資源簡介

13.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
1.下列幾何體中是棱柱的有（　　）
A.1個　　　　　　　　 B.2個
C.3個 D.4個
2.如圖所示，在三棱臺ABC-A'B'C'中，截去三棱錐A'-ABC，則剩余部分是（　　）
A.三棱錐 B.四棱錐
C.三棱柱 D.四棱柱
3.設集合M＝{正四棱柱}，N＝{長方體}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方體}，則這四個集合之間的關系是（　　）
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
4.一個正棱錐有6個頂點，所有側棱長的和為60，則每條側棱長為（　　）
A.6 B.8
C.10 D.12
5.（多選）給出下列命題，其中為真命題的是（　　）
A.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
B.有的棱臺的側棱長相等
C.在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
D.存在每個面都是直角三角形的四面體
6.（多選）如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是（　　）
7.一個棱臺至少有　　　　個面，面數最少的棱臺有　　　　個頂點，有　　　　條棱.
8.如圖所示的幾何體，下列描述正確的有　　　　（填序號）.
①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到.
9.一個長方體共頂點的三個面的面積分別是，，，則這個長方體對角線的長是　　　　.
10.分別畫出六面體：（1）使它是一個四棱柱；（2）使它由兩個三棱錐組成；（3）使它是五棱錐.
11.一個三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個側面（　　）
A.至多有一個是直角三角形
B.至多有兩個是直角三角形
C.可能都是直角三角形
D.必然都是非直角三角形
12.一個棱錐的各條棱都相等，那么這個棱錐必不是（　　）
A.三棱錐 B.四棱錐
C.五棱錐 D.六棱錐
13.（2024·蘇州月考）如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過點A作截面AEF，則△AEF周長的最小值為　　　　.
14.如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.
（1）折起后形成的幾何體是什么幾何體？
（2）這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？
（3）每個面的三角形面積為多少？
15.如圖，在一個長方體的容器中裝有部分水，現將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中：
（1）水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對嗎？
（2）水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變為棱臺或棱錐，對嗎？
（3）如果傾斜時不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底部的一個頂點，上面的第（1）題和第（2）題對不對？
13.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
1.C　由棱柱的定義，觀察圖形滿足棱柱概念的幾何體有①③⑤，共3個.故選C.
2.B　余下部分是四棱錐A'-BCC'B'.故選B.
3.B　根據定義知，正方體是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的長方體，長方體是特殊的直四棱柱，所以{正方體} {正四棱柱} {長方體} {直四棱柱}，故選B.
4.D　因為此正棱錐有6個頂點，所以此正棱錐為正五棱錐.又正棱錐的側棱都相等，五條側棱長的和為60，可知每條側棱長為12.
5.BCD　A不正確，根據棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；易知B正確；C正確，因為過兩個相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形.故選B、C、D.
6.BC　A圖還原成正方體后，①⑤對面，②④對面，③⑥對面；B圖還原成正方體后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；C圖還原成正方體后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；D圖還原成正方體后，①⑥對面，②⑤對面，③④對面.綜上可得，還原成正方體后，正方體完全一樣的是B、C.
7.5　6　9　解析：三棱臺的面數、頂點數、棱數最少.
8.①③④⑤　解析：①正確，因為有六個面，屬于六面體；②錯誤，因為側棱的延長線不能交于一點，所以不正確；③正確，如果把幾何體中兩個梯形作為底面就會發現是一個四棱柱；④⑤都正確，如圖（1）（2）.
9.　解析：設長方體長、寬、高分別為x，y，z，則yz＝，xz＝，yx＝，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝，解得x＝，y＝，z＝1，所以＝＝.
10.解：如圖所示.圖①是一個四棱柱；圖②是一個由兩個三棱錐組成的幾何體；圖③是一個五棱錐.
11.C　在如圖所示的長方體中，三棱錐A A1C1D1的三個側面都是直角三角形.故選C.
12.D　正六棱錐的底面是個正六邊形，正六邊形由6個等邊三角形構成.設每個等邊三角形的邊長為r，正六棱錐的高為h，正六棱錐的側棱長為l.由正六棱錐的高、底面正六邊形的邊、側棱構成直角三角形得h2＋r2＝l2，故側棱長l和底面正六邊形的邊長r不可能相等.故選D.
13.4 　解析：將三棱錐沿側棱VA剪開，并將其側面展開平鋪在一個平面上，如圖，線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值.因為∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4 .所以△AEF周長的最小值為4 .
14.解：（1）如圖，折起后形成的幾何體是三棱錐.
（2）這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形.
（3）S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a·a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2.
15.解：（1）不對.水面的形狀就是用一個與棱（將長方體傾斜時固定不動的棱）平行的平面截長方體時截面的形狀，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四邊形.
（2）不對.水的形狀就是用與棱（將長方體傾斜時固定不動的棱）平行的平面將長方體截去一部分后剩余部分的幾何體，此幾何體是棱柱，水比較少時，是三棱柱，水多時，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱臺或棱錐.
（3）用任意一個平面去截長方體，其截面形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，因而水面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，水的形狀可以是棱錐、棱柱，但不可能是棱臺，故此時（1）對，（2）不對.
2 / 213.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
新課程標準解讀 核心素養
利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構 數學抽象、直觀想象
　　觀察下面的圖片，這些圖片你都不陌生吧.小到精巧的家居裝飾，大到宏偉龐大的建筑；從遠古的金字塔，到現代的國家大劇院、埃菲爾鐵塔，設計師、建筑師們匠心獨具，為我們留下了精美絕倫的建筑物，每當看到這些建筑物都會給人以震撼的美.
【問題】　你知道設計師是如何設計這些建筑物的嗎？應用到哪些數學知識？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
知識點一　棱柱的結構特征
類 別 定義 圖形及表示 相關概念 分類
棱 柱 由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間圖形叫作棱柱 如圖可記作： 棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的兩個面； 側面：多邊形的邊平移所形成的面； 側棱：相鄰側面的公共邊； 頂點：側面與底面的公共點 底面為三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……
【想一想】
棱柱的側棱是否都互相平行且相等？
知識點二　棱錐的結構特征
類 別 定義 圖形及表示 相關概念 分類
棱 錐 當棱柱的一個底面收縮為一個點時，得到的空間圖形叫作棱錐 如圖可記作：棱錐S-ABCD 底面：多邊形； 側面：有一個公共頂點的三角形； 側棱：相鄰側面的　　　； 頂點：由棱柱的一個底面收縮而成 按底面多邊形的邊數分：三棱錐、四棱錐……
【想一想】
各個面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？
知識點三　棱臺的結構特征
類 別 定義 圖形及表示 相關概念 分類
棱 臺 用一個　　　　的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分稱為棱臺 如圖可記作：棱臺ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱錐的截面； 下底面：原棱錐的底面； 側面：其余各面； 側棱：相鄰側面的公共邊； 頂點：側面與上（下）底面的公共點 由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫作三棱臺、四棱臺、五棱臺……
提醒　（1）棱柱、棱錐、棱臺的關系（以三棱柱、三棱臺、三棱錐為例）
（2）常見的幾種四棱柱之間的轉化關系
【想一想】
棱臺的側棱延長后是否會相交于一點？
知識點四　多面體
定義 由若干個　　　　　　圍成的空間圖形
圖形
相關 概念 面：圍成多面體的各個　　　　　　； 棱：相鄰兩個面的　　　　； 頂點：棱與棱的公共點
分類 按平面多邊形的個數分為四面體、五面體、六面體……
1.（2024·南京金陵中學期中）下列幾何體中，棱數最多的是（　　）
A.五棱錐　　　　　 B.三棱臺
C.三棱柱 D.四棱錐
2.（多選）下面多面體中，是棱錐的為（　　）
3.下列幾何體中，是棱臺的為（　　）
題型一 棱柱的結構特征
【例1】　（1）（多選）下列關于棱柱的說法中正確的是（　　）
A.所有的面都是平行四邊形
B.每一個面都不會是三角形
C.兩底面平行，并且各側棱也平行
D.被平面截成的兩部分可以都是棱柱
（2）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱A1B1，C1D1的中點.
①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的空間圖形還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.
通性通法
棱柱結構特征的辨析方法
　　判斷一個幾何體是不是棱柱，關鍵看它是否具備棱柱的三個本質特征：
（1）有兩個面互相平行；
（2）其余各面都是平行四邊形；
（3）每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.
提醒　（1）以上三個本質特征缺一不可；（2）在概念辨析時，也可用舉反例法直接判斷（否定）.
【跟蹤訓練】
下列命題中正確的是（　　）
A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的空間圖形叫棱柱
B.棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面
C.棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形
D.棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形
題型二 棱錐、棱臺的結構特征
【例2】　（1）（多選）下列說法中正確的有（　　）
A.棱錐的各個側面都是三角形
B.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
C.棱錐的側棱平行
D.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
（2）下列說法中正確的是（　　）
A.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺
B.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺
D.棱臺的側棱延長后必交于一點
通性通法
判斷棱錐、棱臺的方法
（1）舉反例法：結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接排除關于棱錐、棱臺結構特征的某些不正確的說法；
（2）直接法
棱錐 棱臺
定底面 只有一個面是多邊形，此面即為底面 兩個互相平行的面，即為底面
看側棱 相交于一點 延長后相交于一點
【跟蹤訓練】
下列關于棱錐、棱臺的說法：
①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
其中正確說法的序號是　　　　.
題型三 棱柱、棱臺、棱錐的畫法
【例3】　（鏈接教科書第153頁例1）畫一個三棱柱和四棱臺.
通性通法
棱柱、棱錐、棱臺的畫法步驟
（1）畫棱柱：①畫上底面：畫出上底面多邊形（要注意與平面圖形有所區別，這里的多邊形是直觀圖形）；②畫側棱：從上底面多邊形的每一個頂點畫平行且相等的線段；③畫下底面：順次連接這些線段的另一個端點.
（2）畫棱錐：①畫底面：畫出底面多邊形（要注意與平面圖形有所區別，這里的多邊形是直觀圖形）；②畫頂點：在底面的上方取一個符合要求的空間點；③畫側棱：順次連接底面多邊形的頂點與棱錐的頂點.
（3）畫棱臺：首先畫一個棱錐，在它的一條側棱上取一點，然后從這點開始，順次在各個側面內畫出與底面對應邊平行的線段，最后將多余的線段擦去.
提醒　在畫棱柱、棱錐和棱臺時，要特別注意被遮擋的線要畫成虛線，未被遮擋的線要畫成實線.這樣不僅虛實分明，還使得空間圖形更加富有立體感.
【跟蹤訓練】
畫一個四面體（三棱錐）.
題型四 多面體的側面展開圖
【例4】　某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的表面展開圖應該為（　　）
通性通法
　　多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀，借助展開圖，培養直觀想象素養.
【跟蹤訓練】
　如圖是三個空間圖形的表面展開圖，請問各是什么空間圖形？
1.有一個多面體，由五個面圍成，只有一個面不是三角形，則這個幾何體為（　　）
A.四棱柱　　　　　　 B.四棱錐
C.三棱柱 D.三棱錐
2.下列說法錯誤的是（　　）
A.多面體至少有六條棱
B.九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形
C.長方體、正方體都是棱柱
D.三棱柱的側面為三角形
3.如圖中的幾何體叫作　　　　（填“棱柱”“棱錐”“棱臺”），PA，PB是它的　　　　，△PBC，△PCD是它的　　　　，四邊形ABCD是它的　　　　.
4.若棱臺上、下底面的對應邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是　　　　.
13.1.1　棱柱、棱錐和棱臺
【基礎知識·重落實】
知識點一
想一想
　提示：由棱柱的定義及特點可知，棱柱的側棱都互相平行且相等.
知識點二
　公共邊
想一想
　提示：不一定是棱錐.如圖所示的幾何體不是棱錐.
知識點三
　平行于棱錐底面
想一想
　提示：由棱臺的特點知棱臺的側棱延長后都相交于一點.
知識點四
　平面多邊形　平面多邊形　交線
自我診斷
1.A　因為五棱錐有10條棱，三棱臺有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數最多的是五棱錐.故選A.
2.ABD　根據棱錐的定義和結構特征可以判斷，A、B、D是棱錐，C不是棱錐，故選A、B、D.
3.D　A、C不是由棱錐截成的，不符合棱臺的定義；B中的截面不平行于底面，不符合棱臺的定義；D符合棱臺的定義.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）CD　棱柱的側面是平行四邊形，上下底面可以是三角形，也可以是四邊形及多邊形，故A錯誤，B錯誤；由棱柱的定義易知C正確；對于D，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，故D正確.故選C、D.
（2）解：①是棱柱，且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側棱互相平行，符合棱柱的定義.
②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
跟蹤訓練
　D　由棱柱的定義知D正確.
【例2】　（1）AB　（2）D　解析：（1）由棱錐的定義，知棱錐的各個側面都是三角形，故A正確；四面體就是由四個三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面，故B正確；棱錐的側棱交于一點，不平行，故C錯；棱錐的側面是有一個公共頂點的三角形，故D錯.
（2）對于A，用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間部分是棱臺，A中的平面不一定平行于底面，故A錯誤；對于選項B、C，可以用反例驗證，如圖所示，側棱延長線不能相交于一點，故B、C錯誤；對于D，由棱臺的定義知，棱臺的側棱延長后必交于一點，故D正確.故選D.
跟蹤訓練
　①②　解析：①正確，棱臺的側棱延長后必交于一點，故側面一定不是平行四邊形，而是梯形；②正確，由四個平面圍成的封閉圖形是四面體（三棱錐）；③錯誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.
【例3】　解：（1）畫三棱柱可分以下三步完成：
第一步，畫上底面——畫一個三角形；
第二步，畫側棱——從三角形的每一個頂點畫平行且相等的線段；
第三步，畫下底面——順次連接這些線段的另一個端點（如圖所示，被遮擋的線要畫成虛線）.
（2）畫四棱臺可分以下三步完成：
第一步，畫一個四棱錐；
第二步，在它的一條側棱上取一點，然后從這點開始，順次在各個側面內畫出與底面對應邊平行的線段；
第三步，將多余的線段擦去（如圖所示，被遮擋的線要畫成虛線）.
跟蹤訓練
　解：畫四面體可分以下兩步完成：
第一步，畫底面——畫一個△ABC；
第二步，畫側棱——在底面上方任取一點P，順次連接PA，PB，PC，三棱錐P-ABC即為所畫的四面體（如圖所示）.
【例4】　A　其展開圖是沿盒子的棱剪開，無論從哪條棱剪開，剪開的相鄰面在展開圖中可以不相鄰，但未剪開的相鄰面在展開圖中一定相鄰.相同的圖案是盒子上相對的面，展開后不能相鄰.
跟蹤訓練
　解：在圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；在圖②中，有5個三角形且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；在圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點.把表面展開圖還原為原空間圖形，如圖所示：
所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺.
隨堂檢測
1.B　根據棱錐的定義可知該幾何體是四棱錐.
2.D　由棱柱的定義知D不正確.故選D.
3.棱錐　側棱　側面　底面
4.1∶4　解析：由棱臺的結構特征知，棱臺上、下底面是相似多邊形，面積之比為對應邊之比的平方.
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13.1.1　
棱柱、棱錐和棱臺
新課程標準解讀 核心素養
利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識棱柱、棱
錐、棱臺的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中
簡單物體的結構 數學抽象、
直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　觀察下面的圖片，這些圖片你都不陌生吧.小到精巧的家居裝
飾，大到宏偉龐大的建筑；從遠古的金字塔，到現代的國家大劇院、
埃菲爾鐵塔，設計師、建筑師們匠心獨具，為我們留下了精美絕倫的
建筑物，每當看到這些建筑物都會給人以震撼的美.
【問題】　你知道設計師是如何設計這些建筑物的嗎？應用到哪些數
學知識？
知識點一　棱柱的結構特征
類別 定義 圖形及表示 相關概念 分類
棱 柱 由一個平面多邊形沿某一方
向平移形成的空間圖形叫作
棱柱 如圖可記作：棱柱ABCDEF-
A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的兩個面； 側面：多邊形的邊平移所形成的面； 側棱：相鄰側面的公共邊； 頂點：側面與底面的公共點 底面為三角
形、四邊
形、五邊
形……的棱
柱分別稱為
三棱柱、四
棱柱、五棱
柱……
【想一想】
棱柱的側棱是否都互相平行且相等？
提示：由棱柱的定義及特點可知，棱柱的側棱都互相平行且相等.
知識點二　棱錐的結構特征
類別 定義 圖形及表示 相關概念 分類
棱 錐 當棱柱的一
個底面收縮
為一個點
時，得到的
空間圖形叫
作棱錐 如圖可記作：棱
錐S-ABCD 底面：多邊形； 側面：有一個公共
頂點的三角形； 側棱：相鄰側面
的 ； 頂點：由棱柱的一
個底面收縮而成 按底面
多邊形
的邊數
分：三
棱錐、
四棱
錐……
公共邊　
【想一想】
各個面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？
提示：不一定是棱錐.如圖所示的幾何體不是棱錐.
知識點三　棱臺的結構特征
類
別 定義 圖形及表示 相關概念 分類
棱 臺 用一

的平面去截棱
錐，截面和底
面之間的部分
稱為棱臺 如圖可記作：棱臺
ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱錐
的截面； 下底面：原棱錐
的底面； 側面：其余各面； 側棱：相鄰側面
的公共邊； 頂點：側面與上
（下）底面的公
共點 由三棱錐、四棱錐、
五棱錐……
截得的棱臺分別叫作
三棱臺、四
棱臺、五棱
臺……
平行于棱
錐底面　
提醒　（1）棱柱、棱錐、棱臺的關系（以三棱柱、三棱臺、三棱錐
為例）
（2）常見的幾種四棱柱之間的轉化關系
【想一想】
棱臺的側棱延長后是否會相交于一點？
提示：由棱臺的特點知棱臺的側棱延長后都相交于一點.
知識點四　多面體
定義 由若干個 圍成的空間圖形
圖形
相關 概念 面：圍成多面體的各個 ；
棱：相鄰兩個面的 ；
頂點：棱與棱的公共點
分類 按平面多邊形的個數分為四面體、五面體、六面
體……
平面多邊形　
平面多邊形　
交線　
1. （2024·南京金陵中學期中）下列幾何體中，棱數最多的是
（　　）
A. 五棱錐 B. 三棱臺
C. 三棱柱 D. 四棱錐
解析： 　因為五棱錐有10條棱，三棱臺有9條棱，三棱柱有9
條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數最多的是五棱
錐.故選A.
√
2. （多選）下面多面體中，是棱錐的為（　　）
解析： 　根據棱錐的定義和結構特征可以判斷，A、B、D是
棱錐，C不是棱錐，故選A、B、D.
√
√
√
3. 下列幾何體中，是棱臺的為（　　）
√
解析： 　A、C不是由棱錐截成的，不符合棱臺的定義；B中的截
面不平行于底面，不符合棱臺的定義；D符合棱臺的定義.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 棱柱的結構特征
【例1】　（1）（多選）下列關于棱柱的說法中正確的是（　　）
A. 所有的面都是平行四邊形
B. 每一個面都不會是三角形
C. 兩底面平行，并且各側棱也平行
D. 被平面截成的兩部分可以都是棱柱
√
√
解析： 　棱柱的側面是平行四邊形，上下底面可以是三角
形，也可以是四邊形及多邊形，故A錯誤，B錯誤；由棱柱的定
義易知C正確；對于D，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個
棱柱，故D正確.故選C、D.
（2）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱
A1B1，C1D1的中點.
①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？
②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的空間
圖形還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不
是，請說明理由.
解：①是棱柱，且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面
作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側棱互相
平行，符合棱柱的定義.
②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下
方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
通性通法
棱柱結構特征的辨析方法
　　判斷一個幾何體是不是棱柱，關鍵看它是否具備棱柱的三個本質
特征：
（1）有兩個面互相平行；
（2）其余各面都是平行四邊形；
（3）每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.
提醒　（1）以上三個本質特征缺一不可；（2）在概念辨析
時，也可用舉反例法直接判斷（否定）.
【跟蹤訓練】
下列命題中正確的是（　　）
A. 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的空間圖形叫棱柱
B. 棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面
C. 棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形
D. 棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形
解析： 　由棱柱的定義知D正確.
√
題型二 棱錐、棱臺的結構特征
【例2】　（1）（多選）下列說法中正確的有（　AB　）
A. 棱錐的各個側面都是三角形
B. 四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
C. 棱錐的側棱平行
D. 有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
AB
解析： 由棱錐的定義，知棱錐的各個側面都是三角形，故
A正確；四面體就是由四個三角形所圍成的幾何體，因此四面體
的任何一個面都可以作為三棱錐的底面，故B正確；棱錐的側棱
交于一點，不平行，故C錯；棱錐的側面是有一個公共頂點的三
角形，故D錯.
（2）下列說法中正確的是（　D　）
A. 用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺
B. 兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C. 有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺
D. 棱臺的側棱延長后必交于一點
D
解析：對于A，用一個平行于棱錐底面的平面去
截棱錐，截面和底面之間部分是棱臺，A中的
平面不一定平行于底面，故A錯誤；對于選項
B、C，可以用反例驗證，如圖所示，側棱延長
線不能相交于一點，故B、C錯誤；對于D，由
棱臺的定義知，棱臺的側棱延長后必交于一
點，故D正確.故選D.
通性通法
判斷棱錐、棱臺的方法
（1）舉反例法：結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接排除關于棱錐、
棱臺結構特征的某些不正確的說法；
（2）直接法
棱錐 棱臺
定底面 只有一個面是多邊形，此面
即為底面 兩個互相平行的面，即為
底面
看側棱 相交于一點 延長后相交于一點
【跟蹤訓練】
下列關于棱錐、棱臺的說法：
①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；
②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；
③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
其中正確說法的序號是 .
解析：①正確，棱臺的側棱延長后必交于一點，故側面一定
不是平行四邊形，而是梯形；②正確，由四個平面圍成的封
閉圖形是四面體（三棱錐）；③錯誤，如圖所示的四棱錐被
平面截成的兩部分都是棱錐.
①②　
題型三 棱柱、棱臺、棱錐的畫法
【例3】　（鏈接教科書第153頁例1）畫一個三棱柱和四棱臺.
解：（1）畫三棱柱可分以下三步完成：
第一步，畫上底面——畫一個三角形；
第二步，畫側棱——從三角形的每一個頂點畫平行且相等的線段；
第三步，畫下底面——順次連接這些線段的另一個端點（如圖所示，被遮擋的線要畫成虛線）.
（2）畫四棱臺可分以下三步完成：
第一步，畫一個四棱錐；
第二步，在它的一條側棱上取一點，然后從這點開始，順次在各個側面內畫出與底面對應邊平行的線段；第三步，將多余的線段擦去（如圖所示，被遮擋的線要畫成虛線）.
通性通法
棱柱、棱錐、棱臺的畫法步驟
（1）畫棱柱：①畫上底面：畫出上底面多邊形（要注意與平面圖形
有所區別，這里的多邊形是直觀圖形）；②畫側棱：從上底面
多邊形的每一個頂點畫平行且相等的線段；③畫下底面：順次
連接這些線段的另一個端點.
（2）畫棱錐：①畫底面：畫出底面多邊形（要注意與平面圖形有所
區別，這里的多邊形是直觀圖形）；②畫頂點：在底面的上方
取一個符合要求的空間點；③畫側棱：順次連接底面多邊形的
頂點與棱錐的頂點.
（3）畫棱臺：首先畫一個棱錐，在它的一條側棱上取一點，然后從
這點開始，順次在各個側面內畫出與底面對應邊平行的線段，
最后將多余的線段擦去.
提醒　在畫棱柱、棱錐和棱臺時，要特別注意被遮擋的線要畫
成虛線，未被遮擋的線要畫成實線.這樣不僅虛實分明，還使得
空間圖形更加富有立體感.
【跟蹤訓練】
畫一個四面體（三棱錐）.
解：畫四面體可分以下兩步完成：
第一步，畫底面——畫一個△ABC；
第二步，畫側棱——在底面上方任取一點
P，順次連接PA，PB，PC，三棱錐P-ABC即為所畫的四面體（如圖所示）.
題型四 多面體的側面展開圖
【例4】　某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖
所示，則這個正方體禮品盒的表面展開圖應該為（　　）
√
解析： 　其展開圖是沿盒子的棱剪開，無論從哪條棱剪開，剪開的
相鄰面在展開圖中可以不相鄰，但未剪開的相鄰面在展開圖中一定相
鄰.相同的圖案是盒子上相對的面，展開后不能相鄰.
通性通法
　　多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想
象立體圖形與表面展開圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的
形狀，借助展開圖，培養直觀想象素養.
【跟蹤訓練】
　如圖是三個空間圖形的表面展開圖，請問各是什么空間圖形？
解：在圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，
符合棱柱特點；在圖②中，有5個三角形且具有共同的頂點，還有一
個五邊形，符合棱錐特點；在圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線
交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點.把表面展開
圖還原為原空間圖形，如圖所示：
所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺.
1. 有一個多面體，由五個面圍成，只有一個面不是三角形，則這個幾
何體為（　　）
A. 四棱柱 B. 四棱錐
C. 三棱柱 D. 三棱錐
解析： 　根據棱錐的定義可知該幾何體是四棱錐.
√
2. 下列說法錯誤的是（　　）
A. 多面體至少有六條棱
B. 九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形
C. 長方體、正方體都是棱柱
D. 三棱柱的側面為三角形
解析： 　由棱柱的定義知D不正確.故選D.
√
3. 如圖中的幾何體叫作 （填“棱柱”“棱錐”“棱
臺”），PA，PB是它的 ，△PBC，△PCD是它的
，四邊形ABCD是它的 .
棱錐　
側棱　
側
面　
底面　
4. 若棱臺上、下底面的對應邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比
是 .
解析：由棱臺的結構特征知，棱臺上、下底面是相似多邊形，面積
之比為對應邊之比的平方.
1∶4　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 下列幾何體中是棱柱的有（　　）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
√
解析： 　由棱柱的定義，觀察圖形滿足棱柱概念的幾何體有①③
⑤，共3個.故選C.
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2. 如圖所示，在三棱臺ABC-A'B'C'中，截去三棱錐A'-ABC，則剩余
部分是（　　）
A. 三棱錐 B. 四棱錐
C. 三棱柱 D. 四棱柱
解析： 　余下部分是四棱錐A'-BCC'B'.故選B.
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3. 設集合M＝{正四棱柱}，N＝{長方體}，P＝{直四棱柱}，Q＝
{正方體}，則這四個集合之間的關系是（　　）
A. P N M Q B. Q M N P
C. P M N Q D. Q N M P
解析： 　根據定義知，正方體是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特
殊的長方體，長方體是特殊的直四棱柱，所以{正方體} {正四棱
柱} {長方體} {直四棱柱}，故選B.
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4. 一個正棱錐有6個頂點，所有側棱長的和為60，則每條側棱長為
（　　）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
解析： 　因為此正棱錐有6個頂點，所以此正棱錐為正五棱錐.又
正棱錐的側棱都相等，五條側棱長的和為60，可知每條側棱長為
12.
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5. （多選）給出下列命題，其中為真命題的是（　　）
A. 棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形
B. 有的棱臺的側棱長相等
C. 在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱
柱為直四棱柱
D. 存在每個面都是直角三角形的四面體
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解析： 　A不正確，根據棱柱的定義，棱柱的
各個側面都是平行四邊形，但不一定全等；易知B
正確；C正確，因為過兩個相對側棱的截面的交線
平行于側棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方
體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面
都是直角三角形.故選B、C、D.
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6. （多選）如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩
個完全一樣的是（　　）
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解析： 　A圖還原成正方體后，①⑤對面，②④對面，③⑥對
面；B圖還原成正方體后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；C圖
還原成正方體后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；D圖還原成正
方體后，①⑥對面，②⑤對面，③④對面.綜上可得，還原成正方
體后，正方體完全一樣的是B、C.
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7. 一個棱臺至少有 個面，面數最少的棱臺有 個頂點，
有 條棱.
解析：三棱臺的面數、頂點數、棱數最少.
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①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到.
解析：①正確，因為有六個面，屬于六面
體；②錯誤，因為側棱的延長線不能交于一
點，所以不正確；③正確，如果把幾何體中
兩個梯形作為底面就會發現是一個四棱柱；
④⑤都正確，如圖（1）（2）.
8. 如圖所示的幾何體，下列描述正確的有 （填序號）.
①③④⑤　
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9. 一個長方體共頂點的三個面的面積分別是 ， ， ，則這個
長方體對角線的長是 .
解析：設長方體長、寬、高分別為x，y，z，則yz＝ ，xz＝
，yx＝ ，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝ ，解得x＝
，y＝ ，z＝1，所以 ＝ ＝ .
　
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10. 分別畫出六面體：（1）使它是一個四棱柱；（2）使它由兩個三
棱錐組成；（3）使它是五棱錐.
解：如圖所示.圖①是一個四棱柱；圖②是一個由兩個三棱錐組成的幾何體；圖③是一個五棱錐.
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11. 一個三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個側面
（　　）
A. 至多有一個是直角三角形
B. 至多有兩個是直角三角形
C. 可能都是直角三角形
D. 必然都是非直角三角形
解析： 　在如圖所示的長方體中，三棱錐
A A1C1D1的三個側面都是直角三角形.故選C.
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12. 一個棱錐的各條棱都相等，那么這個棱錐必不是（　　）
A. 三棱錐 B. 四棱錐
C. 五棱錐 D. 六棱錐
解析： 　正六棱錐的底面是個正六邊形，正六邊形由6個等邊三
角形構成.設每個等邊三角形的邊長為r，正六棱錐的高為h，正
六棱錐的側棱長為l.由正六棱錐的高、底面正六邊形的邊、側棱
構成直角三角形得h2＋r2＝l2，故側棱長l和底面正六邊形的邊長
r不可能相等.故選D.
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解析：將三棱錐沿側棱VA剪開，并將其側面展開
平鋪在一個平面上，如圖，線段AA1的長為所求
△AEF周長的最小值.因為∠AVB＝∠A1VC＝
∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1
＝4，所以AA1＝4 .所以△AEF周長的最小值為
4 .
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14. 如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.
（1）折起后形成的幾何體是什么幾何體？
解： 如圖，折起后形成的幾何體是三棱錐.
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（2）這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？
解： 這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形.
（3）每個面的三角形面積為多少？
解： S△PEF＝ a2，S△DPF＝S△DPE＝ ×2a·a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－
a2－a2－a2＝ a2.
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15. 如圖，在一個長方體的容器中裝有部分水，現將容器繞著其底部
的一條棱傾斜，在傾斜的過程中：
（1）水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的
平行四邊形，對嗎？
解： 不對.水面的形狀就是用一個與
棱（將長方體傾斜時固定不動的棱）平行
的平面截長方體時截面的形狀，因而可以
是矩形，但不可能是非矩形的平行四邊形.
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（2）水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變為棱臺或棱
錐，對嗎？
解： 不對.水的形狀就是用與棱（將長方體傾斜時固定不動的棱）平行的平面將長方體截去一部分后剩余部分的幾何
體，此幾何體是棱柱，水比較少時，是三棱柱，水多時，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱臺或棱錐.
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（3）如果傾斜時不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底部的一個
頂點，上面的第（1）題和第（2）題對不對？
解： 用任意一個平面去截長方體，其截面形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，因而水面的形狀可以是三角
形、四邊形、五邊形、六邊形，水的形狀可以是棱錐、棱柱，但不可能是棱臺，故此時（1）對，（2）不對.
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