由正弦定理得 ＝ ，即 sin θ＝ ＝ .故選C.
3. （多選）甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°，
從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則下列說法正確的有（　　）
√
√
解析： 　如圖，在Rt△ABD中，∠ABD＝
60°，BD＝20 m，∴AD＝BDtan 60°＝20 ，
∴甲樓的高度為20 m.在△ABC中，設AC＝
BC＝x，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－
2AC·BC· cos ∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解
得x＝ ，則乙樓的高度為 m.故選A、C.
4. 已知A，B，C，D四個景點，如圖所示，∠CDB＝45°，
∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距
km，求A，B兩景點間的距離.
解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，
由正弦定理得 ＝ ，
即BD＝ ＝2.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，
所以△ABD為等邊三角形，所以AB＝2.
所以A，B兩景點間的距離為2 km.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知A，B兩地相距10 km，B，C兩地相距20 km，且∠ABC＝
120°，則A，C兩地相距（　　）
A. 10 km
解析： 　∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝102＋202－
2×10×20× ＝700，∴AC＝10 km.故選D.
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2. 一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°距塔
68 n mile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這
艘船的航行速度為（　　）
解析： 　如圖所示，在△PMN中，
＝ ，∴MN＝ ＝
34 ，∴v＝ ＝ （n mile/h）.故選A.
√
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3. 滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中
的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，若某
人在點A測得滕王閣頂端仰角為30°，此人往滕王閣方向走了42米
到達點B，測得滕王閣頂端的仰角為45°，則滕王閣的高度最接近
于（忽略人的身高）（參考數據： ≈1.732）（　　）
A. 49米 B. 51米
C. 54米 D. 57米
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解析： 　設滕王閣的高度為h，由題設知，∠CBD＝45°，
∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，則AD＝AB＋BD＝h＋42，
又tan∠CAD＝ ＝ ＝ ，可得h＝ ≈57米.故選D.
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4. （2024·南京月考）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上
一建筑物CD的視角為15°，向山頂前進100米到達B處，又測得建
筑物CD的視角為45°，若CD＝50米，山坡對于水平面的坡角為
θ，則 cos θ＝（　　）
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解析： 　在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝ ＝
＝50（ － ）（米）.
在△BCD中， sin ∠BDC＝ ＝ ＝
－1.由題圖，知 cos θ＝ sin ∠ADE＝ sin ∠BDC＝ －1.故
選C.
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5. （多選）如圖所示，為了測量某湖泊兩側A，B間的距離，李寧同
學首先選定了與A，B不共線的一點C，然后給出了四種測量方案
（△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c），則一定能
確定A，B間距離的方案為（　　）
A. 測量A，B，b B. 測量a，b，C
C. 測量A，B，a D. 測量A，B，C
√
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解析： 　對于A，利用內角和定理先求出C＝π－A－B，再利
用正弦定理 ＝ 解出c；對于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋
b2－2ab cos C即可解出c；對于C，先利用內角和定理求出C＝π－
A－B，再利用正弦定理 ＝ 解出c；對于D，不知道長度，
顯然不能求c.
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6. （多選）某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°方向上，距離為
12 n mile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°方向上，距離
8 n mile.貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在南偏東
60°方向上，則下列說法正確的是（　　）
A. A處與D處之間的距離是24 n mile
B. 燈塔C與D處之間的距離是16 n mile
C. 燈塔C在D處的西偏南60°
D. D在燈塔B的北偏西30°
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解析： 　由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，
∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75°＝
45°，AB＝12 ，AC＝8 ，在△ABD中，由正
弦定理得 ＝ ，所以AD＝ ＝
24（n mile），故A正確；在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ＝ ＝8 （n mile），故B錯誤；因為CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；由∠ADB＝60°，所以D在燈塔B的北偏西60°，故D錯誤.故選A、C.
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解析：如圖所示，設A，B為世博軸的兩端點，C
為中國館，由題意知∠ACB＝120°，且AC＝
BC，過C作AB的垂線交AB于D，在Rt△CBD
中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m.
　
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8. （2024·蘇州質檢）如圖，在一場足球比賽中，甲同學從點A處開
始做勻速直線運動，到達點B時，發現乙同學踢著足球在點C處正
以自己速度的 向A做勻速直線運動，已知 cos ∠BAC＝ ，AB＝
3 m，AC＝7 m.若忽略甲同學轉身所需的時間，則甲同學最快攔
截乙同學的點是線段AC上離A處 m的點.
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解析：如圖，設甲同學最快攔截乙同學的地點是
點D，CD＝x，則BD＝2x，AD＝7－x，所以
在△ABD中， cos A＝ ＝ ，整理可得15x2＋52x－164＝（15x＋82）（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－ （舍去）.故甲同學最快攔截乙同學的點是線段AC上離A處5 m的點.
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9. 一緝私艇在A處發現在其北偏東45°方向，距離12 n mile的海面C
處有一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏東75°方向逃竄.緝私
艇的速度為14 n mile/h.若要在最短時間內追上該走私船，緝私艇
應沿北偏東（45°＋α）的方向去追，求追上走私船所需的時間和
角α的正弦值.
解：設經過x h后緝私艇在B處追上走私船，
如圖.
依題意得AB＝14x n mile，BC＝10x n
mile，∠ACB＝120°，
在△ABC中，由余弦定理得（14x）2＝122
＋（10x）2－2×12×10x· cos 120°，
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解得x＝2 ，
∴AB＝28 n mile，BC＝20 n mile.
由正弦定理得 sin α＝ ＝ .
∴所需時間為2 h，角α的正弦值為 .
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10. 如圖，在山腳A處測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的
斜坡向上走a m到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h
＝（　　）
D. a m
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解析： 　由題意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝
60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，
∴ ＝ ，∴PB＝ a m，∴h＝PC＋CQ＝
a× sin 60°＋a sin 15°＝ a（m），故選A.
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11. （多選）如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在A
處的俯角為30°，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，
到達B處，此時測得俯角為45°.已知小車的速度是20 km/h，且
cos ∠AOB＝－ ，則（　　）
B. 小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最小仰角為30°
C. PA＝2 km
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解析： 　由題意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，設OP
＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，則OA＝ x km，OB＝x km.
因為AB＝7.5× ×20＝ （km），所以 cos ∠AOB＝
＝ ＝－ ，解得x＝1，從而PA＝2 km.易知
sin ∠AOB＝ ，所以由等面積法可得O到AB的距離h＝
km，則最大仰角的正切值為 ＝ .又AO＞BO，所以最小
仰角為30°.故選B、C、D.
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12. （2024·無錫月考）如圖，為了測量B，C兩點間的距離，選取同
一平面上的A，D兩點，已知∠ADC＝90°，∠DAB＝60°，
AB＝2，BD＝2 ，CD＝4 ，則BC的長為 　4 　.
4 　
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解析：在△ABD中，由正弦定理得 sin ∠ADB＝ ＝
＝ ，∵∠ADC＝90°，∴ cos ∠BDC＝ ，在△BDC
中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD· cos ∠BDC＝24
＋48－4 ×4 × ＝48，∴BC＝4 （負值舍去）.
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13. 游客從某旅游景區的景點A處至景點C處有兩條線路.線路1是從
A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后
從B沿直線步行到C. 現有甲、乙兩位游客從A處同時出發勻速步
行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲走線路2，乙走線路1，最后
他們同時到達C處.經測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則 sin A
＝ .
　
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解析：依題意，設乙的速度為x m/s，則甲的速度為 x m/s，因為
AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以 ＝ ，解得AC＝1
260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推論得， cos A＝
＝ ＝ ，所以 sin A＝
＝ ＝ .
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14. 如圖，A，B兩地之間有建筑物P和一座小山坡Q，經實地觀察
發現，北面有大山，而南面在四邊形ABNM范圍內地勢平坦，但
有建筑物R，試設計A，B之間距離的測量、計算方案.
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解：此題答案不唯一，下面舉出三種方案.
（方案一）在以P，Q，R為頂點的三角形區域內
選一點C（可同時看見A，B兩地），測出BC，
AC的長及∠ACB.
由余弦定理，得
AB＝ .
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（方案二）解四邊形ABNM. 如圖①，測出AM，
MN，NB的長，∠AMN，∠MNB的度數.
在△AMN中，由余弦定理，得AN＝
，
sin ∠ANM＝ ，
在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM. 由余弦
定理，得AB＝ .
（方案三）在線段AB上選一點C，
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布設三角形網，如圖②，使建筑物R的底部在△MCN的內部，不
影響視線.
在△AMC中，測出AM，CM的長及∠AMC，則
AC＝ .
在△BNC中，測出BN，CN的長及∠BNC，則
BC＝ .
于是AB＝AC＋BC.
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