資源簡介

第1課時(shí)　平行直線
1.空間中兩條互相平行的直線指的是（　?。?br/>A.空間中沒有公共點(diǎn)的兩條直線
B.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
C.在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線
D.在同一平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線
2.如圖所示，在三棱錐S -MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是（　　）
A.平行　　　　　　　 B.相交
C.異面 D.平行或異面
3.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR的大小為（　?。?br/>A.30° B.30°或150°
C.150° D.以上結(jié)論都不對(duì)
4.空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（　　）
A.平行
B.異面
C.相交或平行
D.平行或異面或相交均有可能
5.（多選）（2024·淮安月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l 平面A1B1C1D1，且直線l與直線B1C1不平行，則下列說法可能成立的是（　?。?br/>A.l與AD平行 B.l與AD不平行
C.l與AC平行 D.l與BD平行
6.（多選）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE為梯形，BC∥DE.設(shè)CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，則（　?。?br/>A.PQ＝MN
B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四點(diǎn)共面
D.四邊形MNPQ是梯形
7.在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，PC，AB，BC的中點(diǎn)，若EF＝2，則GH＝　　　　.
8.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，則所有與∠A1AB相等的角是　　　　.
9.如圖所示，△ABC和△A'B'C'的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA'，BB'，CC'交于同一點(diǎn)O，且＝＝＝，則＝　　　　.
10.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由.
11.已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，且AC＝4，BD＝6，則（　　）
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
12.（多選）如圖所示，在四面體A-BCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（　?。?br/>A.M，N，P，Q四點(diǎn)共面
B.∠QME＝∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四邊形MNPQ為梯形
13.（2024·常州質(zhì)檢）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且＝＝，若BD＝6，四邊形EFGH的面積為28，則直線EH，F(xiàn)G之間的距離為　　　　.
14.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn).
（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
（2）C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？
15.如圖①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，將平面CDFE沿EF翻折起來，使CD到達(dá)C'D'的位置（如圖②），G，H分別為AD'，BC'的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.
第1課時(shí)　平行直線
1.D
2.A　∵E，F(xiàn)分別是SN和SP的中點(diǎn)，∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，∴EF∥HG.故選A.
3.B　若AB與PQ，BC與QR方向都相同或相反，則∠PQR＝∠ABC＝30°；若AB與PQ，BC與QR中一對(duì)方向相反，一對(duì)方向相同，則∠PQR＋∠ABC＝180°，即∠PQR＝150°.所以∠PQR＝30°或150°.故選B.
4.D　如圖可知AB，CD有平行，異面，相交三種情況，故選D.
5.BCD　假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，這與直線l與直線B1C1不平行矛盾，所以直線l與直線AD不平行，故A項(xiàng)不可能成立，易知B、C、D項(xiàng)均可能成立，故選B、C、D.
6.BCD　由題意知PQ＝DE，且DE≠M(fèi)N，所以PQ≠M(fèi)N，故A不正確；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠M(fèi)N，所以B、C、D正確.
7.2　解析：由題意知EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，故EF GH，故GH＝2.
8.∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
解析：因?yàn)樵谒睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥DC，所以∠A1AB與∠D1DC相等.又由于側(cè)面A1ABB1，D1DCC1為平行四邊形，所以∠A1AB與∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
9.　解析：如題干圖，＝＝＝，可證AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∴＝×＝.
10.解：如圖所示，在平面A1C1內(nèi)過點(diǎn)P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則直線EF即為所求.
理由：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
11.A　取AD的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三點(diǎn)構(gòu)成三角形，由三角形中三邊關(guān)系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故選A.
12.ABC　由中位線定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.對(duì)于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面，故A說法正確；對(duì)于B，根據(jù)等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B說法正確；對(duì)于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說法正確；由三角形的中位線定理，知MQ BD，NP BD，所以MQ NP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D說法不正確.故選A、B、C.
13.8　解析：由題意得EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD且EH＝BD＝3，又∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4，由基本事實(shí)4知，EH∥GF，∴四邊形EFGH是梯形，而直線EH，F(xiàn)G之間的距離就是梯形EFGH的高，設(shè)為h，即＝28，得h＝8.
14.解：（1）證明：由G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)，
可得GH∥AD，GH＝AD.
又BC∥AD，BC＝AD，∴GH BC，
∴四邊形BCHG是平行四邊形.
（2）由BE∥FA，BE＝FA，G為FA的中點(diǎn)知，
BE FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，
∴EF∥BG.
由（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF與CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.
15.證明：在題圖①中，∵四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，
∴EF∥AB且EF＝（AB＋CD）.
在題圖②中，易知C'D'∥EF∥AB.
∵G，H分別為AD'，BC'的中點(diǎn)，
∴GH∥AB且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
3 / 3第1課時(shí)　平行直線
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線的位置關(guān)系 直觀想象
2.了解基本事實(shí)4及等角定理 邏輯推理
觀察我們所在的教室.
【問題】　（1）教室內(nèi)同一列的護(hù)眼燈管所在的直線是什么位置關(guān)系？
（2）教室中護(hù)眼燈管所在的直線和黑板左側(cè)所在的直線是什么位置關(guān)系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　空間兩條直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 共面情況 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
相交直線 在　　　　平面內(nèi) 有且只有　　個(gè)
平行直線 在　　　　平面內(nèi) 沒有
異面直線 不同在　　　　　平面內(nèi) 沒有
【想一想】
若兩條直線沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線平行，這種說法是否正確？
知識(shí)點(diǎn)二　基本事實(shí)4
文字語言 　　　　　　　　　的兩條直線平行
圖形語言
符號(hào)表述 　　　
含義 揭示了空間平行線的傳遞性
作用 證明兩條直線平行
知識(shí)點(diǎn)三　等角定理
研究對(duì)象 在空間中的兩個(gè)角
條件 一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同
結(jié)論 這兩個(gè)角　　　
提醒　等角定理的推論：推論1：在空間中，如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相反，那么這兩個(gè)角相等；推論2：在空間中，如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且一組平行邊方向相同，另一組平行邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ).
【想一想】
兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行對(duì)嗎？
1.（多選）下列說法中正確的是（　?。?br/>A.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行
B.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等
C.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等
D.在空間中，互相平行的兩直線是指在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線
2.已知棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A'C'的位置關(guān)系是　　　　.
3.空間中有一個(gè)∠A的兩邊和另一個(gè)∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝　　　　.
題型一 空間兩直線位置關(guān)系的判定
【例1】　（1）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：
①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是　 ??；
②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是　 ??；
③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是　 　；
④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是　 　.
（2）已知a，b，c是三條直線，且a與b異面，b與c異面，試判斷a與c的位置關(guān)系，并畫圖說明.
通性通法
空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法
（1）判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4判斷；
（2）判定兩條直線是異面直線通常用定義法，即判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi).
【跟蹤訓(xùn)練】
（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（　?。?br/>A.直線GH和MN平行，GH和EF相交
B.直線GH和MN平行，MN和EF相交
C.直線GH和MN相交，MN和EF異面
D.直線GH和EF異面，MN和EF異面
題型二 基本事實(shí)4及其應(yīng)用
【例2】　（鏈接教科書第168頁例1）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是AB，BC，A1B1，B1C1的中點(diǎn).求證：EE1∥FF1.
【母題探究】
（變條件，變?cè)O(shè)問）在本例中，條件改為：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1D1，A1D1的中點(diǎn)，求證：四邊形ACMN是梯形.
通性通法
證明空間兩條直線平行的方法
（1）平面幾何法：三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等；
（2）定義法：用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面，一是兩條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒有公共點(diǎn)；
（3）基本事實(shí)4：用基本事實(shí)4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時(shí)b∥c，即可得到a∥c.
【跟蹤訓(xùn)練】如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H，G分別是AD，CD上的點(diǎn)，滿足＝.
（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，求證：B，D，P三點(diǎn)共線.
題型三 等角定理及其應(yīng)用
【例3】　（鏈接教科書第170頁例2）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn).求證：∠EA1F＝∠E1CF1.
通性通法
關(guān)于等角定理的應(yīng)用
（1）根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行，即先證明線線平行；
（2）根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等或互補(bǔ).
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖所示，點(diǎn)A1，B1，C1分別是不共面的三條射線OA，OB，OC上的點(diǎn)，且 ＝＝.求證：△A1B1C1∽△ABC.
1.如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有（　　）
A.3條　　B.4條　　C.5條　　D.6條
2.空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且α＝60°，則β＝　　　　.
3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：BFD1E是平行四邊形.
第1課時(shí)　平行直線
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一
　同一　1　同一　任何一個(gè)
想一想
　提示：不正確.若兩條直線沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線可以是平行直線也可以是異面直線.
知識(shí)點(diǎn)二
　平行于同一條直線　a∥c
知識(shí)點(diǎn)三
　相等
想一想
　提示：不一定.兩條直線可以是相交、平行或異面直線.
自我診斷
1.ACD　對(duì)于A，由基本事實(shí)4知A正確；對(duì)于B，由等角定理知，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，由平行線的定義可知D正確.故選A、C、D.
2.平行　解析：如圖所示，連接AC，則MN AC，又∵AC A'C'，∴MN A'C'.
3.70°或110°　解析：∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）①平行?、诋惷妗、巯嘟弧、墚惷妗〗馕觯焊鶕?jù)題意知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1，B，B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面.同理，直線AB與直線B1C異面，所以②④應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相交”.
（2）解：直線a與c的位置關(guān)系有三種，如圖所示.
直線a與c可能平行（如圖①所示），也可能相交（如圖②所示），還可能異面（如圖③所示）.
跟蹤訓(xùn)練
　ACD　易知GH∥MN，又因?yàn)镋，F(xiàn)，M，N分別為所在棱的中點(diǎn)，由基本事實(shí)3可知EF，DC，MN交于一點(diǎn)，所以B正確，C、D錯(cuò)誤；由異面直線的判定定理得GH和EF是異面直線，所以A錯(cuò)誤.故選A、C、D.
【例2】　證明：因?yàn)镋，E1分別是AB，A1B1的中點(diǎn)，
所以BE∥B1E1，且BE＝B1E1.
所以四邊形EBB1E1是平行四邊形.
所以EE1∥BB1.
同理可證FF1∥BB1.
所以EE1∥FF1.
母題探究
　證明：連接A1C1（圖略），在△A1C1D1中，
因?yàn)镸，N分別是C1D1，A1D1的中點(diǎn)，所以MN是△A1C1D1的中位線，
所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1.
由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
所以MN∥AC，且MN＝AC.
又AN與CM不平行，所以四邊形ACMN是梯形.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：（1）如圖，連接AC，
∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵＝，∴GH∥AC，∴EF∥GH，
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.
（2）∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH 平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P為平面ABD與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn).
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三點(diǎn)共線.
【例3】　證明：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M.
由題意得BF＝A1M＝AB.
又BF∥A1M，
∴四邊形A1FBM為平行四邊形，
∴A1F∥BM.
又F1，M分別為C1D1，A1B1的中點(diǎn)，則F1M C1B1.
而C1B1 BC，∴F1M BC，
∴四邊形F1MBC為平行四邊形，∴BM∥CF1.
又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C，
同理可得A1E∥CE1，
∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別平行且方向相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：在△OAB中，因?yàn)?＝，
所以A1B1∥AB.同理可證A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
隨堂檢測(cè)
1.B　因?yàn)镋，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，所以EF∥B1C1，又B1C1∥BC∥AD∥A1D1，故選B.
2.60°或120°　解析：∵空間兩角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，∴這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).∵α＝60°，∴β＝60°或120°.
3.證明：如圖所示，取BB1的中點(diǎn)G，連接GC1，GE.
因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，
所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四邊形BFC1G是平行四邊形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1.
同理可證四邊形A1EGB1為平行四邊形，
所以EG∥A1B1，EG＝A1B1，又因?yàn)锳1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四邊形EGC1D1是平行四邊形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，BF＝ED1.
所以四邊形BFD1E是平行四邊形.
4 / 4(共59張PPT)
第1課時(shí)　平行直線
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線
的位置關(guān)系 直觀想象
2.了解基本事實(shí)4及等角定理 邏輯推理
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
觀察我們所在的教室.
【問題】　（1）教室內(nèi)同一列的護(hù)眼燈管所在的直線是什么位置關(guān)系？
（2）教室中護(hù)眼燈管所在的直線和黑板左側(cè)所在的直線是什么位置
關(guān)系？
知識(shí)點(diǎn)一　空間兩條直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 共面情況 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
相交直線 在 平面內(nèi) 有且只有 個(gè)
平行直線 在 平面內(nèi) 沒有
異面直線 不同在
平面內(nèi) 沒有
同一　
1　
同一　
任何一個(gè)　
【想一想】
若兩條直線沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線平行，這種說法是否正確？
提示：不正確.若兩條直線沒有公共點(diǎn)，那么這兩條直線可以是平行
直線也可以是異面直線.
知識(shí)點(diǎn)二　基本事實(shí)4
文字語言 的兩條直線平行
圖形語言
符號(hào)表述
含義 揭示了空間平行線的傳遞性
作用 證明兩條直線平行
平行于同一條直線　
a∥c　
知識(shí)點(diǎn)三　等角定理
研究
對(duì)象 在空間中的兩個(gè)角
條件 一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同
結(jié)論 這兩個(gè)角
提醒　等角定理的推論：推論1：在空間中，如果一個(gè)角的兩邊和另
一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相反，那么這兩個(gè)角相等；推論2：
在空間中，如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且一組平
行邊方向相同，另一組平行邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ).
相等　
【想一想】
兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行對(duì)嗎？
提示：不一定.兩條直線可以是相交、平行或異面直線.
1. （多選）下列說法中正確的是（　?。?br/>A. 如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行
B. 如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相
等
C. 如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線
所成銳角（或直角）相等
D. 在空間中，互相平行的兩直線是指在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩
條直線
√
√
√
解析： 　對(duì)于A，由基本事實(shí)4知A正確；對(duì)于B，由等角定理
知，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角
相等或互補(bǔ)，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，由平行線的定義可知D正
確.故選A、C、D.
2. 已知棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別為CD，AD
的中點(diǎn)，則MN與A'C'的位置關(guān)系是 .
解析：如圖所示，連接AC，則MN AC，又
∵AC A'C'，∴MN A'C'.
3. 空間中有一個(gè)∠A的兩邊和另一個(gè)∠B的兩邊分別平行，∠A＝
70°，則∠B＝ .
解析：∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，∴∠A＝∠B或∠A
＋∠B＝180°，又∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.
平行　
70°或110°　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 空間兩直線位置關(guān)系的判定
【例1】?。?）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列
直線的位置關(guān)系：
①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是 ；
平行　
②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是 ；
③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是 ；
④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是 .
異面　
相交　
異面　
解析：根據(jù)題意知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒
有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1，B，
B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線
B1C異面.同理，直線AB與直線B1C異面，所以②④應(yīng)該填“異 直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以③應(yīng)該填“相
交”.
解析：根據(jù)題意知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒
有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1，B，
B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線
B1C異面.同理，直線AB與直線B1C異面，所以②④應(yīng)該填“異
面”；
（2）已知a，b，c是三條直線，且a與b異面，b與c異面，試判斷
a與c的位置關(guān)系，并畫圖說明.
解：直線a與c的位置關(guān)系有三種，如圖所示.
直線a與c可能平行
（如圖①所示），也
可能相交（如圖②所
示），還可能異面
（如圖③所示）.
通性通法
空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法
（1）判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條
直線平行也可以用基本事實(shí)4判斷；
（2）判定兩條直線是異面直線通常用定義法，即判斷兩直線不可能
在同一平面內(nèi).
【跟蹤訓(xùn)練】
（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，
H，M，N分別是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中點(diǎn)，則
下列結(jié)論不正確的是（　　）
A. 直線GH和MN平行，GH和EF相交
B. 直線GH和MN平行，MN和EF相交
C. 直線GH和MN相交，MN和EF異面
D. 直線GH和EF異面，MN和EF異面
√
√
√
解析： 　易知GH∥MN，又因?yàn)镋，F(xiàn)，M，N分別為所在棱的
中點(diǎn)，由基本事實(shí)3可知EF，DC，MN交于一點(diǎn)，所以B正確，C、
D錯(cuò)誤；由異面直線的判定定理得GH和EF是異面直線，所以A錯(cuò)誤.
故選A、C、D.
題型二 基本事實(shí)4及其應(yīng)用
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?68頁例1）如圖，在正方體ABCD-
A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是AB，BC，A1B1，B1C1的中點(diǎn).
求證：EE1∥FF1.
證明：因?yàn)镋，E1分別是AB，A1B1的中點(diǎn)，
所以BE∥B1E1，且BE＝B1E1.
所以四邊形EBB1E1是平行四邊形.
所以EE1∥BB1.
同理可證FF1∥BB1.
所以EE1∥FF1.
【母題探究】
（變條件，變?cè)O(shè)問）在本例中，條件改為：如圖，在正方體ABCD-
A1B1C1D1中，M，N分別是C1D1，A1D1的中點(diǎn)，求證：四邊形
ACMN是梯形.
證明：連接A1C1（圖略），在△A1C1D1中，
因?yàn)镸，N分別是C1D1，A1D1的中點(diǎn)，所以MN是△A1C1D1的中位
線，
所以MN∥A1C1，且MN＝ A1C1.
由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
所以MN∥AC，且MN＝ AC.
又AN與CM不平行，所以四邊形ACMN是梯形.
通性通法
證明空間兩條直線平行的方法
（1）平面幾何法：三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等；
（2）定義法：用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面，一是兩
條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒有公共點(diǎn)；
（3）基本事實(shí)4：用基本事實(shí)4證明兩條直線平行，只需找到直線b，
使得a∥b，同時(shí)b∥c，即可得到a∥c.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H，
G分別是AD，CD上的點(diǎn)，滿足 ＝ .
（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
證明： 如圖，連接AC，
∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵ ＝ ，∴GH∥AC，
∴EF∥GH，
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.
（2）設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，求證：B，D，P三點(diǎn)共線.
證明： ∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH 平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P為平面ABD與平面
BCD的一個(gè)公共點(diǎn).
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即
P，B，D三點(diǎn)共線.
題型三 等角定理及其應(yīng)用
【例3】　（鏈接教科書第170頁例2）如圖，在正方體ABCD-
A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中
點(diǎn).求證：∠EA1F＝∠E1CF1.
證明：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1
的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M.
由題意得BF＝A1M＝ AB.
又BF∥A1M，
∴四邊形A1FBM為平行四邊形，
∴A1F∥BM.
又F1，M分別為C1D1，A1B1的中點(diǎn)，則F1M C1B1.
而C1B1 BC，∴F1M BC，
∴四邊形F1MBC為平行四邊形，∴BM∥CF1.
又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C，
同理可得A1E∥CE1，
∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別平行且方向相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
通性通法
關(guān)于等角定理的應(yīng)用
（1）根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行，即先證明線線
平行；
（2）根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等或互補(bǔ).
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖所示，點(diǎn)A1，B1，C1分別是不共面的三條射線OA，OB，OC上
的點(diǎn)，且 ＝ ＝ .求證：△A1B1C1∽△ABC.
證明：在△OAB中，因?yàn)? ＝ ，
所以A1B1∥AB. 同理可證A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
1. 如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中
點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有（　　）
A. 3條 B. 4條
C. 5條 D. 6條
解析： 　因?yàn)镋，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，所以EF∥B1C1，又B1C1∥BC∥AD∥A1D1，故選B.
√
2. 空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且α＝60°，則β
＝ .
解析：∵空間兩角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，∴這兩個(gè)角相等或
互補(bǔ).∵α＝60°，∴β＝60°或120°.
60°或120°　
3. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中
點(diǎn)，求證：BFD1E是平行四邊形.
證明：如圖所示，取BB1的中點(diǎn)G，連接GC1，GE.
因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，
所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四邊形BFC1G是平行四邊形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1.
同理可證四邊形A1EGB1為平行四邊形，
所以EG∥A1B1，EG＝A1B1，又因?yàn)?br/>A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四邊形EGC1D1是平行四邊形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，
BF＝ED1.
所以四邊形BFD1E是平行四邊形.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 空間中兩條互相平行的直線指的是（　　）
A. 空間中沒有公共點(diǎn)的兩條直線
B. 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
C. 在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線
D. 在同一平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的兩條直線
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2. 如圖所示，在三棱錐S -MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，
SP，MN，MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是（　?。?br/>A. 平行
B. 相交
C. 異面
D. 平行或異面
解析： 　∵E，F(xiàn)分別是SN和SP的中點(diǎn)，∴EF∥PN. 同理可
證HG∥PN，∴EF∥HG. 故選A.
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3. 已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR的大小為
（　?。?br/>A. 30° B. 30°或150°
C. 150° D. 以上結(jié)論都不對(duì)
解析： 　若AB與PQ，BC與QR方向都相同或相反，則∠PQR＝
∠ABC＝30°；若AB與PQ，BC與QR中一對(duì)方向相反，一對(duì)方
向相同，則∠PQR＋∠ABC＝180°，即∠PQR＝150°.所以
∠PQR＝30°或150°.故選B.
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4. 空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直
線AB與CD的位置關(guān)系是（　　）
A. 平行
B. 異面
C. 相交或平行
D. 平行或異面或相交均有可能
解析： 　如圖可知AB，CD有平行，異面，相交三種情況，故選D.
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5. （多選）（2024·淮安月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
直線l 平面A1B1C1D1，且直線l與直線B1C1不平行，則下列說法
可能成立的是（　?。?br/>A. l與AD平行
B. l與AD不平行
C. l與AC平行
D. l與BD平行
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解析： 假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，
這與直線l與直線B1C1不平行矛盾，所以直線l與直線AD不平行，
故A項(xiàng)不可能成立，易知B、C、D項(xiàng)均可能成立，故選B、C、D.
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6. （多選）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE為梯形，
BC∥DE. 設(shè)CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，
則（　　）
A. PQ＝ MN
B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四點(diǎn)共面
D. 四邊形MNPQ是梯形
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解析： 　由題意知PQ＝ DE，且DE≠M(fèi)N，所以PQ≠
MN，故A不正確；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又
PQ≠M(fèi)N，所以B、C、D正確.
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7. 在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，PC，AB，BC
的中點(diǎn)，若EF＝2，則GH＝ .
解析：由題意知EF∥AC，EF＝ AC，GH∥AC，GH＝ AC，
故EF GH，故GH＝2.
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8. 如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，則所
有與∠A1AB相等的角是 .
解析：因?yàn)樵谒睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，
AB∥DC，所以∠A1AB與∠D1DC相等.又由于側(cè)面A1ABB1，
D1DCC1為平行四邊形，所以∠A1AB與∠A1B1B，∠D1C1C也相
等.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　
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9. 如圖所示，△ABC和△A'B'C'的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA'，BB'，CC'交
于同一點(diǎn)O，且 ＝ ＝ ＝ ，則 ＝ 　 .
　
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解析：如題干圖， ＝ ＝ ＝ ，可證AB∥A'B'，
AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝
∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴ ＝ ，∴ ＝
× ＝ .
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10. 如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由.
解：如圖所示，在平面A1C1內(nèi)過點(diǎn)P作直線
EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則
直線EF即為所求.
理由：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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11. 已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，且
AC＝4，BD＝6，則（　?。?br/>A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10
C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5
解析： 　取AD的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MH∥BD，且
MH＝ BD，NH∥AC，且NH＝ AC，且M，N，H三點(diǎn)構(gòu)成
三角形，由三角形中三邊關(guān)系，可得MH－NH＜MN＜MH＋
NH，即1＜MN＜5.故選A.
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12. （多選）如圖所示，在四面體A-BCD中，M，N，P，Q，E分
別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是
（　?。?br/>A. M，N，P，Q四點(diǎn)共面
B. ∠QME＝∠CBD
C. △BCD∽△MEQ
D. 四邊形MNPQ為梯形
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解析： 　由中位線定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，
QE∥CD，NP∥BD. 對(duì)于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，
Q四點(diǎn)共面，故A說法正確；對(duì)于B，根據(jù)等角定理，得∠QME
＝∠CBD，故B說法正確；對(duì)于C，由等角定理，知∠QME＝
∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說法正
確；由三角形的中位線定理，知MQ BD，NP BD，所以
MQ NP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D說法不正確.
故選A、B、C.
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13. （2024·常州質(zhì)檢）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，H分
別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且 ＝
＝ ，若BD＝6，四邊形EFGH的面積為28，則直線EH，F(xiàn)G之
間的距離為 .
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解析：由題意得EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD且EH＝
BD＝3，又∵ ＝ ＝ ，∴GF∥BD且GF＝ BD＝4，由基本
事實(shí)4知，EH∥GF，∴四邊形EFGH是梯形，而直線EH，F(xiàn)G
之間的距離就是梯形EFGH的高，設(shè)為h，即 ＝28，得h
＝8.
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14. 如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝
∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝ AD，BE∥FA，BE＝ FA，
G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn).
（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
解： 證明：由G，H分別為FA，F(xiàn)D
的中點(diǎn)，
可得GH∥AD，GH＝ AD.
又BC∥AD，BC＝ AD，∴GH BC，
∴四邊形BCHG是平行四邊形.
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（2）C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？
解： 由BE∥FA，BE＝ FA，G為FA
的中點(diǎn)知，
BE FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，
∴EF∥BG.
由（1）知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF與CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.
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15. 如圖①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，
AD的中點(diǎn)，將平面CDFE沿EF翻折起來，使CD到達(dá)C'D'的位置
（如圖②），G，H分別為AD'，BC'的中點(diǎn)，求證：四邊形
EFGH為平行四邊形.
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證明：在題圖①中，∵四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E，F(xiàn)
分別為BC，AD的中點(diǎn)，
∴EF∥AB且EF＝ （AB＋CD）.
在題圖②中，易知C'D'∥EF∥AB.
∵G，H分別為AD'，BC'的中點(diǎn)，
∴GH∥AB且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
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