資源簡介

13.1.3　直觀圖的斜二測畫法
1.水平放置的△ABC，有一邊在水平線上，用斜二測畫法作出的直觀圖是正△A'B'C'，則△ABC是（　　）
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.任意三角形
2.下列直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的是（　　）
3.如果一個(gè)水平放置的圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（　　）
A.2＋ B.
C. D.1＋
4.（2024·南通月考）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖A'B'C'D'是邊長為2的菱形，且O'D'＝2，則原平面圖形的周長為（　　）
A.4＋4 B.4＋4
C.8 D.8
5.（多選）利用斜二測畫法，下列結(jié)論中正確的是（　　）
A.兩條相交直線的直觀圖是平行直線
B.兩條垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線
C.正方形的直觀圖可能是平行四邊形
D.梯形的直觀圖可能是梯形
6.（多選）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖，A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，則在原平面圖形△ABC中，有（　　）
A.AC＝BC B.AB＝2
C.AC＝2 D.S△ABC＝4
7.在棱長為4 cm的正方體ABCD-A1B1C1D1中，作直觀圖時(shí)，棱AA1在x軸上，棱AD在y軸上，則在其直觀圖中，對應(yīng)棱A'D'的長為　　　cm，棱A'A'1的長為　　　　cm.
8.如圖所示的正方形ABCO中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），則由斜二測畫法畫出的正方形ABCO的直觀圖A'B'C'O'中，頂點(diǎn)B'到x'軸的距離為　　　　.
9.如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，由斜二測畫法，畫出這個(gè)梯形的直觀圖O'A'B'C'，則在直觀圖中梯形的高為　　　　.
10.用斜二測畫法畫出如圖所示的水平放置的四邊形OBCD的直觀圖.
11.如圖所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直觀圖，B'在x'軸上，A'O'與x'軸垂直，且A'O'＝2，則△AOB的邊OB上的高為（　　）
A.2　　　B.4　　　C.2　　　D.4
12.（多選）（2024·蘇州質(zhì)檢）如圖所示是水平放置的△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的直觀圖，其中D'是A'C'的中點(diǎn)，則在原△ABC中，與線段BD相等的線段可能有（　　）
A.0條 B.1條
C.2條 D.3條
13.一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面重合，已知長方體的長、寬、高分別為20 m，5 m，10 m，四棱錐的高為8 m，若利用斜二測畫法按1∶500的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中長方體的長為　　　　cm，寬為　　　　cm，建筑物的高為　　　　cm.
14.如圖，四邊形A'B'C'D'是邊長為1的正方形，且它是某個(gè)四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形，并求出原圖形的面積.
15.泉州是一個(gè)歷史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重閩南式大屋頂與西式建筑的巧妙結(jié)合，具有獨(dú)特的建筑風(fēng)格與空間特征.為延續(xù)該市的建筑風(fēng)格，在舊城改造中，計(jì)劃對部分建筑物屋頂進(jìn)行“平改坡”，并體現(xiàn)“紅磚青石”的閩南傳統(tǒng)建筑風(fēng)格.現(xiàn)欲設(shè)計(jì)一個(gè)閩南式大屋，該大屋可近似地看作一個(gè)直四棱柱和一個(gè)三棱柱的組合體，請畫出其直觀圖（尺寸自定）.
13.1.3　直觀圖的斜二測畫法
1.C　將△A'B'C'還原，由斜二測畫法知，△ABC為鈍角三角形.故選C.
2.A　由題意知，應(yīng)看到正方體的上面、前面和右面，由幾何體直觀圖的畫法及直觀圖中虛線的使用，可知A符合題意.
3.A　如圖，畫出其相應(yīng)平面圖，知S＝×2×（1＋1＋）＝2＋.故選A.
4.B　由題可知O'D'＝A'D'＝2，∠A'O'D'＝45°，∴O'A'＝2，還原直觀圖可得原平面圖形，如圖，則OD＝2O'D'＝4，OA＝O'A'＝2，AB＝DC＝2，∴AD＝＝＝2，∴原平面圖形的周長為4＋4.故選B.
5.CD　兩條相交直線的直觀圖仍然是相交直線，故A錯(cuò)誤；兩條垂直直線的直觀圖可能是垂直直線，也可能是兩條相交但不垂直的直線，故B錯(cuò)誤；C、D正確.故選C、D.
6.BD　在直觀圖△A'B'C'中，過C'作C'D'⊥A'B'于D'，如圖①.∵A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，∴A'D'＝1，C'D'＝＝2，又∠C'O'D'＝45°，∴O'D'＝2，O'A'＝1，O'C'＝2，
∴利用斜二測畫法將直觀圖△A'B'C'還原為原平面圖形△ABC，如圖②，OC＝4，OA＝1，AB＝2，故選項(xiàng)B正確；又AC＝＝，BC＝＝，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；S△ABC＝×AB×OC＝×2×4＝4，故選項(xiàng)D正確.故選B、D.
7.2　4　解析：在x軸上的線段長度不變，故A'A'1＝4 cm，在y軸上的線段變成原來的一半，故A'D'＝2 cm.
8.　解析：由斜二測畫法可知，在斜坐標(biāo)系x'O'y'中，B'C'＝1，∠x'C'B'＝45°.過B'作x'軸的垂線，垂足為D'（圖略）.在Rt△B'D'C'中，B'D'＝B'C'sin 45°＝1×＝.
9.　解析：按斜二測畫法，得梯形的直觀圖O'A'B'C'，如圖所示，原圖形中梯形的高CD＝2，在直觀圖中C'D'＝1，且∠C'D'A'＝45°，作C'E'垂直于x'軸于點(diǎn)E'，則C'E'＝C'D'·sin 45°＝.
10.解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖①所示.
（2）畫出相應(yīng)的x'軸，y'軸，使∠x'O'y'＝45°，如圖②所示，在x'軸上取點(diǎn)B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'軸上取點(diǎn)D'，使得O'D'＝OD；過點(diǎn)E'作E'C'∥y'軸，使E'C'＝EC.
（3）連接B'C'，C'D'，并擦去x'軸與y'軸及其他一些輔助線，如圖③所示，四邊形O'B'C'D'就是所求的直觀圖.
11.D　設(shè)△AOB的邊OB上的高為h，因?yàn)镾原圖形＝2S直觀圖，所以×OB×h＝2××2×O'B'.又OB＝O'B'，所以h＝4.
12.CD　將直觀圖還原，可得△ABC為直角三角形，BD為斜邊上的中線，當(dāng)∠BAC≠30°且∠BAC≠60°時(shí)，與BD的長相等的線段有2條；當(dāng)∠BAC＝30°或60°時(shí)，與BD的長相等的線段有3條.
13.4　0.5　3.6　解析：由比例可知長方體的長、寬、高分別為4 cm，1 cm，2 cm，四棱錐的高為1.6 cm，所以長方體的直觀圖的長、寬、高應(yīng)分別為4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱錐的直觀圖的高為1.6 cm.所以直觀圖中建筑物的高為2＋1.6＝3.6（cm）.
14.解：畫出平面直角坐標(biāo)系xOy，使點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合，在x軸上取點(diǎn)C，使AC＝，再在y軸上取點(diǎn)D，使AD＝2，取AC的中點(diǎn)E，連接DE并延長至點(diǎn)B，使DE＝EB，連接DC，CB，BA，則四邊形ABCD為正方形A'B'C'D'的原圖形，如圖所示.
易知四邊形ABCD為平行四邊形.
∵AD＝2，AC＝，
∴S ABCD＝2×＝2，即原圖形的面積為2.
15.解：（1）先按照斜二測畫法畫出直四棱柱的直觀圖A'B'C'D'-ABCD；
（2）以直四棱柱的上底面ABCD為三棱柱的側(cè)面畫出三棱柱的直觀圖ADE-BCF.直觀圖如圖所示.
3 / 313.1.3　直觀圖的斜二測畫法
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（長方體、球、柱、錐、臺(tái)及其簡單組合體）的直觀圖 直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算
圖中的國家游泳中心（又稱“水立方”）可以抽象成一個(gè)幾何體——長方體.
【問題】　你能畫出一個(gè)長方體嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　斜二測畫法
1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
提醒　對斜二測畫法的再理解：①“斜”：把直角坐標(biāo)系xOy變?yōu)樾弊鴺?biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'軸是斜的，反映投影線是斜的；②“二測”：平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄从小皟煞N測度”.
2.用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖的步驟
（1）在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠xOz＝　　，且∠yOz＝　　；
（2）畫直觀圖時(shí)把它們畫成對應(yīng)的x'軸、y'軸和z'軸，它們相交于點(diǎn)O'，并使∠x'O'y'＝　　（或　　　），∠x'O'z'＝　　，x'軸和y'軸所確定的平面表示水平面；
（3）已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段；
（4）已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中　　　　　　　　　；平行于y軸的線段，在直觀圖中　　　　　　　　　　.
提醒　（1）斜二測畫法下原圖形與直觀圖中的“三變”與“三不變”：
①“三變”
②“三不變”
（2）斜二測畫法下原圖形與直觀圖面積的關(guān)系：①S直觀圖＝S原圖形；②S原圖形＝2S直觀圖.
1.下列說法中正確的是（　　）
A.在斜二測畫法中，各條線段的長度都發(fā)生了改變
B.在空間圖形的直觀圖中，原來平行的直線仍然平行
C.在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變
D.用斜二測畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°
2.利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖，正確的是（　　）
3.（2024·淮安馬壩高中期中）△AOB的斜二測直觀圖△A'O'B'如圖所示，則△AOB的面積是（　　）
A.　 　B.4　 　C.2　 　D.4
題型一 平面圖形的直觀圖的畫法
【例1】　（鏈接教科書第158頁例4）畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.
通性通法
畫平面圖形的直觀圖的技巧
（1）在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)；
（2）畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段（平行性不變），與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段.
【跟蹤訓(xùn)練】
按如圖的建系方法，畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖.
題型二 空間幾何體的直觀圖的畫法
【例2】　（鏈接教科書第159頁例5）已知一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐）的底面邊長為4，高為3，用斜二測畫法畫出此正四棱錐的直觀圖.
通性通法
　　用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖的原則
（1）用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸，y軸，z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x'軸，y'軸，z'軸的線段；
（2）平行于x軸，z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼?
【跟蹤訓(xùn)練】
已知一棱柱的底面是邊長為3 cm的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長為4 cm，用斜二測畫法畫出此棱柱的直觀圖.
題型三 直觀圖的還原與計(jì)算
【例3】　（1）如圖①，Rt△O'A'B'是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若O'B'＝，則這個(gè)平面圖形的面積是（　　）
A.1　 　B.　　　C.2　　D.4
（2）如圖②所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.
通性通法
直觀圖的還原技巧
　　由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x'軸，y'軸平行的直線或線段，且平行于x'軸的線段還原時(shí)長度不變，平行于y'軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖，其中A'B'，A'C'所在直線分別與x'軸，y'軸平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（　　）
A.等腰三角形 B.鈍角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
2.（2024·金華月考）已知等邊△ABC的邊長為a，那么△ABC的直觀圖△A'B'C'的面積為（　　）
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
1.若把一個(gè)高為10 cm的圓柱的底面畫在x'O'y'平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成（　　）
A.平行于z'軸且長度為10 cm
B.平行于z'軸且長度為5 cm
C.與z'軸成45°且長度為10 cm
D.與z'軸成45°且長度為5 cm
2.如圖，用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原圖形是（　　）
3.（多選）對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述正確的是（　　）
A.三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形
B.銳角在直觀圖中依然是銳角
C.與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?br/>D.由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同
4.（2024·江蘇梅村高中月考）如圖所示，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A'B'C'，已知A'C'＝4，B'C'＝6，則△ABC的面積為　　　　.
13.1.3　直觀圖的斜二測畫法
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
1.45°　135°　水平面　x'軸或y'軸　保持原長度不變　一半　2.（1）90°　90°　（2）45°　135°　90°　（4）保持原長度不變　長度為原來的一半
自我診斷
1.B　在斜二測畫法中，平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半，故A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；在空間圖形的直觀圖中，原來平行的直線仍然平行，故B正確；對于D，∵∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，∴在直觀圖中，∠A＝45°或135°，故D錯(cuò)誤.故選B.
2.C　正方形的直觀圖應(yīng)為平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1.
3.D　依題意，由斜二測畫法規(guī)則知，△AOB的底邊OB＝O'B'＝2，邊OB上的高h(yuǎn)＝2×2，所以△AOB的面積是S＝·OB·h＝4.故選D.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：畫法：（1）如圖所示，取AB所在的直線為x軸，以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.
（2）以O(shè)'為中點(diǎn)在x'軸上取A'B'＝AB，在y'軸上取O'E'＝OE，以E'為中點(diǎn)畫C'D'∥x'軸，并使C'D'＝CD.
（3）連接B'C'，D'A'，所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.
跟蹤訓(xùn)練
　解：畫法：（1）作AG⊥x軸于點(diǎn)G，作DH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖①.
（2）畫相應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交于O'，使∠x'O'y'＝45°，如圖②.
（3）在圖②中的x'軸上取O'B'＝OB，O'G'＝OG，O'C'＝OC，O'H'＝OH，y'軸上取O'E'＝OE，分別過G'和H'作y'軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G'A'＝GA，H'D'＝HD.
（4）連接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去輔助線G'A'，H'D'，x'軸與y'軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A'B'C'D'E'，如圖③.
【例2】　解：（1）畫軸.如圖①，畫x'軸，y'軸，z'軸，使得∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°.
（2）畫底面.以點(diǎn)O'為中點(diǎn)，在x'軸上畫MN＝4，在y'軸上畫PQ＝2，分別過點(diǎn)M，N作y'軸的平行線，過點(diǎn)P，Q作x'軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，則四邊形ABCD就是該棱錐的底面.
（3）畫高確定頂點(diǎn).在z'軸上截取O'S＝3.
（4）連線成圖.順次連接SA，SB，SC，SD，去掉作為輔助線的坐標(biāo)軸，將被遮擋部分改為虛線，就得到了正四棱錐的直觀圖，如圖②.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）畫軸.畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）畫底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上畫MN＝3 cm，在y軸上畫PQ＝ cm，分別過點(diǎn)M，N作y軸的平行線，過點(diǎn)P，Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，則四邊形ABCD就是該棱柱的底面.
（3）畫側(cè)棱.過點(diǎn)A，B，C，D分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取4 cm長的線段AA'，BB'，CC'，DD'，如圖①所示.
（4）成圖.連接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到該棱柱的直觀圖，如圖②所示.
【例3】　（1）C　由題圖知，△OAB為直角三角形.∵O'B'＝，∴A'B'＝，O'A'＝2.∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故選C.
（2）解：建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2.
在過點(diǎn)D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.
在過點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.
連接BC，便得到了原圖形（如圖）.
由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.
∴面積為S＝×2＝5.
跟蹤訓(xùn)練
1.D　因?yàn)樗椒胖玫摹鰽BC的直觀圖中，∠x'O'y'＝45°，A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'軸，A'C'∥y'軸，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.
2.D　法一　建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖②所示，建立坐標(biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°，由直觀圖畫法，知A'B'＝AB＝a，O'C'＝OC＝a.過點(diǎn)C'作C'D'⊥O'x'于點(diǎn)D'，則C'D'＝O'C'＝a.所以△A'B'C'的面積是S＝·A'B'·C'D'＝·a·a＝a2.
法二　S△ABC＝a2，又S△A'B'C'＝S△ABC，所以S△A'B'C'＝×a2＝a2.
隨堂檢測
1.A　平行于z軸（或在z軸上）的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致.故選A.
2.A　根據(jù)斜二測畫法知，在y軸上的線段長度為直觀圖中相應(yīng)線段長度的2倍，故選A.
3.ACD　對于A，根據(jù)斜二測畫法特點(diǎn)知，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；對于B，由斜二測畫法特點(diǎn)知銳角在直觀圖中不一定是銳角，故B錯(cuò)誤；C、D顯然正確.故選A、C、D.
4.24　解析：由已知得△ABC的原圖如圖所示，其中AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，所以S△ABC＝×6×8＝24.
4 / 4(共61張PPT)
13.1.3　
直觀圖的斜二測畫法
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形（長方體、球、柱、
錐、臺(tái)及其簡單組合體）的直觀圖 直觀想象、
數(shù)學(xué)運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　圖中的國家游泳中心（又稱“水立方”）可以抽象成一個(gè)幾何
體——長方體.
【問題】　你能畫出一個(gè)長方體嗎？
知識(shí)點(diǎn)　斜二測畫法
1. 用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
提醒　對斜二測畫法的再理解：①“斜”：把直角坐標(biāo)系xOy變?yōu)?br/>斜坐標(biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'軸是斜的，反
映投影線是斜的；②“二測”：平行于x軸的線段長度不變，平行
于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄从小皟煞N測度”.
2. 用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖的步驟
（1）在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取
z軸，使∠xOz＝ ，且∠yOz＝ ；
（2）畫直觀圖時(shí)把它們畫成對應(yīng)的x'軸、y'軸和z'軸，它們相交于
點(diǎn)O'，并使∠x'O'y'＝ （或 ），∠x'O'z'
＝ ，x'軸和y'軸所確定的平面表示水平面；
（3）已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別
畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段；
90°　
90°　
45°　
135°　
90°　
（4）已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中
；平行于y軸的線段，在直觀圖中
.
提醒　（1）斜二測畫法下原圖形與直觀圖中的“三變”與
“三不變”：
①“三變”
保持原長
度不變　
長度為原來的
一半　
②“三不變”
（2）斜二測畫法下原圖形與直觀圖面積的關(guān)系：①S直觀圖＝ S原
圖形；②S原圖形＝2 S直觀圖.
1. 下列說法中正確的是（　　）
A. 在斜二測畫法中，各條線段的長度都發(fā)生了改變
B. 在空間圖形的直觀圖中，原來平行的直線仍然平行
C. 在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變
D. 用斜二測畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°
√
解析： 　在斜二測畫法中，平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中
保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半，故A錯(cuò)
誤，C錯(cuò)誤；在空間圖形的直觀圖中，原來平行的直線仍然平行，
故B正確；對于D，∵∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝
90°，∴在直觀圖中，∠A＝45°或135°，故D錯(cuò)誤.故選B.
2. 利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖，正確的是
（　　）
解析： 　正方形的直觀圖應(yīng)為平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之
比為2∶1.
√
3. （2024·淮安馬壩高中期中）△AOB的斜二測直觀圖△A'O'B'如圖
所示，則△AOB的面積是（　　）
D. 4
解析： 　依題意，由斜二測畫法規(guī)則知，△AOB的底邊OB＝
O'B'＝2，邊OB上的高h(yuǎn)＝2×2，所以△AOB的面積是S＝
·OB·h＝4.故選D.
√
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 平面圖形的直觀圖的畫法
【例1】　（鏈接教科書第158頁例4）畫出如圖所示水平放置的等腰
梯形的直觀圖.
解：畫法：（1）如圖所示，取AB所
在的直線為x軸，以AB中點(diǎn)O為原
點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的
坐標(biāo)系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.
（2）以O(shè)'為中點(diǎn)在x'軸上取A'B'＝AB，在y'軸上取O'E'＝ OE，以
E'為中點(diǎn)畫C'D'∥x'軸，并使C'D'＝CD.
（3）連接B'C'，D'A'，所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯
形ABCD的直觀圖.
通性通法
畫平面圖形的直觀圖的技巧
（1）在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)
鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便
于畫點(diǎn)；
（2）畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段（平行性不
變），與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它
的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段.
【跟蹤訓(xùn)練】
按如圖的建系方法，畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖.
解：畫法：（1）作AG⊥x軸于點(diǎn)G，作DH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖①.
（2）畫相應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交于O'，使∠x'O'y'＝45°，如圖
②.
（3）在圖②中的x'軸上取O'B'＝OB，O'G'＝OG，O'C'＝OC，
O'H'＝OH，y'軸上取O'E'＝ OE，分別過G'和H'作y'軸的平行線，
并在相應(yīng)的平行線上取G'A'＝ GA，H'D'＝ HD.
（4）連接A'B'，A'E'，
E'D'，D'C'，并擦去輔助線
G'A'，H'D'，x'軸與y'軸，
便得到水平放置的正五邊
形ABCDE的直觀圖
A'B'C'D'E'，如圖③.
題型二 空間幾何體的直觀圖的畫法
【例2】　（鏈接教科書第159頁例5）已知一個(gè)正四棱錐（底面是正
方形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐）的底面邊長為4，
高為3，用斜二測畫法畫出此正四棱錐的直觀圖.
解：（1）畫軸.如圖①，畫x'軸，y'軸，z'軸，使得∠x'O'y'＝45°，
∠x'O'z'＝90°.
（2）畫底面.以點(diǎn)O'為中點(diǎn)，在x'軸上畫MN＝4，在y'軸上畫PQ
＝2，分別過點(diǎn)M，N作y'軸的平行線，過點(diǎn)P，Q作x'軸的平行線，
設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，則四邊形ABCD就是該棱錐的
底面.
（3）畫高確定頂點(diǎn).在z'軸上截取O'S＝3.
（4）連線成圖.順次連接
SA，SB，SC，SD，去掉
作為輔助線的坐標(biāo)軸，將被
遮擋部分改為虛線，就得到
了正四棱錐的直觀圖，如圖②.
通性通法
　　用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖的原則
（1）用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于x軸，y
軸，z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x'軸，y'軸，z'軸的
線段；
（2）平行于x軸，z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸
的線段長度變?yōu)樵瓉淼?.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知一棱柱的底面是邊長為3 cm的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱
長為4 cm，用斜二測畫法畫出此棱柱的直觀圖.
解：（1）畫軸.畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝
45°，∠xOz＝90°.
（2）畫底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上畫MN＝3 cm，在y軸上畫PQ
＝ cm，分別過點(diǎn)M，N作y軸的平行線，過點(diǎn)P，Q作x軸的平行
線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，則四邊形ABCD就是該棱
柱的底面.
（3）畫側(cè)棱.過點(diǎn)A，B，C，D分別作z軸的平行線，
并在這些平行線上分別截取4 cm長的線段AA'，BB'，
CC'，DD'，如圖①所示.
（4）成圖.連接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，并加以整理
（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到
該棱柱的直觀圖，如圖②所示.
題型三 直觀圖的還原與計(jì)算
【例3】　（1）如圖①，Rt△O'A'B'是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若O'B'＝ ，則這個(gè)平面圖形的面積是（　　）
A. 1
解析： 　由題圖知，△OAB為直角三角形.∵O'B'＝ ，
∴A'B'＝ ，O'A'＝2.∴在原△OAB中，OB＝ ，OA＝
4，∴S△OAB＝ × ×4＝2 .故選C.
√
（2）如圖②所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若
A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.
試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.
解：建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截
取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2.
在過點(diǎn)D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1
＝2.
在過點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.
連接BC，便得到了原圖形（如圖）.由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.∴面積為S＝ ×2＝5.
通性通法
直觀圖的還原技巧
　　由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x'軸，y'軸平行的直線或線
段，且平行于x'軸的線段還原時(shí)長度不變，平行于y'軸的線段還原時(shí)
放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次
連接即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖，其中A'B'，A'C'所在
直線分別與x'軸，y'軸平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（　　）
A. 等腰三角形 B. 鈍角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
解析： 　因?yàn)樗椒胖玫摹鰽BC的直觀圖中，∠x'O'y'＝45°，
A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'軸，A'C'∥y'軸，所以AB⊥AC，AB≠AC，
所以△ABC是直角三角形.
√
2. （2024·金華月考）已知等邊△ABC的邊長為a，那么△ABC的直
觀圖△A'B'C'的面積為（　　）
√
解析： 　法一　建立如圖①
所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.
如圖②所示，建立坐標(biāo)系
x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°，由
直觀圖畫法，知A'B'＝AB＝
a，O'C'＝ OC＝ a.過點(diǎn)C'作C'D'⊥O'x'于點(diǎn)D'，則C'D'＝ O'C'＝ a.所以△A'B'C'的面積是S＝ ·A'B'·C'D'＝ ·a· a＝ a2.
法二　S△ABC＝ a2，又S△A'B'C'＝ S△ABC，所以S△A'B'C'＝ × a2
＝ a2.
1. 若把一個(gè)高為10 cm的圓柱的底面畫在x'O'y'平面上，則圓柱的高應(yīng)
畫成（　　）
A. 平行于z'軸且長度為10 cm
B. 平行于z'軸且長度為5 cm
C. 與z'軸成45°且長度為10 cm
D. 與z'軸成45°且長度為5 cm
解析： 　平行于z軸（或在z軸上）的線段，在直觀圖中的方向和
長度都與原來保持一致.故選A.
√
2. 如圖，用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原圖形是（　　）
√
解析： 　根據(jù)斜二測畫法知，在y軸上的線段長度為直觀圖中相
應(yīng)線段長度的2倍，故選A.
3. （多選）對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列
描述正確的是（　　）
A. 三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形
B. 銳角在直觀圖中依然是銳角
C. 與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?br/>D. 由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同
√
√
√
解析： 　對于A，根據(jù)斜二測畫法特點(diǎn)知，相交直線的直觀圖
仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；
對于B，由斜二測畫法特點(diǎn)知銳角在直觀圖中不一定是銳角，故B
錯(cuò)誤；C、D顯然正確.故選A、C、D.
4. （2024·江蘇梅村高中月考）如圖所示，水平放置的△ABC的斜二
測直觀圖是圖中的△A'B'C'，已知A'C'＝4，B'C'＝6，則△ABC的
面積為 .
解析：由已知得△ABC的原圖如圖所示，其中AC＝
8，BC＝6，∠ACB＝90°，所以S△ABC＝ ×6×8＝
24.
24　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 水平放置的△ABC，有一邊在水平線上，用斜二測畫法作出的直
觀圖是正△A'B'C'，則△ABC是（　　）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 任意三角形
解析： 　將△A'B'C'還原，由斜二測畫法知，△ABC為鈍角三
角形.故選C.
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2. 下列直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的
是（　　）
解析： 　由題意知，應(yīng)看到正方體的上面、前面和右面，由幾何
體直觀圖的畫法及直觀圖中虛線的使用，可知A符合題意.
√
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3. 如果一個(gè)水平放置的圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均
為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（　　）
解析：A　如圖，畫出其相
應(yīng)平面圖，知S＝ ×2×（1
＋1＋ ）＝2＋ .故選
A.
√
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4. （2024·南通月考）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖
A'B'C'D'是邊長為2的菱形，且O'D'＝2，則原平面圖形的周長為
（　　）
D. 8
√
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解析： 　由題可知O'D'＝A'D'＝2，∠A'O'D'
＝45°，∴O'A'＝2 ，還原直觀圖可得原平面
圖形，如圖，則OD＝2O'D'＝4，OA＝O'A'＝
2 ，AB＝DC＝2，∴AD＝ ＝
＝2 ，∴原平面圖形的周長為
4 ＋4.故選B.
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5. （多選）利用斜二測畫法，下列結(jié)論中正確的是（　　）
A. 兩條相交直線的直觀圖是平行直線
B. 兩條垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線
C. 正方形的直觀圖可能是平行四邊形
D. 梯形的直觀圖可能是梯形
解析： 　兩條相交直線的直觀圖仍然是相交直線，故A錯(cuò)誤；
兩條垂直直線的直觀圖可能是垂直直線，也可能是兩條相交但不垂
直的直線，故B錯(cuò)誤；C、D正確.故選C、D.
√
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6. （多選）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直觀圖，A'B'＝2，
A'C'＝B'C'＝ ，則在原平面圖形△ABC中，有（　　）
A. AC＝BC B. AB＝2
√
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解析： 　在直觀圖△A'B'C'中，過C'作C'D'⊥A'B'于D'，如圖
①.∵A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝ ，∴A'D'＝1，C'D'＝
＝2，又∠C'O'D'＝45°，∴O'D'＝2，O'A'＝1，
O'C'＝2 ，
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∴利用斜二測畫法將直觀圖△A'B'C'還原為原平面圖形△ABC，
如圖②，OC＝4 ，OA＝1，AB＝2，故選項(xiàng)B正確；又AC＝
＝ ，BC＝ ＝ ，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)
誤；S△ABC＝ ×AB×OC＝ ×2×4 ＝4 ，故選項(xiàng)D正確.故
選B、D.
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7. 在棱長為4 cm的正方體ABCD-A1B1C1D1中，作直觀圖時(shí)，棱AA1
在x軸上，棱AD在y軸上，則在其直觀圖中，對應(yīng)棱A'D'的長
為 cm，棱A'A'1的長為 cm.
解析：在x軸上的線段長度不變，故A'A'1＝4 cm，在y軸上的線段
變成原來的一半，故A'D'＝2 cm.
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4　
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8. 如圖所示的正方形ABCO中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），則由斜二測畫
法畫出的正方形ABCO的直觀圖A'B'C'O'中，頂點(diǎn)B'到x'軸的距離
為 .
　
解析：由斜二測畫法可知，在斜坐標(biāo)系x'O'y'中，B'C'＝1，∠x'C'B'＝45°.過B'作x'軸的垂線，垂足為D'（圖略）.在Rt△B'D'C'中，B'D'＝B'C' sin 45°＝1× ＝ .
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解析：按斜二測畫法，得梯形的直觀圖
O'A'B'C'，如圖所示，原圖形中梯形的高CD
＝2，在直觀圖中C'D'＝1，且∠C'D'A'＝
45°，作C'E'垂直于x'軸于點(diǎn)E'，則C'E'＝
C'D'· sin 45°＝ .
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10. 用斜二測畫法畫出如圖所示的水平放置的四邊形OBCD的直觀圖.
解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖①所示.
（2）畫出相應(yīng)的x'軸，y'軸，使∠x'O'y'＝45°，如圖②所示，在
x'軸上取點(diǎn)B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'軸上取點(diǎn)
D'，使得O'D'＝ OD；過點(diǎn)E'作E'C'∥y'軸，使E'C'＝ EC.
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（3）連接B'C'，C'D'，并擦去x'軸與y'軸及其他一些輔助線，如圖③所示，四邊形O'B'C'D'就是所求的直觀圖.
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11. 如圖所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直觀圖，B'在x'軸
上，A'O'與x'軸垂直，且A'O'＝2，則△AOB的邊OB上的高為
（　　）
A. 2 B. 4
解析： 設(shè)△AOB的邊OB上的高為h，因?yàn)镾原圖形＝2 S直觀
圖，所以 ×OB×h＝2 × ×2×O'B'.又OB＝O'B'，所以h＝
4 .
√
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12. （多選）（2024·蘇州質(zhì)檢）如圖所示是水平放置的△ABC在平面
直角坐標(biāo)系中的直觀圖，其中D'是A'C'的中點(diǎn)，則在原△ABC
中，與線段BD相等的線段可能有（　　）
A. 0條 B. 1條
C. 2條 D. 3條
√
√
解析： 　將直觀圖還原，可得△ABC為直角三角形，BD為斜
邊上的中線，當(dāng)∠BAC≠30°且∠BAC≠60°時(shí)，與BD的長相
等的線段有2條；當(dāng)∠BAC＝30°或60°時(shí)，與BD的長相等的線
段有3條.
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13. 一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長
方體的上底面重合，已知長方體的長、寬、高分別為20 m，5
m，10 m，四棱錐的高為8 m，若利用斜二測畫法按1∶500的比例
畫出它的直觀圖，那么直觀圖中長方體的長為 cm，寬
為 cm，建筑物的高為 cm.
解析：由比例可知長方體的長、寬、高分別為4 cm，1 cm，2
cm，四棱錐的高為1.6 cm，所以長方體的直觀圖的長、寬、高應(yīng)
分別為4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱錐的直觀圖的高為1.6 cm.所以
直觀圖中建筑物的高為2＋1.6＝3.6（cm）.
4　
0.5　
3.6　
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14. 如圖，四邊形A'B'C'D'是邊長為1的正方形，且它是某個(gè)四邊形按
斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形，并求出原
圖形的面積.
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解：畫出平面直角坐標(biāo)系xOy，使點(diǎn)A與原點(diǎn)O重
合，在x軸上取點(diǎn)C，使AC＝ ，再在y軸上取點(diǎn)
D，使AD＝2，取AC的中點(diǎn)E，連接DE并延長至
點(diǎn)B，使DE＝EB，連接DC，CB，BA，則四邊
形ABCD為正方形A'B'C'D'的原圖形，如圖所示.
易知四邊形ABCD為平行四邊形.
∵AD＝2，AC＝ ，
∴S ABCD＝2× ＝2 ，即原圖形的面積為2 .
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15. 泉州是一個(gè)歷史文化名城，它的一些老建筑
是中西建筑文化的融合，它注重閩南式大屋
頂與西式建筑的巧妙結(jié)合，具有獨(dú)特的建筑
風(fēng)格與空間特征.為延續(xù)該市的建筑風(fēng)格，
在舊城改造中，計(jì)劃對部分建筑物屋頂進(jìn)行
“平改坡”，并體現(xiàn)“紅磚青石”的閩南傳統(tǒng)建筑風(fēng)格.現(xiàn)欲設(shè)計(jì)一個(gè)閩南式大屋，該大屋可近似地看作一個(gè)直四棱柱和一個(gè)三棱柱的組合體，請畫出其直觀圖（尺寸自定）.
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解：（1）先按照斜二測畫法畫出直四棱柱的直觀圖A'B'C'D'-ABCD；
（2）以直四棱柱的上底面ABCD為三棱柱的側(cè)面畫出三棱柱的直觀圖ADE-BCF. 直觀圖如圖所示.
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