資源簡介

第1課時　直線與平面平行
1.若直線l不平行于平面α，且l α，則（　?。?br/>A.α內(nèi)的所有直線與l異面
B.α內(nèi)不存在與l平行的直線
C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行
D.α內(nèi)的直線與l都相交
2.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（　?。?br/>A.m∥α，m∥n n∥α
B.m∥α，n∥α m∥n
C.m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D.m∥α，n α m∥n
3.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是（　?。?br/>A.平行 B.相交
C.在平面內(nèi) D.異面
4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是平面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為（　?。?br/>A.1 B.
C. D.
5.（多選）如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出以下結(jié)論，其中正確的是（　?。?br/>A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
6.（多選）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時，下面結(jié)論正確的是（　　）
A.E，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點(diǎn)
B.G，H一定是CD，DA的中點(diǎn)
C.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D.四邊形EFGH是平行四邊形或梯形
7.平面α外的兩條直線a，b，且a∥α，則a∥b是b∥α的　　　　條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.
8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是PA上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E滿足條件：　　　　時，PC∥平面EBD.
9.（2024·鹽城質(zhì)檢）如圖所示，直線a∥平面α，點(diǎn)A 平面α，并且直線a和點(diǎn)A位于平面α兩側(cè)，點(diǎn)B，C，D∈a，AB，AC，AD分別交平面α于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝　　　　.
10.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝ AD，E是PD的中點(diǎn).
（1）求證：BC∥AD；
（2）求證：CE∥平面PAB.
11.已知M是兩條異面直線a，b外一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與直線a，b都平行的平面（　?。?br/>A.有且只有一個 B.有兩個
C.沒有或只有一個 D.有無數(shù)個
12.（多選）下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能得出AB∥平面MNP的圖形是（　　）
13.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC上的動點(diǎn)，D是AA1上的動點(diǎn)，且＝m，AE∥平面DB1C.
（1）若E是BC的中點(diǎn)，則m的值為　　　　；
（2）若E是BC上靠近B的三等分點(diǎn)，則m的值為　　　　.
14.如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分別為線段A1B，AC1的中點(diǎn).
（1）求證：MN∥平面BB1C1C；
（2）若點(diǎn)D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求的值.
15.如圖所示，四邊形EFGH為三棱錐A-BCD的一個截面，四邊形EFGH為平行四邊形.
（1）求證：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.
第1課時　直線與平面平行
1.B　若在平面α內(nèi)存在與直線l平行的直線，因?yàn)閘 α，故l∥α，這與題意矛盾.
2.C　A中，n還有可能在平面α內(nèi)；B中，m，n可能相交、平行、異面；由線面平行的性質(zhì)定理可得C正確；D中，m，n可能異面.
3.A　如圖所示，由＝，得AC∥EF.又EF 平面DEF，AC 平面DEF，∴AC∥平面DEF.故選A.
4.C　連接AB1，AD1，∵點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，∴P是AD1的中點(diǎn)，∵PQ∥平面AA1B1B，PQ 平面D1AB1，平面D1AB1∩平面AA1B1B＝AB1，∴PQ∥AB1，即PQ是△D1AB1的中位線，∴PQ＝AB1＝×＝.故選C.
5.ABC　由題意知，OM是△BPD的中位線，∴OM∥PD，故A正確；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正確；同理，可得OM∥平面PDA，故C正確；OM與平面PBA相交，故D不正確.故選A、B、C.
6.CD　因?yàn)锽D∥平面EFGH，所以由線面平行的性質(zhì)定理，得BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形或梯形.故選C、D.
7.充分不必要　解析：平面α外的兩條直線a，b，若a∥α且a∥b，則根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，則不一定有a∥b.
8.E為PA的中點(diǎn)
解析：如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接EB，ED，AC，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接EO，易知EO∥PC.∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，∴PC∥平面EBD.即當(dāng)E為PA中點(diǎn)時，PC∥平面EBD.
9.　解析：因?yàn)橹本€a∥平面α，點(diǎn)B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以＝＝，所以EG＝·BD＝×4＝.
10.證明：（1）在四棱錐P-ABCD中，因?yàn)锽C∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.
（2）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，
因?yàn)镋是PD 的中點(diǎn)，
所以EF∥AD，EF＝AD，
又由（1）可得BC∥AD，BC＝ AD，
所以BC∥EF，BC＝EF，
所以四邊形BCEF是平行四邊形，
所以CE∥BF，
因?yàn)镃E 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
11.C　過點(diǎn)M作直線a'∥a，過點(diǎn)M作直線b'∥b，則直線a'，b'確定平面α.當(dāng)a，b都不在由a'，b'確定的平面α內(nèi)時，過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面只有一個；當(dāng)a α或b α?xí)r，過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面不存在.故選C.
12.AD　對于A，如圖，連接BC交PN于點(diǎn)D，連接DM，則MD∥AB，又AB 平面MNP，MD 平面MNP，得AB∥平面MNP；對于D，易得AB∥NP，又AB 平面MNP，NP 平面MNP，可得AB∥平面MNP；B、C中得不到AB∥平面MNP.
13.（1）1?。?）2
解析：（1）如圖，過點(diǎn)E作BB1的平行線，交CB1于點(diǎn)G，連接DG.因?yàn)锳E∥平面DB1C，所以AE∥DG.又AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EG，則四邊形DAEG是平行四邊形.故DA＝GE，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以G是CB1的中點(diǎn).故AD＝DA1，即＝1，即m＝1.
（2）如圖，過點(diǎn)E作BB1的平行線，交CB1于點(diǎn)H，連接DH.因?yàn)锳E∥平面DB1C，所以AE∥DH，又AD∥BB1，所以AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EH，故四邊形DAEH是平行四邊形，則AD＝EH，因?yàn)镋H∥BB1，所以＝＝，所以＝＝，則＝2，即m＝2.
14.解：（1）證明：連接A1C（圖略），在直三棱柱A1B1C1-ABC中，側(cè)面AA1C1C為矩形，
因?yàn)镹為AC1的中點(diǎn)，所以N為A1C的中點(diǎn).
又M為A1B的中點(diǎn)，所以MN∥BC，又MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
（2）因?yàn)镈N∥平面ABB1A1，DN 平面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
所以DN∥A1B，所以＝＝1.
15.解：（1）證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）同（1）可證EH∥CD，設(shè)EF＝x，EH＝y(tǒng)，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1，
∴y＝6（1－），且0＜x＜4，
∴四邊形EFGH的周長為l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）.
3 / 3第1課時　直線與平面平行
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題 邏輯推理、直觀想象
2.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確由線面平行可推出線線平行 邏輯推理、直觀想象
　　門扇的豎直兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動時只要門扇不被關(guān)閉，不論轉(zhuǎn)動到什么位置，它能活動的豎直一邊所在直線都與固定的豎直邊所在平面（墻面）存在不變的位置關(guān)系.
【問題】?。?）上述問題中存在著不變的位置關(guān)系是指什么？
（2）由上述問題，如何判斷直線與平面平行？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)一　直線和平面的位置關(guān)系
位置 關(guān)系 直線a在平面α內(nèi) 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共 點(diǎn) 有　　　　個公共點(diǎn) 　　　　　　公共點(diǎn) 　 　公共點(diǎn)
符號 表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形 表示
【想一想】
若直線a在平面α外，那么直線a與平面α平行，這種說法是否正確？
知識點(diǎn)二　直線與平面平行的判定定理
文字語言 如果　　　　一條直線與此　　　　的一條直線　　　　，那么該直線與此平面平行.簡記為：若線線平行，則線面平行
符號語言 a∥α
圖形語言
提醒　線面平行判定定理的再理解：①線面平行的判定定理中的三個條件“a α，b α，a∥b”缺一不可；②線面平行的判定定理的作用：證明線面平行；③應(yīng)用時，只需在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可.
【想一想】
1.若一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，一定有直線與平面平行嗎？
2.如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都平行，那么該直線和平面之間具有什么關(guān)系？
知識點(diǎn)三　直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字 語言 一條直線與一個平面平行，如果　　該直線的平面與此平面　　　　，那么該直線與　　　平行.簡記為：若線面平行，則線線平行
符號 語言 l∥m
圖形 語言
提醒　對線面平行性質(zhì)定理的再理解：①線面平行的性質(zhì)定理的條件有三個：（?。┲本€l與平面α平行，即l∥α；（ⅱ）平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝m；（ⅲ）直線l在平面β內(nèi)，即l β.三個條件缺一不可；②定理的作用：（?。┚€面平行 線線平行；（ⅱ）畫一條直線與已知直線平行.
【想一想】
如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線和平面內(nèi)的直線有怎樣的位置關(guān)系？
1.能保證直線a與平面α平行的條件是（　　）
A.b α，a∥b
B.b α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D.a α，b α，a∥b
2.如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點(diǎn)，且EF∥平面ABC，則（　?。?br/>A.EF與BC相交
B.EF∥BC
C.EF與BC異面
D.以上均有可能
3.三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面之間的關(guān)系是　　　　.
題型一 直線與平面的位置關(guān)系
【例1】　下面三個命題中正確命題的個數(shù)是（　?。?br/>①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
通性通法
1.在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行，這三種情況都要考慮到，避免疏忽或遺漏.
2.解決此類問題時，可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷.
【跟蹤訓(xùn)練】
下列命題正確的個數(shù)為（　?。?br/>①若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；②如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；③若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).
A.0 B.1
C.2 D.3
題型二 直線與平面平行的判定
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?77頁例1）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn).證明BC1∥平面A1CD.
通性通法
應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟
第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：
①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；
②三角形中位線法；
③平行四邊形法；
④線段成比例法.
提醒　線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)：①條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”；②不能利用題目條件順利地找到兩平行直線.
【跟蹤訓(xùn)練】
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，M， N分別是棱AB， PC的中點(diǎn).若四邊形ABCD是平行四邊形，求證：MN∥平面PAD.
題型三 線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例3】　（鏈接教科書第177頁例2）如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A'C'.
（1）要經(jīng)過平面A'C'內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？
（2）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？
通性通法
1.通過線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化，來證明線線平行是常用的解題思路.
2.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟
【跟蹤訓(xùn)練】
1.如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，AB＝4，M為線段SA上一點(diǎn)，且AM＝2MS，平面MCD與側(cè)棱BS交于點(diǎn)N，則MN＝　　　.
2.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面PAHG交平面BDM于GH.求證：PA∥GH.
1.（多選）若直線a平行于平面α，則（　　）
A.平面α內(nèi)有且只有一條直線與a平行
B.平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行
C.平面α內(nèi)存在無數(shù)條與a不平行的直線
D.平面α內(nèi)任意一條直線都與a平行
2.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F(xiàn)分別為底面ABCD和底面A'B'C'D'的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有（　　）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，EH∥FG，則EH與BD的位置關(guān)系是　　　　.
4.已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內(nèi)，P，Q分別是對角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.
第1課時　直線與平面平行
【基礎(chǔ)知識·重落實(shí)】
知識點(diǎn)一
　無數(shù)　有且只有一個　沒有
想一想
　提示：不正確.直線a在平面α外，包括兩種情況：直線a與平面α相交或平行.
知識點(diǎn)二
　平面外　平面內(nèi)　平行　b α　a∥b
想一想
1.提示：不一定，直線有可能在平面內(nèi).
2.提示：直線有可能平行于平面或直線在平面內(nèi).
知識點(diǎn)三
　過　相交　交線　α∩β＝m
想一想
　提示：平行或異面.
自我診斷
1.D　由線面平行的判定定理可知，D正確.故選D.
2.B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故選B.
3.相交　解析：延長各側(cè)棱恢復(fù)成棱錐的形狀可知，三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面相交.
【典型例題·精研析】
【例1】　B　如圖所示，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AA'∥BB'，AA'卻在過BB'的平面AB'內(nèi)，故命題①不正確；AA'∥平面B'C，BC 平面B'C，但AA'不平行于BC，故命題②不正確；③中，假設(shè)α與b相交，因?yàn)閍∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即③正確.故選B.
跟蹤訓(xùn)練
　B　如圖所示，借助長方體模型，棱AA1所在直線有無數(shù)個點(diǎn)在平面ABCD外，但棱AA1所在直線與平面ABCD相交，所以命題①不正確；A1B1∥AB，A1B1所在直線平行于平面ABCD，但直線AB 平面ABCD，所以命題②不正確；直線l與平面α平行，則l與α無公共點(diǎn)，l與平面α內(nèi)所有直線都沒有公共點(diǎn)，所以命題③正確.故選B.
【例2】　證明：如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn).
又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF.
因?yàn)镈F 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：法一　如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，
因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，
所以NE∥CD，NE＝CD.
又因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，M是AB的中點(diǎn)，
所以AM∥CD且AM＝CD.
所以NE∥AM，NE＝AM.
所以四邊形AMNE是平行四邊形.
所以MN∥AE.
又因?yàn)锳E 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
法二　連接CM并延長，交DA的延長線于點(diǎn)F，連接PF，
因?yàn)锳M∥CD且AM＝CD，
所以M是CF的中點(diǎn).
又因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，所以MN∥PF.
又因?yàn)镸N 平面PAD， PF 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
【例3】　解：（1）如圖，在平面A'C'內(nèi)，過點(diǎn)P作直線EF，使EF∥B'C'，并分別交棱A'B'，D'C'于點(diǎn)E，F(xiàn).連接BE，CF，則EF，BE，CF就是應(yīng)畫的線.
（2）因?yàn)槔釨C平行于平面A'C'，平面BC'∩平面A'C'＝B'C'，所以B'C'∥BC.
又由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC.而BC在平面AC內(nèi)，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC.顯然，BE，CF都與平面AC相交.
跟蹤訓(xùn)練
1.　解析：因?yàn)锳B∥CD，AB 平面SAB，CD 平面SAB，所以CD∥平面SAB，又因?yàn)槠矫鍯DMN∩平面SAB＝MN，CD 平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以＝＝，所以MN＝.
2.證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn)，
∴AP∥OM.
根據(jù)直線和平面平行的判定定理，則有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，知PA∥GH.
隨堂檢測
1.BC　過直線a可作無數(shù)個平面與α相交，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知，這些交線都與a平行，所以在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有無數(shù)條，故A不正確，B正確.平面α內(nèi)存在與a不平行的直線，且有無數(shù)條，故C正確，D不正確.故B、C.
2.D　由直線與平面平行的判定定理知，EF與平面AB'、平面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故與EF平行的平面有4個.故選D.
3.平行　解析：因?yàn)镋H∥FG，F(xiàn)G 平面BCD，EH 平面BCD，所以EH∥平面BCD.因?yàn)镋H 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
4.證明：如圖，作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，則PM∥QN，＝，＝.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PM QN，
∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN.
又∵PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
4 / 5(共68張PPT)
第1課時　
直線與平面平行
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利
用定理解決問題 邏輯推理、
直觀想象
2.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確由線面
平行可推出線線平行 邏輯推理、
直觀想象
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　門扇的豎直兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動時只要門扇不被
關(guān)閉，不論轉(zhuǎn)動到什么位置，它能活動的豎直一邊所在直線都與固定
的豎直邊所在平面（墻面）存在不變的位置關(guān)系.
【問題】?。?）上述問題中存在著不變的位置關(guān)系是指什么？
（2）由上述問題，如何判斷直線與平面平行？
知識點(diǎn)一　直線和平面的位置關(guān)系
位置 關(guān)系 直線a在平 面α內(nèi) 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點(diǎn) 有 個
公共點(diǎn)
公共點(diǎn) 公共點(diǎn)
符號 表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形 表示
無數(shù)　
有且只有一個　
沒有　
【想一想】
若直線a在平面α外，那么直線a與平面α平行，這種說法是否正
確？
提示：不正確.直線a在平面α外，包括兩種情況：直線a與平面α相
交或平行.
知識點(diǎn)二　直線與平面平行的判定定理
文字 語言 如果 一條直線與此 的一條直
線 ，那么該直線與此平面平行.簡記為：若線
線平行，則線面平行
符號 語言
圖形 語言
平面外　
平面內(nèi)　
平行　
提醒　線面平行判定定理的再理解：①線面平行的判定定理中的三個
條件“a α，b α，a∥b”缺一不可；②線面平行的判定定理的
作用：證明線面平行；③應(yīng)用時，只需在平面內(nèi)找到一條直線與已知
直線平行即可.
【想一想】
1. 若一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，一定有直線與平面平行嗎？
提示：不一定，直線有可能在平面內(nèi).
2. 如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都平行，那么該直線和平面之間
具有什么關(guān)系？
提示：直線有可能平行于平面或直線在平面內(nèi).
知識點(diǎn)三　直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語言 一條直線與一個平面平行，如果 該直線的平面與此
平面 ，那么該直線與 平行.簡記為：若
線面平行，則線線平行
符號語言
圖形語言
過　
相交　
交線　
提醒　對線面平行性質(zhì)定理的再理解：①線面平行的性質(zhì)定理的條件
有三個：（?。┲本€l與平面α平行，即l∥α；（ⅱ）平面α，β相交
于一條直線，即α∩β＝m；（ⅲ）直線l在平面β內(nèi)，即l β. 三
個條件缺一不可；②定理的作用：（?。┚€面平行 線線平行；（ⅱ）
畫一條直線與已知直線平行.
【想一想】
如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線和平面內(nèi)的直線有怎樣
的位置關(guān)系？
提示：平行或異面.
1. 能保證直線a與平面α平行的條件是（　?。?br/>A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
解析： 　由線面平行的判定定理可知，D正確.故選D.
√
2. 如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點(diǎn)，且
EF∥平面ABC，則（　?。?br/>A. EF與BC相交
B. EF∥BC
C. EF與BC異面
D. 以上均有可能
解析： 　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又
EF∥平面ABC，∴EF∥BC. 故選B.
√
3. 三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面之間的關(guān)系是
.
解析：延長各側(cè)棱恢復(fù)成棱錐的形狀可知，三棱臺的一條側(cè)棱所在
直線與其對面所在的平面相交.
相
交　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 直線與平面的位置關(guān)系
【例1】　下面三個命題中正確命題的個數(shù)是（　?。?br/>①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平
面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條
直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，那
么b∥α.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　如圖所示，在長方體ABCD-A'B'C'D'
中，AA'∥BB'，AA'卻在過BB'的平面AB'內(nèi)，故命
題①不正確；AA'∥平面B'C，BC 平面B'C，但
AA'不平行于BC，故命題②不正確；③中，假設(shè)α
與b相交，因?yàn)閍∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即③正確.故選B.
通性通法
1. 在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，直線在平面內(nèi)、直線與平面相
交、直線與平面平行，這三種情況都要考慮到，避免疏忽或遺漏.
2. 解決此類問題時，可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、
平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空
臆斷.
【跟蹤訓(xùn)練】
下列命題正確的個數(shù)為（　?。?br/>①若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；②如果兩條平行直
線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；③若直
線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　如圖所示，借助長方體模型，棱AA1所在
直線有無數(shù)個點(diǎn)在平面ABCD外，但棱AA1所在直線
與平面ABCD相交，所以命題①不正確；
A1B1∥AB，A1B1所在直線平行于平面ABCD，但直線AB 平面ABCD，所以命題②不正確；直線l與平面α平行，則l與α無公共點(diǎn)，l與平面α內(nèi)所有直線都沒有公共點(diǎn)，所以命題③正確.故選B.
題型二 直線與平面平行的判定
【例2】　（鏈接教科書第177頁例1）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1
中，D是AB的中點(diǎn).證明BC1∥平面A1CD.
證明：如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中
點(diǎn).
又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF.
因?yàn)镈F 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥
平面A1CD.
通性通法
應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟
第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：
①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；
②三角形中位線法；
③平行四邊形法；
④線段成比例法.
提醒　線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)：①條件羅列不全，最易忘
記的條件是“直線在平面外”；②不能利用題目條件順利地找到
兩平行直線.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在四棱錐P-ABCD中，M， N分別是棱AB， PC的中點(diǎn).若四
邊形ABCD是平行四邊形，求證：MN∥平面PAD.
證明：法一　如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連接
AE，NE，
因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，
所以NE∥CD，NE＝ CD.
又因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，M是AB的中點(diǎn)，
所以AM∥CD且AM＝ CD.
所以NE∥AM，NE＝AM.
所以四邊形AMNE是平行四邊形.
所以MN∥AE.
又因?yàn)锳E 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
法二　連接CM并延長，交DA的延長線于點(diǎn)F，
連接PF，
因?yàn)锳M∥CD且AM＝ CD，
所以M是CF的中點(diǎn).
又因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，所以MN∥PF.
又因?yàn)镸N 平面PAD， PF 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
題型三 線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例3】　（鏈接教科書第177頁例2）如圖所示的一塊木料中，棱BC
平行于平面A'C'.
（1）要經(jīng)過平面A'C'內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應(yīng)
該怎樣畫線？
解： 如圖，在平面A'C'內(nèi)，過點(diǎn)
P作直線EF，使EF∥B'C'，并分別交
棱A'B'，D'C'于點(diǎn)E，F(xiàn). 連接BE，
CF，則EF，BE，CF就是應(yīng)畫的線.
（2）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？
解： 因?yàn)槔釨C平行于平面A'C'，平面BC'∩平面A'C'＝B'C'，所以B'C'∥BC.
又由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC. 而BC在平面AC內(nèi)，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC. 顯然，BE，CF都與平面AC相交.
通性通法
1. 通過線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化，來證明線線平行是常用的解
題思路.
2. 利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟

　
解析：因?yàn)锳B∥CD，AB 平面SAB，CD 平面SAB，所以
CD∥平面SAB，又因?yàn)槠矫鍯DMN∩平面SAB＝MN，CD 平
面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以 ＝ ＝ ，
所以MN＝ .
2. 如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一
點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面PAHG
交平面BDM于GH. 求證：PA∥GH.
證明：如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.
根據(jù)直線和平面平行的判定定理，則有PA∥平面
BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根據(jù)直線和平面
平行的性質(zhì)定理，知PA∥GH.
1. （多選）若直線a平行于平面α，則（　?。?br/>A. 平面α內(nèi)有且只有一條直線與a平行
B. 平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與a平行
C. 平面α內(nèi)存在無數(shù)條與a不平行的直線
D. 平面α內(nèi)任意一條直線都與a平行
解析： 　過直線a可作無數(shù)個平面與α相交，由直線與平面平
行的性質(zhì)定理可知，這些交線都與a平行，所以在平面α內(nèi)與直線
a平行的直線有無數(shù)條，故A不正確，B正確.平面α內(nèi)存在與a不
平行的直線，且有無數(shù)條，故C正確，D不正確.故B、C.
√
√
2. 如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F(xiàn)分別為底面ABCD和底
面A'B'C'D'的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有
（　?。?br/>A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
√
解析： 由直線與平面平行的判定定理知，EF與平面AB'、平
面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故與EF平行的平面有4個.
故選D.
3. 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，
BC，CD，DA上的點(diǎn)，EH∥FG，則EH與BD的位置關(guān)系是
.
平
行　
解析：因?yàn)镋H∥FG，F(xiàn)G 平面BCD，EH 平面BCD，所以
EH∥平面BCD. 因?yàn)镋H 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝
BD，所以EH∥BD.
4. 已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面
內(nèi)，P，Q分別是對角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ. 求證：
PQ∥平面CBE.
證明：如圖，作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作
QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，則PM∥QN，
＝ ， ＝ .
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PM QN，
∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN.
又∵PQ 平面CBE，MN 平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 若直線l不平行于平面α，且l α，則（　　）
A. α內(nèi)的所有直線與l異面
B. α內(nèi)不存在與l平行的直線
C. α內(nèi)存在唯一的直線與l平行
D. α內(nèi)的直線與l都相交
解析： 　若在平面α內(nèi)存在與直線l平行的直線，因?yàn)閘 α，故
l∥α，這與題意矛盾.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列
結(jié)論中正確的是（　?。?br/>A. m∥α，m∥n n∥α
B. m∥α，n∥α m∥n
C. m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D. m∥α，n α m∥n
解析： 　A中，n還有可能在平面α內(nèi)；B中，m，n可能相交、
平行、異面；由線面平行的性質(zhì)定理可得C正確；D中，m，n可
能異面.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC上的點(diǎn)，若
AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系
是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面內(nèi) D. 異面
解析： 　如圖所示，由 ＝ ，得AC∥EF. 又
EF 平面DEF，AC 平面DEF，∴AC∥平面
DEF. 故選A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中
心，點(diǎn)Q是平面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面
AA1B1B，則線段PQ的長為（　?。?br/>A. 1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　連接AB1，AD1，∵點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，∴P是
AD1的中點(diǎn)，∵PQ∥平面AA1B1B，PQ 平面D1AB1，平面
D1AB1∩平面AA1B1B＝AB1，∴PQ∥AB1，即PQ是△D1AB1的中
位線，∴PQ＝ AB1＝ × ＝ .故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多選）如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對角線
的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出以下結(jié)論，其中正確的是
（　　）
A. OM∥PD B. OM∥平面PCD
C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA
解析： 　由題意知，OM是△BPD的中位線，∴OM∥PD，
故A正確；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面
PCD，故B正確；同理，可得OM∥平面PDA，故C正確；OM與
平面PBA相交，故D不正確.故選A、B、C.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多選）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，
BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時，下面結(jié)論正確的
是（　?。?br/>A. E，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點(diǎn)
B. G，H一定是CD，DA的中點(diǎn)
C. AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D. 四邊形EFGH是平行四邊形或梯形
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　因?yàn)锽D∥平面EFGH，所以由線面平行的性質(zhì)定理，
得BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝
DG∶GC，且EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形或梯形.
故選C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 平面α外的兩條直線a，b，且a∥α，則a∥b是b∥α的
條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不
充分也不必要”）.
解析：平面α外的兩條直線a，b，若a∥α且a∥b，則根據(jù)直線
與平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，則不一定
有a∥b.
充分
不必要　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是PA上
一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E滿足條件： 時，PC∥平面EBD.
解析：如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接EB，ED，
AC，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接EO，易知
EO∥PC. ∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，
∴PC∥平面EBD. 即當(dāng)E為PA中點(diǎn)時，PC∥平
面EBD.
E為PA的中點(diǎn)　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：因?yàn)橹本€a∥平面α，點(diǎn)B，C，D∈a，平面ABD∩平面
α＝EG，所以BD∥EG，所以 ＝ ＝ ，所以EG＝
·BD＝ ×4＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝ AD，
E是PD的中點(diǎn).
（1）求證：BC∥AD；
證明： 在四棱錐P-ABCD中，因?yàn)?br/>BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以
BC∥AD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求證：CE∥平面PAB.
證明： 取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，
因?yàn)镋是PD 的中點(diǎn)，
所以EF∥AD，EF＝ AD，
又由（1）可得BC∥AD，BC＝ AD，
所以BC∥EF，BC＝EF，
所以四邊形BCEF是平行四邊形，
所以CE∥BF，
因?yàn)镃E 平面PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面PAB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知M是兩條異面直線a，b外一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與直線a，b都
平行的平面（　　）
A. 有且只有一個 B. 有兩個
C. 沒有或只有一個 D. 有無數(shù)個
解析： 過點(diǎn)M作直線a'∥a，過點(diǎn)M作直線b'∥b，則直線a'，
b'確定平面α.當(dāng)a，b都不在由a'，b'確定的平面α內(nèi)時，過點(diǎn)M
且與a，b都平行的平面只有一個；當(dāng)a α或b α?xí)r，過點(diǎn)M
且與a，b都平行的平面不存在.故選C.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多選）下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，
M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能得出AB∥平面MNP的
圖形是（　　）
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　對于A，如圖，連接BC交PN于點(diǎn)
D，連接DM，則MD∥AB，又AB 平面MNP，
MD 平面MNP，得AB∥平面MNP；對于D，易
得AB∥NP，又AB 平面MNP，NP 平面
MNP，可得AB∥平面MNP；B、C中得不到AB∥
平面MNP.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC上的動點(diǎn)，D是AA1
上的動點(diǎn)，且 ＝m，AE∥平面DB1C.
（1）若E是BC的中點(diǎn)，則m的值為 ；
1　　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 如圖，過點(diǎn)E作BB1的平行線，
交CB1于點(diǎn)G，連接DG. 因?yàn)锳E∥平面
DB1C，所以AE∥DG. 又AD∥平面
CBB1C1，所以AD∥EG，則四邊形DAEG是
平行四邊形.故DA＝GE，因?yàn)镋是BC的中
點(diǎn)，所以G是CB1的中點(diǎn).故AD＝DA1，即
＝1，即m＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若E是BC上靠近B的三等分點(diǎn)，則m的值為 .
解析： 如圖，過點(diǎn)E作BB1的平行線，
交CB1于點(diǎn)H，連接DH. 因?yàn)锳E∥平面
DB1C，所以AE∥DH，又AD∥BB1，所以
AD∥平面CBB1C1，所以AD∥EH，故四邊
形DAEH是平行四邊形，則AD＝EH，因?yàn)?br/>EH∥BB1，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝
＝ ，則 ＝2，即m＝2.
2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分別為線段A1B，AC1
的中點(diǎn).
（1）求證：MN∥平面BB1C1C；
解： 證明：連接A1C（圖略），在直
三棱柱A1B1C1-ABC中，側(cè)面AA1C1C為矩
形，
因?yàn)镹為AC1的中點(diǎn)，所以N為A1C的中點(diǎn).
又M為A1B的中點(diǎn)，所以MN∥BC，又
MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若點(diǎn)D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求 的值.
解： 因?yàn)镈N∥平面ABB1A1，DN 平
面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝
A1B，
所以DN∥A1B，所以 ＝ ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 如圖所示，四邊形EFGH為三棱錐A-BCD的一個截面，四邊形
EFGH為平行四邊形.
（1）求證：AB∥平面EFGH；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解： 證明：∵四邊形EFGH為平行四
邊形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.
解： 同（1）可證EH∥CD，設(shè)EF＝
x，EH＝y(tǒng)，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴ ＋ ＝1，
∴y＝6（1－ ），且0＜x＜4，
∴四邊形EFGH的周長為l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－
）］＝12－x，∵8＜12－x＜12，
∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑