資源簡介

　　
一、應用正弦、余弦定理解三角形
1.這類問題一般要先審查題設條件，進行歸類，根據題目類型確定應用哪個定理解決.常見題型有：（1）一邊和兩角（如a，B，C）；（2）兩邊和夾角（如a，b，C）；（3）三邊（a，b，c）；（4）兩邊和其中一邊的對角（如a，b，A）.
2.已知三角形的任意兩個角和一邊，可結合三角形內角和定理及正弦定理解此三角形.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，這個三角形解的情況是不確定的.如已知△ABC的邊長a，b和角A，根據正弦定理求角B時，可能出現一解、兩解、無解的情況，這時應借助已知條件進行檢驗，務必做到不漏解、不多解.
【例1】　（2024·徐州月考）在△ABC中，B＝45°，AC＝，cos C＝.
（1）求BC邊的長；
（2）求AB邊上的中線CD的長.
反思感悟
應用正弦、余弦定理需注意的三個方面
（1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形邊角之間的關系，解題時要根據題目條件恰當地實現邊角的統一；
（2）統一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導公式進行變形；統一為“邊”后，要注意正確利用配方、因式分解等代數變換方法進行變形；
（3）求值時注意方程思想的運用.
【跟蹤訓練】
　設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin A＝acos B.
（1）求B的大小；
（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
二、判斷三角形的形狀
1.根據已知條件判斷三角形的形狀時，主要的方法是邊角互化，一般有兩種途徑：（1）將已知條件統一化成邊的關系，用代數方法求解；（2）將已知條件統一化成角的關系，用三角知識求解.
2.邊角互化的常見方法有：（1）通過正弦定理進行邊角轉換；（2）通過余弦定理進行邊角轉換；（3）通過三角變換找出角之間的關系；（4）b2＋c2－a2＞0 A為銳角，b2＋c2－a2＝0 A為直角，b2＋c2－a2＜0 A為鈍角.
【例2】　（1）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為（　　）
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.不確定
（2）（2024·無錫堰橋中學期中）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知acos A＝bcos B，且c2＝a2＋b2－ab，則△ABC的形狀為（　　）
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等邊三角形
反思感悟
利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀的方法
（1）通過邊之間的關系判斷形狀；
（2）通過角之間的關系判斷形狀.
合理利用正弦、余弦定理將已知條件中的邊、角互化，把條件統一為邊的關系或角的關系.
【跟蹤訓練】
　在△ABC中，若＝，試判斷△ABC的形狀.
三、正弦、余弦定理在實際問題中的應用
1.正弦定理和余弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.
2.在應用正弦定理或余弦定理解決實際問題時，關鍵是根據題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解.注意隱含條件和最后將結果還原為實際問題進行檢驗.
【例3】　如圖，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度AD是 60 m，則河流的寬度BC是（　　）
A.240（－1）m B.180（－1）m
C.120（－1）m D.30（＋1）m
反思感悟
正弦、余弦定理在實際應用中應注意的問題
（1）分析題意，弄清已知元素和未知元素，根據題意畫出示意圖；
（2）明確題目中的一些名詞、術語的意義，如仰角、俯角、方向角、方位角等；
（3）將實際問題中的數量關系歸結為數學問題，利用學過的幾何知識，作出輔助線，將已知與未知元素歸結到同一個三角形中，然后解此三角形；
（4）在選擇關系時，一是力求簡便，二是要盡可能使用題目中的原有數據，盡量減少計算中誤差的積累.
【跟蹤訓練】
如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5（3＋）n mile的兩個觀測點.現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20 n mile的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30 n mile/h，該救援船到達D點需要多長時間？
四、與三角形有關的綜合問題
　　該類問題以三角形為載體，在已知條件中設計了三角形的一些邊角關系，由于正弦定理和余弦定理都是關于三角形的邊角關系的等式，通過定理的運用能夠實現邊角互化，在邊角互化時，經常用到三角函數中兩角和與差的公式及倍角公式等.
【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面積為3＋，求c.
反思感悟
解三角形綜合問題的方法
（1）三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯系在一起，要注意選擇合適的方法進行求解；
（2）解三角形常與平面向量、三角函數及三角恒等變換知識綜合考查，解答此類題目，首先要正確應用所學知識“翻譯”題目條件，然后根據題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解.
【跟蹤訓練】
　已知向量a＝（sin x，cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b.
（1）求函數f（x）＝a·b的最小正周期；
（2）在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f（A）＝1，求△ABC的周長.
章末復習與總結
【例1】　解：（1）由cos C＝，得sin C＝，
sin A＝sin（180°－45°－C）＝sin（45°＋C）＝（cos C＋sin C）＝.
由正弦定理，得BC＝·sin A＝×＝3.
（2）由正弦定理，得AB＝·sin∠ACB＝×＝2.BD＝AB＝1.在△BCD中，
由余弦定理，得CD＝＝＝.
跟蹤訓練
　解：（1）∵bsin A＝acos B，
∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，∴B＝.
（2）∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos ，
解得a＝，∴c＝2a＝2.
【例2】　（1）B　（2）D　解析：（1）法一　由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，即sin（B＋C）＝sin2A，從而sin（B＋C）＝sin A＝sin2A，∵sin A≠0，解得sin A＝1，∴A＝.故選B.
法二　由余弦定理得bcos C＋ccos B＝a，從而a＝asin A，∵a≠0，∴sin A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝.故選B.
（2）∵acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，又A，B∈（0，π），故可得A＝B或A＋B＝；又c2＝a2＋b2－ab，即cos C＝，又C∈（0，π），故可得C＝.綜上所述，A＝B＝C＝.故△ABC是等邊三角形.故選D.
跟蹤訓練
　解：由已知得＝＝＝，∴＝，
由正弦定理得＝，
∴＝，
∴sin Ccos C＝sin Bcos B，
即sin 2C＝sin 2B，
∵B，C均為△ABC的內角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，
即B＝C或B＋C＝90°，
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
【例3】　C　由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60（m），∴AC＝120（m）.在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120（－1）（m）.故選C.
跟蹤訓練
　解：由題意知AB＝5（3＋）n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
＝，
∴DB＝
＝
＝
＝＝10 n mile，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30 n mile.
∴t＝＝1 h.
∴救援船到達D點需要1 h.
【例4】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
對比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因為C∈（0，π），所以C＝，
又sin C＝cos B，所以＝cos B，
即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.
（2）由（1）可得A＝，
則sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝，
從而a＝·c＝c，
又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），
將a＝c代入，解得c＝2.
跟蹤訓練
　解：（1）f（x）＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin（2x＋）＋，
所以f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）由f（A）＝1，可得sin（2A＋）＝，
又0＜A＜π，所以＜2A＋＜，
所以2A＋＝，故A＝.
設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
則a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以a2＝b2＋c2－bc＝7.
又sin B＝3sin C，所以b＝3c.
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.
所以b＝3，△ABC的周長為4＋.
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章末復習與總結
一、應用正弦、余弦定理解三角形
1. 這類問題一般要先審查題設條件，進行歸類，根據題目類型確定應
用哪個定理解決.常見題型有：（1）一邊和兩角（如a，B，
C）；（2）兩邊和夾角（如a，b，C）；（3）三邊（a，b，
c）；（4）兩邊和其中一邊的對角（如a，b，A）.
2. 已知三角形的任意兩個角和一邊，可結合三角形內角和定理及正弦
定理解此三角形.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，這個三角
形解的情況是不確定的.如已知△ABC的邊長a，b和角A，根據正
弦定理求角B時，可能出現一解、兩解、無解的情況，這時應借助
已知條件進行檢驗，務必做到不漏解、不多解.
【例1】　（2024·徐州月考）在△ABC中，B＝45°，AC＝
， cos C＝ .
（1）求BC邊的長；
解： 由 cos C＝ ，得 sin C＝ ，
sin A＝ sin （180°－45°－C）＝ sin （45°＋C）＝
（ cos C＋ sin C）＝ .
由正弦定理，得BC＝ · sin A＝ × ＝3 .
（2）求AB邊上的中線CD的長.
解：由正弦定理，得AB＝ · sin ∠ACB＝ × ＝
2.BD＝ AB＝1.在△BCD中，
由余弦定理，得CD＝ ＝
＝ .
反思感悟
應用正弦、余弦定理需注意的三個方面
（1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形邊角之間的關系，解題時要
根據題目條件恰當地實現邊角的統一；
（2）統一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導公式進
行變形；統一為“邊”后，要注意正確利用配方、因式分解等
代數變換方法進行變形；
（3）求值時注意方程思想的運用.
【跟蹤訓練】
　設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b sin A＝
a cos B.
（1）求B的大小；
解： ∵b sin A＝ a cos B，
∴由正弦定理，得 sin B sin A＝ sin A cos B.
在△ABC中， sin A≠0，
即得tan B＝ ，∴B＝ .
（2）若b＝3， sin C＝2 sin A，求a，c的值.
解： ∵ sin C＝2 sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，
解得a＝ ，∴c＝2a＝2 .
二、判斷三角形的形狀
1. 根據已知條件判斷三角形的形狀時，主要的方法是邊角互化，一般
有兩種途徑：（1）將已知條件統一化成邊的關系，用代數方法求
解；（2）將已知條件統一化成角的關系，用三角知識求解.
2. 邊角互化的常見方法有：（1）通過正弦定理進行邊角轉換；（2）
通過余弦定理進行邊角轉換；（3）通過三角變換找出角之間的關
系；（4）b2＋c2－a2＞0 A為銳角，b2＋c2－a2＝0 A為直
角，b2＋c2－a2＜0 A為鈍角.
【例2】　（1）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，
b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，則△ABC的形狀為（　B　）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 不確定
B
解析： 法一　由正弦定理，得 sin B cos C＋ cos B sin
C＝ sin 2A，即 sin （B＋C）＝ sin 2A，從而 sin （B＋
C）＝ sin A＝ sin 2A，∵ sin A≠0，解得 sin A＝1，∴A＝
.故選B.
法二　由余弦定理得b cos C＋c cos B＝a，從而a＝a sin A，
∵a≠0，∴ sin A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝ .故選B.
（2）（2024·無錫堰橋中學期中）在△ABC中，角A，B，C所對
的邊分別為a，b，c，已知a cos A＝b cos B，且c2＝a2＋b2
－ab，則△ABC的形狀為（　D　）
A. 等腰三角形或直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形
D. 等邊三角形
D
解析： ∵a cos A＝b cos B，由正弦定理得 sin A cos A＝ sin B cos B，即
sin 2A＝ sin 2B，又A，B∈（0，π），故可得A＝B或A＋B＝ ；
又c2＝a2＋b2－ab，即 cos C＝ ，又C∈（0，π），故可得C＝ .
綜上所述，A＝B＝C＝ .故△ABC是等邊三角形.故選D.
反思感悟
利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀的方法
（1）通過邊之間的關系判斷形狀；
（2）通過角之間的關系判斷形狀.
合理利用正弦、余弦定理將已知條件中的邊、角互化，把條件
統一為邊的關系或角的關系.
【跟蹤訓練】
　在△ABC中，若 ＝ ，試判斷△ABC的形狀.
解：由已知得 ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ sin C cos C＝ sin B cos B，
即 sin 2C＝ sin 2B，
∵B，C均為△ABC的內角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，
即B＝C或B＋C＝90°，
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
三、正弦、余弦定理在實際問題中的應用
1. 正弦定理和余弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應用，常見的
問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.
2. 在應用正弦定理或余弦定理解決實際問題時，關鍵是根據題意畫出
示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解.注意隱
含條件和最后將結果還原為實際問題進行檢驗.
【例3】　如圖，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的
俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度AD是 60 m，則河流的寬
度BC是（　　）
√
解析： 　由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60
（m），∴AC＝120（m）.在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝
45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC
＝ ＝ ＝120（ －1）（m）.故選C.
反思感悟
正弦、余弦定理在實際應用中應注意的問題
（1）分析題意，弄清已知元素和未知元素，根據題意畫出示意圖；
（2）明確題目中的一些名詞、術語的意義，如仰角、俯角、方向
角、方位角等；
（3）將實際問題中的數量關系歸結為數學問題，利用學過的幾何知
識，作出輔助線，將已知與未知元素歸結到同一個三角形中，
然后解此三角形；
（4）在選擇關系時，一是力求簡便，二是要盡可能使用題目中的原
有數據，盡量減少計算中誤差的積累.
【跟蹤訓練】如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5（3＋ ）n
mile的兩個觀測點.現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有
一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20 n
mile的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30 n mile/h，該救援
船到達D點需要多長時間？
解：由題意知AB＝5（3＋ ）n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
＝ ，
∴DB＝ ＝
＝
＝ ＝10 n mile，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝
20 n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC· cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×10 ×20 × ＝900，
∴CD＝30 n mile.
∴t＝ ＝1 h.
∴救援船到達D點需要1 h.
四、與三角形有關的綜合問題
　　該類問題以三角形為載體，在已知條件中設計了三角形的一些邊
角關系，由于正弦定理和余弦定理都是關于三角形的邊角關系的等
式，通過定理的運用能夠實現邊角互化，在邊角互化時，經常用到三
角函數中兩角和與差的公式及倍角公式等.
【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15題）記△ABC的內角A，B，C的對邊
分別為a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，
對比已知a2＋b2－c2＝ ab，
可得 cos C＝ ＝ ＝ ，
因為C∈（0，π），所以C＝ ，
又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）若△ABC的面積為3＋ ，求c.
解： 由（1）可得A＝ ，
則 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，
由正弦定理有 ＝ ，
從而a＝ · c＝ c，
又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1），
將a＝ c代入，解得c＝2 .
反思感悟
解三角形綜合問題的方法
（1）三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形
面積公式、三角恒等變換等知識聯系在一起，要注意選擇合適
的方法進行求解；
（2）解三角形常與平面向量、三角函數及三角恒等變換知識綜合考
查，解答此類題目，首先要正確應用所學知識“翻譯”題目條
件，然后根據題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解.
【跟蹤訓練】
　已知向量a＝（ sin x， cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）
＝a·b.
（1）求函數f（x）＝a·b的最小正周期；
解： f（x）＝ sin x cos x＋ cos 2x
＝ sin 2x＋ cos 2x＋
＝ sin （2x＋ ）＋ ，
所以f（x）的最小正周期T＝ ＝π.
（2）在△ABC中，BC＝ ， sin B＝3 sin C，若f（A）＝1，求
△ABC的周長.
解： 由f（A）＝1，可得 sin （2A＋ ）＝ ，
又0＜A＜π，所以 ＜2A＋ ＜ ，
所以2A＋ ＝ ，故A＝ .
設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
則a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以a2＝b2＋c2－bc＝7.
又 sin B＝3 sin C，所以b＝3c.
故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.
所以b＝3，△ABC的周長為4＋ .
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