資源簡介

12.1　復數的概念
1.（2024·揚州新華中學期中）復數z＝cos＋isin，則復數z的虛部是（　　）
A.－ B.－
C. D.
2.已知復數z1＝1＋3i的實部與復數z2＝－1－ai的虛部相等，則實數a＝（　　）
A.－3 B.3
C.－1 D.1
3.如果z＝m（m＋1）＋（m2－1）i為純虛數，則實數m的值為（　　）
A.1 B.0
C.－1 D.－1或1
4.已知復數z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，則a＝（　　）
A.2 B.3
C.－3 D.9
5.（多選）下列命題正確的是（　　）
A.（a2＋1）i（a∈R）是純虛數
B.－i2＝1
C.1＋4i＞3i
D.若z∈C，則z2≥0
6.（多選）下列命題為真命題的是（　　）
A.復數集是實數集與純虛數集的并集
B.x＝i是方程x2＋2＝0的解
C.已知復數z1，z2，若z1＞z2，則z1－z2＞0
D.i是－1的一個平方根
7.（2024·徐州月考）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，則復數x＋yi＝　　　　.
8.已知z1＝－4a＋1＋（2a2＋3a）i，z2＝2a＋（a2＋a）i，其中a∈R，若z1為純虛數，則a＝　　　　.若z1＞z2，則a＝　　　　.
9.定義：復數b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的轉置復數，已知a，b∈R，i是虛數單位，若a＋2i＝1－bi，則復數z＝a＋bi的轉置復數是　　　　.
10.當實數m取什么值時，復數z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－8）i是下列數？
（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數；（4）0.
11.已知關于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有實數根n，且z＝m＋ni，則復數z＝（　　）
A.3＋i B.3－i
C.－3－i D.－3＋i
12.（2024·泰州月考）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的實數m的取值集合是　　　　.
13.（2024·鎮江月考）定義運算＝ad－bc，若（x＋y）＋（x＋3）i＝（i為虛數單位），則實數x＝　　　　，實數y＝　　　　.
14.分別求滿足下列條件的實數x，y的值.
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
（2）＋（x2－2x－3）i＝0.
15.已知復數z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虛數單位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1為純虛數，求實數m的值；
（2）若z1＝z2，求實數λ的取值范圍.
12.1　復數的概念
1.C　因為z＝cos＋isin＝＋i，所以虛部為.故選C.
2.C　易知1＋3i的實部為1，－1－ai的虛部為－a，則a＝－1.故選C.
3.B　由題意知∴m＝0.故選B.
4.B　因為z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故選B.
5.AB　對于A：因為a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是純虛數，故正確；對于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正確；對于C：復數不能比較大小，故錯誤；對于D：當z＝i時，z2＝i2＝－1＜0，故錯誤.故選A、B.
6.BCD　復數集是實數集和虛數集的并集，A為假命題；當x＝i時，x2＋2＝0，B為真命題；兩個復數z1，z2滿足z1＞z2，說明z1，z2都是實數，顯然有z1－z2＞0，C為真命題；根據虛數單位i的定義，D為真命題.故選B、C、D.
7.2＋i　解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，則所以x＋yi＝2＋i.
8.　0　解析：由z1為純虛數，則∴a＝.由z1＞z2，得解得a＝0.
9.－2＋i　解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2.所以復數z＝a＋bi＝1－2i，故復數z＝1－2i的轉置復數是－2＋i.
10.解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2.
（1）當m2－2m－8＝0時，復數z為實數，∴m＝4或m＝－2.
（2）當m2－2m－8≠0時，復數z為虛數，∴m≠4且m≠－2.
（3）當時，復數z是純虛數，∴m＝－3.
（4）當時，復數z＝0，∴m＝－2.
11.B　由題意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i.
12.{3}　解析：由已知，得解得m＝3，所以所求實數m的取值集合是{3}.
13.－1　2　解析：由題意＝3x＋2y＋yi，則∴
14.解：（1）因為x，y∈R，所以由復數相等的充要條件得解得
（2）因為x∈R，所以由復數相等的充要條件得
即
所以x＝3.
15.解：（1）∵z1為純虛數，
∴∴m＝－2.
（2）由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2.
又∵－1≤sin θ≤1，
∴當sin θ＝1時，λmin＝2，
當sin θ＝－1時，λmax＝6.
∴2≤λ≤6，
即λ的取值范圍為[2，6].
2 / 212.1　復數的概念
新課程標準解讀 核心素養
1.通過方程的解，了解引進復數的必要性 數學抽象
2.理解復數的基本概念及復數相等的充要條件 邏輯推理
　　隨著生產和科學發展的需要數集逐步擴充，它的每一次擴充，解決了某些運算在原有數集中不能實施的矛盾，數集的擴充過程，也可以從方程是否有解的角度來理解：
　　在自然數集中，方程x＋4＝3無解，為此引入負數，數集擴充到整數集；
　　在整數集中，方程2x＝5無解，為此引入分數，數集擴充到有理數集；
　　在有理數集中，方程x2＝7無解，為此引入無理數，數集擴充到實數集.
【問題】　在實數集中，類似x2＝－1的方程無解，能否引入一種新數，使得方程有解并將實數集進行擴充呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　復數的概念及分類
1.虛數單位：引入一個新數i，叫作　　　　　，并規定：
（1）i2＝　　；
（2）　　　　可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立.
2.復數的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的數叫作復數.　　　　　　所組成的集合叫作復數集，記作C.
3.復數的代數形式：復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a與b分別叫作復數z的　　　　與　　　　.
4.復數的分類
（1）復數z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）集合表示
知識點二　復數相等
　如果兩個復數的　　　　與　　　　分別相等，那么我們就說這兩個復數相等，即a＋bi＝c＋di 這就是說，兩個復數相等的充要條件是它們的　　　　和　　　　分別相等.
提醒　在兩個復數相等的條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當a，b，c，d∈R時，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提條件，則結論不能成立.
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.x＝i是方程x2＋1＝0在復數集C中的一個解
B.復數z＝a＋bi（a，b∈R）中，實部為a，虛部為b
C.任意兩個復數不能比較大小
D.若a，b∈R，當a＝0時，復數a＋bi為純虛數
2.（2024·淮安馬壩高中期中）已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i為虛數單位）是實數，則a＝（　　）
A.1　　　　 　　　 B.－1
C.2 D.－2
3.已知x－3i＝（8x－y）i（x，y∈R），則x＝　　　　，y＝　　　　.
題型一 復數的概念
【例1】　（1）（鏈接教科書第120頁例1）寫出下列復數的實部和虛部：－2＋i，＋i，，－i，i，0；
（2）判斷N*，N，Z，Q，R，C的關系.
通性通法
復數概念的幾個關注點
（1）復數的代數形式：若z＝a＋bi，只有當a，b∈R時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b；
（2）不要將復數與虛數的概念混淆，實數也是復數，實數和虛數是復數的兩大構成部分；
（3）如果兩個復數都是實數可以比較大小，否則不能比較大小.
【跟蹤訓練】
1.設集合A＝{虛數}，B＝{純虛數}，C＝{復數}，則A，B，C間的關系為（　　）
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
2.若復數z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的實部與虛部相等，則a＝　　　　.
題型二 復數的分類
【例2】　（鏈接教科書第120頁例2）當m取何值時，復數z＝＋（m2－2m－15）i是：
（1）虛數；（2）純虛數；（3）實數.
【母題探究】
1.（變設問）本例中條件不變，當m為何值時，z＞0.
2.（變條件，變設問）已知z＝log2（1＋m）＋[lo（3－m）]i（m∈R），若z是虛數，求m的取值范圍.
通性通法
復數分類問題的求解方法與步驟
（1）化標準式：解題時一定要先看復數是否為a＋bi（a，b∈R）的形式，以確定實部和虛部；
（2）定條件：復數的分類問題可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程（不等式）即可；
（3）下結論：設所給復數為z＝a＋bi（a，b∈R），
①z為實數 b＝0；
②z為虛數 b≠0；
③z為純虛數 a＝0且b≠0.
【跟蹤訓練】
1.（2024·江蘇新海高中月考）若復數z＝（a2＋2a－3）＋（a＋3）i是純虛數，則實數a的值是（　　）
A.1 B.3
C.－3 D.－1
2.若復數a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是純虛數，則（　　）
A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2
C.a≠－1 D.a≠2
題型三 復數相等
【例3】　（1）（鏈接教科書第121頁例3）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求實數x，y的值；
（2）關于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有實根，求實數a的值.
通性通法
復數相等問題的解題技巧
（1）必須是復數的代數形式才可以根據實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解；
（2）根據復數相等的條件，將復數問題轉化為實數問題，為應用方程思想提供了條件，同時這也是復數問題實數化思想的體現.
【跟蹤訓練】
1.已知x，y∈R，若（x－3y）＋（2x＋y）i＝－i＋1，則x＝　　　　，y＝　　　　.
2.已知（a2＋am）＋2ai＝－2－mi（a，m∈R），求實數a的值.
1.已知復數z＝1＋i，則下列結論正確的是（　　）
A.z的實部為1 B.z的虛部為i
C.z＞0 D.z是純虛數
2.（多選）對于復數a＋bi（a，b∈R），下列說法正確的是（　　）
A.若a＝0，則a＋bi為純虛數
B.若a＋（b－1）i＝3－2i，則a＝3，b＝－1
C.若b＝0，則a＋bi為實數
D.i的平方等于1
3.若復數z＝m2－1＋（m2－m－2）i為純虛數，則實數m的值為　　　　.
4.已知復數z＝k2－3k＋（k2－5k＋6）i（k∈R），且z＜0，求實數k的值.
12.1　復數的概念
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.虛數單位　（1）－1　（2）實數　2.全體復數　3.實部　虛部
知識點二
　實部　虛部　實部　虛部
自我診斷
1.AB　對于A，i2＝－1，則i2＋1＝0，故A正確；由復數的代數形式知B正確；對于C，若兩個復數是實數，則兩個實數能比較大小，故C錯誤；對于D，當a＝0，b＝0時，復數a＋bi＝0，故D錯誤.故選A、B.
2.C　依題意得a－2＝0，∴a＝2.故選C.
3.0　3　解析：依題意得即
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）－2＋i，＋i，，－i，i，0的實部分別為－2，，，0，0，0；虛部分別為，1，0，－，1，0.
（2）根據各數集的含義可知，N* N Z Q R C.
跟蹤訓練
1.B　根據復數的定義，復數包含虛數和實數，虛數包含純虛數和非純虛數.因此只有B正確.故選B.
2.4　解析：由題意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
【例2】　解：（1）當即m≠5且m≠－3時，z是虛數.
（2）當即m＝3或m＝－2時，z是純虛數.
（3）當即m＝5時，z是實數.
母題探究
1.解：因為z＞0，所以z為實數，需滿足
解得m＝5.
2.解：∵z是虛數，∴lo（3－m）≠0，且1＋m＞0，
即∴－1＜m＜2或2＜m＜3.
∴m的取值范圍為（－1，2）∪（2，3）.
跟蹤訓練
1.A　根據純虛數的概念知，解得a＝1，所以實數a的值是1.故選A.
2.C　復數a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是純虛數，則有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.故選C.
【例3】　解：（1）由復數相等的充要條件，
得解得
（2）設方程的實根為x＝m，
則原方程可變為3m2－m－1＝（10－m－2m2）i，
所以
由②解得m＝2或m＝－，
分別代入①式，得a＝11或a＝－.
跟蹤訓練
1.－　－　解析：由題意得解得
2.解：因為a，m∈R，所以由復數相等的充要條件，
可得
解得或
所以a＝±.
隨堂檢測
1.A　復數z＝1＋i的實部為1，虛部為1，復數z＝1＋i不能與0 比較大小，且不是純虛數.故選A.
2.BC　對于A，當a＝0且b≠0時，a＋bi為純虛數，故A錯誤；對于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，則a＝3，b＝－1，故B正確；對于C，若b＝0，則a＋bi＝a為實數，故C正確；對于D，i的平方為－1，故D錯誤.故選B、C.
3.1　解析：由題意得即m＝1.
4.解：因為z＜0， 所以z∈R，所以所以k＝2.
3 / 3(共53張PPT)
12.1　復數的概念
新課程標準解讀 核心素養
1.通過方程的解，了解引進復數的必要性 數學抽象
2.理解復數的基本概念及復數相等的充要條件 邏輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　
　　隨著生產和科學發展的需要數集逐步擴充，它的每一次擴充，解
決了某些運算在原有數集中不能實施的矛盾，數集的擴充過程，也可
以從方程是否有解的角度來理解：
　　在自然數集中，方程x＋4＝3無解，為此引入負數，數集擴充到
整數集；
　　在整數集中，方程2x＝5無解，為此引入分數，數集擴充到有理
數集；
　　在有理數集中，方程x2＝7無解，為此引入無理數，數集擴充到
實數集.
【問題】　在實數集中，類似x2＝－1的方程無解，能否引入一種新
數，使得方程有解并將實數集進行擴充呢？
知識點一　復數的概念及分類
1. 虛數單位：引入一個新數i，叫作 ，并規定：
（1）i2＝ ；
（2） 可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加
法、乘法運算律仍然成立.
2. 復數的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的數叫作復數.
所組成的集合叫作復數集，記作C.
虛數單位　
－1　
實數　
全體復
數　
3. 復數的代數形式：復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，
b∈R），其中a與b分別叫作復數z的 與 .
4. 復數的分類
實部　
虛部　
（1）復數z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）集合表示
知識點二　復數相等
　如果兩個復數的 與 分別相等，那么我們就說這兩
個復數相等，即a＋bi＝c＋di 這就是說，兩個復數相等的
充要條件是它們的 和 分別相等.
提醒　在兩個復數相等的條件中，注意前提條件是a，b，c，
d∈R，即當a，b，c，d∈R時，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若
忽略前提條件，則結論不能成立.
實部　
虛部　
實部　
虛部　
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. x＝i是方程x2＋1＝0在復數集C中的一個解
B. 復數z＝a＋bi（a，b∈R）中，實部為a，虛部為b
C. 任意兩個復數不能比較大小
D. 若a，b∈R，當a＝0時，復數a＋bi為純虛數
解析： 　對于A，i2＝－1，則i2＋1＝0，故A正確；由復數的代
數形式知B正確；對于C，若兩個復數是實數，則兩個實數能比較
大小，故C錯誤；對于D，當a＝0，b＝0時，復數a＋bi＝0，故D
錯誤.故選A、B.
√
√
2. （2024·淮安馬壩高中期中）已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i為
虛數單位）是實數，則a＝（　　）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
解析： 　依題意得a－2＝0，∴a＝2.故選C.
√
3. 已知x－3i＝（8x－y）i（x，y∈R），則x＝ ，y＝ .
解析：依題意得即
0　
3　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 復數的概念
【例1】　（1）（鏈接教科書第120頁例1）寫出下列復數的實部和虛
部：－2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0；
解： －2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0的實部分別為－
2， ， ，0，0，0；虛部分別為 ，1，0，－ ，1，0.
（2）判斷N*，N，Z，Q，R，C的關系.
解： 根據各數集的含義可知，N* N Z Q R C.
通性通法
復數概念的幾個關注點
（1）復數的代數形式：若z＝a＋bi，只有當a，b∈R時，a才是z
的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是bi，而是b；
（2）不要將復數與虛數的概念混淆，實數也是復數，實數和虛數是
復數的兩大構成部分；
（3）如果兩個復數都是實數可以比較大小，否則不能比較大小.
【跟蹤訓練】
1. 設集合A＝{虛數}，B＝{純虛數}，C＝{復數}，則A，B，C間
的關系為（　　）
A. A B C B. B A C
C. B C A D. A C B
解析： 　根據復數的定義，復數包含虛數和實數，虛數包含純虛
數和非純虛數.因此只有B正確.故選B.
√
2. 若復數z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的實部與虛部相等，
則a＝ .
解析：由題意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
4　
題型二 復數的分類
【例2】　（鏈接教科書第120頁例2）當m取何值時，復數z＝
＋（m2－2m－15）i是：
（1）虛數；
解：當即m≠5且m≠－3時，z是
虛數.
解：當即m＝3或m＝－2時，z是純虛數.
解：當即m＝5時，z是實數.
（2）純虛數；
（3）實數.
【母題探究】
1. （變設問）本例中條件不變，當m為何值時，z＞0.
解：因為z＞0，所以z為實數，需滿足
解得m＝5.
2. （變條件，變設問）已知z＝log2（1＋m）＋[lo （3－m）]i
（m∈R），若z是虛數，求m的取值范圍.
解：∵z是虛數，∴lo （3－m）≠0，且1＋m＞0，
即∴－1＜m＜2或2＜m＜3.
∴m的取值范圍為（－1，2）∪（2，3）.
通性通法
復數分類問題的求解方法與步驟
（1）化標準式：解題時一定要先看復數是否為a＋bi（a，b∈R）
的形式，以確定實部和虛部；
（2）定條件：復數的分類問題可以轉化為復數的實部與虛部應該滿
足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿
足的方程（不等式）即可；
（3）下結論：設所給復數為z＝a＋bi（a，b∈R），
①z為實數 b＝0；
②z為虛數 b≠0；
③z為純虛數 a＝0且b≠0.
【跟蹤訓練】
1. （2024·江蘇新海高中月考）若復數z＝（a2＋2a－3）＋（a＋3）
i是純虛數，則實數a的值是（　　）
A. 1 B. 3
C. －3 D. －1
解析： 　根據純虛數的概念知，解得a＝1，
所以實數a的值是1.故選A.
√
2. 若復數a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是純虛數，則
（　　）
A. a＝－1 B. a≠－1且a≠2
C. a≠－1 D. a≠2
解析： 　復數a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是純虛
數，則有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.故選C.
√
題型三 復數相等
【例3】　（1）（鏈接教科書第121頁例3）若（x＋y）＋yi＝（x＋
1）i，求實數x，y的值；
解： 由復數相等的充要條件，
得解得
（2）關于x的方程3x2－ x－1＝（10－x－2x2）i有實根，求實數a
的值.
解： 設方程的實根為x＝m，
則原方程可變為3m2－ m－1＝（10－m－2m2）i，
所以
由②解得m＝2或m＝－ ，
分別代入①式，得a＝11或a＝－ .
通性通法
復數相等問題的解題技巧
（1）必須是復數的代數形式才可以根據實部與實部相等，虛部與虛
部相等列方程組求解；
（2）根據復數相等的條件，將復數問題轉化為實數問題，為應用方
程思想提供了條件，同時這也是復數問題實數化思想的體現.
【跟蹤訓練】
1. 已知x，y∈R，若（x－3y）＋（2x＋y）i＝－i＋1，則x＝
　，y＝ 　－ 　.
解析：由題意得解得
－
　
－ 　
2. 已知（a2＋am）＋2ai＝－2－mi（a，m∈R），求實數a的值.
解：因為a，m∈R，所以由復數相等的充要條件，
可得
解得或
所以a＝± .
1. 已知復數z＝1＋i，則下列結論正確的是（　　）
A. z的實部為1 B. z的虛部為i
C. z＞0 D. z是純虛數
解析： 　復數z＝1＋i的實部為1，虛部為1，復數z＝1＋i不能與0
比較大小，且不是純虛數.故選A.
√
2. （多選）對于復數a＋bi（a，b∈R），下列說法正確的是
（　　）
A. 若a＝0，則a＋bi為純虛數
B. 若a＋（b－1）i＝3－2i，則a＝3，b＝－1
C. 若b＝0，則a＋bi為實數
D. i的平方等于1
√
√
解析： 　對于A，當a＝0且b≠0時，a＋bi為純虛數，故A錯
誤；對于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，則a＝3，b＝－1，故B正
確；對于C，若b＝0，則a＋bi＝a為實數，故C正確；對于D，i
的平方為－1，故D錯誤.故選B、C.
3. 若復數z＝m2－1＋（m2－m－2）i為純虛數，則實數m的值
為 .
解析：由題意得即m＝1.
4. 已知復數z＝k2－3k＋（k2－5k＋6）i（k∈R），且z＜0，求實
數k的值.
解：因為z＜0， 所以z∈R，所以所以k＝2.
1　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. （2024·揚州新華中學期中）復數z＝ cos ＋i sin ，則復數z的虛
部是（　　）
解析： 　因為z＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，所以虛部為 .故選C.
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2. 已知復數z1＝1＋3i的實部與復數z2＝－1－ai的虛部相等，則實數
a＝（　　）
A. －3 B. 3
C. －1 D. 1
解析： 　易知1＋3i的實部為1，－1－ai的虛部為－a，則a＝－
1.故選C.
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3. 如果z＝m（m＋1）＋（m2－1）i為純虛數，則實數m的值為
（　　）
A. 1 B. 0
C. －1 D. －1或1
解析： 　由題意知∴m＝0.故選B.
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4. 已知復數z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，則a
＝（　　）
A. 2 B. 3
C. －3 D. 9
解析： 　因為z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有
解得a＝3.故選B.
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5. （多選）下列命題正確的是（　　）
A. （a2＋1）i（a∈R）是純虛數
B. －i2＝1
C. 1＋4i＞3i
D. 若z∈C，則z2≥0
解析： 　對于A：因為a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是
純虛數，故正確；對于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正確；對于
C：復數不能比較大小，故錯誤；對于D：當z＝i時，z2＝i2＝－1
＜0，故錯誤.故選A、B.
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6. （多選）下列命題為真命題的是（　　）
A. 復數集是實數集與純虛數集的并集
C. 已知復數z1，z2，若z1＞z2，則z1－z2＞0
D. i是－1的一個平方根
解析： 　復數集是實數集和虛數集的并集，A為假命題；當x
＝ i時，x2＋2＝0，B為真命題；兩個復數z1，z2滿足z1＞z2，說
明z1，z2都是實數，顯然有z1－z2＞0，C為真命題；根據虛數單位i
的定義，D為真命題.故選B、C、D.
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7. （2024·徐州月考）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，則復數x＋yi
＝ .
解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，則所以x＋yi
＝2＋i.
2＋i　
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解析：由z1為純虛數，則∴a＝ .由z1＞z2，得
解得a＝0.
　
0　
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9. 定義：復數b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的轉置復數，已知
a，b∈R，i是虛數單位，若a＋2i＝1－bi，則復數z＝a＋bi的轉
置復數是 .
解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2.所以復數z＝a＋bi＝1
－2i，故復數z＝1－2i的轉置復數是－2＋i.
－2＋i　
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10. 當實數m取什么值時，復數z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－
8）i是下列數？
（1）實數；
解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m
－8＝0，得m＝4或m＝－2.
（1）當m2－2m－8＝0時，復數z為實數，∴m＝4或m＝
－2.
解：當m2－2m－8≠0時，復數z為虛數，∴m≠4且m≠
－2.
（2）虛數；
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解：當時，復數z是純虛數，∴m＝
－3.
解：當時，復數z＝0，∴m＝－2.
（3）純虛數；
（4）0.
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11. 已知關于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有實數根
n，且z＝m＋ni，則復數z＝（　　）
A. 3＋i B. 3－i
C. －3－i D. －3＋i
解析： 　由題意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即
解得∴z＝3－i.
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12. （2024·泰州月考）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋
3）i＋10成立的實數m的取值集合是 .
解析：由已知，得解得m＝3，所以所求實
數m的取值集合是{3}.
{3}　
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13. （2024·鎮江月考）定義運算 ＝ad－bc，若（x＋y）＋
（x＋3）i＝ （i為虛數單位），則實數x＝
，實數y＝ .
－
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解析：由題意 ＝3x＋2y＋yi，則
∴
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14. 分別求滿足下列條件的實數x，y的值.
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
解： 因為x，y∈R，所以由復數相等的充要條件得
解得
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（2） ＋（x2－2x－3）i＝0.
解： 因為x∈R，所以由復數相等的充要條件得
即所以x
＝3.
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15. 已知復數z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2 sin θ＋（ cos θ－
2）i（其中i是虛數單位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1為純虛數，求實數m的值；
解： ∵z1為純虛數，
∴
∴m＝－2.
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（2）若z1＝z2，求實數λ的取值范圍.
解： 由z1＝z2，得
∴λ＝4－ cos 2θ－2 sin θ＝ sin 2θ－2 sin θ＋3＝（ sin
θ－1）2＋2.
又∵－1≤ sin θ≤1，
∴當 sin θ＝1時，λmin＝2，
當 sin θ＝－1時，λmax＝6.
∴2≤λ≤6，
即λ的取值范圍為[2，6].
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謝 謝 觀 看！

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