資源簡介

第2課時　復數的乘方與除法運算
1.已知復數z＝＋5i，則z＝（　　）
A.1－7i B.－1＋7i
C.1 D.7i
2.若i為虛數單位，＋＋＋＝（　　）
A.0 B.2i
C.－2i D.4i
3.若復數（a∈R，i為虛數單位）是純虛數，則實數a＝（　　）
A.－6 B.－4
C.4 D.6
4.（2024·徐州月考）若一個復數的實部與虛部互為相反數，則稱此復數為“理想復數”.已知z＝＋bi（a，b∈R）為“理想復數”，則（　　）
A.a－5b＝0
B.3a－5b＝0
C.a＋5b＝0
D.3a＋5b＝0
5.（多選）若x2－x＋1＝0，則x＝（　　）
A.＋i B.－＋i
C.－i D.－－i
6.（多選）設z＝＋i，則下列式子成立的是（　　）
A.z2＝－ B.z3＝－1
C.z2－z＋1＝0 D.z3＝1
7.（2024·鹽城聯盟校期中）若復數z滿足方程i＝1－i，則z＝　　　　.
8.（2024·江蘇啟動中學月考）寫出一個同時滿足①②的復數z＝　　　　.①z2＝；②z R.
9.已知復數z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是實數，則實數b＝　　　　.
10.計算：
（1）（ －＋i）（2－i）（3＋i）；
（2）.
11.（2024·江蘇啟動中學月考）已知f（n）＝（）2n＋（）2n（n∈N*），則集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的個數為（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.（多選）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i為虛數單位，則下列元素屬于集合M的是（　　）
A.（1－i）（1＋i） B.
C. D.（1－i）2
13.已知復數z＝是純虛數，θ∈R，則θ＝　　　　.
14.已知復數z＝2＋i（i是虛數單位）是關于x的實系數方程x2＋px＋q＝0的根.
（1）求p＋q的值；
（2）若復數w＝a＋bi（a，b∈R）滿足zw是實數，且a2＋b2＝20，求復數w.
15.已知ω＝－＋i（i為虛數單位）.
（1）求（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2的值；
（2）求ω2＋的值；
（3）類比i（i2＝－1），探討ω（ω為虛數）的性質，求ωn（n∈Z）的值.
第2課時　復數的乘方與除法運算
1.B　z＝＋5i＝＋5i＝－1＋7i，故選B.
2.A　＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0.故選A.
3.A　因為＝＝為純虛數，所以解得a＝－6.故選A.
4.D　z＝＋bi＝＋bi＝＋（＋b）i.由題意知，＝－－b，則3a＋5b＝0.故選D.
5.AC　由x2－x＋1＝0知，Δ＝1－4＝－3＜0，所以方程無實根，所以在復數范圍內方程x2－x＋1＝0的根為x＝，即x1＝＋i，x2＝－i，故選A、C.
6.ABC　z2＝（＋i）2＝－＋i＝－＋i＝－，故A正確；z3＝（＋i）3＝（＋i）2（＋i）＝（－＋i）（＋i）＝－－＝－1，故B正確，D錯誤；z2－z＋1＝－＋i－－i＋1＝0，故C正確.故選A、B、C.
7.－1＋i　解析：由題意可得＝＝＝－i（1－i）＝－1－i，所以z＝－1＋i.
8.－－i（或－＋i）
解析：因為z R，不妨設z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），由z2＝得（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi＝a－bi，所以解得a＝－，b＝±，所以z＝－－i或z＝－＋i.
9.6　解析：＝＝＝，∵是實數，∴6－b＝0，即b＝6.
10.解：（1）（ －＋i）（2－i）（3＋i）＝（ －＋i）·（7－i）＝＋i.
（2）＝
＝＝＝
＝－2－2i.
11.B　∵f（n）＝（）2n＋（）2n＝［（）2］n＋［（）2］n＝2（－1）n，∴{x｜x＝f（n），n∈N*}＝{2，－2}，∴集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的個數為2.故選B.
12.BC　M＝{m｜m＝in，n∈N}中，n＝4k（k∈N）時，in＝1；n＝4k＋1（k∈N）時，in＝i；n＝4k＋2（k∈N）時，in＝－1；n＝4k＋3（k∈N）時，in＝－i，∴M＝{－1，1，i，－i}.選項A中，（1－i）（1＋i）＝2 M；選項B中，＝＝－i∈M；選項C中，＝＝i∈M；選項D中，（1－i）2＝－2i M.故選B、C.
13.kπ＋（k∈Z）
解析：＝（tan θ－）＋i，因為z＝是純虛數，所以tan θ－＝0，所以θ＝kπ＋（k∈Z）.
14.解：（1）關于x的實系數方程x2＋px＋q＝0的虛根互為共軛復數，所以它的另一根是2－i，根據根與系數的關系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
（2）由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋2b）i∈R，得a＋2b＝0.又a2＋b2＝20，
解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，
因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.
15.解：（1）∵ω＝－＋i，
∴ω2＝－－i＝，ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，
∴（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2＝ω2＋4ω3＋4ω4＋4ω2＋4ω3＋ω4＝5ω2（ω2＋ω＋1）＋3ω3＝3.
（2）由（1）知ω2＋ω＝－1，∴ω2＋＝＝＝ω2＋ω＝－1.
（3）由（1）可知ω2＝－－i＝，ω3＝1，
∴ωn＝
2 / 2第2課時　復數的乘方與除法運算
新課程標準解讀 核心素養
1.進一步熟練掌握復數的乘法運算，了解正整數指數冪的運算律在復數范圍內仍成立 數學抽象、數學運算
2.了解i的冪的周期性 數學抽象
3.理解復數商的定義，能夠進行復數除法運算 數學運算
　　
　　實數范圍內正整數指數冪的運算律在復數范圍內仍然成立， 我們知道i1＝i， i2＝－1.
【問題】　i3， i4， i5， i6， i7， i8， i9， i10， i11， i12分別是多少？從這些數中，你能總結出什么規律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　復數的乘方與in（n∈N*）的周期性
1.復數范圍內冪的運算性質
對任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝　　　　　，（zm）n＝　　　　　，（z1z2）n＝　　　　　.
2.in（n∈N*）的周期性
i4n＝　　，i4n＋1＝　　，i4n＋2＝　　，i4n＋3＝　　.
提醒　（1）復數范圍內正整數指數冪的運算律與實數范圍內正整數指數冪的運算律是一致的；（2）由i的正整數指數冪的含義易知，對于4個連續的正整數a，b，c，d都有ia＋ib＋ic＋id＝0.
知識點二　復數的除法
1.復數的除法
我們把滿足（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi（c＋di≠0）的復數x＋yi（x， y∈R）叫作復數a＋bi除以c＋di所得的商，記作或　　　　　　　　.
2.復數的除法法則
一般地，＝＝　　　　　　　　.
提醒　對復數除法的兩點說明：①實數化：分子、分母同乘以分母的共軛復數c－di，化簡后即得結果，這個過程實際上就是把分母實數化，這與根式除法的分母“有理化”類似；②代數式：注意最后結果要將實部、虛部分開.
1.（多選）下列結論中正確的是（　　）
A.i＋i2＋i3＋i4＝0 B.＝－i
C.＝－i D.＝－i
2.設a是實數，且＋是實數，則a＝（　　）
A.　　　B.1 C.　　　D.2
3.（）2＝　　　　.
題型一 復數的乘方與in（n∈N*）的周期性
【例1】　（1）（鏈接教科書第125頁例4）設ω＝－－i.求證：
①ω2＝；②ω2＋ω＋1＝0；③ω3＝1.
（2）計算：①（1＋i）4；②i＋i2＋i3＋…＋i100.
通性通法
1.進行復數的乘方運算時要靈活運用乘方的運算性質及一些常用的結論：
（a＋bi）2＝a2＋2abi－b2（a，b∈R）；（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）；（1±i）2＝±2i.
2.利用i冪值的周期性解題的技巧
（1）熟記i的冪值的4個結果，當冪指數除以4所得的余數分別是0，1，2，3時，相應的冪值分別為1，i，－1，－i；
（2）對于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
【跟蹤訓練】
1.（－i）3＝（　　）
A.－i B.i
C.－1 D.1
2.（2024·江蘇東海高中月考）已知復數z＝（）2 025，則的虛部為（　　）
A.－1 B.－i
C.1 D.i
題型二 復數的除法運算
【例2】　（1）（鏈接教科書第126頁例5）＝（　　）
A.－＋i B.－i
C.－＋i D.－i
（2）若復數z滿足z（2－i）＝11＋7i（i為虛數單位），則z＝（　　）
A.3＋5i B.3－5i
C.－3＋5i D.－3－5i
通性通法
1.兩個復數代數形式的除法運算的步驟
（1）首先將除式寫為分式；
（2）再將分子、分母同乘以分母的共軛復數；
（3）然后將分子、分母分別進行乘法運算，并將其化為復數的代數形式.
2.常用公式
（1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i.
【跟蹤訓練】
　計算：（1）；
（2）＋－.
題型三 在復數范圍內解方程
【例3】　（鏈接教科書第126頁例6）在復數范圍內解下列方程：
（1）x2＋5＝0；
（2）x2＋4x＋6＝0.
通性通法
　　在復數范圍內，實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法
（1）求根公式法：
①當Δ≥0時，x＝；
②當Δ＜0時，x＝；
（2）利用復數相等的定義求解：設方程的根為x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化簡后利用復數相等的定義求解；
（3）一元二次方程根與系數的關系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝.
【跟蹤訓練】
1.（2024·泰州月考）已知2i－3是關于x的方程x2＋6x＋q＝0（q∈R）的一個根，則該方程的另一個根為（　　）
A.2i＋3 B.－2i－3
C.2i－3 D.－2i＋3
2.已知關于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有實根，求這個實根及實數k的值.
1.（2024·南京月考）已知＝1＋i（i為虛數單位），則復數z＝（　　）
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
2.（多選）方程x2＋3＝0在復數范圍內的解為x＝（　　）
A.1＋i B.1－i
C.－i D.i
3.如果z＝，那么z100＋z50＋1＝　　　　.
4.計算：（1）；
（2）（＋i）5＋＋.
第2課時　復數的乘方與除法運算
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.zm＋n　zmn　　2.1　i　－1　－i
知識點二
1.（a＋bi）÷（c＋di）　2.＋i
自我診斷
1.ABC　對于A，i2＝－1，i3＝（i2）i＝－i，i4＝（i2）2＝1，i＋i2＋i3＋i4＝i＋（－1）＋（－i）＋1＝0，故A正確；對于B，＝＝＝－i，故B正確；對于C，＝＝－i，故C正確；對于D，＝＝＝i，故D錯誤.故選A、B、C.
2.B　∵＋＝＋＝＋i，又∵（＋）∈R，∴＝0，解得a＝1.故選B.
3.i　解析：因為＝＝.所以（）2＝［］2＝＝i.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）證明：①因為ω2＝＝＋i－＝－＋i，＝－＋i，
所以ω2＝.
②ω2＋ω＋1＝（－＋i）＋＋1＝0.
③ω3＝ω·ω2＝（－－i）·＝（－）2－（i）2＝＋＝1.
（2）①（1＋i）4＝[（1＋i）2]2＝（2i）2＝4i2＝－4.
②i＋i2＋i3＋…＋i100＝（i＋i2＋i3＋i4）×25＝0.
跟蹤訓練
1.C　（－i）3＝（－i）2（－i）＝（－－i）（－i）＝－－＝－1.故選C.
2.A　因為＝＝i，又i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以z＝（）2 025＝i2 025＝i506×4＋1＝（i4）506×i＝i，所以＝－i，所以的虛部為－1.故選A.
【例2】　（1）A　（2）A　解析：（1）法一　設＝x＋yi，所以1＋2i＝（3－4i）·（x＋yi），即1＋2i＝（3x＋4y）＋（3y－4x）i，所以解得所以＝－＋i.故選A.
法二　＝＝＝＝－＋i.故選A.
（2）因為z（2－i）＝11＋7i，所以z＝＝＝＝3＋5i.故選A.
跟蹤訓練
　解：（1）法一　＝＝＝－2＋i.
法二　＝
＝＝＝＝－2＋i .
（2）原式＝[（1＋i）2]3·＋[（1－i）2]3·－＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－＝8＋8－16－16i＝－16i.
【例3】　解：（1）因為x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因為（i）2＝（－i）2＝－5，
所以x＝±i，所以方程x2＋5＝0的根為x＝±i.
（2）法一　因為x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2，
因為（i）2＝（－i）2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±i.
法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0無實數根.
在復數范圍內，設方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），
則（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因為b≠0，所以
解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±i.
跟蹤訓練
1.B　根據題意，方程的另一個根為－6－（2i－3）＝－3－2i.故選B.
2.解：設x＝x0是方程的實根，代入方程并整理得（＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0.
由復數相等的條件得＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
∴方程的實根為x＝或－，相應的k的值為－2或2.
隨堂檢測
1.D　因為＝1＋i，所以z＝＝＝＝－1－i.故選D.
2.CD　x2＝－3，解得x＝i或x＝－i.故選C、D.
3.i　解析：z2＝（）2＝i，則z100＋z50＋1＝（z2）50＋（z2）25＋1＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
4.解：（1）原式＝＝
＝＝＝1－i.
（2）（＋i）5＋＋
＝－i·（）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋＋i7＝16（－1＋i）－－i
＝－＋（16－1）i.
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第2課時　
復數的乘方與除法運算
新課程標準解讀 核心素養
1.進一步熟練掌握復數的乘法運算，了解正整數指
數冪的運算律在復數范圍內仍成立 數學抽象、數學
運算
2.了解i的冪的周期性 數學抽象
3.理解復數商的定義，能夠進行復數除法運算 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　實數范圍內正整數指數冪的運算律在復數范圍內仍然成立， 我們
知道i1＝i， i2＝－1.
【問題】　i3， i4， i5， i6， i7， i8， i9， i10， i11， i12分別是多少？
從這些數中，你能總結出什么規律？
知識點一　復數的乘方與in（n∈N*）的周期性
1. 復數范圍內冪的運算性質
對任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝ ，（zm）n
＝ ，（z1z2）n＝ .
zm＋n　
zmn　
　
2. in（n∈N*）的周期性
i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ .
提醒　（1）復數范圍內正整數指數冪的運算律與實數范圍內正整
數指數冪的運算律是一致的；（2）由i的正整數指數冪的含義易
知，對于4個連續的正整數a，b，c，d都有ia＋ib＋ic＋id＝0.
1　
i　
－1　
－i　
知識點二　復數的除法
1. 復數的除法
我們把滿足（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi（c＋di≠0）的復數x
＋yi（x， y∈R）叫作復數a＋bi除以c＋di所得的商，記作
或 .
（a＋bi）÷（c＋di）　
2. 復數的除法法則
一般地， ＝ ＝ 　 ＋ i　.
提醒　對復數除法的兩點說明：①實數化：分子、分母同乘以分母
的共軛復數c－di，化簡后即得結果，這個過程實際上就是把分母
實數化，這與根式除法的分母“有理化”類似；②代數式：注意最
后結果要將實部、虛部分開.
＋ i　
1. （多選）下列結論中正確的是（　　）
A. i＋i2＋i3＋i4＝0 B. ＝－i
C. ＝－i D. ＝－i
√
√
√
解析： 　對于A，i2＝－1，i3＝（i2）i＝－i，i4＝（i2）2＝
1，i＋i2＋i3＋i4＝i＋（－1）＋（－i）＋1＝0，故A正確；對
于B， ＝ ＝ ＝－i，故B正確；對于C， ＝
＝－i，故C正確；對于D， ＝ ＝ ＝i，故D錯
誤.故選A、B、C.
2. 設a是實數，且 ＋ 是實數，則a＝（　　）
A. B. 1 C. D. 2
解析： 　∵ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ i，又∵（
＋ ）∈R，∴ ＝0，解得a＝1.故選B.
√
3. （ ）2＝ .
解析：因為 ＝ ＝ .所以（ ）2＝
［ ］2＝ ＝i.
i　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 復數的乘方與in（n∈N*）的周期性
【例1】　（1）（鏈接教科書第125頁例4）設ω＝－ － i.求證：
①ω2＝ ；②ω2＋ω＋1＝0；③ω3＝1.
解： 證明：①因為ω2＝ ＝ ＋ i－ ＝－ ＋
i， ＝－ ＋ i，
所以ω2＝ .
②ω2＋ω＋1＝（－ ＋ i）＋ ＋1＝0.
③ω3＝ω·ω2＝（－ － i） ＝（－ ）2－（ i）2
＝ ＋ ＝1.
（2）計算：①（1＋i）4；②i＋i2＋i3＋…＋i100.
解： ①（1＋i）4＝[（1＋i）2]2＝（2i）2＝4i2＝－4.
②i＋i2＋i3＋…＋i100＝（i＋i2＋i3＋i4）×25＝0.
通性通法
1. 進行復數的乘方運算時要靈活運用乘方的運算性質及一些常用
的結論：
（a＋bi）2＝a2＋2abi－b2（a，b∈R）；（a＋bi）（a－bi）
＝a2＋b2（a，b∈R）；（1±i）2＝±2i.
2. 利用i冪值的周期性解題的技巧
（1）熟記i的冪值的4個結果，當冪指數除以4所得的余數分別是
0，1，2，3時，相應的冪值分別為1，i，－1，－i；
（2）對于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
【跟蹤訓練】
1. （ － i）3＝（　　）
A. －i B. i
C. －1 D. 1
解析： （ － i）3＝（ － i）2（ － i）＝（－ － i）
（ － i）＝－ － ＝－1.故選C.
√
2. （2024·江蘇東海高中月考）已知復數z＝（ ）2 025，則 的虛部
為（　　）
A. －1 B. －i
C. 1 D. i
解析： 因為 ＝ ＝i，又i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
所以z＝（ ）2 025＝i2 025＝i506×4＋1＝（i4）506×i＝i，所以 ＝－
i，所以 的虛部為－1.故選A.
√
題型二 復數的除法運算
【例2】　（1）（鏈接教科書第126頁例5） ＝（　A　）
A. － ＋ i B. － i
C. － ＋ i D. － i
A
解析： 法一　設 ＝x＋yi，所以1＋2i＝（3－4i）（x
＋yi），即1＋2i＝（3x＋4y）＋（3y－4x）i，所以
解得所以 ＝－ ＋ i.故選A.
法二　 ＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i.故選A.
（2）若復數z滿足z（2－i）＝11＋7i（i為虛數單位），則z＝
（　A　）
A. 3＋5i B. 3－5i
C. －3＋5i D. －3－5i
A
解析：因為z（2－i）＝11＋7i，所以z＝ ＝ ＝ ＝3＋5i.故選A.
通性通法
1. 兩個復數代數形式的除法運算的步驟
（1）首先將除式寫為分式；
（2）再將分子、分母同乘以分母的共軛復數；
（3）然后將分子、分母分別進行乘法運算，并將其化為復數的代
數形式.
2. 常用公式
（1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i.
【跟蹤訓練】
　計算：（1） ；
解： 法一　 ＝ ＝ ＝－2＋i.
法二　 ＝
＝ ＝ ＝ ＝－2＋i .
解：原式＝[（1＋i）2]3· ＋[（1－i）2]3· － ＝
（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－ ＝8＋8－16－16i
＝－16i.
（2） ＋ － .
題型三 在復數范圍內解方程
【例3】　（鏈接教科書第126頁例6）在復數范圍內解下列方程：
（1）x2＋5＝0；
解： 因為x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因為（ i）2＝（－ i）2＝－5，
所以x＝± i，所以方程x2＋5＝0的根為x＝± i.
（2）x2＋4x＋6＝0.
解： 法一　因為x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2，
因為（ i）2＝（－ i）2＝－2，
所以x＋2＝ i或x＋2＝－ i，
即x＝－2＋ i或x＝－2－ i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2± i.
法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6
＝0無實數根.
在復數范圍內，設方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi（a，b∈R且
b≠0），
則（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因為b≠0，所以
解得a＝－2，b＝± .所以x＝－2± i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2± i.
通性通法
　　在復數范圍內，實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的
求解方法
（1）求根公式法：
①當Δ≥0時，x＝ ；
②當Δ＜0時，x＝ ；
（2）利用復數相等的定義求解：設方程的根為x＝m＋ni（m，
n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化簡后利用復數
相等的定義求解；
（3）一元二次方程根與系數的關系仍成立，即x1＋x2＝－ ，x1x2＝
.
【跟蹤訓練】
1. （2024·泰州月考）已知2i－3是關于x的方程x2＋6x＋q＝0
（q∈R）的一個根，則該方程的另一個根為（　　）
A. 2i＋3 B. －2i－3
C. 2i－3 D. －2i＋3
解析： 　根據題意，方程的另一個根為－6－（2i－3）＝－3－
2i.故選B.
√
2. 已知關于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有實根，求這個實根
及實數k的值.
解：設x＝x0是方程的實根，代入方程并整理得（ ＋kx0＋2）＋
（2x0＋k）i＝0.
由復數相等的條件得 ＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
∴方程的實根為x＝ 或－ ，相應的k的值為－2 或2 .
1. （2024·南京月考）已知 ＝1＋i（i為虛數單位），則復數z
＝（　　）
A. 1＋i B. 1－i
C. －1＋i D. －1－i
解析： 　因為 ＝1＋i，所以z＝ ＝ ＝
＝－1－i.故選D.
√
2. （多選）方程x2＋3＝0在復數范圍內的解為x＝（　　）
A. 1＋ i B. 1－ i
C. － i D. i
解析： 　x2＝－3，解得x＝ i或x＝－ i.故選C、D.
√
√
3. 如果z＝ ，那么z100＋z50＋1＝ .
解析：z2＝（ ）2＝i，則z100＋z50＋1＝（z2）50＋（z2）25＋1＝
i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
4. 計算：（1） ；
解： 原式＝ ＝
＝ ＝ ＝1－i.
i　
（2） （ ＋ i）5＋ ＋ .
解： （ ＋ i）5＋ ＋
＝－i·（ ）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋ ＋i7＝
16 （－1＋i）－ －i
＝－ ＋（16 －1）i.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知復數z＝ ＋5i，則z＝（　　）
A. 1－7i B. －1＋7i
C. 1 D. 7i
解析： 　z＝ ＋5i＝ ＋5i＝－1＋7i，故選B.
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√
2. 若i為虛數單位， ＋ ＋ ＋ ＝（　　）
A. 0 B. 2i
C. －2i D. 4i
解析： 　 ＝－i， ＝i， ＝－i， ＝i，∴ ＋ ＋ ＋ ＝0.
故選A.
√
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3. 若復數 （a∈R，i為虛數單位）是純虛數，則實數a＝
（　　）
A. －6 B. －4
C. 4 D. 6
解析： 　因為 ＝ ＝ 為純虛
數，所以解得a＝－6.故選A.
√
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4. （2024·徐州月考）若一個復數的實部與虛部互為相反數，則稱此
復數為“理想復數”.已知z＝ ＋bi（a，b∈R）為“理想復
數”，則（　　）
A. a－5b＝0 B. 3a－5b＝0
C. a＋5b＝0 D. 3a＋5b＝0
解析： 　z＝ ＋bi＝ ＋bi＝ ＋（ ＋b）i.由
題意知， ＝－ －b，則3a＋5b＝0.故選D.
√
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5. （多選）若x2－x＋1＝0，則x＝（　　）
A. ＋ i B. － ＋ i
C. － i D. － － i
解析： 　由x2－x＋1＝0知，Δ＝1－4＝－3＜0，所以方程無實
根，所以在復數范圍內方程x2－x＋1＝0的根為x＝ ，
即x1＝ ＋ i，x2＝ － i，故選A、C.
√
√
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6. （多選）設z＝ ＋ i，則下列式子成立的是（　　）
A. z2＝－ B. z3＝－1
C. z2－z＋1＝0 D. z3＝1
解析：ABC　z2＝（ ＋ i）2＝ － ＋ i＝－ ＋ i＝－ ，故
A正確；z3＝（ ＋ i）3＝（ ＋ i）2（ ＋ i）＝（－ ＋
i）（ ＋ i）＝－ － ＝－1，故B正確，D錯誤；z2－z＋1＝－
＋ i－ － i＋1＝0，故C正確.故選A、B、C.
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7. （2024·鹽城聯盟校期中）若復數z滿足方程 i＝1－i，則z
＝ .
解析：由題意可得 ＝ ＝ ＝－i（1－i）＝－1－i，所
以z＝－1＋i.
－1＋i
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8. （2024·江蘇啟動中學月考）寫出一個同時滿足①②的復數z
＝ .①z2＝ ；②z R.
解析：因為z R，不妨設z＝a＋bi（a，b∈R，b≠0），由z2＝
得（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi＝a－bi，所以解得
a＝－ ，b＝± ，所以z＝－ － i或z＝－ ＋ i.
－ － i（或－ ＋ i）　
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9. 已知復數z1＝3－bi，z2＝1－2i，若 是實數，則實數b＝ .
解析： ＝ ＝ ＝ ，∵ 是實數，
∴6－b＝0，即b＝6.
6　
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10. 計算：
（1）（ － ＋ i）（2－i）（3＋i）；
解： （ － ＋ i）（2－i）（3＋i）＝（ － ＋
i）·（7－i）＝ ＋ i.
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（2） .
解： ＝
＝ ＝ ＝
＝－2－2i.
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11. （2024·江蘇啟動中學月考）已知f（n）＝（ ）2n＋（ ）2n
（n∈N*），則集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的個數為
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
√
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解析： 　∵f（n）＝（ ）2n＋（ ）2n＝［（ ）2］n＋
［（ ）2］n＝2（－1）n，∴{x｜x＝f（n），n∈N*}＝{2，
－2}，∴集合{x｜x＝f（n），n∈N*}中元素的個數為2.故選
B.
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12. （多選）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i為虛數單
位，則下列元素屬于集合M的是（　　）
A. （1－i）（1＋i） B.
C. D. （1－i）2
√
√
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解析： 　M＝{m｜m＝in，n∈N}中，n＝4k（k∈N）時，
in＝1；n＝4k＋1（k∈N）時，in＝i；n＝4k＋2（k∈N）時，
in＝－1；n＝4k＋3（k∈N）時，in＝－i，∴M＝{－1，1，i，
－i}.選項A中，（1－i）（1＋i）＝2 M；選項B中， ＝
＝－i∈M；選項C中， ＝ ＝i∈M；選
項D中，（1－i）2＝－2i M. 故選B、C.
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13. 已知復數z＝ 是純虛數，θ∈R，則θ＝ 　kπ＋
.
解析： ＝（tan θ－ ）＋i，因為z＝
是純虛數，所以tan θ－ ＝0，所以θ＝kπ＋
（k∈Z）.
kπ＋
（k∈Z）　
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14. 已知復數z＝2＋i（i是虛數單位）是關于x的實系數方程x2＋px
＋q＝0的根.
（1）求p＋q的值；
解： 關于x的實系數方程x2＋px＋q＝0的虛根互為共
軛復數，所以它的另一根是2－i，根據根與系數的關系可得
p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
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（2）若復數w＝a＋bi（a，b∈R）滿足zw是實數，且a2＋b2
＝20，求復數w.
解： 由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋
2b）i∈R，得a＋2b＝0.又a2＋b2＝20，
解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，
因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.
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15. 已知ω＝－ ＋ i（i為虛數單位）.
（1）求（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2的值；
解： ∵ω＝－ ＋ i，
∴ω2＝－ － i＝ ，ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，
∴（ω＋2ω2）2＋（2ω＋ω2）2＝ω2＋4ω3＋4ω4＋4ω2＋4ω3＋
ω4＝5ω2（ω2＋ω＋1）＋3ω3＝3.
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（2）求ω2＋ 的值；
解： 由（1）知ω2＋ω＝－1，∴ω2＋ ＝ ＝
＝ω2＋ω＝－1.
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（3）類比i（i2＝－1），探討ω（ω為虛數）的性質，求ωn
（n∈Z）的值.
解： 由（1）可知ω2＝－ － i＝ ，ω3＝1，
∴ωn＝
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謝 謝 觀 看！

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