資源簡介

　　
一、復數的有關概念
　　復數的概念是掌握復數的基礎，如虛數、純虛數、復數相等、復數的模等.有關復數的題目不同于實數，應注意根據復數的相關概念解答.
【例1】　已知z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，試求實數m的取值，使：
（1）z是純虛數；
（2）z是實數；
（3）z在復平面內對應的點位于第二象限.
反思感悟
處理復數概念問題的兩個注意點
（1）當復數不是a＋bi（a，b∈R）的形式時，要通過變形化為a＋bi的形式，以便確定其實部和虛部；
（2）求解時，要注意實部和虛部本身對變量的要求，否則容易產生增根.
【跟蹤訓練】
1.若復數z＝1＋i（i為虛數單位），是z的共軛復數，則z2＋的虛部為（　　）
A.0 B.－1
C.1 D.－2
2.已知復數z1＝m＋（4－m2）i（m∈R）和z2＝2cos θ＋（λ＋3sin θ）i（θ∈R），若z1＝z2，則實數λ的取值范圍為　　　　.
二、復數的四則運算
　　復數運算是本章的重要內容，掌握復數的加法、減法、乘法和除法法則是關鍵，注意與多項式的四則運算法則做類比.
【例2】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷2題）已知z＝，則z－＝（　　）
A.－i B.i
C.0 D.1
（2）設z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值.
反思感悟
進行復數代數運算的策略
（1）復數運算的基本思路就是應用運算法則進行計算；
（2）復數的四則運算中含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式.
【跟蹤訓練】
1.（2023·全國甲卷2題）＝（　　）
A.－1 B.1
C.1－i D.1＋i
2.（1＋i）20－（1－i）20＝（　　）
A.－1 024 B.1 024
C.0 D.512
三、復數的幾何意義
　　復數的幾何意義是本章學習的難點，解答此類問題的關鍵是利用復數運算將復數化為a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用復數與復平面內的點、向量之間的關系解題.
【例3】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷1題）在復平面內，（1＋3i）（3－i）對應的點位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）已知復數z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它們在復平面內所對應的點分別為A，B，C.若O為原點，且＝2＋，則a＝　　　　，b＝　　　　.
反思感悟
在復平面內確定復數對應的點的步驟
（1）由復數確定有序實數對，即由z＝a＋bi（a，b∈R）確定有序實數對（a，b）；
（2）由有序實數對（a，b）確定復平面內的點Z（a，b）；
（3）由復平面內的點Z（a，b）確定向量＝（a，b）（O為坐標原點），同時也對應復數z＝a＋bi（a，b∈R）.
【跟蹤訓練】
1.在復平面內，復數z對應的點的坐標是（－1，），則z的共軛復數＝（　　）
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
2.（2024·湖州質檢）已知復數z滿足｜z＋i｜＝1，則｜z＋1｜的最大值為（　　）
A. B.2
C.＋1 D.3
章末復習與總結
【例1】　解：（1）由得m＝3.
∴當m＝3時，z是純虛數.
（2）由
得m＝－1或m＝－2.
∴當m＝－1或m＝－2時，z是實數.
（3）由
得－1＜m＜1－或1＋＜m＜3.
∴當－1＜m＜1－或1＋＜m＜3時，復數z在復平面內對應的點位于第二象限.
跟蹤訓練
1.A　因為z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.
2.［－，7］　解析：由題設及復數相等的定義，知m＝2cos θ，且4－m2＝λ＋3sin θ，消去參數m，得λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4（sin θ－）2－.∵－1≤sin θ ≤1，∴當sin θ＝時，λmin＝－；當sin θ＝－1時，λmax＝7.故－≤λ≤7，即λ∈.
【例2】　（1）A　由題意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故選A.
（2）解：因為z1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i，
＝＝＝＝－i.
跟蹤訓練
1.C　由題意得＝＝＝1－i.故選C.
2.C　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－（－4）5＝0.
【例3】　（1）A　（2）－3　－10　
解析：（1）∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在復平面內對應的點的坐標為（6，8），即（1＋3i）·（3－i）在復平面內對應的點在第一象限.故選A.
（2）∵＝2＋，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋bi），即∴
跟蹤訓練
1.D　∵在復平面內，復數z對應的點的坐標是（－1，），∴z＝－1＋i，則z的共軛復數＝－1－i，故選D.
2.C　設z＝a＋bi，a，b∈R.因為｜z＋i｜＝｜a＋（b＋1）i｜＝1，所以a2＋（b＋1）2＝1，因為｜z＋1｜＝｜a＋1＋bi｜＝，所以｜z＋1｜相當于圓a2＋（b＋1）2＝1上的點到點（－1，0）的距離，所以｜z＋1｜的最大值為圓心（0，－1）到點（－1，0）的距離與圓的半徑1的和，即＋1，故選C.
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章末復習與總結
一、復數的有關概念
　　復數的概念是掌握復數的基礎，如虛數、純虛數、復數相等、復
數的模等.有關復數的題目不同于實數，應注意根據復數的相關概念
解答.
【例1】　已知z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，試求實數
m的取值，使：
（1）z是純虛數；
解： 由得m＝3.
∴當m＝3時，z是純虛數.
（2）z是實數；
解： 由
得m＝－1或m＝－2.
∴當m＝－1或m＝－2時，z是實數.
（3）z在復平面內對應的點位于第二象限.
解： 由
得－1＜m＜1－ 或1＋ ＜m＜3.
∴當－1＜m＜1－ 或1＋ ＜m＜3時，復數z在復平面內對
應的點位于第二象限.
反思感悟
處理復數概念問題的兩個注意點
（1）當復數不是a＋bi（a，b∈R）的形式時，要通過變形化為a
＋bi的形式，以便確定其實部和虛部；
（2）求解時，要注意實部和虛部本身對變量的要求，否則容易產生
增根.
【跟蹤訓練】
1. 若復數z＝1＋i（i為虛數單位）， 是z的共軛復數，則z2＋ 的
虛部為（　　）
A. 0 B. －1 C. 1 D. －2
解析： 　因為z＝1＋i，所以 ＝1－i，所以z2＋ ＝（1＋i）2＋
（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.
√

［－
，7］　
解析：由題設及復數相等的定義，知m＝2 cos θ，且4－m2＝λ＋
3 sin θ，消去參數m，得λ＝4－4 cos 2θ－3 sin θ＝4 sin 2θ－3
sin θ＝4 － .∵－1≤ sin θ ≤1，∴當 sin θ＝ 時，
λmin＝－ ；當 sin θ＝－1時，λmax＝7.故－ ≤λ≤7，即
λ∈ .
二、復數的四則運算
　　復數運算是本章的重要內容，掌握復數的加法、減法、乘法和除
法法則是關鍵，注意與多項式的四則運算法則做類比.
【例2】　（1）（2023·新高考Ⅰ卷2題）已知z＝ ，則z－ ＝
（　　）
A. －i B. i C. 0 D. 1
√
解析： 　由題意，得z＝ ＝ ＝－ i，所
以 ＝ i，所以z－ ＝－ i－ i＝－i.故選A.
解：因為z1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i，
＝ ＝ ＝ ＝ － i.
（2）設z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2， 的值.
反思感悟
進行復數代數運算的策略
（1）復數運算的基本思路就是應用運算法則進行計算；
（2）復數的四則運算中含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看
作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單
的形式.
【跟蹤訓練】
1. （2023·全國甲卷2題） ＝（　　）
A. －1 B. 1 C. 1－i D. 1＋i
解析： 　由題意得 ＝ ＝ ＝1－i.
故選C.
√
2. （1＋i）20－（1－i）20＝（　　）
A. －1 024 B. 1 024 C. 0 D. 512
解析： 　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－
2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－
（－4）5＝0.
√
三、復數的幾何意義
　　復數的幾何意義是本章學習的難點，解答此類問題的關鍵是利用
復數運算將復數化為a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用復數與復平
面內的點、向量之間的關系解題.
【例3】　（1）（2023·新高考Ⅱ卷1題）在復平面內，（1＋3i）（3－
i）對應的點位于（　A　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
A
解析： ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，
∴（1＋3i）（3－i）在復平面內對應的點的坐標為（6，8），
即（1＋3i）（3－i）在復平面內對應的點在第一象限.故選A.
（2）已知復數z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它
們在復平面內所對應的點分別為A，B，C. 若O為原點，且
＝2 ＋ ，則a＝ ，b＝ .
解析： ∵ ＝2 ＋ ，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋
bi），即∴
－3　
－10　
反思感悟
在復平面內確定復數對應的點的步驟
（1）由復數確定有序實數對，即由z＝a＋bi（a，b∈R）確定有序
實數對（a，b）；
（2）由有序實數對（a，b）確定復平面內的點Z（a，b）；
（3）由復平面內的點Z（a，b）確定向量 ＝（a，b）（O為坐
標原點），同時也對應復數z＝a＋bi（a，b∈R）.
【跟蹤訓練】
1. 在復平面內，復數z對應的點的坐標是（－1， ），則z的共軛
復數 ＝（　　）
解析： 　∵在復平面內，復數z對應的點的坐標是（－1，
），∴z＝－1＋ i，則z的共軛復數 ＝－1－ i，故選D.
√
2. （2024·湖州質檢）已知復數z滿足｜z＋i｜＝1，則｜z＋1｜的最
大值為（　　）
B. 2 D. 3
解析： 　設z＝a＋bi，a，b∈R. 因為｜z＋i｜
＝｜a＋（b＋1）i｜＝1，所以a2＋（b＋1）2＝
1，因為｜z＋1｜＝｜a＋1＋bi｜＝
，所以｜z＋1｜相當于圓a2＋
（b＋1）2＝1上的點到點（－1，0）的距離，所
以｜z＋1｜的最大值為圓心（0，－1）到點（－1，
0）的距離與圓的半徑1的和，即 ＋1，
故選C.
√
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