資源簡介

第1課時　復數的加法、減法、乘法運算
1.若復數滿足（a＋3i）－（2－i）＝5＋bi（a，b∈R），則a＋b＝（　　）
A.－4 B.11
C.－8 D.5
2.（2024·鹽城聯盟校期中）復數z＝（1－i）（2＋i）的實部為（　　）
A.3i B.3
C.－i D.－1
3.（1－i）（1＋i）＝（　　）
A.1＋i B.－＋i
C.＋i D.－1＋i
4.已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b為實數，則（　　）
A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2
C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2
5.（多選）已知i為虛數單位，復數z1＝3＋4i，z2＝－4＋3i，z3＝1－i，則（　　）
A.z1＋z3＝4＋3i
B.z1與z2互為共軛復數
C.z1＋z2＋z3為純虛數
D.（z1－z2）z3＝8－6i
6.（多選）給出下列命題，其中是真命題的是（　　）
A.純虛數z的共軛復數是－z
B.若z1－z2＝0，則z1＝
C.若z1＋z2∈R，則z1與z2互為共軛復數
D.若z1－z2＝0，則z1與互為共軛復數
7.若復數z滿足z＋（5－6i）＝3，則z的虛部為　　　　.
8.已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虛數單位），則a2＋b2＝　　　　，ab＝　　　　.
9.（2024·淮安月考）已知復數z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，則實數m＝　　　　.
10.計算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）；
（2）（＋i）＋（2－i）－（－i）；
（3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2，z1z2.
11.據記載，歐拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R）是由瑞士著名數學家歐拉發現的，該公式被譽為“數學中的天橋”.特別是當x＝π時，得到一個令人著迷的優美恒等式，這個恒等式將數學中五個重要的數（自然對數的底數e，圓周率π，虛數單位i，自然數1和0）聯系到了一起，有些數學家評價它是“最完美的公式”.根據歐拉公式，若復數z＝的共軛復數為，則＝（　　）
A.－－i B.－＋i
C.＋i D.－i
12.（多選）若復數z滿足z＋2＝9＋4i（i為虛數單位），則（　　）
A.z＝25 B.z＝3＋4i
C.z＝3－4i D.＝3＋4i
13.（2024·揚州月考）已知＋i是實系數一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一個根，則a＝　　　　，b＝　　　　.
14.已知復數z＝（1－i）2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i（a，b∈R），求b＋ai的共軛復數.
15.已知復數z＝1＋i，實數a，b滿足az＋2bz＝（a＋2z）2成立，求a，b的值.
第1課時　復數的加法、減法、乘法運算
1.B　（a＋3i）－（2－i）＝（a－2）＋4i＝5＋bi.故即所以a＋b＝11.故選B.
2.B　復數z＝（1－i）（2＋i）＝3－i，其實部為3.故選B.
3.D　（1－i）（1＋i）＝（1－i）（1＋i）（－＋i）＝（1－i2）（－＋i）＝2（－＋i）＝－1＋i.故選D.
4.A　由題意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以解得故選A.
5.ACD　對于A，z1＋z3＝3＋4i＋（1－i）＝4＋3i，故A正確；對于B，復數z1＝3＋4i的共軛復數為＝3－4i，故B錯誤；對于C，z1＋z2＋z3＝3＋4i－4＋3i＋1－i＝6i，故C正確；對于D，因z1－z2＝7＋i，則（z1－z2）z3＝（7＋i）（1－i）＝8－6i，故D正確.故選A、C、D.
6.AD　選項A中，根據共軛復數的定義知是真命題，故A正確；選項B中，若z1－z2＝0，則z1＝z2，當z1，z2均為實數時，則有z1＝，當z1，z2均為虛數時，z1≠，故B錯誤；選項C中，若z1＋z2∈R，則z1，z2可能均為實數，但不一定相等，或z1與z2的虛部互為相反數，但實部不一定相等，故C錯誤；選項D中，若z1－z2＝0，則z1＝z2，所以z1與互為共軛復數，故D正確.故選A、D.
7.6　解析：由z＋（5－6i）＝3，得z＝3－（5－6i）＝－2＋6i，故z的虛部為6.
8.5　2　解析：由已知（a＋bi）2＝3＋4i，即a2－b2＋2abi＝3＋4i，得解得則a2＋b2＝5，ab＝2.
9.2　解析：z1＋z2＝（－2mi）＋（－m＋m2i）＝（－m）＋（m2－2m）i.因為z1＋z2＞0，所以z1＋z2為實數且大于0，所以解得m＝2.
10.解：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i
＝－1－i.
（2）（＋i）＋（2－i）－（－i）
＝＋i＋2－i－＋i
＝（＋2－）＋（－1＋）i
＝1＋i.
（3）z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）
＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i.
z1z2＝（2＋3i）（－1＋2i）
＝－2＋4i－3i＋6i2
＝－2＋i－6
＝－8＋i.
11.A　由歐拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R），得z＝＝cos＋isin＝－＋i，根據共軛復數定義可知＝－－i.故選A.
12.ACD　設z＝x＋yi（x，y∈R），∵z＋2＝9＋4i，∴x＋yi＋2（x－yi）＝9＋4i，即3x－yi＝9＋4i，∴∴∴z＝3－4i，＝3＋4i，∴z＝（3＋4i）（3－4i）＝9－16i2＝9＋16＝25.故選A、C、D.
13.1　－　解析：把＋i代入方程，得a＋b＋1＝0，即＋i＝0，所以即解得
14.解：z＝（1－i）2＋1＋3i
＝－2i＋1＋3i
＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，
得（1＋i）2＋a（1＋i）＋b＝1－i，
∴a＋b＋i（a＋2）＝1－i（a，b∈R），
∴解得
∴b＋ai＝4－3i，
則b＋ai的共軛復數是4＋3i.
15.解：az＋2bz＝（a＋2b）＋（a＋2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i
＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
∴（a＋2b）＋（a＋2b）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i.
∴
解得或
∴所求實數a＝－2，b＝4－3或a＝2，b＝4＋3.
2 / 2第1課時　復數的加法、減法、乘法運算
新課程標準解讀 核心素養
1.掌握復數代數形式的加、減運算 數學運算
2.理解復數乘法的運算法則，能進行復數的乘法運算 數學抽象、數學運算
3.掌握共軛復數的概念及應用 數學抽象、數學運算
　　
　　我們知道，任意兩個實數都可以相加，而且實數中的加法運算還滿足交換律與結合律.
【問題】　復數中的加法滿足交換律與結合律嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　復數的加法運算及運算律
1.復數的加法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則（a＋bi）＋（c＋di）＝　　　　　　.
即兩個復數相加就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加.
2.復數加法滿足的運算律
對任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交換律：z1＋z2＝　　　　；
（2）結合律：（z1＋z2）＋z3＝　　　　　　.
知識點二　復數的減法運算
1.復數的差
把滿足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的復數x＋yi（x，y∈R）叫作復數a＋bi減去c＋di所得的差，記作　　　　　　　　.
2.復數的減法法則
（a＋bi）－（c＋di）＝　　　　　　　　.
即兩個復數相減就是把實部與實部、虛部與虛部分別相減.
提醒　復數的減法是加法的逆運算.
【想一想】
　對于多個復數相加（減）應該如何運算呢？
知識點三　復數的乘法運算
1.復數的乘法法則
（a＋bi）（c＋di）＝　　　　　　　　.
2.復數乘法的運算律
對任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交換律：z1z2＝　　　　；
（2）結合律：（z1z2）z3＝　　　　　　；
（3）分配律：z1（z2＋z3）＝　　　　　　.
提醒　（1）兩個復數的積仍是一個復數；（2）復數的乘法法則與多項式的乘法法則類似.
【想一想】
1.復數的乘法與多項式乘法有何不同？
2.多項式乘法的運算律在復數乘法中能否成立？
知識點四　共軛復數
1.共軛復數的定義
（1）把實部　　　　、虛部　　　　　　的兩個復數叫作互為共軛復數；
（2）記法：復數z＝a＋bi（a，b∈R）的共軛復數記作，即＝　　　　.
2.共軛數的性質
當復數z＝a＋bi（a，b∈R）的虛部b＝0時，z＝，也就是說，實數的共軛復數是　　　　.
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.復數與復數相加減后結果只能是實數
B.在進行復數加減乘的混合運算時，先乘再加減
C.在進行復數的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加得虛部
D.復數的減法不滿足結合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立
2.已知復數z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝（　　）
A.8i B.6
C.6＋8i D.6－8i
3.已知z＝3＋2i，則＝　　　　，z·＝　　　　.
　
題型一 復數的加、減運算
【例1】　（1）（鏈接教科書第123頁例1）計算：（5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝　　　　；
（2）設z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，則z1－z2＝　　　　.
通性通法
復數加（減）運算的法則
（1）復數代數形式的加（減）運算實質就是將實部與實部相加（減），虛部與虛部相加（減）之后分別作為結果的實部與虛部，因此要準確地提取復數的實部與虛部；
（2）復數的加（減）運算可以類比多項式的運算（類似于合并同類項）：若有括號，括號優先；若無括號，可以從左到右依次進行計算.
【跟蹤訓練】
1.－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝　　　　.
2.（2024·常州月考）已知復數z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是純虛數，則實數a＝　　　　.
題型二 復數的乘法運算
【例2】　（鏈接教科書第124頁例2、例3）（1）設a∈R，（a＋i）（1－ai）＞0，則a＝（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
（2）計算：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝　　　　.
通性通法
復數的乘法運算法則的應用
（1）復數的乘法運算可以把i看作字母，類比多項式的乘法進行，注意要把i2化為－1，進行最后結果的化簡；
（2）對于能夠使用乘法公式計算的兩個復數的乘法，用乘法公式更簡便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟蹤訓練】
1.計算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　）
A.2－13i B.13＋2i
C.13－13i D.－13－2i
2.（2024·無錫月考）若復數（m2＋i）（1＋mi）是實數，則實數m＝　　　　.
題型三 共軛復數及其應用
【例3】　復數z滿足z·＋2iz＝4＋2i，求復數z的共軛復數.
通性通法
1.有關復數z及其共軛復數的題目，注意共軛復數的性質：（1）設z＝a＋bi（a，b∈R），則z·＝a2＋b2；（2）z∈R z＝.
2.緊緊抓住復數相等的充要條件，把復數問題轉化成實數問題是解題的關鍵，正確熟練地進行復數運算是解題的基礎.
【跟蹤訓練】
　已知z∈C，為z的共軛復數，若z·－3i＝1＋3i，求z.
1.若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虛數單位），則a－b＝（　　）
A.5　　　　　　　　B.1
C.0 D.－3
2.已知i是虛數單位，則復數z＝（3＋i）＋（－3－2i）的共軛復數的虛部是（　　）
A.1 B.i
C.－1 D.－i
3.（2024·南通月考）定義一種運算：＝ad－bc.則復數的共軛復數是　　　　.
4.若復數z滿足（1＋2i）＝4＋3i，則z＝　　　　.
第1課時　復數的加法、減法、乘法運算
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.（a＋c）＋（b＋d）i　2.（1）z2＋z1　（2）z1＋（z2＋z3）
知識點二
1.（a＋bi）－（c＋di）　2.（a－c）＋（b－d）i
想一想
　提示：實部與虛部分別相加（減）.
知識點三
1.（ac－bd）＋（bc＋ad）i　2.（1）z2z1　（2）z1（z2z3）　（3）z1z2＋z1z3
想一想
1.提示：復數的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必須在所得結果中把i2換成－1，再把實部、虛部分別合并.
2.提示：仍然成立，乘法公式也適用.
知識點四
1.（1）相等　互為相反數　（2）a－bi　
2.它本身
自我診斷
1.BC　對于A，復數與復數相加減后結果為確定的復數，故A錯誤；B、C正確；對于D，根據復數的運算法則可知（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）是成立的，故D錯誤.故選B、C.
2.B　根據復數的加法法則得z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝6.故選B.
3.3－2i　13　解析：＝3－2i，z·＝（3＋2i）（3－2i）＝9－4i2＝9＋4＝13.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）－10i　（2）－1＋10i　
解析：（1）（5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝（5－2－3）＋[－5＋（－2）－3]i＝－10i.
（2）因為z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，所以 所以 所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i.
跟蹤訓練
1.－2－8i　解析：－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝－i＋1－5i－2－3i＋i－1＝－2－8i.
2.3　解析：由條件知z1＋z2＝a2－2a－3＋（a2－1）i，又z1＋z2是純虛數，所以解得a＝3.
【例2】　（1）C　（2）53＋23i　
解析：（1）∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＞0，則復數2a＋（1－a2）i為實數，∴2a＞0且1－a2＝0，解得a＝1.故選C.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
跟蹤訓練
1.D　（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13－2i.故選D.
2.－1　解析：∵（m2＋i）（1＋mi）＝m2－m＋（m3＋1）i是實數，∴m3＋1＝0，則m＝－1.
【例3】　解：設z＝x＋yi（x，y∈R），則＝x－yi.
∵z·＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i（x＋yi）＝4＋2i，
∴（x2＋y2－2y）＋2xi＝4＋2i.
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
∴z的共軛復數為＝1－3i或＝1＋i.
跟蹤訓練
　解：設z＝a＋bi（a，b∈R），則＝a－bi.
由題意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
則有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
隨堂檢測
1.B　因為（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故選B.
2.A　z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－i，則＝i，復數的虛部為1.故選A.
3.－1－3i　解析：∵＝3i（1＋i）＋2＝－1＋3i，∴其共軛復數為－1－3i.
4.2＋i　解析：設z＝a＋bi（a，b∈R），則＝a－bi.∴（1＋2i）（a－bi）＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，∴解得a＝2，b＝1.∴z＝2＋i.
3 / 3(共54張PPT)
第1課時　
復數的加法、減法、乘法運算
新課程標準解讀 核心素養
1.掌握復數代數形式的加、減運算 數學運算
2.理解復數乘法的運算法則，能進行
復數的乘法運算 數學抽象、數學運算
3.掌握共軛復數的概念及應用 數學抽象、數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　我們知道，任意兩個實數都可以相加，而且實數中的加法運算還
滿足交換律與結合律.
【問題】　復數中的加法滿足交換律與結合律嗎？
知識點一　復數的加法運算及運算律
1. 復數的加法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則（a＋bi）＋
（c＋di）＝ .
即兩個復數相加就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加.
（a＋c）＋（b＋d）i　
2. 復數加法滿足的運算律
對任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交換律：z1＋z2＝ ；
（2）結合律：（z1＋z2）＋z3＝ .
z2＋z1　
z1＋（z2＋z3）　
知識點二　復數的減法運算
1. 復數的差
把滿足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的復數x＋yi（x，y∈R）
叫作復數a＋bi減去c＋di所得的差，記作
.
2. 復數的減法法則
（a＋bi）－（c＋di）＝ .
即兩個復數相減就是把實部與實部、虛部與虛部分別相減.
提醒　復數的減法是加法的逆運算.
（a＋bi）－（c＋
di）　
（a－c）＋（b－d）i　
【想一想】
　對于多個復數相加（減）應該如何運算呢？
提示：實部與虛部分別相加（減）.
知識點三　復數的乘法運算
1. 復數的乘法法則
（a＋bi）（c＋di）＝ .
2. 復數乘法的運算律
對任何z1，z2，z3∈C，有：
（1）交換律：z1z2＝ ；
（2）結合律：（z1z2）z3＝ ；
（3）分配律：z1（z2＋z3）＝ .
提醒　（1）兩個復數的積仍是一個復數；（2）復數的乘法
法則與多項式的乘法法則類似.
（ac－bd）＋（bc＋ad）i　
z2z1　
z1（z2z3）　
z1z2＋z1z3　
【想一想】
1. 復數的乘法與多項式乘法有何不同？
提示：復數的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必須在所
得結果中把i2換成－1，再把實部、虛部分別合并.
2. 多項式乘法的運算律在復數乘法中能否成立？
提示：仍然成立，乘法公式也適用.
知識點四　共軛復數
1. 共軛復數的定義
（1）把實部 、虛部 的兩個復數叫作互為
共軛復數；
（2）記法：復數z＝a＋bi（a，b∈R）的共軛復數記作 ，即
＝ .
2. 共軛數的性質
當復數z＝a＋bi（a，b∈R）的虛部b＝0時，z＝ ，也就是
說，實數的共軛復數是 .
相等　
互為相反數　
a－bi　
它本身　
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 復數與復數相加減后結果只能是實數
B. 在進行復數加減乘的混合運算時，先乘再加減
C. 在進行復數的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加
得虛部
D. 復數的減法不滿足結合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可
能不成立
√
√
解析： 　對于A，復數與復數相加減后結果為確定的復數，故A
錯誤；B、C正確；對于D，根據復數的運算法則可知（z1－z2）－
z3＝z1－（z2＋z3）是成立的，故D錯誤.故選B、C.
2. 已知復數z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝（　　）
A. 8i B. 6
C. 6＋8i D. 6－8i
解析： 　根據復數的加法法則得z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝
6.故選B.
3. 已知z＝3＋2i，則 ＝ ，z· ＝ .
解析： ＝3－2i，z· ＝（3＋2i）（3－2i）＝9－4i2＝9＋4＝13.
3－2i　
13　
√
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 復數的加、減運算
【例1】　（1）（鏈接教科書第123頁例1）計算：（5－5i）＋（－2
－2i）－（3＋3i）＝ ；
解析： （5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝（5－2－
3）＋[－5＋（－2）－3]i＝－10i.
－10i　
（2）設z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，則z1
－z2＝ .
解析： 因為z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以
（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，所以 所以
所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－
（－8）]i＝－1＋10i.
－1＋10i　
通性通法
復數加（減）運算的法則
（1）復數代數形式的加（減）運算實質就是將實部與實部相加
（減），虛部與虛部相加（減）之后分別作為結果的實部與虛
部，因此要準確地提取復數的實部與虛部；
（2）復數的加（減）運算可以類比多項式的運算（類似于合并同類
項）：若有括號，括號優先；若無括號，可以從左到右依次進
行計算.
【跟蹤訓練】
1. －i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝ .
解析：－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝－i＋1－5i－2
－3i＋i－1＝－2－8i.
2. （2024·常州月考）已知復數z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1
＋z2是純虛數，則實數a＝ .
解析：由條件知z1＋z2＝a2－2a－3＋（a2－1）i，又z1＋z2是純虛
數，所以解得a＝3.
－2－8i　
3　
題型二 復數的乘法運算
【例2】　（鏈接教科書第124頁例2、例3）（1）設a∈R，（a＋i）
（1－ai）＞0，則a＝（　C　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： ∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1
－a2）i＞0，則復數2a＋（1－a2）i為實數，∴2a＞0且1－a2
＝0，解得a＝1.故選C.
C
（2）計算：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝ .
解析： （2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i
－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋
33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
53＋23i　
通性通法
復數的乘法運算法則的應用
（1）復數的乘法運算可以把i看作字母，類比多項式的乘法進行，注
意要把i2化為－1，進行最后結果的化簡；
（2）對于能夠使用乘法公式計算的兩個復數的乘法，用乘法公式更
簡便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟蹤訓練】
1. 計算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　）
A. 2－13i B. 13＋2i
C. 13－13i D. －13－2i
解析： 　（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）
＝－13－2i.故選D.
√
2. （2024·無錫月考）若復數（m2＋i）（1＋mi）是實數，則實數m
＝ .
解析：∵（m2＋i）（1＋mi）＝m2－m＋（m3＋1）i是實數，
∴m3＋1＝0，則m＝－1.
－1
題型三 共軛復數及其應用
【例3】　復數z滿足z· ＋2iz＝4＋2i，求復數z的共軛復數.
解：設z＝x＋yi（x，y∈R），則 ＝x－yi.
∵z· ＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i（x＋yi）＝4＋2i，
∴（x2＋y2－2y）＋2xi＝4＋2i.
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
∴z的共軛復數為 ＝1－3i或 ＝1＋i.
通性通法
1. 有關復數z及其共軛復數的題目，注意共軛復數的性質：（1）設z
＝a＋bi（a，b∈R），則z· ＝a2＋b2；（2）z∈R z＝ .
2. 緊緊抓住復數相等的充要條件，把復數問題轉化成實數問題是解題
的關鍵，正確熟練地進行復數運算是解題的基礎.
【跟蹤訓練】
　已知z∈C， 為z的共軛復數，若z· －3i ＝1＋3i，求z.
解：設z＝a＋bi（a，b∈R），則 ＝a－bi.
由題意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
則有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
1. 若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虛數單位），則
a－b＝（　　）
A. 5 B. 1
C. 0 D. －3
解析： 　因為（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，
所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故選B.
√
2. 已知i是虛數單位，則復數z＝（3＋i）＋（－3－2i）的共軛復數的
虛部是（　　）
A. 1 B. i
C. －1 D. －i
解析： 　z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－
i，則 ＝i，復數 的虛部為1.故選A.
√
3. （2024·南通月考）定義一種運算： ＝ad－bc.則復數
的共軛復數是 .
解析：∵ ＝3i（1＋i）＋2＝－1＋3i，∴其共軛復數
為－1－3i.
－1－3i　
4. 若復數z滿足（1＋2i） ＝4＋3i，則z＝ .
解析：設z＝a＋bi（a，b∈R），則 ＝a－bi.∴（1＋2i）（a
－bi）＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即（a＋2b）＋
（2a－b）i＝4＋3i，∴解得a＝2，b＝1.∴z＝2
＋i.
2＋i　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若復數滿足（a＋3i）－（2－i）＝5＋bi（a，b∈R），則a＋b
＝（　　）
A. －4 B. 11
C. －8 D. 5
解析： 　（a＋3i）－（2－i）＝（a－2）＋4i＝5＋bi.
故即所以a＋b＝11.故選B.
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√
2. （2024·鹽城聯盟校期中）復數z＝（1－i）（2＋i）的實部為
（　　）
A. 3i B. 3
C. －i D. －1
解析： 　復數z＝（1－i）（2＋i）＝3－i，其實部為3.故選B.
√
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3. （1－i） （1＋i）＝（　　）
解析： 　（1－i） （1＋i）＝（1－i）（1＋i）（－
＋ i）＝（1－i2） ＝2（－ ＋ i）＝－1＋ i.故
選D.
√
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4. 已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b為實數，則（　　）
A. a＝1，b＝－2 B. a＝－1，b＝2
C. a＝1，b＝2 D. a＝－1，b＝－2
解析： 　由題意知 ＝1＋2i，所以z＋a ＋b＝1－2i＋a（1＋
2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a ＋b＝0，所以a＋b＋
1＋（2a－2）i＝0，所以解得故選
A.
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5. （多選）已知i為虛數單位，復數z1＝3＋4i，z2＝－4＋3i，z3＝1－
i，則（　　）
A. z1＋z3＝4＋3i
B. z1與z2互為共軛復數
C. z1＋z2＋z3為純虛數
D. （z1－z2）z3＝8－6i
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解析： 　對于A，z1＋z3＝3＋4i＋（1－i）＝4＋3i，故A正
確；對于B，復數z1＝3＋4i的共軛復數為 ＝3－4i，故B錯誤；對
于C，z1＋z2＋z3＝3＋4i－4＋3i＋1－i＝6i，故C正確；對于D，因
z1－z2＝7＋i，則（z1－z2）z3＝（7＋i）（1－i）＝8－6i，故D正
確.故選A、C、D.
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6. （多選）給出下列命題，其中是真命題的是（　　）
A. 純虛數z的共軛復數是－z
C. 若z1＋z2∈R，則z1與z2互為共軛復數
√
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解析： 　選項A中，根據共軛復數的定義知是真命題，故A
正確；選項B中，若z1－z2＝0，則z1＝z2，當z1，z2均為實數
時，則有z1＝ ，當z1，z2均為虛數時，z1≠ ，故B錯誤；選
項C中，若z1＋z2∈R，則z1，z2可能均為實數，但不一定相等，
或z1與z2的虛部互為相反數，但實部不一定相等，故C錯誤；選
項D中，若z1－z2＝0，則z1＝z2，所以z1與 互為共軛復數，故
D正確.故選A、D.
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7. 若復數z滿足z＋（5－6i）＝3，則z的虛部為 .
解析：由z＋（5－6i）＝3，得z＝3－（5－6i）＝－2＋6i，故z的
虛部為6.
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8. 已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虛數單位），則a2＋b2
＝ ，ab＝ .
解析：由已知（a＋bi）2＝3＋4i，即a2－b2＋2abi＝3＋4i，得
解得則a2＋b2＝5，ab＝2.
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9. （2024·淮安月考）已知復數z1＝ －2mi，z2＝－m＋
m2i，若z1＋z2＞0，則實數m＝ .
解析：z1＋z2＝（ －2mi）＋（－m＋m2i）＝（
－m）＋（m2－2m）i.因為z1＋z2＞0，所以z1＋z2為實數且大于
0，所以解得m＝2.
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10. 計算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）；
解： （－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i
＝－1－i.
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（2）（ ＋ i）＋（2－i）－（ － i）；
解： （ ＋ i）＋（2－i）－（ － i）
＝ ＋ i＋2－i－ ＋ i
＝（ ＋2－ ）＋（ －1＋ ）i
＝1＋i.
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（3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2，z1z2.
解： z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）
＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i.
z1z2＝（2＋3i）（－1＋2i）
＝－2＋4i－3i＋6i2
＝－2＋i－6
＝－8＋i.
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11. 據記載，歐拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R）是由瑞士著名數學
家歐拉發現的，該公式被譽為“數學中的天橋”.特別是當x＝π
時，得到一個令人著迷的優美恒等式，這個恒等式將數學中五個
重要的數（自然對數的底數e，圓周率π，虛數單位i，自然數1和
0）聯系到了一起，有些數學家評價它是“最完美的公式”.根據
歐拉公式，若復數z＝ 的共軛復數為 ，則 ＝（　　）
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解析： 　由歐拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R），得z＝ ＝
cos ＋i sin ＝－ ＋ i，根據共軛復數定義可知 ＝－ －
i.故選A.
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12. （多選）若復數z滿足z＋2 ＝9＋4i（i為虛數單位），則
（　　）
B. z＝3＋4i
C. z＝3－4i
解析： 　設z＝x＋yi（x，y∈R），∵z＋2 ＝9＋4i，∴x
＋yi＋2（x－yi）＝9＋4i，即3x－yi＝9＋4i，
∴∴∴z＝3－4i， ＝3＋4i，∴z ＝（3＋
4i）（3－4i）＝9－16i2＝9＋16＝25.故選A、C、D.
√
√
√
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解析：把 ＋ i代入方程，得a ＋b ＋1＝0，
即 ＋ i＝0，所以
即解得
13. （2024·揚州月考）已知 ＋ i是實系數一元二次方程ax2＋bx＋1
＝0的一個根，則a＝ ，b＝ .
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－ 　
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14. 已知復數z＝（1－i）2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i（a，
b∈R），求b＋ai的共軛復數.
解：z＝（1－i）2＋1＋3i
＝－2i＋1＋3i
＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，
得（1＋i）2＋a（1＋i）＋b＝1－i，
∴a＋b＋i（a＋2）＝1－i（a，b∈R），
∴解得
∴b＋ai＝4－3i，
則b＋ai的共軛復數是4＋3i.
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15. 已知復數z＝1＋i，實數a，b滿足az＋2bz＝（a＋2z）2成立，
求a，b的值.
解：az＋2bz＝（a＋2b）＋（a＋2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i
＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
∴（a＋2b）＋（a＋2b）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i.
∴
解得或
∴所求實數a＝－2 ，b＝4－3 或a＝2 ，b＝4＋3 .
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