資源簡(jiǎn)介

13.2.1　平面的基本性質(zhì)
1.下列圖形中不一定是平面圖形的是（　　）
A.三角形　　　　　　B.菱形
C.圓 D.四邊相等的四邊形
2.若點(diǎn)A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則點(diǎn)A、直線b、平面β之間的關(guān)系可以記作（　　）
A.A∈b，b∈β B.A∈b，b β
C.A b，b β D.A b，b∈β
3.下列說法正確的是（　　）
A.三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面
B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面
C.四邊形是平面圖形
D.兩條相交直線可以確定一個(gè)平面
4.已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個(gè)平面可能的交線有（　　）
A.1條或2條 B.2條或3條
C.1條或3條 D.1條或2條或3條
5.（多選）如圖所示，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過（　　）
A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B
C.點(diǎn)C D.點(diǎn)M
6.（多選）已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，則下列推理正確的是（　　）
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線 α，β重合
7.由四條平行直線最多可以確定　　　　個(gè)平面，由四條相交于一點(diǎn)的直線最多可以確定　　　　個(gè)平面.
8.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，試根據(jù)圖形填空：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝　　　　；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝　　　　；
（3）平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝　　　　；
（4）平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共點(diǎn)為　　　　.
9.若直線l與平面α交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求證：O，C，D三點(diǎn)共線.
10.如圖，設(shè)不全等的△ABC與△A1B1C1不在同一個(gè)平面內(nèi)，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求證：AA1，BB1，CC1三線共點(diǎn).
11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是（　　）
A.三角形 B.四邊形
C.五邊形 D.六邊形
12.（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A.C1，M，O三點(diǎn)共線
B.C1，M，O，C四點(diǎn)共面
C.C1，O，A，M四點(diǎn)共面
D.D1，D，O，M四點(diǎn)共面
13.（2024·萊蕪質(zhì)檢）一個(gè)正三棱柱各面所在的平面將空間分成　　　　部分.
14.定線段AB所在的直線與定平面α相交，交點(diǎn)為O，P為定直線外一點(diǎn)，P 直線AB，P α，若直線AP，BP與平面α分別相交于A'，B'.試問，如果點(diǎn)P任意移動(dòng)，直線A'B'是否恒過一定點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.
15.正方體是常見的并且重要的多面體，對(duì)它的研究將有助于我們對(duì)立體幾何一些概念的理解和掌握.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是所在棱的中點(diǎn)，請(qǐng)思考并回答下列問題：
（1）直線EF，GH，DC能交于一點(diǎn)嗎？
（2）若E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，怎樣才能畫出過四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的平面與正方體的截面？
13.2.1　平面的基本性質(zhì)
1.D
2.B　由直線和平面都是由點(diǎn)組成的集合，所以A∈b，b β.
3.D　A錯(cuò)誤，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；B錯(cuò)誤，經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定唯一一個(gè)平面；C錯(cuò)誤，四邊形不一定是平面圖形；D正確，兩條相交直線可以確定一個(gè)平面.故選D.
4.D　當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且過同一條直線時(shí)，它們有1條交線；當(dāng)平面β和γ平行時(shí)，它們的交線有2條；當(dāng)這三個(gè)平面兩兩相交且不過同一條直線時(shí)，它們有3條交線.故選D.
5.CD　∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)基本事實(shí)3可知，M在γ與β的交線上.同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上.故選C、D.
6.ABD　由基本事實(shí)2知A正確；由基本事實(shí)3知B正確；由基本事實(shí)1知D正確；對(duì)于C，因?yàn)锳∈α，A∈β，所以A∈α∩β.由基本事實(shí)3可知α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是A，且α∩β＝A的寫法錯(cuò)誤.故選A、B、D.
7.6　6　解析：要使四條平行直線確定的平面最多，只需這四條直線中任意兩條直線所確定的平面互不相同，故由四條平行直線最多可以確定6個(gè)平面.由平面的基本事實(shí)的推論2知，四條相交于一點(diǎn)的直線最多可以確定6個(gè)平面.
8.（1）A1B1　（2）AC　（3）OO1　（4）B1
9.證明：如圖，∵AC∥BD，
∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB β，
∴O∈β，
∴O∈直線CD，
∴O，C，D三點(diǎn)共線.
10.證明：不妨設(shè)AB≠A1B1，則四邊形AA1B1B為梯形，
∴AA1與BB1相交，設(shè)其交點(diǎn)為S，則S∈AA1，S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1.
同理可證，S∈平面ACC1A1，
∴點(diǎn)S在平面BCC1B1與平面ACC1A1的交線上，
即S∈CC1，
∴AA1，BB1，CC1三線共點(diǎn).
11.C　如圖所示，延長(zhǎng)C1M交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，延長(zhǎng)C1N交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接PQ交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接NF，ME，則正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是五邊形，故選C.
12.ABC　連接A1C1，AC（圖略），則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點(diǎn)共線，∴A、B、C均正確，D不正確.故選A、B、C.
13.21　解析：三棱柱三個(gè)側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱兩個(gè)平行的底面又在這個(gè)基礎(chǔ)上將空間分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面將空間分成3×7＝21部分.
14.解：隨著點(diǎn)P移動(dòng)，直線A'B'恒過定點(diǎn)O.理由如下：
由直線AB和直線外一點(diǎn)P可確定平面β，
因?yàn)锳P∩α＝A'，BP∩α＝B'，
所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O(shè)一定在交線A'B'上，即直線A'B'恒過定點(diǎn)O.
15.解：（1）如圖所示，能交于一點(diǎn).
理由如下：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，易得E，F(xiàn)∈平面ABCD，且EF與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為P.
由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝AB.
同理，GH與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為P1，同樣可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB.
所以P1與P重合，因此直線EF，GH，DC能交于一點(diǎn).
（2）如圖所示，延長(zhǎng)HG，DD1相交于點(diǎn)R，延長(zhǎng)FE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)R，Q是截面與側(cè)面ADD1A1的公共點(diǎn)，連接RQ與A1D1，A1A分別交于點(diǎn)M，T，連接GM，TE，F(xiàn)H，可得截面與正方體各面的交線分別為EF，F(xiàn)H，HG，GM，MT，TE.截面如圖中的陰影部分所示.
2 / 213.2.1　平面的基本性質(zhì)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的概念 數(shù)學(xué)抽象、直觀想象
2.了解基本事實(shí)和確定平面的推論 邏輯推理
　　在生活中，用兩個(gè)合頁和一把鎖就可以將一扇門固定.將一把尺子置于桌面上 ，通過是否漏光就能檢查桌面是否平整.
【問題】　你知道如此做的原理嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　平面的概念及表示
1.概念：平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何概念，它沒有　　　　，是　　　　　　的.
2.平面的表示方法
（1）圖形表示：平面通常用　　　　　　來表示，當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般用水平放置的　　　　的直觀圖作為平面的直觀圖；
（2）字母表示：平面通常用希臘字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如平面α、平面AC等（如圖所示）.
知識(shí)點(diǎn)二　點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系
空間中點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系，可以借用集合中的符號(hào)來表示，例如，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中：
位置關(guān)系 符號(hào)表示
點(diǎn)P在直線AB上 P　　AB
點(diǎn)C不在直線AB上 C　　AB
點(diǎn)M在平面AC內(nèi) M　　平面AC
點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi) A1　　平面AC
直線AB與直線BC交于點(diǎn)B AB∩BC＝　
直線AB在平面AC內(nèi) AB　　平面AC
直線AA1不在平面AC內(nèi) AA1　　平面AC
提醒　（1）直線可以看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“ ”表示；（2）平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“ ”表示；（3）直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“ ”或“ ”表示.【想一想】
我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個(gè)平面.這種說法對(duì)嗎？為什么？
知識(shí)點(diǎn)三　平面的基本事實(shí)及推論
1.與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
基本 事實(shí)1 過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，　　　一個(gè)平面，簡(jiǎn)稱為不共線的三點(diǎn)　　　　一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本 事實(shí)2 如果一條直線上的　　　　　在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi) AB α
基本 事實(shí)3 如果兩個(gè)不重合的平面　　　　　，那么它們　　　　一條過該點(diǎn)的　　 α∩β＝l且P∈l
提醒　三個(gè)基本事實(shí)的作用：基本事實(shí)1：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.基本事實(shí)2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.基本事實(shí)3：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).2.三個(gè)推論
推 論 1 經(jīng)過一條直線和這條直線　　的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A l A和l確定一個(gè)平面α
推 論 2 經(jīng)過兩條　　直線，有且只有一個(gè)平面 a∩b＝A a，b確定一個(gè)平面α
推 論 3 經(jīng)過兩條　　直線，有且只有一個(gè)平面 a∥b a，b確定一個(gè)平面α
提醒　三個(gè)推論的作用：①確定一個(gè)平面；②證明平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.
1.（多選）已知點(diǎn)A，直線a，平面α，以下命題表述不正確的是（　　）
A.A∈a，a α A α
B.A∈a，a α A∈α
C.A a，a α A α
D.A∈a，a α A α
2.如圖，填入相應(yīng)的符號(hào)：A　　 　平面ABC，A　　　　平面BCD，BD　　　　平面ABC，平面ABC　　　平面ACD＝AC.
3.生活經(jīng)驗(yàn)：“兩個(gè)輪子的自行車在停止運(yùn)動(dòng)后要加上一個(gè)支撐腳才穩(wěn)定”，可以解釋該經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)公理是　　　　.
題型一 文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化
【例1】　根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：
（1）A∈α，B α；
（2）l α，m α，m∩α＝A，A l；
（3）P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
通性通法
三種語言的轉(zhuǎn)換方法
（1）用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示；
（2）要注意符號(hào)語言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“ ”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“ ”或“ ”.
提醒　根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖所示，用符號(hào)語言可表述為（　　）
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n α，A∈m，A∈n
題型二 點(diǎn)、線共面問題
【例2】　（鏈接教科書第165頁例1）如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).
通性通法
證明點(diǎn)、線共面的方法
　　證明點(diǎn)、線共面的主要依據(jù)是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論，常用的方法有：
（1）輔助平面法，先證明有關(guān)點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余點(diǎn)、線確定平面β，最后證明平面α，β重合；
（2）納入平面法，先由條件確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)的點(diǎn)、線在此平面內(nèi).
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c和l共面.
題型三 點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題
【例3】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)Q，求證：D，A，Q三點(diǎn)共線.
通性通法
1.證明三點(diǎn)共線的方法
2.證明三線共點(diǎn)的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
1.如圖，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.
2.已知三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a，b不平行，求證：a，b，c三條直線必過同一點(diǎn).
題型四 幾何體截面的畫法
【例4】　（鏈接教科書第166頁例2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CC1和AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線并說明理由.
通性通法
作截面的三種常用方法
（1）直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交線的過程；
（2）延長(zhǎng)線法：同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長(zhǎng)至與其他平面相交找到交點(diǎn)；
（3）平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體的截面的交線.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出過點(diǎn)D，M，N的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作法.
1.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.平面是處處平的面
B.平面是無限延展的
C.平面的形狀是平行四邊形
D.一個(gè)平面的厚度可以是0.001 cm
2.如果直線a 平面α，直線b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則（　　）
A.l α　　　　　　 B.l α
C.l∩α＝M D.l∩α＝N
3.若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面α內(nèi)，則Q，b，α之間的關(guān)系可記作　　　　.
4.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為AA1，C1D1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與直線A1B1交于點(diǎn)P，則線段PB1的長(zhǎng)為　　　　.
13.2.1　平面的基本性質(zhì)
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.厚薄　無限延展　2.（1）平行四邊形　正方形
知識(shí)點(diǎn)二
　∈　 　∈　 　B　 　
想一想
　提示：不對(duì).數(shù)學(xué)中的平面是無限延展的，是沒有厚薄的.
知識(shí)點(diǎn)三
1.有且只有　確定　兩個(gè)點(diǎn)　有一個(gè)公共點(diǎn)　有且只有　公共直線　2.外　相交　平行
自我診斷
1.ACD　對(duì)于A，如a∩α＝A時(shí)，滿足A∈a，a α，此時(shí)A∈α可以成立，故A錯(cuò)誤；易知B正確；對(duì)于C，如圖所示，A a，a α，但A∈α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“A α”表述錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.故選A、C、D.
2.∈　 　 　∩
3.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面
解析：類比三腳架知，支撐點(diǎn)形成一個(gè)平面才會(huì)保持穩(wěn)定，因此加上一個(gè)支撐腳后，兩個(gè)輪子加支撐腳與地面接觸點(diǎn)形成了不共線的三點(diǎn)，確定了一個(gè)平面.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①所示.
（2）直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②所示.
（3）直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q，如圖③所示.
跟蹤訓(xùn)練
　A　由圖可知α∩β＝m，n α，且m∩n＝A，A∈m，A∈n.
【例2】　證明：法一（納入平面法）　∵l1∩l2＝A，由推論2，知l1和l2確定一個(gè)平面，設(shè)為α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又l2 α，∴B∈α.同理可證C∈α.
又B∈l3，C∈l3，由基本事實(shí)2，知l3 α.
∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).
法二（輔助平面法）　∵l1∩l2＝A，由推論2，知l1，l2確定一個(gè)平面，設(shè)為α.
∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面，設(shè)為β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，由基本事實(shí)1，知平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).
跟蹤訓(xùn)練
　證明：法一（納入平面法）　
∵a∥b，∴a，b確定一個(gè)平面α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，∴l(xiāng) α.
則a，b，l都在平面α內(nèi)，即b在a，l確定的平面內(nèi).
同理可證c在a，l確定的平面內(nèi).
∵過a與l只能確定一個(gè)平面，∴直線a，b，c和l共面.
法二（輔助平面法）　∵a∥b，∴a，b確定一個(gè)平面，設(shè)為α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，∴l(xiāng) α.
∵點(diǎn)C∈l，∴點(diǎn)C∈α，∴a與點(diǎn)C同在平面α內(nèi).
又a∥c，∴直線a，c確定一個(gè)平面β.
∵點(diǎn)C∈c，c β，
∴點(diǎn)C∈β，即a與點(diǎn)C同在平面β內(nèi).
∴平面α和平面β重合，則c α，∴直線a，b，c和l共面.
【例3】　證明：因?yàn)镸N∩EF＝Q，所以Q∈直線MN，Q∈直線EF，
又因?yàn)镸∈直線CD，N∈直線AB，CD 平面ABCD，AB 平面ABCD.
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN 平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF 平面ADD1A1.
所以Q∈平面ADD1A1.
又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直線AD，即D，A，Q三點(diǎn)共線.
跟蹤訓(xùn)練
1.證明：法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
由基本事實(shí)3可知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，
同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上，
故P，Q，R三點(diǎn)共線.
法二　∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.
又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線.
2.證明：因?yàn)棣痢搔茫絙，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因?yàn)橹本€a與直線b不平行，
所以a，b必相交.
如圖所示，設(shè)a∩b＝P，則P∈a，P∈b.
因?yàn)閍 β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因?yàn)棣痢搔拢絚，所以P∈c，即交線c也經(jīng)過點(diǎn)P，
所以，a，b，c三條直線必過同一點(diǎn).
【例4】　解：延長(zhǎng)D1E和DC交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)D1F和DA交于點(diǎn)M，連接MN，則MN為平面BED1F與平面ABCD的交線，且MN經(jīng)過點(diǎn)B，如圖.
理由如下：
因?yàn)镹∈D1E，N∈DC，D1E 平面BED1F，DC 平面ABCD，
所以N為平面BED1F與平面ABCD的公共點(diǎn).
同理M為平面BED1F與平面ABCD的公共點(diǎn).
所以MN為平面BED1F與平面ABCD的交線，顯然B也為平面BED1F與平面ABCD的公共點(diǎn)，所以B∈MN.
跟蹤訓(xùn)練
　解：如圖所示，五邊形DQMFN即為所求截面.
作法如下：連接DN并延長(zhǎng)交D1C1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
連接ME交B1C1于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EM交D1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
連接DH交AA1于點(diǎn)Q，連接QM，F(xiàn)N，
所得五邊形DQMFN即為所求截面.
隨堂檢測(cè)
1.AB　平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，A、B兩種說法是正確的；C、D兩種說法是錯(cuò)誤的.故選A、B.
2.A　因?yàn)镸∈a，a α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l α.故選A.
3.Q∈b α　解析：因?yàn)辄c(diǎn)Q（元素）在直線b（集合）上，所以Q∈b.又因?yàn)橹本€b（集合）在平面α（集合）內(nèi)，所以b α.所以Q∈b α.
4.a　解析：連接DM并延長(zhǎng)交D1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GN（圖略），則GN與A1B1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.由M，N分別為AA1，C1D1的中點(diǎn)，知P為A1B1的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A1），故線段PB1的長(zhǎng)為a.
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13.2.1
　平面的基本性質(zhì)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直
線、平面的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直
線、平面的概念 數(shù)學(xué)抽象、直觀想象
2.了解基本事實(shí)和確定平面的推論 邏輯推理
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　在生活中，用兩個(gè)合頁和一把鎖就可以將一扇門固定.將一把尺
子置于桌面上 ，通過是否漏光就能檢查桌面是否平整.
【問題】　你知道如此做的原理嗎？
知識(shí)點(diǎn)一　平面的概念及表示
1. 概念：平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何概念，它沒有
，是 的.
厚
薄　
無限延展　
（1）圖形表示：平面通常用 來表示，當(dāng)平面水平
放置的時(shí)候，一般用水平放置的 的直觀圖作為平
面的直觀圖；
（2）字母表示：平面通常用希臘字母α，β，γ，…表示，也可
以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如平面α、平
面AC等（如圖所示）.
平行四邊形　
正方形　
2. 平面的表示方法
知識(shí)點(diǎn)二　點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系
　空間中點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系，可以借用集合中的符號(hào)來表
示，例如，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中：
位置關(guān)系 符號(hào)表示
點(diǎn)P在直線AB上 P AB
點(diǎn)C不在直線AB上 C AB
點(diǎn)M在平面AC內(nèi) M 平面AC
點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi) A1 平面AC
直線AB與直線BC交于點(diǎn)B AB∩BC＝
直線AB在平面AC內(nèi) AB 平面AC
直線AA1不在平面AC內(nèi) AA1 平面AC
∈　
　
∈　
　
B　
　
　
提醒　（1）直線可以看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系
是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“ ”表示；（2）平面也可以看成
點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“ ”
表示；（3）直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集
合的關(guān)系，故用“ ”或“ ”表示.
【想一想】
我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個(gè)平面.這種
說法對(duì)嗎？為什么？
提示：不對(duì).數(shù)學(xué)中的平面是無限延展的，是沒有厚薄的.
知識(shí)點(diǎn)三　平面的基本事實(shí)及推論
1. 與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
基本 事實(shí)
1 過不在一條直線上的
三個(gè)點(diǎn)，
一個(gè)平面，簡(jiǎn)稱
為不共線的三點(diǎn)
一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本 事實(shí)
2 如果一條直線上
的 在一個(gè)
平面內(nèi)，那么這條直
線在這個(gè)平面內(nèi)
有且只
有　
確
定　
兩個(gè)點(diǎn)　
文字語言 圖形語言 符號(hào)語言
基
本 事
實(shí)
3 如果兩個(gè)不重合的平
面
，那么它們
一條過該點(diǎn)
的
有一個(gè)公共
點(diǎn)　
有
且只有　
公共直線　
提醒　三個(gè)基本事實(shí)的作用：基本事實(shí)1：①確定一個(gè)平面；②判
斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.基本事實(shí)2：①判斷直線是否
在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.基本事實(shí)3：①判
斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).2.三個(gè)推論
推
論1 經(jīng)過一條直線和這條直線 的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A l A和l確定一
個(gè)平面α
推
論2 經(jīng)過兩條 直線，有且只有一個(gè)平面 a∩b＝A a，b確
定一個(gè)平面α
推
論3 經(jīng)過兩條 直線，有且只有一個(gè)平面 a∥b a，b確定
一個(gè)平面α
外　
相交　
平行　
提醒　三個(gè)推論的作用：①確定一個(gè)平面；②證明平面重合；③證
明點(diǎn)、線共面.
1. （多選）已知點(diǎn)A，直線a，平面α，以下命題表述不正確的是
（　　）
A. A∈a，a α A α
B. A∈a，a α A∈α
C. A a，a α A α
D. A∈a，a α A α
√
√
√
解析： 　對(duì)于A，如a∩α＝A時(shí)，滿足A∈a，
a α，此時(shí)A∈α可以成立，故A錯(cuò)誤；易知B正確；
對(duì)于C，如圖所示，A a，a α，但A∈α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“A α”表述錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.故選A、C、D.
2. 如圖，填入相應(yīng)的符號(hào)：A 平面ABC，A 平面BCD，
BD 平面ABC，平面ABC 平面ACD＝AC.
∈　
　
　
∩　
3. 生活經(jīng)驗(yàn)：“兩個(gè)輪子的自行車在停止運(yùn)動(dòng)后要加上一個(gè)支撐腳才
穩(wěn)定”，可以解釋該經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)公理是
.
解析：類比三腳架知，支撐點(diǎn)形成一個(gè)平面才會(huì)保持穩(wěn)定，因此加
上一個(gè)支撐腳后，兩個(gè)輪子加支撐腳與地面接觸點(diǎn)形成了不共線的
三點(diǎn)，確定了一個(gè)平面.
不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平
面　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化
【例1】　根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)
系，并畫出相應(yīng)的圖形：
（1）A∈α，B α；
解： 點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①所示.
（2）l α，m α，m∩α＝A，A l；
解： 直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且
點(diǎn)A不在直線l上，如圖②所示.
（3）P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
解： 直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q，如圖③
所示.
通性通法
三種語言的轉(zhuǎn)換方法
（1）用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有
幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字
語言表示，再用符號(hào)語言表示；
（2）要注意符號(hào)語言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”
或“ ”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“ ”或“ ”.
提醒　根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線
和虛線的區(qū)別.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖所示，用符號(hào)語言可表述為（　　）
A. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，A m，A n
D. α∩β＝m，n α，A∈m，A∈n
√
解析： 由圖可知α∩β＝m，n α，且m∩n＝A，A∈m，
A∈n.
題型二 點(diǎn)、線共面問題
【例2】　（鏈接教科書第165頁例1）如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3
＝B，l1∩l3＝C. 求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).
證明：法一（納入平面法）　∵l1∩l2＝A，由推論2，知l1和l2確定
一個(gè)平面，設(shè)為α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又l2 α，∴B∈α.同理可證C∈α.
又B∈l3，C∈l3，由基本事實(shí)2，知l3 α.
∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).
法二（輔助平面法）　∵l1∩l2＝A，由推論2，知l1，l2確定一個(gè)平
面，設(shè)為α.
∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面，設(shè)為β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，由基本
事實(shí)1，知平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).
通性通法
證明點(diǎn)、線共面的方法
　　證明點(diǎn)、線共面的主要依據(jù)是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論，
常用的方法有：
（1）輔助平面法，先證明有關(guān)點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余點(diǎn)、
線確定平面β，最后證明平面α，β重合；
（2）納入平面法，先由條件確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)的點(diǎn)、線在
此平面內(nèi).
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求
證：直線a，b，c和l共面.
證明：法一（納入平面法）　
∵a∥b，∴a，b確定一個(gè)平面α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，∴l(xiāng) α.
則a，b，l都在平面α內(nèi)，即b在a，l確定的平面內(nèi).
同理可證c在a，l確定的平面內(nèi).
∵過a與l只能確定一個(gè)平面，∴直線a，b，c和l共面.
法二（輔助平面法）　∵a∥b，∴a，b確定一個(gè)平面，設(shè)為α.
∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，∴l(xiāng) α.
∵點(diǎn)C∈l，∴點(diǎn)C∈α，∴a與點(diǎn)C同在平面α內(nèi).
又a∥c，∴直線a，c確定一個(gè)平面β.
∵點(diǎn)C∈c，c β，
∴點(diǎn)C∈β，即a與點(diǎn)C同在平面β內(nèi).
∴平面α和平面β重合，則c α，∴直線a，b，c和l共面.
題型三 點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題
【例3】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，E，
F分別是棱CD，AB，DD1，AA1上的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)Q，求
證：D，A，Q三點(diǎn)共線.
證明：因?yàn)镸N∩EF＝Q，所以Q∈直線MN，Q∈直線EF，
又因?yàn)镸∈直線CD，N∈直線AB，CD 平面ABCD，AB 平面
ABCD.
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN 平面ABCD. 所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF 平面ADD1A1.
所以Q∈平面ADD1A1.
又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直線AD，即D，A，Q三點(diǎn)共線.
通性通法
1. 證明三點(diǎn)共線的方法
2. 證明三線共點(diǎn)的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 如圖，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q. 求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.
證明：法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
由基本事實(shí)3可知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，
同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上，
故P，Q，R三點(diǎn)共線.
法二　∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.
又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線.
證明：因?yàn)棣痢搔茫絙，β∩γ＝a，所以
a γ，b γ.
因?yàn)橹本€a與直線b不平行，
所以a，b必相交.
如圖所示，設(shè)a∩b＝P，則P∈a，P∈b.
因?yàn)閍 β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因?yàn)棣痢搔拢絚，所以P∈c，即交線c也經(jīng)過點(diǎn)P，
所以，a，b，c三條直線必過同一點(diǎn).
2. 已知三個(gè)平面α，β，γ兩兩相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，
γ∩α＝b，若直線a，b不平行，求證：a，b，c三條直線必過
同一點(diǎn).
題型四 幾何體截面的畫法
【例4】　（鏈接教科書第166頁例2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
E，F(xiàn)分別是CC1和AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線
并說明理由.
解：延長(zhǎng)D1E和DC交于點(diǎn)N，延長(zhǎng)D1F和
DA交于點(diǎn)M，連接MN，則MN為平面
BED1F與平面ABCD的交線，且MN經(jīng)過點(diǎn)
B，如圖.
理由如下：
因?yàn)镹∈D1E，N∈DC，D1E 平面BED1F，DC 平面ABCD，
所以N為平面BED1F與平面ABCD的公共點(diǎn).
同理M為平面BED1F與平面ABCD的公共點(diǎn).
所以MN為平面BED1F與平面ABCD的交線，顯然B也為平面BED1F
與平面ABCD的公共點(diǎn)，所以B∈MN.
通性通法
作截面的三種常用方法
（1）直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何
體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交線的過程；
（2）延長(zhǎng)線法：同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長(zhǎng)至與其他
平面相交找到交點(diǎn)；
（3）平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)
所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體的
截面的交線.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱
CC1上，且CN＝2NC1.作出過點(diǎn)D，M，N的平面截正方體ABCD-
A1B1C1D1所得的截面，寫出作法.
解：如圖所示，五邊形DQMFN即為所求截面.
作法如下：連接DN并延長(zhǎng)交D1C1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
連接ME交B1C1于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EM交D1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
連接DH交AA1于點(diǎn)Q，連接QM，F(xiàn)N，
所得五邊形DQMFN即為所求截面.
1. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 平面是處處平的面
B. 平面是無限延展的
C. 平面的形狀是平行四邊形
D. 一個(gè)平面的厚度可以是0.001 cm
解析： 平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，
A、B兩種說法是正確的；C、D兩種說法是錯(cuò)誤的.故選A、B.
√
√
2. 如果直線a 平面α，直線b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，
N∈l，則（　　）
A. l α B. l α
C. l∩α＝M D. l∩α＝N
解析： 　因?yàn)镸∈a，a α，所以M∈α，同理，N∈α，又
M∈l，N∈l，故l α.故選A.
√
3. 若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面α內(nèi)，則Q，b，α之間的關(guān)系可記
作 .
解析：因?yàn)辄c(diǎn)Q（元素）在直線b（集合）上，所以Q∈b.又因?yàn)?br/>直線b（集合）在平面α（集合）內(nèi)，所以b α.所以
Q∈b α.
Q∈b α　
4. 如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為AA1，C1D1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與直線A1B1交于點(diǎn)P，則線段PB1的長(zhǎng)為 .
a　
解析：連接DM并延長(zhǎng)交D1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GN（圖
略），則GN與A1B1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P. 由M，N分別為AA1，C1D1
的中點(diǎn)，知P為A1B1的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A1），故線段PB1的長(zhǎng)為
a.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 下列圖形中不一定是平面圖形的是（　　）
A. 三角形 B. 菱形
C. 圓 D. 四邊相等的四邊形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 若點(diǎn)A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則點(diǎn)A、直線b、平面β之間的
關(guān)系可以記作（　　）
A. A∈b，b∈β B. A∈b，b β
C. A b，b β D. A b，b∈β
解析： 　由直線和平面都是由點(diǎn)組成的集合，所以A∈b，
b β.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 下列說法正確的是（　　）
A. 三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面
B. 一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面
C. 四邊形是平面圖形
D. 兩條相交直線可以確定一個(gè)平面
解析： 　A錯(cuò)誤，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；B錯(cuò)誤，經(jīng)
過一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定唯一一個(gè)平面；C錯(cuò)誤，四
邊形不一定是平面圖形；D正確，兩條相交直線可以確定一個(gè)平
面.故選D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個(gè)平面可能的交線有
（　　）
A. 1條或2條 B. 2條或3條
C. 1條或3條 D. 1條或2條或3條
解析： 　當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且過同一條直線時(shí)，它們有1條交
線；當(dāng)平面β和γ平行時(shí)，它們的交線有2條；當(dāng)這三個(gè)平面兩兩
相交且不過同一條直線時(shí)，它們有3條交線.故選D.
√
1
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5. （多選）如圖所示，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，
直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交
線必通過（　　）
A. 點(diǎn)A B. 點(diǎn)B
C. 點(diǎn)C D. 點(diǎn)M
解析： ∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，
M∈l，∴M∈β.根據(jù)基本事實(shí)3可知，M在γ與β的交線上.同
理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上.故選C、D.
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6. （多選）已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，則
下列推理正確的是（　　）
A. A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B. M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C. A∈α，A∈β α∩β＝A
D. A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線 α，β重合
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解析： 　由基本事實(shí)2知A正確；由基本事實(shí)3知B正確；由基
本事實(shí)1知D正確；對(duì)于C，因?yàn)锳∈α，A∈β，所以A∈α∩β.
由基本事實(shí)3可知α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是A，且α∩β
＝A的寫法錯(cuò)誤.故選A、B、D.
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7. 由四條平行直線最多可以確定 個(gè)平面，由四條相交于一點(diǎn)的
直線最多可以確定 個(gè)平面.
解析：要使四條平行直線確定的平面最多，只需這四條直線中任意
兩條直線所確定的平面互不相同，故由四條平行直線最多可以確定
6個(gè)平面.由平面的基本事實(shí)的推論2知，四條相交于一點(diǎn)的直線最
多可以確定6個(gè)平面.
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8. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，試根據(jù)圖形填空：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝ ；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝ ；
（3）平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝ ；
（4）平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共點(diǎn)為 .
A1B1　
AC　
OO1　
B1　
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9. 若直線l與平面α交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且
AC∥BD，求證：O，C，D三點(diǎn)共線.
證明：如圖，∵AC∥BD，
∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β
＝直線CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB β，
∴O∈β，
∴O∈直線CD，
∴O，C，D三點(diǎn)共線.
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10. 如圖，設(shè)不全等的△ABC與△A1B1C1不在同一個(gè)平面內(nèi)，且
AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求證：AA1，BB1，CC1三
線共點(diǎn).
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證明：不妨設(shè)AB≠A1B1，則四邊形AA1B1B為梯形，
∴AA1與BB1相交，設(shè)其交點(diǎn)為S，則S∈AA1，S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1.
同理可證，S∈平面ACC1A1，
∴點(diǎn)S在平面BCC1B1與平面ACC1A1的交線上，
即S∈CC1，
∴AA1，BB1，CC1三線共點(diǎn).
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11. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的
點(diǎn)，MD＝ DD1，NB＝ BB1，那么正方體過點(diǎn)M，N，C1的截
面圖形是（　　）
A. 三角形 B. 四邊形
解析： 　如圖所示，延長(zhǎng)C1M交CD延長(zhǎng)線
于點(diǎn)P，延長(zhǎng)C1N交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接
PQ交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接NF，
ME，則正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是
五邊形，故選C.
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C. 五邊形 D. 六邊形
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12. （多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中
點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是
（　　）
A. C1，M，O三點(diǎn)共線
B. C1，M，O，C四點(diǎn)共面
C. C1，O，A，M四點(diǎn)共面
D. D1，D，O，M四點(diǎn)共面
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解析： 　連接A1C1，AC（圖略），則AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M. ∴三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面
ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點(diǎn)共線，∴A、B、C均正確，
D不正確.故選A、B、C.
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13. （2024·萊蕪質(zhì)檢）一個(gè)正三棱柱各面所在的平面將空間分
成 部分.
解析：三棱柱三個(gè)側(cè)面將空間分成7部分，三棱柱兩個(gè)平行的底面
又在這個(gè)基礎(chǔ)上將空間分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面將
空間分成3×7＝21部分.
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14. 定線段AB所在的直線與定平面α相交，交點(diǎn)為O，P為定直線外
一點(diǎn)，P 直線AB，P α，若直線AP，BP與平面α分別相交于
A'，B'.試問，如果點(diǎn)P任意移動(dòng)，直線A'B'是否恒過一定點(diǎn)？請(qǐng)
說明理由.
解：隨著點(diǎn)P移動(dòng)，直線A'B'恒過定點(diǎn)O. 理由如下：
由直線AB和直線外一點(diǎn)P可確定平面β，
因?yàn)锳P∩α＝A'，BP∩α＝B'，
所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O(shè)一定在交線A'B'
上，即直線A'B'恒過定點(diǎn)O.
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15. 正方體是常見的并且重要的多面體，對(duì)它的研究將有助于我們對(duì)立體幾何一些概念的理解和掌握.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是所在棱的中點(diǎn)，請(qǐng)思考并回
答下列問題：
（1）直線EF，GH，DC能交于一點(diǎn)嗎？
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解： 如圖所示，能交于一點(diǎn).
理由如下：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱AB，
BC的中點(diǎn)，易得E，F(xiàn)∈平面
ABCD，且EF與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為P.
由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝ AB.
同理，GH與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為P1，同樣可得P1C＝C1G＝ C1D1＝ AB.
所以P1與P重合，因此直線EF，GH，DC能交于一點(diǎn).
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（2）若E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，怎樣才能畫出過四點(diǎn)E，F(xiàn)，
G，H的平面與正方體的截面？
解： 如圖所示，延長(zhǎng)HG，DD1相
交于點(diǎn)R，延長(zhǎng)FE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
Q，則點(diǎn)R，Q是截面與側(cè)面ADD1A1的
公共點(diǎn)，連接RQ與A1D1，A1A分別交于
點(diǎn)M，T，連接GM，TE，F(xiàn)H，可得截面與正方體各面的交線分別為EF，F(xiàn)H，HG，GM，MT，TE. 截面如圖
中的陰影部分所示.
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