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第3課時　空間距離及直線與平面所成的角
1.在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則直線A1B1到平面A1B1C1D1的距離為（　　）
A.1　 　　B.2　 　　C.3　 　　D.4
2.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是（　　）
A.60° B.45°
C.30° D.120°
3.如圖，平行四邊形ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝（　　）
A.2 B.3
C. D.
4.（2024·南通月考）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.（多選）如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結論中正確的是（　　）
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
6.（多選）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（　　）
A.BF∥CD
B.DG⊥BH
C.CH與BG成60°角
D.BE與平面ABCD所成角為45°
7.一條與平面α相交的線段，其長度為10 cm，兩端點到平面α的距離分別是2 cm，3 cm，則這條線段與平面α所成角的大小是　　　　.
8.如圖所示，AB是☉O的直徑，PA⊥☉O所在的平面，C是圓上一點，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為　　　　.
9.（2024·揚州月考）已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，頂點P在底面的射影為△ABC的中心，且其高為2，側棱與底面所成的角為45°，則點A到側面PBC的距離是　　　　.
10.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）求AE與平面BDE所成的角的大小.
11.如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，則AB1與平面BB1C1C所成的角的大小為（　　）
A.45° B.60°
C.30° D.75°
12.如圖所示，AB是☉O的直徑，PA⊥平面☉O，C為圓周上一點，若AB＝5 cm，AC＝2 cm，則點B到平面PAC的距離為　　　　.
13.已知三棱錐P-ABC的側棱兩兩垂直，PA＝PC＝2，PB＝，Q為棱BC上的動點，AQ與側面PBC所成角為θ，則tan θ的最大值為　　　　.
14.（2024·鎮江月考）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離.
15.（多選）在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是△BDC1內（不含邊界）的一個動點，若A1P⊥BC1，則線段A1P的長可能的取值為（　　）
A. B.
C.2 D.
第3課時　空間距離及直線與平面所成的角
1.D　因為直線A1B1∥平面ABCD且點A1到平面ABCD的距離為4，所以所求距離為4.
2.A　∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故選A.
3.D　因為四邊形ADEF為平行四邊形，所以AF∥DE，且AF＝DE.因為AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因為AF＝2，所以DE＝2，又CD＝3，所以CE＝＝＝.故選D.
4.C　如圖，取BC的中點E，連接AE，ED，AD，則AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角.設棱長為a，則AE＝ a，DE＝ a.所以tan∠ADE＝ ，所以∠ADE＝60°.故選C.
5.ABC　對于選項A，由題意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正確；對于選項B，因為AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正確；對于選項C，由對稱性知SA與平面SBD所成的角與SC與平面SBD所成的角相等，故C正確；由題意得，AB與SC所成的角為∠SCD，DC與SA所成的角為∠SAB，顯然，∠SCD≠∠SAB，故D不正確.
6.BCD　由正方體的平面展開圖還原正方體如圖所示，由正方體的結構特征可知，BF與CD異面垂直，所以A錯誤；DG⊥CH，而CH為BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正確；連接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四邊形ABGH為平行四邊形，則AH∥BG，所以∠AHC或其補角為異面直線CH與BG所成的角，連接AC，可得△AHC為等邊三角形，得CH與BG成60°角，所以C正確；因為AE⊥平面ABCD，所以∠EBA為BE與平面ABCD所成角，為45°，所以D正確.故選B、C、D.
7.30°　解析：如圖，作出AC⊥α，BD⊥α，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，則AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
8.2　解析：因為PA⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角.在△ABC中，AC＝AB＝PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝＝2.
9.　解析：如圖，設P在底面的射影為O，取BC的中點D，連接PO，PD，作AE⊥PD于點E，則AE的長為所求.由∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA＝2，AO＝2，AD＝3，PD＝，在△PAD中，由PD·AE＝PO·AD，可得AE＝.故點A到側面PBC的距離為.
10.解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
（2）設AC∩BD＝O，連接EO，如圖所示.
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直線AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝30°，
即AE與平面BDE所成的角為30°.
11.A　取BC的中點D，連接AD，B1D，由題意得AD⊥BC且AD⊥BB1，又BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即為AB1與平面BB1C1C所成的角.設AB＝，則AA1＝1，AD＝，AB1＝，∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.即AB1與平面BB1C1C所成的角為45°.故選A.
12. cm　解析：∵C為圓周上一點，AB為直徑，∴BC⊥AC，又PA⊥平面☉O，BC 平面☉O，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，C為垂足，即BC為點B到平面PAC的距離.在Rt△ABC中，BC＝＝＝（cm）.
13.　解析：如圖所示，依題意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直線與平面所成的角.由于tan θ＝，其中PA＝2，當PQ最小時，正切值取得最大值.當PQ⊥BC時，PQ最小，BC＝＝，在Rt△PBC中，利用等面積得××2＝××PQ，解得PQ＝.此時tan θ＝＝.
14.解：（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.
因為∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，
又PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，所以BC⊥平面PCD，而PC 平面PCD，所以PC⊥BC.
（2）如圖所示，過點A作BC的平行線交CD的延長線于E，過點E作PC的垂線，垂足為F，則有AE∥平面PBC，所以點A到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離.
因為BC⊥平面PCD，EF 平面PCD，
所以EF⊥BC.
又EF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，所以EF⊥平面PBC.
所以EF的長即為點E到平面PBC的距離.
又因為AE∥BC，AB∥CE，
所以四邊形ABCE為平行四邊形.
所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PD⊥CD，∠PCD＝45°.
所以EF＝，即點A到平面PBC的距離為.
15.AB　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.連接B1C，A1C，則BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1且A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C 平面A1B1C，所以BC1⊥A1C，同理可證A1C⊥DC1，A1C⊥DB，又DC1，DB 平面DBC1，所以A1C⊥平面DBC1，設垂足為O，則A1O＝A1C＝×＝.記BC1∩B1C＝E，連接DE，A1D，因為P是△BDC1內（不含邊界）的一個動點，A1P⊥BC1，所以P在平面A1B1CD與平面DBC1的交線DE上（不含端點），所以A1O≤A1P＜A1D＝＝2，所以A1P的長的取值范圍是［，2）.故選A、B.
3 / 3第3課時　空間距離及直線與平面所成的角
新課程標準解讀 核心素養
1.理解點到平面的距離、直線到平面的距離的概念，會求簡單的點面距、線面距 數學運算
2.理解斜線在平面內的射影及與平面所成角的概念，會求簡單的線面角 直觀想象、數學運算
　　當一支鉛筆一端放在桌面上，另一端逐漸離開桌面，鉛筆和桌面所成的角逐漸增大.
【問題】　觀察并思考鉛筆和桌面所成的角怎樣定義？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　點到平面及直線到平面的距離
1.點到平面的距離
從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離.
2.直線到平面的距離
一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離.
知識點二　直線與平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面　　　，但不和這個平面　　　　，這條直線叫作這個平面的斜線
斜足 斜線與平面的　　　　，如圖中　　　　
斜線 段 斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段，如圖中　　　
射影 如圖，過平面外一點P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內的射影，線段　　　　就是斜線段PQ在平面α內的射影
直線 與平 面所 成的 角 定義：平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成的銳角，如圖中　　　　； 規定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是　　　　；如果一條直線與平面平行，或在平面內，那么稱它們所成的角是　　角
取值 范圍 設直線與平面所成的角為θ，則　　　　　
提醒　對直線與平面所成的角的三點說明：①點P是斜線上不同于斜足Q的任意一點，點P具有隨意性；②斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線，而不是線段；③求一條直線與平面所成的角，可先作出直線在平面內的射影，從而得到直線與平面所成的角，再進一步求解.
1.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0°＜θ＜90°
B.直線與平面所成的角的取值范圍是0°＜θ≤90°
C.若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線互相平行
D.若兩條直線互相平行，則這兩條直線與一個平面所成的角相等
2.若點A，B在平面α的同側，且點A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為（　　）
A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1
3.如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角等于（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
題型一 求點到平面的距離
【例1】　在各棱長均為1的四面體ABCD中，點A到平面BCD的距離為（　　）
A.　　　　　　　　 .
C. D.
通性通法
求點到平面的距離的步驟
（1）作（或找）出點到平面的垂線段的垂足；
（2）證明線面垂直；
（3）求出該點到垂足間的線段長即為所求點到平面的距離，在平面圖形中（一般為三角形）計算所求線段的長；
（4）下結論：給出所求距離.
簡稱“一作，二證，三求，四答”.
【跟蹤訓練】
如圖，已知邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求點E到平面PBC的距離.
題型二 求直線和平面的距離
【例2】　若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，且側面ABB1A1上的∠B1AB＝60°，則A1C1和底面ABCD的距離為（　　）
A.1　　　B.　　　C.　　　D.2
通性通法
　　當直線與平面平行時，直線上每一點到平面的距離都相等，因此線面距離轉化為點面距離，而點面距離又可以根據線面平行靈活取點求解.
【跟蹤訓練】
（2024·南京月考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，則直線CC1和平面B1BDD1的距離為（　　）
A. B.
C. D.1
題型三 求直線與平面所成的角
【例3】　（鏈接教科書第184頁例7）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求直線A1B與平面AA1D1D所成的角的大小；
（2）求直線A1B與平面BB1D1D所成的角的大小.
【母題探究】
1.（變設問）在本例條件下，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.
2.（變設問）在本例條件下，求BD1與平面BB1C1C所成角的正切值.
通性通法
求直線與平面所成角的步驟
（1）作圖：作（或找）出斜線在平面內的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算；
（2）證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角；
（3）計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.
【跟蹤訓練】
如圖所示，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，求PA與平面PBC所成角的正弦值.
1.（2024·蘇州月考）矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角的大小為（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線B1C1到平面ABCD的距離是　　　　.
3.（2024·無錫月考）已知過平面α外一點A的斜線l與平面α所成角為，斜線l交平面α于點B，若點A與平面α的距離為1，則斜線段AB在平面α上的射影所形成的圖形面積為　　　　.
第3課時　空間距離及直線與平面所成的角
【基礎知識·重落實】
知識點二
　相交　垂直　交點　點Q　PQ　P1Q　∠PQP1　直角　0°　0°≤θ≤90°
自我診斷
1.AD　A、D正確；B應為0°≤θ≤90°；C中這兩條直線可能平行，也可能相交或異面.故選A、D.
2.A　如圖，設AB的中點為M，分別過A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質定理可知AA1∥MM1∥BB1.結合題意知，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.故選A.
3.B　∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.故直線PB與平面ABC所成的角為45°.故選B.
【典型例題·精研析】
【例1】　D　如圖，設△BCD的中心為O，連接AO，則AO的長即為所求.在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝××1＝，∴AO＝＝，即點A到平面BCD的距離為.故選D.
跟蹤訓練
　解：如圖，連接AC，BD，設交點為O，連接EO.
∵E為PA的中點，O為AC的中點，
∴EO∥PC.
∵EO 平面PBC，PC 平面PBC，
∴EO∥平面PBC，∴點O到平面PBC的距離就是點E到平面PBC的距離.
在平面ABCD內過O作OG⊥BC于點G.
∵PC⊥平面ABCD，OG 平面ABCD，
∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴OG⊥平面PBC，
∴OG的長即為所求距離.
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴OB＝AB·cos∠ABD＝a·cos 30°＝a，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝a·sin 30°＝a，
即點E到平面PBC的距離為a.
【例2】　C　連接AC，則A1C1∥AC.∵A1C1 平面ABCD，AC 平面ABCD，∴A1C1∥平面ABCD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，∴A1A的長即為A1C1和底面ABCD的距離，又A1A＝B1B，∴B1B的長即為A1C1和底面ABCD的距離.由題意知，B1B＝，即A1C1和底面ABCD的距離為.故選C.
跟蹤訓練
　B　連接AC（圖略），則AC⊥BD，又BB1⊥AC，BD∩BB1＝B，故AC⊥平面B1BDD1，所以點C到平面B1BDD1的距離為AC＝，即直線CC1和平面B1BDD1的距離為.故選B.
【例3】　解：（1）∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.
（2）連接A1C1交B1D1于點O，連接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角.
設正方體的棱長為1，則A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.
母題探究
1.解：如圖，連接BC1交B1C于點O，連接A1O，設正方體的棱長為a，
因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
又B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
又BC1 平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1，
又因為BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內的射影，
所以∠BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
所以BO＝A1B，∠BA1O＝30°.
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.
2.解：∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1為BD1與平面BB1C1C所成的角.
設正方體的棱長為1，則BC1＝，
∴在Rt△D1C1B中，tan∠D1BC1＝＝＝，
∴BD1與平面BB1C1C所成角的正切值為.
跟蹤訓練
　解：過A作AH⊥BC于H，連接PH，如圖所示.
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH為PA與平面PBC所成的角.
在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC為正三角形，又AH⊥BC，∴H為BC中點， AH＝，
∵PC＝AC＝2，
∴PA＝2，∴sin ∠APH＝＝.
故PA與平面PBC所成角的正弦值為.
隨堂檢測
1.A　由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角.在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°，即PC與平面ABCD所成的角為30°.
2.1　解析：由正方體的性質可知，B1C1∥平面ABCD，所以直線B1C1到平面ABCD的距離即為B1到平面ABCD的距離，由正方體的性質知B1到平面ABCD的距離為1，即直線B1C1到平面ABCD的距離為1.
3.3π　解析：如圖，過點A作平面α的垂線，垂足為C，連接BC，所以線段BC為線段AB在平面α上的射影，∠ABC為斜線l與平面α所成的角，則∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的圖形為半徑為的圓面，其面積為3π.
4 / 4(共60張PPT)
第3課時　
空間距離及直線與平面所成的角
新課程標準解讀 核心素養
1.理解點到平面的距離、直線到平面的距離的概念，會
求簡單的點面距、線面距 數學運算
2.理解斜線在平面內的射影及與平面所成角的概念，會
求簡單的線面角 直觀想象、
數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　當一支鉛筆一端放在桌面上，另一端逐漸離開桌面，鉛筆和桌面
所成的角逐漸增大.
【問題】　觀察并思考鉛筆和桌面所成的角怎樣定義？
知識點一　點到平面及直線到平面的距離
1. 點到平面的距離
從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點
到這個平面的距離.
2. 直線到平面的距離
一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距
離，叫作這條直線和這個平面的距離.
知識點二　直線與平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面 ，但不和
這個平面 ，這條直線叫作這個
平面的斜線
斜足 斜線與平面的 ，如圖中 斜線 段 斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點
到平面的斜線段，如圖中 相交　
垂直　
交點　
點Q
PQ　
有關概念 對應圖形
射影 如圖，過平面外一點P向平面α引斜線
和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線
就是斜線在平面內的射影，線
段 就是斜線段PQ在平面α內
的射影
P1Q　
有關概念 對應圖形
直線
與平
面所
成的
角 定義：平面的一條斜線與它在這個平面內的
射影所成的銳角，如圖中 ； 規定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它
們所成的角是 ；如果一條直線與平
面平行，或在平面內，那么稱它們所成的角
是 角
取值 范圍 設直線與平面所成的角為θ，
則 ∠PQP1　
直角　
0°　
0°≤θ≤90°　
提醒　對直線與平面所成的角的三點說明：①點P是斜線上不同于斜
足Q的任意一點，點P具有隨意性；②斜線在平面上的射影是過斜足
和垂足的一條直線，而不是線段；③求一條直線與平面所成的角，可
先作出直線在平面內的射影，從而得到直線與平面所成的角，再進一
步求解.
1. （多選）下列說法中正確的是（　　）
A. 平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0°＜θ＜90°
B. 直線與平面所成的角的取值范圍是0°＜θ≤90°
C. 若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線互相平行
D. 若兩條直線互相平行，則這兩條直線與一個平面所成的角相等
解析： 　A、D正確；B應為0°≤θ≤90°；C中這兩條直線可
能平行，也可能相交或異面.故選A、D.
√
√
2. 若點A，B在平面α的同側，且點A，B到α的距離分別為3和5，
則AB的中點到α的距離為（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 如圖，設AB的中點為M，分別過A，
M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由
線面垂直的性質定理可知AA1∥MM1∥BB1.結合題
意知，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝
5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.故選A.
√
3. 如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線
PB與平面ABC所成的角等于（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即為直線PB與平面ABC所
成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.故直線PB與
平面ABC所成的角為45°.故選B.
√
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 求點到平面的距離
【例1】　在各棱長均為1的四面體ABCD中，點A到平面BCD的距離
為（　　）
解析： 　如圖，設△BCD的中心為O，連接AO，則
AO的長即為所求.在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝
× ×1＝ ，∴AO＝ ＝ ，即點A到
平面BCD的距離為 .故選D.
√
通性通法
求點到平面的距離的步驟
（1）作（或找）出點到平面的垂線段的垂足；
（2）證明線面垂直；
（3）求出該點到垂足間的線段長即為所求點到平面的距離，在平面
圖形中（一般為三角形）計算所求線段的長；
（4）下結論：給出所求距離.
簡稱“一作，二證，三求，四答”.
【跟蹤訓練】
如圖，已知邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，E是PA的中點，求點E到平面PBC的距離.
解：如圖，連接AC，BD，設交點為O，連接EO.
∵E為PA的中點，O為AC的中點，∴EO∥PC.
∵EO 平面PBC，PC 平面PBC，
∴EO∥平面PBC，∴點O到平面PBC的距離就是點
E到平面PBC的距離.
在平面ABCD內過O作OG⊥BC于點G.
∵PC⊥平面ABCD，OG 平面ABCD，
∴PC⊥OG，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面
PBC，
∴OG⊥平面PBC，
∴OG的長即為所求距離.
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴OB⊥AC，∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴OB＝AB· cos ∠ABD＝a· cos 30°＝ a，
∴OG＝OB· sin ∠OBC＝ a· sin 30°＝ a，
即點E到平面PBC的距離為 a.
題型二 求直線和平面的距離
【例2】　若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，且側面
ABB1A1上的∠B1AB＝60°，則A1C1和底面ABCD的距離為（　　）
√
解析： 　連接AC，則A1C1∥AC. ∵A1C1 平面ABCD，AC 平面
ABCD，∴A1C1∥平面ABCD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱
柱，∴A1A的長即為A1C1和底面ABCD的距離，又A1A＝B1B，
∴B1B的長即為A1C1和底面ABCD的距離.由題意知，B1B＝ ，即
A1C1和底面ABCD的距離為 .故選C.
通性通法
　　當直線與平面平行時，直線上每一點到平面的距離都相等，因此
線面距離轉化為點面距離，而點面距離又可以根據線面平行靈活取點
求解.
【跟蹤訓練】
（2024·南京月考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，則直
線CC1和平面B1BDD1的距離為（　　）
解析： 　連接AC（圖略），則AC⊥BD，又BB1⊥
AC，BD∩BB1＝B，故AC⊥平面B1BDD1，所以點C到平面B1BDD1的距離為 AC＝ ，即直線CC1和平面B1BDD1的距離為 .故選B.
D. 1
√
題型三 求直線與平面所成的角
【例3】　（鏈接教科書第184頁例7）如圖，在正方體ABCD-
A1B1C1D1中.
（1）求直線A1B與平面AA1D1D所成的角的大小；
解： ∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.
（2）求直線A1B與平面BB1D1D所成的角的大小.
解： 連接A1C1交B1D1于點O，連接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝
B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角.
設正方體的棱長為1，則A1B＝ ，A1O＝ .
又∵∠A1OB＝90°，
∴ sin ∠A1BO＝ ＝ ，又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.
【母題探究】
1. （變設問）在本例條件下，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：如圖，連接BC1交B1C于點O，連接A1O，
設正方體的棱長為a，
因為A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，又B1C1∩B1B
＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，
又BC1 平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1，
又因為BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，A1B1，
B1C 平面A1B1CD，
所以BC1⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內的射影，
所以∠BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝ a，BO＝ a，
所以BO＝ A1B，∠BA1O＝30°.
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.
2. （變設問）在本例條件下，求BD1與平面BB1C1C所成角的正切值.
解：∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1為BD1與平面BB1C1C所
成的角.
設正方體的棱長為1，則BC1＝ ，
∴在Rt△D1C1B中，tan∠D1BC1＝ ＝ ＝ ，
∴BD1與平面BB1C1C所成角的正切值為 .
通性通法
求直線與平面所成角的步驟
（1）作圖：作（或找）出斜線在平面內的射影，作射影要過斜線上
一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的
選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算；
（2）證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角；
（3）計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.
【跟蹤訓練】
如圖所示，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，PC＝2，求PA與平面PBC所成角的正弦值.
解：過A作AH⊥BC于H，連接PH，如圖所示.
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC 平面BC，
∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH為PA與平面PBC所成的角.
在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC為正三角形，又AH⊥BC，∴H為BC中點， AH＝ ，∵PC＝AC＝2，∴PA＝2 ，∴ sin ∠APH＝ ＝ .
故PA與平面PBC所成角的正弦值為 .
1. （2024·蘇州月考）矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面
ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角的大小為（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　由題意知∠PCA為PC與平面ABCD所成的角.在
Rt△PAC中，tan∠PCA＝ ＝ ＝ ，∴∠PCA＝30°，即PC
與平面ABCD所成的角為30°.
√
2. 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線B1C1到平面ABCD的距
離是 .
解析：由正方體的性質可知，B1C1∥平面ABCD，所以直線
B1C1到平面ABCD的距離即為B1到平面ABCD的距離，由正方體
的性質知B1到平面ABCD的距離為1，即直線B1C1到平面ABCD
的距離為1.
1　
3. （2024·無錫月考）已知過平面α外一點A的斜線l與平面α所成角
為 ，斜線l交平面α于點B，若點A與平面α的距離為1，則斜線
段AB在平面α上的射影所形成的圖形面積為 .
解析：如圖，過點A作平面α的垂線，垂足為
C，連接BC，所以線段BC為線段AB在平面α
上的射影，∠ABC為斜線l與平面α所成的角，
則∠ABC＝ ，又AC＝1，所以BC＝ ，故射
影形成的圖形為半徑為 的圓面，其面積為3π.
3π　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則
直線A1B1到平面A1B1C1D1的距離為（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　因為直線A1B1∥平面ABCD且點A1到平面ABCD的距離
為4，所以所求距離為4.
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2. 如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與
平面α所成的角是（　　）
A. 60° B. 45°
C. 30° D. 120°
解析： 　∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB
中，AB＝2BO，所以 cos ∠ABO＝ ，即∠ABO＝60°.故選A.
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3. 如圖，平行四邊形ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝
3，則CE＝（　　）
A. 2 B. 3
解析： 　因為四邊形ADEF為平行四邊形，所以AF∥DE，且
AF＝DE. 因為AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以
DE⊥DC. 因為AF＝2，所以DE＝2，又CD＝3，所以CE＝
＝ ＝ .故選D.
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4. （2024·南通月考）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點D是側面
BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　如圖，取BC的中點E，連接AE，ED，
AD，則AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為直線AD與
平面BB1C1C所成的角.設棱長為a，則AE＝ a，
DE＝ a.所以tan∠ADE＝ ，所以∠ADE＝
60°.故選C.
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5. （多選）如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面
ABCD，則下列結論中正確的是（　　）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D. AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
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解析： 　對于選項A，由題意得SD⊥AC，AC⊥BD，
SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故
AC⊥SB，故A正確；對于選項B，因為AB∥CD，AB 平面
SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正確；對于選
項C，由對稱性知SA與平面SBD所成的角與SC與平面SBD所成的
角相等，故C正確；由題意得，AB與SC所成的角為∠SCD，DC
與SA所成的角為∠SAB，顯然，∠SCD≠∠SAB，故D不正確.
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6. （多選）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中
（　　）
A. BF∥CD
B. DG⊥BH
C. CH與BG成60°角
D. BE與平面ABCD所成角為45°
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解析： 　由正方體的平面展開圖還原正方體
如圖所示，由正方體的結構特征可知，BF與CD
異面垂直，所以A錯誤；DG⊥CH，而CH為BH
在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B
正確；連接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四
邊形ABGH為平行四邊形，則AH∥BG，所以∠AHC或其補角為異面直線CH與BG所成的角，連接AC，可得△AHC為等邊三角形，得CH與BG成60°角，所以C正確；因為AE⊥平面ABCD，所以∠EBA為BE與平面ABCD所成角，為45°，所以D正確.故選B、C、D.
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7. 一條與平面α相交的線段，其長度為10 cm，兩端點到平面α的距
離分別是2 cm，3 cm，則這條線段與平面α所成角的大小
是 .
解析：如圖，作出AC⊥α，BD⊥α，則
AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于
CD，且CD與AB相交于O，AB＝10，AC＝3，
BD＝2，則AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD
＝30°.
30°　
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8. 如圖所示，AB是☉O的直徑，PA⊥☉O所在的平面，C是圓上一
點，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的
正切值為 .
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解析：因為PA⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射
影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角.在△ABC中，AC
＝ AB＝ PA，即PA＝2AC，所以tan∠PCA＝ ＝2.
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解析：如圖，設P在底面的射影為O，取BC的中
點D，連接PO，PD，作AE⊥PD于點E，則AE
的長為所求.由∠PAO＝45°，PO＝2，可求PA
＝2 ，AO＝2，AD＝3，PD＝ ，在△PAD
中，由PD·AE＝PO·AD，可得AE＝ .故點A
到側面PBC的距離為 .
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10. 如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA
＝2.
（1）求證：AC⊥平面BDE；
解： 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
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（2）求AE與平面BDE所成的角的大小.
解： 設AC∩BD＝O，連接EO，如圖所示.
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直線AE在平面BDE上的射影，
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，EA＝ ＝
2 ，AO＝ ，
∴在Rt△EOA中， sin ∠AEO＝ ＝ ，
∴∠AEO＝30°，
即AE與平面BDE所成的角為30°.
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11. 如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1＝ ∶1，
則AB1與平面BB1C1C所成的角的大小為（　　）
A. 45° B. 60°
C. 30° D. 75°
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解析： 　取BC的中點D，連接AD，B1D，
由題意得AD⊥BC且AD⊥BB1，又BC∩BB1
＝B，BC，BB1 平面BCC1B1，∴AD⊥平面
BCC1B1，∴∠AB1D即為AB1與平面BB1C1C所
成的角.設AB＝ ，則AA1＝1，AD＝ ，AB1＝ ，∴ sin
∠AB1D＝ ＝ ，∴∠AB1D＝45°.即AB1與平面BB1C1C所
成的角為45°.故選A.
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cm　
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解析：∵C為圓周上一點，AB為直徑，∴BC⊥AC，又PA⊥平
面☉O，BC 平面☉O，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，
AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，C為垂足，即BC為點B到平
面PAC的距離.在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝
（cm）.
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13. 已知三棱錐P-ABC的側棱兩兩垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，
Q為棱BC上的動點，AQ與側面PBC所成角為θ，則tan θ的最
大值為 .
　
解析：如圖所示，依題意可知PA⊥PB，PA⊥
PC，所以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直
線與平面所成的角.由于tan θ＝ ，其中PA＝
2，當PQ最小時，正切值取得最大值.當PQ⊥
BC時，PQ最小，BC＝ ＝ ，在
Rt△PBC中，利用等面積得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此時tan θ＝ ＝ .
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14. （2024·鎮江月考）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
（1）求證：PC⊥BC；
解： 證明：因為PD⊥平面ABCD，
BC 平面ABCD，所以PD⊥BC.
因為∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，
又PD∩CD＝D，PD，CD 平面
PCD，所以BC⊥平面PCD，而PC 平面
PCD，所以PC⊥BC.
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（2）求點A到平面PBC的距離.
解： 如圖所示，過點A作BC的平行
線交CD的延長線于E，過點E作PC的垂
線，垂足為F，則有AE∥平面PBC，所以
點A到平面PBC的距離等于點E到平面
PBC的距離.
因為BC⊥平面PCD，EF 平面PCD，
所以EF⊥BC.
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又EF⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC
平面PBC，所以EF⊥平面PBC.
所以EF的長即為點E到平面PBC的距離.
又因為AE∥BC，AB∥CE，
所以四邊形ABCE為平行四邊形.
所以CE＝AB＝2.又PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PD⊥CD，∠PCD＝45°.
所以EF＝ ，即點A到平面PBC的距離為 .
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15. （多選）在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是△BDC1內
（不含邊界）的一個動點，若A1P⊥BC1，則線段A1P的長可能的
取值為（　　）
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解析： 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面
BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1.連接B1C，
A1C，則BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1且A1B1，B1C 平面
A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C 平面A1B1C，所以
BC1⊥A1C，同理可證A1C⊥DC1，A1C⊥DB，又DC1，DB 平
面DBC1，所以A1C⊥平面DBC1，設垂足為O，則A1O＝ A1C＝
× ＝ .記BC1∩B1C＝E，連接DE，A1D，因
為P是△BDC1內（不含邊界）的一個動點，A1P⊥BC1，所以P
在平面A1B1CD與平面DBC1的交線DE上（不含端點），所以
A1O≤A1P＜A1D＝ ＝2 ，所以A1P的長的取值范圍
是［ ，2 ）.故選A、B.
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