資源簡介

13.1.2　圓柱、圓錐、圓臺和球
1.下列幾何體中不是旋轉體的是（　　）
2.圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是（　　）
A.圓錐、棱柱　　　　　 B.圓錐、棱錐
C.球、棱錐 D.圓錐、圓柱
3.將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體包括（　　）
A.一個圓臺、兩個圓錐 B.兩個圓臺、一個圓柱
C.兩個圓柱、一個圓臺 D.一個圓柱、兩個圓錐
4.（2024·鎮江月考）用一個平面截半徑為25 cm的球，截面的面積是225π cm2，則球心到截面的距離為（　　）
A.5 cm B.10 cm
C.15 cm D.20 cm
5.（多選）下列命題中正確的是（　　）
A.圓以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面及所圍成的空間叫作球
B.直角三角形繞斜邊旋轉得到的旋轉體是圓錐
C.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體
D.圓錐截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺
6.（多選）一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，則截面可能的圖形是（　　）
7.觀察下列四個空間圖形，其中可看作是由兩個棱柱組合而成的是　　　　.（填序號）
8.若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是　　　　，底面半徑是　　　　　.
9.一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2.則圓臺的高為　　　　cm；截得此圓臺的圓錐的母線長為　　　　cm.
10.一個圓錐的高為2 cm，母線與軸的夾角為30°，求圓錐的母線長及圓錐的軸截面的面積.
11.如果圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是（　　）
A.等邊三角形
B.等腰直角三角形
C.頂角為30°的等腰三角形
D.其他等腰三角形
12.（多選）如圖所示的空間圖形是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的復雜空間圖形，現用一個豎直的平面去截這個復雜空間圖形，則截面圖形可能是（　　）
13.（2024·泰州月考）如圖所示，有一個底面半徑為1，高為2的圓柱體，在A點處有一只螞蟻，現在這只螞蟻要圍繞圓柱表面由A點爬到B點，則螞蟻爬行的最短距離為　　　　.
14.某同學有一個圓錐狀的木塊，經過測量，該木塊的底面直徑為12 cm，高為8 cm.該同學計劃用該木料制作一個木質球，并且使得球與該圓錐內切，軸截面如圖所示，試求此球的半徑.
15.已知一個圓錐的底面圓的半徑為2，高為6，且有一個高為x的內接圓柱.
（1）用x表示圓柱的軸截面面積S；
（2）當x為何值時，S最大？
13.1.2　圓柱、圓錐、圓臺和球
1.D
2.B　易知①為圓錐，②為三棱錐.
3.D　從較短的底邊的端點向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個直角三角形，一個矩形，所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉一周形成的是由一個圓柱、兩個圓錐所組成的幾何體，如圖所示.故選D.
4.D　由題意知，球的半徑R＝25 cm，易知截面的半徑r＝15 cm，則球心到截面的距離d＝＝20（cm）.
5.AD　圓以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面及所圍成的空間叫作球，故A正確；當以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉時，其余各邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，是由兩個同底面的圓錐組成的幾何體，故B錯誤；當兩個平行截面不平行于上、下兩個底面時，兩個平行截面間的幾何體不是旋轉體，故C錯誤；將圓錐截去小圓錐，則截面必須與底面平行，因而剩余部分是圓臺，故D正確.故選A、D.
6.ABC　當截面平行于正方體的一個側面時得C中圖形；當截面過正方體的體對角線時得B中圖形；當截面不平行于任何側面也不過對角線時得A中圖形；但無論如何都不能截出D中圖形.
7.①④　解析：①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成，④可看作由兩個四棱柱組合而成.
8.2　2　解析：設圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h＝.所以由題意可知·2r·h＝r＝8，所以r2＝8，所以r＝2，所以h＝＝＝2.
9.3　20　解析：如圖，作圓臺的軸截面，則截面為等腰梯形ABCD，O1，O分別為AD，BC的中點，作AM⊥BC于點M，連接O1O.由已知可得上底面半徑O1A＝2 cm，下底面半徑OB＝5 cm，且腰長AB＝12 cm，∴AM＝＝3（cm），即圓臺的高為3 cm.如圖，延長BA，OO1交于點S，設截得此圓臺的圓錐的母線長為l cm，則由△SAO1∽△SBO，得＝，即＝，解得l＝20（cm），∴截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm.
10.解：如圖為軸截面SAB，圓錐SO的底面直徑為AB，SO為高，SA為母線，則∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，
AO＝SO·tan 30°＝（cm），
SA＝＝＝（cm），
所以S△ASB＝SO·2AO＝（cm2）.
所以圓錐的母線長為 cm，圓錐的軸截面的面積為 cm2.
11.A　因為圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，所以圓錐的底面圓的直徑為，母線長也為，所以此圓錐的軸截面是等邊三角形.
12.AD　一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的空間圖形被一個豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分.
13.2　解析：把圓柱的側面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形，如圖所示，連接AB'，則AB'即為螞蟻爬行的最短距離.∵AA'為底面圓的周長，∴AA'＝2π×1＝2π.又AB＝A'B'＝2，∴AB'＝＝＝2，即螞蟻爬行的最短距離為2.
14.解：根據題意，BC＝12 cm，AE＝8 cm，且AB＝AC，
所以CE＝BC＝6 cm，所以AB＝AC＝＝＝10 cm.
設內切球的半徑為R，根據等面積法得×12×8＝×（10＋10＋12）×R，解得R＝3，故此球的半徑為3 cm.
15.解：作出圓錐和內接圓柱的軸截面，如圖.設圓柱的底面圓的半徑為r，則由相似三角形可得＝，
解得r＝2－，x∈（0，6）.
（1）圓柱的軸截面面積S＝2r·x＝2x·＝－x2＋4x，x∈（0，6）.
（2）∵S＝－x2＋4x＝－（x－3）2＋6，
∴當x＝3時，S取得最大值，Smax＝6.
2 / 213.1.2　圓柱、圓錐、圓臺和球
新課程標準解讀 核心素養
利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構 數學抽象、直觀想象
　　如圖，觀察下列實物圖及從實物圖抽象出的幾何體.
【問題】　（1）上述四個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？
（2）上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉而成？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　圓柱、圓錐、圓臺的概念
分類 定義 圖形及表示
圓柱 將　　　　繞著它的一邊所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓柱 我們用表示圓柱軸的字母表示圓柱，上圖可表示為圓柱OO'
圓錐 將　　　　　繞著它的一直角邊所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓錐 我們用表示圓錐軸的字母表示圓錐，上圖可表示為圓錐SO
圓臺 將　　　　　繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓臺 我們用表示圓臺軸的字母表示圓臺，上圖可表示為圓臺OO'
【想一想】
以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐嗎？
知識點二　球的定義及有關概念
定義 相關概念 圖形及表示
球 半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形叫作球體，簡稱球 球心：半圓的　　　　　，半徑：半圓的　　　　　，直徑：半圓的　　　　　　 如圖可記作：球O
【想一想】
球與球面有何區別？乒乓球、籃球、鉛球都是球嗎？
知識點三　旋轉面與旋轉體
一條平面曲線繞它所在平面內的　　　　　旋轉所形成的曲面叫作旋轉面，封閉的旋轉面圍成的空間圖形稱為　　　　.圓柱、圓錐、圓臺和球都是特殊的旋轉體.
提醒　空間幾何體包括多面體、旋轉體和由簡單的多面體與旋轉體組成的簡單組合體，棱柱、棱錐、棱臺是三類簡單的多面體，圓柱、圓錐、圓臺和球是四類簡單的旋轉體，理解柱、錐、臺、球的定義、結構特征和相關概念是進一步研究它們的性質、基本量計算、表面積、側面積和體積計算的基礎.
【想一想】
等邊三角形繞其一邊中線所在的直線旋轉半周形成的面所圍成的空間圖形是什么幾何體？
1.下列幾何體是旋轉體的是（　　）
A.五棱柱 B.六棱錐
C.八棱臺 D.球
2.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.半圓以其直徑為軸旋轉所形成的曲面叫球
B.半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫作球面
C.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓
D.用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
3.如圖所示的組合體的結構特征是（　　）
A.一個棱柱中截去一個棱柱
B.一個棱柱中截去一個圓柱
C.一個棱柱中截去一個棱錐
D.一個棱柱中截去一個棱臺
題型一 旋轉體的結構特征
【例1】　下列說法正確的是　　　　（填序號）.
①以直角梯形的一腰所在的直線為旋轉軸，旋轉一周得到的旋轉體為圓臺；
②分別以矩形兩條相鄰邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周，所得到的兩個圓柱可能是不同的圓柱；
③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.
通性通法
簡單旋轉體結構特征問題的解題策略
（1）準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的形成過程及其特征是解決此類概念問題的關鍵；
（2）解題時要注意明確兩點：①明確由哪個平面圖形旋轉而成；②明確旋轉軸是哪條直線.
【跟蹤訓練】
（多選）下列命題中，正確的命題是（　　）
A.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線
B.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線
C.在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線
D.圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的
題型二 簡單組合體的結構特征
【例2】　（鏈接教科書第156頁例2、例3）圖①、②所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？
通性通法
　　關于平面圖形繞固定軸旋轉后得到的幾何體的組成問題，可采用如下方法解決：
【跟蹤訓練】
1.如圖是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的軸對稱平面圖形.若將它繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，則下面說法不正確的是（　　）
A.該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體
B.該組合體仍然關于軸l對稱
C.該組合體中的圓錐和球只有一個公共點
D.該組合體中的球和半球只有一個公共點
2.描述下列幾何體的結構特征.
題型三 旋轉體的有關計算
【例3】　（1）兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π和16π，則這兩個平面間的距離是　　　　；
（2）已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積為392 cm2，母線與軸的夾角為45°，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑.
通性通法
旋轉體截面問題的解題策略
（1）畫出旋轉體的軸截面或相關截面；
（2）在截面中借助直角三角形或三角形相似關系建立高、母線長、底面圓或截面圓的半徑長的等量關系即可求解.
【跟蹤訓練】
1.（2024·無錫月考）若底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點且平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（　　 ）
A.π　　　　　　　　 B.2π
C.3π D.4π
2.軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐.已知某等邊圓錐的軸截面面積為，求該圓錐的底面半徑、高和母線長.
題型四 旋轉體的側面展開圖
【例4】　（多選）用一張長為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側面，則相應圓柱的底面半徑是（　　）
A.2 B.2π
C. D.
通性通法
　　圓柱的側面展開圖為矩形，圓錐的側面展開圖一般為扇形（半圓面），圓臺的側面展開圖一般為扇環，球無法展開.
【跟蹤訓練】
如圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2 cm，假如點B有一只螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點P處的食物，求它爬行的最短路程.
1.下面幾何體的軸截面（過旋轉軸的截面）是圓面的是（　　）
A.圓柱　　B.圓錐　　C.球　　D.圓臺
2.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.圓柱的母線與它的軸可以不平行
B.圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角形
C.圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形
D.到定點的距離等于定長的點的集合是球
3.關于圖中的組合體的結構特征有以下幾種說法：
①由一個長方體挖去一個四棱柱構成；
②由一個長方體與兩個四棱柱組合而成；
③由一個長方體挖去一個四棱臺構成；
④由一個長方體與兩個四棱臺組合而成.
其中正確說法的序號是　　　　.
4.軸截面是直角三角形的圓錐的底面半徑為r，則其軸截面面積為　　　　.
13.1.2　圓柱、圓錐、圓臺和球
【基礎知識·重落實】
知識點一
　矩形　直角三角形　直角梯形
想一想
　提示：不一定是.當以直角三角形的斜邊為軸旋轉所得的旋轉體就不是圓錐，如圖所示.
知識點二
　圓心　半徑　直徑
想一想
　提示：球與球面是兩個不同的概念，球是幾何體，球面是曲面，但兩者也有聯系，即球面是球的表面.乒乓球和籃球都不是球（因為它們是空心的），鉛球是球（它是實心的）.
知識點三
　一條定直線　旋轉體　
想一想
　提示：圓錐.
自我診斷
1.D　根據旋轉體的定義，判斷球是旋轉體；一個幾何體圍成它的各個面都是多邊形，這個幾何體是多面體，由此判斷五棱柱、六棱錐、八棱臺都是多面體，故選D.
2.BD　半圓以其直徑為軸旋轉所形成的曲面叫球面，故A錯誤；由球及球面的定義知B、D正確；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，故C錯誤.故選B、D.
3.C　由簡單組合體的基本形式可知，該組合體是一個棱柱中截去一個棱錐.
【典型例題·精研析】
【例1】　②　解析：①錯誤，若以直角梯形的不垂直于底邊的腰為軸旋轉一周形成的旋轉體不是圓臺，是圓錐和圓臺的組合體.②正確，若矩形的兩鄰邊長不相等，則其旋轉形成的曲面或圓面的半徑也不一樣，故所得圓柱也不同.③錯誤，當此平面與圓錐的底面平行時，才能截得一個圓錐和一個圓臺，否則不能得到.
跟蹤訓練
　BD　由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線與旋轉軸不一定平行，故A錯誤，D正確；由圓錐的母線的定義知B正確；在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，且圓臺所有母線的延長線交于一點，故C錯誤.故選B、D.
【例2】　解：旋轉后的圖形如圖所示.其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組合而成；圖②是由一個圓錐O9O8，一個圓柱O7O8及一個圓臺O5O7中挖去圓錐O6O5組合而成.
跟蹤訓練
1.A　該組合體中有一個球和一個半球，故A錯誤.
2.解：圖①所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；圖②所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；圖③所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體.
【例3】　（1）1或7　解析：由已知得兩個截面圓半徑分別為3和4，如圖①所示，兩個平行平面在球心同側，則CD＝－＝4－3＝1；如圖②所示，兩個平行截面在球心兩側，則CD＝＋＝4＋3＝7.
（2）解：法一　圓臺的軸截面如圖所示，
根據題意可設圓臺的上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，即A'O'＝x cm，AO＝3x cm（O'，O分別為上、下底面圓心，連接O'O），過點A'作AB的垂線，垂足為D.
在Rt△AA'D中，∠AA'D＝45°，AD＝AO－A'O'＝2x（cm），所以A'D＝AD＝2x cm，又S軸截面＝×（A'B'＋AB）×A'D＝×（2x＋6x）×2x＝392，所以x＝7.
綜上可知，圓臺的高OO'＝14 cm，母線長AA'＝OO'＝14（cm），上、下底面的半徑分別為7 cm和21 cm.
法二　圓臺的軸截面如圖，
根據題意可設圓臺的上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，延長AA'，BB'交OO'的延長線于點S（O'，O分別為上、下底面圓心，連接O'O）.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，
又SO'＝A'O'＝x cm，所以OO'＝2x cm.
又S軸截面＝×（2x＋6x）×2x＝392，所以x＝7.
綜上可知，圓臺的高OO'＝14 cm，母線長AA'＝OO'＝14（cm），上、下底面的半徑分別為7 cm和21 cm.
跟蹤訓練
1.A　由題意，底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的中點且平行于底面的平面所截，如圖所示，設截面圓的半徑為r，底面圓半徑為R，易知△SA1O1∽△SAO，故＝＝＝，可得r＝R＝1，所以截得的截面圓的面積為S＝π×12＝π.故選A.
2.解：如圖所示，作出等邊圓錐的軸截面SAB，
設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，
則在軸截面SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60°.
在Rt△SOB中，h＝r，l＝2r，所以S△SAB＝×AB×SO＝rh＝r2，
根據題意得r2＝，解得r＝1，
所以l＝2r＝2，h＝r＝.
故該圓錐的底面半徑為1，高為，母線長為2.
【例4】　CD　如圖所示，設底面半徑為r，若矩形的長恰好為卷成圓柱底面的周長，則2πr＝8，所以r＝ ；同理，若矩形的寬恰好為卷成圓柱的底面周長，則2πr＝4，所以r＝ .故選C、D.
跟蹤訓練
　解：圓錐的底面半徑為2 cm，故底面圓的周長為4π cm，圓錐的軸截面是等邊三角形，可知圓錐的母線長為4 cm，設圓錐側面展開后扇形的圓心角為α，根據圓錐底面圓的周長等于展開后扇形的弧長得4π＝4α，解得α＝π，如圖，故∠CAB'＝，螞蟻沿表面爬行到P處的最短路程為B'P＝＝＝2（cm）.
隨堂檢測
1.C　圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是三角形，球的軸截面是圓面，圓臺的軸截面是等腰梯形.故選C.
2.BC　由圓柱、圓錐定義及母線的性質可知A錯誤，B正確；易知C正確；D錯誤，應為球面.
3.①②
4.r2　解析：由圓錐的結構特征可知，軸截面為等腰直角三角形，其高為r，所以S＝×2r2＝r2.
5 / 5(共67張PPT)
13.1.2　
圓柱、圓錐、圓臺和球
新課程標準解讀 核心素養
利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識圓柱、圓
錐、圓臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特
征描述現實生活中簡單物體的結構 數學抽象、
直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖，觀察下列實物圖及從實物圖抽象出的幾何體.
【問題】　（1）上述四個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不
同？
（2）上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉
而成？
知識點一　圓柱、圓錐、圓臺的概念
分類 定義 圖形及表示
圓柱 將 繞著它的一
邊所在的直線旋轉一
周，形成的空間圖形叫
作圓柱
我們用表示圓柱軸的字母表示圓
柱，上圖可表示為圓柱OO'
矩形　
分類 定義 圖形及表示
圓錐 將 繞著
它的一直角邊所在的直
線旋轉一周，形成的空
間圖形叫作圓錐
我們用表示圓錐軸的字母表示圓
錐，上圖可表示為圓錐SO
直角三角形　
分類 定義 圖形及表示
圓臺 將 繞
著它垂直于底邊的
腰所在的直線旋轉
一周，形成的空間
圖形叫作圓臺
我們用表示圓臺軸的字母表示圓臺，
上圖可表示為圓臺OO'
直角梯形　
【想一想】
以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐嗎？
提示：不一定是.當以直角三角形的斜邊為軸旋轉所得的旋
轉體就不是圓錐，如圖所示.
知識點二　球的定義及有關概念
定義 相關概念 圖形及表示
球 半圓繞著它的直徑所
在的直線旋轉一周所
形成的曲面叫作球
面，球面圍成的空間
圖形叫作球體，簡稱
球 球心：半圓的
，半徑：半圓
的 ，直徑：
半圓的
如圖可記作：球O
圓
心　
半徑　
直徑　
【想一想】
球與球面有何區別？乒乓球、籃球、鉛球都是球嗎？
提示：球與球面是兩個不同的概念，球是幾何體，球面是曲面，但兩
者也有聯系，即球面是球的表面.乒乓球和籃球都不是球（因為它們
是空心的），鉛球是球（它是實心的）.
知識點三　旋轉面與旋轉體
一條平面曲線繞它所在平面內的 旋轉所形成的曲面叫
作旋轉面，封閉的旋轉面圍成的空間圖形稱為 .圓柱、圓
錐、圓臺和球都是特殊的旋轉體.
一條定直線　
旋轉體　
提醒　空間幾何體包括多面體、旋轉體和由簡單的多面體與旋轉體組
成的簡單組合體，棱柱、棱錐、棱臺是三類簡單的多面體，圓柱、圓
錐、圓臺和球是四類簡單的旋轉體，理解柱、錐、臺、球的定義、結
構特征和相關概念是進一步研究它們的性質、基本量計算、表面積、
側面積和體積計算的基礎.
【想一想】
等邊三角形繞其一邊中線所在的直線旋轉半周形成的面所圍成的空間
圖形是什么幾何體？
提示：圓錐.
1. 下列幾何體是旋轉體的是（　　）
A. 五棱柱 B. 六棱錐
C. 八棱臺 D. 球
解析： 　根據旋轉體的定義，判斷球是旋轉體；一個幾何體圍成
它的各個面都是多邊形，這個幾何體是多面體，由此判斷五棱柱、
六棱錐、八棱臺都是多面體，故選D.
√
2. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 半圓以其直徑為軸旋轉所形成的曲面叫球
B. 半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫作球面
C. 圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓
D. 用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
解析： 　半圓以其直徑為軸旋轉所形成的曲面叫球面，故A錯
誤；由球及球面的定義知B、D正確；圓柱、圓錐、圓臺的底面都
是圓面，故C錯誤.故選B、D.
√
√
3. 如圖所示的組合體的結構特征是（　　）
A. 一個棱柱中截去一個棱柱
B. 一個棱柱中截去一個圓柱
C. 一個棱柱中截去一個棱錐
D. 一個棱柱中截去一個棱臺
解析： 由簡單組合體的基本形式可知，該組合體是一個棱柱中
截去一個棱錐.
√
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 旋轉體的結構特征
【例1】　下列說法正確的是 （填序號）.
①以直角梯形的一腰所在的直線為旋轉軸，旋轉一周得到的旋轉體為
圓臺；
②分別以矩形兩條相鄰邊所在直線為旋轉軸，將矩形旋轉一周，所得
到的兩個圓柱可能是不同的圓柱；
③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.
②　
解析：①錯誤，若以直角梯形的不垂直于底邊的腰為軸旋轉一周形成
的旋轉體不是圓臺，是圓錐和圓臺的組合體.②正確，若矩形的兩鄰
邊長不相等，則其旋轉形成的曲面或圓面的半徑也不一樣，故所得圓
柱也不同.③錯誤，當此平面與圓錐的底面平行時，才能截得一個圓
錐和一個圓臺，否則不能得到.
通性通法
簡單旋轉體結構特征問題的解題策略
（1）準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的形成過程及其特征是解決此
類概念問題的關鍵；
（2）解題時要注意明確兩點：①明確由哪個平面圖形旋轉而成；②
明確旋轉軸是哪條直線.
【跟蹤訓練】
（多選）下列命題中，正確的命題是（　　）
A. 在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱
的母線
B. 圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線
C. 在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺
的母線
D. 圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的
√
√
解析： 　由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉軸平行，而
在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線與旋轉軸不一
定平行，故A錯誤，D正確；由圓錐的母線的定義知B正確；在圓臺的
上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，且圓臺
所有母線的延長線交于一點，故C錯誤.故選B、D.
題型二 簡單組合體的結構特征
【例2】　（鏈接教科書第156頁例2、例3）圖①、②所示的圖形繞虛
線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？
解：旋轉后的圖形如圖所
示.其中圖①是由一個圓柱
O1O2和兩個圓臺O2O3，
O3O4組合而成；圖②是由一
個圓錐O9O8，一個圓柱
O7O8及一個圓臺O5O7中挖
去圓錐O6O5組合而成.
通性通法
　　關于平面圖形繞固定軸旋轉后得到的幾何體的組成問題，可采用
如下方法解決：
【跟蹤訓練】
1. 如圖是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的軸對稱
平面圖形.若將它繞軸l旋轉180°后形成一個組合體，則下面說法
不正確的是（　　）
A. 該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體
B. 該組合體仍然關于軸l對稱
C. 該組合體中的圓錐和球只有一個公共點
D. 該組合體中的球和半球只有一個公共點
解析： 　該組合體中有一個球和一個半球，故A錯誤.
√
2. 描述下列幾何體的結構特征.
解：圖①所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；圖②所示
的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；圖③所示的幾
何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體.
題型三 旋轉體的有關計算
【例3】　（1）兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π和
16π，則這兩個平面間的距離是 ；
解析：由已知得兩個截面圓
半徑分別為3和4，如圖①所示，
兩個平行平面在球心同側，則CD
＝ － ＝4－3＝
1；如圖②所示，兩個平行截面在
球心兩側，則CD＝ ＋
＝4＋3＝7.
1或7　
解：法一　圓臺的軸截面如圖所示，
根據題意可設圓臺的上、下底面半徑分別
為x cm和3x cm，即A'O'＝x cm，AO＝3x cm（O'，O分別為上、下底面圓心，連接O'O），過點A'作AB的垂線，垂足為D.
在Rt△AA'D中，∠AA'D＝45°，AD＝AO－A'O'＝2x（cm），所以A'D＝AD＝2x cm，又S軸截面＝ ×（A'B'＋AB）×A'D＝
×（2x＋6x）×2x＝392，所以x＝7.綜上可知，圓臺的高OO'＝14 cm，母線長AA'＝ OO'＝14 （cm），上、下底面的半徑分別為7 cm和21 cm.
（2）已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的
面積為392 cm2，母線與軸的夾角為45°，求這個圓臺的高、母
線長和底面半徑.
法二　圓臺的軸截面如圖，根據題意可
設圓臺的上、下底面半徑分別為x cm和
3x cm，延長AA'，BB'交OO'的延長線于
點S（O'，O分別為上、下底面圓心，連接O'O）.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，
又SO'＝A'O'＝x cm，所以OO'＝2x cm.
又S軸截面＝ ×（2x＋6x）×2x＝392，所以x＝7.
綜上可知，圓臺的高OO'＝14 cm，母線長AA'＝ OO'＝14
（cm），上、下底面的半徑分別為7 cm和21 cm.
通性通法
旋轉體截面問題的解題策略
（1）畫出旋轉體的軸截面或相關截面；
（2）在截面中借助直角三角形或三角形相似關系建立高、母線長、
底面圓或截面圓的半徑長的等量關系即可求解.
【跟蹤訓練】
1. （2024·無錫月考）若底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過高的
中點且平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（　　 ）
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
√
解析： 　由題意，底面半徑為2且底面水平放置的
圓錐被過高的中點且平行于底面的平面所截，如圖所
示，設截面圓的半徑為r，底面圓半徑為R，易知
△SA1O1∽△SAO，故 ＝ ＝ ＝ ，可得r＝
R＝1，所以截得的截面圓的面積為S＝π×12＝π.故選A.
2. 軸截面為正三角形的圓錐稱為等邊圓錐.已知某等邊圓錐的軸截面
面積為 ，求該圓錐的底面半徑、高和母線長.
解：如圖所示，作出等邊圓錐的軸截面SAB，
設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，
則在軸截面SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝
l，且∠SBO＝60°.
在Rt△SOB中，h＝ r，l＝2r，所以S△SAB＝
×AB×SO＝rh＝ r2，
根據題意得 r2＝ ，解得r＝1，
所以l＝2r＝2，h＝ r＝ .
故該圓錐的底面半徑為1，高為 ，母線長為2.
題型四 旋轉體的側面展開圖
【例4】　（多選）用一張長為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側
面，則相應圓柱的底面半徑是（　　）
A. 2 B. 2π
√
√
解析： 　如圖所示，設底面半徑為r，
若矩形的長恰好為卷成圓柱底面的周長，
則2πr＝8，所以r＝ ；同理，若矩形的寬恰好為卷成圓柱的底面周長，則2πr＝4，所以r＝ .故選C、D.
通性通法
　　圓柱的側面展開圖為矩形，圓錐的側面展開圖一般為扇形（半圓
面），圓臺的側面展開圖一般為扇環，球無法展開.
【跟蹤訓練】
如圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2 cm，假如點
B有一只螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點P處
的食物，求它爬行的最短路程.
解：圓錐的底面半徑為2 cm，故底面圓的周長為4π
cm，圓錐的軸截面是等邊三角形，可知圓錐的母線長
為4 cm，設圓錐側面展開后扇形的圓心角為α，根據
圓錐底面圓的周長等于展開后扇形的弧長得4π＝
4α，解得α＝π，如圖，故∠CAB'＝ ，螞蟻沿表面
爬行到P處的最短路程為B'P＝ ＝
＝2 （cm）.
1. 下面幾何體的軸截面（過旋轉軸的截面）是圓面的是（　　）
A. 圓柱 B. 圓錐
C. 球 D. 圓臺
解析： 　圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是三角形，球的軸
截面是圓面，圓臺的軸截面是等腰梯形.故選C.
√
2. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 圓柱的母線與它的軸可以不平行
B. 圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的
連線都可以構成直角三角形
C. 圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角
形，圓臺的軸截面是等腰梯形
D. 到定點的距離等于定長的點的集合是球
解析： 　由圓柱、圓錐定義及母線的性質可知A錯誤，B正確；
易知C正確；D錯誤，應為球面.
√
√
3. 關于圖中的組合體的結構特征有以下幾種說法：
①由一個長方體挖去一個四棱柱構成；
②由一個長方體與兩個四棱柱組合而成；
③由一個長方體挖去一個四棱臺構成；
④由一個長方體與兩個四棱臺組合而成.
其中正確說法的序號是 .
①②　
4. 軸截面是直角三角形的圓錐的底面半徑為r，則其軸截面面積
為 .
解析：由圓錐的結構特征可知，軸截面為等腰直角三角形，其高
為r，所以S＝ ×2r2＝r2.
r2　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列幾何體中不是旋轉體的是（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是（　　）
A. 圓錐、棱柱 B. 圓錐、棱錐
C. 球、棱錐 D. 圓錐、圓柱
解析： 　易知①為圓錐，②為三棱錐.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾
何體包括（　　）
A. 一個圓臺、兩個圓錐
B. 兩個圓臺、一個圓柱
C. 兩個圓柱、一個圓臺
D. 一個圓柱、兩個圓錐
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　從較短的底邊的端點向另一底邊作
垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個直角三
角形，一個矩形，所以一個等腰梯形繞它的較
長的底邊所在直線旋轉一周形成的是由一個圓柱、兩個圓錐所組成的幾何體，如圖所示.故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. （2024·鎮江月考）用一個平面截半徑為25 cm的球，截面的面積是
225π cm2，則球心到截面的距離為（　　）
A. 5 cm B. 10 cm
C. 15 cm D. 20 cm
解析： 　由題意知，球的半徑R＝25 cm，易知截面的半徑r＝15
cm，則球心到截面的距離d＝ ＝20（cm）.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多選）下列命題中正確的是（　　）
A. 圓以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面及所圍成的空間叫作球
B. 直角三角形繞斜邊旋轉得到的旋轉體是圓錐
C. 夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體
D. 圓錐截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　圓以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面及所圍成的空
間叫作球，故A正確；當以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉
時，其余各邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，是由兩個同
底面的圓錐組成的幾何體，故B錯誤；當兩個平行截面不平行于
上、下兩個底面時，兩個平行截面間的幾何體不是旋轉體，故C錯
誤；將圓錐截去小圓錐，則截面必須與底面平行，因而剩余部分是
圓臺，故D正確.故選A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多選）一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，則截面可能
的圖形是（　　）
解析： 　當截面平行于正方體的一個側面時得C中圖形；當截
面過正方體的體對角線時得B中圖形；當截面不平行于任何側面也
不過對角線時得A中圖形；但無論如何都不能截出D中圖形.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 觀察下列四個空間圖形，其中可看作是由兩個棱柱組合而成的
是 .（填序號）
解析：①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成，④可看作由
兩個四棱柱組合而成.
①④　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高
是 　2 　，底面半徑是 　2 　.
解析：設圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h＝ .所以由題
意可知 ·2r·h＝r ＝8，所以r2＝8，所以r＝2 ，所以h
＝ ＝ ＝2 .
2 　
2 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2.
則圓臺的高為 cm；截得此圓臺的圓錐的母線長
為 cm.
3 　
20　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：如圖，作圓臺的軸截面，則截面為等腰梯形
ABCD，O1，O分別為AD，BC的中點，作AM⊥BC于
點M，連接O1O. 由已知可得上底面半徑O1A＝2 cm，
下底面半徑OB＝5 cm，且腰長AB＝12 cm，∴AM＝
＝3 （cm），即圓臺的高為3 cm.如
圖，延長BA，OO1交于點S，設截得此圓臺的圓錐的母線長為l cm，則由△SAO1∽△SBO，得 ＝ ，即 ＝ ，解得l＝20（cm），∴截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 一個圓錐的高為2 cm，母線與軸的夾角為30°，求圓錐的母線長
及圓錐的軸截面的面積.
解：如圖為軸截面SAB，圓錐SO的底面直徑為AB，
SO為高，SA為母線，則∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，
AO＝SO·tan 30°＝ （cm），SA＝ ＝ ＝ （cm），
所以S△ASB＝ SO·2AO＝ （cm2）.
所以圓錐的母線長為 cm，圓錐的軸截面的面積為 cm2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 如果圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截
面是（　　）
A. 等邊三角形
B. 等腰直角三角形
C. 頂角為30°的等腰三角形
D. 其他等腰三角形
解析： 　因為圓錐的側面展開圖是直徑為a的半圓面，所以圓錐
的底面圓的直徑為 ，母線長也為 ，所以此圓錐的軸截面是等邊
三角形.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多選）如圖所示的空間圖形是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底
面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的復雜空間圖形，現
用一個豎直的平面去截這個復雜空間圖形，則截面圖形可能是
（　　）
解析： 　一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的空間圖形被一個豎
直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，圓錐的輪廓是
三角形除去一條邊或拋物線的一部分.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. （2024·泰州月考）如圖所示，有一個底面半徑為1，高為2的圓柱體，在A點處有一只螞蟻，現在這只螞蟻要圍繞圓柱表面由A點爬到B點，則螞蟻爬行的最短距離為 .
2 　
解析：把圓柱的側面沿AB剪開，然后展開成為平
面圖形，如圖所示，連接AB'，則AB'即為螞蟻爬
行的最短距離.∵AA'為底面圓的周長，∴AA'＝2π×1＝2π.又AB＝A'B'＝2，∴AB'＝ ＝ ＝2 ，即螞蟻爬行的最短距離為2 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 某同學有一個圓錐狀的木塊，經過測量，該木塊的底面直徑為12
cm，高為8 cm.該同學計劃用該木料制作一個木質球，并且使得
球與該圓錐內切，軸截面如圖所示，試求此球的半徑.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：根據題意，BC＝12 cm，AE＝8 cm，且AB＝AC，
所以CE＝ BC＝6 cm，所以AB＝AC＝ ＝
＝10 cm.
設內切球的半徑為R，根據等面積法得 ×12×8＝ ×（10＋10
＋12）×R，解得R＝3，故此球的半徑為3 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知一個圓錐的底面圓的半徑為2，高為6，且有一個高為x的內
接圓柱.
（1）用x表示圓柱的軸截面面積S；
（1）圓柱的軸截面面積S＝2r·x＝2x· ＝－ x2＋
4x，x∈（0，6）.
解：作出圓錐和內接圓柱的軸截面，如圖.設
圓柱的底面圓的半徑為r，則由相似三角形
可得 ＝ ，
解得r＝2－ ，x∈（0，6）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解： ∵S＝－ x2＋4x＝－ （x－3）2＋6，
∴當x＝3時，S取得最大值，Smax＝6.
（2）當x為何值時，S最大？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑