資源簡介

三角形中的最值（范圍）問題
題型一 與三角形的邊（周長）有關的最值（范圍）問題
【例1】　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＝.
（1）求A的大小；
（2）若a＝6，求b＋c的取值范圍.
【母題探究】
　（變條件，變設問）在△ABC中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周長的取值范圍.
通性通法
　　解決與三角形的邊（周長）有關的最值（范圍）問題的方法
（1）化邊為角：利用三角函數的單調性與有界性求最值（范圍）；
（2）化角為邊：利用基本不等式或二次函數性質求最值（范圍）.
【跟蹤訓練】
　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B.
（1）求cos B的值；
（2）若a＋c＝2，求b的取值范圍.
題型二 與三角形的角或角的三角函數有關的最值（范圍）問題
【例2】　若△ABC的內角A，B，C滿足：sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是　　　　.
通性通法
　　解決與三角形的角或角的三角函數有關的最值（范圍）問題的方法
　　求角或角的三角函數有關的最值（范圍）一般是用邊表示角（三角函數式），利用基本不等式求最值（范圍）.
【跟蹤訓練】
　（2024·徐州月考）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知＋＝，則A的取值范圍是　　　　.
題型三 與三角形的面積有關的最值（范圍）問題
【例3】　（2024·南通質檢）在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，b＝c，且滿足＝.若點O是△ABC外一點，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB面積的最大值是（　　）
A. B. C.3 　D.
通性通法
　　求解與平面圖形有關的面積最值（范圍）問題可以先轉化為三角形的面積，用三角形的面積公式表示，進而利用三角函數的有界性、基本不等式、函數單調性求解.
【跟蹤訓練】
　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足＝.
（1）求角A；
（2）若a＝2，求△ABC面積的最大值.
1.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且B＝60°，b＝2.若這個三角形有兩解，則a的取值范圍是（　　）
A.（2，）　　　　 B.（2，］
C.（2，＋∞） D.（－∞，2）
2.（2024·無錫江陰高中期中）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，則cos C的最小值等于（　　）
A. B.
C. D.－
3.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圓半徑為，則△ABC面積的最大值為　　　　.
培優課　三角形中的最值（范圍）問題
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）由＝及已知，得cos A＝sin A，
∴tan A＝，又A∈（0，π），∴A＝.
（2）由a＝6及（1）知＝＝＝4，
∴b＝4sin B，c＝4sin C.
∵A＝，∴B＋C＝π，∴C＝π－B，
∴b＋c＝4sin B＋4sin＝4［sin B＋sin（π－B）］＝12sin.
∵0＜B＜π，∴＜B＋＜π.∴＜sin≤1（當且僅當B＝時，等號成立），
∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范圍為（6，12].
母題探究
　解：由正弦定理得＝＝＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
則△ABC的周長為l＝a＋b＋c＝2（sin A＋sin B）＋＝2［sin A＋sin（－A）］＋
＝2＋＝2（sin A＋cos A）＋＝2sin＋.
∵0＜A＜，∴＜A＋＜，∴＜sin（A＋）≤1，
∴2＜2sin＋≤2＋，
∴△ABC周長的取值范圍是（2，2＋].
跟蹤訓練
　解：（1）因為cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B，
所以－cos（A＋B）＋cos Acos B＝2sin Acos B，
即sin Asin B＝2sin Acos B，
因為sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0，
又因為sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝.
（2）由a＋c＝2，可得c＝2－a，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝a2＋（2－a）2－a（2－a）＝（a－1）2＋，
因為0＜a＜2，所以≤b2＜4，所以≤b＜2，
所以b的取值范圍為.
【例2】　　解析：由sin A＋sin B＝2sin C，得a＋b＝2c，∴c＝，∴cos C＝＝＝＝＋－≥2－＝，當且僅當＝即a＝b時等號成立.∴cos C的最小值為.
跟蹤訓練
　（0，］　解析：由正弦定理知＋＝＝＝，∵sin A＝sin[π－（B＋C）]＝sin（B＋C），∴sin2A＝sin Csin B，即a2＝bc，又由余弦定理知cos A＝≥＝，當且僅當b＝c時等號成立，∵A∈（0，π），∴cos A∈，則A∈（0，］.
【例3】　A　如圖，在△ABC中，∵b＝c，＝，∴sin Bcos A＋cosB·sin A＝sin A，即sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C＝sin A，∴A＝C，又b＝c，故△ABC為等邊三角形.∴S四邊形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝·OA·OB·sin θ＋·AB2·sin＝×2×1×sin θ＋（OA2＋OB2－2OA·OB·cos θ）＝sin θ－cos θ＋＝2sin＋.∵0＜θ＜π，∴－＜θ－＜，故當θ－＝，即θ＝時，sin（θ－）取得最大值1，故S四邊形OACB的最大值為2＋＝.故選A.
跟蹤訓練
　解：（1）由＝，結合正弦定理＝，得＝＝，
所以tan A＝，又因為A∈（0，π），所以A＝.
（2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.
即bc≤4（當且僅當b＝c＝2時，等號成立），
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，
即當b＝c＝2時，△ABC面積的最大值為.
隨堂檢測
1.A　由題意得asin B＜b＜a，即asin 60°＜2＜a，解得2＜a＜，故選A.
2.C　由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以cos C＝＝，由于a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時等號成立，所以≥，故cos C的最小值等于.故選C.
3.4　解析：由a2＋b2＝c2＋ab及余弦定理，得cos C＝＝＝，∴sin C＝.由△ABC的外接圓半徑為，得c＝2Rsin C＝4，∴a2＋b2＝16＋ab≥2ab，∴ab≤12，當且僅當a＝b時等號成立.∴S△ABC＝absin C≤×12×＝4.即△ABC面積的最大值為4.
2 / 2培優課　三角形中的最值（范圍）問題
1.在△ABC中，BC＝3，AC＝5，＜B＜π，則邊AB的取值范圍是（　　）
A.（2，8） B.（1，4）
C.（4，＋∞） D.（2，4）
2.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，則sin A的最大值為（　　）
A. B.
C. D.1
3.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若ccos A＋acos C＝2，AC邊上的高為，則角B的最大值為 （　　）
A. B.
C. D.
4.在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.若BC＝3，求△ABC周長的最大值為（　　）
A.2 B.3
C.3＋2 D.3＋3
5.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一點，且BD＝3DC，AD＝3，則△ABC面積的最大值是（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
6.（多選）（2024·江陰長涇中學期中）△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且a＝2，·＝2S，下列選項正確的是（　　）
A.A＝
B.若b＝3，則△ABC只有一解
C.若△ABC為銳角三角形，則b取值范圍是（2，4）
D.若D為BC邊上的中點，則AD的最大值為2＋
7.（2024·金華月考）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，則＝　　　　，角C的最大值為　　　　.
8.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B，若c＝2，則a2＋b2的取值范圍是　　　　.
9.（2024·無錫市北高中期中）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且4cos A＝sin B＋sin C.若△ABC的面積S＝，則邊a的最小值為　　　　.
10.如圖所示，有兩條經過村莊A且夾角為60°的公路，根據規劃，擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM＝PN＝MN＝2（單位：千米）.如何設計，使得工廠產生的噪音對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離最遠）？
11.已知a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b.
（1）求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（B）＝且b＝，求a＋c的取值范圍.
12.（2024·鹽城響水中學期中）△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos＝asin B.
（1）求角A的大小；
（2）D是邊BC上一點，且BD＝2DC，AD＝2，求△ABC面積的最大值.
培優課　三角形中的最值（范圍）問題
1.D　令△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，依題意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B為鈍角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范圍即AB的取值范圍是（2，4）.故選D.
2.D　∵C＝，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3，]，∴由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈［，1］，故sin A的最大值為1.
3.B　由ccos A＋acos C＝b得b＝2.因為AC邊上的高為，所以×2×＝acsin B，即ac＝，又cos B＝≥＝1－，當且僅當a＝c時取等號，所以cos B≥1－sin B，即sin B＋3cos B≥3，即sin≥.因為B∈（0，π），所以B＋∈，則B＋∈（，］，所以B∈（0，］，故角B的最大值為.故選B.
4.C　由正弦定理和已知條件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB　①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A　②.由①②得cos A＝－.因為0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理得＝＝＝2，從而AC＝2sin B，AB＝2sin（π－A－B）＝3cos B－sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.又0＜B＜，所以當B＝時，△ABC周長取得最大值3＋2.故選C.
5.B　設CD＝x，∠ADB＝θ，則BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ　②，聯立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④，聯立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（當且僅當3b＝c時，等號成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故選B.
6.CD　對于A，根據平面向量數量積公式及三角形面積公式由·＝2S bccos A＝2×bcsin A tan A＝，因為A∈（0，π），所以A＝，故A錯誤；對于B，b＝3＞a＝2＞bsin A＝，故△ABC有兩解，故B錯誤；對于C，若△ABC為銳角三角形，則B∈（0，），且A＋B＝π－C＞ ＋B＞ B∈（，），即sin B∈（，1），由正弦定理可知：b＝＝4sin B∈（2，4），故C正確；對于D，若D為BC邊上的中點，則＝（＋） ＝（＋2·＋）＝（b2＋c2＋bc），由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝4 b2＋c2＝bc＋4，根據基本不等式有b2＋c2＝bc＋4≥2bc bc≤，當且僅當b＝c＝時取得等號，所以（b2＋c2＋bc）＝（4＋2bc）≤1＋×＝7＋4，即AD≤＝2＋，故D正確.故選C、D.
7.2　　解析：∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，∴cos C＝＝≥，當且僅當a＝b時取等號.∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值為.
8.（4，16＋8]　解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝tan Atan B，且tan Atan B≠0，得tan C＝，∵0＜C＜π，∴C＝.∵c2＝a2＋b2－2abcos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥a2＋b2－，∴a2＋b2≤16＋8，當且僅當a＝b時取等號.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范圍是（4，16＋8].　
9.2　解析：由正弦定理＝＝可得，bsin C＝csin B，asin B＝bsin A.由已知可得，4bc·cos A＝acsin B＋absin C＝2acsin B＝2bcsin A，所以sin A＝2cos A.又0＜A＜π，所以0＜A＜，所以cos A＞0，因為sin2A＋cos2A＝25cos2A＝1，所以cos A＝，sin A＝.因為△ABC的面積S＝bcsin A＝bc＝，所以bc＝.由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2××≥2bc－1＝4，當且僅當b＝c＝時，等號成立.所以a2≥4，a的最小值為2.
10.解：設∠AMN＝θ，在△AMN中，＝，
又MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ），
在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ），
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2（120°－θ）＋4－2×sin（120°－θ）×2×cos（60°＋θ）
＝sin2θ＋sin θcos θ＋4
＝sin 2θ－cos 2θ＋
＝sin（2θ－30°）＋.
因為0°＜θ＜120°，則－30°＜2θ－30°＜210°，
當且僅當2θ－30°＝90°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，
即AP取得最大值2.
所以∠AMN＝60°時，工廠產生的噪音對居民的影響最小.
11.解：（1）因為a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），
所以f（x）＝a·b＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－，
由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），
即函數f（x）圖象的對稱軸方程為x＝＋（k∈Z）.
（2）由f（B）＝，得sin（2B－）＝1，又2B－∈（－，），即2B－＝.
所以B＝，又b＝，
由正弦定理＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C，
即a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin A＋2sin（－A）＝2cos（A－），
又0＜A＜，所以－＜A－＜，
所以2cos（A－）∈（，2].
即a＋c的取值范圍為（，2].
12.解：（1）因為bcos＝asin B，由正弦定理可得sin Bcos＝sin Asin B，
又sin B≠0，所以cos＝sin A，因為A＋B＋C＝π，
所以cos＝cos＝sin，則sin＝sin A＝2sincos，
又sin≠0，所以cos＝，
因為∈（0，），所以＝ A＝.
（2）根據題意可得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，
所以＝（＋）2＝＋·＋，
即36＝c2＋4bc（－）＋4b2≥2－2bc＝2bc，所以bc≤18，
當且僅當b＝3，c＝6時等號成立，
所以S△ABC＝bcsin≤×18×＝，故△ABC面積的最大值為.
2 / 2(共48張PPT)
培優課　
三角形中的最值（范圍）問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 與三角形的邊（周長）有關的最值（范圍）問題
【例1】　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
＝ .
（1）求A的大小；
解： 由 ＝ 及已知，得 cos A＝ sin A，
∴tan A＝ ，又A∈（0，π），∴A＝ .
（2）若a＝6，求b＋c的取值范圍.
解： 由a＝6及（1）知 ＝ ＝ ＝4 ，
∴b＝4 sin B，c＝4 sin C.
∵A＝ ，∴B＋C＝ π，∴C＝ π－B，
∴b＋c＝4 sin B＋4 sin ＝4 ［ sin B＋ sin （
π－B）］＝12 sin .
∵0＜B＜ π，∴ ＜B＋ ＜ π.∴ ＜ sin ≤1（當且僅
當B＝ 時，等號成立），
∴6＜b＋c≤12，即b＋c的取值范圍為（6，12].
【母題探究】
　（變條件，變設問）在△ABC中，設角A，B，C的對邊分別為
a，b，c，已知C＝ ，c＝ ，求△ABC周長的取值范圍.
解：由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2，
∴a＝2 sin A，b＝2 sin B，
則△ABC的周長為l＝a＋b＋c＝2（ sin A＋ sin B）＋ ＝
2 ＋ ＝2 ＋ ＝
2（ sin A＋ cos A）＋ ＝2 sin ＋ .
∵0＜A＜ ，∴ ＜A＋ ＜ ，∴ ＜ sin （A＋ ）≤1，
∴2 ＜2 sin ＋ ≤2＋ ，
∴△ABC周長的取值范圍是（2 ，2＋ ].
通性通法
　　解決與三角形的邊（周長）有關的最值（范圍）問題的方法
（1）化邊為角：利用三角函數的單調性與有界性求最值（范圍）；
（2）化角為邊：利用基本不等式或二次函數性質求最值（范圍）.
【跟蹤訓練】
　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足 cos C
＋ cos A cos B＝2 sin A cos B.
（1）求 cos B的值；
解： 因為 cos C＋ cos A cos B＝2 sin A cos B，
所以－ cos （A＋B）＋ cos A cos B＝2 sin A cos B，
即 sin A sin B＝2 sin A cos B，
因為 sin A≠0，所以 sin B＝2 cos B＞0，
又因為 sin 2B＋ cos 2B＝1，解得 cos B＝ .
（2）若a＋c＝2，求b的取值范圍.
解： 由a＋c＝2，可得c＝2－a，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ ac＝a2＋（2
－a）2－ a（2－a）＝ （a－1）2＋ ，
因為0＜a＜2，所以 ≤b2＜4，所以 ≤b＜2，
所以b的取值范圍為 .
題型二 與三角形的角或角的三角函數有關的最值（范圍）問題
【例2】　若△ABC的內角A，B，C滿足： sin A＋ sin B＝2 sin
C，則 cos C的最小值是 .
　
解析：由 sin A＋ sin B＝2 sin C，得a＋ b＝2c，∴c＝
，∴ cos C＝ ＝ ＝ ＝
＋ － ≥2 － ＝ ，當且僅當 ＝ 即 a＝ b
時等號成立.∴ cos C的最小值為 .
通性通法
　　解決與三角形的角或角的三角函數有關的最值（范圍）問題
的方法
　　求角或角的三角函數有關的最值（范圍）一般是用邊表示角（三
角函數式），利用基本不等式求最值（范圍）.
【跟蹤訓練】
　（2024·徐州月考）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，
b，c，已知 ＋ ＝ ，則A的取值范圍是 　（0， ］　.
（0， ］　
解析：由正弦定理知 ＋ ＝ ＝ ＝
，∵ sin A＝ sin [π－（B＋C）]＝ sin （B＋C），∴ sin 2A＝
sin C sin B，即a2＝bc，又由余弦定理知 cos A＝ ≥ ＝
，當且僅當b＝c時等號成立，∵A∈（0，π），∴ cos
A∈ ，則A∈（0， ］.
題型三 與三角形的面積有關的最值（范圍）問題
【例3】　（2024·南通質檢）在△ABC中，a，b，c分別為內角A，
B，C所對的邊，b＝c，且滿足 ＝ .若點O是△ABC外一
點，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB
面積的最大值是（　　）
C. 3
√
解析： 　如圖，在△ABC中，∵b＝c， ＝ ，
∴ sin B cos A＋ cos B sin A＝ sin A，即 sin （A＋B）＝
sin （π－C）＝ sin C＝ sin A，∴A＝C，又b＝c，
故△ABC為等邊三角形.∴S四邊形OACB＝S△AOB＋S△ABC
＝ ·OA·OB· sin θ＋ ·AB2· sin ＝ ×2×1× sin θ＋ （OA2＋OB2－2OA·OB· cos θ）＝ sin θ－ cos θ＋ ＝2 sin ＋ .∵0＜θ＜π，∴－ ＜θ－ ＜ ，故當θ－ ＝ ，即θ＝ 時， sin 取得最大值1，故S四邊形OACB的最大值為2＋ ＝ .故選A.
通性通法
　　求解與平面圖形有關的面積最值（范圍）問題可以先轉化為三角
形的面積，用三角形的面積公式表示，進而利用三角函數的有界性、
基本不等式、函數單調性求解.
【跟蹤訓練】
　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足 ＝
.
（1）求角A；
解： 由 ＝ ，結合正弦定理 ＝ ，得 ＝
＝ ，
所以tan A＝ ，又因為A∈（0，π），所以A＝ .
（2）若a＝2，求△ABC面積的最大值.
解： 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc.
即bc≤4（當且僅當b＝c＝2時，等號成立），
所以S△ABC＝ bc sin A≤ ×4× ＝ ，
即當b＝c＝2時，△ABC面積的最大值為 .
1. 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且B＝
60°，b＝2.若這個三角形有兩解，則a的取值范圍是（　　）
C. （2，＋∞） D. （－∞，2）
解析： 　由題意得a sin B＜b＜a，即a sin 60°＜2＜a，解得2＜
a＜ ，故選A.
√
2. （2024·無錫江陰高中期中）在△ABC中，a，b，c分別是角A，
B，C的對邊，若 sin 2A＋ sin 2B＝2 sin 2C，則 cos C的最小值等
于（　　）
√
解析： 　由正弦定理可得a2＋b2＝2c2，所以 cos C＝ ＝
，由于a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時等號成立，所
以 ≥ ，故 cos C的最小值等于 .故選C.
3. 已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＋b2
＝c2＋ ab，若△ABC的外接圓半徑為 ，則△ABC面積的最大
值為 .
4 　
解析：由a2＋b2＝c2＋ ab及余弦定理，得 cos C＝ ＝
＝ ，∴ sin C＝ .由△ABC的外接圓半徑為 ，得c＝2R sin C
＝4，∴a2＋b2＝16＋ ab≥2ab，∴ab≤12，當且僅當a＝b時等
號成立.∴S△ABC＝ ab sin C≤ ×12× ＝4 .即△ABC面積的
最大值為4 .
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，則邊AB的取值范圍是
（　　）
A. （2，8） B. （1，4）
C. （4，＋∞） D. （2，4）
解析： 　令△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，依
題意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B為鈍角，所以 cos B＝
＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜
4，所以c的取值范圍即AB的取值范圍是（2，4）.故選D.
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√
2. 已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若C＝ ，a
＝6，1≤b≤4，則 sin A的最大值為（　　）
D. 1
√
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解析： 　∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋
b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋
27∈[27，31]，∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝
，可得 sin A＝ ＝ ＝ ∈［ ，1］，故 sin A的
最大值為1.
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3. 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c cos A
＋a cos C＝2，AC邊上的高為 ，則角B的最大值為 （　　）
√
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解析： 　由c cos A＋a cos C＝b得b＝2.因為AC邊上的高為 ，
所以 ×2× ＝ ac sin B，即ac＝ ，又 cos B＝
≥ ＝1－ ，當且僅當a＝c時取等號，所以 cos B≥1－
sin B，即 sin B＋3 cos B≥3，即 sin ≥ .因為B∈（0，
π），所以B＋ ∈ ，則B＋ ∈（ ， ］，所以B∈
（0， ］，故角B的最大值為 .故選B.
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4. 在△ABC中， sin 2A－ sin 2B－ sin 2C＝ sin B sin C. 若BC＝3，求
△ABC周長的最大值為（　　）
√
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解析： 　由正弦定理和已知條件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB　
①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A　②.由①②得
cos A＝－ .因為0＜A＜π，所以A＝ .由正弦定理得 ＝
＝ ＝2 ，從而AC＝2 sin B，AB＝2 sin （π－A－B）
＝3 cos B－ sin B，故BC＋AC＋AB＝3＋ sin B＋3 cos B＝3
＋2 sin .又0＜B＜ ，所以當B＝ 時，△ABC周長取得
最大值3＋2 .故選C.
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5. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠BAC＝
，D是BC上一點，且BD＝3DC，AD＝3，則△ABC面積的最
大值是（　　）
√
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解析： 　設CD＝x，∠ADB＝θ，則BD＝3x，在△ACD中，
由余弦定理得b2＝9＋x2＋6x cos θ　①，在△ABD中，由余弦定
理得c2＝9＋9x2－18x cos θ　②，聯立①②，消去 cos θ得3b2＋
c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　
④，聯立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc
（當且僅當3b＝c時，等號成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝ bc sin
≤ ×16× ＝4 .故選B.
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6. （多選）（2024·江陰長涇中學期中）△ABC中，內角A，B，C
的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且a＝2， · ＝
2 S，下列選項正確的是（　　）
B. 若b＝3，則△ABC只有一解
√
√
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解析： 　對于A，根據平面向量數量積公式及三角形面積公式
由 · ＝2 S bc cos A＝2 × bc sin A tan A＝ ，因為
A∈（0，π），所以A＝ ，故A錯誤；對于B，b＝3＞a＝2＞b
sin A＝ ，故△ABC有兩解，故B錯誤；對于C，若△ABC為銳角
三角形，則B∈（0， ），且A＋B＝π－C＞ ＋B＞ B∈
（ ， ），即 sin B∈（ ，1），由正弦定理可知：b＝ ＝4
sin B∈（2 ，4），故C正確；
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對于D，若D為BC邊上的中點，則 ＝ （ ＋ ） ＝
（ ＋2 · ＋ ）＝ （b2＋c2＋ bc），由余弦定理知a2
＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－ bc＝4 b2＋c2＝ bc＋4，根據
基本不等式有b2＋c2＝ bc＋4≥2bc bc≤ ，當且僅當b＝c
＝ 時取得等號，所以 （b2＋c2＋ bc）＝ （4＋2 bc）
≤1＋ × ＝7＋4 ，即AD≤ ＝2＋ ，故D正確.
故選C、D.
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7. （2024·金華月考）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為
a，b，c，若2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，則 ＝ ，角C
的最大值為 .
解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2 a2＋b2－c2
＝c2 ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，當且僅當a
＝b時取等號.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值為 .
2　
　
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解析：由tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝ tan Atan B，且
tan Atan B≠0，得tan C＝ ，∵0＜C＜π，∴C＝ .∵c2＝a2＋b2
－2ab cos C，c＝2，∴4＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－
ab≥a2＋b2－ ，∴a2＋b2≤16＋8 ，當且僅當a＝
b時取等號.又a2＋b2＞4，∴a2＋b2的取值范圍是（4，16＋8 ].
8. 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足
tan A＋tan B＋tan C＝ tan Atan B，若c＝2，則a2＋b2的取值范圍
是 .
（4，16＋8 ]　
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9. （2024·無錫市北高中期中）在△ABC中，內角A，B，C的對邊
分別為a，b，c，且4 cos A＝ sin B＋ sin C. 若△ABC的面積
S＝ ，則邊a的最小值為 .
解析：由正弦定理 ＝ ＝ 可得，b sin C＝c sin B，a sin B
＝b sin A. 由已知可得，4 bc· cos A＝ac sin B＋ab sin C＝2ac sin
B＝2bc sin A，所以 sin A＝2 cos A.
2　
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又0＜A＜π，所以0＜A＜ ，所以 cos A＞0，因為 sin 2A＋ cos 2A＝
25 cos 2A＝1，所以 cos A＝ ， sin A＝ .因為△ABC的面積S＝
bc sin A＝ bc＝ ，所以bc＝ .由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc
cos A＝b2＋c2－2× × ≥2bc－1＝4，當且僅當b＝c＝ 時，等
號成立.所以a2≥4，a的最小值為2.
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10. 如圖所示，有兩條經過村莊A且夾角為60°的公路，根據規劃，
擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建
兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM＝PN＝MN＝2（單
位：千米）.如何設計，使得工廠產生的噪音對居民的影響最小
（即工廠與村莊的距離最遠）？
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解：設∠AMN＝θ，在△AMN中， ＝ ，
又MN＝2，所以AM＝ sin （120°－θ），
在△APM中， cos ∠AMP＝ cos （60°＋θ），
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP· cos ∠AMP
＝ sin 2（120°－θ）＋4－2× sin （120°－θ）×2× cos
（60°＋θ）
＝ sin 2θ＋ sin θ cos θ＋4
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＝ sin 2θ－ cos 2θ＋
＝ sin （2θ－30°）＋ .
因為0°＜θ＜120°，則－30°＜2θ－30°＜210°，
當且僅當2θ－30°＝90°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，
即AP取得最大值2 .
所以∠AMN＝60°時，工廠產生的噪音對居民的影響最小.
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11. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）
＝a·b.
（1）求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
解： 因為a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x，cos x），
所以f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos
2x－ ＝ sin （2x－ ）－ ，
由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），
即函數f（x）圖象的對稱軸方程為x＝ ＋ （k∈Z）.
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（2）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f
（B）＝ 且b＝ ，求a＋c的取值范圍.
解： 由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－
∈（－ ， ），即2B－ ＝ .
所以B＝ ，又b＝ ，
由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C，
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即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2
cos （A－ ），
又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ，
所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ].
即a＋c的取值范圍為（ ，2 ].
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12. （2024·鹽城響水中學期中）△ABC內角A，B，C的對邊分別為
a，b，c，已知b cos ＝a sin B.
（1）求角A的大小；
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解： 因為b cos ＝a sin B，由正弦定理可得 sin B
cos ＝ sin A sin B，
又 sin B≠0，所以 cos ＝ sin A，因為A＋B＋C＝π，
所以 cos ＝ cos ＝ sin ，則 sin ＝ sin A＝2 sin cos ，
又 sin ≠0，所以 cos ＝ ，
因為 ∈（0， ），所以 ＝ A＝ .
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（2）D是邊BC上一點，且BD＝2DC，AD＝2，求△ABC面積
的最大值.
解： 根據題意可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
＋ （ － ）＝ ＋ ，
所以 ＝（ ＋ ）2＝ ＋ · ＋ ，
即36＝c2＋4bc（－ ）＋4b2≥2 －2bc＝2bc，所
以bc≤18，
當且僅當b＝3，c＝6時等號成立，
所以S△ABC＝ bc sin ≤ ×18× ＝ ，故△ABC面積的最大值為 .
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