資源簡介

第2課時　直線與平面垂直
1.已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是（　　）
A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B.m⊥b，b∥α
C.m∩b＝A，b⊥α
D.m∥b，b⊥α
2.如圖所示，定點A和B都在平面α內，定點P α，PB⊥α，C是平面α內異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為（　　）
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.無法確定
3.如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關系是（　　）
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H為垂足，則B1H與平面AD1C的位置關系是（　　）
A.平行 B.相交
C.垂直 D.無法確定
5.（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點，則下列判斷正確的是（　　）
A.BC⊥平面PAB
B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC
D.PB⊥平面ADC
6.（多選）如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是（　　）
7.（2024·南通月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數為　　　　.
8.如圖所示，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有　　　　，與AP垂直的直線有　　　　.
9.（2024·徐州質檢）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是　　　.
10.（2024·南京河西外國語期中）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分別AB，PD的中點，且PA＝AD.
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求證：AF⊥平面PCD.
11.如圖所示，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是（　　）
A.EF⊥平面α
B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE
D.PQ⊥FH
12.（多選）如圖所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分別是G1G2，G2G3的中點，現在沿SE，SF，EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3重合，重合后的點記為G，則下列關系正確的是（　　）
A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
13.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為　　　　.
14.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中點，F是棱CD上的動點，試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
15.如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點.
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）當AP與AD的長度滿足什么關系時，MN⊥平面PCD？
第2課時　直線與平面垂直
1.D　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，則m與α可能平行或m α，故A錯誤；m⊥b，b∥α，則m與α可能平行或相交或m α，故B錯誤；m∩b＝A，b⊥α，則m與α可能平行或相交或m α，故C錯誤；由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確.故選D.
2.B　易證AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以AC⊥BC.故選B.
3.C　連接AC（圖略）.因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因為AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.由題圖可得，AM與BD不相交，故選C.
4.C　如圖，連接B1D1，BD.∵幾何體ABCD-A1B1C1D1是正方體，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1.∵B1H 平面BDD1B1，∴AC⊥B1H.∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，AC，D1O 平面AD1C，∴B1H⊥平面AD1C.
5.ABC　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判斷正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D為PB的中點，∴AD⊥PB，從而AD⊥平面PBC，故C判斷正確；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B判斷正確；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB與CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判斷不正確.
6.BD　對于A，由AB與CE所成角為45°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；對于C，由AB與CE所成角為60°，可得直線AB與平面CDE不垂直；對于D，連接AC（圖略），由ED⊥AC，ED⊥BC，且AC∩BC＝C，可得ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故選B、D.
7.4　解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4個直角三角形.
8.AB，BC，AC　AB　解析：因為PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.因為AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因為AP 平面PAC，所以AB⊥AP，故與AP垂直的直線是AB.
9.線段B1C　解析：如圖，連接AC，AB1，B1C，∵正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1與AC交于點C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P為線段B1C上任意一點時，均有AP⊥BD1.
10.證明：（1）設G是PC的中點，連接EG，GF，由于F是PD的中點，
所以GF∥CD，GF＝CD，
由于E是AB的中點，四邊形ABCD是矩形，
所以AE∥CD，AE＝CD，
所以GF∥AE，GF＝AE，
所以四邊形AFGE是平行四邊形，
所以AF∥EG，
因為AF 平面PEC，EG 平面PEC，
所以AF∥平面PEC.
（2）因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
因為CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因為AF 平面PAD，所以CD⊥AF，
因為PA＝AD，F是PD的中點，所以AF⊥PD，
因為PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，
所以AF⊥平面PCD.
11.B　因為EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.
12.AC　由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，A成立；因為FG2⊥EG2，即FG⊥EG，因為SG∩EG＝G，所以GF⊥平面GSE，又SE 平面GSE，所以GF⊥SE，C成立；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，B錯；因為EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平面SEG，D錯.
13.2　解析：如圖所示，因為PC⊥平面ABC，CM 平面ABC，所以PC⊥CM，則△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以當CM⊥AB時，CM最小，此時PM也最小.由條件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值為2，又PC＝4，則PM的最小值為＝2.
14.解：∵D1E⊥平面AB1F，AB1 平面AB1F，AF 平面AB1F，
∴D1E⊥AB1，D1E⊥AF.
連接DE.∵D1D⊥AF，D1D∩D1E＝D1，D1D，D1E 平面D1DE，
∴AF⊥平面D1DE，
∴AF⊥DE.
∵四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，
∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF，
即當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F.
15.解：（1）證明：取PD的中點E，連接NE，AE，如圖.
∵N是PC的中點，
∴NE∥DC且NE＝DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
（2）當AP＝AD時，MN⊥平面PCD，證明如下.
∵AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
3 / 3第2課時　直線與平面垂直
新課程標準解讀 核心素養
借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面垂直的判定定理與性質定理 數學運算、邏輯推理、直觀想象
木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）檢查兩次，如圖.如果兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直.
【問題】　（1）用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？
（2）上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　直線與平面垂直的定義
1.定義：如果直線a與平面α內的　　　　　　直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直，記作　　　　.直線a叫作平面α的　　　　，平面α叫作直線a的　　　　，垂線和平面的交點稱為　　　　.
2.畫法：
通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖：
知識點二　直線與平面垂直的判定定理
文字 語言 如果一條直線與一個平面內的兩條　　　　直線垂直，那么該直線與此平面　　　　
符號 語言 a⊥m，a⊥n，　　　　　　，　　　　，　　　　，則a⊥α
圖形 語言
【想一想】
如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？
知識點三　直線與平面垂直的性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 　　　
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行；②作平行線
提醒　過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.【想一想】
　垂直于同一平面的兩條垂線一定共面嗎？
知識點四　棱柱的分類
1.棱柱的分類
分類 定義
直棱柱 側棱　　　　　底面的棱柱
斜棱柱 側棱　　　　　　底面的棱柱
正棱柱 底面是　　　　　　的直棱柱
2.特殊的四棱柱
分類 定義
平行六面體 底面是　　　　　　的四棱柱
直平行六面體 側棱與底面　　　　的平行六面體
長方體 底面是　　　　的直平行六面體
正方體 棱長　　　　的長方體
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.如果一條直線垂直于平面內的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直
B.過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直
C.如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面
D.過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內
2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是（　　）
A.平面DD1C1C　　B.平面A1DCB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
3.如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與AP垂直的直線為　　　　　.
題型一 線面垂直的定義的應用
【例1】　下列命題中正確的是（　　）
A.若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α
B.若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線
C.若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數條直線與l垂直
D.若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則l⊥α
通性通法
　　對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內的任意一條直線”的說法與“直線垂直于平面內無數條直線”不是一回事.
【跟蹤訓練】
1.直線l⊥平面α，直線m α，則l與m不可能（　　）
A.平行　　　　　　　 B.相交
C.異面 D.垂直
2.如果一條直線垂直于一個平面內的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊.則能保證該直線與平面垂直的是　　　　.（填序號）
題型二 線面垂直的判定
【例2】　如圖所示，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.求證：AN⊥平面PBM.
【母題探究】
（變設問）在本例條件下，若AQ⊥PB，Q為垂足，證明PB⊥平面ANQ.
通性通法
證明線面垂直的方法
（1）由線線垂直證明線面垂直：①定義法（不常用）；②判定定理（最常用），要著力尋找平面內的兩條相交直線（有時需要作輔助線），使它們與所給直線垂直.
（2）平行轉化法（利用推論）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
【跟蹤訓練】
　如圖，在四面體P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2.F是線段PB上一點，CF＝，點E在線段AB上，且EF⊥PB.求證：PB⊥平面CEF.
題型三 線面垂直的性質定理的應用
【例3】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
通性通法
證明線線平行的常用方法
（1）利用線線平行的定義：證明兩直線共面且無公共點；
（2）利用基本事實4：證明兩直線同時平行于第三條直線；
（3）利用線面平行的性質定理：把證明線線平行轉化為證明線面平行；
（4）利用線面垂直的性質定理：把證明線線平行轉化為證明線面垂直.
【跟蹤訓練】
如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.
1.△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是（　　）
A.相交 B.異面
C.平行 D.不確定
2.（2024·揚州月考）設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（　　）
A.若l⊥m，m⊥α，則l∥α
B.若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C.若l∥α，m α，則l∥m
D.若l∥α，m∥α，則l∥m
3.如圖所示，Rt△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點.求證：直線SD⊥平面ABC.
第2課時　直線與平面垂直
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.任意一條　a⊥α　垂線　垂面　垂足
知識點二
　相交　垂直　m∩n＝A　m α　n α
想一想
　提示：不一定垂直.直線可能落在平面內.
知識點三
　a∥b
想一想
　提示：共面，由線面垂直的性質定理可知這兩條直線是平行的，故能確定一個平面.
知識點四
1.垂直于　不垂直于　正多邊形　2.平行四邊形　垂直　矩形　相等
自我診斷
1.BCD　對于A，當平面內的兩條直線是平行線時，這條直線和這個平面不一定垂直，故A錯誤；對于B，過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直，故B正確；對于C，由線面垂直的判定定理得：如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面，故C正確；對于D，由線面垂直的性質得：過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內，故D正確.故選B、C、D.
2.B　因為AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故選B.
3.BC　解析：因為∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因為AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
【典型例題·精研析】
【例1】　C　當l與α內的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以A不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內的無數條平行直線垂直，所以B不正確，C正確；若l在α內，l也可以和α內的無數條直線垂直，故D錯誤.故選C.
跟蹤訓練
1.A　因為直線l⊥平面α，所以l與α相交.又因為m α，所以l與m相交或異面.由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行.故選A.
2.①③④　解析：根據直線與平面垂直的判定定理，平面內的兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩條直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件.
【例2】　證明：因為AB為☉O的直徑，所以AM⊥BM.
又因為PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.
因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
因為AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.
母題探究
　證明：由本例知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，
所以AN⊥PB.
因為AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，所以PB⊥平面ANQ.
跟蹤訓練
　證明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB為直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
【例3】　證明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中點，
∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
跟蹤訓練
　證明：因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.
又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因為A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.
又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
隨堂檢測
1.C　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2.B　對于A，l∥α或l α，故A錯誤；對于B，因l⊥α，則l垂直α內任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對于C，也有可能是l，m異面，故C錯誤；對于D，l，m還可能相交或異面，故D錯誤.
3.證明：∵SA＝SC，點D為斜邊AC的中點，
∴SD⊥AC.
如圖，連接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
4 / 4(共66張PPT)
第2課時　
直線與平面垂直
新課程標準解讀 核心素養
借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與
平面垂直的判定定理與性質定理 數學運算、邏輯推
理、直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但
不是相反的方向）檢查兩次，如圖.如果兩次檢查時，曲尺的兩邊都
分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直.
【問題】　（1）用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？
（2）上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？
知識點一　直線與平面垂直的定義
1. 定義：如果直線a與平面α內的 直線都垂直，那么稱
直線a與平面α垂直，記作 .直線a叫作平面α的
，平面α叫作直線a的 ，垂線和平面的交點稱為
.
2. 畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊
形的一邊垂直，如圖：
任意一條　
a⊥α　
垂
線　
垂面　
垂
足　
知識點二　直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的兩條 直線垂直，那么該直線與此平面
符號語言 a⊥m，a⊥n， ， ，
，則a⊥α
圖形語言
相交　
垂直　
m∩n＝A　
m α　
n α　
【想一想】
如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否與
這個平面垂直？
提示：不一定垂直.直線可能落在平面內.
知識點三　直線與平面垂直的性質定理
文字
語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號
語言
圖形
語言
作用 ①線面垂直 線線平行；②作平行線
a∥b　
提醒　過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一
個平面與已知直線垂直.【想一想】
　垂直于同一平面的兩條垂線一定共面嗎？
提示：共面，由線面垂直的性質定理可知這兩條直線是平行的，故能
確定一個平面.
知識點四　棱柱的分類
1. 棱柱的分類
分類 定義
直棱柱 側棱 底面的棱柱
斜棱柱 側棱 底面的棱柱
正棱柱 底面是 的直棱柱
垂直于　
不垂直于　
正多邊形　
2. 特殊的四棱柱
分類 定義
平行六面體 底面是 的四棱柱
直平行六面體 側棱與底面 的平行六面體
長方體 底面是 的直平行六面體
正方體 棱長 的長方體
平行四邊形　
垂直　
矩形　
相等　
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 如果一條直線垂直于平面內的兩條直線，那么這條直線和這個平
面垂直
B. 過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直
C. 如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直
線確定的平面
D. 過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內
√
√
√
解析： 　對于A，當平面內的兩條直線是平行線時，這條直線
和這個平面不一定垂直，故A錯誤；對于B，過直線l外一點P，有
且僅有一個平面與l垂直，故B正確；對于C，由線面垂直的判定定
理得：如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩
條直線確定的平面，故C正確；對于D，由線面垂直的性質得：過
點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內，故D正
確.故選B、C、D.
2. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是（　　）
A. 平面DD1C1C B. 平面A1DCB1
C. 平面A1B1C1D1 D. 平面A1DB
解析： 　因為AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，
A1D，A1B1 平面A1DCB1，所以AD1⊥平面A1DCB1.故選B.
√
3. 如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊
所在的直線中，與AP垂直的直線為 　　BC.
解析：因為∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因為AP 平面PAC，所以
BC⊥AP.
BC
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 線面垂直的定義的應用
【例1】　下列命題中正確的是（　　）
A. 若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α
B. 若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線
C. 若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數條直線與l垂直
D. 若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則l⊥α
√
解析： 　當l與α內的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，
所以A不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內的無數條平行直線垂
直，所以B不正確，C正確；若l在α內，l也可以和α內的無數條直
線垂直，故D錯誤.故選C.
通性通法
　　對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內的任意一條直
線”的說法與“直線垂直于平面內無數條直線”不是一回事.
【跟蹤訓練】
1. 直線l⊥平面α，直線m α，則l與m不可能（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 垂直
解析： 　因為直線l⊥平面α，所以l與α相交.又因為m α，
所以l與m相交或異面.由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l
與m不可能平行.故選A.
√
2. 如果一條直線垂直于一個平面內的：①三角形的兩邊；②梯形的兩
邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊.則能保證該直線與平面
垂直的是 .（填序號）
解析：根據直線與平面垂直的判定定理，平面內的兩條直線必須是
相交的，①③④中給定的兩條直線一定相交，能保證直線與平面垂
直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定
理條件.
①③④　
題型二 線面垂直的判定
【例2】　如圖所示，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，
M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.求證：AN⊥平面PBM.
證明：因為AB為☉O的直徑，所以AM⊥BM.
又因為PA⊥平面ABM，
所以PA⊥BM.
因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，所以BM⊥AN.
因為AN⊥PM，
且BM∩PM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
【母題探究】
（變設問）在本例條件下，若AQ⊥PB，Q為垂足，證明PB⊥平面
ANQ.
證明：由本例知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，
所以AN⊥PB.
因為AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，所以PB⊥平
面ANQ.
通性通法
證明線面垂直的方法
（1）由線線垂直證明線面垂直：①定義法（不常用）；②判定定理
（最常用），要著力尋找平面內的兩條相交直線（有時需要作
輔助線），使它們與所給直線垂直.
（2）平行轉化法（利用推論）：①a∥b，a⊥α b⊥α；②
α∥β，a⊥α a⊥β.
【跟蹤訓練】
　如圖，在四面體P-ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2 .F
是線段PB上一點，CF＝ ，點E在線段AB上，且EF⊥PB. 求
證：PB⊥平面CEF.
證明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2 ，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB為直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，EF，CF 平面CEF，
∴PB⊥平面CEF.
題型三 線面垂直的性質定理的應用
【例3】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平
面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且
MN⊥AB，MN⊥PC. 證明：AE∥MN.
證明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中點，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
通性通法
證明線線平行的常用方法
（1）利用線線平行的定義：證明兩直線共面且無公共點；
（2）利用基本事實4：證明兩直線同時平行于第三條直線；
（3）利用線面平行的性質定理：把證明線線平行轉化為證明線面
平行；
（4）利用線面垂直的性質定理：把證明線線平行轉化為證明線面
垂直.
【跟蹤訓練】
如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C
的中點，MN⊥平面A1DC. 求證：MN∥AD1.
證明：因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.
又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因為A1D∩CD＝D，A1D，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面
A1DC.
又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
1. △ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，
m⊥AC，則直線l，m的位置關系是（　　）
A. 相交 B. 異面
C. 平行 D. 不確定
解析： 　∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，
同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
√
2. （2024·揚州月考）設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則
下列命題正確的是（　　）
A. 若l⊥m，m⊥α，則l∥α
B. 若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C. 若l∥α，m α，則l∥m
D. 若l∥α，m∥α，則l∥m
√
解析： 　對于A，l∥α或l α，故A錯誤；對于B，因l⊥α，
則l垂直α內任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義
知，m與平面α內任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故
B正確；對于C，也有可能是l，m異面，故C錯誤；對于D，l，m
還可能相交或異面，故D錯誤.
3. 如圖所示，Rt△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點.求證：直線SD⊥平面ABC.
證明：∵SA＝SC，點D為斜邊AC的中點，
∴SD⊥AC.
如圖，連接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是
（　　）
A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B. m⊥b，b∥α
C. m∩b＝A，b⊥α
D. m∥b，b⊥α
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√
解析： 　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，則m與α可能平行或
m α，故A錯誤；m⊥b，b∥α，則m與α可能平行或相交或
m α，故B錯誤；m∩b＝A，b⊥α，則m與α可能平行或相交
或m α，故C錯誤；由線線平行及線面垂直的判定知選項D正確.
故選D.
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2. 如圖所示，定點A和B都在平面α內，定點P α，PB⊥α，C是
平面α內異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為（　　）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 無法確定
解析： 　易證AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，所以
AC⊥BC. 故選B.
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3. 如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置
關系是（　　）
A. 平行 B. 垂直相交
C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直
解析： 　連接AC（圖略）.因為四邊形ABCD是菱形，所以
BD⊥AC. 又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC. 因為AC∩MC＝
C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC. 又MA 平面
AMC，所以MA⊥BD. 由題圖可得，AM與BD不相交，故選C.
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4. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中
心，B1H⊥D1O，H為垂足，則B1H與平面AD1C的位置關系是
（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 無法確定
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解析： 　如圖，連接B1D1，BD. ∵幾何體
ABCD-A1B1C1D1是正方體，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD. 又∵B1B⊥AC，BD∩BB1＝B，
BD，BB1 平面BDD1B1，∴AC⊥平面
BDD1B1.∵B1H 平面BDD1B1，∴AC⊥B1H. ∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，AC，D1O 平面AD1C，∴B1H⊥平面AD1C.
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5. （多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
PA＝AB，D為PB的中點，則下列判斷正確的是（　　）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
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解析： 　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，故A判斷正確；由BC⊥平面PAB，得
BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D為PB的中點，
∴AD⊥PB，從而AD⊥平面PBC，故C判斷正確；∵PC 平面
PBC，∴AD⊥PC，故B判斷正確；在平面PBC中，PB⊥BC，
∴PB與CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判斷不正確.
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6. （多選）如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的
是（　　）
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解析： 對于A，由AB與CE所成角為45°，可得直線AB與平
面CDE不垂直；對于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝
E，可得AB⊥平面CDE；對于C，由AB與CE所成角為60°，可
得直線AB與平面CDE不垂直；對于D，連接AC（圖略），由
ED⊥AC，ED⊥BC，且AC∩BC＝C，可得ED⊥平面ABC，可
得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平
面CDE. 故選B、D.
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7. （2024·南通月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩
形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數為 .
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平
面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4個直角三角形.
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8. 如圖所示，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，
△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有
，與AP垂直的直線有 .
解析：因為PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.
因為AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，
又因為AP 平面PAC，所以AB⊥AP，故與AP垂直的直線是AB.
AB，BC，
AC　
AB　　
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9. （2024·徐州質檢）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側
面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的
軌跡是 .
線段B1C　
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解析：如圖，連接AC，AB1，B1C，∵正方體
ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，
又CB1與AC交于點C，∴ BD1⊥平面B1AC，又
知點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，平面
B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P為線段B1C上任意一點時，均有AP⊥BD1.
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10. （2024·南京河西外國語期中）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分別AB，PD的中點，且PA＝AD.
（1）求證：AF∥平面PEC；
證明： 設G是PC的中點，連接
EG，GF，由于F是PD的中點，
所以GF∥CD，GF＝ CD，
由于E是AB的中點，四邊形ABCD是矩形，
所以AE∥CD，AE＝ CD，
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所以GF∥AE，GF＝AE，
所以四邊形AFGE是平行四邊形，
所以AF∥EG，
因為AF 平面PEC，
EG 平面PEC，
所以AF∥平面PEC.
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（2）求證：AF⊥平面PCD.
證明： 因為PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
因為CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，
AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因為AF 平面PAD，所以CD⊥AF，
因為PA＝AD，F是PD的中點，
所以AF⊥PD，
因為PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，
所以AF⊥平面PCD.
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11. 如圖所示，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面
α，垂足分別為G，H. 為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是
（　　）
A. EF⊥平面α
B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE
D. PQ⊥FH
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解析： 　因為EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若
EF⊥平面β，則由PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG與EF為相
交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.
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12. （多選）如圖所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分別是G1G2，
G2G3的中點，現在沿SE，SF，EF把這個正方形折成一個四面
體，使G1，G2，G3重合，重合后的點記為G，則下列關系正確的
是（　　）
A. SG⊥平面EFG B. SE⊥平面EFG
C. GF⊥SE D. EF⊥平面SEG
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解析： 　由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，A成
立；因為FG2⊥EG2，即FG⊥EG，因為SG∩EG＝G，所以
GF⊥平面GSE，又SE 平面GSE，所以GF⊥SE，C成立；若
SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，B錯；因
為EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平面SEG，D錯.
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解析：如圖所示，因為PC⊥平面ABC，CM
平面ABC，所以PC⊥CM，則△PCM是直角三
角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以當CM⊥AB
時，CM最小，此時PM也最小.由條件知AC＝
4，BC＝4 ，故CM的最小值為2 ，又PC
＝4，則PM的最小值為 ＝2 .
2 　
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14. 如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中
點，F是棱CD上的動點，試確定點F的位置，使得D1E⊥平面
AB1F.
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解：∵D1E⊥平面AB1F，AB1 平面AB1F，
AF 平面AB1F，
∴D1E⊥AB1，D1E⊥AF.
連接DE. ∵D1D⊥AF，D1D∩D1E＝D1，
D1D，D1E 平面D1DE，
∴AF⊥平面D1DE，
∴AF⊥DE.
∵四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，
∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF，
即當點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F.
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15. 如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中
點.
（1）求證：MN∥平面PAD；
解： 證明：取PD的中點E，連接NE，
AE，如圖.
∵N是PC的中點，
∴NE∥DC且NE＝ DC，
又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝ AB，
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∴AM∥CD且AM＝ CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
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（2）當AP與AD的長度滿足什么關系時，MN⊥平面PCD？
解： 當AP＝AD時，MN⊥平面
PCD，證明如下.
∵AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN. 又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD.
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