資源簡(jiǎn)介

12.4　復(fù)數(shù)的三角形式*
1.復(fù)數(shù)（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式是（　　）
A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160°
C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160°
2.若｜z｜＝2，arg z＝，則復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式為（　　）
A.1－i B.－1－i
C.1＋i D.－1＋i
3.若a＜0，則a的三角形式為（　　）
A.a（cos 0＋isin 0） B.a（cos π＋isin π）
C.－a（cos π＋isin π） D.－a（cos π－isin π）
4.將復(fù)數(shù)i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到向量，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（　　）
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
5.（多選）設(shè)p：兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等，q：z1＝z2，則（　　）
A.p q B.p / q
C.q p D.q / p
6.（多選）已知復(fù)數(shù)z＝cos＋isin，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論中正確的是（　　）
A.｜z｜＝1
B.＝cos＋isin
C.復(fù)數(shù)z是方程x3－1＝0的一個(gè)根
D.復(fù)數(shù)－z的輻角主值為－
7.計(jì)算2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝　　　　.
8.如果θ∈，則復(fù)數(shù)（1＋i）（cos θ＋isin θ）的輻角主值為　　　　.
9.在復(fù)平面內(nèi)，將復(fù)數(shù)＋i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)三角形式為　　　　，代數(shù)形式為　　　　.
10.把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：
（1）4；
（2）2.
11.復(fù)數(shù)z＝cos＋isin是方程x5＋α＝0的一個(gè)根，那么α的值為（　　）
A.＋i B.＋i
C.－－i D.－－i
12.（多選）復(fù)數(shù)cos＋isin經(jīng)過n（n∈N*）次乘方后，所得的復(fù)數(shù)等于它的共軛復(fù)數(shù)，則n的值可以為（　　）
A.3 B.5　
C.11 D.12
13.復(fù)數(shù)z＝（1－i）5，則z的模等于　　　　，輻角主值為　　　　.
14.將tan θ＋i，θ∈表示成三角形式.
15.設(shè)復(fù)數(shù)z1＝＋i，復(fù)數(shù)z2滿足｜z2｜＝2，且z1·在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上，且arg z2∈（0，π），求z2的代數(shù)形式.
12.4　復(fù)數(shù)的三角形式*
1.B　（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）＝（cos 80°＋isin 80°）（cos 80°＋isin 80°）＝cos 160°＋isin 160°.故選B.
2.C　由題意知，z＝2＝1＋i.故選C.
3.C　因?yàn)閍＜0，所以輻角主值為π，故其三角形式為－a（cos π＋isin π）.故選C.
4.A　i＝cos＋isin，將繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為cos＋isin＝＋i.
5.AD　當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等時(shí)，z1＝z2成立；當(dāng)z1＝z2時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，但輻角不一定相等，故p q，q /p.故選A、D.
6.ABC　∵z＝－＋i，∴｜z｜＝＝1，故A正確；∵＝－－i＝cos＋isin，故B正確；∵z3＝cos＋isin＝1，∴z3－1＝0，故C正確；∵－z＝－i，∴復(fù)數(shù)－z的輻角主值為，故D錯(cuò)誤.故選A、B、C.
7.－i　解析：2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝[2（cos 0°＋isin 0°）]÷[2（cos 60°＋isin 60°）]＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.
8.θ＋　解析：（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝··（cos θ＋isin θ）＝［cos（θ＋）＋isin］，∵θ∈，∴θ＋∈，∴該復(fù)數(shù)的輻角主值是θ＋.
9.2（cos 120°＋isin 120°）　－1＋i
解析：由題意知，（＋i）×（cos 90°＋isin 90°）＝2（cos 30°＋isin 30°）×（cos 90°＋isin 90°）＝2（cos 120°＋isin 120°）＝－1＋i.
10.解：（1）4
＝4＝2－2i.
（2）2
＝2
＝－＋i.
11.D　因?yàn)閦＝cos＋isin是方程x5＋α＝0的一個(gè)根，所以α＝－x5＝－（cos＋isin）5＝－cos－isin＝－－i.故選D.
12.BC　由題意，得（cos＋isin）n＝cos＋isin＝cos－isin，由復(fù)數(shù)相等的定義，得結(jié)合各選項(xiàng)，可知n＝5或11.故選B、C.
13.32　　解析：∵（1－i）5＝25＝32（cos ＋isin ）5＝32（cos＋isin）＝32（cos ＋isin ）.∴復(fù)數(shù)z的模為32，輻角主值為.
14.解：tan θ＋i＝＋i＝（sin θ＋icos θ），
∵θ∈，∴cos θ＞0，
∴tan θ＋i＝［cos＋isin］.
15.解：因?yàn)閦1＝＋i＝2（cos＋isin），
設(shè)z2＝2（cos α＋isin α），α∈（0，π），
所以z1·＝2×4（cos 2α＋isin 2α）＝8［cos（2α＋）＋isin］.
由題設(shè)知2α＋＝2kπ＋（k∈Z），
所以α＝kπ＋（k∈Z）.
又α∈（0，π），所以α＝，
所以z2＝2＝－1＋i.
2 / 212.4　復(fù)數(shù)的三角形式*
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象
2.了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義 直觀想象
由復(fù)數(shù)的幾何意義可以知道，復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R），復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）和平面向量之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如果以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在直線為終邊的角為θ，向量的模為r.
【問題】　復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）能否用r，θ來表示呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的三角形式
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的輻角及輻角主值
（1）輻角：以x軸的非負(fù)半軸為　　　　、向量所在的射線（起點(diǎn)是原點(diǎn)O）為終邊的角θ叫作復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角；
（2）輻角主值：適合于　　　　　　的輻角θ的值叫作復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角主值，記作　　　　，即0≤arg z＜2π.
2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式
設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi（z≠0）的輻角為θ，模為r，則z＝　　　　　　　　稱為復(fù)數(shù)z的三角形式.其中r＝，cos θ＝，sin θ＝，而a＋bi稱為復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式.
知識(shí)點(diǎn)二　復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算法則及其幾何意義
1.復(fù)數(shù)三角形式的乘（除）法運(yùn)算法則
設(shè)z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）：
（1）乘法法則：z1z2＝r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝　　　　　 　　　　.
即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，其積的模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模的積，其積的輻角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的和；
（2）除法法則：＝＝　　　　　　　　　　　　.
即兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.
2.復(fù)數(shù)乘（除）法運(yùn)算的三角形式的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角形式的幾何意義
復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為，，把向量繞點(diǎn)O按　　　　方向旋轉(zhuǎn)θ2（如果θ2＜0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角｜θ2｜），再把它的模變?yōu)樵瓉淼摹　”叮玫较蛄浚硎镜膹?fù)數(shù)就是積z1z2.
（2）復(fù)數(shù)除法運(yùn)算三角形式的幾何意義
復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為，，把向量繞點(diǎn)O按　　　　方向旋轉(zhuǎn)θ2，再把它的模變?yōu)樵瓉淼摹　。玫较蛄浚硎镜膹?fù)數(shù)就是商.
【想一想】
對(duì)于多個(gè)復(fù)數(shù)相乘，能得到什么結(jié)論？
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.任意一個(gè)復(fù)數(shù)都有三角形式
B.復(fù)數(shù)的三角形式也可以進(jìn)行四則運(yùn)算
C.任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)的輻角有無數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)輻角相差2π的整數(shù)倍
D.0的輻角主值為0
2.復(fù)數(shù)1＋i的輻角主值為（　　）
A. B.－
C. D.－
3.復(fù)數(shù)－2－2i化為三角形式為　　　　；復(fù)數(shù)3化為代數(shù)形式為　　　　.
題型一 復(fù)數(shù)的輻角及輻角主值
【例1】　（1）（鏈接教科書第134頁(yè)例1）復(fù)數(shù)－i的輻角主值為（　　）
A.　　　　　　　 B.π
C.π D.π
（2）已知z＝1＋i，求復(fù)數(shù)ω＝的模和輻角主值.
通性通法
　　對(duì)于給定的復(fù)數(shù)z＝a＋bi，根據(jù)r＝可以求出該復(fù)數(shù)的模，根據(jù)cos θ＝，sin θ＝就可以確定該復(fù)數(shù)的輻角主值.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知z＝1＋cos θ＋isin θ（π＜θ＜2π），求arg z.
題型二 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式
【例2】　（1）下列復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)三角形式表示的是（　　）
A.
B.－
C.
D.cosπ＋isinπ
（2）（鏈接教科書第135頁(yè)例2）復(fù)數(shù)2＋2i的三角形式為　　　　.
通性通法
將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的步驟
（1）求復(fù)數(shù)的模；
（2）確定輻角所在的象限；
（3）根據(jù)象限求出輻角；
（4）求出復(fù)數(shù)的三角形式.
【跟蹤訓(xùn)練】
　復(fù)數(shù)z＝isin 10°的三角形式是（　　）
A.cos 10°＋isin 10°
B.isin 10°
C.sin 10°（cos 90°＋isin 90°）
D.sin 10°（cos 0°＋isin 0°）
題型三 復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式
【例3】　把下列復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式：
（1）2（cos＋isin）；
（2）8（cos＋isin）.
通性通法
　　把復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式只需將三角函數(shù)計(jì)算求值，然后寫成z＝x＋yi的形式即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
　復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為　　　　.
題型四 復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法運(yùn)算
【例4】　（鏈接教科書第137頁(yè)例4）計(jì)算：
（1）2×（cos＋isin）；
（2）[6（cos 160°＋isin 160°）]÷[（cos 25°＋isin 25°）].
通性通法
　　在進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法運(yùn)算時(shí)，注意先將復(fù)數(shù)化為三角形式，再按法則進(jìn)行運(yùn)算，當(dāng)不要求把計(jì)算結(jié)果化為代數(shù)形式時(shí)，也可以用三角形式表示.
【跟蹤訓(xùn)練】
　計(jì)算：2i÷.
題型五 復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義
【例5】　（鏈接教科書第139頁(yè)習(xí)題8題）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－i對(duì)應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針和順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
通性通法
　　兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2（如果θ2＜0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角｜θ2｜），再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.即z1z2＝r1r2·[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]，當(dāng)z1，z2相除時(shí)，＝·[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）].
【跟蹤訓(xùn)練】
在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)＋i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，然后將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來的2倍，求與所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
1.設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi＝r（cos θ＋isin θ），其中a，b∈R，＝r，arg z＝θ，下列說法正確的是（　　）
A.r＞0，θ∈[0，2π）　　B.r≥0，θ∈（0，2π）
C.r∈R，θ∈（－π，π） D.r≥0，θ∈[0，2π）
2.復(fù)數(shù)－2的輻角主值是（　　）
A. B.π
C.π D.π
3.復(fù)數(shù)z＝1＋i（i為虛數(shù)單位）的三角形式為（　　）
A.z＝（sin 45°＋icos 45°）
B.z＝（cos 45°＋isin 45°）
C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）]
D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）]
4.計(jì)算：（1）8×；
（2）2（cos－isin）÷［（cos＋isin）］.
12.4　復(fù)數(shù)的三角形式*
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.（1）始邊　（2）0≤θ＜2π　arg z　
2.r（cos θ＋isin θ）
知識(shí)點(diǎn)二
1.（1）r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]　（2）[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　
2.（1）逆時(shí)針　r2　（2）順時(shí)針　
想一想
　提示：z1z2…zn＝r1 （cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）·…·rn （cos θn＋isin θn）＝r1r2·…·rn[cos（θ1＋θ2＋…＋θn）＋isin（θ1＋θ2＋…＋θn）].
當(dāng)z1＝z2＝…＝zn＝r（cos θ＋isin θ）時(shí)，[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）.
自我診斷
1.ACD　復(fù)數(shù)的三角形式不能進(jìn)行四則運(yùn)算，故B錯(cuò)誤，A、C、D正確.故選A、C、D.
2.A　1＋i＝（cos＋isin）.故選A.
3.2　＋i　解析：因?yàn)閞＝＝2，所以故arg（－2－2i）＝π＋＝π，從而－2－2i＝2.
3＝3＝＋i.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）D　∵－i＝2＝2（cos＋isinπ），又∵∈[0，2π），故－i的輻角主值為π.
（2）解：∵z＝1＋i，∴ω＝＝＝＝1－i，∴r＝＝，
∴arg z＝.
跟蹤訓(xùn)練
　解：z＝1＋cos θ＋isin θ＝2cos2＋i（2×sincos）＝2cos（cos＋isin）＝－2cos［cos＋isin］.
∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，＜π＋＜2π，
∴arg z＝π＋.
【例2】　（1）D　（2）4　
解析：（1）選項(xiàng)A，cos與isin之間用“－”連接，不是用“＋”連接；選項(xiàng)B，－＜0不符合r≥0要求；選項(xiàng)C，是sinπ與icosπ用“＋”連接而不是cos＋isinπ的形式.故A、B、C均不是復(fù)數(shù)的三角形式.故選D.
（2）∵r＝ ＝4，
∴∴arg z＝，
∴2＋2i＝4.
跟蹤訓(xùn)練
　C　z＝isin 10°＝sin 10°（0＋i）＝sin 10°（cos 90°＋isin 90°）.
【例3】　解：（1）2（cos＋isin）＝2（＋i）＝＋i.
（2）8（cos＋isin）
＝8［cos（－）＋isin（－）］
＝8（－i）＝4－4i .
跟蹤訓(xùn)練
　1－i　解析：（cosπ＋isinπ）＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］＝＝（－i）＝1－i.
【例4】　解：（1）原式＝2（cos＋isin）＝－2i.
（2）原式＝3[cos（160°－25°）＋isin（160°－25°）]
＝3（cos 135°＋isin 135°）＝3＝－3＋3i.
跟蹤訓(xùn)練
　解：2i÷
＝[2（cos 90°＋isin 90°）]÷
＝4（cos 60°＋isin 60°）＝2＋2i.
【例5】　解：因?yàn)?－i＝2
＝2.
所以2（cosπ＋isinπ）×＝2［cos（π＋）＋isin］
＝2
＝2＝3＋i，
2（cosπ＋isinπ）÷（cos＋isin）＝2［cos（π－）＋isin］＝2（cosπ＋isinπ）＝－2i.
故把復(fù)數(shù)3－i對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的復(fù)數(shù)為3＋i，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的復(fù)數(shù)為－2i.
跟蹤訓(xùn)練
　解：＋i＝，
由題意得（cos＋isin）×2（cos＋isin）＝×2［cos（＋）＋isin］
＝3＝3i，
即與所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i.
隨堂檢測(cè)
1.D　由復(fù)數(shù)三角形式的特征知，r≥0，0≤θ＜2π.∴D正確，A、B、C均不正確，故選D.
2.C　∵－2＝2（ cosπ＋isinπ），∴輻角主值為π，故選C.
3.B　依題意得r＝＝，復(fù)數(shù)z＝1＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，結(jié)合選項(xiàng)知B正確.故選B.
4.解：（1）原式＝8［cos（＋）＋isin］
＝8（cos＋isin）＝－4＋4i.
（2）原式＝2［cos（－）＋isin］÷［（cos＋isin）］＝2［cos（－）＋isin（－）］＝－2i.
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12.4　復(fù)數(shù)的三角形式*
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示，
了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象
2.了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義 直觀想象
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
由復(fù)數(shù)的幾何意義可以知道，復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R），復(fù)平面
內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）和平面向量 之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如果
以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量 所在直線為終邊的角為θ，向量
的模為r.
【問題】　復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）能否用r，θ來表示呢？
知識(shí)點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的三角形式
1. 復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的輻角及輻角主值
（1）輻角：以x軸的非負(fù)半軸為 、向量 所在的射線
（起點(diǎn)是原點(diǎn)O）為終邊的角θ叫作復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角；
（2）輻角主值：適合于 的輻角θ的值叫作復(fù)數(shù)z＝
a＋bi的輻角主值，記作 ，即0≤arg z＜2π.
始邊　
0≤θ＜2π　
arg z　
2. 復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式
設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi（z≠0）的輻角為θ，模為r，則z＝
稱為復(fù)數(shù)z的三角形式.其中r＝ ， cos θ
＝ ， sin θ＝ ，而a＋bi稱為復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式.
r（ cos
θ＋i sin θ）　
知識(shí)點(diǎn)二　復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算法則及其幾何意義
1. 復(fù)數(shù)三角形式的乘（除）法運(yùn)算法則
設(shè)z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2）：
（1）乘法法則：z1z2＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin
θ2）＝ .
即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，其積的模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模的積，其積
的輻角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的和；
r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　
（2）除法法則： ＝ ＝ 　 [ cos （θ1－θ2）
.
即兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得
的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.
[ cos （θ1－θ2）
＋i sin （θ1－θ2）]　
2. 復(fù)數(shù)乘（除）法運(yùn)算的三角形式的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角形式的幾何意義
復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為 ， ，把向量 繞點(diǎn)O
按 方向旋轉(zhuǎn)θ2（如果θ2＜0，就要把 繞點(diǎn)O
按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角｜θ2｜），再把它的模變?yōu)樵瓉?br/>的 倍，得到向量 ， 表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.
逆時(shí)針　
r2　
（2）復(fù)數(shù)除法運(yùn)算三角形式的幾何意義
復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量為 ， ，把向量 繞點(diǎn)O
按 方向旋轉(zhuǎn)θ2，再把它的模變?yōu)樵瓉淼? ，
得到向量 ， 表示的復(fù)數(shù)就是商 .
順時(shí)針　
　
【想一想】
對(duì)于多個(gè)復(fù)數(shù)相乘，能得到什么結(jié)論？
提示：z1z2…zn＝r1 （ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin
θ2）·…·rn （ cos θn＋i sin θn）＝r1r2·…·rn[ cos （θ1＋θ2＋…＋
θn）＋i sin （θ1＋θ2＋…＋θn）].
當(dāng)z1＝z2＝…＝zn＝r（ cos θ＋i sin θ）時(shí)，[r（ cos θ＋i sin
θ）]n＝rn .
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 任意一個(gè)復(fù)數(shù)都有三角形式
B. 復(fù)數(shù)的三角形式也可以進(jìn)行四則運(yùn)算
C. 任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)的輻角有無數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)輻角相差2π的整
數(shù)倍
D. 0的輻角主值為0
解析： 復(fù)數(shù)的三角形式不能進(jìn)行四則運(yùn)算，故B錯(cuò)誤，A、
C、D正確.故選A、C、D.
√
√
√
2. 復(fù)數(shù)1＋i的輻角主值為（　　）
解析： 　1＋i＝ （ cos ＋i sin ）.故選A.
√
3. 復(fù)數(shù)－2－2i化為三角形式為 ；復(fù)數(shù)
3 化為代數(shù)形式為 　 ＋ i　.
解析：因?yàn)閞＝ ＝2 ，所以
故arg（－2－2i）＝π＋ ＝ π，從而－2－2i
＝2 .
3 ＝3 ＝ ＋ i.
2 　
＋ i　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 復(fù)數(shù)的輻角及輻角主值
【例1】　（1）（鏈接教科書第134頁(yè)例1）復(fù)數(shù) －i的輻角主值為
（　　）
解析：D　∵ －i＝2 ＝2（ cos ＋i sin π），又
∵ ∈[0，2π），故 －i的輻角主值為 π.
√
解：∵z＝1＋i，∴ω＝ ＝ ＝
＝1－i，∴r＝ ＝ ，
∴arg z＝ .
（2）已知z＝1＋i，求復(fù)數(shù)ω＝ 的模和輻角主值.
通性通法
　　對(duì)于給定的復(fù)數(shù)z＝a＋bi，根據(jù)r＝ 可以求出該復(fù)數(shù)的
模，根據(jù) cos θ＝ ， sin θ＝ 就可以確定該復(fù)數(shù)的輻角主值.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知z＝1＋ cos θ＋i sin θ（π＜θ＜2π），求arg z.
解：z＝1＋ cos θ＋i sin θ＝2 cos 2 ＋i（2× sin cos ）＝2 cos
＝－2 cos .
∵π＜θ＜2π，∴ ＜ ＜π，
∴ cos ＜0， ＜π＋ ＜2π，
∴arg z＝π＋ .
題型二 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式
【例2】　（1）下列復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)三角形式表示的是（　D　）
解析： 選項(xiàng)A， cos 與i sin 之間用“－”連接，不是用
“＋”連接；選項(xiàng)B，－ ＜0不符合r≥0要求；選項(xiàng)C，是 sin
π與i cos π用“＋”連接而不是 cos ＋i sin π的形式.故A、
B、C均不是復(fù)數(shù)的三角形式.故選D.
D
（2）（鏈接教科書第135頁(yè)例2）復(fù)數(shù)2 ＋2i的三角形式
為 .
解析： ∵r＝ ＝4，∴
∴arg z＝ ，∴2 ＋2i＝4 .
4 　
通性通法
將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的步驟
（1）求復(fù)數(shù)的模；
（2）確定輻角所在的象限；
（3）根據(jù)象限求出輻角；
（4）求出復(fù)數(shù)的三角形式.
【跟蹤訓(xùn)練】
　復(fù)數(shù)z＝i sin 10°的三角形式是（　　）
A. cos 10°＋i sin 10°
B. i sin 10°
C. sin 10°（ cos 90°＋i sin 90°）
D. sin 10°（ cos 0°＋i sin 0°）
解析： 　z＝i sin 10°＝ sin 10°（0＋i）＝ sin 10°（ cos 90°＋i
sin 90°）.
√
題型三 復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式
【例3】　把下列復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式：
（1）2（ cos ＋i sin ）；
解： 2（ cos ＋i sin ）＝2（ ＋ i）＝ ＋i.
（2）8（ cos ＋i sin ）.
解： 8（ cos ＋i sin ）＝8［ cos （－ ）＋i sin （－
）］＝8（ － i）＝4 －4i .
通性通法
　　把復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式只需將三角函數(shù)計(jì)算求值，然后
寫成z＝x＋yi的形式即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
　復(fù)數(shù) 的代數(shù)形式為 .
解析： （ cos π＋i sin π）＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋
π）］＝ ＝ （ － i）＝1－i.
1－i　
題型四 復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法運(yùn)算
【例4】　（鏈接教科書第137頁(yè)例4）計(jì)算：
（1）2 × ；
解： 原式＝2 ＝－2 i.
（2）[6（ cos 160°＋i sin 160°）]÷[（ cos 25°＋i sin 25°）].
解： 原式＝3 [ cos （160°－25°）＋i sin （160°－
25°）]
＝3 （ cos 135°＋i sin 135°）＝3
＝－3＋3i.
通性通法
　　在進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法運(yùn)算時(shí)，注意先將復(fù)數(shù)化為三角
形式，再按法則進(jìn)行運(yùn)算，當(dāng)不要求把計(jì)算結(jié)果化為代數(shù)形式時(shí)，也
可以用三角形式表示.
【跟蹤訓(xùn)練】
　計(jì)算：2i÷ .
解：2i÷
＝[2（ cos 90°＋i sin 90°）]÷
＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i.
題型五 復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義
【例5】　（鏈接教科書第139頁(yè)習(xí)題8題）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－
i對(duì)應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針和順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) ，求所得向量對(duì)應(yīng)
的復(fù)數(shù).
解：因?yàn)?－ i＝2
＝2 .
所以2 ×
＝2
＝2
＝2 ＝3＋ i，
2 ÷
＝2
＝2 ＝－2 i.
故把復(fù)數(shù)3－ i對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 得到的復(fù)數(shù)為3＋
i，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 得到的復(fù)數(shù)為－2 i.
通性通法
　　兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量 ，
，然后把向量 繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2（如果θ2＜0，
就要把 繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角｜θ2｜），再把它的模變?yōu)樵?br/>來的r2倍，得到向量 ， 表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.即z1z2＝
r1r2·[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]，當(dāng)z1，z2相除時(shí)， ＝
·[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）].
【跟蹤訓(xùn)練】
在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù) ＋ i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋
轉(zhuǎn) ，然后將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為原來的2倍，求與所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
解： ＋ i＝ ，
由題意得 （ cos ＋i sin ）×2（ cos ＋i sin ）
＝ ×2
＝3 ＝3i，
即與所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i.
1. 設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi＝r（ cos θ＋i sin θ），其中a，b∈R，
＝r，arg z＝θ，下列說法正確的是（　　）
A. r＞0，θ∈[0，2π） B. r≥0，θ∈（0，2π）
C. r∈R，θ∈（－π，π） D. r≥0，θ∈[0，2π）
解析： 　由復(fù)數(shù)三角形式的特征知，r≥0，0≤θ＜2π.∴D正
確，A、B、C均不正確，故選D.
√
2. 復(fù)數(shù)－2 的輻角主值是（　　）
解析： 　∵－2 ＝2（ cos π＋i sin π），∴輻角主
值為 π，故選C.
√
3. 復(fù)數(shù)z＝1＋i（i為虛數(shù)單位）的三角形式為（　　）
解析： 　依題意得r＝ ＝ ，復(fù)數(shù)z＝1＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在
第一象限，且 cos θ＝ ，因此，arg z＝45°，結(jié)合選項(xiàng)知B正確.
故選B.
√
4. 計(jì)算：（1）8 × ；
解： 原式＝8
＝8（ cos ＋i sin ）＝－4 ＋4 i.
（2）2 （ cos －i sin ）÷［ （ cos ＋i sin ）］.
解： 原式＝2 ÷［ （ cos
＋i sin ）］＝2［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］＝－2i.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
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1. 復(fù)數(shù)（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）的三角形式
是（　　）
A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160°
C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160°
解析： 　（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）
＝（ cos 80°＋i sin 80°）（ cos 80°＋i sin 80°）
＝ cos 160°＋i sin 160°.故選B.
√
2. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，則復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式為（　　）
解析： 　由題意知，z＝2 ＝1＋ i.故選C.
√
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3. 若a＜0，則a的三角形式為（　　）
A. a（ cos 0＋i sin 0）
B. a（ cos π＋i sin π）
C. －a（ cos π＋i sin π）
D. －a（ cos π－i sin π）
解析： 　因?yàn)閍＜0，所以輻角主值為π，故其三角形式為－a
（ cos π＋i sin π）.故選C.
√
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4. 將復(fù)數(shù)i對(duì)應(yīng)的向量 繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) ，得到向量
，則 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（　　）
解析： 　i＝ cos ＋i sin ，將 繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 得
到 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 cos ＋i sin ＝ ＋ i.
√
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5. （多選）設(shè)p：兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等，q：z1＝z2，
則（　　）
A. p q B. p q
C. q p D. q p
解析： 　當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2的模與輻角分別相等時(shí)，z1＝z2成
立；當(dāng)z1＝z2時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，但輻角不一定相等，故
p q，q p.故選A、D.
√
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6. （多選）已知復(fù)數(shù)z＝ cos ＋i sin ，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的結(jié)論中
正確的是（　　）
A. ｜z｜＝1
C. 復(fù)數(shù)z是方程x3－1＝0的一個(gè)根
√
√
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解析： 　∵z＝－ ＋ i，∴｜z｜＝ ＝1，故A正確；
∵ ＝－ － i＝ cos ＋i sin ，故B正確；∵z3＝ cos ＋i sin
＝1，∴z3－1＝0，故C正確；∵－z＝ － i，∴復(fù)數(shù)－z的輻
角主值為 ，故D錯(cuò)誤.故選A、B、C.
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解析：2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝[2（ cos 0°＋i sin
0°）]÷[2（ cos 60°＋i sin 60°）]＝ cos （0°－60°）＋i sin
（0°－60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）＝ － i.
－ i　
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8. 如果θ∈ ，則復(fù)數(shù)（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的輻角主值
為 .
解析：（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ · ·（ cos
θ＋i sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin ］，
∵θ∈ ，∴θ＋ ∈ ，∴該復(fù)數(shù)的輻角主值是θ
＋ .
θ＋ 　
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9. 在復(fù)平面內(nèi)，將復(fù)數(shù) ＋i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
90°，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)三角形式為
，代數(shù)形式為 .
解析：由題意知，（ ＋i）×（ cos 90°＋i sin 90°）
＝2（ cos 30°＋i sin 30°）×（ cos 90°＋i sin 90°）
＝2（ cos 120°＋i sin 120°）
＝－1＋ i.
2（ cos 120°＋i sin
120°）　
－1＋ i　
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10. 把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：
（1）4 ；
解： 4
＝4 ＝2－2 i.
（2）2 .
解： 2 ＝2
＝－ ＋ i.
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11. 復(fù)數(shù)z＝ cos ＋i sin 是方程x5＋α＝0的一個(gè)根，那么α的值為
（　　）
解析： 　因?yàn)閦＝ cos ＋i sin 是方程x5＋α＝0的一個(gè)根，所
以α＝－x5＝－（ cos ＋i sin ）5＝－ cos －i sin ＝－ －
i.故選D.
√
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12. （多選）復(fù)數(shù) cos ＋i sin 經(jīng)過n（n∈N*）次乘方后，所得的復(fù)
數(shù)等于它的共軛復(fù)數(shù)，則n的值可以為（　　）
A. 3 B. 5 C. 11 D. 12
解析： 　由題意，得（ cos ＋i sin ）n＝ cos ＋i sin ＝
cos －i sin ，由復(fù)數(shù)相等的定義，得結(jié)
合各選項(xiàng)，可知n＝5或11.故選B、C.
√
√
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13. 復(fù)數(shù)z＝（1－ i）5，則z的模等于 ，輻角主值為 　 　.
解析：∵（1－ i）5＝25 ＝32（ cos ＋i sin ）5＝
32（ cos ＋i sin ）＝32（ cos ＋i sin ）.∴復(fù)數(shù)z的模為
32，輻角主值為 .
32　
　
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14. 將tan θ＋i，θ∈ 表示成三角形式.
解：tan θ＋i＝ ＋i＝ （ sin θ＋i cos θ），
∵θ∈ ，
∴ cos θ＞0，
∴tan θ＋i＝ .
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15. 設(shè)復(fù)數(shù)z1＝ ＋i，復(fù)數(shù)z2滿足｜z2｜＝2，且z1· 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)
應(yīng)的點(diǎn)在虛軸的負(fù)半軸上，且arg z2∈（0，π），求z2的代數(shù)形式.
解：因?yàn)閦1＝ ＋i＝2 ，
設(shè)z2＝2（ cos α＋i sin α），α∈（0，π），
所以z1· ＝2 ×4（ cos 2α＋i sin 2α）＝
8 .
由題設(shè)知2α＋ ＝2kπ＋ （k∈Z），
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所以α＝kπ＋ （k∈Z）.
又α∈（0，π），
所以α＝ ，
所以z2＝2 ＝－1＋ i.
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