資源簡介

第2課時　異面直線
1.異面直線是指（　　）
A.空間中兩條不相交的直線
B.分別位于兩個不同平面內的兩條直線
C.平面內的一條直線與平面外的一條直線
D.不同在任何一個平面內的兩條直線
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直線與直線BA1是異面直線的條數為（　　）
A.4 B.5
C.6 D.7
3.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線與B1D1垂直的是（　　）
A.BC1
B.A1D
C.AC
D.BC
4.在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角的大小為（　　）
A.30° B.45°
C.90° D.60°
5.如圖所示，在四面體ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝（　　）
A.5 B.6
C.8 D.10
6.（多選）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是（　　）
A.CC1與B1E是異面直線
B.C1C與AE是異面直線
C.AE與B1C1是異面直線
D.AE與B1C1所成的角為60°
7.（2024·連云港月考）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系可能是　　　　.
8.如圖，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作　　　　條.
9.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為　　　　.
10.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，E是PC的中點，連接AE.求證：AE與PB是異面直線.
11.將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線AB與CD所成角的大小是（　　）
A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120°
12.（多選）一個正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒中下列結論正確的是（　　）
A.AB⊥EF
B.AB與CM所成的角為60°
C.MN∥CD
D.EF與MN所成的角為60°
13.如圖，在圓柱OO1中，底面半徑為1，OA⊥O1B，異面直線AB與OO1所成角的正切值為，則圓柱的高為　　　　.
14.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分別是BD1和AD的中點.求證：CD1⊥EF.
15.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的長.
第2課時　異面直線
1.D　對于A，空間中兩條不相交的直線有兩種可能，一個是平行（共面），另一個是異面，所以A應排除；對于B，分別位于兩個不同平面內的兩條直線，既可能平行也可能相交也可能異面，如圖，就是相交的情況，所以B應排除；對于C，如圖中的a，b可看作是平面α內的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，所以C應排除；只有D符合定義.
2.C　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線BA1異面的直線有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6條，故選C.
3.C　連接BD（圖略），∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故選C.
4.D　連接AD1，D1C，BC1（圖略），因為M，N分別為BC和CC1的中點，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即為異面直線AC和MN所成的角.又△D1AC是等邊三角形，所以∠D1AC＝60°，即異面直線AC和MN所成的角為60°.故選D.
5.A　取AD的中點P，連接PM，PN（圖略），則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN（或其補角）即異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.
6.BC　對于A，由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內，故C1C與B1E是共面的，故A錯誤；對于B，由于C1C在平面C1B1BC內，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，故B正確；對于C，同理AE與B1C1是異面直線，故C正確；對于D，AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E為BC中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，所以AE與B1C1所成的角為90°，故D錯誤.故選B、C.
7.平行、相交或異面　
解析：如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和c可以平行、相交或異面.
8.4　解析：連接AC1（圖略），則AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等；過點A分別作正方體的另外三條體對角線的平行線，則它們與棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故這樣的直線l可以作4條.
9.　解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體EFBA-E1F1B1A1.連接B1F，由長方體性質可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角.連接DF，由題意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝F＋D－2FB1·DB1·cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2××cos ∠DB1F，所以cos ∠DB1F＝.
10.證明：假設AE與PB共面于平面α，連接BE（圖略）.
因為A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即為平面α，所以P∈平面ABE，
這與P 平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線.
11.C　如圖所示，由題可知，四邊形ABEG和CDFE均為正方形，△EFG為正三角形，因為AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其補角為異面直線AB與CD所成的角.因為△EFG為正三角形，所以∠GEF＝60°.故AB與CD所成角的大小為60°.
12.AD　把展開圖還原成正方體，如圖所示.A選項，因為AB∥MC，且EF⊥MC，所以EF⊥AB，故A正確；B選項，因為AB∥MC，所以AB與CM所成的角為0°，故B錯誤；C選項，因為AE∥MN，且AE⊥CD，所以MN⊥CD，故C錯誤；D選項，因為AE∥MN，所以∠AEF或其補角為EF與MN所成的角，又因為EF＝FA＝AE，所以△AEF為等邊三角形，因此∠AEF＝60°，且異面直線所成角的范圍為（0，90°]，所以∠AEF為EF與MN所成的角，因此EF與MN所成的角為60°，故D正確.故選A、D.
13.4　解析：如圖，過點B作OO1的平行線交底面圓O于點H，連接OH，AH，則∠ABH即為異面直線AB與OO1所成的角，tan∠ABH＝，易知OH∥O1B且OH＝O1B，由OA⊥O1B可知，OA⊥OH，所以AH＝＝，又tan∠ABH＝，所以圓柱OO1的高BH＝＝4.
14.證明：如圖，取CD1的中點G，連接EG，DG.
∵E是BD1的中點，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中點，
且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1（或其補角）是異面直線CD1與EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，
又G為CD1的中點，
∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，
∴異面直線CD1與EF所成的角為90°，
∴CD1⊥EF.
15.解：如圖所示，連接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C（或其補角）為異面直線A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即異面直線A1B和AD1所成的角為90°，
∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝AC.
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，
∴AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝.
3 / 3第2課時　異面直線
新課程標準解讀 核心素養
1.理解異面直線的定義及判定，能判斷兩條直線是不是異面直線 數學抽象、直觀想象
2.理解異面直線所成角的概念 直觀想象、數學運算
　　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1C.
【問題】　（1）直線A1C與B1B具有怎樣的位置關系？
（2）圖中還有哪些直線與直線A1C是異面直線？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　異面直線
1.異面直線的判定與幾何表示
畫法 圖形表示如圖所示（通常用一個或兩個平面襯托）
判定 定理 文字表述 過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內　　　　　的直線是異面直線
符號表述 若l α，A α，B∈α，B l，則直線AB與l是異面直線
2.異面直線所成的角
定義 a與b是異面直線，經過空間任意一點O，作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'和b'所成的　　　　（或直角）叫作異面直線a，b所成的角或夾角
范圍 記異面直線a與b所成的角為θ，則0°＜θ≤90°
特殊 情況 當θ＝　　　時，a與b互相垂直，記作a⊥b
【想一想】
為什么a'，b'所成角的大小與點O的選擇無關？
1.（多選）如圖，在三棱錐 P-ABC 的六條棱所在直線中，是異面直線的有（　　）
A.AP與BC B.BP與BC
C.CP與AB D.BP與AC
2.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AD1與BC所成的角的度數是　　　　.
題型一 異面直線的判定
【例1】　如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F是棱AD上異于A，D的兩個不同點，G，H是棱BC上異于B，C的兩個不同點，給出下列說法：
①AB與CD互為異面直線；
②FH分別與DC，DB互為異面直線；
③EG與FH互為異面直線；
④EG與AB互為異面直線.
其中說法正確的是　　　　.（填序號）
通性通法
判定異面直線的方法
（1）定義法：利用異面直線的定義，說明兩條直線不平行，也不相交，即不可能同在一個平面內；
（2）利用異面直線的判定定理；
（3）反證法：假設兩條直線不是異面直線，根據空間兩條直線的位置關系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.
【跟蹤訓練】
如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？
題型二 異面直線所成的角
【例2】　（鏈接教科書第172頁例3）如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側面ADHE的中心，求：
（1）BE與CG所成的角的大小；
（2）FO與BD所成的角的大小.
通性通法
求兩條異面直線所成角的步驟
（1）恰當選點，用平移法構造出一個相交角；
（2）證明這個角就是異面直線所成的角（或補角）；
（3）把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構造的角的度數；
（4）給出結論：若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是兩條異面直線所成的角.
【跟蹤訓練】
在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成角為30°，E，F分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.
題型三 異面直線所成角的應用
【例3】　如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1為正方體，求證：AC⊥B1D.
通性通法
證明兩條直線垂直的策略
（1）對于共面垂直的兩條直線的證明，可根據勾股定理證明；
（2）對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明.
【跟蹤訓練】
如圖所示，在四面體ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點.若BD與AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2，求EF的長度.
1.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是（　　）
A.平行或異面　　　 B.相交或異面
C.異面 D.相交
2.設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b（　　）
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上都有可能
3.如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示GH，MN是異面直線的圖形有（　　）
A.①②　 B.①③ C.②③　 D.②④
4.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，異面直線A'B'與BC所成的角的大小為　　　　.異面直線AD'與CC'所成的角的大小為　　　.
第2課時　異面直線
【基礎知識·重落實】
知識點
1.不經過該點　2.銳角　90°
想一想
　提示：因為a'∥a，b'∥b，根據等角定理，a'，b'所成的銳角（或直角）等于a，b所成的銳角（或直角），與點O的選擇無關.不過為了方便計算異面直線所成角的大小，點O常在異面直線中的某一條上取，常取某些特殊點.
自我診斷
1.ACD　根據異面直線的定義可知異面直線共3對：AP與BC， CP與AB， BP與AC.故選A、C、D.
2.45°　解析：因為AD∥BC，所以∠DAD1就是異面直線AD1與BC所成的角.因為△ADD1是等腰直角三角形，所以∠DAD1＝45°.
【典型例題·精研析】
【例1】　①②③④　解析：因為直線DC 平面BCD，直線AB 平面BCD，點B 直線DC，所以由異面直線的判定定理可知，①正確；同理，②③④正確.
跟蹤訓練
　解：三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.
還原的正方體如圖所示.
【例2】　解：（1）∵CG∥FB，
∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE與CG所成的角為45°.
（2）如圖，連接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，
AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四邊形FBDH是平行四邊形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO是FO與BD所成的角，
連接HA，AF，
則△AFH是等邊三角形，
又O是AH的中點，∴∠HFO＝30°，
∴FO與BD所成的角為30°.
跟蹤訓練
　解：如圖所示，取AC的中點G，
連接EG，FG，
則EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角.
∵AB與CD所成角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°，當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，
故EF與AB所成角的大小為15°或75°.
【例3】　證明：如圖，連接BD，交AC于點O，取BB1的中點E，連接OE，
則OE∥B1D，
所以OE與AC所成的角即為B1D與AC所成的角.
連接AE，CE.
易證AE＝CE，
又O是AC的中點，
所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
跟蹤訓練
　解：取BC的中點M，連接ME，MF，如圖，則ME∥AC，MF∥BD，∴ME與MF所成的銳角（或直角）即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成的角為60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
∵ME＝AC，MF＝BD，BD＝AC＝2，
∴ME＝MF＝1.
當∠EMF＝60°時，EF＝ME＝MF＝1；
當∠EMF＝120°時，取EF的中點N，
連接MN，則MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×＝.
故EF的長度為1或.
隨堂檢測
1.B　可借助長方體來判斷.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直線，故B正確.
2.D　如圖，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，則a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，則a和b異面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，則a和b平行，所以空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面.故選D.
3.D　①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交.故選D.
4.90°　45°　解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'與BC所成的角為90°，又CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'與CC'所成的角為45°.
4 / 4(共53張PPT)
第2課時　異面直線
新課程標準解讀 核心素養
1.理解異面直線的定義及判定，能判斷兩條直線是
不是異面直線 數學抽象、直
觀想象
2.理解異面直線所成角的概念 直觀想象、數
學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1C.
【問題】　（1）直線A1C與B1B具有怎樣的位置關系？
（2）圖中還有哪些直線與直線A1C是異面直線？
知識點　異面直線
1. 異面直線的判定與幾何表示
畫法 圖形表示如圖所示（通常用一個或兩個平面襯托） 判定 定理 文字 表述 過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面
內 的直線是異面直線
符號 表述 若l α，A α，B∈α，B l，則直線AB與l是異
面直線
不經過該點　
2. 異面直線所成的角
定義 a與b是異面直線，經過空間任意一點O，作直線a'∥a，
b'∥b，我們把直線a'和b'所成的 （或直角）叫作異
面直線a，b所成的角或夾角
范圍 記異面直線a與b所成的角為θ，則0°＜θ≤90°
特殊情
況 當θ＝ 時，a與b互相垂直，記作a⊥b
銳角　
90°　
【想一想】
為什么a'，b'所成角的大小與點O的選擇無關？
提示：因為a'∥a，b'∥b，根據等角定理，a'，b'所成的銳角（或直
角）等于a，b所成的銳角（或直角），與點O的選擇無關.不過為了
方便計算異面直線所成角的大小，點O常在異面直線中的某一條上
取，常取某些特殊點.
1. （多選）如圖，在三棱錐 P-ABC 的六條棱所在直線中，是異面直
線的有（　　）
A. AP與BC
B. BP與BC
C. CP與AB
D. BP與AC
解析： 　根據異面直線的定義可知異面直線共3對：AP與
BC， CP與AB， BP與AC. 故選A、C、D.
√
√
√
2. 如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AD1與BC所成的
角的度數是 .
解析：因為AD∥BC，所以∠DAD1就是異面直線AD1與BC所成的
角.因為△ADD1是等腰直角三角形，所以∠DAD1＝45°.
45°　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 異面直線的判定
【例1】　如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F是棱AD上異于A，
D的兩個不同點，G，H是棱BC上異于B，C的兩個不同點，給出下
列說法：
①AB與CD互為異面直線；
②FH分別與DC，DB互為異面直線；
③EG與FH互為異面直線；
④EG與AB互為異面直線.
其中說法正確的是 .（填序號）
①②③④　
解析：因為直線DC 平面BCD，直線AB 平面BCD，點B 直線
DC，所以由異面直線的判定定理可知，①正確；同理，②③④正確.
通性通法
判定異面直線的方法
（1）定義法：利用異面直線的定義，說明兩條直線不平行，也不相
交，即不可能同在一個平面內；
（2）利用異面直線的判定定理；
（3）反證法：假設兩條直線不是異面直線，根據空間兩條直線的位
置關系，這兩條直線一定共面，即可能相交或平行，然后推出
矛盾即可.
【跟蹤訓練】
如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？
解：三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.還原的正方體
如圖所示.
題型二 異面直線所成的角
【例2】　（鏈接教科書第172頁例3）如圖，在正方體ABCD-EFGH
中，O為側面ADHE的中心，求：
（1）BE與CG所成的角的大小；
解： ∵CG∥FB，
∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE與CG所成的角為45°.
（2）FO與BD所成的角的大小.
解： 如圖，連接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四邊形FBDH是平行四邊形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO是FO與BD所成的角，
連接HA，AF，
則△AFH是等邊三角形，
又O是AH的中點，∴∠HFO＝30°，
∴FO與BD所成的角為30°.
通性通法
求兩條異面直線所成角的步驟
（1）恰當選點，用平移法構造出一個相交角；
（2）證明這個角就是異面直線所成的角（或補角）；
（3）把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角
形求出所構造的角的度數；
（4）給出結論：若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面
直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是兩條異面
直線所成的角.
【跟蹤訓練】
在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成角為30°，E，
F分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.
解：如圖所示，取AC的中點G，
連接EG，FG，
則EG∥AB且EG＝ AB，
GF∥CD且GF＝ CD.
由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與
AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角.
∵AB與CD所成角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°，當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，
故EF與AB所成角的大小為15°或75°.
題型三 異面直線所成角的應用
【例3】　如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1為正方體，求證：
AC⊥B1D.
證明：如圖，連接BD，交AC于點O，取BB1的中點
E，連接OE，
則OE∥B1D，
所以OE與AC所成的角即為B1D與AC所成的角.
連接AE，CE.
易證AE＝CE，
又O是AC的中點，
所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
通性通法
證明兩條直線垂直的策略
（1）對于共面垂直的兩條直線的證明，可根據勾股定理證明；
（2）對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉化為求兩條異面直線所
成的角為90°來證明.
【跟蹤訓練】
　如圖所示，在四面體ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點.若
BD與AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2，求EF的長度.
解：取BC的中點M，連接ME，MF，如圖，則
ME∥AC，MF∥BD，∴ME與MF所成的銳角（或直
角）即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成的角為60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
∵ME＝ AC，MF＝ BD，BD＝AC＝2，
∴ME＝MF＝1.
當∠EMF＝60°時，EF＝ME＝MF＝1；
當∠EMF＝120°時，取EF的中點N，連接MN，則MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM· sin ∠EMN＝2×1× ＝ .
故EF的長度為1或 .
1. 一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系
是（　　）
A. 平行或異面 B. 相交或異面
C. 異面 D. 相交
解析： 　可借助長方體來判斷.如圖，在長方體
ABCD-A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又
AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1
與BC是異面直線，故B正確.
√
2. 設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 以上都有可能
解析： 　如圖，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1
＝b，則a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD
＝b，則a和b異面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC
＝b，則a和b平行，所以空間中垂直于同一條直
線的兩條直線可能平行、相交或異面.故選D.
√
3. 如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中
點，則表示GH，MN是異
面直線的圖形有（　　）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ②④
解析： 　①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，
MN必相交.故選D.
√
4. 如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，異面直線A'B'與BC所成的角的
大小為 .異面直線AD'與CC'所成的角的大小為 .
解析：∵B'C'∥BC，∠A'B'C'＝90°，∴A'B'與BC所成的角為
90°，又CC'∥DD'，∠DD'A＝45°，∴AD'與CC'所成的角為
45°.
90°　
45°　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 異面直線是指（　　）
A. 空間中兩條不相交的直線
B. 分別位于兩個不同平面內的兩條直線
C. 平面內的一條直線與平面外的一條直線
D. 不同在任何一個平面內的兩條直線
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解析： 　對于A，空間中兩條不相交的直線有兩
種可能，一個是平行（共面），另一個是異面，
所以A應排除；對于B，分別位于兩個不同平面內
的兩條直線，既可能平行也可能相交也可能異
面，如圖，就是相交的情況，所以B應排除；對于C，如圖中的a，b可看作是平面α內的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，所以C應排除；只有D符合定義.
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2. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直線與直線BA1是異面直
線的條數為（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與
直線BA1異面的直線有CD，C1D1，C1C，D1D，
B1C1，AD，共6條，故選C.
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3. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線與B1D1垂直的
是（　　）
A. BC1 B. A1D
C. AC D. BC
解析： 　連接BD（圖略），∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故選C.
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4. 在如圖所示的正方體中，M，N分別為棱BC和CC1的中點，則異
面直線AC和MN所成的角的大小為（　　）
A. 30° B. 45°
C. 90° D. 60°
√
解析： 　連接AD1，D1C，BC1（圖略），因為M，N分別為BC
和CC1的中點，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，
所以∠D1AC即為異面直線AC和MN所成的角.又△D1AC是等邊
三角形，所以∠D1AC＝60°，即異面直線AC和MN所成的角為
60°.故選D.
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5. 如圖所示，在四面體ABCD中，AC＝8，BD＝6，M，N分別為
AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN
＝（　　）
A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
√
解析： 　取AD的中點P，連接PM，PN（圖略），則
BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN（或其補角）即異面直線AC與
BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝ AC＝4，PM＝ BD＝
3，∴MN＝5.
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6. （多選）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形ABC是正三角
形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是（　　）
A. CC1與B1E是異面直線
B. C1C與AE是異面直線
C. AE與B1C1是異面直線
D. AE與B1C1所成的角為60°
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解析： 　對于A，由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內，故C1C
與B1E是共面的，故A錯誤；對于B，由于C1C在平面C1B1BC內，
而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE
是異面直線，故B正確；對于C，同理AE與B1C1是異面直線，故C
正確；對于D，AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E
為BC中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，所以AE與B1C1
所成的角為90°，故D錯誤.故選B、C.
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7. （2024·連云港月考）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a
和c的位置關系可能是 .
解析：如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，A'D'
所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是
異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方
體ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和
c可以平行、相交或異面.
平行、相交或異面　
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8. 如圖，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線l，使l與棱AB，
AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線l可以作 條.
解析：連接AC1（圖略），則AC1與棱AB，AD，AA1所成的角都
相等；過點A分別作正方體的另外三條體對角線的平行線，則它們
與棱AB，AD，AA1所成的角也都相等.故這樣的直線l可以作4條.
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9. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ ，則異面
直線AD1與DB1所成角的余弦值為 .
　
解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側補
上一個相同的長方體EFBA-E1F1B1A1.連接B1F，
由長方體性質可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F為
異面直線AD1與DB1所成的角或其補角.連接DF，
由題意，得DF＝ ＝ ，FB1＝
＝2，DB1＝ ＝ .在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝F ＋D －2FB1·DB1· cos ∠DB1F，即5＝4＋5－2×2× × cos ∠DB1F，所以 cos ∠DB1F＝ .
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10. 如圖所示，在三棱錐P-ABC中，E是PC的中點，連接AE. 求證：AE與PB是異面直線.
證明：假設AE與PB共面于平面α，
連接BE（圖略）.
因為A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即為平面α，所以P∈平面ABE，
這與P 平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線.
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11. 將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截
去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿
基米德多面體”，則異面直線AB與CD所成角的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
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解析： 　如圖所示，由題可知，四邊形ABEG和
CDFE均為正方形，△EFG為正三角形，因為
AB∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其補角為異
面直線AB與CD所成的角.因為△EFG為正三角
形，所以∠GEF＝60°.故AB與CD所成角的大小為60°.
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12. （多選）一個正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒中
下列結論正確的是（　　）
A. AB⊥EF
B. AB與CM所成的角為60°
C. MN∥CD
D. EF與MN所成的角為60°
√
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解析： 　把展開圖還原成正方體，如圖所
示.A選項，因為AB∥MC，且EF⊥MC，所以
EF⊥AB，故A正確；B選項，因為AB∥MC，所
以AB與CM所成的角為0°，故B錯誤；C選項，
因為AE∥MN，且AE⊥CD，所以MN⊥CD，
故C錯誤；D選項，因為AE∥MN，所以∠AEF或其補角為EF與MN所成的角，又因為EF＝FA＝AE，所以△AEF為等邊三角形，因此∠AEF＝60°，且異面直線所成角的范圍為（0，90°]，所以∠AEF為EF與MN所成的角，因此EF與MN所成的角為60°，故D正確.故選A、D.
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13. 如圖，在圓柱OO1中，底面半徑為1，OA⊥O1B，異面直線AB
與OO1所成角的正切值為 ，則圓柱的高為 .
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解析：如圖，過點B作OO1的平行線交底面圓O于點
H，連接OH，AH，則∠ABH即為異面直線AB與OO1
所成的角，tan∠ABH＝ ，易知OH∥O1B且OH＝
O1B，由OA⊥O1B可知，OA⊥OH，所以AH＝
＝ ，又tan∠ABH＝ ，所以圓柱OO1的高
BH＝ ＝4.
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14. 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分別是
BD1和AD的中點.求證：CD1⊥EF.
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證明：如圖，取CD1的中點G，連接EG，DG.
∵E是BD1的中點，
∴EG∥BC，EG＝ BC，
∵F是AD的中點，
且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝ BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∴EF∥DG，
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∴∠DGD1（或其補角）是異面直線CD1與EF所
成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，
又G為CD1的中點，
∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，
∴異面直線CD1與EF所成的角為90°，
∴CD1⊥EF.
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15. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝
2 ，∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的長.
解：如圖所示，連接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2 ，
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C（或其補角）為異面直線A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即異面直線A1B和AD1所成的角為90°，
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∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，
∴AD1＝ AC.
∵AB＝BC＝2 ，∠ABC＝120°，
∴AC＝2 × sin 60°×2＝6，
∴AD1＝ AC＝3 ，
∴AA1＝ ＝ .
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