資源簡介

章末檢測（十二）　復數
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.若（2＋i）z＝5，則z的虛部為（　　）
A.－1 B.1
C.－i D.i
2.已知i是虛數單位，若z＝是純虛數，則實數a＝（　　）
A.－2 B.2
C.－ D.
3.復平面內對應復數z＝i（－2＋i）的點位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.在復平面內，復數3＋2i，－2＋3i對應的向量分別是，，其中O是坐標原點，則向量對應的復數為（　　）
A.1＋i B.5－i
C.5－3i D.－5＋i
5.若z＝1＋i，則｜iz＋3｜＝（　　）
A.4 B.4
C.2 D.2
6.已知i為虛數單位，若＝a＋bi（a，b∈R），則ab＝（　　）
A.1 B.
C. D.2
7.已知復數z1＝2＋i，z2在復平面內對應的點在直線x＝1上，且滿足·z2是純虛數，則復數z2＝（　　）
A.1－2i B.1＋2i
C.2－i D.2＋i
8.已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有實根b，且z＝a＋bi，則復數z＝（　　）
A.2－2i B.2＋2i
C.－2＋2i D.－2－2i
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.若復數z滿足（1＋i）·z＝1＋5i（i是虛數單位），則下列說法正確的是（　　）
A.z的虛部為2i
B.z的模為
C.z的共軛復數為3－2i
D.z在復平面內對應的點位于第一象限
10.已知復數z1，z2∈C，下列結論正確的有（　　）
A.＝＋
B.若z1z2＝0，則z1，z2中至少有一個為0
C.｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜
D.若＋＝0，則z1＝z2＝0
11.任何一個復數z＝a＋bi（其中a，b∈R，i為虛數單位）都可以表示成z＝r（cos θ＋isin θ）的形式，通常稱之為復數z的三角形式.法國數學家棣莫弗發現：zn＝[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈N*），我們稱這個結論為棣莫弗定理.根據以上信息，下列說法正確的是（　　）
A.｜z2｜＝｜z｜2
B.當r＝1，θ＝時，z3＝1
C.當r＝1，θ＝時，＝－i
D.當r＝1，θ＝時，若n為偶數，則復數zn為純虛數
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.已知復數z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）對應的復平面內的點分別為Z1和Z2，且⊥（O為坐標平面），則a＝　　　　.
13.已知復數z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，θ∈R，則z1·z2的實部的最大值為　　　　.
14.已知復數z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，則｜z＋1｜的取值范圍為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知復數z1＝2－3i，z2＝.求：
（1）z1z2；（2）.
16.（本小題滿分15分）復數z＝（1＋i）2＋，其中i為虛數單位.
（1）求復數z及｜z｜；
（2）若z2＋a ＋b＝2＋3i，求實數a，b的值.
17.（本小題滿分15分）（1）在復平面內畫出與以下復數z1，z2，z3，z4分別對應的向量，，，，z1＝1，z2＝i，z3＝4＋3i，z4＝4－3i；
（2）求向量，，，的模；
（3）點P1，P2，P3，P4中是否存在兩個點關于實軸對稱？若存在，則它們所對應的復數有什么關系？
18.（本小題滿分17分）已知關于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0.
（1）若方程有實數根，求銳角θ和實數根；
（2）證明：對任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程無純虛數根.
19.（本小題滿分17分）設z是虛數，ω＝z＋是實數，且－1＜ω＜2.
（1）求｜z｜的值及z的實部的取值范圍；
（2）設μ＝，求證：μ為純虛數；
（3）求ω－μ2的最小值.
章末檢測（十二）　復數
1.A　z＝＝＝2－i，所以z的虛部是－1.
2.D　z＝＝＝，又z＝是純虛數，所以所以a＝.故選D.
3.C　z＝i（－2＋i）＝－2i＋i2＝－1－2i，故復平面內對應復數z＝i（－2＋i）的點位于第三象限.故選C.
4.D　由題設＝（3，2），＝（－2，3），則＝－＝（－5，1），所以向量對應的復數為－5＋i.故選D.
5.D　因為z＝1＋i，所以iz＋3＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3｜＝｜2－2i｜＝＝2.故選D.
6.C　i為虛數單位，＝a＋bi（a，b∈R），則＝＝a＋bi，根據復數相等得到所以ab＝＝.故選C.
7.A　由z1＝2＋i，得＝2－i.由z2在復平面內對應的點在直線x＝1上，可設z2＝1＋bi（b∈R），則·z2＝（2－i）（1＋bi）＝2＋b＋（2b－1）i.由·z2是純虛數，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i.
8.A　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故選A.
9.BCD　由（1＋i）·z＝1＋5i，所以z＝＝＝＝＝3＋2i，所以z的虛部為2，故A錯誤；｜z｜＝＝，故B正確；z的共軛復數為3－2i，故C正確；z在復平面內對應的點為（3，2），位于第一象限，故D正確.故選B、C、D.
10.ABC　對于A，因為復數z1，z2∈C，所以設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i ＝（a＋c）－（b＋d）i，＋＝a－bi＋c－di＝（a＋
c）－（b＋d）i，故A正確；對于B，因為z1z2＝0，所以z1，z2中至少有一個為0，故B正確；對于C，因為復數z1，z2∈C，所以設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），z1·z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，｜z1·z2｜＝＝＝｜z1｜·｜z2｜，故C正確；對于D，令z1＝1，z2＝i，顯然＋＝0成立，但是z1＝z2＝0不成立，故D錯誤.故選A、B、C.
11.AC　對于A，z＝r（cos θ＋isin θ），則z2＝r2（cos 2θ＋isin 2θ），可得｜z2｜＝｜r2（cos 2θ＋isin 2θ）｜＝r2，｜z｜2＝｜r（cos θ＋isin θ）｜2＝r2，故A正確；對于B，當r＝1，θ＝時，z3＝（cos θ＋isin θ）3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，故B錯誤；對于C，當r＝1，θ＝時，z＝cos＋isin＝＋i，則＝－i，故C正確；對于D，當r＝1，θ＝時，zn＝（cos θ＋isin θ）n＝cos nθ＋isin nθ＝cos＋isin，取n＝4，則n為偶數，則z4＝cos π＋isin π＝－1不是純虛數，故D錯誤.故選A、C.
12.　解析：依題意可知＝（－3，4），＝（2a，1）.因為⊥，所以·＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝.
13.　解析：z1z2＝（cos θ－i）（sin θ＋i）＝（cos θsin θ＋1）＋（cos θ－sin θ）i，而sin θcos θ＋1＝sin 2θ＋1，故z1z2的實部的最大值為.
14.[0，3]　解析：由復數的模及復數加減運算的幾何意義可知，1≤｜z｜≤2表示如圖所示的圓環，而｜z＋1｜表示復數z的對應點A（a，b）與復數z1＝－1的對應點B（－1，0）之間的距離，即圓環內的點到點B的距離d.由圖易知當A與B重合時，dmin＝0；當點A與點C（2，0）重合時，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3.∴｜z＋1｜的取值范圍是[0，3].
15.解：z2＝＝＝
＝＝1－3i.
（1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i.
（2）＝＝＝＝＋i.
16.解：（1）z＝（1＋i）2＋＝2i＋i（1＋i）＝－1＋3i，
｜z｜＝＝.
（2）由z2＋a＋b＝2＋3i得，
（－1＋3i）2＋a（－1－3i）＋b＝2＋3i，
即（－8－a＋b）＋（－6－3a）i＝2＋3i，
所以解得
17.解：（1）由題意可得如圖所示圖象.
（2）由于，，，的坐標分別為（1，0），（0，1），（4，3），（4，－3），
則向量，，，的模分別為
｜｜＝1，｜｜＝1，｜｜＝＝5，｜｜＝＝5.
（3）點P3（4，3），P4（4，－3）關于實軸對稱，它們所對應的復數4＋3i與4－3i的實部相同，虛部互為相反數，互為共軛復數.
18.解：（1）原方程可化為x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0，
設方程的實數根為x0，則
即又θ是銳角，故θ＝.
（2）證明：假設方程有純虛數根，可設為bi，b≠0，b∈R，則－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0，可得－b2＋b－2＝0，解得b＝，與假設矛盾，所以方程無純虛數根.
19.解：（1）∵z是虛數，∴可設z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋（y－）i，
可得 x2＋y2＝1 ｜z｜＝1，
此時，ω＝2x －＜x＜1，
即z的實部的取值范圍為（－，1）.
（2）證明：μ＝＝＝＝，∵y≠0，∴μ為純虛數.
（3）ω－μ2＝2x－（－i）2，
化簡得ω－μ2＝2（x＋1）＋－3≥ 2－3＝1.
當且僅當x＋1＝，即x＝0時，ω－μ2取得最小值1.
2 / 2(共30張PPT)
章末檢測（十二）　復數
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 若（2＋i）z＝5，則z的虛部為（　　）
A. －1 B. 1
C. －i D. i
解析： 　z＝ ＝ ＝2－i，所以z的虛部是－1.
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2. 已知i是虛數單位，若z＝ 是純虛數，則實數a＝（　　）
A. －2 B. 2
解析： 　z＝ ＝ ＝ ，又z＝ 是
純虛數，所以所以a＝ .故選D.
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3. 復平面內對應復數z＝i（－2＋i）的點位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　z＝i（－2＋i）＝－2i＋i2＝－1－2i，故復平面內對應復
數z＝i（－2＋i）的點位于第三象限.故選C.
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4. 在復平面內，復數3＋2i，－2＋3i對應的向量分別是 ， ，其
中O是坐標原點，則向量 對應的復數為（　　）
A. 1＋i B. 5－i
C. 5－3i D. －5＋i
解析： 　由題設 ＝（3，2）， ＝（－2，3），則 ＝
－ ＝（－5，1），所以向量 對應的復數為－5＋i.故選D.
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5. 若z＝1＋i，則｜iz＋3 ｜＝（　　）
解析： 　因為z＝1＋i，所以iz＋3 ＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－
1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3 ｜＝｜2－2i｜＝
＝2 .故選D.
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6. 已知i為虛數單位，若 ＝a＋bi（a，b∈R），則ab＝（　　）
A. 1
D. 2
解析： 　i為虛數單位， ＝a＋bi（a，b∈R），則 ＝
＝a＋bi，根據復數相等得到所以ab＝ ＝ .故選C.
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7. 已知復數z1＝2＋i，z2在復平面內對應的點在直線x＝1上，且滿足
·z2是純虛數，則復數z2＝（　　）
A. 1－2i B. 1＋2i
C. 2－i D. 2＋i
解析： 　由z1＝2＋i，得 ＝2－i.由z2在復平面內對應的點在直
線x＝1上，可設z2＝1＋bi（b∈R），則 ·z2＝（2－i）（1＋
bi）＝2＋b＋（2b－1）i.由 ·z2是純虛數，得2＋b＝0且2b－
1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i.
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8. 已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有實根b，且z＝a
＋bi，則復數z＝（　　）
A. 2－2i B. 2＋2i
C. －2＋2i D. －2－2i
解析： 　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可
得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋
4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故
選A.
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選
對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 若復數z滿足（1＋i）·z＝1＋5i（i是虛數單位），則下列說法正確
的是（　　）
A. z的虛部為2i
C. z的共軛復數為3－2i
D. z在復平面內對應的點位于第一象限
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解析： 　由（1＋i）·z＝1＋5i，所以z＝ ＝
＝ ＝ ＝3＋2i，所以z的虛部為2，故A錯誤；｜z｜＝
＝ ，故B正確；z的共軛復數為3－2i，故C正確；z在
復平面內對應的點為（3，2），位于第一象限，故D正確.故選B、
C、D.
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10. 已知復數z1，z2∈C，下列結論正確的有（　　）
B. 若z1z2＝0，則z1，z2中至少有一個為0
C. ｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜
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解析： 　對于A，因為復數z1，z2∈C，所以設z1＝a＋bi，
z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋
d）i ＝（a＋c）－（b＋d）i， ＋ ＝a－bi＋c－
di＝（a＋c）－（b＋d）i，故A正確；對于B，因為z1z2＝0，
所以z1，z2中至少有一個為0，故B正確；對于C，因為復數z1，
z2∈C，所以設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
z1·z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，｜z1·z2｜＝
＝ ＝｜
z1｜·｜z2｜，故C正確；對于D，令z1＝1，z2＝i，顯然 ＋ ＝
0成立，但是z1＝z2＝0不成立，故D錯誤.故選A、B、C.
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11. 任何一個復數z＝a＋bi（其中a，b∈R，i為虛數單位）都可以
表示成z＝r（ cos θ＋i sin θ）的形式，通常稱之為復數z的三
角形式.法國數學家棣莫弗發現：zn＝[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝
rn（ cos nθ＋i sin nθ）（n∈N*），我們稱這個結論為棣莫弗定
理.根據以上信息，下列說法正確的是（　　）
A. ｜z2｜＝｜z｜2
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解析： 　對于A，z＝r（ cos θ＋i sin θ），則z2＝r2（ cos
2θ＋i sin 2θ），可得｜z2｜＝｜r2（ cos 2θ＋i sin 2θ）｜＝
r2，｜z｜2＝｜r（ cos θ＋i sin θ）｜2＝r2，故A正確；對于
B，當r＝1，θ＝ 時，z3＝（ cos θ＋i sin θ）3＝ cos 3θ＋i sin
3θ＝ cos π＋i sin π＝－1，故B錯誤；對于C，當r＝1，θ＝
時，z＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，則 ＝ － i，故C正確；
對于D，當r＝1，θ＝ 時，zn＝（ cos θ＋i sin θ）n＝ cos nθ＋i
sin nθ＝ cos ＋i sin ，取n＝4，則n為偶數，則z4＝ cos π＋i sin π
＝－1不是純虛數，故D錯誤.故選A、C.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 已知復數z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）對應的復平面內的點
分別為Z1和Z2，且 ⊥ （O為坐標平面），則a＝ 　 　.
解析：依題意可知 ＝（－3，4）， ＝（2a，1）.因為
⊥ ，所以 · ＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝ .
　
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解析：z1z2＝（ cos θ－i）（ sin θ＋i）＝（ cos θ sin θ＋1）
＋（ cos θ－ sin θ）i，而 sin θ cos θ＋1＝ sin 2θ＋1，故z1z2
的實部的最大值為 .
　
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14. 已知復數z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，則｜z＋1｜的
取值范圍為 .
解析：由復數的模及復數加減運算的幾何意義可
知，1≤｜z｜≤2表示如圖所示的圓環，而｜z＋
1｜表示復數z的對應點A（a，b）與復數z1＝－
1的對應點B（－1，0）之間的距離，即圓環內的
點到點B的距離d.由圖易知當A與B重合時，dmin＝0；當點A與點C（2，0）重合時，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3.∴｜z＋1｜的取值范圍是[0，3].
[0，3]　
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知復數z1＝2－3i，z2＝ .求：
（1）z1z2；
解：z2＝ ＝ ＝
＝ ＝1－3i.
（1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i.
解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
（2） .
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16. （本小題滿分15分）復數z＝（1＋i）2＋ ，其中i為虛數單位.
（1）求復數z及｜z｜；
解： z＝（1＋i）2＋ ＝2i＋i（1＋i）＝－1＋3i，
｜z｜＝ ＝ .
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（2）若z2＋a ＋b＝2＋3i，求實數a，b的值.
解： 由z2＋a ＋b＝2＋3i得，
（－1＋3i）2＋a（－1－3i）＋b＝2＋3i，
即（－8－a＋b）＋（－6－3a）i＝2＋3i，
所以解得
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17. （本小題滿分15分）（1）在復平面內畫出與以下復數z1，z2，
z3，z4分別對應的向量 ， ， ， ，z1＝1，z2＝i，z3
＝4＋3i，z4＝4－3i；
解： 由題意可得如圖所示圖象.
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（2）求向量 ， ， ， 的模；
解： 由于 ， ， ， 的坐標分別為（1，
0），（0，1），（4，3），（4，－3），
則向量 ， ， ， 的模分別為
｜ ｜＝1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ＝5，｜
｜＝ ＝5.
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（3）點P1，P2，P3，P4中是否存在兩個點關于實軸對稱？若存
在，則它們所對應的復數有什么關系？
解： 點P3（4，3），P4（4，－3）關于實軸對稱，它
們所對應的復數4＋3i與4－3i的實部相同，虛部互為相反
數，互為共軛復數.
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18. （本小題滿分17分）已知關于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋
i）＝0.
（1）若方程有實數根，求銳角θ和實數根；
解： 原方程可化為x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0，
設方程的實數根為x0，則
即又θ是銳角，故θ＝ .
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（2）證明：對任意θ≠kπ＋ （k∈Z），方程無純虛數根.
解： 證明：假設方程有純虛數根，可設為bi，b≠0，
b∈R，則－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，即－b2－
ibtan θ＋b－2－i＝0，可得－b2＋b－2＝0，解得b＝
，與假設矛盾，所以方程無純虛數根.
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19. （本小題滿分17分）設z是虛數，ω＝z＋ 是實數，且－1＜ω
＜2.
（1）求｜z｜的值及z的實部的取值范圍；
解： ∵z是虛數，∴可設z＝x＋yi，x，y∈R，且
y≠0，
∴ω＝z＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋
＋（y－ ）i，
可得 x2＋y2＝1 ｜z｜＝1，
此時，ω＝2x － ＜x＜1，即z的實部的取值范圍為（－ ，1）.
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（2）設μ＝ ，求證：μ為純虛數；
解： 證明：μ＝ ＝ ＝ ＝
，∵y≠0，∴μ為純虛數.
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（3）求ω－μ2的最小值.
解： ω－μ2＝2x－（－ i）2，
化簡得ω－μ2＝2（x＋1）＋ －3≥ 2
－3＝1.
當且僅當x＋1＝ ，即x＝0時，ω－μ2取得最小值1.
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