資源簡介

12.3　復數(shù)的幾何意義
1.復數(shù)z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i（a∈R）對應(yīng)的點在虛軸上，則（　　）
A.a≠2或a≠1　　　　B.a≠2或a≠－1
C.a＝2或a＝0 D.a＝0
2.（2024·常州月考）在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2對應(yīng)的兩個點關(guān)于虛軸對稱，已知z1＝1＋i，則z1z2＝（　　）
A.－2 B.2
C.－2－i D.－2＋i
3.若z＝1＋i，則｜z2－2z｜＝（　　）
A.0 B.1
C. D.2
4.設(shè)復數(shù)z滿足｜z－i｜＝1，z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x，y），則（　　）
A.（x＋1）2＋y2＝1 B.（x－1）2＋y2＝1
C.x2＋（y－1）2＝1 D.x2＋（y＋1）2＝1
5.（多選）（2024·連云港月考）設(shè)復數(shù)z滿足z（1－i）＝2（其中i為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（　　）
A.｜z｜＝
B.復數(shù)z的虛部是i
C.＝－1＋i
D.復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限
6.（多選）已知復數(shù)z＝，則（　　）
A.z2 024是純虛數(shù)
B.｜z＋i｜＝2
C.z的共軛復數(shù)為－i
D.若復數(shù)ω滿足｜ω－z｜＝，則｜ω｜max＝1
7.i是虛數(shù)單位，設(shè)（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則xy＝　　　　，｜x＋yi｜＝　　　　.
8.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z＝，則｜z｜＝　　　　，復數(shù)z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為　　　　.
9.若復數(shù)z＝（a－2）＋（a＋1）i，a∈R對應(yīng)的點位于第二象限，則｜z｜的取值范圍是　　　　.
10.（2024·蘇州期中）已知復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點在第一象限，且｜z｜＝，z2的虛部為2.
（1）求復數(shù)z；
（2）設(shè)復數(shù)z，z2，z－z2在復平面上對應(yīng)點分別為A，B，C，求·的值.
11.△ABC的三個頂點所對應(yīng)的復數(shù)分別為z1，z2，z3，復數(shù)z滿足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，則z對應(yīng)的點是△ABC的（　　）
A.外心 B.內(nèi)心
C.重心 D.垂心
12.（多選）已知復數(shù)z0＝2＋i（i為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為P0，復數(shù)z滿足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列結(jié)論正確的是（　　）
A.P0點的坐標為（2，1）
B.復數(shù)z0的共軛復數(shù)對應(yīng)的點與點P0關(guān)于虛軸對稱
C.復數(shù)z對應(yīng)的點P在一條直線上
D.P0與z對應(yīng)的點P間的距離的最小值為
13.（2024·鎮(zhèn)江月考）設(shè)復數(shù)z1，z2滿足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，則｜z1－z2｜＝　　　　.
14.已知復數(shù)z＝1＋mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且·（3＋i）為純虛數(shù)（是z的共軛復數(shù)）.
（1）設(shè)復數(shù)z1＝，求｜z1｜；
（2）設(shè)復數(shù)z2＝，且復數(shù)z2在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.
15.已知復平面內(nèi)的平行四邊形ABCD中，A點對應(yīng)的復數(shù)為2＋i，向量對應(yīng)的復數(shù)為1＋2i，向量對應(yīng)的復數(shù)為3－i，求：
（1）點C，D對應(yīng)的復數(shù)；
（2）平行四邊形ABCD的面積.
12.3　復數(shù)的幾何意義
1.C　由題意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故選C.
2.A　因為復數(shù)z1，z2對應(yīng)的兩個點關(guān)于虛軸對稱，z1＝1＋i，所以z2＝－1＋i，所以z1z2＝（1＋i）（－1＋i）＝－2.故選A.
3.D　法一　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜（1＋i）2－2（1＋i）｜＝｜2i－2i－2｜＝｜－2｜＝2.故選D.
法二　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜z｜｜z－2｜＝×｜－1＋i｜＝×＝2.故選D.
4.C　依題意z＝x＋yi，代入｜z－i｜＝1，得｜x＋（y－1）i｜＝1，∴＝1，即x2＋（y－1）2＝1.故選C.
5.AD　因為z（1－i）＝2，所以z＝＝＝1＋i，所以｜z｜＝＝，所以A正確；z＝1＋i的虛部為1，所以B錯誤；z＝1＋i的共軛復數(shù)為＝1－i，所以C錯誤；z＝1＋i在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點為（1，1），在第一象限，所以D正確.故選A、D.
6.BC　z＝＝＝＝i.對于A，z2 024＝i2 024＝1，故A錯誤；對于B，｜z＋i｜＝｜i＋i｜＝2，故B正確；對于C，z的共軛復數(shù)為－i，故C正確；對于D，｜ω－z｜＝｜ω－i｜＝的幾何意義為ω在復平面內(nèi)對應(yīng)的點A到點（0，1）的距離為，故｜ω｜max＝1＋＝，故D錯誤.故選B、C.
7.1　　解析：由（1＋i）x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y(tǒng)＝1，∴xy＝1，｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝.
8.　　解析：由題意得，z＝＝＝＝＋i，所以｜z｜＝＝，＝－i，所以復數(shù)z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為.
9.［，3）　解析：復數(shù)z＝（a－2）＋（a＋1）i對應(yīng)的點的坐標為（a－2，a＋1），因為該點位于第二象限，所以解得－1＜a＜2.由條件得｜z｜＝＝＝＝.因為－1＜a＜2，所以｜z｜∈［，3）.
10.解：（1）設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則｜z｜＝，z2＝（a＋bi）2＝（a2－b2）＋2abi，
因為｜z｜＝，z2的虛部為2，所以
解得或
又復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點在第一象限，所以故z＝1＋i.
（2）因為z＝1＋i，所以z2＝（1＋i）2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
·＝（－1，1）·（0，－2）＝－2.
11.A　由復數(shù)模及復數(shù)減法運算的幾何意義，結(jié)合條件可知復數(shù)z對應(yīng)的點P到△ABC的頂點A，B，C距離相等，∴P為△ABC的外心.故選A.
12.ACD　復數(shù)z0＝2＋i（i為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為P0（2，1），因此A正確；復數(shù)z0的共軛復數(shù)2－i對應(yīng)的點（2，－1）與點P0（2，1）關(guān)于虛軸不對稱，因此B不正確；設(shè)點A（1，0），B（0，1），由復數(shù)z滿足｜z－1｜＝｜z－i｜，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，可知復數(shù)z對應(yīng)的點P到點（1，0）與點（0，1）的距離相等，則復數(shù)z對應(yīng)的點P在線段AB的垂直平分線y＝x上，因此C正確；P0（2，1）與z對應(yīng)的點P間的距離的最小值為點P0到直線x－y＝0的距離d＝＝，因此D正確.故選A、C、D.
13.2　解析：法一　設(shè)z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），則由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得＋＝＋＝4.因為z1＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝＋＋＋＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝（）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝
＝＝＝2.
法二　設(shè)z1＝a＋bi（a，b∈R），則z2＝－a＋（1－b）i，則即所以｜z1－z2｜2＝（2a－）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（a＋b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以｜z1－z2｜＝2.
法三　設(shè)z1，z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A，B，O為坐標原點，z1＋z2＝z＝＋i，則z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為P（，1），所以｜z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四邊形法則知四邊形OAPB是邊長為2，一條對角線也為2的菱形，則另一條對角線的長為｜z1－z2｜＝2××2＝2.
14.解：∵z＝1＋mi，∴＝1－mi.
∴·（3＋i）＝（1－mi）（3＋i）＝（3＋m）＋（1－3m）i.
又∵·（3＋i）為純虛數(shù)，
∴解得m＝－3.
∴z＝1－3i.
（1）z1＝＝－－i，
∴｜z1｜＝.
（2）∵z＝1－3i，i2 025＝i2024·i＝i，
∴z2＝＝.
又∵復數(shù)z2在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限，
∴解得a＞.
即實數(shù)a的取值范圍是.
15.解：（1）∵向量對應(yīng)的復數(shù)為1＋2i，向量對應(yīng)的復數(shù)為3－i，
∴向量對應(yīng)的復數(shù)為（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又∵＝＋，
∴點C對應(yīng)的復數(shù)為（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵＝，
∴向量對應(yīng)的復數(shù)為3－i，
即＝（3，－1）.設(shè)D（x，y），
則＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得
∴點D對應(yīng)的復數(shù)為5.
（2）∵·＝｜｜｜｜cos B，
∴cos B＝＝＝.
∵0＜B＜π，∴sin B＝，
∴S四邊形ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7，
∴平行四邊形ABCD的面積為7.
2 / 212.3　復數(shù)的幾何意義
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.理解復平面的實軸、虛軸、復數(shù)的模的概念 數(shù)學抽象
2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義 直觀想象
3.了解復數(shù)加、減運算的幾何意義 直觀想象
19世紀末20世紀初，著名的德國數(shù)學家高斯在證明代數(shù)基本定理時，首次引進“復數(shù)”這個名詞，他把復數(shù)與平面內(nèi)的點一一對應(yīng)起來，創(chuàng)立了復平面，依賴平面內(nèi)的點或有向線段（向量）建立了復數(shù)的幾何基礎(chǔ).
　　復數(shù)的幾何意義，從形的角度表明了復數(shù)的“存在性”，為進一步研究復數(shù)奠定了基礎(chǔ).
【問題】　實數(shù)可用數(shù)軸上的點來表示，類比一下，復數(shù)怎樣來表示呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　復平面及復數(shù)的幾何意義
1.復平面：把建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫作　　　　　，　　軸叫作實軸，　　軸叫作虛軸.實軸上的點都表示實數(shù)，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).
2.復數(shù)的幾何意義
3.復數(shù)的模
復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）對應(yīng)的向量為，則向量的模叫作復數(shù)z＝a＋bi的模（或絕對值），記作　　或　　　　.由模的定義知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　　　.
提醒　復數(shù)模的運算性質(zhì)：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜｜＝；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z＝｜z｜2；③｜z1｜－｜z2｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜.
知識點二　復數(shù)加、減法的幾何意義
1.復數(shù)加、減法的幾何意義
設(shè)向量，分別與復數(shù)a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）對應(yīng)，且，不共線.
復數(shù)加法的幾何意義 以，為兩條鄰邊畫 OZ1ZZ2，則對角線OZ所表示的向量就是與復數(shù)（a＋c）＋（b＋d）i對應(yīng)的向量
復數(shù)減法的幾何意義 從向量的終點指向向量的終點的向量就是復數(shù)z1－z2對應(yīng)的向量
提醒　（1）復數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則；（2）復數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則.
2.復數(shù)的差的模
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則｜z1－z2｜＝，即兩個復數(shù)的差的模就是復平面內(nèi)與這兩個復數(shù)對應(yīng)的兩點間的　　　　.
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示純虛數(shù)
B.若一個數(shù)是實數(shù)，則其存在虛部
C.復數(shù)z＝－i在復平面內(nèi)對應(yīng)點Z的坐標為（0，－1）
D.復數(shù)的模一定是正實數(shù)
2.（2024·揚州中學期中）復數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則z在復平面對應(yīng)的點的坐標為（　　）
A.（0，－1） B.（0，1） C.（－1，0） D.（1，0）
3.已知向量對應(yīng)的復數(shù)為2－3i，向量對應(yīng)的復數(shù)為3－4i，則向量對應(yīng)的復數(shù)的模為　　　　.
題型一 復數(shù)與復平面內(nèi)的點、向量的關(guān)系
【例1】　（1）（鏈接教科書第130頁例1）在復平面內(nèi)，復數(shù)5＋6i，3－2i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則向量對應(yīng)的復數(shù)是（　　）
A.8＋4i B.2＋8i
C.4＋2i D.1＋4i
（2）（鏈接教科書第131頁練習3題）在復平面內(nèi)，實數(shù)x分別取什么值時，復數(shù)z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i對應(yīng)的點Z在：
①第三象限；
②直線x－y－3＝0上.
通性通法
1.利用復數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟
（1）找對應(yīng)關(guān)系：復數(shù)的幾何表示法即復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）可以用復平面內(nèi)的點Z（a，b）來表示，這是解決此類問題的根據(jù)；
（2）列出方程：此類問題可建立復數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程（組）或不等式（組）求解.
2.復數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系
（1）根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應(yīng)的復數(shù)即為向量對應(yīng)的復數(shù)；反之，復數(shù)對應(yīng)的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數(shù)對應(yīng)的向量；
（2）解決復數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的題目時，一般以復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具，實現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.
【跟蹤訓練】
1.復數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量與，則向量表示的復數(shù)是　　　　.
2.求當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－28）i在復平面內(nèi)的對應(yīng)點分別滿足下列條件：
（1）位于第四象限；
（2）位于x軸的負半軸上.
題型二 復數(shù)的模及其幾何意義的應(yīng)用
【例2】　（鏈接教科書第130頁例2、例3）已知復數(shù)z1＝＋i，z2＝－＋i.
（1）求｜z1｜及｜z2｜并比較大小；
（2）設(shè)z∈C，滿足條件｜z｜＝｜z1｜的復數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是什么圖形？
【母題探究】
　（變條件，變設(shè)問）若本例（2）改為：設(shè)z∈C，滿足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的復數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是什么圖形？
通性通法
1.在計算復數(shù)的模時，應(yīng)先把復數(shù)表示成標準的代數(shù)形式，找出復數(shù)的實部和虛部，然后再利用模的公式進行計算，兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的模可以比較大小.
2.解決復數(shù)的模的幾何意義的問題，應(yīng)把握兩個關(guān)鍵點：（1）復數(shù)z的模｜z｜表示復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點的距離，可依據(jù)｜z｜滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；（2）利用復數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決.
【跟蹤訓練】
1.已知復數(shù)z滿足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)點的集合是（　　）
A.1個圓 B.線段
C.2個點 D.2個圓
2.已知復數(shù)z1＝m＋（m2－2m）i，z2＝1＋（－m2＋3m－1）i，其中m∈R.
（1）若復數(shù)z1為實數(shù)，求實數(shù)m的值；
（2）求｜z1＋z2｜的最小值.
題型三 復數(shù)加、減法的幾何意義
【例3】　如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別對應(yīng)的復數(shù)為0，3＋2i，－2＋4i.
求：（1）及對應(yīng)的復數(shù)；
（2）對應(yīng)的復數(shù)及｜｜.
通性通法
運用復數(shù)加、減運算的幾何意義應(yīng)注意的問題
　　向量加法、減法運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復數(shù).注意向量對應(yīng)的復數(shù)是zB－zA（終點對應(yīng)的復數(shù)減去起點對應(yīng)的復數(shù)）.
【跟蹤訓練】
　已知平行四邊形ABCD中，與對應(yīng)的復數(shù)分別是3＋2i與1＋4i，兩對角線AC與BD相交于O點.
（1）求對應(yīng)的復數(shù)；
（2）求對應(yīng)的復數(shù).
題型四 復數(shù)差的模的幾何意義
【例4】　復數(shù)z滿足｜z＋3＋4i｜＝2，則｜z｜的最大值是（　　）
A.7 B.9
C.3 D.5
通性通法
兩個復數(shù)差的模的幾何意義
（1）｜z－z0｜表示復數(shù)z，z0的對應(yīng)點之間的距離，在應(yīng)用時，要把絕對值號內(nèi)變?yōu)閮蓮蛿?shù)差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0對應(yīng)的點為圓心，r為半徑的圓；
（3）涉及復數(shù)模的最值問題以及點的軌跡問題，均可從兩點間距離公式的復數(shù)表達形式入手進行分析判斷，然后通過幾何方法進行求解.
【跟蹤訓練】
1.若z1＝－1－2i，復數(shù)z滿足方程｜z－z1｜＝4，那么復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點P組成的圖形為（　　）
A.以（－1，－2）為圓心，4為半徑的圓
B.以（－1，－2）為圓心，2為半徑的圓
C.以（1，2）為圓心，4為半徑的圓
D.以（1，2）為圓心，2為半徑的圓
2.已知｜z｜＝1且z∈C，求｜z－2－2i｜（i為虛數(shù)單位）的最小值.
1.（2024·蘇州期中）i是虛數(shù)單位，則復數(shù)（3－i）（4－i）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限　　
C.第三象限 D.第四象限
2.若O為復平面的原點，向量對應(yīng)的復數(shù)是5－4i，向量對應(yīng)的復數(shù)是－5＋4i，則＋對應(yīng)的復數(shù)是（　　）
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
3.若復數(shù)z＝a＋i（a∈R）在復平面內(nèi)對應(yīng)點Z，則｜z｜＝時，點Z與點（1，2）的距離為　　　　.
4.（2024·鹽城南陽中學期中）已知方程z2－2z＋4＝0的兩根為z1，z2，對應(yīng)點為Z1，Z2，求△OZ1Z2的面積.
12.3　復數(shù)的幾何意義
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點一
1.復平面　x　y　3.｜z｜　｜a＋bi｜　
知識點二
2.距離
自我診斷
1.BC　對于A，原點在虛軸上，但對應(yīng)的復數(shù)不是純虛數(shù)，故A錯誤；對于B，若一個數(shù)是實數(shù)，則其虛部存在且為0，故B正確；對于C，復數(shù)z＝－i的實部為0，虛部為－1，故復平面內(nèi)對應(yīng)點Z的坐標為（0，－1），故C正確；對于D，復數(shù)的模可以為0，故D錯誤.故選B、C.
2.B　z＝＝＝i，z在復平面對應(yīng)的點的坐標為（0，1）.故選B.
3.　解析：＝－＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.則｜｜＝｜1－i｜＝＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）C　復數(shù)5＋6i表示的點為A（5，6），復數(shù)3－2i表示的點為B（3，－2），因為C為線段AB的中點，所以C（4，2），故向量對應(yīng)的復數(shù)為4＋2i.故選C.
（2）解：因為x是實數(shù)，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是實數(shù).
①當實數(shù)x滿足
即當－3＜x＜2時，點Z在第三象限.
②z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i對應(yīng)點的坐標為Z（x2＋x－6，x2－2x－15），
當實數(shù)x滿足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0，
即當x＝－2時，點Z在直線x－y－3＝0上.
跟蹤訓練
1.－6－8i　解析：因為復數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量與，所以＝（4，3），＝（－2，－5）.又＝－＝（－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量表示的復數(shù)是－6－8i.
2.解：（1）由題意，知
解得
即－7＜m＜3.
故當－7＜m＜3時，復數(shù)z的對應(yīng)點位于第四象限.
（2）由題意，知
由②得m＝－7或m＝4.
因為m＝－7不適合不等式①，m＝4適合不等式①，
所以m＝4.
故當m＝4時，復數(shù)z的對應(yīng)點位于x軸的負半軸上.
【例2】　解：（1）因為｜z1｜＝｜＋i｜＝＝2，
｜z2｜＝－＋i＝ ＝1，
所以｜z1｜＞｜z2｜.
（2）法一　設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R），則點Z的坐標為（x，y）.
由｜z｜＝｜z1｜＝2，得＝2，即x2＋y2＝4.
所以滿足條件的點Z的集合是以原點為圓心，2為半徑的圓.
法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜｜＝2（O為坐標原點），
所以Z到原點的距離為2.
所以滿足條件的點Z的集合是以原點為圓心，2為半徑的圓.
母題探究
　解：因為｜z1｜＝2，｜z2｜＝1，所以1≤｜z｜≤2，可化為不等式組
設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R），
因為不等式｜z｜≥1的解集是圓x2＋y2＝1上和該圓外部所有點組成的集合，
不等式｜z｜≤2的解集是圓x2＋y2＝4上和該圓內(nèi)部所有點組成的集合，
這兩個集合的交集，就是滿足條件1≤｜z｜≤2的點的集合.
所以滿足條件1≤｜z｜≤2的點Z的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并包括圓環(huán)的邊界，如圖所示.
跟蹤訓練
1.A　由題意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1，因為｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)點的集合是1個圓.故選A.
2.解：（1）由復數(shù)z1為實數(shù)，則m2－2m＝0，解得m＝2或m＝0，
即若復數(shù)z1為實數(shù)，則實數(shù)m的值為2或0.
（2）因為z1＋z2＝（m＋1）＋（m－1）i，
所以｜z1＋z2｜＝＝，
故｜z1＋z2｜的最小值為，此時m＝0.
【例3】　解：因為點A，C對應(yīng)的復數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i，
由復數(shù)的幾何意義知與對應(yīng)的復數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i.
（1）因為＝－＝－（3＋2i）＝－3－2i，
＝＋＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，
所以及對應(yīng)的復數(shù)分別為－3－2i，1＋6i.
（2）因為＝－＝（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i，
所以｜｜＝｜5－2i｜＝＝.
跟蹤訓練
　解：（1）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以＝＋，
于是＝－，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即對應(yīng)的復數(shù)是－2＋2i.
（2）由于＝－，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，所以對應(yīng)的復數(shù)是5.
【例4】　A　由題意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，即復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點與復數(shù)－3－4i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的距離為2，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在復平面內(nèi)的軌跡為如圖所示的圓Q，數(shù)形結(jié)合可知｜z｜的最大值在點P處取得，則其最大值為＋2＝7.故選A.
跟蹤訓練
1.A　設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，由｜z－z1｜＝4，得｜（x＋1）＋（y＋2）i｜＝4，即（x＋1）2＋（y＋2）2＝42＝16，故復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點P組成的圖形是以（－1，－2）為圓心，4為半徑的圓.故選A.
2.解：因為｜z｜＝1且z∈C，作圖如圖，
所以｜z－2－2i｜的幾何意義為單位圓上的點M到復平面內(nèi)的點P（2，2）的距離，
所以｜z－2－2i｜的最小值為｜OP｜－1＝2－1.
隨堂檢測
1.D　z＝（3－i）（4－i）＝12－7i＋i2＝11－7i，z＝11－7i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為（11，－7），它位于第四象限.故選D.
2.C　由復數(shù)的幾何意義，可得＝（5，－4），＝（－5，4），所以＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以＋對應(yīng)的復數(shù)為0.
3.1或　解析：∵｜z｜＝＝，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.當z＝1＋i時，Z為（1，1），兩點間距離為＝1；當z＝－1＋i時，Z為（－1，1），兩點間的距離為＝.
4.解：因為z2－2z＋4＝（z－1）2＋3＝0，所以（z－1）2＝－3，即（）2＝－1，
又因為i2＝－1，所以（）2＝i2，所以＝±i，即z＝1±i.
即方程z2－2z＋4＝0的兩根為z1＝1＋i，z2＝1－i，對應(yīng)點為Z1（1，），Z2（1，－），
所以△OZ1Z2的面積為×1×2＝.
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12.3　復數(shù)的幾何意義
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.理解復平面的實軸、虛軸、復數(shù)的模的概念 數(shù)學抽象
2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義 直觀想象
3.了解復數(shù)加、減運算的幾何意義 直觀想象
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
19世紀末20世紀初，著名的德國數(shù)學家高斯在證明代數(shù)基本定理時，首次引進“復數(shù)”這個名詞，他把復數(shù)與平面內(nèi)的點一一對應(yīng)起來，創(chuàng)立了復平面，依賴平面內(nèi)的點或有向線段（向量）建立了復數(shù)的幾何基礎(chǔ).
　　復數(shù)的幾何意義，從形的角度表明了復數(shù)的“存在
性”，為進一步研究復數(shù)奠定了基礎(chǔ).
【問題】　實數(shù)可用數(shù)軸上的點來表示，類比一下，復數(shù)怎樣來
表示呢？
知識點一　復平面及復數(shù)的幾何意義
1. 復平面：把建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫作
， 軸叫作實軸， 軸叫作虛軸.實軸上的點都表示實
數(shù)，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).
復平
面　
x　
y　
2. 復數(shù)的幾何意義
3. 復數(shù)的模
復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）對應(yīng)的向量為 ，則向量 的模叫
作復數(shù)z＝a＋bi的模（或絕對值），記作 或
.由模的定義知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ .
提醒　復數(shù)模的運算性質(zhì)：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜ ｜＝
；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z ＝｜z｜2；③｜z1｜
－｜z2｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜.
｜z｜　
｜a＋
bi｜　
　
知識點二　復數(shù)加、減法的幾何意義
1. 復數(shù)加、減法的幾何意義
設(shè)向量 ， 分別與復數(shù)a＋bi，c＋di（a，b，c，
d∈R）對應(yīng)，且 ， 不共線.
復數(shù)加法的
幾何意義
復數(shù)減法的
幾何意義
提醒　（1）復數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法
則；（2）復數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則.
2. 復數(shù)的差的模
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則｜z1－z2｜＝
，即兩個復數(shù)的差的模就是復平面內(nèi)與
這兩個復數(shù)對應(yīng)的兩點間的 .
距離　
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示純虛數(shù)
B. 若一個數(shù)是實數(shù)，則其存在虛部
C. 復數(shù)z＝－i在復平面內(nèi)對應(yīng)點Z的坐標為（0，－1）
D. 復數(shù)的模一定是正實數(shù)
√
√
解析： 　對于A，原點在虛軸上，但對應(yīng)的復數(shù)不是純虛數(shù)，故
A錯誤；對于B，若一個數(shù)是實數(shù)，則其虛部存在且為0，故B正確；對于C，復數(shù)z＝－i的實部為0，虛部為－1，故復平面內(nèi)對應(yīng)點Z的坐標為（0，－1），故C正確；對于D，復數(shù)的模可以為0，故D錯誤.故選B、C.
2. （2024·揚州中學期中）復數(shù)z＝ ，其中i為虛數(shù)單位，則z在復
平面對應(yīng)的點的坐標為（　　）
A. （0，－1） B. （0，1）
C. （－1，0） D. （1，0）
解析： 　z＝ ＝ ＝i，z在復平面對應(yīng)的點的坐標為
（0，1）.故選B.
√
3. 已知向量 對應(yīng)的復數(shù)為2－3i，向量 對應(yīng)的復數(shù)為3－4i，
則向量 對應(yīng)的復數(shù)的模為 　 　.
解析： ＝ － ＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.則｜
｜＝｜1－i｜＝ ＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 復數(shù)與復平面內(nèi)的點、向量的關(guān)系
【例1】　（1）（鏈接教科書第130頁例1）在復平面內(nèi)，復數(shù)5＋6i，
3－2i對應(yīng)的點分別為A，B. 若C為線段AB的中點，則向量 對應(yīng)
的復數(shù)是（　　）
A. 8＋4i B. 2＋8i
√
解析： 　復數(shù)5＋6i表示的點為A（5，6），復數(shù)3－2i表示的
點為B（3，－2），因為C為線段AB的中點，所以C（4，
2），故向量 對應(yīng)的復數(shù)為4＋2i.故選C.
C. 4＋2i D. 1＋4i
（2）（鏈接教科書第131頁練習3題）在復平面內(nèi)，實數(shù)x分別取
什么值時，復數(shù)z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i對應(yīng)的點
Z在：
①第三象限；
②直線x－y－3＝0上.
解：因為x是實數(shù)，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是實數(shù).
①當實數(shù)x滿足
即當－3＜x＜2時，點Z在第三象限.
②z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i對應(yīng)點的坐標為Z（x2
＋x－6，x2－2x－15），
當實數(shù)x滿足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0，
即當x＝－2時，點Z在直線x－y－3＝0上.
通性通法
1. 利用復數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟
（1）找對應(yīng)關(guān)系：復數(shù)的幾何表示法即復數(shù)z＝a＋bi（a，
b∈R）可以用復平面內(nèi)的點Z（a，b）來表示，這是解決
此類問題的根據(jù)；
（2）列出方程：此類問題可建立復數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條
件，通過解方程（組）或不等式（組）求解.
2. 復數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系
（1）根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當平面向量的起點在
原點時，向量的終點對應(yīng)的復數(shù)即為向量對應(yīng)的復數(shù)；反
之，復數(shù)對應(yīng)的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線
段，即為復數(shù)對應(yīng)的向量；
（2）解決復數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的題目時，一般以復數(shù)與復平
面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具，實現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、向量
之間的轉(zhuǎn)化.
【跟蹤訓練】
1. 復數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量 與 ，則向量 表示的復
數(shù)是 .
解析：因為復數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量 與 ，所以
＝（4，3）， ＝（－2，－5）.又 ＝ － ＝（－2，－
5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量 表示的復數(shù)是－6－
8i.
－6－8i　
2. 求當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－
28）i在復平面內(nèi)的對應(yīng)點分別滿足下列條件：
（1）位于第四象限；
解： 由題意，知
解得
即－7＜m＜3.
故當－7＜m＜3時，復數(shù)z的對應(yīng)點位于第四象限.
（2）位于x軸的負半軸上.
解： 由題意，知
由②得m＝－7或m＝4.
因為m＝－7不適合不等式①，m＝4適合不等式①，
所以m＝4.
故當m＝4時，復數(shù)z的對應(yīng)點位于x軸的負半軸上.
題型二 復數(shù)的模及其幾何意義的應(yīng)用
【例2】　（鏈接教科書第130頁例2、例3）已知復數(shù)z1＝ ＋i，z2
＝－ ＋ i.
（1）求｜z1｜及｜z2｜并比較大小；
解： 因為｜z1｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2，
｜z2｜＝ － ＋ i ＝ ＝1，
所以｜z1｜＞｜z2｜.
（2）設(shè)z∈C，滿足條件｜z｜＝｜z1｜的復數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是
什么圖形？
解： 法一　設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R），則點Z的坐標為
（x，y）.
由｜z｜＝｜z1｜＝2，得 ＝2，即x2＋y2＝4.
所以滿足條件的點Z的集合是以原點為圓心，2為半徑的圓.
法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜ ｜＝2（O為坐標原點），
所以Z到原點的距離為2.
所以滿足條件的點Z的集合是以原點為圓心，2為半徑的圓.
【母題探究】
　（變條件，變設(shè)問）若本例（2）改為：設(shè)z∈C，滿足｜z2｜≤｜
z｜≤｜z1｜的復數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是什么圖形？
解：因為｜z1｜＝2，｜z2｜＝1，所以1≤｜z｜
≤2，可化為不等式組
設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R），
因為不等式｜z｜≥1的解集是圓x2＋y2＝1上和該圓外部所有點組成的集合，
不等式｜z｜≤2的解集是圓x2＋y2＝4上和該圓內(nèi)部所有點組成的集合，
這兩個集合的交集，就是滿足條件1≤｜z｜≤2的點的集合.
所以滿足條件1≤｜z｜≤2的點Z的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并包括圓環(huán)的邊界，如圖所示.
通性通法
1. 在計算復數(shù)的模時，應(yīng)先把復數(shù)表示成標準的代數(shù)形式，找出復數(shù)
的實部和虛部，然后再利用模的公式進行計算，兩個虛數(shù)不能比較
大小，但它們的模可以比較大小.
2. 解決復數(shù)的模的幾何意義的問題，應(yīng)把握兩個關(guān)鍵點：（1）復數(shù)
z的模｜z｜表示復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點的距離，可依
據(jù)｜z｜滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；（2）利用復數(shù)的
模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決.
【跟蹤訓練】
1. 已知復數(shù)z滿足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)
點的集合是（　　）
A. 1個圓 B. 線段
C. 2個點 D. 2個圓
解析： 　由題意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3
或｜z｜＝－1，因為｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以復數(shù)z在復平
面內(nèi)對應(yīng)點的集合是1個圓.故選A.
√
2. 已知復數(shù)z1＝m＋（m2－2m）i，z2＝1＋（－m2＋3m－1）i，其
中m∈R.
（1）若復數(shù)z1為實數(shù)，求實數(shù)m的值；
解： 由復數(shù)z1為實數(shù)，則m2－2m＝0，解得m＝2或m
＝0，
即若復數(shù)z1為實數(shù)，則實數(shù)m的值為2或0.
（2）求｜z1＋z2｜的最小值.
解： 因為z1＋z2＝（m＋1）＋（m－1）i，
所以｜z1＋z2｜＝ ＝ ，
故｜z1＋z2｜的最小值為 ，此時m＝0.
題型三 復數(shù)加、減法的幾何意義
【例3】　如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，
A，C分別對應(yīng)的復數(shù)為0，3＋2i，－2＋4i.
求：（1） 及 對應(yīng)的復數(shù)；
解：因為點A，C對應(yīng)的復數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i，
由復數(shù)的幾何意義知 與 對應(yīng)的復數(shù)分別為3＋2i，－2＋4i.
（1）因為 ＝－ ＝－（3＋2i）＝－3－2i，
＝ ＋ ＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，
所以 及 對應(yīng)的復數(shù)分別為－3－2i，1＋6i.
（2） 對應(yīng)的復數(shù)及｜ ｜.
解：因為 ＝ － ＝（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i，
所以｜ ｜＝｜5－2i｜＝ ＝ .
通性通法
運用復數(shù)加、減運算的幾何意義應(yīng)注意的問題
　　向量加法、減法運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數(shù)加
法、減法幾何意義的依據(jù).利用加法“首尾相接”和減法“指向被減
數(shù)”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復數(shù).注意向
量 對應(yīng)的復數(shù)是zB－zA（終點對應(yīng)的復數(shù)減去起點對應(yīng)的復數(shù)）.
【跟蹤訓練】
　已知平行四邊形ABCD中， 與 對應(yīng)的復數(shù)分別是3＋2i與1＋
4i，兩對角線AC與BD相交于O點.
（1）求 對應(yīng)的復數(shù)；
解： 由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以 ＝ ＋ ，
于是 ＝ － ，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即
對應(yīng)的復數(shù)是－2＋2i.
（2）求 對應(yīng)的復數(shù).
解： 由于 ＝ － ，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝
5，所以 對應(yīng)的復數(shù)是5.
題型四 復數(shù)差的模的幾何意義
【例4】　復數(shù)z滿足｜z＋3＋4i｜＝2，則｜z｜的最大值是（　　）
A. 7 B. 9
C. 3 D. 5
√
解析： 　由題意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，即
復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點與復數(shù)－3－4i在復平面
內(nèi)對應(yīng)的點的距離為2，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點
在復平面內(nèi)的軌跡為如圖所示的圓Q，數(shù)形結(jié)合可
知｜z｜的最大值在點P處取得，則其最大值為 ＋2＝7.故選A.
通性通法
兩個復數(shù)差的模的幾何意義
（1）｜z－z0｜表示復數(shù)z，z0的對應(yīng)點之間的距離，在應(yīng)用時，要
把絕對值號內(nèi)變?yōu)閮蓮蛿?shù)差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0對應(yīng)的點為圓心，r為半徑的圓；
（3）涉及復數(shù)模的最值問題以及點的軌跡問題，均可從兩點間距離
公式的復數(shù)表達形式入手進行分析判斷，然后通過幾何方法進
行求解.
【跟蹤訓練】
1. 若z1＝－1－2i，復數(shù)z滿足方程｜z－z1｜＝4，那么復數(shù)z在復平
面內(nèi)對應(yīng)的點P組成的圖形為（　　）
A. 以（－1，－2）為圓心，4為半徑的圓
B. 以（－1，－2）為圓心，2為半徑的圓
C. 以（1，2）為圓心，4為半徑的圓
D. 以（1，2）為圓心，2為半徑的圓
√
解析： 　設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，由｜z－z1｜＝4，得｜（x＋
1）＋（y＋2）i｜＝4，即（x＋1）2＋（y＋2）2＝42＝16，故復
數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點P組成的圖形是以（－1，－2）為圓心，4
為半徑的圓.故選A.
2. 已知｜z｜＝1且z∈C，求｜z－2－2i｜（i為虛數(shù)單位）的最小
值.
解：因為｜z｜＝1且z∈C，作圖如圖，
所以｜z－2－2i｜的幾何意義為單位圓上的點M
到復平面內(nèi)的點P（2，2）的距離，
所以｜z－2－2i｜的最小值為｜OP｜－1＝2
－1.
1. （2024·蘇州期中）i是虛數(shù)單位，則復數(shù)（3－i）（4－i）在復平
面內(nèi)對應(yīng)的點位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　z＝（3－i）（4－i）＝12－7i＋i2＝11－7i，z＝11－7i
在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為（11，－7），它位于第四象限.故選D.
√
2. 若O為復平面的原點，向量 對應(yīng)的復數(shù)是5－4i，向量 對
應(yīng)的復數(shù)是－5＋4i，則 ＋ 對應(yīng)的復數(shù)是（　　）
A. －10＋8i B. 10－8i
C. 0 D. 10＋8i
解析： 　由復數(shù)的幾何意義，可得 ＝（5，－4）， ＝
（－5，4），所以 ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，
0），所以 ＋ 對應(yīng)的復數(shù)為0.
√
3. 若復數(shù)z＝a＋i（a∈R）在復平面內(nèi)對應(yīng)點Z，則｜z｜＝ 時，
點Z與點（1，2）的距離為 .
解析：∵｜z｜＝ ＝ ，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1
＋i.當z＝1＋i時，Z為（1，1），兩點間距離為
＝1；當z＝－1＋i時，Z為（－1，1），
兩點間的距離為 ＝ .
1或 　
4. （2024·鹽城南陽中學期中）已知方程z2－2z＋4＝0的兩根為z1，
z2，對應(yīng)點為Z1，Z2，求△OZ1Z2的面積.
解：因為z2－2z＋4＝（z－1）2＋3＝0，所以（z－1）2＝－3，即
（ ）2＝－1，
又因為i2＝－1，所以（ ）2＝i2，所以 ＝±i，即z＝1± i.
即方程z2－2z＋4＝0的兩根為z1＝1＋ i，z2＝1－ i，對應(yīng)點
為Z1（1， ），Z2（1，－ ），
所以△OZ1Z2的面積為 ×1×2 ＝ .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 復數(shù)z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i（a∈R）對應(yīng)的點在虛軸
上，則（　　）
A. a≠2或a≠1 B. a≠2或a≠－1
C. a＝2或a＝0 D. a＝0
解析： 　由題意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故選C.
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2. （2024·常州月考）在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2對應(yīng)的兩個點關(guān)于虛軸
對稱，已知z1＝1＋i，則z1z2＝（　　）
A. －2 B. 2
C. －2－i D. －2＋i
解析： 　因為復數(shù)z1，z2對應(yīng)的兩個點關(guān)于虛軸對稱，z1＝1＋i，
所以z2＝－1＋i，所以z1z2＝（1＋i）（－1＋i）＝－2.故選A.
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3. 若z＝1＋i，則｜z2－2z｜＝（　　）
A. 0 B. 1
D. 2
解析： 　法一　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜（1＋i）2－2（1
＋i）｜＝｜2i－2i－2｜＝｜－2｜＝2.故選D.
√
法二　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜z｜｜z－2｜＝ ×｜－1＋
i｜＝ × ＝2.故選D.
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4. 設(shè)復數(shù)z滿足｜z－i｜＝1，z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x，y），
則（　　）
A. （x＋1）2＋y2＝1 B. （x－1）2＋y2＝1
C. x2＋（y－1）2＝1 D. x2＋（y＋1）2＝1
解析： 　依題意z＝x＋yi，代入｜z－i｜＝1，得｜x＋（y－
1）i｜＝1，∴ ＝1，即x2＋（y－1）2＝1.故
選C.
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5. （多選）（2024·連云港月考）設(shè)復數(shù)z滿足z（1－i）＝2（其中i
為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（　　）
B. 復數(shù)z的虛部是i
D. 復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限
√
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解析： 　因為z（1－i）＝2，所以z＝ ＝ ＝1＋
i，所以｜z｜＝ ＝ ，所以A正確；z＝1＋i的虛部為1，
所以B錯誤；z＝1＋i的共軛復數(shù)為 ＝1－i，所以C錯誤；z＝1＋i
在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點為（1，1），在第一象限，所以D正確.故
選A、D.
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6. （多選）已知復數(shù)z＝ ，則（　　）
A. z2 024是純虛數(shù)
B. ｜z＋i｜＝2
C. z的共軛復數(shù)為－i
√
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解析： 　z＝ ＝ ＝ ＝i.對于A，z2 024＝i2 024＝
1，故A錯誤；對于B，｜z＋i｜＝｜i＋i｜＝2，故B正確；對于
C，z的共軛復數(shù)為－i，故C正確；對于D，｜ω－z｜＝｜ω－i｜
＝ 的幾何意義為ω在復平面內(nèi)對應(yīng)的點A到點（0，1）的距離為
，故｜ω｜max＝1＋ ＝ ，故D錯誤.故選B、C.
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解析：由（1＋i）x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y(tǒng)＝1，
∴xy＝1，｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝ .
1　
　
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8. 已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z＝ ，則｜z｜＝ 　 　，復數(shù)z的共軛
復數(shù) 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為 .
解析：由題意得，z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以｜
z｜＝ ＝ ， ＝ － i，所以復數(shù)z的共軛復數(shù) 在
復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為 .
　
　
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解析：復數(shù)z＝（a－2）＋（a＋1）i對應(yīng)的點的坐標為（a－2，
a＋1），因為該點位于第二象限，所以解得－1＜a
＜2.由條件得｜z｜＝ ＝
＝ ＝ .因為－1＜a＜2，所
以｜z｜∈［ ，3）.
［ ，3）　
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10. （2024·蘇州期中）已知復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點在第一象限，
且｜z｜＝ ，z2的虛部為2.
（1）求復數(shù)z；
解： 設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則｜z｜＝
，z2＝（a＋bi）2＝（a2－b2）＋2abi，
因為｜z｜＝ ，z2的虛部為2，所以
解得或
又復數(shù)z在復平面上對應(yīng)的點在第一象限，所以故
z＝1＋i.
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（2）設(shè)復數(shù)z，z2，z－z2在復平面上對應(yīng)點分別為A，B，C，
求 · 的值.
解： 因為z＝1＋i，所以z2＝（1＋i）2＝2i，z－z2＝1
＋i－2i＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
· ＝（－1，1）·（0，－2）＝－2.
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11. △ABC的三個頂點所對應(yīng)的復數(shù)分別為z1，z2，z3，復數(shù)z滿足｜
z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，則z對應(yīng)的點是△ABC的
（　　）
A. 外心 B. 內(nèi)心
C. 重心 D. 垂心
解析： 　由復數(shù)模及復數(shù)減法運算的幾何意義，結(jié)合條件可知
復數(shù)z對應(yīng)的點P到△ABC的頂點A，B，C距離相等，∴P為
△ABC的外心.故選A.
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12. （多選）已知復數(shù)z0＝2＋i（i為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點
為P0，復數(shù)z滿足｜z－1｜＝｜z－i｜，下列結(jié)論正確的是
（　　）
A. P0點的坐標為（2，1）
B. 復數(shù)z0的共軛復數(shù)對應(yīng)的點與點P0關(guān)于虛軸對稱
C. 復數(shù)z對應(yīng)的點P在一條直線上
√
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解析： 　復數(shù)z0＝2＋i（i為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點
為P0（2，1），因此A正確；復數(shù)z0的共軛復數(shù)2－i對應(yīng)的點
（2，－1）與點P0（2，1）關(guān)于虛軸不對稱，因此B不正確；設(shè)
點A（1，0），B（0，1），由復數(shù)z滿足｜z－1｜＝｜z－i｜，
結(jié)合復數(shù)的幾何意義，可知復數(shù)z對應(yīng)的點P到點（1，0）與點
（0，1）的距離相等，則復數(shù)z對應(yīng)的點P在線段AB的垂直平分
線y＝x上，因此C正確；P0（2，1）與z對應(yīng)的點P間的距離的
最小值為點P0到直線x－y＝0的距離d＝ ＝ ，因此D正
確.故選A、C、D.
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13. （2024·鎮(zhèn)江月考）設(shè)復數(shù)z1，z2滿足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2
＝ ＋i，則｜z1－z2｜＝ 　2 　.
解析：法一　設(shè)z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，
y2∈R），則由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得 ＋ ＝ ＋ ＝4.因
為z1＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝ ＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1
＋x2）2＋（y1＋y2）2＝ ＋ ＋ ＋ ＋2x1x2＋2y1y2＝8＋
2x1x2＋2y1y2＝（ ）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所
以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝
＝
＝ ＝2 .
2 　
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法二　設(shè)z1＝a＋bi（a，b∈R），則z2＝ －a＋（1－b）i，則
即所以｜
z1－z2｜2＝（2a－ ）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（ a＋
b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以｜z1－z2｜＝2 .
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法三　設(shè)z1，z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A，B，O為坐標原點，z1
＋z2＝z＝ ＋i，則z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為P（ ，1），所以｜
z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四邊形法則知四邊形OAPB是邊長為2，
一條對角線也為2的菱形，則另一條對角線的長為｜z1－z2｜＝2×
×2＝2 .
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14. 已知復數(shù)z＝1＋mi（i是虛數(shù)單位，m∈R），且 ·（3＋i）為純
虛數(shù)（ 是z的共軛復數(shù)）.
（1）設(shè)復數(shù)z1＝ ，求｜z1｜；
解：∵z＝1＋mi，∴ ＝1－mi.
∴ ·（3＋i）＝（1－mi）（3＋i）＝（3＋m）＋（1－
3m）i.
又∵ ·（3＋i）為純虛數(shù)，
∴解得m＝－3.∴z＝1－3i.
（1）z1＝ ＝－ － i，∴｜z1｜＝ .
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（2）設(shè)復數(shù)z2＝ ，且復數(shù)z2在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一
象限，求實數(shù)a的取值范圍.
解： ∵z＝1－3i，i2 025＝i2024·i＝i，
∴z2＝ ＝ .
又∵復數(shù)z2在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限，
∴解得a＞ .
即實數(shù)a的取值范圍是 .
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15. 已知復平面內(nèi)的平行四邊形ABCD中，A點對應(yīng)的復數(shù)為2＋i，向
量 對應(yīng)的復數(shù)為1＋2i，向量 對應(yīng)的復數(shù)為3－i，求：
（1）點C，D對應(yīng)的復數(shù)；
解： ∵向量 對應(yīng)的復數(shù)為1＋2i，向量 對應(yīng)的復數(shù)為3－i，
∴向量 對應(yīng)的復數(shù)為（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又∵ ＝ ＋ ，∴點C對應(yīng)的復數(shù)為（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵ ＝ ，∴向量 對應(yīng)的復數(shù)為3－i，
即 ＝（3，－1）.設(shè)D（x，y），
則 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得∴點D對應(yīng)的復數(shù)為5.
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（2）平行四邊形ABCD的面積.
解： ∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B，
∴ cos B＝ ＝ ＝ .
∵0＜B＜π，∴ sin B＝ ，
∴S四邊形ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝
7，
∴平行四邊形ABCD的面積為7.
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